第一篇：初中數(shù)學(xué)幾何圖形綜合題

初中數(shù)學(xué)幾何圖形綜合題

必勝中學(xué) 2018-01-30 15:15:15

題型專項(xiàng) 幾何圖形綜合題

【題型特征】 以幾何知識(shí)為主體的綜合題,簡(jiǎn)稱幾何綜合題,主要研究圖形中點(diǎn)與線之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系,以及特定圖形的判定和性質(zhì).一般以相似為中心,以圓為重點(diǎn),常常是圓與三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)的綜合運(yùn)用.【解題策略】 解答幾何綜合題應(yīng)注意:(1)注意觀察、分析圖形,把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形,通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形.(2)掌握常規(guī)的證題方法和思路;(3)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題,運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問題.還要靈活運(yùn)用其他的數(shù)學(xué)思想方法等.【小結(jié)】 幾何計(jì)算型綜合問題,是以計(jì)算為主線綜合各種幾何知識(shí)的問題.這類問題的主要特點(diǎn)是包含知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、邏輯關(guān)系復(fù)雜、解法靈活.解題時(shí)必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,在復(fù)雜的“背景”下辨認(rèn)、分解基本圖形,或通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形,并善于聯(lián)想所學(xué)知識(shí),突破思維障礙,合理運(yùn)用方程等各種數(shù)學(xué)思想才能解決.【提醒】 幾何論證型綜合題以知識(shí)上的綜合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考試題中,幾何論證型綜合題的難度普遍下降,出現(xiàn)了一大批探索性試題,根據(jù)新課標(biāo)的要求,減少幾何中推理論證的難度,加強(qiáng)探索性訓(xùn)練,將成為幾何論證型綜合題命題的新趨勢(shì).為了復(fù)習(xí)方便,我們將幾何綜合題分為:以三角形為背景的綜合題;以四邊形為背景的綜合題;以圓為背景的綜合題.類型1 操作探究題

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△ADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.(1)如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證：AC＝BC；(2)若∠DAF＝∠DBA.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時(shí)，設(shè)BE＝x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示線段AF.解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°.∴∠BAC＝∠BAD＝45°.∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°.∴AC＝BC.(2)①AF＝BE.理由：

由旋轉(zhuǎn)得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.∵∠ABD＝∠FAD，由旋轉(zhuǎn)得∠BAC＝∠BAD.∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.由旋轉(zhuǎn)得，AB＝AD.∴△ABD是等邊三角形．∴AD＝BD.在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD；∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.②如圖

3.∠FAD＝∠EBD，由旋轉(zhuǎn)得∠BAC＝∠BAD.∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋轉(zhuǎn)得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.設(shè)BD＝a，作BG平分∠ABD，∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根號(hào)5）/2?！摺螰AD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根號(hào)5）/2*x.2．如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以O(shè)G，OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE.(1)求證：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如圖2.①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由． 解：(1)證明：延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OA＝OD，OA⊥OD.在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE ∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中，當(dāng)∠OAG′＝90°時(shí)，∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2 ∴∠AG′O＝30°.∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中，當(dāng)∠OAG′＝90°時(shí)，同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.綜上所述，當(dāng)∠OAG′＝90°時(shí)，α＝30°或150°.②AF′的最大值為2分子根號(hào)2＋2，此時(shí)α＝315°.提示：如圖

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A，O，F(xiàn)′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根號(hào)2.∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根號(hào)2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此時(shí)α＝315°.3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是邊CD上一點(diǎn)，將△ADM沿直線AM對(duì)折，得到△ANM.(1)當(dāng)AN平分∠MAB時(shí)，求DM的長(zhǎng)；(2)連接BN，當(dāng)DM＝1時(shí)，求△ABN的面積；(3)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值．

