第一篇：概率論第五章習(xí)題解答

第五章習(xí)題解答

1.設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)車比雪夫不等式有估計(jì)

P?X?E(X)?2?? 1/2.P?X?E(X)?2??D(X)22?12

2.隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，相關(guān)系數(shù)為-0.5，則根據(jù)車比雪夫不等式有估計(jì)P?X?Y?6?? 1/12.P?X?Y?6??P?(X?Y)?[E(X)?E(Y)]?6??D(X)62?112

3.電站供應(yīng)一萬(wàn)戶用電．設(shè)用電高峰時(shí)，每戶用電的概率為0.9，利用中心極限定理，（1）計(jì)算同時(shí)用電的戶數(shù)在9030戶以上的概率；（2）若每戶用電200 w，電站至少應(yīng)具有多大發(fā)電量才能以0.95的概率保證供電？ 解：⑴ 設(shè)X表示用電戶數(shù)，則

X~B(10000,0.9),n?10000,p?0.9,np?9000,npq?900

由中心定理得

X~N(9000,900)近似

P?X?9030??1?P?X?9030??X?90009030?9000??1?P???

900900???1??(1)?1?0.8413?0.1587⑵ 設(shè)發(fā)電量為Y，依題意

P?200X?Y??0.95

?X?9000Y?9000???200即 P????0.95

900900?????9000200?()?0.95900Y?9000200 ?1.65900Y?1809900 4.某車間有150臺(tái)同類型的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率都是0.02，設(shè)各臺(tái)機(jī)器的工作是相互獨(dú)立的，求機(jī)器出現(xiàn)故障的臺(tái)數(shù)不少于2的概率． 解：設(shè)X表示機(jī)器出故障的臺(tái)數(shù)，則X?B(150,0.02)Ynp?3,npq?2.94 由中心定理得

X~N(3,2.94)近似

P?X?2??1?P?X?2?2?3??X?3?1?P???2.942.94???1?P?X??0.5832???(0.5832)?0.7201 5.用一種對(duì)某種疾病的治愈率為80%的新藥給100個(gè)患該病的病人同時(shí)服用，求治愈人數(shù)不少于90的概率．

解：設(shè)X表示治愈人數(shù)，則X?B(100,0.8)

其中n?100,p?0.8,np?80,npq?16

P?X?90??1?P?X?90??X?8090?80??1?P??? 1616???1??(2.5)?0.0062 6.設(shè)某集成電路出廠時(shí)一級(jí)品率為0.7，裝配一臺(tái)儀器需要100只一級(jí)品集成電路，問(wèn)購(gòu)置多少只才能以99.9%的概率保證裝該儀器是夠用(不能因一級(jí)品不夠而影響工作)． 解：設(shè)購(gòu)置n臺(tái)，其中一級(jí)品數(shù)為X，X?B(n,0.7)

p?0.7,np?0.7n,npq?0.21n P?X?100??1?P?X?100??X?0.7n100?0.7n??1?P???0.21n0.21n??100?0.7n?1??()0.21n?0.999故?(?100?0.7n0.21n)?0.999

有 ?100?0.7n0.21n?3.1?n?121(舍)或n?170

7.分別用切比雪夫不等式與隸莫弗—拉普拉斯中心極限定理確定：當(dāng)擲一枚硬幣時(shí)，需要擲多少次才能保證出現(xiàn)正面的頻率在0.4～0.6之間的概率不小于90%． 解：設(shè)擲n次，其中正面出現(xiàn)的次數(shù)為X，X?B(n,p),p?⑴由切貝雪夫不等式，要使得P?0.4?12

??X??0.6??0.9成立 n?D(X)X?X??XX?25??n由于P?0.4? ?0.6??P??p?0.1??P??E()?0.1??1??1?2nnnn0.1n??????只要1?25X???0.6??0.9成立

?0.9，就有P?0.4?nn??從而?n?250

⑵中心極限定理，要使得P?0.4???X??0.6??0.9成立 n?由于X?N(0.5n,0.25n)近似

X?0.4n?0.5nX?0.5n0.6n?0.5n???P?0.4??0.6??P?0.4n?X?0.6n??P????

n0.25n0.25n0.25n????X?0.5n??0.1n?P???0.25n?0.25n所以?(0.1n?0.1n?0.1n0.1n??()??()?2?()?1?0.9?0.25n?0.25n0.25n0.25n0.1n0.25n)?0.95

