第一篇：余弦定理證明案例分析

余弦定理證明案例分析

秭歸二中董建華

我今年教高一（3）、一（7）班兩班數(shù)學(xué)，在證明余弦定理時，上午第二節(jié)在一（3）班上數(shù)學(xué)，在證明余弦定理時，我是這樣上課的：

同學(xué)們，前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理及其證，現(xiàn)在請同學(xué)們考慮這樣一個問題，已知三角形的兩邊及夾角如何求夾角的對邊。

即：在△ABC中，已知AC?b,BC?a,及?C，求C。

請同學(xué)們思考后回答這個問題，同學(xué)們沉默了

三五分鐘，開始相互討論，并得出了如下解法：

過A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，CD?ACcos?bcosc,在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，用的是初中的知識，我們請同學(xué)們繼續(xù)想，我們學(xué)了向量，能否用向量的知識加以證明呢？

表現(xiàn)出一片茫然，并開始畫圖分析，討論終于得出

????????????????????????????2????????????2????2????????AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2|AC|?|BC|

????2?cos(180?B)?BC?b2?2abcosB?a2，即。c2?a2?b2?2abcosc 這樣一個余弦定理證明下來，同學(xué)們分析、觀察、討論用了近30分鐘。我覺得這樣上課太浪費時間，這么簡單的問題，花這么多時間去討論。

于是我在一（7）班一上課就開門見山的說：“前面我們學(xué)習(xí)了正弦定理及其證明，這節(jié)課我們主要分析余弦定理，即：，a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC ”

現(xiàn)在我們來證明c2?a2?b2?2abcosC ：

????????????????2????????????????證：?AB?AC?BC?AB?AB=（AC?BC）（?AC

?????2????????????2?AC?2AC?BC?BC?b2?2bacosc?a

2即：c2?a2?b2?2abcosc，同理可證其余兩個，同學(xué)們聽懂了沒有，大家齊答聽懂了。前后不過5 分鐘左右的時間，我當(dāng)時還感覺我講得不錯，反正只要學(xué)生聽懂了就行。

結(jié)果一個星期后，有一個小測驗，試卷上剛好有一題是用向量的方法證明余弦定理，成績下來，一（3）班有41人做對了此題，一（7）班僅有7人做對了此題。兩個平行班，一個老師教，方法不一樣，效果卻相差如此之大，我對此進(jìn)行了案例反思。

反思案例：

1、定理的證明重在教師引導(dǎo)，放手讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、觀察、分析得出結(jié)論，如采取注入式教師，雖老師一教學(xué)生能聽懂，但畢竟不比自己親手得出的東西印象深刻。

2、引導(dǎo)學(xué)生分析問題，表面上看浪費了許多時間，但教會了學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，以后遇到許多類似的問題根本不需老師重復(fù)去教，學(xué)生自己會分析，所以從整體上節(jié)約了時間。

3、我在前一節(jié)課完全是以學(xué)生為主體，后一節(jié)課完全是以老師為主體，在課堂教學(xué)中，應(yīng)將教師的主導(dǎo)作用將學(xué)生的主體作用表現(xiàn)出來，讓教學(xué)效果達(dá)到更優(yōu)化。

總之，通過兩節(jié)課，效果的比較，使我認(rèn)識到在課堂上要充分引導(dǎo)學(xué)生去分析、觀察、發(fā)現(xiàn)、討論、探究問題，讓學(xué)生做課堂的演員，教師僅僅是節(jié)目的主持人，分工明確，一節(jié)課才是一節(jié)完整的課。

第二篇：余弦定理教學(xué)案例分析

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“情境.問題.反思.應(yīng)用”----“余弦定理”教學(xué)案例分析

作者：王兵 發(fā)布日期：2007-11-

1[摘要]：辯證唯物主義認(rèn)識論、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀和建構(gòu)主義教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀指導(dǎo)下的“情境.問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)實驗，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、形成獨立思考的習(xí)慣，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識是目的，因此所設(shè)情境要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。“余弦定理”具有一定廣泛的應(yīng)用價值，教學(xué)中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境。

