第一篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)
第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)
1、判斷下列平面點(diǎn)集中哪些是開集、閉集、有界集、區(qū)域？并區(qū)分它們的聚點(diǎn)與界點(diǎn)？分析：由定義結(jié)合圖形直接得。
(1)[a,b)?[c,d)解：是有界集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E={(x,y)|(x,y)?[a,b]?[c,d]}界點(diǎn)：?E={(x,y)|(a,y),(b,y),c?y?d或(x,c),(x,d),a?x?b}(2){(x,y)|xy?0}解：是開集，聚點(diǎn)：E=R2,界點(diǎn)：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是閉集，聚點(diǎn)：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|y>x2}解：是開集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|y?x2}，界點(diǎn)集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x?2,y?2,x?y?2}解：是開集，有界集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|x?2,y?2,x?y?2}界點(diǎn)集：{(x,y)|x?2,0?y?2}?{(x,y)|y?2,0?x?2}?{(x,y)|x?y?2,0?x?2}(6){(x,y)|x2?y2?1,y?0,0?x?1}解：是閉集，有界點(diǎn)集，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|x2?y2?1y?0,0?x?1},界點(diǎn)：?E?E(7){(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}解：是閉集，有界集，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}，?E?{(x,y)|x2?y2?1,y?0,1?x?2}(8){(x,y)|x,y均為整數(shù)}解：是閉集，界點(diǎn)集{(x,y)|x,y均為整數(shù)}1(9){(x,y)|y?sin,x?0}x1解：是閉集，聚點(diǎn)E?{(x,y)|y?sin,x?0}?x{(0,y)|?1?y?1},?E?E
2、試問集合{(x,y)|0 分析：畫出它們表示的圖形即可知結(jié)論，{(x,y)|0 解：不相同，因?yàn)辄c(diǎn)集E1={(x,y)|x?a,0 4、證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。證：若D是閉域，由于閉是開域連同其邊界所成點(diǎn)集，故對(duì)任意一點(diǎn)P?E()若是開域中一點(diǎn)?P是一內(nèi)點(diǎn)?P一定是聚點(diǎn)()若P是一界點(diǎn)?P同樣也是D的聚點(diǎn)(因?yàn)殚_域的邊界上的界點(diǎn)是非弧上點(diǎn))從而推得D上一切點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)，所以D是閉集反之不真：如E={(x,y)|x2+y2?1或y=0,2?x?3}這里E的一切點(diǎn)都是聚點(diǎn)，且是E的全部聚點(diǎn)，所以E是閉集，然而E中的開域是E1?{(x,y)|x2+y2?1}及?E1?{(x,y)|x2+y2?1}且E1??E1?E，所以E不是閉域 5、證明：點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn=x0和limyn=y0 n??n?? 證：“必要性”，若limPn=P0???>0,?N?N+,當(dāng)n>N時(shí)，就有Pn?U(P0,?)n??即 ?(Pn,P0)?(xn-x0)2?(yn-y0)2??推得xn-x0??(Pn,P0)??，即limxn=x0n??yn-y0??(Pn,P0)??，即limyn=y0n??“充分性”，若limxn=x0，limyn=y0?對(duì)???0,?N?N?n??n?? 當(dāng)n>N時(shí)，就有xn-x0???,yn-y0?221212???=?，22這時(shí)?(Pn,P0)?(xn-x0)2?(yn-y0)2?即Pn?U(P0,?),所以limPn=P0n?? 6、求下列各函數(shù)的函數(shù)值1+31-3?arctan(x+y)?(1)，f(x,y)=?,求f(,)?arctan(x-y)22?? 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).x?y2xx(3)f(x,y)=x2+y2-xyarctan,求f(tx,ty).y21??2arctan(1+3+1-3)??1+31-3arctan19??2解:(1)f(,)???????16122arctan3???arctan(1+3-1+3)??2?2?1?yyx?2xy(2):f(1,)?x12?(y)2x2?y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2-(tx)(ty)arctan?t2(x2+y2-xyarctan)tyy27、設(shè)F(x,y)=lnxlny，證明：若u>0,v>0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式 8、求下列各函數(shù)的定義域，畫出定義的圖形，并說明是何種點(diǎn)集。 x2?y2(1)f(x,y)=2x?y2 定義域D={(x,y)|y??x},是開集，但不是開域，圖略。(2)f(x,y)=12x2?3y2 解：定義域D={(x,y)|2x2?3y2?0},是開集，也是開域.圖略。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy?0},是閉集，也是閉域.圖略。(4)f(x,y)=1-x2?y2?1 解：定義域D={(x,y)|x?1,y?1},是閉集，但不是區(qū)域。圖略。(5)f(x,y)?lnx?lny解：定義域D={(x,y)|x>0,y>0},是開集，也是開域。圖略。 (6)f(x,y)=sin(x2?y2)解：定義域D={(x,y)2k??x2+y2?(2k+1)?,k?0,1,2,?} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(y-x)解：定義域D={(x,y)|y>x}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e-(x2?y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2?y2?1 解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2?x2?y2?z2?1x?y?z?r2222(R?r) 22222解：定義域{(x,y,z)r?x?y?z?R}不是開集，也不是閉集，是有界集。 