第一篇：第十四講多元函數(shù)的極限與連續(xù)
第十四講多元函數(shù)的極限與連續(xù).1 多元函數(shù)極限與連續(xù)的基本概念
對多元函數(shù)的研究，主要以二元函數(shù)為代表，對多于兩個(gè)變元的函數(shù)，基本上與二元函數(shù)相似．要討論二元函數(shù)，就要涉及它所定義的平面點(diǎn)集問題，這正如要討論一元函數(shù)就要研究實(shí)數(shù)點(diǎn)集一樣．
一、關(guān)于平面點(diǎn)集．點(diǎn) P0?x0,y0?的鄰域
對??0，稱點(diǎn)集?x,y?|x?x0??,y?y0??為P0點(diǎn)的方形?鄰域；稱點(diǎn)集
．通稱為P0點(diǎn)的?鄰域，?x?x0?2??y?y0?2??2為P0點(diǎn)的圓形?鄰域（它們是等價(jià)的）記作??P0;??，簡記為??P0?，空心鄰域記為 ?0?P0?.2 ．點(diǎn)與點(diǎn)集之關(guān)系 ??P?R2為一定點(diǎn)，E?R2為一點(diǎn)集．
(1）內(nèi)點(diǎn)：若???0，使 ??P;???E，則稱P為 E 的內(nèi)點(diǎn)． E 的所有內(nèi)點(diǎn)所成之集稱為 E 的內(nèi)部，記為 intE.(2）外點(diǎn)：若???0，使 ??P;???E??，則稱P為 E 的外點(diǎn)．
CC(3）界點(diǎn)：若???0，有 ??P;???E??，且??P;???E??（其中廠為E的余集），則稱P為 E 的邊界點(diǎn)，簡稱為界點(diǎn)． E 的所有界點(diǎn)所成之集稱為 E 的邊界，記為?E
0(4）聚點(diǎn)：若 ???0，有??P;???E??，則稱P為 E 的聚點(diǎn)． E 的所有聚點(diǎn)所
'成之集稱為 E 的導(dǎo)集，記為E．
0(5）孤立點(diǎn)：若P?E，且???0，使??P;???E??，則稱P為 E 的孤立點(diǎn)． ．一些重要的平面點(diǎn)集
(1）開集：若intE?E，則稱 E 為開集．
(2）閉集：若E?E，則稱 E 為閉集，(3）連通集：若 E 內(nèi)任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 內(nèi)的有限折線相連接，則稱 E 為連通集．
(4）開域：連通的開集稱為開域．
(5）閉域：開域連同其邊界所成點(diǎn)集稱為閉域．
(6）區(qū)域：開域、閉域或開域連同它的部分邊界所成的點(diǎn)集通稱為區(qū)域．
(7）有界集：若?r?0，使得E???O,r?(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱 E 為有界集． '（8）無界集：若 ?r?0，使得E???O,r?(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱 E 為無界集．
(9）點(diǎn)集的直徑：d?E??sup?P,Q?（其中 p 表示距離）
O,Q?E4.R的完備性．
與實(shí)數(shù)的完備性一樣，R也是完備的．刻畫實(shí)數(shù)完備性的定理也可推廣到R中來．(l）點(diǎn)列的極限：設(shè)?Pn?xn,yn???R2，為一點(diǎn)列，P0?x0,y0??R2 為一定點(diǎn)，若對 當(dāng) n > N 時(shí)，恒有??Pn,P0???，則稱?Pn?收斂于P0，記為limPn?P0 ???0,?N?0，n??222注：limPn?P0?limxn?x0,limyn?y0．
n??n??n??(2）柯西準(zhǔn)則：點(diǎn)列?Pn?收斂?對 ???0,?N?0，當(dāng)n , m > N 時(shí)，恒有??Pn,Pm???·
(3）閉域套定理：設(shè)?Dn?是R中的閉域列，滿足：
2① Dn?Dn?1,n?1,2,...；
②limdn?0?dn?d?Dn??;
n??則存在唯一的點(diǎn)P0?Dn,n?1,2,...(4）聚點(diǎn)定理：設(shè) E 為有界無窮點(diǎn)集，則必有聚點(diǎn)． 推論：有界無窮點(diǎn)列必有收斂子列．
(5）有限覆蓋定理：設(shè) D 為有界閉域，H???a|?a,a?I為開域｝，若 H 覆蓋了 D，則必有有限個(gè)開域覆蓋了 D , 即??i?D.i?1n例 14.1 設(shè)E?R為一點(diǎn)集，A?xa,ya?為 E 的內(nèi)點(diǎn)，B?xb,yb?為 E 的外點(diǎn)，證明：2連接 A , B 的直線段必與 E 的邊界?E 至少有一個(gè)交點(diǎn)．
證明：記xa?xb?l1,ya?yb?l2．取線段 AB 的中點(diǎn) C ?xc,yc?，若C??E，則結(jié)論已成立．否則 A 與 C 或 B 與 C 必有一對是一內(nèi)一外的．將它們記為A1x1,y1，bb．則顯然：
B1x1,y1?aa???① x1,x1??xa,xb?,y1,y1??ya,yb?； abab??b??② x1?x1?al1al,y1?y1b?2． 22重復(fù)以上步驟，若有某次取的中點(diǎn)Cn??E，則證明結(jié)束，否則這一過程一直進(jìn)行下去，aa得到兩個(gè)點(diǎn)列?Anxn,yn??? , ?B?x,y??滿足：
nbnbnabababab① xn,2,...? ?1,xn?1?xn,xn,yn?1,yn?1?yn,yn?n?1????????② xn?xn?abl1l2ab,y?y? nn2n2nabab由實(shí)數(shù)的閉區(qū)間套定理必存在唯一的x0?xn,xn,y0?yn,yn,n?1,2,...,下證
