第一篇：高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見不等式及其應(yīng)用

本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

題 目：高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見不等式及其應(yīng)用 學(xué) 生： 學(xué)號： 學(xué) 院： 專業(yè)：

入學(xué)時(shí)間： 年 月 日 指導(dǎo)教師： 職稱：

完成日期： 年 0 月 日 高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見不等式及其應(yīng)用

摘要：在高等數(shù)學(xué)中，不等式的證實(shí)和應(yīng)用是我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識常見難題之一。本文將的介紹這些不等式，并討論它們的證明、變形及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；H?lder不等式；Minkowski不等式

..A few common inequality in the application of higher mathematics

Abstract: In higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge.This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality;Cauchy inequality;Holder inequality;Minkowski inequality

目 錄

0 引言（緒論）................................................4 1.1平均值不等式...............................................4 1.2平均值不等式應(yīng)用...........................................5 1.3平均值不等式的推廣...........................................5 2 柯西不等式..................................................6 2.1 柯西不等式定理及證明.......................................6 3 施瓦茨等式..................................................8 3.1施瓦茨不等式定理...........................................8 3.2 施瓦茨不等式應(yīng)用..........................................9 3 4 H?..lder不等式..............................................10 4.1 H?..lder不等式定理形式及證明...............................10 4.2 H?..lder不等式的應(yīng)用.......................................11 5 Minkowski不等式.............................................12 5.1 Minkowski不等式定理及證明.............................12 6 結(jié)束語......................................................13 參考文獻(xiàn).......................................................13 致謝...........................................................14

0 引 言 不等式是高等數(shù)學(xué)知識研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同時(shí)，不等式本身非常抽象，邏輯性很高，證明方法多種多樣，應(yīng)用變化萬千。本文將主要介紹柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定義，定理，及應(yīng)用。

1.1平均值不等式

基本概念

定理1 對任意n個(gè)實(shí)數(shù)ai?0?i?1,2,?,n?恒有

na1a2?an?a1?a2???an（1）

n（即幾何平均值?算術(shù)平均值）,其中當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立。證 i 首先有

a?a2?a?a2??a1?a2?a1a2??1（2）?????12?2??2?22（相等當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2）類似的，任意的k?N,重復(fù)上面方法k次2ka1a2?a2ka1?a2???a2ka1?a2a3?a4a2k?1?a2k ?????2222k（等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???a2k時(shí)成立）。

ii記A?立，則

A?nA?Aa1?a2???an?An?1??a1a2?anA n?1n?1a1?a2???an,則nA?a1?a2???an.假設(shè)不等式對n?1也成n故 An?1?a1a2?anA，An?a1a2?an，A??a1a2?an?

1n因此不等式對任意n成立，等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立。1.2 均值不等式的應(yīng)用

下面通過例題說明均值不等式的應(yīng)用 例1 設(shè)正值函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù)，試證：

1lnf?x?dx?0e??f?x?dx.01證：由已知條件得f?x?,lnf?x?在?0,1?上可積。將閉區(qū)間?0,1?分成n等分，利用積分定義得，?10f?x?dx?lim1n??n?nf??i??，i?1?n?1?1nnf?x?dx?lim1n0lnn??n?lnf??i???limln??i?1?n?n?????f??i??i?1?n?????，1n1lnf?x?dxlimln??f?i??nn得 e?10?en??????i?1n???????lim??nn??????f?i?????.i?1?n??再由定理1，得

1?n???f??i????n1n?i?1?n????n?f??i?i?1?n??，故

e?10lnf?x?dx??10f?x?dx.1.3 均值不等式的推廣

定義1 設(shè)ai?0 ?i?1,2,?,n?，記

1nM?a????1?ar?rr?ni? ?r?0?，i?1?稱Mr?a?為a1,a2,?an的r次冪平均.它與算術(shù)平均的關(guān)系為

M1?a??a1?a2??ann?A?a?，Mr?a???A?ar??1r

定義 2（加權(quán)平均）,pi?0, ?i?1,2,?,n?, 6 ?r??piai記Mr?a,p???i?1n???pi?i?1n???，???1n1r??n1G?a,p?????apii???pip1ppn?pn?i?1?a1a22?an2???p.i?1???p1Mr?a,p?和G?a,p?分別稱為a1,a2,?,an的（r次冪）算數(shù)平均。

