第一篇：導(dǎo)數(shù)與不等式證明(絕對(duì)精華)

二輪專題

（十一）導(dǎo)數(shù)與不等式證明

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.2.掌握常用的證明方法.【知識(shí)回顧】 一級(jí)排查：應(yīng)知應(yīng)會(huì)

1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問(wèn)題．比如要證明對(duì)任意x?[a,b]都有f(x)?g(x)，可設(shè)h(x)?f(x)?g(x)，只要利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明h(x)在[a,b]上的最小值為0即可． 二級(jí)排查：知識(shí)積累

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題技巧總結(jié)如下：

（1）利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問(wèn)先讓解決出來(lái)），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問(wèn)要證明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）對(duì)于給出的不等式直接證明無(wú)法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)（指數(shù)），移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（4）常用方法還有隔離函數(shù)法，f(x)min?g(x)max，放縮法（常與數(shù)列和基本不等式一起考查），換元法，主元法，消元法，數(shù)學(xué)歸納法等等，但無(wú)論何種方法，問(wèn)題的精髓還是構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題.（5）建議有能力同學(xué)可以了解一下羅必塔法則和泰勒展開(kāi)式，有許多題都是利用泰勒展開(kāi)式放縮得來(lái).三極排查：易錯(cuò)易混

用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列時(shí)注意定義域.【課堂探究】

一、作差（商）法 例

1、證明下列不等式：

①ex?x?1 ②lnx?x?

1③lnx?1-

④lnx? x2(x-1)2x?,x?(0,)(x?1)⑤sinx?x?1?2

二、利用f(x)min?g(x)max證明不等式 例

2、已知函數(shù)f(x)?ax?12e?b?(a?1)lnx,(a,b?R),g(x)??x?.xe2（1）若函數(shù)f(x)在x?2處取得極小值0，求a,b的值；

（2）在（1）的條件下，求證：對(duì)任意的x1,x2?[e,e2]，總有f(x1)?g(x2).變式：證明：對(duì)一切x?(0,??)，都有l(wèi)nx?

三、構(gòu)造輔助函數(shù)或利用主元法

12?成立.exex例

3、已知m,n為正整數(shù)，且1?m?n,求證：(1?m)n?(1?n)m.變式：設(shè)函數(shù)f(x)?lnx，g(x)?2x?2（x?1）.(1)試判斷F(x)?(x2?1)f(x)?g(x)在定義域上的單調(diào)性；（2）當(dāng)0?a?b時(shí)，求證f(b)?f(a)?

2a(b?a).22a?b

四、分析法證明不等式

例

4、設(shè)a?1，函數(shù)f(x)?(1?x2)ex?a.若曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平行（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）,證明：m?3a?

變式：已知函數(shù)f(x)?x2lnx．（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：對(duì)任意的t?0，存在唯一的s，使t?f(s)．

（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s?g(t)，證明：當(dāng)t?e時(shí)，有

22?1.e2lng(t)1??.5lnt2

五、隔離函數(shù)

例

5、已知函數(shù)f(x)?ex?ln(x?m).（Ⅰ）設(shè)x?0是f(x)的極值點(diǎn)，求m并討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)m?2時(shí)，證明:f(x)?0.變式：已知函數(shù)f(x)?nx?xn,x?R,其中n?N?，且n?2.（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)曲線y?f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y?g(x)，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)?g(x)；

（3）若關(guān)于x的方程f(x)?a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2，求證：x2?x1?

a?2.1?n

六、與數(shù)列結(jié)合

例

6、已知函數(shù)f(x)?alnx?ax?3(a?R).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：

變式：（1）已知x?(0,??)，求證：

1x?11?ln?； x?1xx1111111(n?N?，n?2).（2）求證：??????lnn?1?????234n23n?1ln2ln3ln4lnn1..??(n?N?，n?2)234nn【鞏固訓(xùn)練】 1.已知函數(shù)f(x)?圖像的下方.2.已知函數(shù)f?x??ln1?x． 1?x122x?lnx,求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)?x3的23（Ⅰ）求曲線y?f?x?在點(diǎn)?0，f?0??處的切線方程；

