第一篇：第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

§

1、平面點集

一 鄰域、點列的極限

定義1 在平面上固定一點M0?x0,y0?，凡是與M0的距離小于?的那些點M組成的平面點集，叫做M0的?鄰域，記為O?M0,??。

定義2 設(shè)Mn??xn,yn?，M0??x0,y0?。如果對M0的任何一個?鄰域O?M0,??，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，有Mn?O?M0,??。就稱點列?Mn?收斂，并且收斂于

M0，記為limMn??n?M0或?xn,yn???x0,y0??n???。

性質(zhì)：（1）?xn,yn???x0,y0??xn?x0,yn?y0。（2）若?Mn?收斂，則它只有一個極限，即極限是唯一的。二 開集、閉集、區(qū)域

設(shè)E是一個平面點集。

1． 內(nèi)點：設(shè)M0?E，如果存在M0的一個?鄰域O?M0,??，使得O?M0,???E，就稱M0是E的內(nèi)點。2． 外點：設(shè)M1?E，如果存在M1的一個?鄰域O?M1,??，使得O?M1,???E??，就稱M1是E的外點。

3． 邊界點：設(shè)M*是平面上的一點，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何?鄰域O?M*,??，其中既有E的點，又有非E中的點，就稱M*是E的邊界點。E的邊界點全體叫做E的邊界。4． 開集：如果E的點都是E的內(nèi)點，就稱E是開集。

5． 聚點：設(shè)M*是平面上的一點，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何?鄰域O?M*,??，至少含有E中一個（不等于M*的）點，就稱M*是E的聚點。性質(zhì)：設(shè)M0是E的聚點，則在E中存在一個點列?Mn?以M0為極限。6． 閉集：設(shè)E的所有聚點都在E內(nèi)，就稱E是閉集。

7． 區(qū)域：設(shè)E是一個開集，并且E中任何兩點M1和M2之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在E中，就稱E是區(qū)域。一個區(qū)域加上它的邊界就是一個閉區(qū)域。三平面點集的幾個基本定理

1．矩形套定理：設(shè)?an?x?bn,cn?y?dn?是矩形序列，其中每一個矩形都含在前一個矩形中，并且

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bn?an?0，dn?cn?0，那么存在唯一的點屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列?Mn?xn,yn??有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合???????x??,??y???覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從???里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區(qū)域。

N4．收斂原理：平面點列?Mn?有極限的充分必要條件是：對任何給定的??0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n,m?時，有r?Mn,Mm???。

§2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??rh。這些都是多元函數(shù)的例子。

2一般地，有下面定義：

定義1 設(shè)E是R的一個子集，R是實數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對E中的每一點(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個u與此對應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個二元函數(shù)，它在點(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R22?x2?y2就是一個上半球面，球心在原點，半徑為R，此函數(shù)定義域為滿足關(guān)系式x?y?R222222的x，y全體，即D?{(x,y)|x?y?R}。又如，Z?xy是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限

2定義2

設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價敘述1 設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0??x?x0???y?y0???時，有f(x,y)?A??，就稱A是13-2

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二元函數(shù)在M0點的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價敘述2 設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時，有

f0f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極限。記為limM?M?M??A或f?M??A?M?M0 ?。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點列及任何方式趨于M0時，f(M)M?M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點列趨于M0時，f(M)的極限是A。但若M在某一點列或沿某一曲線?M0時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx2?y22，討論在點(0,0)的的二重極限。

例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2xyx2?y或2，討論在點(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例：f(x,y)????1,x?y其它y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例：limx??y??x?yx2?xy?ysinxyx2。

例：① limx?0y?0② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0coscos32?sin2?3??sin??0?（注意：cos3??sin?在??37?4時為０，此時無界）。

xyx22例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)??y2，討論在點(0,0)的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)． 例：f(x,y)?xyx2?y2在(0,0)的二重極限不存在．

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三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?M?在M0點連續(xù)．

M?M0“???語言”描述：???0,???0,當(dāng)0

????四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。

最大值最小值定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D內(nèi)任意兩點，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，零點存在定理