解：(1)由折疊可知△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB.∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根號(hào)3＝根號(hào)3。(2)如圖1，延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC.∴∠DMA＝∠MAQ.由折疊可知△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.∴∠MAQ＝∠AMQ.∴MQ＝AQ.設(shè)NQ＝x，則AQ＝MQ＝1＋x.在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.∴NQ＝4，AQ＝5.∵AB＝4，AQ＝5，∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.(3)如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，則△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴當(dāng)點(diǎn)N，H重合(即AH＝AN)時(shí)，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此時(shí)M，F(xiàn)重合，B，N，M三點(diǎn)共線，△ABH≌△BFC(如圖3)，∴DF的最大值為4－根號(hào)7

圖1

類型2 動(dòng)態(tài)探究題

4．(2016·自貢)已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

(1)如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP，OP，OA.若△OCP與△PDA的面積比為1∶4，求邊CD的長(zhǎng)；

(2)如圖2，在(1)的條件下，擦去折痕AO，線段OP，連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P，A不重合)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律．若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∴∠APD＋∠DAP＝90°.∵由折疊可得∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP與△PDA的面積比為1∶4，設(shè)OP＝x，則CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，由勾股定理得，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.(2)過點(diǎn)M作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵M(jìn)P＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；3.MQ＝BN ∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的結(jié)論可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，它的長(zhǎng)度為2*根號(hào)5.5．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5，2)，點(diǎn)P是CB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C，B重合)，連接OP，AP，過點(diǎn)O作射線OE交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交CB邊于點(diǎn)M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y(tǒng).(1)當(dāng)x為何值時(shí)，OP⊥AP?(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積．若存在，請(qǐng)求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：(1)由題意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.∵OP⊥AP，∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.∴∠OPC＝∠PAB.∴△OPC∽△PAB.解得x1＝4，x2＝1(不合題意，舍去)． ∴當(dāng)x＝4時(shí)，OP⊥AP.(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.∴y＝x－4/x(2

(3)存在x符合題意．過點(diǎn)E作ED⊥OA于點(diǎn)D，交MP于點(diǎn)F，則DF＝AB＝2.∵△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積，∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.∴ED＝4，EF＝2.∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.解得y＝5/2.6．如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD＝8，AB＝6.如圖2，矩形ABCD沿O B方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t＝5時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；(3)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作

PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)△PEO與△BCD相似時(shí)，求出相應(yīng)的t值． 解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP＝6－t.∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BP＝t－6.∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.類型3 類比探究題

7．如圖1，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA＝PE，PE交CD于點(diǎn)F.(1)求證：PC＝PE；(2)求∠CPE的度數(shù)；

(3)如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC＝120°時(shí)，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解：(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.又∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(對(duì)頂角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°.(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)． ∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD(對(duì)頂角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.∴△EPC是等邊三角形．∴PC＝CE.∴AP＝CE.8．已知AC，EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對(duì)角線，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠CAE＋∠CBE＝90°.(1)如圖1，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF.①求證：△CAE∽△CBF； ②若BE＝1，AE＝2，求CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k時(shí)，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

(3)如圖3，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°時(shí)，設(shè)BE＝m，AE＝n，CE＝p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

解：(1)證明：①∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，即∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF.②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根號(hào)2.∴BF＝根號(hào)2.又∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.解得CE＝根號(hào)6.(2)連接BF，∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，∴△CFE∽△CBA.∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，題型2 與圓有關(guān)的幾何綜合題

9．(2016·成都)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接ED，BE.(1)求證：△ABD∽△AEB；(2)當(dāng)BC(AB)＝3(4)時(shí)，求tanE；

(3)在(2)的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F，若AF＝2，求⊙C的半徑．

解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.∵DE是直徑，∴∠DBE＝90°.∴∠E＝90°－∠BDE.∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E.∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接BD，F(xiàn)H.(1)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)AB＝BE＝1時(shí)，求⊙O的面積；(3)在(2)的條件下，求HG·HB的值．

