第一篇：數(shù)列極限的定義教案

第十七教時(shí)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來(lái)說(shuō)明（證明）數(shù)列的極限。過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

n

1．以數(shù)列??(?1)?n??為例

a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點(diǎn)越來(lái)越接近

2只要n充分大，表示點(diǎn)a(?1)n即：n與原點(diǎn)的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進(jìn)而：就是可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù) n

2．具體分析：(1)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數(shù)列??(?1)n??n??的第10項(xiàng)之后的所有項(xiàng)都滿足

(2)同理：如果預(yù)先給定的正數(shù)是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可

3．小結(jié)：對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于

“n??” n無(wú)限增大時(shí)

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對(duì)的，是相對(duì)于?確定的，我們只要證明其存在

④an?a：形象地說(shuō)是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

a，也可以擺動(dòng)趨近于a

三、處理課本 例

二、例

三、例四

例三：結(jié)論：常數(shù)數(shù)列的極限是這個(gè)常數(shù)本身

例四 這是一個(gè)很重要的結(jié)論

四、用定義證明下列數(shù)列的極限：

1．lim2n?1n??2

2．lim3n?1n?1

n??2n?1?32 證明1：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??

兩邊取對(duì)數(shù) n?log1?

取 N???1?2?log2???

????介紹取整函數(shù) 2n?12n當(dāng)n?N時(shí)，2n?1??恒成立

∴l(xiāng)im?1n??2n?1

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使

3n?11?512n?1?32?? 只要

2n?1?5

n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??

當(dāng)n?N時(shí)，2n?1?2??恒成立

∴l(xiāng)im3n?1n??2n?1?32

第二篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時(shí)

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學(xué)生首先從實(shí)例（感性）去認(rèn)識(shí)數(shù)列極限的含義，體驗(yàn)什么叫無(wú)限地“趨

近”，然后初步學(xué)會(huì)用??N語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明數(shù)列的極限，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“有限”到“無(wú)限”來(lái)一個(gè)飛躍。過(guò)程：

一、實(shí)例：1?當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正n邊形周長(zhǎng)無(wú)限趨近于圓周長(zhǎng)

2?在雙曲線xy?1中，當(dāng)x???時(shí)曲線與x軸的距離無(wú)限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項(xiàng)”隨n的增大而減少②但都大于0

③當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)1

n可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項(xiàng)”隨n的增大而增大②但都小于1

③當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)n

n?1可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項(xiàng)”的正負(fù)交錯(cuò)地排列，并且隨n的增大其絕對(duì)值減小

②當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)(?1)n

n

可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)

引導(dǎo)觀察并小結(jié)，最后抽象出定義：

一般地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列?an?的項(xiàng)an無(wú)限地趨近于某

個(gè)數(shù)a（即an?a無(wú)限地接近于0），那么就說(shuō)數(shù)列?an?以a為極限，或者說(shuō)a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無(wú)限趨近于”，所以只有無(wú)窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動(dòng)數(shù)列；再看這個(gè)數(shù)列當(dāng)n無(wú)限

增大時(shí)是否可以“無(wú)限趨近于”某一個(gè)數(shù)。

練習(xí)：（共四個(gè)小題，見(jiàn)課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒(méi)有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒(méi)有？如果有，極限是幾？

1．a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n

n?22．a(chǎn)n?2

3．a(chǎn)n?an(a?R)

n

4．a(chǎn)1)n?1?3?5?

n?(?n5．a(chǎn)n?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無(wú)限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關(guān)于“極限”的感性認(rèn)識(shí)，只有無(wú)窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習(xí)題1

補(bǔ)充：寫(xiě)出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n

第三篇：數(shù)列極限的定義

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來(lái)說(shuō)明（證明）數(shù)列的極限。過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

?

1n

3．小結(jié)：對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任

意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無(wú)限增大時(shí)

n??

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對(duì)的，是相對(duì)于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說(shuō)是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當(dāng)n?N時(shí)，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??