9、證明：開集與閉集具有對(duì)偶性---若E是開集，則CE是閉集；若E是閉集，則CE是開集。分析：由開、閉集的定義。 證：(1)若E是開集??P?E且不為E的界點(diǎn)，若??>0，使U(P，?)?E=??點(diǎn)P有U(P，?)?CE.故P是CE的內(nèi)點(diǎn)，從而也是CE的聚點(diǎn)；若P是E的界點(diǎn)，那么P同時(shí)也是CE的界點(diǎn)?P是CE的聚點(diǎn)。從而CE的一切點(diǎn)都是CE的聚點(diǎn).于是CE是閉集。(2)若E是閉集?對(duì)?P?CE，即P?E，則P不是E的聚點(diǎn)?總存在P的某個(gè)鄰域U(P，?)，使U(P，?)?E=??U(P，?)?CE?P是CE的內(nèi)點(diǎn)?CE的每個(gè)點(diǎn)都是CE的內(nèi)點(diǎn)，所以CE也是開集.10、證明：(1)若F1，F(xiàn)2是閉集，則F1?F2與F1?F2都是閉集證：先證：C(F1?F2)=CF1?CF2；C(F1?F2)=CF1?CF2若P?C(F1?F2)?P?(F1?F2)?P?F1且P?F2?P?CF1且P?CF2?P?CF1?CF2)?C(F1?F2)=CF1?CF2反之，若Q?CF1?CF2?Q?CF1且Q?CF2?Q?F1且Q?F2Q?F1?F2?Q?C(F1?F2)?C(F1?F2)=CF1?CF2故C(F1?F2)=CF1?CF2.類似可證C(F1?F2)=CF1?CF2由于F1，F(xiàn)2是閉集，由習(xí)題9知，CF1，CF2是開集??P?C(F1?F2)?P?CF1?CF2???1>0.有U(P，?1)?CF1且??2>0.有U(P，?2)?CF2?U(P，min{?1，?2})?CF1?CF=C(F1?F2)是開集?F1?F2是閉集.而對(duì)?Q?C(F1?F2)?Q?CF1?CF2???'1>0,有U(P，?'1)?CF1或者??'2>0,有U(P，?'2)?CF2?U{Q，min{?'1,?'2}}?CF1?CF2?C(F1?F2)C(F1?F2)是開集，F(xiàn)1?F2是閉集。(2)若E1，E2是開集，則E1?E2與E1?E2都為開集。證：E1，E2都為開集?CE1，CE2都為閉集?CE1?CE2=C(E1?E2)CE1?CE2=C(E1?E2)都是閉集(見(1))?E1?E2，E1?E2(見習(xí)題9)(3)若F是閉集，E為開集，則FE為閉集，EF為開集證：先證：任何兩個(gè)集A，B：AB=A?CB因?yàn)椋?x?AB?x?A，x?B?x?A，x?CB?x?A?CB反之，?y?A?CB=y?A?y?A，y?B?y?AB，所以AB=A?CB由于 F是閉集，E為開集?CF是開集，CE是閉集?FCE是閉集?FE為閉集，而E?CF是開集，EF是開集。注：本題亦可以按定義證明：這里只證EF為開集，?p?EF，則p?E,p?F,由此知p為E的內(nèi)點(diǎn)，p為F的外點(diǎn)，于是分別存在?1?0和?2?0,使得U(p;?1)?E,U(p;?2)?F=?,取?=min(?1,?2),則有U(p;?)?EF,即p是EF的內(nèi)點(diǎn)，所以EF為開集。 11、試把閉域套定理推廣 閉集套定理，并證明之.閉集套定理：設(shè){Dn}是R2中的閉集列，它滿足(i)Dn?Dn+1,n?1,2,?(ii)dn?d(Dn),limdn?0n??則存在唯一點(diǎn)P0?D,n?1,2,?.其中為Dn非空點(diǎn)集?證：任取點(diǎn)列Pn?Dn,n=1,2,?,由于Dn+p?Dn,Pn+p,Pn從而有 ?(Pn+p,Pn)?dn?0(n??)根據(jù)柯西準(zhǔn)則，?P0?R2,使limPn?P0n??對(duì)任意確定的n?N+，對(duì)?p?N+，有Pn+p?Dn,再令p??因?yàn)镈n是閉集，P0作為Dn的聚點(diǎn)必屬于Dn，即 P0?limPn+p?Dn,n=1,2,?,p??若還有P'0?Dn,n=1,2,?，則由?(P0,P'0)??(P0,Pn)??(P'0,Pn)?2d?0(n??)?(P'0,Pn)?0,即P0?P'0，故定理成立. 12、證明定理16.4定理：設(shè)D?R2為一有界閉域，{??}為一開域族，它覆蓋D(即D?U??)，??U?則在{??}中必存在有限開域?1,?2?3??n，它覆蓋了D(即D???)，)證：因?yàn)镈?R2為一有界域??a,b,c,d,?使 Dn?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}1反證法：若不存在有限個(gè)開域覆蓋D，則取直線x=(a+b)及21y=(c+d)將區(qū)域劃分成四個(gè)區(qū)域，這四個(gè)區(qū)域?qū)劃分若個(gè)2區(qū)域，且其中至少有一個(gè)閉域不能被有限個(gè)開域所覆蓋.則D1?D且記上述閉域?yàn)镈1，而A中包含A1則：D1?D，A1?A且d1?d(D1)?1(b?a)2?(d?c)22記A1?{(x,y)|a1?x?b1,c1?x?d1}11?b1?a1?(b?a),d1?c1?(b?a)22同理將長方形區(qū)域，劃分成四個(gè)長方形子域，而D1被劃分成若個(gè)閉子域，其中至少有一個(gè)閉子域D2，不能被有限個(gè)開域所覆蓋。記上述閉域?yàn)镈2，而A1中包含D1的區(qū)域?yàn)锳2.1(b1?a1)2?(d1?c1)221記A2?{(x,y)|a2?x?b2,c2?y?d2}?b2?a2?2(b?a),d2?c2211?2(d?c).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bn?an?n(b?a)221dn?cn?n(d?c),n?3,4,?2且滿足(i)Dn+1?Dn,n?1,2,3,?，且Dn不能被有限中開域所則D2?D1，A2?A1，d2?d(D2)?覆蓋.(ii)dn?d(Dn)?所以limdn?0n??12n(b?a)2?(d?c)2.根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0?Dn，N=1,2，3，?根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0?Dn，n=1,2，3，??存在某個(gè)區(qū)域??，使P0????存在P0的某個(gè)鄰 域U(P0)使U(P0)???但因?yàn)閘imdn?0??N?N?,當(dāng)n>N時(shí)，就有n?? Dn?U(P0)???與假設(shè)矛盾故必存在有限個(gè)區(qū)域?1,?2,??n，使它們覆蓋D. 數(shù)學(xué)分析 第16章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 計(jì)劃課時(shí)： 0 時(shí) 第16章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí)) § 1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 一.