第一篇：余弦定理公式的含義及其證明

余弦定理公式的含義及其證明

少三(2)宋伊辰

在做參考書的時候，我有時會遇到“已知一個一般三角形的兩邊長及其夾角的度數(shù)，要求第三邊長度”的情況。與直角三角形不同，這時直接求第三邊長顯得有些困難，往往要花很大力氣。那么，有沒有什么方法可以直接求解呢？ 我向爸爸提出了我的疑問。“可以用余弦定理求啊?！彼卮鸬?。

“余弦定理是什么？”懷著滿腹的疑問，我開始上網(wǎng)搜尋答案。余弦定理，是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關(guān)系的數(shù)學定理，是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題。

如左圖所示，在△ABC中，余弦定理可表示為：

同理，也可描述為：

那么，我們又如何證明余弦定理的成立呢？我又對此展開了探究。法一（代數(shù)證明）： 如右圖所示，△ABC，在c上做高，將c邊寫作：

將等式兩邊同乘以c得到：

同理，① ②

①+②得： 法二（運用相交弦定理證明）：

如圖，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c以B 為圓心，以長邊AB為半徑做圓（這里要用長邊的道理在于，這樣能保證C點在圓內(nèi)）。

延長BC，交⊙B于點D和E

∴DC=a-b，CE=a+b，AC=c ∵AG=2acosα ∴CG=2acosα-c。

∵DC×CE=AC×CG

∴(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化簡得：b2?a2?c2?2ac(cosα)，法三（平面幾何）：

在△ABC中，已知AC=b，BC=a，∠C=γ，求c。過點A作AD⊥BC于D，∴AD=AC·sinγ=b·sinγ，CD=AC·cosγ=b·cosγ ∴BD=BC-CD=a-b·cosγ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°

∴AB2?AD2?BD2?（b·sinγ)2+（a-b·cosγ)

2﹦a?b?2abcosγ

法四(解析幾何)：

以點C為原點O，AC為x軸，建立如右圖所示的平面直角坐標系。

在△ABC中，AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點的坐標分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)． |AB|2?(acosC?b)2?(asinC?0)2

222 ?acos2C?2abcosC?b?asin2C

22A B D C

?a?b?2abcosC 即c?a?b?2abcosC

經(jīng)過一番思考和嘗試，我成功地運用多種方法證明了余弦定理公式。那么，這個公式在實際的題目當中有什么應(yīng)用呢？ 網(wǎng)上的資料給了我答案。

余弦定理可應(yīng)用于以下兩種需求：

1、當已知三角形的兩邊及其夾角，可由余弦定理得出已知角的對邊。

2、當已知三角形的三邊，可以由余弦定理得到三角形的三個內(nèi)角。余弦定理還可以變換成以下形式： 22222b2?c2?a2 a?b?c?2bccosA

cosA?2bc22c2?a2?b2 b?c?a?2accosB

cosB?2ca22a2?b2?c2 c?a?b?2abcosC

cosC?2ab22由此看來，余弦定理是一個簡潔卻實用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，應(yīng)用也更廣泛。余弦定理是高中數(shù)學中的一條基本定理，但它卻在平面幾何，立體幾何，平面三角形解析等領(lǐng)域中發(fā)揮著巨大的作用。

第二篇：余弦定理定義及公式

余弦定理定義及公式 余弦定理，是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關(guān)系的數(shù)學定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推廣。a2=b2+c2-2bccosA

余弦定理證明

如上圖所示，△ABC，在c上做高，根據(jù)射影定理，可得到：

將等式同乘以c得到：

運用同樣的方式可以得到：

將兩式相加：

向量證明

正弦定理和余弦定理 正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形

（2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

（3）運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。

余弦定理

是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的余弦值 正弦定理的變形 1、2、（條件同上）

在一個三角形中，各邊與其所對角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑。已知三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題

3、相關(guān)結(jié)論:

正弦定理的證明 顯然，只需證明任意三角形內(nèi)，任一角的邊與它所對應(yīng)的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。

現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設(shè)AB長度為c。

若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c = 2R。

若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BD交⊙O于D，連接DA，顯然BD=2R?！咴谕瑘A或等圓中直徑所對的圓周角是直角?！唷螪AB是直角。

若∠C為銳角，則D與C落于AB的同側(cè)，此時 ∵在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等。

若∠C為鈍角，則D與C落于AB的異側(cè)，此時∠D=180°-∠C，亦可推出

在△DAB中，應(yīng)用正弦函數(shù)定義，知

因此，對任意三角形的任一角及其對邊，均有上述結(jié)論。

考慮同一個三角形內(nèi)的三個角及三條邊，應(yīng)用上述結(jié)果?？傻?/p>

故對任意三角形，定理得證。

正弦定理意義

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式。由正弦定理在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。

一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

第三篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因為過C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因為b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。