解：(1)直線BD與⊙O 相切．理由：連接OB.∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴DB＝DC.∴∠DBC＝∠C.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.∴∠C＋∠CED＝90°.∴∠DBC＋∠OBE＝90°.∴BD與⊙O相切．(2)連接AE.在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根號(hào)2.∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根號(hào)2.∴BC＝1＋根號(hào)2.∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.又∠CBA＝∠FBE＝90°，A B＝BE，∴△CAB≌△FEB.(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°.∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.11．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．

(1)試說明CE是⊙O的切線；

(2)若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接OD，當(dāng)1/2CD＋OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長(zhǎng)．

解：(1)證明：連接OC.∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切線．

12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的反向延長(zhǎng)線上，EP＝EG，(1)求證：直線EP為⊙O的切線；

(2)點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG2＝BF·BO.試證明BG＝PG；(3)在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB＝根號(hào)3/3.求弦CD的長(zhǎng)．

解：(1)證明：連接OP.∵EP＝EG，∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直線EP為⊙O的切線．(2)證明：連接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG 又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.13．如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA＝6，OB＝8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t≤5)以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB，OA的交點(diǎn)分別為C，D，連接CD，QC.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？

(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)；(3)若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

第二篇：初中幾何圖形知識(shí)點(diǎn)歸納

初中幾何圖形知識(shí)點(diǎn)歸納

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2.三角形的分類

3.三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

4.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高。

5.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

6.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

7.高線、中線、角平分線的意義和做法

8.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。

9.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；三角形的內(nèi)角和是外角和的一半

10.三角形的外角：三角形的一條邊與另一條邊延長(zhǎng)線的夾角，叫做三角形的外角。

11.三角形外角的性質(zhì)

（1）頂點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，一邊是三角形的一邊，另一邊是三角形的一邊的延長(zhǎng)線；

（2）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；

（3）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角；

（4）三角形的外角和是360°。

四邊形（含多邊形）知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)

一、平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定

1.兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形。

2.性質(zhì)：

（1）平行四邊形的對(duì)邊相等且平行

（2）平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)

（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分

3.判定：

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

4.對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形

二、矩形的定義、性質(zhì)及判定

1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

2.性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等

3.判定：

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

（3）兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

4.對(duì)稱性：矩形是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形。

三、菱形的定義、性質(zhì)及判定

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

（1）菱形的四條邊都相等

（2）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（3）菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形

（4）菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半

2.s菱=爭(zhēng)6(n、6分別為對(duì)角線長(zhǎng))

3.判定：

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

（2）四條邊都相等的四邊形是菱形

（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4.對(duì)稱性：菱形是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形

四、正方形定義、性質(zhì)及判定

1.定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

2.性質(zhì)：

（1）正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

（2）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（3）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形

（4）正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45°

（5）正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形

3.判定：

（1）先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等

（2）先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角

4.對(duì)稱性：正方形是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形

五、梯形的定義、等腰梯形的性質(zhì)及判定

1.定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形.兩腰相等的梯形是等腰梯

形.一腰垂直于底的梯形是直角梯形

2.等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形的兩腰相等;同一底上的兩個(gè)角相等;兩條對(duì)角線相等

3.等腰梯形的判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形;兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

4.對(duì)稱性：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形 六、三角形的中位線平行于三角形的第三邊并等于第三邊的一半；梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半。

七、線段的重心是線段的中點(diǎn)；平行四邊形的重心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)；三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)。

八、依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形。

九、多邊形

1.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

2.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

3.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

4.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。

5.多邊形的分類：分為凸多邊形及凹多邊形，凸多邊形又可稱為平面多邊形，凹多邊形又稱空間多邊形。多邊形還可以分為正多邊形和非正多邊形。正多邊形各邊相等且各內(nèi)角相等。

6.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

8.公式與性質(zhì)