????P0?x0,y0???E．事實(shí)上，假設(shè)不是如此，則P0要么屬于 E 的內(nèi)部，要么屬于 E 的外部，不妨設(shè)它屬于 E 的內(nèi)部，由開集的定義，???0，使得??P0;???E由區(qū)間套定理，aa對上述的?,?N?0，當(dāng) n > N 時(shí)，Anxn,yn???????P;??,?B?x,y?????P;??，此
0nbnbn0與我們的取法矛盾，即必有P0?x0,y0???E 二、二元函數(shù)及極限
（一）二元函數(shù)．二元函數(shù)定義
若廠是從D?R到實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)映射，則稱f是一個(gè)二元函數(shù)，D 為f的定義域，2f?D??R 是其值域．記為z?f?x,y?,?x,y??D..n 元函數(shù)定義
若f是D?R到實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)映射，則稱 f 是一個(gè) n 元函數(shù)，D 為f的定義域，2f?D??R是其值域．記為y?f?x1,x2,...,xn?,?x1,x2,...,xn??D.k 一次齊次函數(shù)
若函數(shù)u?f?tx1,tx2,...,txn??tkf?x1,x2,...,xn?則稱f為k一次齊次函數(shù)。如
xf?x,y??x2?y2?xytan是2一次齊次函數(shù)
y
（二）二元函數(shù)的極限．二重極限
(l）定義：設(shè)f定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為 D 的聚點(diǎn)，A是一個(gè)定常數(shù)，若對
2???0,???0，使當(dāng) P??0?P0;???D 時(shí)，有f?P??A??，則稱 f 在 D上當(dāng)
P?P0時(shí)，以A為極限，記為limf?P??A
P?P0注：若P?x,y??P0?x0,y0?，則極限用坐標(biāo)表示為：若P0?x0,y0?為 D 的聚點(diǎn)，對???0,???0，當(dāng)x?x0??,y?y0??，且?x,y???x0,y0?時(shí)，恒有
f?x,y??A?? 記為(2）充要條件： ①
②?x,y???x0,y0?limf?x,y??A
P?P0P?P0?P?D?limf?P??A?limf?P??A,??E?D?
n??P?P0?P?D?limf?P??A?對?Pn?D,且Pn?P0有l(wèi)imf?Pn??A
(3）極限不存在（特殊路徑法）：存在E1,E2?D，且P0是它們的聚點(diǎn)，若
P?P0?P?E1?limf?P??A1,P?P0?P?E2?limf?P??A2
且A1?A2，則limf?P?不存在．
P?P0例 14.2
當(dāng)?x,y???0,0?時(shí)，證明：（1）f?x,y??xsin11?ysin極限為0 yx（2）f?x,y??xy極限不存在．
x2?y2?1,0?y?x2?x,y??R2極限不存在．（3）f?x,y????0,其余證明：（1）對???0，取???2?0，當(dāng)x??,y??時(shí)，恒有
f?x,y??0?xsin即11?ysin?x?y?? yx?x,y???0,0?limf?x,y??0
（2）當(dāng)沿著x軸（即y?0）讓動(dòng)點(diǎn)?x,y???0,0?時(shí)，xy?0，當(dāng)沿著
?x,y???0,0?x2?y2lim直線x?y讓動(dòng)點(diǎn)?x,y???0,0?時(shí)，1xy1?0，所以 ?，而
?x,y???0,0?x2?y222limxy不存在。
?x,y???0,0?x2?y2lim(3）沿任何通過原點(diǎn)的直線y?kx，讓動(dòng)點(diǎn)?x,y???0,0?時(shí)，函數(shù)的極限都存在．且為 0.事實(shí)上，當(dāng)y?0時(shí)，f?0，結(jié)論顯然成立；當(dāng) y > 0 時(shí)，不妨設(shè) k > 0（因?yàn)?k < o 充分小時(shí)（這一點(diǎn)總可以實(shí)現(xiàn)．因?yàn)閤?0），必有y?kx?x2，此時(shí)f?x,kx??0，?x,y???0,0?limf?x,y??limf?x,kx??0，即恒有
x?0limf?x,kx??0
x?0但是
?x,y???0,0?limf?x,y?還是小存在，事頭上，當(dāng)沿著路徑y(tǒng)?12x，讓動(dòng)點(diǎn)?x,y???0,0? 2?x,y???0,0?limf?x,y??1?0
注：這個(gè)例子說明，當(dāng)判斷二元函數(shù)在某點(diǎn)處極限是否存在時(shí)，即使沿通過該點(diǎn)的所有直線趨于該點(diǎn)時(shí)的極限都存在且相等，還不能確定該點(diǎn)的極限存在．．二次極限（也叫累次極限）
(l）定義：形如limlimf?x,y?和limlimf?x,y?的極限，分別稱為先x 后 y 和先 y 后y?y0x?x0x?x0y?y0x的二次極限．
注：兩二次極限若都存在，可未必相等；也可以一個(gè)存在，另一個(gè)不存在． 例 14.3
考查下來函數(shù)的兩個(gè)累次極限：
x?y?x2?y2(1)f?x,y??在?0,0?點(diǎn)；
x?y(2)f?x,y??xsin11和g?x,y??ysin在?0,0?點(diǎn)；
xy(3)f?x,y??xy 22x?yx2?xy2?y?