設(shè)D是R中的一個區(qū)域，如果f(P0)?0，????????f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點Ps，使f(Ps)?0。

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x?x0y?y0外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對任一固定的y，當(dāng)x?x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)在y?y0時的x?x0極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對x，再對y的二次極限，記為y?y0limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)???0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?0y?01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。

例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

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f(x,y)?xyx2?y2，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x?0y?0y?0x?0x?0y?0例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)xx22?y?y22，(x,y)?(0,0)

則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不可交換）

x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯(lián)系。

定理1 設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y)。則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)存在；（3）?x,x?x0，limf(x,y)x?x0y?y0x?x0y?y0存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限limf(x,y)。

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0推論2 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限limf(x,y)必不存在（可x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0用于否定重極限的存在性）。例：求函數(shù)f?x,y??xy22222xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

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第二篇：函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性（本站推薦）

第一部分高等數(shù)學(xué)

第一節(jié)函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性

考點梳理

一、函數(shù)及其性質(zhì)

1、初等函數(shù)

冪函數(shù)：y?xa(a?R)

指數(shù)函數(shù)y?ax(a?1且a?1)

對數(shù)函數(shù)：y?logax(a?0且a?1)

三角函數(shù)：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函數(shù)：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、單調(diào)性相對考察的可能性打，但一般不會單獨出題，常與其他知識點結(jié)合起來考察（比如與積分、導(dǎo)數(shù)結(jié)合）

二、函數(shù)極限

1． 數(shù)列極限

定義（略）

收斂性質(zhì)：極限的唯一性、極限的有界性、極限的保號性。

·類比數(shù)列極限，函數(shù)極限有唯一性、局部有界性、局部保號性。

單側(cè)極限（左極限、右極限）

【注】函數(shù)極限為每年的必考內(nèi)容，常見于客觀題中。一般為2~3題。

2． 兩個重要極限

（1）limsinx?1 x?0x

x類似得到：x→0時，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1?x)?e x?0

類似得到：lim(1?)?elim(1?)?x??x??1xx

1xx1 e

·此處，需提及無窮大，無窮小的概念，希望讀者進(jìn)行自學(xué)。

三、函數(shù)的連續(xù)性

1． 概念：函數(shù)f(x)在x0處的連續(xù)（f(x)在x0點左連續(xù)、f(x)在x0點右連續(xù)）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上的連續(xù)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)

2． 函數(shù)的間斷點分類

● 跳躍式間斷點：函數(shù)f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等。

● 函數(shù)在點x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點的函數(shù)值（或函數(shù)值在該

點無定義）

● 振蕩間斷點：f(x)在點x0的左右極限至少有一個不存在。

3． 連續(xù)函數(shù)的和、積、商，初等函數(shù)的連續(xù)性

● 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。

● 有限個再某點連續(xù)的函數(shù)的積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。

● 兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商事一個在該點連續(xù)的函數(shù)（分母在該點不為零）● 一切基本初等函數(shù)在定義域（或定義區(qū)間）上是連續(xù)的。

4． 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

●（最大、最小定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。

●（零點定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)·f(b)<0），那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點。

● 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點處取不同的函

數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少有一點ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函數(shù)的連續(xù)性，一般在客觀題目中出現(xiàn)，分值不大，一般1~2題。

典型例題分析

【例1】（2010年真題）（工程類）計算極限limx?sinx? x?0x?sinx

A.1B.-1C.0D.2sinx?1這一重要極限。如此，我們不難解x?0x

sinxsinx1?1?limx?sinxx?0??0。出該極限為0.即lim?limx?0x?sinxx?01?1?limx?0xx

x?cx)?e6,則常數(shù)c=_________?！纠?】（2010年真題）（工程類）設(shè)lim(x??x?c

1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運用lim(1?)?。x??xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握lim

2cxx?cx2cx

2?ccx?clim()?lim(1?)?limex??x?cx??x??x?c?2c1?c?e?2c?e6。則c=-3。

1???xsin,x?0【例3】（2009年真題）（工程類）設(shè)f(x)??若f(x)在點x=0處連續(xù)，則αx??0,x?0的取值范圍是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函數(shù)f(x)為一個分段函數(shù)，要使其在點x=0處連續(xù)，只需limxsinx?0?1?0，不難x

發(fā)現(xiàn)x→0時，sin x 為有界的，我們只需滿足limx?0即可。易得，α>0。但α不能等于x?0?