查表0.1n0.25n?1.65?n?68

8.某螺絲釘廠的廢品率為0.01，今取500個(gè)裝成一盒．問(wèn)廢品不超過(guò)5個(gè)的概率是多少？ 解：設(shè)X表示廢品數(shù)，則X?B(500,0.01)

p?0.01,np?5,npq?4.95

5?5??X?5P?X?5??P?????(0)?0.5

4.95??4.95

第二篇：概率論第一章習(xí)題解答

1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：

1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（以百分制記分）；

2)一個(gè)口袋中有5個(gè)外形相同的球，編號(hào)分別為1、2、3、4、5，從中同時(shí)取出3個(gè)球；

3)某人射擊一個(gè)目標(biāo)，若擊中目標(biāo)，射擊就停止，記錄射擊的次數(shù)； 4)在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo).解：1）設(shè)小班共有n個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)?到100的整數(shù)，分別記為x1,x２，?xn，則全班平均分為x??xi?1nin，于是樣本空間為

12100niS?{0，,?,}={|i?0,1,2,3,?100n}

nnnn32）所有的組合數(shù)共有C5?10種，S?{123,124,125,134,135,145,234,235,245,345} 3）至少射擊一次，S?{1,2,3,?}

4）單位圓中的坐標(biāo)(x,y)滿足x2?y2?1，S?{(x,y)|x2?y2?1}

2.已知A?B，P(A)?0.3，P(B)?0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB).解 P(A)?1?P(A)?1?0.3?0.7 P(AB)?P(A)?0.3（因?yàn)锳?B）

P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(A)?0.2

P(AB)?P(B)?0.5（因?yàn)锳?B，則B?A）

3.設(shè)有10件產(chǎn)品，其中6件正品，4件次品，從中任取3件，求下列事件的概率：

1）只有一件次品； 2）最多1件次品； 3）至少1件次品.12C4C解 1）設(shè)A表示只有一件次品，P(A)?36.C102)設(shè)B為最多1件次品，則表示所取到的產(chǎn)品中或者沒(méi)有次品，或者只有一件次312C6C4C品，P(B)?3?36.C10C103）設(shè)C表示至少1件次品，它的對(duì)立事件為沒(méi)有一件次品，3C6P(C)?1?P(C)?1?3

C10

4.盒子里有10個(gè)球，分別標(biāo)有從1到10的標(biāo)號(hào)，任選3球，記錄其號(hào)碼.（1）求最小號(hào)碼為5的概率.（2）求最大號(hào)碼為5的概率.解1）若最小號(hào)碼為5，則其余的2個(gè)球必從6，7，8，9，10號(hào)這5個(gè)球中取得。C521則它的概率為3?.C10122)若最大號(hào)碼為5，則其余的2個(gè)球必從1，2，3，4號(hào)這4個(gè)球中取得。

2C41則它的概率為3?.C1020

5.有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，從中一個(gè)一個(gè)不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一種顏色為止.求最后是白球留在口袋中概率.解 設(shè)最后留在口袋中的全是白球這一事件為A，另設(shè)想把球繼續(xù)依次取完，設(shè)

a取到最后的一個(gè)球是白球這一事件為B，可以驗(yàn)證A=B，顯然P(B)?.a?b

6.一間學(xué)生寢室中住有6位同學(xué)，求下列事件的概率： 1）6個(gè)人中至少有1人生日在10月份； 2）6個(gè)人中有4人的生日在10月份； 3）6個(gè)人中有4人的生日在同一月份.（假定每個(gè)人生日在同各個(gè)月份的可能性相同）

解 1）設(shè)6個(gè)人中至少有1人生日在10月份這一事件為A；它的逆事件為沒(méi)

11有一個(gè)人生日在10月份，生日不在10月份的概率為，則

1211P(A)?1?P(A)?1?()6

121112）設(shè)6個(gè)人中有4人的生日在10月份這一事件為B，則P(B)?C64()4()2.12123)設(shè)6個(gè)人中有4人的生日在同一月份這一事件為C.則

111P(C)?12P(B)?12C64()4()2

12127.甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，問(wèn)由甲射中的概率為多少？

解 設(shè)A和B分別表示甲和乙射中。C表示目標(biāo)被射中，則P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.5?0.3?0.8.P(AC)0.6P(A|C)???0.75