多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°

9.多邊形外角和定理：

（1）n邊形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

（2）邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°

10.多邊形對(duì)角線的條數(shù)：

（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引(n-3)條對(duì)角線，把多邊形分詞(n-2)個(gè)三角形

（2）n邊形共有n(n-3)/2條對(duì)角線

圓知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)

1.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論1 ①(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

② 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

3.圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

4.圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

5.圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合 6.圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合 7.同圓或等圓的半徑相等

8.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓

9.定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦 相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

10.推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等。

11.定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它 的內(nèi)對(duì)角

12.① 直線L和⊙O相交 d

② 直線L和⊙O相切 d=r

③ 直線L和⊙O相離 d>r

13.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

14.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

15.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

16.推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

17.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

18.圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等，外角等于內(nèi)對(duì)角

19.如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

20.① 兩圓外離 d>R+r

② 兩圓外切 d=R+r

③ 兩圓相交 R-rr)

④ 兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含dr)

21.定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

22.定理：把圓分成n(n≥3)：

（1）依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

（2）經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形

23.定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

24.正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n

25.定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

26.正n邊形的面積Sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長(zhǎng)

27.正三角形面積√3a/4 a表示邊長(zhǎng)

28.如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為 360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

29.弧長(zhǎng)計(jì)算公式：L=n兀R/180

30.扇形面積公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2

31.內(nèi)公切線長(zhǎng)= d-(R-r)外公切線長(zhǎng)= d-(R+r)

32.定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

33.推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

34.推論2 半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

35.弧長(zhǎng)公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)“幾何圖形”教學(xué)策略

小學(xué)數(shù)學(xué)“幾何圖形”教學(xué)策略

四川省資陽市雁江區(qū)中和鎮(zhèn)中心小學(xué) 蘇桂英

2011版《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“圖形與幾何”應(yīng)該幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。空間觀念是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；能夠想象出空間物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；依據(jù)語言描述畫出圖形。那么如何通過有效的教學(xué)手段和學(xué)生的活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)呢？以2011版《新課標(biāo)》為標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，我從以下幾個(gè)方面來談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

一、情境激趣，引發(fā)思考

由于小學(xué)生具有好動(dòng)的天性，好奇是小學(xué)生獲取知識(shí)的內(nèi)在動(dòng)力。所以要使小學(xué)生積極地投入思考，就要設(shè)法引導(dǎo)他們對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生興趣。興趣是打開成功之門的鑰匙。而情境的創(chuàng)設(shè)，對(duì)“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，具有十分重要的作用。

大部分的知識(shí)可以聯(lián)系生活的實(shí)際，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的作用。在教學(xué)中要善于創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置懸念，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，促進(jìn)大腦思考，引發(fā)問題。如在教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，導(dǎo)入的時(shí)候，利用多媒體課件播放運(yùn)載“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星的火箭成功發(fā)射的錄像，然后教師提問：為了紀(jì)念這個(gè)有意義的時(shí)刻，我們學(xué)校的小朋友們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)上利用一些圖形拼出了運(yùn)載“嫦娥一號(hào)”的火箭模型呢？再利用課件出示拼成的模型，讓學(xué)生觀察火箭模型是由哪些圖形拼成的。最后教師引導(dǎo)提問：如果比較這些圖形的大小，要知道它們的什么？哪些圖形的面積是我們已經(jīng)學(xué)過的？怎樣求？ 比較其中的長(zhǎng)方形和平行四邊形，誰的面積大，誰的面積小，可以用什么方法？這樣的一個(gè)情境導(dǎo)入，符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，感受到了學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性，自然就興趣盎然地投入到探究實(shí)踐活動(dòng)之中。

二、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)幾何特征

觀察是學(xué)生獲得空間和圖形知識(shí)的主要途徑之一，教學(xué)中要組織多種多樣的觀察活動(dòng)，例如辨認(rèn)圖形的觀察，對(duì)演示實(shí)驗(yàn)或操作的觀察，這樣有關(guān)物體的空間觀念就容易得出。