0，否則limsinx?01?0。x

提高訓(xùn)練

1、求下列函數(shù)的定義域

（1）y?

（2）y?1 2x?2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y?1? 1?x22、判斷一下函數(shù)的奇偶性

ax?a?x

(1)y = tan x(2)y?a(3)y? 2x3、求下列函數(shù)的極限

1x3?4x2(1)lim(3x?1)(2)lim3(3)limxsinx?3x?0x?0x?xx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1?)x?0x??x?01?cosxxx

?1?ex,x?0??

4、討論f(x)??0,x?0在x=0點的連續(xù)性。

x?05、證明方程x?3x?1至少有一個根介于1和2之間。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、連續(xù)

5、證明：記f(x)?x?3x?1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零點存在定理知，至少存在一個零點介于1和2之間。即方程x?3x?1在1和2之間至少有一個根。555

第三篇：7.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

§7.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

一．多元函數(shù)的基本概念 1.引例

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中常常遇到一個變量依賴于多個自變量的函數(shù)關(guān)系，比如：

例1矩形面積S與邊長x，寬y有下列依從關(guān)系：

S?x?y(x?0,y?0)．

其中，長x與寬y是獨立取值的兩個變量．在它們變化范圍內(nèi)，當(dāng)x，y取定值后，矩形面積S有一個確定值與之對應(yīng)．

例2在第7章中我們學(xué)習(xí)了曲面的方程，例如橢圓拋物面的方程為：x2y2x2y2z?2?2，雙曲拋物面的方程為z?2?2，這里的z坐標(biāo)既跟x有關(guān)，又跟ababy有關(guān)，它是x，y的二元函數(shù).2.多元函數(shù)的概念

定義1設(shè)D是R2的一個非空子集，映射f ：D?R稱為定義在D上的二元函數(shù)，記為

z?f(x，y)?(x，y)?D(或z?f(P)?P?D)其中，點集D稱為該函數(shù)的定義域，x，y稱為自變量，z稱為因變量.上述定義中，與自變量x、y的一對值(x，y)相對應(yīng)的因變量z的值，也稱為f 在點(x? y)處的函數(shù)值，記作f(x，y)，即z?f(x?y).函數(shù)f(x，y)值域：f(D)?{z|z?f(x，y)，(x，y)?D}.函數(shù)的其它符號?z?z(x，y)，z?g(x，y)等.類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)，(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù).一般地，把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D? 映射f ：D?R稱為定義在D上的n元函數(shù)，通常記為u?f(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)?D，或簡記為u?f(x)，x?(x1，x2，...，xn)?D，也可記為u?f(P)，P(x1，x2，...，xn)?D.關(guān)于函數(shù)定義域的約定：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u?f(x)時，就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域.因而，對這類函數(shù)?它的定義域不再特別標(biāo)出.例如：

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域為{(x，y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)? 函數(shù)z?arcsin(x2?y2)的定義域為{(x，y)|x2?y2?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形?點集{(x，y，z)|z?f(x，y)，(x，y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x，y)的圖形，由第6章的學(xué)習(xí)知，二元函數(shù)的圖形是一張曲面.例如z?ax?by?c是一張平面，而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.例1求二元函數(shù)z?9?x2?y2的定義域． 解 容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)自變量x，y滿足不等式

x2?y2?9, 函數(shù)z才有定義．其幾何表示是xOy平面上以原點為圓心，半徑為3的圓內(nèi)及圓周邊界上點的全體，如圖7.1.1所示．即函數(shù)z的定義域為

x2?y2?9．

圖7.1.1 圖7.1.2

例2求函數(shù)z?ln(x?y)的定義域．

解 函數(shù)的定義域為x?y?0，其幾何圖形是xOy平面上位于直線y??x上方的半平面，而不包括直線的陰影部分，如圖7.1.2所示．

x2?y2?arcsec(x2?y2)的定義域． 例3求函數(shù)z?arcsin2解 函數(shù)z是兩個函數(shù)的和，其定義域應(yīng)是這兩個函數(shù)的定義域的公共部分．函數(shù)的定義域由不等式組

