第一篇：大學(xué)中常用的不等式

大學(xué)中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡(jiǎn)單，常用)2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號(hào)相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑a2i∑b2i 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常見(jiàn)的放縮(√是根號(hào))(均用數(shù)學(xué)歸納法證)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)?。齨 6：對(duì)數(shù)不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n<4 3

第二篇：大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

作者：吳瑩

來(lái)源：《學(xué)園》2013年第01期

【摘 要】不等式在科學(xué)研究中的地位很重要，但對(duì)不等式的證明有些同學(xué)無(wú)從下手，用什么方法是個(gè)難題，所以本文對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的不等式的各種證明方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并給出了相應(yīng)的例子。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 中值定理 最值 積分

【中圖分類(lèi)號(hào)】O211 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674－4810（2013）01－0076－02

第三篇：考研數(shù)學(xué)中的不等式證明

考研數(shù)學(xué)中的不等式證明

陳玉發(fā)

鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育處450121

摘要：在研究生入學(xué)考試中，中值定理是一項(xiàng)必考的內(nèi)容，幾乎每年都有與中值定理相關(guān)的證明題．不等式的證明就是其中一項(xiàng)．在不等式的證明中，利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時(shí)這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可使一些不等式的證明簡(jiǎn)化．

關(guān)鍵詞：考研數(shù)學(xué)不等式中值定理冪級(jí)數(shù)

（作者簡(jiǎn)介：陳玉發(fā)，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教育研究．郵編：450121）

微分中值定理是微積分學(xué)中的一個(gè)重要定理，在研究生入學(xué)考試中，幾乎每年都會(huì)有與中值定理相關(guān)的證明題．不等式就是其中一項(xiàng)。下面就考研數(shù)學(xué)中的不等式證明談一下中值定理的應(yīng)用． 在不等式的證明中，利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時(shí)這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可以使一些不等式的證明過(guò)程得到簡(jiǎn)化．下面就歷年考研數(shù)學(xué)中的不等式證明題談一下．

例1（1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）

(2)設(shè)b?a?e，證明a?b ba

xa對(duì)此不等式的證明，一般我們會(huì)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，f(x)?a?x，f(a)?0，然后證明

在x?a時(shí)，f?(x)?0．這個(gè)想法看似簡(jiǎn)單，而實(shí)際過(guò)程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個(gè)簡(jiǎn)便的證明．

證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：ab?ba?b?alogab?b?alnb lna

lnb?lna lna

lnb?lnalna?? b?aa

1???lna，其中e?a???b?lna?b?a?a

?1

??1lna，其中e?a???b． a

原命題得證．

證：Ⅱ 利用微分中值定理，ab??e?blna?alnb

?

?

?

?

?blnb? alnablnb?lna?1? alnab1b?1?ln alnaab1b?1?(ln?ln1)alnaabln?ln1?lna（微分中值定理）?1a

?1

??lna，（1???b）a

原命題得證．

證明Ⅲ 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：

設(shè)b?a?x，原不等式等價(jià)于

aa?xa ?(a?x)a?aa?ax?(a?)x

x?a?(1?

而 xa)，a

ln2a2a?1?lna?x?x?2!xlnnan?x?n!，xxa?(a?1)x2a?(a?1)(a?n?1)xn(1?)a?1?a??()??()?． aa2!an!a

a?(a?1)(a?n?1)n由于x?0，a?e，所以lna?1，lna?．通過(guò)比較以上兩個(gè)級(jí)數(shù)可知原na

不等式成立．

對(duì)于不等式a?(1?

一下．

例2（1992年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a

設(shè)f??(x)?0，f(0)?0，證明對(duì)任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)． 證：不妨設(shè)x1?x2，f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)

f(x1?x2)?f(x2)f(x1)?f(0)?(x1?x2)?(x2)x1?0?

?f?(?1)?f?(?2)，x2??1?x1?x2，0??2?x1?x2，顯然?2??1，而f??(x)?0，所以f?(x)單調(diào)遞減．原不等式得證．

例3（1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）

論證：當(dāng)x?0時(shí),(x2?1)lnx?(x?1)2 ．(x2?1)lnx

證：(x?1)lnx?(x?1)?(x?1)2?1 22

(x?1)lnx?1 x?1

(x?1)lnx?(1?1)ln1??1，（柯西中值定理）x?1?

?ln??(??1)

??1，（?介于1與x之間）

1ln???0． 當(dāng)??1時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)0???1時(shí)，我們可以證明，?