[關(guān)鍵詞]：余弦定理；解三角形；數(shù)學(xué)情境

一、教學(xué)設(shè)計

1、教學(xué)背景

在近幾年教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)這樣的怪現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要，但很難；學(xué)得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學(xué)，我們才不會去理會，況且將來用數(shù)學(xué)的機(jī)會很少；許多學(xué)生完全依賴于教師的講解，不會自學(xué)，不敢提問題，也不知如何提問題。這說明了學(xué)生一是不會學(xué)數(shù)學(xué)，二是對數(shù)學(xué)有恐懼感，沒有信心，這樣的心態(tài)怎能對數(shù)學(xué)有所創(chuàng)新呢？即使有所創(chuàng)新那與學(xué)生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué)，認(rèn)為多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān)，只有在解決與現(xiàn)實世界相關(guān)聯(lián)的問題中，所建構(gòu)的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在 2003級進(jìn)行了“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題”教學(xué)實驗，通過一段時間的教學(xué)實驗，多數(shù)同學(xué)已能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式，平時能主動思考，敢于提出自己關(guān)心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2、教材分析

“余弦定理”是全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本 ?必修）數(shù)學(xué)第一冊（下）的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出，學(xué)生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

3、設(shè)計思路

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認(rèn)知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。

為此我們根據(jù)“情境--問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境--提出問題--解決問題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達(dá)式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點：一是證明的起點；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。④由學(xué)生獨立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問題。

二、教學(xué)過程

1、設(shè)置情境

自動卸貨汽車的車箱采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿 BC的長度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°20′，AC的長為1.40m，計算BC的長（保留三個有效數(shù)字）。

2、提出問題

師：大家想一想，能否把這個實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題？（數(shù)學(xué)建模）

能，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的長。

師：能用正弦定理求解嗎？為什么？

不能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊。師：這個問題的實質(zhì)是什么？

在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3、解決問題

師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 先從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。（特殊化）可以先在直角三角形中試探一下。

直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C為直角）斜三角形ABC中（如圖3），過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（聯(lián)想構(gòu)造）師：垂足 D一定在邊BC上嗎？

不一定，當(dāng)角 C為鈍角時，點D在BC的延長線上。（分類討論，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問題）

在銳角三角形 ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC 又 BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2-2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

在鈍角三角形 ABC中，不妨設(shè)角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長線于D，在直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2-2abcosC

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

同理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

師：大家回想一下，在證明過程易出錯的地方是什么？

4、反思應(yīng)用

師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系，請大家考慮一下，余弦定理能夠解決哪些問題？

知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

師：請同學(xué)們用余弦定理解決本節(jié)課開始時的問題。（請一位同學(xué)將他的解題過程寫在黑板上）

解：由余弦定理，得

BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2-2AB.ACcosA

＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571

∴ BC≈1.89(m)

答：頂桿 BC約長1.89m。

師：大家回想一想，三角形中有六個元素，三條邊及三個角，知道其中任意三個元素，是否能求出另外的三個元素？

不能，已知的三個元素中，至少要有一個邊。

師：解三角形時，何時用正弦定理？何時用余弦定理？

已知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊，解三角形時，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解三角形時，利用余弦定理。鞏固練習(xí)：課本第 131頁練習(xí)1⑵、2⑵、3⑵、4⑵

三、教學(xué)反思

本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境.問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一?！坝嘞叶ɡ怼本哂袕V泛的應(yīng)用價值，故本課中從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應(yīng)用舉例的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、習(xí)題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進(jìn)行深入、細(xì)致、全面的研究，便不難發(fā)現(xiàn)教材中有不少可用的素材。

“情境.問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)模式主張以問題為“紅線”組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵，教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境（不僅具有豐富的內(nèi)涵，而且還具有“問題”的誘導(dǎo)性、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動過程．把“質(zhì)疑提問”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力作為教與學(xué)活動的起點與歸宿。

第三篇：余弦定理教學(xué)案例分析

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“情境.問題.反思.應(yīng)用”----“余弦定理”教學(xué)案例分析

作者： 王兵 發(fā)布日期：2007-11-1

摘要]： 辯證唯物主義認(rèn)識論、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀和建構(gòu)主義教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀指導(dǎo)下的“情境.問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)實驗，旨在培養(yǎng)學(xué)的數(shù)學(xué)問題意識，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、形成獨立思考的習(xí)慣，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意和實踐能力。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識是目的，因此所設(shè)情境要符合學(xué)生的“最發(fā)展區(qū)”?！坝嘞叶ɡ怼本哂幸欢◤V泛的應(yīng)用價值，教學(xué)中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境。