22??x?y?2 ?22??x?y?1構(gòu)成，即1?x2?y2?2．

定義域的圖形是圓環(huán)（包括邊界），如圖7.1.3所示．

圖7.1.3 圖7.1.4

例5求函數(shù)z?11?x?y22的定義域．

解 函數(shù)的定義域為

1?(x2?y2)?0，即x2?y2?1.它的圖形是不包括邊界的單位圓，如圖7.1.4所示． 二?多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在P(x，y)?P0(x0，y0)的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f(x，y)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)?(x0，y0)時的極限?

定義2設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x?y)的定義域為D，P0(x0，y0)是D的聚點.如果存

(,)D?U?P(,)0?時，在常數(shù)A，使得對于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，當(dāng)Pxy?總有

|f(P)?A|?|f(x?y)?A|??

成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)?(x0，y0)時的極限，記為

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A，或f(x，y)?A((x，y)?(x0，y0)也可簡記為

P?P0limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)上面定義的極限也稱為二重極限.定義用兩個正數(shù)?，?和相關(guān)距離對極限過程做出了精確描述，這種描述通常稱為?—?語言，該語言可以用來驗證某個常數(shù)是函數(shù)在相關(guān)過程中的極限.極限概念的推廣：在定義2中將P(x，y)改為P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函數(shù)的極限.多元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)的運算法則類似.例5 設(shè)f(x,y)?(x2?y2)sin證 因為

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin1?0| ?|x2?y2|?|sin1| ?x2?y2，x2?y2x2?y21，求證limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x2?y2可見? ?>0，取???，則當(dāng)

0?(x?0)2?(y?0)2??? 即P(x,y)?D?U(O,?)時，總有

|f(x?y)?0|??，因此(x,y)?(0,0)?limf(x,y)?0?

sin(x2y).例6求極限limx?0x2?y2y?0sin(x2y)sin(x2y)x2y?lim?22,令u=x2y，則 解 lim222x?0x?yx?0xyx?yy?0y?0x2ysinu1sin(x2y)12xylim?x?1,lim=而??x22222x?0u?0x?yu2xy2x?yy?0x?0????0，sin(x2y)?0.所以limx?0x2?y2y?0例7證明limxy不存在.x?0x2?y2y?0證取y?kx(k為常數(shù))，則 limx?0y?0xyx?kxk?lim?，x2?y2x?0x2?k2x21?k2y?kx易見，所要求的極限值隨k的變化而變化，故limx3y例8證明lim6不存在.x?0x?y2y?0xy不存在.x?0x2?y2y?0kx3yx3?kx3?,其極限值隨k的不同而變證取y?kx,lim6?limx?0x?y2x?0x6?k2x61?k233y?0y?kx化，故極限不存在.例9證明lim(1?xy)x?0y?01x?y極限不存在.證取xn?0,yn?lim(1?xnyn)n??1xn?yn1(n為自然數(shù))，則當(dāng)n??時，yn?0,且 n?lim(1?0)n??10?1/n?1.11,則當(dāng)n??時，xn?0,yn?0,且 取xn?,yn??nn?1lim(1?xnyn)n??1xn?yn?1??lim?1??n???n(n?1)?n(n?1)1?, e1x?y因為對于不同的子列，所求得的極限的值不同，故lim(1?xy)x?0y?0不存在.三?多元函數(shù)的連續(xù)性 1.多元函數(shù)連續(xù)性概念