平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點(diǎn)集: ⑴ 全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}，{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，圓的一部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡(jiǎn)單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域 , 空心方鄰域與集 {(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3． 點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿? （1）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)： 內(nèi)點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E 集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,.外點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E?? 界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。E的邊界表示為?E 集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E , 界點(diǎn)不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集.（2）(以凝聚程度分為)聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 聚點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點(diǎn)。 孤立點(diǎn)：A?E但不是聚點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點(diǎn)集.解 E的聚點(diǎn)集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域： （1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時(shí)稱E為開集 , E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集: （4） 點(diǎn)集的直徑d(E)： 兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).（5） 三角不等式： |x1?x2|（或|y1?y2|）?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3) 二.R2中的完備性定理: 1． 點(diǎn)列的極限: 設(shè)Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言) 定義1。 limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)?? 例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設(shè)P0為點(diǎn)集E的一個(gè)聚點(diǎn).則存在E中的點(diǎn)列{ Pn }, 使limPn?P0.n?? 2．R2中的完備性定理： （1）Cauchy收斂準(zhǔn)則: .（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理: 三．二元函數(shù): 1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例6 求定義域： ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對(duì)稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對(duì)稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如 z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù) 四．n元函數(shù) 二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n 作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限 一.二重極限 二重極限亦稱為全面極限 1.二重極限 定義1 設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或 2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A 例1 用“???”定義驗(yàn)證極限 (x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2 ?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換) P94 E2.證明 (x,y)?(0,0)lim2.歸結(jié)原則： 定理 1 limf(P)?A, ? 對(duì)D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E 推論1 設(shè)E1?D, P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D 推論2 設(shè)E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1，P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D 推論3 極限limf(P)存在, ? 對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在 例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ> (x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ> 3．極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義: 2定義2．設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 ?M?0,???0,或 P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)??? P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)??? 其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限 二次極限 1.累次極限的定義: 定義3．設(shè)Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對(duì)每一個(gè)y?Eyy?y0存在極限limf(x,y) 記作?