空間觀念的形成，光靠觀察其實(shí)還是不夠的，老師還必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，讓他們?cè)隗w驗(yàn)中感受，相互比較。讓學(xué)生看一看，摸一摸，折一折，量一量，畫一畫等，動(dòng)腦思維，掌握了圖形的特征。如：在認(rèn)識(shí)物體時(shí)，摸一摸物體有多少個(gè)面，多少條棱，多少個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)面都是什么形狀，折一折，看一看長(zhǎng)方體和正方體的表面是什么樣的。量一量每條邊有多長(zhǎng)。在實(shí)物中摸到了，認(rèn)識(shí)了，就形成了一個(gè)清晰的感知，形成了空間觀念。空間觀念的形成，還有賴于適時(shí)地比較和分類的數(shù)學(xué)方法和策略。利用這些方法，讓學(xué)生更加理解圖形的基本概念和圖形的特征。如：在教學(xué)“四邊形”時(shí)，對(duì)四邊形進(jìn)行分類的環(huán)節(jié)，組織學(xué)生以小組為單位先交流，依據(jù)四邊形的特點(diǎn)進(jìn)行分類。之后在全班交流過程中，學(xué)生對(duì)不同四邊形的特點(diǎn)有了進(jìn)一步的了解，也更清楚四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系，并用集合圖進(jìn)行有效的整理。在頭腦中有了比較清晰的輪廓，在比較中有助于發(fā)現(xiàn)各幾何圖形的特征。

三、小組合作，自主探究

小組合作學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)課堂中一種很有效的教學(xué)方法，有助于學(xué)生的智慧和個(gè)性的發(fā)揮。使學(xué)生在寬松、和諧、合作、民主的課堂氛圍中主動(dòng)學(xué)習(xí)，相互交流，合作競(jìng)爭(zhēng)。既培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的探究意識(shí)，又使學(xué)生得到了豐富的情感體驗(yàn)。

在“圖形與幾何”教學(xué)中，采用小組合作學(xué)習(xí)為主的教學(xué)組織形式，不僅使學(xué)生之間相互交流，完善自我認(rèn)知，而且可以學(xué)會(huì)參與，學(xué)會(huì)傾聽，學(xué)會(huì)尊重他人。例如：在《圓的周長(zhǎng)》的教學(xué)中，可以從生活中拿出三個(gè)圓形物體，通過發(fā)揮小組的集體智慧，設(shè)法通過一根繩子繞圓形物體一周，量出其周長(zhǎng)，然后再量出它的直徑，教師引導(dǎo)同學(xué)們用它們的周長(zhǎng)除以它們的直徑，通過三個(gè)不同大小的圓的周長(zhǎng)與直徑的比值來比較，都發(fā)現(xiàn)了一個(gè)共同點(diǎn)，它們的比值都是比3多一點(diǎn)。最后教師引出圓周率的概念，任何圓的周長(zhǎng)與直徑的比值都是一個(gè)固定的數(shù)，就是圓周率，它是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)3.1415926535??。

四、感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是基礎(chǔ)知識(shí)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。在空間與圖形領(lǐng)域，要充分利用知識(shí)本身的特點(diǎn)，深入挖掘蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)形成過程中的數(shù)學(xué)思想方法，在操作、實(shí)踐中感悟數(shù)學(xué)思想。

例如，在教學(xué)《圓的面積》時(shí)，探索圓的面積公式，將圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形——長(zhǎng)方形，探索出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓長(zhǎng)πr，寬就是圓的半徑。通長(zhǎng)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，推導(dǎo)出圓的面積公式為πr2，這就是轉(zhuǎn)化思想。