定義3設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x，y)的定義域為D?（1）P0(x0，y0)為D的聚點?且P0?D.如果

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，則稱函數(shù)f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù).（2）設(shè)D內(nèi)的每一點都是D的聚點，如果函數(shù)f(x，y)在D的每一點都連續(xù)? 則稱函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)? 或稱f(x，y)是D上的連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.一元基本初等函數(shù)可看成其中一個自變量不出現(xiàn)的二元函數(shù)，很容易證明，把一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)時它們都是連續(xù)的.例10 設(shè)f(x，y)?cosx，證明f(x? y)是R2上的連續(xù)函數(shù).證 對于任意的P0(x0，y0)?R2，因為

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?(x,y)?(x0,y0)limcosx?cosx0?f(x0,y0)?

所以，函數(shù)f(x，y)?cosx在點P0(x0，y0)連續(xù)，由P0的任意性知? cosx作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù).類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時，它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.定義4設(shè)函數(shù)f(x?y)的定義域為D? P0(x0?y0)是D的聚點.如果函數(shù)f(x?y)在點P0(x0?y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0，y0)為函數(shù)f(x?y)的間斷點.注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點.可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處的點仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似，多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)，這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而得到的.x?x2?y2x2?y2?z2例如 ?cos(x?y+z)?都是多元初等函數(shù).e1?y2一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性? 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P0處的極限? 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)? 則

p?p0limf(P)?f(P0)?

例11討論二元函數(shù)

?x3?y3,(x,y)?(0,0)?f(x,y)??x2?y2

?0,(x,y)?(0,0)?在(0,0)處的連續(xù)性.解由f(x,y)表達(dá)式的特征，利用極坐標(biāo)變換：令

x??cos?,y??sin?,則

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?lim?(sin3??cos3?)?0?f(0,0)，??0所以函數(shù)在(0,0)點處連續(xù).?y?例12求極限lim?ln(y?x)??.x?021?x??y?1y??1??解 lim?ln(y?x)??ln(1?0)???1.??x?021?x???1?0?y?1ex?y.例13求limx?0x?yy?1ex?ye0?1ex?y??2.解 因初等函數(shù)f(x,y)?在(0,1)處連續(xù)，故 limx?0x?y0?1x?yy?12.多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界?且在D上取得它的最大值和最小值.性質(zhì)1表明：若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則必存在常數(shù)M?0，使得對一切P?D，有|f(P)|?M，且存在P1、P2?D，使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}，f(P2)?min{f(P)|P?D}

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.問題討論：

1.若點(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)都趨向于A，能否斷定2.討論函數(shù)

?xy2,x2?y2?0?24f(x,y)??x?y

2?0,x?y2?0?(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 的連續(xù)性.3.你能否用?—?語言證明

sin(x2y)lim22?0.x?0x?yy?0

本節(jié)引入了多元函數(shù)概念，給出了多元函數(shù)極限的定義和計算方法，通過例題介紹了根據(jù)定義證明極限存在（即?-?語言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后討論了多元連續(xù)函數(shù)，給出了定義和它的基本性質(zhì).習(xí)題7.1 y??1.設(shè)f?x?y,??x2?y2,求f(x,y).x??x22?已知函數(shù)f(x,y)?x?y?xycot2，試求f(tx，ty).y3?求下列各函數(shù)的定義域(1)z?ln(y2?5xy?1)?(2)z?11? ?22x?yx?yx?y?(3)z?(4)u?R2?x2?y2?z2?1(R?r?0)?

2222x?y?z?r(5)u?arcsinzx?y22?

4? 求下列各極限?

1?x2y(1)lim?(x,y)?(0,3)x3?y3(2)limln(y?ex)x?y22(x,y)?(1,1)?(3)2?xy?4? xy(x,y)?(0,0)limlimxy?

xy?1?1(4)(5)(x,y)?(0,0)sin(xy)?

(x,y)?(0,2)xlim1?cos(x2?y2)(6)lim22?(x,y)?(0,0)(x2?y2)exy5?證明下列極限不存在?(1)x?y?