定理2 設(shè)a1,a2,?,an不全相等，則有G?a,p??M1?a,p?，即：appp11a22?ann?p1a1??pnan ?pi?0,?pi?1?.亦即：

?ap1pp1??pnan1a22?ann?p1?p2??ppn?1a1p?p?p

12?n只有a1,a2,?,an全相等時(shí)“<”才成為“=”.柯西不等式

2.1 柯西不等式定理及證明

定理3 設(shè)ai,bi為任意數(shù)?i?1,2,?,n?則

?n2???a?n2nibi??i?1??ai??b2i，（3）

i?1i?1等號當(dāng)且僅當(dāng)ai與bi成比例時(shí)成立。（3）式稱為柯西不等式。

證法Ⅰ（判別式法）

n0???aix?bi?2?i?1??n??a2?2?n??n2?i??x?2???aibi?x??i?1???bi?.i?1i?1?關(guān)于x的二次三項(xiàng)式保持非負(fù)，??b2?4ac?0故判別式

?2??nnn?a?2ibi??i?1??a2i?1?bi?0.i?i?1 證法Ⅱ（配方法）因

2nnn?n?2222ai??bi???aibi???ai??bj??aibi??ajbj?i?1i?1i?1j?1i?1j?1?i?1? nnnnn12?????ai2b2?abab?ab?ab?0,???jiijjijji2i,j?1i?1j?1i?1j?1nn2故（1）式獲證.當(dāng)且僅當(dāng)aibj?ajbi?i,j?1,2,...,n?時(shí)成立，上式可以等于0。

證法Ⅲ（利用二次型）

0???aix?biy?i?1n2?n2?2?n??n2?2???ai?x?2??aibi?xy???bi?y, ?i?1??i?1??i?1?即關(guān)于x,y的二次型非負(fù)定，因此

?ai?1ni?1n2i?abi?1nnii?0，?ab此即式（1）.ii?bi?12i 注 用方法Ⅲ，可以將結(jié)果進(jìn)行推廣.因

0???ai1x1?ai2x2???aimxm?i?1n2???aikaijxkxji?1k,j?1mnm

?n?????aikaij?xkxj,k,j?1?i?1?此式右邊為x1,x2,?,xm的二次的型，此式表明該二次的型非負(fù)定，因此系數(shù)行列式

?a?n?Det??aikaij???i?1?n2i1?ai?1nni?1?ai?1ni?1ni1i22i2a????a?ai?1ni?1i?1nni1imai2ai1ai1?a?i2aim?0.（4）

2im?im?ai?1?ai?1n?imai2??a等號當(dāng)且僅當(dāng)?a11,a21,?,an1?,?a12,a22,?,an2?,?,?a1m,a2m,?,anm?線性相關(guān)【即：存在不全為零的常數(shù)x1,?xm使得ai1x1?ai2x2???aimxm?0 ?i?1,2,?,n?】成 8 立.施瓦茨不等式

柯西不等式的積分形式被稱為施瓦茲不等式，它可以通過積分的定義，得到柯西不等式直接推動，因此柯西不等式的證明可以模擬類似的證法。3.1 施瓦茨不等式

定理4 若f?x?、g?x?在?a,b?上可積，則

bb??????fxgxdx?f??a??a??22?x?dx?ag2?x?dx.（5）

b若f?x?、g?x?在?a,b?連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)?,?,使得?f?x???g?x?時(shí)成立，等號相等(?,?不同時(shí)為零).證法I 將?a,b?n等分，令xi?a?2i?b?a?,應(yīng)用柯西不等式，n21n?1n???f?xi?g?xi????fni?1?ni?1?1n2?xi???g?xi?，ni?1令n??取極限，即得式（1）證法II

b?f?x?g?x?dx???af?x?dx?ag?x?dx????a?bbbb1b21b222??f?x?dx?g?y?dy??f?y?dy?g?x?dx??f?x?g?x?dx?f?y?g?y?dyaaaa2a2a

b1b??dy?f2?x?g2?y??f2?y?g2?x??2f?x?g?x?f?y?g?y?dxa2ab1b2??dy??f?x?g?y??g?x?f?y??dx?0,a2a22bb2??這就證明了式（5）.因此，如果f?x?、g?x?連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)?,?不同時(shí)為零，使得?f?x???g?x?時(shí)成立.類似可以推廣到一般情況.若函數(shù)fi?x?,gi?x? ?i?1,2,?,m?在?a,b?上可積，則

bDet???afi?x?fj?x?dx???0.??如果fi?x?在?a,b?連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)fi?x? ?i?1,2,?,m?線性相關(guān)，等式時(shí)成立 9 的。（即存在不全為零的常數(shù)?1,?2,?,?m使得?1f1?x???2f2?x?????mfm?x??0時(shí)成立。）