圓是第一、二階段學(xué)習(xí)的平面圖形中唯一的一個(gè)曲線圖形，是學(xué)生第一次了解π這個(gè)無理數(shù)，是學(xué)生第一次正式接觸并運(yùn)用極限的數(shù)學(xué)思想來解決曲線的長(zhǎng)度和圓形的面積等問題，因此對(duì)圓的周長(zhǎng)以及面積的探索體會(huì)數(shù)學(xué)思想。具體說來，在測(cè)量圓周長(zhǎng)是，化曲為直，這是轉(zhuǎn)化思想；探究周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，這是函數(shù)思想；在以往的教學(xué)中，我們很多老師以為學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)近平面圖形無非就是讓學(xué)生記住公式，會(huì)進(jìn)行計(jì)算，在練習(xí)題的設(shè)計(jì)上也體現(xiàn)出這一點(diǎn)。因此，教學(xué)的時(shí)候，對(duì)于公式的探究常常是蜻蜓點(diǎn)水，一帶而過。有的老師即使在課堂設(shè)計(jì)時(shí)有考慮讓學(xué)生探究，一旦上起課來，苦于沒找到更好的與學(xué)生交流的辦法，也就半 途而廢了。這種把主要精力放在套用公式進(jìn)行計(jì)算上，以至于將這部分內(nèi)容簡(jiǎn)單地處理為計(jì)算問題，是不利于學(xué)生靈活運(yùn)用多種策略和方法解決實(shí)際問題，不利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法的。

小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形與幾何的教學(xué)內(nèi)容十分豐富，教學(xué)策略也靈活多變。只要我們從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，敢于實(shí)踐，勇于創(chuàng)新，隨著課程改革的不斷推進(jìn)，關(guān)于圖形與幾何的教學(xué)也將日臻完善。

第四篇：初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 綜合題分析 北師大版

山東省棗莊四中初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：綜合題分析 北師大版

此類題在中考中往往有起點(diǎn)不高、但要求較全面的特點(diǎn)。常常以數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形和四邊形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角函數(shù)相結(jié)合的綜合性試題。同時(shí)考查學(xué)生初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想。此類題融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變，對(duì)給定的圖形(或其一部分)施行平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。其特點(diǎn)是：注重考查學(xué)生的實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的探索能力。解題靈活多變，能夠考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有一定難度，但上手還是容易的。此類題還常常會(huì)以幾個(gè)小問題出現(xiàn)，相當(dāng)于幾個(gè)臺(tái)階，這種恰當(dāng)?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發(fā)揮。而通過層層設(shè)問，拾級(jí)而上，逐步深入，能夠使一部分優(yōu)秀學(xué)生數(shù)學(xué)水平得到體現(xiàn)。數(shù)學(xué)綜合題關(guān)鍵是第24題和25題，我們不妨把它分為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。

一、函數(shù)型綜合題

這通常是先給定直角坐標(biāo)系和幾何圖形，求(已知)函數(shù)的解析式(即在求解前已知函數(shù)的類型)，然后進(jìn)行圖形的研究，求點(diǎn)的坐標(biāo)或研究圖形的某些性質(zhì)。

初中已知函數(shù)有①一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))和常值函數(shù)，它們所對(duì)應(yīng)的圖像是直線；②反比例函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的圖像是雙曲線；③二次函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的圖像是拋物線。

求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法(圖形法)和代數(shù)法(解析法)。此類題基本在第24題，滿分12分，基本分2－3小題來呈現(xiàn)。

二、幾何型綜合題

這通常是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進(jìn)行計(jì)算，然后有動(dòng)點(diǎn)(或動(dòng)線段)運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對(duì)應(yīng)的(未知)函數(shù)的解析式(即在沒有求出之前不知道函數(shù)解析式的形式是什么)和求函數(shù)的定義域，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探索研究，探索研究的一般類型有：①在什么條件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四邊形是菱形、梯形等；③探索兩個(gè)三角形滿足什么條件相似；④探究線段之間的位置關(guān)系等；⑤探索面積之間滿足一定關(guān)系求x的值等；⑥直線(圓)與圓的相切時(shí)求自變量的值等。