1解：（1）limlimf?x,y??lim??1，但limlimf?x,y??limx?0y?0y?0y?0x?0y?0xy(2)limlimf?x,y??limlimxsiny?0x?0y?0x?011?0,但limlimxsin不存在
x?0y?0yy11limlimg?x,y??limlimysin不存在，但limlimysin?0 y?0x?0y?0x?0x?0y?0xx(3)limlimf?x,y??limlimy?0x?0y?0x?0xy?0?limlimf?x,y?
22x?0y?0x?y(2）二重極限與二次極限的關(guān)系：
① 無蘊(yùn)含關(guān)系：即二重極限存在，兩個(gè)二次極限未必存在，如例 14.2(l）和例 14.3(2)；兩二次極限存在且相等，二重極限未必存在，如例 14.2(2）和例 14.3(3).② 有聯(lián)系：若二重極限與二次極限都存在，它們必相等． 證明：設(shè)?x,y???x0,y0?limf?x,y?與limlimf?x,y?都存在，記
x?x0y?y0?x,y???x0,y0?limf?x,y??A，則對
???0,??1?0,當(dāng)x?x0??1,y?y0??1且?x,y???x0,y0?時(shí)，恒有f?x,y??A?y?y0y?y0?2
對于固定的x,x??0?x0,?1?由于limf?x,y?極限存在，記為limf?x,y????x?，所以
???0????1?，當(dāng)0?y?y0??時(shí)，有
f?x,y????x??當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??時(shí)，有
?2
??x??A???x??f?x,y??f?x,y??A?即?x,y???x0,y0??2??2??
limf?x,y??A.同理，當(dāng)另一個(gè)二次極限與二重極限都存在時(shí)，它們也相等，所以得到了判定二重極限存在的又一種方法：若兩個(gè)二次極限都存在，但不相等，則二重極限必不存在．如例 14.3(1）中的函數(shù)在原點(diǎn)處，二重極限必不存在．
注：已經(jīng)知道，對一元函數(shù)，其極限類型共有 24 種，對二元函數(shù)，極限類型更多，沒必要再一一指出，下面僅通過一個(gè)例子稍加說明． 例 14.4
寫出下列類型極限的精確定義：(l)(3)?x,y???x0,????x,y?????,y0?limf?x,y??A（2）
?x,y?????,????x,y???x0,??limf?x,y??A f?x,y????． limf?x,y????（4）
lim解：(l）對???0，???0及 M > O，當(dāng)0?x?x0??,y?M時(shí)，恒有
f?x,y??A??
(2）對???0，?M?0，當(dāng)x??M,y?M 時(shí)，恒有
f?x,y??A??
(3）對?M?0,?G?0，及???0，當(dāng)x?G,0?y?y0??時(shí)，恒有
f?x,y??M
(4）對?M?0,?G?0及???0，當(dāng)0?x?x0??,y?M時(shí)，恒有
f?x,y??M
例 14.5
給出符合下列條件的函數(shù)的例子：當(dāng)x???,y???時(shí)：
(1）兩個(gè)二次極限存在，但二重極限不存在；(2）兩個(gè)二次極限不存在，但二重極限存在；
(3）重極限與二次極限都不存在；
(4）重極限與一個(gè)二次極限存在，另一個(gè)二次極限不存在． 解：(1)f?x,y??xy，二次極限 limlimf?x,y??0?limlimf?x,y?，但二22x???y???y???x??x?y重極限不存在：當(dāng)沿著y?x與y?2x兩條路徑趨于??時(shí)它們的極限不等．
(2)f?x,y??11siny?sinx，符合要求（驗(yàn)證略）xy(3)f?x,y??xy，符合要求（驗(yàn)證略）(4)f?x,y??1siny，符合要求（驗(yàn)證略）.x3 ．二重極限的求法
(l）用定義；
(2）用一元函數(shù)的方法，如特殊極限法、迫斂法則等；
?x?rcos?(3）對?x,y???0,0?類型的極。良，求極限日寸可作極坐標(biāo)代換?化為r?0
y?rsin??的一元函數(shù)的極限，進(jìn)而可以用洛必達(dá)法則等（注意，從例 14.2(3）可知，只有在極限存在時(shí)，才可以用此法）.例 14.6
求下列極限：
sinxyx2yx2?y2lim(l）lim；(2）；(3）·
lim?x,y???0,1?x?x,y???0,0?x2?y2?x,y?????,???x4?y4解：(l)（用定義）對???0，取????0，當(dāng) 0?x??,0?y??時(shí)，恒有
x2yx2y?2?y?? 22x?yxx2y即lim?0 ?x,y???0,0?x2?y2注：也可以用轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的方法．
(2)（用定義）???0，取M?2??0，當(dāng)x?M,y?M時(shí)，恒有
x2?y2x2y211??????????