命題得證．

例4（2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第三題）

(15)設(shè)e?a?b?e2，證明lnb?lna?

22224(b?a)． 2e4ln2b?ln2a4證：lnb?lna?2(b?a)??2 e(b?a)e

14?2ln??2，(e?a???b?e2)?e

?1

?ln??2，2e

因?yàn)閑?a???b?e2，所以，?ln??eln?e2?2?2． e?ee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題第（17）題）

證明：當(dāng)0?a?b??時(shí)，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a．

證：令f(x)?xsinx?2cosx??x

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a

?f(b)?f(a)? 0

?f(b)?f(a)?0 b?a

?f?(?)??cos??sin????0，0?a???b??

令f?(x)?xcosx?sinx??，f?(?)?0，f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，0?a?x?b??，所以在(0,?)內(nèi)，f?(x)單調(diào)減少，即f?(x)?0．

原命題得證．

例6（2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第(17)題

(1)比較?1

0lnt[ln(1?t)]ndt與?tnlnt的大小,說(shuō)明理由。01

解：因?yàn)閘nt[ln(1?t)]n

tnlnt[ln(1?t)]n ?tn

?[ln(1?t)nln(1?t)?ln(1?0)n]?[]（拉格朗日中值定理）tt?0

?()?1，0???t?1，1n

?

所以lnt[ln(1?t)]?tlnt。即nn?1

0lnt?t)]dt?n?10tnlnt。

例7（2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題第（18）題）

1?xx2

?cosx?1?，(?1?x?1)．證明：xln1?x2

證：原不等式等價(jià)于：

x2

x[ln(1?x)?ln(1?x)]?1?cosx? 2

xx2

?（僅當(dāng)x?0時(shí)取等號(hào)）?x[ln(1?x)?ln(1?x)]?2sin222

?[ln(1?x)?ln(1?x)]1?（當(dāng)x?0時(shí)）2xxx2sin2?22

11?1??1??1??，（柯西中值定理，其中0???x?1），sin???x

?21?，0???x?1 2(sin???)(1??)x

因?yàn)?sin???)(1??2)?2??2x，所以不等式成立．

利用同樣的方法可以證明當(dāng)?1?x?0時(shí)，不等式成立．

綜上所述，原不等式成立．

xx例8 證明：當(dāng)x?0時(shí)，x?e?1?xe．

證：當(dāng)x?0時(shí)，ex?1xx?e?1?xe?1??e xxx

ex?e0

?1??ex，（利用柯西中值定理）x?0

?1?e??ex，其中0???x．

原不等式成立．

例9 證明：當(dāng)0?x??

2時(shí)，sinx?tanx?2x．

證明：sinx?tanx?2x?sinx?tanx?2 x

?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2 x?0

cos??sec2??2（柯西中值定理）?1

?cos??sec2??2，因?yàn)?/p>

cos??sec2???所以，原不等式成立．

中值定理是證明不等式時(shí)常用的一個(gè)非常有效的工具．我們習(xí)慣于構(gòu)造輔助函數(shù)，利用單調(diào)性來(lái)證明不等式．而函數(shù)的單調(diào)性還是通過(guò)拉格朗日中值定理進(jìn)行證明的．因此，利用單調(diào)性證明不等式的基礎(chǔ)還是微分中值定理．以上幾例體現(xiàn)了中值定理在證明不等式時(shí)的效果．

?2，

第四篇：導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

指導(dǎo)教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極值，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，凹凸性等進(jìn)行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結(jié)了應(yīng)用各種方法進(jìn)行證明的基本思路。

關(guān)鍵字：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數(shù)學(xué)里已介紹過(guò)若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法等。然而，有些不等式用初等數(shù)學(xué)的方法是很難證明的，但是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明卻相對(duì)較容易些，在處理與不等式有關(guān)的綜合性問(wèn)題時(shí)，也常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的性態(tài)。因此，很多時(shí)候可以以導(dǎo)數(shù)為工具得出函數(shù)的性質(zhì)，從而解決不等式問(wèn)題，現(xiàn)具體討論導(dǎo)數(shù)在解決不等式有關(guān)的問(wèn)題時(shí)的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，證明不等式則是它的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明的不等式的類(lèi)型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當(dāng)?shù)倪x取函數(shù)f(x)并使函數(shù)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導(dǎo)數(shù)形式和M或m形式上的聯(lián)系。

（2）通過(guò)求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計(jì)算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進(jìn)而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?x，則顯然f在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又