3.2施瓦茨不等式的應(yīng)用

應(yīng)用施瓦茨不等式，可證明一些不等式，但使用時(shí)應(yīng)注意一些技巧，下面介紹一些例題，說明施瓦茨不等式的應(yīng)用。

例1 已知f?x??0,在?a,b?連續(xù)，?baf?x?dx?1,k任意實(shí)數(shù)，證：

?22??b???baf?x?coskxdx???????af?x?sinkxdx???1.（6）證(1)式左端第一項(xiàng)應(yīng)用施瓦茨不等式

???b2?af?x?coskxdx????????f?x??f?x?coskx?2dx?????bf?x?dx??baaf?x?cos2kxdx（7）

??baf?x?cos2kxdx.同理 ????baf?x?sinkxdx?????baf?x?sin2kxdx.（8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b??a?b?上有連續(xù)n階f?n??x?，并且f?k??a??0,k?0,1,?,n?1.求證：

m?k???b??k??112?2?1?2?af?x?dx?????2???b?a?m?k???b?f?m??x??2dx?2?a??，（9）

這里，0?k?m?n.分析 i先設(shè)法證明n?1 ?此時(shí)k?0,m?1?，我們只要證明的結(jié)論是：

假若??x?在?a,b?上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，??a??0,則必有

2?1?2'????fxdx?.(10)???a???x??dx??????b?a????????a??2?bb121212為把?與?'聯(lián)系起來，用公式

??x????'?x?dx.ax應(yīng)用施瓦茨公式

???x??2xxxx2'2''2????????t?dt.(11)???tdt?1dt??tdt?x?a???a????aaa??2??兩邊同時(shí)積分

1?22?'2'2???????????????xdx?x?a?tdtdx??tdx?a?????a?a?a?a?abbxbx??2??'2??b?a?112'2'2?x?a?2???a??t?dt????a?x?a???x?dx???x?a222xx?bb2.???t?dtab兩邊同時(shí)開方，變得（10）式。

ii回到一般情況，令??x??f?k??x?，重復(fù)利用上述證明方法，即可證（9）式。H?lder不等式

4.1 H?lder不等式基本形式及證明

定理5 設(shè)ai,bi?1?i?n?是2n個(gè)正實(shí)數(shù)，??0,??0,????1, 則：

??....?aibi?i?1n??n??n????ai???bi?.?i?1??i?1?證： 令A(yù)??a,B??bii?1i?1ni?1nni 那么

?A??B???aibi??ai??bi??????? i?1?A??B?n???lgaia??lgi?AB?lgaiaaa??lgi?i??iAB?lgAB?????1? ?????? 11（利用Jensen不等式）

aa?ai??bi???????i??i

AB?A??B????n?n?ai??bi???????ai??bi?????1 ?Ai?1Bi?1i?1?A??B?n??即

????????ab?AB?ab??????iiii?, i?1?i?1??i?1?得證。

Holder不等式還有另一種表示形式，令nn?n???1111?p?q,??,??1及ai?xi,xi?ai,bi?yi,yi?bipqpq????????p?q???xiyi??aibi???ai????bi????xi????yi? i?1i?1?i?1??i?1??i?1??i?1?則：

1212nnn?n?n1pn1q?2??2?xiyi???xi???yi? ?i?1?i?1??i?1?4.2 H?lder不等式的應(yīng)用..nnnpq??????fx??p,q?R,x?0，例3 設(shè)的最小值。??求函數(shù)

2sinxcosx??解：取4525??,??5,于是，??1.由

4??511Holder不等式有

45p?q? 4545p?sinx??sinx?25?q4525?cosx??cosx?25q??p????sin2x?cos2xcosx??sinx??15?pqf?x?????p?q?sinxcosx?4545??, ??54 12 p22?p?5sinxsinx?當(dāng)且僅當(dāng)?，tanx??時(shí)，等號成立。所以，f?x?的最小值是2??qcosx?q?cosx44?5??p?q5?。????54 Minkowski不等式