x4?y4x4?y4x4?y4x2y222x2?y2即 lim?0
?x,y?????,???x4?y4(3)
?sinxysinxy???lim?y??1 ??x,y???0,1?x?x,y???0,1??xy??lim三、二元函數(shù)的連續(xù)性
（一）在一點(diǎn)的連續(xù)性．定義
(1）定義：設(shè) f 的定義域?yàn)镈?R，P0?x0,y0??D，若
2?x,y???x0,y0?limf?x,y??f?x0,y0?，則稱f在P0點(diǎn)連續(xù)．
2(2)(???語言）：設(shè) f 的定義域?yàn)镈?R，P0?x0,y0??D，若對???0，???0，當(dāng)?x,y??D且x?x0??,y?y0??時(shí)，恒有f?x,y??f?x0,y0???，則稱 f 在P0點(diǎn)連續(xù)．
注：若P0?x0,y0?為 D 的孤立點(diǎn)，則 f 在P0點(diǎn)必連續(xù)．這是因?yàn)樵赑0的某?鄰域內(nèi)屬于f定義域的點(diǎn)僅有P0一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)，f?x,y??f?x0,y0??f?x0,y0??f?x0,y0??0??(3)（用增量語言）：記
?x?x?x0,?y?y?y0,?f?f?x,y??f?x0,y0?（稱為函數(shù)的全增量）;
?xf?f?x,y0??f?x0,y0?,?yf?f?x0,y??f?x0,y0?（分別稱為關(guān)于x和 y 的偏增量）;則當(dāng)
??x,?y???0,0?lim?f?0時(shí)，稱 f 在P0?x0,y0?點(diǎn)連續(xù)． ．間斷點(diǎn)
使得 f 不連紋的點(diǎn)．叫f的間斷點(diǎn)．特別若
?x,y???x0,y0?limf?x,y??A?f?x0,y0?
或 f 在點(diǎn)P0無定義時(shí)．稱P0為可去間斷點(diǎn)． 3 ．在P0?x0,y0?點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)變元分別連續(xù)
若lim?x,y0??f?x0,y0?，則稱f?x,y?在P0點(diǎn)關(guān)于x是連續(xù)的．
x?x0若limf?x0,y??f?x0,y0?，則稱f?x,y?在P0點(diǎn)關(guān)于 y 是連續(xù)的．
y?y04 ．連續(xù)（或稱為關(guān)于兩變元（x , y）的整體連續(xù)）與分別連續(xù)的關(guān)系(1）連續(xù)?分別連續(xù)：結(jié)論是顯然的，因?yàn)槿?/p>
??x,?y???0,0?lim?f?0，則必有
?x?0lim?xf?0，和lim?yf?0·
?y?0(2）分別連續(xù)未必連續(xù)：例如，f?x,y????1,xy?0在原點(diǎn)處顯然不連續(xù)，但由于
?0,xy?0f?0,y??f?x,0??0，因此，在原點(diǎn)處 f 對二和 y 是分別連續(xù)的．
注：若函數(shù) f 關(guān)于各變量是分別連續(xù)的，再附加些什么條件可使其連續(xù)呢？這個(gè)問題在.2 節(jié)討論． ．在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì) 同一元函數(shù)．
（二）在區(qū)域上的連續(xù)性．定義
若函數(shù)f?x,y?在區(qū)域 D 上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f在區(qū)域 D上連續(xù)． 2 ．有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
(1）取最大（?。┲敌裕喝艉瘮?shù)f?x,y?在有界閉域 D 上連續(xù)，則函數(shù)在 D上必可取到最大值和最小值．
(2）有界性：若函數(shù)f?x,y?在有界閉域 D 上連續(xù)．則函數(shù)在 D 上必有界．
(3）介值定理：若函數(shù)f?x,y?在區(qū)域 D 卜連續(xù)，P1,P2為 D 中任意兩點(diǎn)．若
f?P1??f?P2?，則對任何滿足不等式f?P1??u?f?P2?的實(shí)數(shù)u．必存在P0?D 使得
f?P0???