求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系(即列出含有x、y的方程)，變形寫成y＝f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和復(fù)合法(列出含有x和y和第三個(gè)變量的方程，然后求出第三個(gè)變量和x之間的函數(shù)關(guān)系式，代入消去第三個(gè)變量，得到y(tǒng)＝f(x)的形式)，當(dāng)然還有參數(shù)法，這個(gè)已超出初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求。

找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似等。求定義域主要是尋找圖形的特殊位置(極限位置)和根據(jù)解析式求解。

而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對(duì)圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求 出x的值。幾何型綜合題基本在第25題做為壓軸題出現(xiàn)，滿分14分，一般分三小題呈現(xiàn)。

總之，歷年中考數(shù)學(xué)綜合題啟示我們?cè)谶M(jìn)行綜合思維的時(shí)候要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動(dòng)為靜多畫圖，方程函數(shù)是工具，計(jì)算推理要嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。

第五篇：初三數(shù)學(xué)幾何綜合題

Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

初三數(shù)學(xué)幾何綜合題

Ⅰ、綜合問題精講：

幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計(jì)算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力，這類題往往圖形較復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答．解幾何綜合題，一要注意圖形的直觀提示；二要注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)；同時(shí)，也要由未知想需要，選擇已知條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論來探求思路，找到解決問題的關(guān)鍵．解幾何綜合題，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

⑴ 基本圖形．

⑵ 掌握常規(guī)的證題方法和思路．

⑶ 數(shù)學(xué)思想方法伯?dāng)?shù)形結(jié)合、分類討論等）．

Ⅱ、典型例題剖析

【例1】（南充，10分）⊿ABC中，ABAC與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．

（1）求證：DF是⊙O，BC＝12，求BF的長(zhǎng)．

解：（1）證明：連接OD，∴ AD⊥BC．AC，∴

又∠BED的外角，∴∠C＝∠BED．

故∠B＝∠BED，即DE＝DB．

點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，DF⊥AB且OA和OD是半徑，即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．

故OD⊥DF，DF是⊙O的切線．

（2）設(shè)BF＝x，BE＝2BF＝2x．

又 BD＝CD＝2BC＝6，根據(jù)BE?AB?BD?BC，2x?(2x?14)?6?12．

2化簡(jiǎn)，得 x?7x?18?0，解得 x1?2,x2??9（不合題意，舍去）．

1則 BF的長(zhǎng)為2．

點(diǎn)撥：過半徑的外端且垂直于半徑的直線才是切線，所以要證明一條直線是否是此圓的切線，應(yīng)滿足這兩個(gè)條件才行．

【例2】

點(diǎn)D在AEBD＝CD。

證明所以在△ADB所以 點(diǎn)撥：要想證明BD=CD，應(yīng)首先觀察它們所在的圖形之間有什么聯(lián)系，經(jīng)觀察可得它們所在的三角形有可能全等．所以應(yīng)從證明兩個(gè)三角形全等的角度得出，當(dāng)然此題還可以采用“AAS”來證明．

【例3】（內(nèi)江，10分）如圖⊙O半徑為2，弦BD＝23C，A為弧

BD的中點(diǎn)，E為弦AC的中點(diǎn)，且在BD上。求：四邊形ABCD的面積。

解:連結(jié)OA、OB，OA交BD于F。

A為弧BD的中點(diǎn)?OF?BD,BF?FD?3? ?OB?2?

?