(x,y)?(0,0)x?ylim(2)xy?

(x,y)?(0,0)xy?x?ylimey?ax6?函數(shù)z?（a為常數(shù)）在何處間斷？

y?2x7?用 ?-? 語言證明

(x,y)?(0,0)limxy?0? 22x?y

第四篇：多元函數(shù)的極限

三． 多元函數(shù)的極限

回憶一元函數(shù)極限的定義：

limf(x)?A?設(shè)是定義域Df的聚點。x?x0x00對???0，總???0,?x?U(x0,?)Df時，都有f(x)?A??成立。

定義1 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域為Df，P(x0,y0)是Df的聚點。如果

0Df時，都有存在常數(shù)A，對???0，總???0,?P(x,y)?U(P0(x0,y0),?)f(x,y)?A??成立，那么稱A為P(x,y)趨于P0(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)的極限，lifmP?(A)記作P或者?P0(x,y)?(x0,y0)limf(P)?A或者xl?xi0fmP?(A)或者

y?y0f(x,?y)A,(P?(x(x0,y0)。0P,y))Df趨于P0； 注：1.P(x,y)?P0(x0,y0)是指點P沿著任意路徑在2.為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，把二元函數(shù)的極限也稱之為二重極限；

3.二元及其多元函數(shù)的極限的四則運算法則與一元函數(shù)一致。

22例1 設(shè)f(x,y)?(x?y)sin1limf(x,y)?0。22，求證x?x0y?y0x?y2證明 顯然函數(shù)f(x,y)的定義域為Df?R{(0,0)}，(0,0)是Df的聚點。因為

(x2?y2)sin只須112222?0?x?y(x?y)sin?0??，???0，所以對，要使2222x?yx?yx2?y2??成立即可。也就是說，對???0，總?????0，22?P(x,y)?U0(O(0,0),?)時，總有(x?y)sin1?0??成立，故

x2?y2x?x0y?y0lim(x2?y2)sin1?0。22x?ysin(x2y)?? 例2 求極限limx?0x2?y2y?0提示：四則運算，并考慮重要極限和基本不等式。x3y例3 證明函數(shù)lim不存在？ x?0x6?y2y?0提示：設(shè)y?kx3。學(xué)生練習(xí)1.求極限limsin(xy)??

x?0xy?2?xy,x2?y2?0?2limf(x,y)2學(xué)生練習(xí)2.證明函數(shù)f(x,y)??x?y的極限x?0不存在？

y?0?0,x2?y2?0? 四.多元函數(shù)的連續(xù)連

回憶一元函數(shù)連續(xù)的定義：

limf(x)?f(x0)。f(x)在點x0處連續(xù)?x?x0Df的聚點，且定義2 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域為Df，P0(x0,y0)是limf(x,y)?f(x0,y0)P?Dx?x0。如果，那么稱函數(shù)f(x,y)在點P 0f0(x0,y0)處連續(xù)。y?y0定義3 設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域為Df，且Df內(nèi)每一點都是聚點。如果函數(shù)z?f(x,y)在Df內(nèi)的沒一點處都連續(xù)，那么稱z?f(x,y)在Df上聯(lián)系或者稱z?f(x,y)為Df上的連續(xù)函數(shù)。

注：1.定義2和定義3可以推廣至n元函數(shù)的情形。

例1 設(shè)f(x,y)?sinx，證明函數(shù)f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)？

limf(x,y)?sinx02x?x0(x,y)?R分析：對P,證明（???語言）。000y?y0證明

Df的聚點，P定義4.設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域為Df，且P0?Df。0(x0,y0)是如果函數(shù)f(x,y)在點P則稱點P0(x0,y0)處不連續(xù)，0(x0,y0)為函數(shù)z?f(x,y)的間斷點。

?xy,x2?y2?0?22例2 函數(shù)f(x,y)??x?y在點O(0,0)的連續(xù)性？

?0,x2?y2?0?解：點O(0,0)雖為定義域R2的聚點，但由于f(x,y)在點O(0,0)無極限，故函數(shù)f(x,y)在點O(0,0)間斷。

例3 函數(shù)f(x,y)?sin122的定義域為Df?{(x,y)x?y?1}，但22x?y?1C?{(x,y)x2?y2?1}上的點為Df的聚點，又由于f(x,y)在C上沒有定義。故C上的點是f(x,y)的間斷點。

1.函數(shù)極限存在；??2.有定義； 連續(xù)??