5.1 Minkowski不等式基本形式及證明

定理6 設(shè)ak,bk?mk?1?k?n?均為實(shí)數(shù)，p?1則

1pn1p????ak?bk???mk???k?1np????p?p?p??a?b???a?????????kkk??k?1??k?1??k?1???nn1p1p特別地，當(dāng)p?2及n?2時(shí)，?n??n???ai????bi???i?1??i?1?n22a1?b1?a2?b2???an?bn

222222證： 由Holder不等式可知：

(??i?i)?(??ik)(??ik1)i?1i?1i?1n1kn1k1

由上述不等式可得：

?(?i??i)???i(?i??i)ki?1i?1n1kn1k1i?1i?1nnk?1???i(?i??i)k?1?i?11knn

1k1(??ik)[?(?i??i)(k?1)k1]?(??ik)[?(?i??i)(k?1)k1]i?1i?1n

其中k?1,11??1,(k?1)k1?k,所以 kk1k(???)?ii?[(??)?(??)][?(?i??i)]i?1i?1i?1i?1nn1kkin1kkin1kk1

即：

上述不等式稱為明可夫斯基不等式．當(dāng)k=2時(shí)，它的幾何意義是兩個(gè)向量和的模小于每個(gè)向量模的和．結(jié)束語

i?1i?1i?1[?(?i??i)]?(??)?(??)n1kkn1kkin1kki以上介紹了幾類常見的不等式。由上述實(shí)例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用非常廣泛，還有均值不等式的定理及推廣，應(yīng)用到許多高等數(shù)學(xué)證明題中，可以做到深入淺出，使問題的解決更加簡單。也突顯了不等式證明方法靈活多樣。但在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)具體問題具體分析，對待不同的問題，思維要靈活，思路要清晰，找出問題的關(guān)鍵所在，把握問題本質(zhì)，快速而準(zhǔn)確地應(yīng)用這幾個(gè)常見的不等式取解決高等數(shù)學(xué)中的證明問題。

參考文獻(xiàn)：

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第二篇：高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

摘要：各種不等式就是各種形式的數(shù)量和變量之間的相互比較關(guān)系或制約關(guān)系，因此，不等式很自然地成為分析數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)諸分支學(xué)科中極為重要的工具，而且早已成為 專門的研究對象。高等數(shù)學(xué)中存在大量的不等式證明，本文主要介紹不等式證明的幾種 方法，運(yùn)用四種通法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值或最值以及積分中值定理來解 決不等式證明的問題。我們可以通過這些方法解決有關(guān)的問題，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新精神，創(chuàng)新思維，使一些較難的題目簡單化、方便化。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；不等式；極值；單調(diào)性；積分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（畢業(yè)論文參考網(wǎng)原創(chuàng)論文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

文章來自：全刊雜志賞析網(wǎng)(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm

【摘要】不等式證明是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，通過解答考研數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不等式試題，對一些常用的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 輔助函數(shù)； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)就是不等式的證明，大多數(shù)學(xué)生在遇到不等式證明問題不知到如何下手，實(shí)際上在許多不等式問題都存在一題多解，針對不等式的證明，以考研試題為例，總結(jié)了幾種證明不等式的方法，即中值定理法、輔助函數(shù)法、泰勒公

式法、函數(shù)的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來證明不等式首先要熟記各個(gè)中值定理的應(yīng)用條件，可將原不等式通過變形找到一個(gè)輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿足中值定理的條件，證明的關(guān)鍵是處理好ξ點(diǎn)，分析函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過程中也會出現(xiàn)反復(fù)應(yīng)用同一定理或同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理進(jìn)行證明的情況。

例1設(shè)e4e2(b-a)。

解：對函數(shù)ln2x在［a,b］上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ設(shè)φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2當(dāng)x>e時(shí)，φ′(x)<0，所以φ(x)單調(diào)減少，從而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，可設(shè)φ(x)=ln2x-4e2x

例2設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，證明在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒為常數(shù)且f(a)≠f(b)，故至少存在一點(diǎn)c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)則在［a,c］上f(x)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明

輔助函數(shù)方法比較常用，其主要思想是將不等式通過等價(jià)變形，找到一個(gè)輔助函數(shù)，通過求導(dǎo)確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可證明出結(jié)論。常用的方法是，直接將不等號右端項(xiàng)移到不等號左端，另不等號右端為零，左端即為所求輔助函數(shù)。