OF?1?AF?1 ?S?ABD?12BD?AF?AE?CE?S?ADE?S?CDE,S?ABE?S?CBE

?S四邊形?2S?ABD?23 ABCD

【例4】（博興模擬，10分）國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造．蓮花村六組有四個(gè)村莊A、B、CD正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)．現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖2－4－4中的實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

解3． 圖2－4－圖2－4－顯然圖2－4點(diǎn)撥：路長(zhǎng)，然后通過比較，得出結(jié)論．

【例5】（紹興）如圖矩形ABCD中，過A，B兩點(diǎn)的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，連結(jié)EF。

⑴求證：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的長(zhǎng)。

⑴證明：∵CE切⊙O于E，∴∠CEF=∠EBC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°

Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

∴∠ABE+∠EBC=90°，∵AH丄BE，∴∠ABE+∠BAH=90°

∴∠BAH=∠EBC，∴∠CEF＝∠BAH

⑵解： ∵CE切⊙O于E

∴CE2=CF·BC，BC=2CE=6

339∴CE2=CF·6，所以CF=∴BF=BC-CF=6－ =22

2點(diǎn)撥：熟練掌握切線的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理是解決此題的關(guān)鍵．

Ⅲ、綜合鞏固練習(xí)：（100分；90分鐘）

一、選擇題（每題3分，共21分）

1．如圖2－4－6的直徑為1．2米，桌面距離地面13地面上陰影部分的面積為（）

A．0．036π平方米;B．0．C．2π平方米;D、3．2．同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)出正三角形、正方形和圓圖案是（）

A．正三角形．圓;D．不能確定

3．下列說法：1：2，那么這兩個(gè)三角形的面積之比是1：4；中錯(cuò)誤是（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

4．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則這個(gè)三角形其余的內(nèi)角可能為（）

A．700，400B．700，550

C．700，400或550，550D．無法確定

5．如圖2－4－7所示，周長(zhǎng)為68的矩形被分成了7個(gè)全等的矩

形，則矩形ABCD的面積為（）

A．98B．196;C．280D．28

4Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

6．在△ABC

中，若|sinA?1|?2cosB)?0，則∠C2的度數(shù)為（）

A．60oB．30 oC．90 oD．45 o

7．下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)有（）

⑴直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1。2，則它的斜邊長(zhǎng)為10 ；⑵直角三角形的最大邊長(zhǎng)為，最短邊長(zhǎng)為l，則另一邊長(zhǎng)為2 ；（3）在直角三角形中，若兩條直角邊為n－1和2n，則斜邊長(zhǎng)為n＋1；⑸等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長(zhǎng)為5．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二、填空題（每題3分，共27分）

8．如圖2－4－8所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=．將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△A′BC使點(diǎn)A、B、C′三點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)A線的長(zhǎng)度是_____．

9．若正三角形、正方形、正六邊形的積分別記為S3,S4,S6,則S3,S4,S6,2210若菱形的一個(gè)內(nèi)角為60__________．已知數(shù)4，6是________12一油桶高 0．8m1m，從桶蓋小口（小口靠近上壁）斜插入桶內(nèi)，0．87m，則桶內(nèi)油面的高度為13 等腰三角形底邊中點(diǎn)與一腰的距離為5cm，則腰上的高為__________cm．在平坦的草地上有 A、B、C三個(gè)小球，若已知 A球和 B球相距3米，A球與C球相距1米，則B球與C球可能相距________米．（球的半徑可忽略不計(jì)，只要求填出一個(gè)符合條件的數(shù)）如果圓的半徑為3cm，那么60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為____cm．如圖2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都

垂直于 AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知 SΔAIJ=1，則S

ABCD正方形=______.Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

三、解答題（每題13分，52分）

17.已知：如圖 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，點(diǎn)D為BA上任一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論．

18.今有一片正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路把這片土地分成形狀相同且面積相等的4并簡(jiǎn)述步驟．

19.如圖2－4－11所示，已知測(cè)速站P到公路lPO米，一輛汽車在公路l上行駛，測(cè)得此車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)BAPO=60○，∠BPO=30○，計(jì)算此車從A到B過了每秒22米的限制速度．

20.如圖2－4－12為梯形ABCD的中位線．AH平分∠DA B交EF于M，延長(zhǎng)DM交AB于N．求證：AADN是等腰三角形．