(4）一致連續(xù)性：若函數(shù)f?x,y?在有界閉域D上連續(xù)．則必致連續(xù)．
注： ① 二元函數(shù)f?x,y?在區(qū)域 D 卜致連續(xù)定義：對???0,???0，對??x1,y1? , ?x2,y2??D，當(dāng)x1?x2??,y1?y2??時(shí)，恒有f?x1,y1??f?x2,y2???．
② 二元函數(shù)在區(qū)域 D 上不一致連續(xù)定義：對???0,??x1,y1?,?x2,y2??D．雖??0?0，然x1?x2??,y1?y2??，但是f?x1,y1??f?x2,y2???0． 例 14.7
證明函數(shù)f?x,y??1在D??0,1???0,1?上連續(xù)，但不一致連續(xù)．
1?xy1的定義域，而初等函數(shù)在定義域上都是連續(xù) 1?xy證明：因?yàn)?D 屬于初等函數(shù)f?x,y??的．下證它不一致連續(xù)：取?0?1??0，對???0?0???1?，取x1?y1?1?； 82x2?y2?1??，則?x1,y1?,?x2,y2??D，且x1?x2??2??,y1?y2??2??但是
f?x1,y1??f?x2,y2??1??即f?x,y???24?12???231??14?1?1?1?? ?0?2?881 在D??0,1???0,1?上不一致連續(xù)． 1?xy
第二篇：第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)(3 時(shí))
一.平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點(diǎn)集:
⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶圓域: 開圓, 閉圓, 圓環(huán).圓的個(gè)部分.極坐標(biāo)表示, 特別是
{(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷角域: {(r,?)|?????}.⑸簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域:圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域, 空心方鄰域與集
{(x,y)|0?|x?x0|?? ,0?|y?y0|??}的區(qū)別.二.點(diǎn)集的基本概念:
1.內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E, 界點(diǎn)不定.2.聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例1 確定集E?{(x,y)|
3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集、邊界和聚點(diǎn).intE?E時(shí)稱E為開集,E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.5.有界集與無界集:
6.點(diǎn)集的直徑d(E)：兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：
5|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.三.點(diǎn)列的極限:設(shè)Pn?(xn , yn),P0?(x0 , y0).定義limPn?P0的定義(用鄰域語言).n??
例2(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0,yn?y0,(n??).例3 設(shè)P0為點(diǎn)集E的一個(gè)聚點(diǎn).則存在E中的點(diǎn)列{ Pn }, 使limPn?P0.n??
四.R2中的完備性定理:
1.Cauchy收斂準(zhǔn)則:
先證{(xn , yn)}為Cauchy列?{ xn}和{ yn}均為Cauchy列.2.閉集套定理:[1]P89.3.聚點(diǎn)原理: Weierstrass聚點(diǎn)原理，列緊性.4.有限復(fù)蓋定理:
五.二元函數(shù):
1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象：
2.定義域：
例4 求定義域：
ⅰ>f(x,y)?
3.有界函數(shù):
4.n元函數(shù):
Ex[1]P92—931—8.9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ>f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)
§2二元函數(shù)的極限(3 時(shí))
一.二元函數(shù)的極限:
1.二重極限limf(P)?A的定義:也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或
x?x0y?y0limf(x,y)?A
146
例1 用“???”定義驗(yàn)證極限(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy
2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2
y?0
?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy22例3 設(shè)f(x,y)??x?y
?0 ,(x,y)?(0,0).?
證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)[1]P94 E2.P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個(gè)子集E ,只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn),就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?D
推論1 設(shè)E1?D,P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D
推論2 設(shè)E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2, P?P0P?E1P?P0P?E2
但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D
推論3 極限limf(P)存在?對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數(shù)列{f(Pn)}P?P0P?D
收斂.2方向極限:
方向極限lim?f(x0??cos? ,y0??sin?)?A的定義.??0
通常為證明極限limf(P)不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩P?P0
個(gè)方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關(guān);或沿兩條特殊的路徑的極限存在而不
相等.但應(yīng)注意, 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 二重極限存在(以下例5).?xy,(x,y)?(0,0),?22f(x,y)不存在.例4 設(shè)f(x,y)??x?y 證明極限lim(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?
(考慮沿直線y?kx的方向極限).[1]P95 E3.?例5 設(shè)f(x,y)???1,0,當(dāng)0?y?x2,???x???時(shí)，其余部分.證明極限(x,y)?(0,0)limf(x,y)不
存在.[1]P95 E4.147
二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限:
ⅰ>(x,y)?(0,0)limx2ysinxylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2
xy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ>lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y
f(x,y)???的定義:ⅲ>(x,y)?(0,0)lim3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim
其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y
Ex[1]P99—1001⑴—⑹，4，5.二.累次極限:
1.累次極限的定義: 定義.例8 設(shè)f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.[1]P97 E6.22x?y
x2?y2
例9 設(shè)f(x,y)?2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.2x?y
例10 設(shè)f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限與二重極限.yx
2.二重極限與累次極限的關(guān)系:
⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)
⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin
1y
在點(diǎn)(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.(例10)
⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.148
Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則x?x0y?y0
必相等.(證)[1]P98.推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí), 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí), 全面極限不存在.注: 兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在,另一個(gè)不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.Ex[1]P99
2§3二元函數(shù)的連續(xù)性(2 時(shí))
一． 二元函數(shù)的連續(xù)概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:
定義 用鄰域語言定義連續(xù).注: 函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).??xy
例1 設(shè)f(x,y)??22 ,x2?y2?0 ,?x?y
?m
??1?m2 ,x2?y2?0.證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).例1 設(shè)f(x,y)???1 ,0?y?x2,???x??? ,0 ,其他.([1]P101)
?
證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(diǎn)(0 , 0)f對x和y分別連續(xù).2.函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.3.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.4.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.(僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性[1]P102).二.一致連續(xù)性:定義.三.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):
1.有界性與最值性.(證)
2.一致連續(xù)性.(證)
3.介值性與零點(diǎn)定理.(證)
149
Ex[1]P104—1051 ⑴—⑸，2，4，5.150
第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)
數(shù)學(xué)分析
第16章
多元函數(shù)的極限與連續(xù)
計(jì)劃課時(shí)：
0 時(shí)
第16章
多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))
§ 1
平面點(diǎn)集與多元函數(shù)
一.平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點(diǎn)集:
⑴
全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}，{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，圓的一部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域 , 空心方鄰域與集
{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3． 點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿?