?x3?1?時(shí)，f?x??2?x??；（Ⅱ）求證：當(dāng)x??0，3???x3?1?恒成立，求k的最大值．（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f?x??k?x??對(duì)x??0，3??

nx1n?x2?x?x2?3.已知0?x1?x2，求證：??1?.2?2?n

4.設(shè)函數(shù)f(x)?ln(1?x)x(x?0).（1）判斷f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：(1?1n)n?e(e為自然對(duì)數(shù)，n?N*).5.已知函數(shù)f(x)?ex?x.（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

（2）設(shè)不等式f(x)?ax的解集為P，且[0,2]?P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

e?1??2??3??n?（3）設(shè)n?N，證明：??????????????.e?1?n??n??n??n??nnnn

6.已知f(x)?ln(1?x2)?ax(a?0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：（1?124）（1?134）?（1?1n4）?e(e為自然對(duì)數(shù)，n?N*，n?2).7.已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2.2

f(x)?aexlnx?bex?18.設(shè)函數(shù)x，曲線y?f(x)在點(diǎn)（1，(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）證明：f(x)?1.f(1)處的切線為y?e(x?1)?2.9.已知函數(shù)f?x??ex?ax（a為常數(shù)）的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線y?f?x?在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f?x?的極值；（Ⅱ）證明：當(dāng)x?0時(shí)，x2?ex；

（Ⅲ）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x??x0，???，恒有x2?cex.10.(選作)已知f(x)?(1?x)ex?1.（1）證明：當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?0;（2）數(shù)列{xn}滿足xnexn?1?exn?1,x1?1,求證：{xn}遞減，且xn?1.2n 11

第二篇：導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)證明不等式

一、當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f'(x)>0,增函數(shù)

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時(shí)，x>ln(x+1)

二、導(dǎo)數(shù)是近些年來(lái)高中課程加入的新內(nèi)容，是一元微分學(xué)的核心部分。本文就談?wù)剬?dǎo)數(shù)在一元不等式中的應(yīng)用。

例1.已知x∈(0，)，求證:sinx

第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時(shí)，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當(dāng)x?(0,??)時(shí)，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時(shí)，x>lnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)

函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當(dāng)x??0,??時(shí)，證明不等式sinx?x成立。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當(dāng)x?(0,?)時(shí)，sinx?x成立。

點(diǎn)評(píng)：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時(shí)，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習(xí)：1.當(dāng)x?0時(shí)，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當(dāng)x?0時(shí)，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時(shí)，ex222.證明:當(dāng)x?1時(shí),有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因?yàn)?1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因?yàn)??x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡(jiǎn).如果對(duì)ln(1,這樣就能對(duì)它進(jìn)行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習(xí)：3（2001年全國(guó)卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因?yàn)閙

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問(wèn)題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過(guò)設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問(wèn)題。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過(guò)這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

第四篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

沒(méi)分都沒(méi)人答埃。覺(jué)得可以就給個(gè)好評(píng)!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說(shuō)明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無(wú)窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因?yàn)閏osx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對(duì)于函數(shù)x-x3/6-sinx

當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0

對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x2/2+cosx-1值為0

再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

第五篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號(hào)： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來(lái)證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來(lái)證明。

（1）首先，分析不等式通過(guò)變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價(jià)表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來(lái)證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當(dāng)h>0時(shí)有

1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時(shí)有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時(shí)用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來(lái)證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時(shí)f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對(duì)x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因?yàn)镕(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻小?”號(hào)時(shí)，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價(jià)于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時(shí)極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對(duì)于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對(duì)于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡(jiǎn)，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f''(?)?f''(?)時(shí)，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，?2?趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽(yáng)光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，第三版，高等教育出版社2001.