PC)0.8

8.某商店出售的電燈泡由甲、乙兩廠生產(chǎn)，其中甲廠的產(chǎn)品占60%，乙廠的產(chǎn)品占40%.已知甲廠產(chǎn)品的次品率為4%，乙廠產(chǎn)品的次品率5%.一位顧客隨機(jī)地取出一個(gè)電燈泡，求它是合格品的概率.解 設(shè)A和B分別表示電燈泡由甲廠和乙廠生產(chǎn)，C表示產(chǎn)品為合格。則P(C)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)?0.6?0.96?0.4?0.95?0.956

9.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今從男女為數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率多少？ 解 設(shè)挑選到的人為男性和女性分別為A和B。另設(shè)某人是色盲患者為C。由已

1，P(C|A)?0.05；P(C|B)?0.0025.2P(A)P(C|A)0.5?0.05則P(A|C)???0.952

P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)0.5?0.05?0.5?0.0025

10.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向一敵機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙命中率分別為0.4，0.5，0.7，又設(shè)敵機(jī)被擊中1次，2次，3次而墜毀的概率分別為0.2，0.6，1.現(xiàn)三人向敵機(jī)各射擊一次，求敵機(jī)墜毀的概率.解 設(shè)敵機(jī)被擊中1次，2次，3次的事件分別為A，B，C.敵機(jī)墜毀的事件為Ｄ。則P(D|A)?0.2;P(D|B)?0.6;P(D|C)?1

P(A)?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?(1?0.5)?0.7?0.36P(B)?0.4?0.5?(1?0.7)?0.4?(1?0.5)?0.7?(1?0.4)?0.5?0.7?0.51 P(C)?0.4?0.5?0.7?0.14

P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1知條件，P(A)?P(B)??0.458

11.三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4.問(wèn)三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？

解 三人譯出密碼分別記為A，B，C。則A?B?C即為所求事件（三人中至少有一人能將此密碼譯出）。它的對(duì)立事件為ABC。又因?yàn)楦魅俗g出密碼是相互獨(dú)立的，則P(A?B?C)?1?P(ABC)?1?(1?1/5)(1?1/3)(1?1/4)?0.6

12.甲袋中裝有n只白球、m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球.今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥我馊∫恢磺?，?wèn)取到白球的概率是多少？

解 設(shè)從甲袋中取出白球記為A，從乙取出白球記為B。

nN?1mNn(N?1)?mNP(B)?P(A)PB|A)?P(A)P(B|A)???m?nN?M?1m?nM?N?1(m?n)(M?N?1)

13.做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次成功的概率為p，求在成功n次之前已經(jīng)失敗了m次的概率.解 根據(jù)題意，試驗(yàn)在第n+m次是成功的（記為A），前n+m-1次中有m次是失敗的（記為B）。而前n+m-1次中有m次失敗是一個(gè)二項(xiàng)分布B（n+m-1,1-p）, 所求概率為

mmn?1mmnP(AB)?P(A)P(B)?pCn?Cn?m?1(1?p)p?m?1(1?p)p

14.甲給乙打電話，但忘記了電話號(hào)碼的最后1位數(shù)字，因而對(duì)最后1位數(shù)字就隨機(jī)地?fù)芴?hào)，若撥完整個(gè)電話號(hào)碼算完成1次撥號(hào)，并假設(shè)乙的電話不占線.（1）求到第k次才撥通乙的電話的概率；（2）求不超過(guò)k次而撥通乙的電話的概率.（設(shè)k?10）解 1）該問(wèn)題相當(dāng)于在0~9這十個(gè)數(shù)字中不放回抽樣，第k次正好抽到所需的數(shù)字這一個(gè)問(wèn)題。根據(jù)抽簽與次序無(wú)關(guān)的結(jié)果，第k次抽到的概率為1/10。2）第二個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于一次性地抓了k個(gè)數(shù)字，所需數(shù)字正好在所抓的數(shù)字中這樣一個(gè)問(wèn)題。由于每個(gè)數(shù)字都是等可能被抽到，所需數(shù)字落在所抓數(shù)字中的概率與所抓的數(shù)目k成正比。設(shè)Ak表示所需數(shù)字在所抓的k個(gè)數(shù)字中，P(Ak)?kC，其中C為常數(shù)。P(A1)?1/10

（或P(A10)?1）可得出C=1/10。所以P(Ak)?k/10

15.將3個(gè)小球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中，求盒子中球的最多個(gè)數(shù)分別為1, 2, 3的概率.解 3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)盒子共有43種放法。盒子中最多個(gè)數(shù)為1，相當(dāng)于4個(gè)盒

1子中分別有1，1，1，0個(gè)球，這種情形的放法共有C43!種（選一個(gè)空盒有4

1C43!3種選法，剩下的每盒有一個(gè)球相當(dāng)于全排列）。故P(A1)?3?