（1）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：
內(nèi)點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E
集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,.外點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E??
界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。E的邊界表示為?E
集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E , 界點(diǎn)不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集.（2）(以凝聚程度分為)聚點(diǎn)和孤立點(diǎn):
聚點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點(diǎn)。
孤立點(diǎn)：A?E但不是聚點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點(diǎn)集.解
E的聚點(diǎn)集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：
（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時(shí)稱E為開集 , E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:
（4）
點(diǎn)集的直徑d(E)： 兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).（5）
三角不等式：
|x1?x2|（或|y1?y2|）?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3)
二.R2中的完備性定理:
1． 點(diǎn)列的極限:
設(shè)Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言)
定義1。
limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)??
例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設(shè)P0為點(diǎn)集E的一個(gè)聚點(diǎn).則存在E中的點(diǎn)列{ Pn }, 使limPn?P0.n??
2．R2中的完備性定理：
（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:
.（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理:
三．二元函數(shù):
1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象：
2.定義域： 例6 求定義域：
ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如
z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)
四．n元函數(shù)
二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n
作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限
一.二重極限
二重極限亦稱為全面極限
1.二重極限
定義1 設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或
2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A
P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A
例1 用“???”定義驗(yàn)證極限
(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2
?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)
P94 E2.證明
(x,y)?(0,0)lim2.歸結(jié)原則：
定理 1
limf(P)?A, ?
對D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E
推論1
設(shè)E1?D, P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D
推論2
設(shè)E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1，P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D
推論3
極限limf(P)存在, ? 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在
例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>
(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>
3．極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義:
2定義2．設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 ?M?0,???0,或
P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)???
P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???
其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限
二次極限
1.累次極限的定義:
定義3．設(shè)Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個(gè)y?Eyy?y0存在極限limf(x,y)
記作?(y)?limf(x,y)
x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限
y?y0y?Ey記作L?limlim?(y)
簡記L?limlim?(y)
y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關(guān)系:
⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(diǎn)(0 , 0)的情況.y
⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x
⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??
二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限
推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , 二重極限不存在.但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在 , 另一個(gè)不存在 ??
二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0
作業(yè)提示: P99 1、2、4
§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時(shí))
一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:
定義
用鄰域語言定義相對連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y