(y)?limf(x,y) x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對(duì)x后對(duì)y的累次極限 y?y0y?Ey記作L?limlim?(y) 簡(jiǎn)記L?limlim?(y) y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關(guān)系: ⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(diǎn)(0 , 0)的情況.y ⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x ⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)?? 二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限 推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , 二重極限不存在.但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在 , 另一個(gè)不存在 ?? 二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0 作業(yè)提示: P99 1、2、4 § 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時(shí)) 一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對(duì)連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義: 定義 用鄰域語言定義相對(duì)連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2 f(x,y)?? ([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) : 定義 (單元連續(xù)) 二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性: 二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 1.有界性與最值性.(證) 2.一致連續(xù)性.(證) 3.介值性與零點(diǎn)定理.(證) Ex [1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5； P137—138 1，4.10 多元函數(shù)的極限 1.求下列極限： x2y111)lim(4x?3y)； 2）lim(x?y)sinsin； 3）lim2.2x?0x?2x?0x?yxyy?0y?1y?02 2.證明：若f(x，y)? x?y，(x?y?0)，求 lim?limf(x，y)?與lim?limf(x，y)?.?x?0???y?0?y?0?x?0x?yx4y43.設(shè)函數(shù)f(x，y)?4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y?mx)趨于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)23(x?y)存在極限，且極限相等.但是，此函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限.x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數(shù)f(x，y)?2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)（0，0）存在極限.2x?y?? 5.求下列極限： 1）lim 3）lim(x?y)In(x?y)； 4）limx?0y?022x?ysinxy； 2）； limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?4(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2x?0y?0. 一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn) P（x，y）∈ D，變量 按照 一定法則總有確定的值與它對(duì)應(yīng)，則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為 （或），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自 為該函數(shù)值域。由此變量，為因變量，數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 面。 ㈡二元函數(shù)的極限 ⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式，都有 的一切點(diǎn) 是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球 成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng) 或 , 這里 時(shí)的極限，記作 。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。⒉注意：二重極限存在是指 都無限接近A。因此，如果條定直線或定曲線趨于 沿任意路徑趨于，函數(shù) 沿某一特殊路徑，例如沿著一時(shí)，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。 ㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 ．定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 。如果 連續(xù)。如果函，則稱函數(shù) f（x，y）在點(diǎn) 數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù) f（x，y）在 D 內(nèi)連續(xù)，或者稱 f（x，y）是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。2 ．性質(zhì) ⑴一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的； ⑵在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D 上取兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在 D 上取得介于這兩 個(gè)值之間的任何值至少一次； ⑷在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。 