第四篇：關(guān)于數(shù)列極限的兩個(gè)定義

關(guān)于數(shù)列極限的兩個(gè)定義

定義1．設(shè)有數(shù)列?an?，a 是有限常數(shù)。若對(duì)任意??0N，對(duì)任意正整

數(shù)n?N，有 an?a??，則稱數(shù)列?an?的極限是 a。

定義2．設(shè)有數(shù)列?an?，a 是有限常數(shù)。若對(duì)任意??0，對(duì)任意正整數(shù)

n?N，有 an?a??，則稱數(shù)列?an?的極限是 a

定義1 是課本第46面的原文，定義2 是我講課時(shí)用的。這兩個(gè)定義的區(qū)別只在對(duì)N的要求：定義1 要求N是正整數(shù)，而定義2只要求N是實(shí)數(shù)，這是很低的要求，故定義2比定義1較便于應(yīng)用。

由于兩個(gè)定義對(duì)N的要求不同，易使人誤認(rèn)為兩個(gè)定義界定的對(duì)象不一樣，即：兩個(gè)定義不等價(jià)。實(shí)際上，這兩個(gè)定義完全是等價(jià)的！為說(shuō)明這兩個(gè)定義的等價(jià)性，我們需要兩個(gè)顯然的命題：

命題1．對(duì)于任意實(shí)數(shù)r均存在正整數(shù)n，使得n?r。

命題2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)r，若正整數(shù)n，成立n?r，則對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)m均有n?m?r。要證明定義1與定義2等價(jià)，我們只需證明這兩個(gè)定義界定的極限一樣即可。證明：設(shè)有數(shù)列?an?。

（1）若有限常數(shù)a是定義1 界定的極限，由于正整數(shù)N是實(shí)數(shù)，因此，常數(shù)a也

是定義2 界定的極限。

（2）若有限常數(shù)a是定義2 界定的極限，由定義2，對(duì)任意??0，存在實(shí)數(shù)N，對(duì)任意正整數(shù)n?N，有 an?a??；對(duì)于實(shí)數(shù)N，必有正整數(shù)M使得M?N（命題1）；當(dāng)n?M時(shí)，必有n?N；故對(duì)于正整數(shù)M，當(dāng)n?M時(shí)必有an?a??。因此，常數(shù)a也是定義1 界定的極限。

說(shuō)明：（2）中的正整數(shù)M即是定義1 中的N。極限證明中關(guān)鍵是由 n?N 保證

an?a??，而不是N是否是正整數(shù)。

另，請(qǐng)大家注意課本p.55 的第1題，這個(gè)題對(duì)于幫助大家深入理解數(shù)列極限定義是有很大作用的。

第五篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫(huà)。

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫(huà)，簡(jiǎn)單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過(guò)學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識(shí)的融會(huì)貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來(lái)看待數(shù)列極限概念。

四、授課過(guò)程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來(lái)計(jì)算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來(lái)趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”。

第一天的長(zhǎng)度1第二天的剩余長(zhǎng)度 第二天的剩余長(zhǎng)度

第四天的剩余長(zhǎng)度 8

.....第n天的剩余長(zhǎng)度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長(zhǎng)度越來(lái)越短，越來(lái)越接近0。

這里蘊(yùn)含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢(shì)結(jié)果的預(yù)測(cè)。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無(wú)限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長(zhǎng)度無(wú)限接近0.在介紹概念之前看幾個(gè)具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來(lái)討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過(guò)程中，當(dāng)n趨近于??時(shí)，xn不斷接近于某一個(gè)常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來(lái)越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒(méi)有這樣的特征。

此處“n趨近于??時(shí)”，“xn無(wú)限接近于數(shù)a”主要強(qiáng)調(diào)的是“一個(gè)過(guò)程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無(wú)誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點(diǎn)就是將數(shù)列的這樣一個(gè)特征用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)出來(lái)，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書(shū)）設(shè)?xn?是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)。如果對(duì)于任意給定的數(shù)??0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說(shuō)數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫(xiě)作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個(gè)正數(shù)，但是這個(gè)數(shù)在選取時(shí)是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時(shí)，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語(yǔ)言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因?yàn)?nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時(shí)，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對(duì)于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)