f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2
f(x,y)??
([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :
定義
(單元連續(xù))
二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性:
二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):
1.有界性與最值性.(證)
2.一致連續(xù)性.(證)
3.介值性與零點(diǎn)定理.(證)
Ex
[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；
P137—138
1，4.10
第四篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)
多元函數(shù)的極限
1.求下列極限：
x2y111)lim(4x?3y)；
2）lim(x?y)sinsin；
3）lim2.2x?0x?2x?0x?yxyy?0y?1y?02
2.證明：若f(x，y)?
x?y，(x?y?0)，求 lim?limf(x，y)?與lim?limf(x，y)?.?x?0???y?0?y?0?x?0x?yx4y43.設(shè)函數(shù)f(x，y)?4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y?mx)趨于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)23(x?y)存在極限，且極限相等.但是，此函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限.x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數(shù)f(x，y)?2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)（0，0）存在極限.2x?y??
5.求下列極限： 1）lim
3）lim(x?y)In(x?y)；
4）limx?0y?022x?ysinxy；
2）； limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?4(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2x?0y?0.
第五篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)
第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)
1、判斷下列平面點(diǎn)集中哪些是開集、閉集、有界集、區(qū)域？并區(qū)分它們的聚點(diǎn)與界點(diǎn)？分析：由定義結(jié)合圖形直接得。
(1)[a,b)?[c,d)解：是有界集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E={(x,y)|(x,y)?[a,b]?[c,d]}界點(diǎn)：?E={(x,y)|(a,y),(b,y),c?y?d或(x,c),(x,d),a?x?b}(2){(x,y)|xy?0}解：是開集，聚點(diǎn)：E=R2,界點(diǎn)：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是閉集，聚點(diǎn)：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|y>x2}解：是開集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|y?x2}，界點(diǎn)集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x?2,y?2,x?y?2}解：是開集，有界集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|x?2,y?2,x?y?2}界點(diǎn)集：{(x,y)|x?2,0?y?2}?{(x,y)|y?2,0?x?2}?{(x,y)|x?y?2,0?x?2}(6){(x,y)|x2?y2?1,y?0,0?x?1}解：是閉集，有界點(diǎn)集，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|x2?y2?1y?0,0?x?1},界點(diǎn)：?E?E(7){(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}解：是閉集，有界集，聚點(diǎn)：E?{(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}，?E?{(x,y)|x2?y2?1,y?0,1?x?2}(8){(x,y)|x,y均為整數(shù)}解：是閉集，界點(diǎn)集{(x,y)|x,y均為整數(shù)}1(9){(x,y)|y?sin,x?0}x1解：是閉集，聚點(diǎn)E?{(x,y)|y?sin,x?0}?x{(0,y)|?1?y?1},?E?E
2、試問集合{(x,y)|0 分析：畫出它們表示的圖形即可知結(jié)論，{(x,y)|0 解：不相同，因?yàn)辄c(diǎn)集E1={(x,y)|x?a,0 4、證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。證：若D是閉域，由于閉是開域連同其邊界所成點(diǎn)集，故對任意一點(diǎn)P?E()若是開域中一點(diǎn)?P是一內(nèi)點(diǎn)?P一定是聚點(diǎn)()若P是一界點(diǎn)?P同樣也是D的聚點(diǎn)(因?yàn)殚_域的邊界上的界點(diǎn)是非弧上點(diǎn))從而推得D上一切點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)，所以D是閉集反之不真：如E={(x,y)|x2+y2?1或y=0,2?x?3}這里E的一切點(diǎn)都是聚點(diǎn)，且是E的全部聚點(diǎn)，所以E是閉集，然而E中的開域是E1?{(x,y)|x2+y2?1}及?E1?{(x,y)|x2+y2?1}且E1??E1?E，所以E不是閉域 5、證明：點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn=x0和limyn=y0 n??n?? 證：“必要性”，若limPn=P0???>0,?N?N+,當(dāng)n>N時(shí)，就有Pn?U(P0,?)n??即 ?(Pn,P0)?(xn-x0)2?(yn-y0)2??推得xn-x0??(Pn,P0)??，即limxn=x0n??yn-y0??(Pn,P0)??，即limyn=y0n??“充分性”，若limxn=x0，limyn=y0?對???0,?N?N?n??n?? 當(dāng)n>N時(shí)，就有xn-x0???,yn-y0?221212???=?，22這時(shí)?(Pn,P0)?(xn-x0)2?(yn-y0)2?即Pn?U(P0,?),所以limPn=P0n?? 6、求下列各函數(shù)的函數(shù)值1+31-3?arctan(x+y)?(1)，f(x,y)=?,求f(,)?arctan(x-y)22?? 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).x?y2xx(3)f(x,y)=x2+y2-xyarctan,求f(tx,ty).y21??2arctan(1+3+1-3)??1+31-3arctan19??2解:(1)f(,)???????16122arctan3???arctan(1+3-1+3)??2?2?1?yyx?2xy(2):f(1,)?x12?(y)2x2?y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2-(tx)(ty)arctan?t2(x2+y2-xyarctan)tyy27、設(shè)F(x,y)=lnxlny，證明：若u>0,v>0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式 8、求下列各函數(shù)的定義域，畫出定義的圖形，并說明是何種點(diǎn)集。 