二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 ㈠偏導(dǎo)數(shù) ⒈偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 存在，則稱此極限為 處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，記作，當(dāng) 固定 在而 在處有增量，如果函數(shù) 或 類似，函數(shù) 在點(diǎn) 在點(diǎn) 處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作 際中求，或。在實(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動(dòng)，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以求 時(shí)只要將暫時(shí)看作常量而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)，則只要將 暫時(shí)看作常量而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對(duì)于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記 與自變量微號(hào)是一個(gè)整體符號(hào)，不能看作分母與分子之商。⒉偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè) 過 做平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面，則導(dǎo)數(shù) 上的方程為 為曲面 上的一點(diǎn)，即偏導(dǎo)數(shù) 對(duì) 軸的 斜率。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 截得的曲線在點(diǎn) 的切線 處，就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對(duì) 軸的斜率。 在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，都是，⒊高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，那么在 D 內(nèi) 的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有以下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： ,。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。 定理：如果函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。）㈡全微分 ⒈全微分定義：如果函數(shù) 可表示為 賴于、而僅與、有關(guān)，在點(diǎn) 可微分，而 稱 在點(diǎn) 的全增量，其中 A、B 不依，則稱函數(shù) 為函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分，記作，即。如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微分，那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分。定理 1（必要條件）：如果函數(shù) 函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 的全微分為 在點(diǎn) 可微分，則該必定存在，且函數(shù) 。定理2（充分條件）：如果函數(shù)續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。習(xí)慣上將自變量的增量、分別記作、；并分別稱為自變量的微分，則函數(shù) 的全微分可表示為 分等于它的兩個(gè)偏微分之和 這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。 三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ㈠復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù) 函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，且 及 都在點(diǎn) 可導(dǎo)。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。此定理可推廣到中間變量多余兩個(gè)的情況，例如，，則，其中 稱為全導(dǎo)數(shù)。上述定理還可推廣 到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。㈡復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) 則 是 可微，函數(shù)，對(duì)，并且，的復(fù)合函數(shù)。如果 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 復(fù)合函數(shù) 對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 ㈢全微分形式的不變性 : 設(shè)函數(shù) 則有全微分 果、又是，如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合 函數(shù) 的全微分為 由此可見，無論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性。 四、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 ㈠、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 ：設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，內(nèi)恒能 唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具 足條件，并有 隱函數(shù)存在定理 2 ：設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，一鄰域 內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，則方程 在點(diǎn) 的某 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)，并有 ㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 ：設(shè) 某一鄰域內(nèi)、在點(diǎn) 的具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且，偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）： 在點(diǎn) 點(diǎn) 不等于零，則方程組，在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有，，五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 1、定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域 內(nèi)有定義，自點(diǎn) P 引射線。