第五篇：高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

摘要：各種不等式就是各種形式的數(shù)量和變量之間的相互比較關(guān)系或制約關(guān)系，因此，不等式很自然地成為分析數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)諸分支學(xué)科中極為重要的工具，而且早已成為 專(zhuān)門(mén)的研究對(duì)象。高等數(shù)學(xué)中存在大量的不等式證明，本文主要介紹不等式證明的幾種 方法，運(yùn)用四種通法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值或最值以及積分中值定理來(lái)解 決不等式證明的問(wèn)題。我們可以通過(guò)這些方法解決有關(guān)的問(wèn)題，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新精神，創(chuàng)新思維，使一些較難的題目簡(jiǎn)單化、方便化。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；不等式；極值；單調(diào)性；積分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（畢業(yè)論文參考網(wǎng)原創(chuàng)論文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

文章來(lái)自：全刊雜志賞析網(wǎng)(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm

【摘要】不等式證明是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，通過(guò)解答考研數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不等式試題，對(duì)一些常用的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 輔助函數(shù)； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)就是不等式的證明，大多數(shù)學(xué)生在遇到不等式證明問(wèn)題不知到如何下手，實(shí)際上在許多不等式問(wèn)題都存在一題多解，針對(duì)不等式的證明，以考研試題為例，總結(jié)了幾種證明不等式的方法，即中值定理法、輔助函數(shù)法、泰勒公

式法、函數(shù)的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來(lái)證明不等式首先要熟記各個(gè)中值定理的應(yīng)用條件，可將原不等式通過(guò)變形找到一個(gè)輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿足中值定理的條件，證明的關(guān)鍵是處理好ξ點(diǎn)，分析函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)反復(fù)應(yīng)用同一定理或同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理進(jìn)行證明的情況。

例1設(shè)e4e2(b-a)。

解：對(duì)函數(shù)ln2x在［a,b］上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ設(shè)φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2當(dāng)x>e時(shí)，φ′(x)<0，所以φ(x)單調(diào)減少，從而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，可設(shè)φ(x)=ln2x-4e2x

例2設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，證明在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒為常數(shù)且f(a)≠f(b)，故至少存在一點(diǎn)c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)則在［a,c］上f(x)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明

輔助函數(shù)方法比較常用，其主要思想是將不等式通過(guò)等價(jià)變形，找到一個(gè)輔助函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可證明出結(jié)論。常用的方法是，直接將不等號(hào)右端項(xiàng)移到不等號(hào)左端，另不等號(hào)右端為零，左端即為所求輔助函數(shù)。

例3試證：當(dāng)x>0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：設(shè)f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可見(jiàn)，當(dāng)00，因此有當(dāng)00。又由f′(1)=0及f′(x)是單調(diào)增加的函數(shù)推知，當(dāng)00，因此進(jìn)一步有f(x)≥f(1)=0(00時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4設(shè)b>a>e，證明ab>ba。

分析：要證ab>ba，只需證blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因?yàn)閒′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a時(shí)單調(diào)增加。因此當(dāng)bφa時(shí)，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,則有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)單調(diào)減少，故當(dāng)b>a>e時(shí)，有l(wèi)naa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展開(kāi)式證明

泰勒展開(kāi)式的證明常用的是將函數(shù)f(x)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)分析余項(xiàng)在ξ點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號(hào)，也可將余項(xiàng)舍去而得到不等式。

例5設(shè)f(x)在［0，1］上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，c是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，證明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二階可導(dǎo)，應(yīng)考慮用二階泰勒展開(kāi)式。本題涉及證明|f′(x)|≤2a+b2，應(yīng)在特定點(diǎn)x=c處將f(x)按泰勒公式展開(kāi)。

解： 對(duì)f(x)在x=c處用泰勒公式展開(kāi)，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述兩式相減得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因當(dāng)c∈(0,1)時(shí)，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因這里ξ與x有關(guān)，可將其記為ξ(x)，那么當(dāng)令x分別取0和1時(shí)，對(duì)應(yīng)的ξ可分別用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一個(gè)常用的不等式，在證明過(guò)程中我們可以直接利用常用不等式進(jìn)行證明，即方便又快捷。

例6設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0,證明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2?！糺f)〗

證明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函數(shù)圖形的凹凸性進(jìn)行證明

函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù)f(x)，利用函數(shù)f(x)在所給區(qū)間［a,b］的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的凹凸性。

f′(x)>0 函數(shù)為凹的,則 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函數(shù)為凸的,則 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，從而證明出結(jié)論。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

類(lèi)似的如：證明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

文章來(lái)自：全刊雜志賞析網(wǎng)(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72_3.htm