x2?y2(1)f(x,y)=2x?y2 定義域D={(x,y)|y??x},是開集，但不是開域，圖略。(2)f(x,y)=12x2?3y2 解：定義域D={(x,y)|2x2?3y2?0},是開集，也是開域.圖略。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy?0},是閉集，也是閉域.圖略。(4)f(x,y)=1-x2?y2?1 解：定義域D={(x,y)|x?1,y?1},是閉集，但不是區(qū)域。圖略。(5)f(x,y)?lnx?lny解：定義域D={(x,y)|x>0,y>0},是開集，也是開域。圖略。 (6)f(x,y)=sin(x2?y2)解：定義域D={(x,y)2k??x2+y2?(2k+1)?,k?0,1,2,?} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(y-x)解：定義域D={(x,y)|y>x}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e-(x2?y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2?y2?1 解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2?x2?y2?z2?1x?y?z?r2222(R?r) 22222解：定義域{(x,y,z)r?x?y?z?R}不是開集，也不是閉集，是有界集。 9、證明：開集與閉集具有對偶性---若E是開集，則CE是閉集；若E是閉集，則CE是開集。分析：由開、閉集的定義。 證：(1)若E是開集??P?E且不為E的界點(diǎn)，若??>0，使U(P，?)?E=??點(diǎn)P有U(P，?)?CE.故P是CE的內(nèi)點(diǎn)，從而也是CE的聚點(diǎn)；若P是E的界點(diǎn)，那么P同時(shí)也是CE的界點(diǎn)?P是CE的聚點(diǎn)。從而CE的一切點(diǎn)都是CE的聚點(diǎn).于是CE是閉集。(2)若E是閉集?對?P?CE，即P?E，則P不是E的聚點(diǎn)?總存在P的某個(gè)鄰域U(P，?)，使U(P，?)?E=??U(P，?)?CE?P是CE的內(nèi)點(diǎn)?CE的每個(gè)點(diǎn)都是CE的內(nèi)點(diǎn)，所以CE也是開集.10、證明：(1)若F1，F(xiàn)2是閉集，則F1?F2與F1?F2都是閉集證：先證：C(F1?F2)=CF1?CF2；C(F1?F2)=CF1?CF2若P?C(F1?F2)?P?(F1?F2)?P?F1且P?F2?P?CF1且P?CF2?P?CF1?CF2)?C(F1?F2)=CF1?CF2反之，若Q?CF1?CF2?Q?CF1且Q?CF2?Q?F1且Q?F2Q?F1?F2?Q?C(F1?F2)?C(F1?F2)=CF1?CF2故C(F1?F2)=CF1?CF2.類似可證C(F1?F2)=CF1?CF2由于F1，F(xiàn)2是閉集，由習(xí)題9知，CF1，CF2是開集??P?C(F1?F2)?P?CF1?CF2???1>0.有U(P，?1)?CF1且??2>0.有U(P，?2)?CF2?U(P，min{?1，?2})?CF1?CF=C(F1?F2)是開集?F1?F2是閉集.而對?Q?C(F1?F2)?Q?CF1?CF2???'1>0,有U(P，?'1)?CF1或者??'2>0,有U(P，?'2)?CF2?U{Q，min{?'1,?'2}}?CF1?CF2?C(F1?F2)C(F1?F2)是開集，F(xiàn)1?F2是閉集。(2)若E1，E2是開集，則E1?E2與E1?E2都為開集。證：E1，E2都為開集?CE1，CE2都為閉集?CE1?CE2=C(E1?E2)CE1?CE2=C(E1?E2)都是閉集(見(1))?E1?E2，E1?E2(見習(xí)題9)(3)若F是閉集，E為開集，則FE為閉集，EF為開集證：先證：任何兩個(gè)集A，B：AB=A?CB因?yàn)椋?x?AB?x?A，x?B?x?A，x?CB?x?A?CB反之，?y?A?CB=y?A?y?A，y?B?y?AB，所以AB=A?CB由于 F是閉集，E為開集?CF是開集，CE是閉集?FCE是閉集?FE為閉集，而E?CF是開集，EF是開集。注：本題亦可以按定義證明：這里只證EF為開集，?p?EF，則p?E,p?F,由此知p為E的內(nèi)點(diǎn)，p為F的外點(diǎn)，于是分別存在?1?0和?2?0,使得U(p;?1)?E,U(p;?2)?F=?,取?=min(?1,?2),則有U(p;?)?EF,即p是EF的內(nèi)點(diǎn)，所以EF為開集。 11、試把閉域套定理推廣 閉集套定理，并證明之.閉集套定理：設(shè){Dn}是R2中的閉集列，它滿足(i)Dn?Dn+1,n?1,2,?(ii)dn?d(Dn),limdn?0n??則存在唯一點(diǎn)P0?D,n?1,2,?.其中為Dn非空點(diǎn)集?證：任取點(diǎn)列Pn?Dn,n=1,2,?,由于Dn+p?Dn,Pn+p,Pn從而有 ?(Pn+p,Pn)?dn?0(n??)根據(jù)柯西準(zhǔn)則，?P0?R2,使limPn?P0n??對任意確定的n?N+，對?p?N+，有Pn+p?Dn,再令p??因?yàn)镈n是閉集，P0作為Dn的聚點(diǎn)必屬于Dn，即 P0?limPn+p?Dn,n=1,2,?,p??若還有P'0?Dn,n=1,2,?，則由?(P0,P'0)??(P0,Pn)??(P'0,Pn)?2d?0(n??)?(P'0,Pn)?0,即P0?P'0，故定理成立. 12、證明定理16.4定理：設(shè)D?R2為一有界閉域，{??}為一開域族，它覆蓋D(即D?U??)，??U?則在{??}中必存在有限開域?1,?2?3??n，它覆蓋了D(即D???)，)證：因?yàn)镈?R2為一有界域??a,b,c,d,?使 Dn?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}1反證法：若不存在有限個(gè)開域覆蓋D，則取直線x=(a+b)及21y=(c+d)將區(qū)域劃分成四個(gè)區(qū)域，這四個(gè)區(qū)域?qū)劃分若個(gè)2區(qū)域，且其中至少有一個(gè)閉域不能被有限個(gè)開域所覆蓋.則D1?D且記上述閉域?yàn)镈1，而A中包含A1則：D1?D，A1?A且d1?d(D1)?1(b?a)2?(d?c)22記A1?{(x,y)|a1?x?b1,c1?x?d1}11?b1?a1?(b?a),d1?c1?(b?a)22同理將長方形區(qū)域，劃分成四個(gè)長方形子域，而D1被劃分成若個(gè)閉子域，其中至少有一個(gè)閉子域D2，不能被有限個(gè)開域所覆蓋。記上述閉域?yàn)镈2，而A1中包含D1的區(qū)域?yàn)锳2.1(b1?a1)2?(d1?c1)221記A2?{(x,y)|a2?x?b2,c2?y?d2}?b2?a2?2(b?a),d2?c2211?2(d?c).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bn?an?n(b?a)221dn?cn?n(d?c),n?3,4,?2且滿足(i)Dn+1?Dn,n?1,2,3,?，且Dn不能被有限中開域所則D2?D1，A2?A1，d2?d(D2)?覆蓋.(ii)dn?d(Dn)?所以limdn?0n??12n(b?a)2?(d?c)2.根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0?Dn，N=1,2，3，?根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0?Dn，n=1,2，3，??存在某個(gè)區(qū)域??，使P0????存在P0的某個(gè)鄰 域U(P0)使U(P0)???但因?yàn)閘imdn?0??N?N?,當(dāng)n>N時(shí)，就有n?? Dn?U(P0)???與假設(shè)矛盾故必存在有限個(gè)區(qū)域?1,?2,??n，使它們覆蓋D.
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