設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè) 為 上的另一點(diǎn)，且 。我們考慮函數(shù)的增量 的比 與 和 兩點(diǎn)間的距離 值。當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱這極限為函數(shù) 在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即。、定理：如果函數(shù) 在點(diǎn) 是可微分的，那么函數(shù)，在該點(diǎn)沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向（設(shè)方向 的方向角為，其中，它在空間一點(diǎn) 沿）的方向?qū)?shù)可以定義為，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)為 ㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形)：設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)量，這個(gè)向量稱為函數(shù)，即，在點(diǎn) 在平面區(qū)域 D，都可定出一個(gè)向的梯度，記作，由梯度的定義可知，梯度的模為： 當(dāng) 不為零時(shí)，x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 2、與方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果設(shè) 是與方向 同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式可知： 由此可知，就是梯度在 上的投影，當(dāng)方向 與梯度的方向一致時(shí)，有，從而 有最大值。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù) 在該點(diǎn)增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?！鲜鏊v的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。設(shè)函數(shù) 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，這個(gè)向量稱為函數(shù) 六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應(yīng)用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理：設(shè) 的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到 階 在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連，都可定出一個(gè)向量 在點(diǎn) 的梯度，即 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有 一般地，記號(hào) 表示 設(shè)，則上式可表示為 ⑴，公式⑴稱為二元函數(shù) 在點(diǎn)的n階泰勒公式，而的表達(dá)式為拉格朗日型余項(xiàng)。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，則⑴式成為 n 階麥克勞林 ㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1（必要條件）：設(shè)函數(shù) 數(shù)，且在點(diǎn) 在點(diǎn)（,）具有偏導(dǎo)(,)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 定理 2（充分條件）: 設(shè)函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且 有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在（,）處是否取得極值的條件如下：，令 (,，在點(diǎn)（,）的某鄰域⑴ AC->0 時(shí)具有極值，且當(dāng) A<0 時(shí)有極大值，當(dāng) A>0 時(shí)有極小值； ⑵ AC-<0 時(shí)沒有極值； ⑶ AC-=0 時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。㈢、幾何應(yīng)用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應(yīng)于 的一點(diǎn)，這里假設(shè) 解析幾何中有，假設(shè)三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為 均不為零。如果有個(gè)別為零，則應(yīng)按空間關(guān)直線的對(duì)稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量 就是曲線 在點(diǎn) M 處的一個(gè)切向量。 ⑵通過點(diǎn) M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) M 處的法平面，它是通過點(diǎn) 而與 T 為法向量的平面，因此方程為。 ⑶若空間曲線 的方程以 為： 的形式給出 , 則切線方程，其中分母中帶下標(biāo) 0 的行列式表示 行列式在點(diǎn) 的值；曲線在點(diǎn) 處的法平面方程為 的值；曲線在點(diǎn) 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的 切平面的方程為： ；，是曲面上一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn) 法線方程為： ⑵若曲面方程為，則切平面方程為 或 ；而法線方程為 多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題 1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1 2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。 （1）f(x,y)?x?y； x?y (2)f(x,y)?(x?y)sisi； 1 x1y x3?y3 (3)f(x,y)?2； x?y 1(4)f(x,y)?ysi。x 3.