關(guān)鍵詞]： 余弦定理；解三角形；數(shù)學(xué)情境、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)背景

近幾年教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)這樣的怪現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要，但很難；學(xué)得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學(xué)，們才不會去理會，況且將來用數(shù)學(xué)的機(jī)會很少；許多學(xué)生完全依賴于教師的講解，不會自學(xué)，不敢提問題，也不知如何提問題。說明了學(xué)生一是不會學(xué)數(shù)學(xué)，二是對數(shù)學(xué)有恐懼感，沒有信心，這樣的心態(tài)怎能對數(shù)學(xué)有所創(chuàng)新呢？即使有所創(chuàng)新那與學(xué)生們所代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué)，認(rèn)為多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān)，只有在決與現(xiàn)實世界相關(guān)聯(lián)的問題中，所建構(gòu)的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在 2003級進(jìn)行了“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)問題”教學(xué)實驗，通過一段時間的教學(xué)實驗，多數(shù)同學(xué)已能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式，平時能主動思考，敢于提出自己關(guān)心的問題和想，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。、教材分析

余弦定理”是全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本 ?必修）數(shù)學(xué)第一冊（下）的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本節(jié)課是正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出，學(xué)生是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。、設(shè)計思路

構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認(rèn)知能力，形成對問題的某種解釋。且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的識經(jīng)驗。

此我們根據(jù)“情境--問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境--提出問題--解決問題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)問題作為教學(xué)的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問題”學(xué)習(xí)鏈，學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、驗數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗，通過邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達(dá)式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。

；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。④由明時，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點：一是證明的起點

生獨立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問題。、教學(xué)過程、設(shè)置情境

動卸貨汽車的車箱采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿 BC的長度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點B與箱支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°20′，AC的長為1.40m，計算BC的長（保留三個有效數(shù)字）。、提出問題

：大家想一想，能否把這個實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題？（數(shù)學(xué)建模），在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的長。

：能用正弦定理求解嗎？為什么？

能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊。

：這個問題的實質(zhì)是什么？

三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。、解決問題

：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。（特殊化）

以先在直角三角形中試探一下。

角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C為直角）斜三角形ABC中（如圖3），過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直三角形。（聯(lián)想構(gòu)造）

：垂足 D一定在邊BC上嗎？

一定，當(dāng)角 C為鈍角時，點D在BC的延長線上。

分類討論，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問題）

銳角三角形 ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, ＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2-2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB 鈍角三角形 ABC中，不妨設(shè)角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長線于D，直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2-2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB 理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB ：大家回想一下，在證明過程易出錯的地方是什么？、反思應(yīng)用

：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系，請大家考慮一下，余弦定能夠解決哪些問題？

三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。

弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

：請同學(xué)們用余弦定理解決本節(jié)課開始時的問題。（請一位同學(xué)將他的解題過程寫在黑板上）

：由余弦定理，得

＝AB 2 ＋AC 2-2AB.ACcosA 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′

3.571 BC≈1.89(m)：頂桿 BC約長1.89m。

：大家回想一想，三角形中有六個元素，三條邊及三個角，知道其中任意三個元素，是否能求出另外的三個元素？

能，已知的三個元素中，至少要有一個邊。

：解三角形時，何時用正弦定理？何時用余弦定理？

知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊，解三角形時，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解角形時，利用余弦定理。

固練習(xí)：課本第 131頁練習(xí)1⑵、2⑵、3⑵、4⑵、教學(xué)反思

課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實，為今后的定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。

設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境.問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一。“余弦定理”具有廣泛的應(yīng)用價值，故本課中從應(yīng)用需出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應(yīng)用舉例的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進(jìn)行深入、細(xì)致、全面的研究，便不難發(fā)現(xiàn)教材中不少可用的素材。

情境.問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)模式主張以問題為“紅線”組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是學(xué)成敗的關(guān)鍵，教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境（不僅具有豐富的內(nèi)涵，而且還具有問題”的誘導(dǎo)性、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更關(guān)注學(xué)生在數(shù)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動過程．把“質(zhì)疑提問”，培養(yǎng)學(xué)

的數(shù)學(xué)問題意識，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力作為教與學(xué)活動的起點與歸宿。

第四篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因為過C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因為b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。