例3試證：當(dāng)x>0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：設(shè)f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可見，當(dāng)00，因此有當(dāng)00。又由f′(1)=0及f′(x)是單調(diào)增加的函數(shù)推知，當(dāng)00，因此進(jìn)一步有f(x)≥f(1)=0(00時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4設(shè)b>a>e，證明ab>ba。

分析：要證ab>ba，只需證blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因?yàn)閒′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a時(shí)單調(diào)增加。因此當(dāng)bφa時(shí)，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,則有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)單調(diào)減少，故當(dāng)b>a>e時(shí)，有l(wèi)naa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展開式證明

泰勒展開式的證明常用的是將函數(shù)f(x)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開，通過分析余項(xiàng)在ξ點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號，也可將余項(xiàng)舍去而得到不等式。

例5設(shè)f(x)在［0，1］上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，c是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，證明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二階可導(dǎo)，應(yīng)考慮用二階泰勒展開式。本題涉及證明|f′(x)|≤2a+b2，應(yīng)在特定點(diǎn)x=c處將f(x)按泰勒公式展開。

解： 對f(x)在x=c處用泰勒公式展開，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述兩式相減得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因當(dāng)c∈(0,1)時(shí)，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因這里ξ與x有關(guān)，可將其記為ξ(x)，那么當(dāng)令x分別取0和1時(shí)，對應(yīng)的ξ可分別用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一個(gè)常用的不等式，在證明過程中我們可以直接利用常用不等式進(jìn)行證明，即方便又快捷。

例6設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0,證明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2?！糺f)〗

證明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函數(shù)圖形的凹凸性進(jìn)行證明

函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù)f(x)，利用函數(shù)f(x)在所給區(qū)間［a,b］的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的凹凸性。

f′(x)>0 函數(shù)為凹的,則 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函數(shù)為凸的,則 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，從而證明出結(jié)論。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

類似的如：證明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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第三篇：2014年高等數(shù)學(xué)競賽——專題五不等式

專題五不等式

1.設(shè)f(x)在 [0, 1]上連續(xù),非負(fù)，單調(diào)減。

2.?f(x)dx?a?f(x)dx(0?a?1)00a1

b?abf(x)dx 3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，單調(diào)增。求證:?xf(x)dx?a2?ab

4.設(shè)f(x)在 [0, 1]上可導(dǎo),且f(0)?0,0?f?(x)?1.1135.???0f(x)dx????0f(x)dx.??2

sinx?(0?x?)?x2

b2(b?a)(0?a?b)7.求證: ln?ab?a6.求證: 2?

8.比較e?與?e的大小.9．設(shè)limx?0f(x)?1，且f??(x)?0，證明：f(x)?x.（泰勒，最值，中值）x

10.設(shè)f(x)在[0,??)二階可導(dǎo)，且f(0)?1,f?(0)?1,f??(x)?f(x),(x?0).求證：f(x)?ex.11.設(shè)f(x)在??1,1?內(nèi)有f??(x)?0，且limx?0f(x)?sinx?2，證明在??1,1?內(nèi)有x

f(x)?3x.12.證明：0?x?1時(shí) 有?xln(1?x)?1?xarcsinx

x13.試?yán)煤瘮?shù)f(x)?a,對于a?1,x?1,證明以下不等式

?a.n21naa?a?lna(n?1)2

1n?11n1n?1

第四篇：導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

指導(dǎo)教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極值，冪級數(shù)展開式，凹凸性等進(jìn)行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結(jié)了應(yīng)用各種方法進(jìn)行證明的基本思路。

關(guān)鍵字：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數(shù)學(xué)里已介紹過若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法等。然而，有些不等式用初等數(shù)學(xué)的方法是很難證明的，但是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明卻相對較容易些，在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時(shí)，也常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性態(tài)。因此，很多時(shí)候可以以導(dǎo)數(shù)為工具得出函數(shù)的性質(zhì)，從而解決不等式問題，現(xiàn)具體討論導(dǎo)數(shù)在解決不等式有關(guān)的問題時(shí)的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，證明不等式則是它的一個(gè)簡單應(yīng)用。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明的不等式的類型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當(dāng)?shù)倪x取函數(shù)f(x)并使函數(shù)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導(dǎo)數(shù)形式和M或m形式上的聯(lián)系。

（2）通過求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計(jì)算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進(jìn)而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?x，則顯然f在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又

第五篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語：一切的方法都要落實(shí)到動手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價(jià)格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

五、當(dāng)堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?