求極限（1）lim(x?y)x?0y?022x2y2； （2）limx2?y2 ?x?y?122x?0y?0； （3）lim(x?y)sinx?0y?01； 22x?y sin(x2?y2)（4）lim。22x?0x?yy?0 ln(1?xy)??4.試證明函數(shù)f(x,y)??x?y? x?0x?0在其定義域上是連續(xù)的。 1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。 x?2y?1 因?yàn)閤?2,y?1，不妨設(shè)|x?2|?0,|y?1|?0，有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5，|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2| ?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|] ???0，要使不等式 |3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{ ? 30,1}，于是 ???0，???min{ ? 30,1}?0，?(x,y)：|x?2|??,|y?1|?? 且(x,y)?(2,1)，有|3x?2y?14|??，即證。 2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)? x?y ； x?y x?yx?y limli??1，limlim?1 y?0x?0x?yx?0y?0x?y 二重極限不存在。 x?yx?y1 或lim?0，li??。 x?0x?yx?0x?y3 y?x y?2x (2)f(x,y)?(x?y)sin 11sin； xy 0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y| xy 可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。 x?0y?0 x?0y?0 當(dāng)x? 111，y?0時(shí)，f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在，k?xy 因此limlim(x?y)sisi不存在，x?0y?0xy lim(x?y)sisi不存在。同理lim y?0x?0 x1y x3?y3 (3)f(x,y)?2； x?y 2x3 limf(x,y)?lim?0，x?0x?0x?x y?x 當(dāng) P(x, y)沿著y??x?x趨于（0,0）時(shí)有 y??x?x x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1，x?0x?0x?x3?x223 x?0y?0 所以 limf(x,y)不存在； limlimf(x,y)?0，limlimf(x,y)?0。 x?0y?0 y?0x?0 (4)f(x,y)?ysinx 0?|ysin|?|y| x ∴l(xiāng)imf(x,y)?0，x?0y?0 limlimysi?0，limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx 3.求極限（1）lim(x?y) x?0 y?0 2x2y2； (x2?y2)2 0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|，22 (x2?y2)2t ln(x2?y2)?limlnt?0，又 lim x?0t?0?44 y?0 ∴l(xiāng)im(x?y) x?0 y?0 2x2y2 ?e limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0) ?1。 （2）lim x2?y2?x?y?1 x?0y?0； (x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x y?0y?0 x2?y2 （3）lim(x?y)sin x?0y?0 ；22 x?y |?|x?y|，|(x?y)sin2 x?y 而lim(x?y)?0 x?0 y?0 故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0 sin(x2?y2) （4）lim。22x?0x?yy?0 令x?rcos?，y?rsin?，(x,y)?(0,0)時(shí)，r?0，sin(x2?y2)sinr2 lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0 ln(1?xy)?? 4.試證明函數(shù)f(x,y)??x ?y? x?0x?0 在其定義域上是連續(xù)的。 證明：顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當(dāng)x?0時(shí)，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點(diǎn)上連續(xù)。以下分兩種情況討論。（1）在原點(diǎn)（0,0）處 f(0, 0)=0,當(dāng)x?0時(shí) 0ln(1?xy)??1f(x,y)??? xyx??yln(1?xy) 由于limln1(?xy) x?0 y?0 1xy y?0,y?0 ?1 1xy 不妨設(shè)|ln1(?xy)從而???0，取?? xy ?1|?1，|ln1(?xy)|?2，當(dāng)0?|x|??,0?|y|??時(shí)，? ln(1?xy) ?0|?|yln(1?xy)xy|| x ?|y||ln(1?xy)|?2|y|??，于是，無論x?0,x?0，當(dāng)|x|??,|y|??時(shí)，都有l(wèi)imf(x,y)?0?f(0,0) x?0y?0 1xy （2）在(0,)處。（?0) xy 當(dāng)x?0時(shí)，|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy) 1xy ?| 1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?| ?|y||ln(1?xy) xy 當(dāng)x=0時(shí),|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy 注意到，當(dāng)?0時(shí)limln1(?xy) x?0 y??1，于是，無論x?0,x?0，當(dāng)?0時(shí)lim|f(x,y)?f(0,)|?0，x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù)，綜上，f(x, y)在其定義域上連續(xù)。第二篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)
第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)
第四篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀
第五篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題
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