?3.極限等于該點的函數(shù)值；?

多元函數(shù)的連續(xù)性的性質(zhì)與一元函數(shù)一致：

1.多元連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為其定義域上的連續(xù)函數(shù)； 2.多元連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零的點處任連續(xù)； 3.多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；

4.多元初等函數(shù)是其定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)（定義區(qū)域：半酣定義域的區(qū)域或者閉區(qū)域）。

可以利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。例4 limx?y??

x?1xyy?2,2)?Df是內(nèi)點，因此存在U(P分析：Df?{(x,y)x?0且y?0}，P0(10;?)?Df是x?y3?f(1,2)?。Df內(nèi)的區(qū)域，因此limx?1xy2y?2一般地，若f(x,y)是初等函數(shù)，且P0(x0,y0)是f(P)的定義域的內(nèi)點，則x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)。

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的最值定理類似，有

性質(zhì)1 定義在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值。性質(zhì)2（介值定理）有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間 的任何一個值。

性質(zhì)3 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。

第五篇：極限的四則運算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運算，函數(shù)的連續(xù)性

二.教學(xué)重、難點： 1.函數(shù)在一點處連續(xù)

2.函數(shù)在開區(qū)間，閉區(qū)間上連續(xù) 3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）若與在處連續(xù)，則，（）在處也連續(xù)。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點處取得，也可以在內(nèi)取得。

【典型例題】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數(shù)列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。

（1）求的通項公式及前項和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比為的等比數(shù)列，則

（2）① 當(dāng)時，原式 ② 當(dāng)時，原式 ③ 當(dāng)時，原式

[例4] 判定下列函數(shù)在給定點處是否連續(xù)。（1）在處；（2），在處。解：（1），但

故函數(shù)在處不連續(xù)（2）函數(shù)在處有定義，但，即

故不存在，所以函數(shù)在點處不連續(xù)。

[例5] 已知函數(shù)，試求：（1）的定義域，并畫出的圖象；（2）求，；

（3）在哪些點處不連續(xù)。解：

（1）當(dāng)，即時，當(dāng)時，不存在 當(dāng)時，當(dāng)時，即或時，∴

∴ 定義域為（）（），圖象如圖所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及處不連續(xù)

∵ 在處無意義 時，即不存在∴ 在及處不連續(xù)

[例6] 證明方程至少有一個小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當(dāng)時。時，∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個，使

即：至少有一個，滿足且，所以方程至少有一個小于1的正根。

[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則

∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無定義 ∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)

[例8] 假設(shè)，在上不連續(xù)，求的取值范圍。

解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點處連續(xù)的定義，必有，因為，所以，所以，若不連續(xù)，則且。

[例9] 設(shè)

（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續(xù)，求的值。解：

（1），因為在處極限存在，所以，所以，即（2）因為在處連續(xù)，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】 一.選擇題：

1.已知，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值為（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值為（）

A.1

B.0

C.D.4.的值為（）

A.B.C.1

D.5.若，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.若在上處處連續(xù)，則常數(shù)等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在點處連續(xù)是在點處連續(xù)的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

8.的不連續(xù)點是（）

A.無不連續(xù)點

B.C.D.二.解答題： 1.求下列極限：

（1）

（2）

（3）2.為常數(shù)，1，求。

3.已知

（1）在處是否連續(xù)？說明理由；（2）討論在和上的連續(xù)性。

【試題答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 當(dāng)時，∴

② 當(dāng)時，∴

③ 當(dāng)時，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，則

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在處不連續(xù)（2）∵

∴ 在上是不連續(xù)函數(shù) ∵

∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。