48盒子中最多個(gè)數(shù)為3，相當(dāng)于4個(gè)盒子中有一個(gè)盒子中有3個(gè)球，其它3個(gè)盒子

1C411沒(méi)有球。它的放法共有C4種（選一個(gè)盒子，放入3個(gè)球）。故P(A2)?3?

416盒子中求的最多個(gè)數(shù)為2相當(dāng)于排除以上2種情況而剩下來(lái)的情形。P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?3/8?1/16?9/16

16.設(shè)有一傳輸信道，若將三字母A, B, C分別輸入信道, 輸出為原字母的概率為?, 輸出為其它字母的概率為(1??)/2, 現(xiàn)將3個(gè)字母串AAAA, BBBB, CCCC分別輸入信道,輸入的分別為p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知輸出字母串為ABCA, 問(wèn)輸入為AAAA的概率是多少?

(1??)(1??)?2(1??)2??解 P(ABCA|AAAA)??

224(1??)(1??)(1??)?(1??)3P(ABCA|BBBB)???

2228(1??)(1??)(1??)?(1??)3P(ABCA|CCCC)???

2228

P(AAAA)P(ABCA|AAAA)P(AAAA|ABCA)?P(AAAA)P(ABCA|AAAA)?P(BBBB)P(ABCA|BBBB)?P(CCCC)P(ABCA|CCCC?

2?p14??2(1??)2?(1??)3?(1??)3(3??1)p1?(1??)p1?p2?p3488p1?2(1??)2

17.證明: 若P(A|B)?P(A|B), 則事件A與B相互獨(dú)立.P(AB)P(AB)，P(A|B)?，所以P(AB)P(B)?P(B)P(AB)P(B)P(B)即P(AB)[1?P(B)]?P(B)[P(A)?P(AB)] 即P(AB)?P(A)P(B)

18.某地區(qū)約有5%的人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒, 求該地區(qū)某校一個(gè)班的50名學(xué)生證明：P(A|B)?中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒的概率.解 設(shè)A為學(xué)生攜帶有乙肝病毒，P(A)?0.05.不攜帶有乙肝病毒為A，P(A)?0.95，50名學(xué)生中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒的對(duì)立事件是50名學(xué)生都不攜帶有乙肝病毒，P（50名學(xué)生都不攜帶有乙肝病毒）=0.9550。所以P（50名學(xué)生中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒）=1-0.9550

19.兩人相約于7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地見面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率.解 設(shè)X和Y分別為兩人的到達(dá)時(shí)刻。顯然，0?X?60;0?Y?60。

30?30P(|X?Y|?30)??0.25

60?60

20.從區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩數(shù)的和小于1.2概率.解 設(shè)X和Y分別為兩個(gè)所取的數(shù)。顯然，0?X?1;0?Y?1。

1?1?0.8?0.8/2P{X?Y?1.2}??0.68

1?1

第三篇：線性代數(shù)習(xí)題及解答

線性代數(shù)習(xí)題一

說(shuō)明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長(zhǎng)度，?T表示向量?的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

a11a12a133a113a123a131．設(shè)行列式a21a22a23=2，則?a31?a32?a33=（）

a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A．-6 B．-3 C．3

D．6 2．設(shè)矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A

D．E-A-

13．設(shè)矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）

A．??A?A-1??B?可逆，且其逆為????B-1? B．????A?B?不可逆 ?C．??A??B-1?D．??B?可逆，且其逆為???A-1? ??A??A-1??B?可逆，且其逆為???B-1? ?4．設(shè)?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)

B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示

5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

D．（2，-6，-5，-1）T

6．實(shí)數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1

B．2）

（C．3 D．4 7．設(shè)?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導(dǎo)出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是

（）

A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．設(shè)三階方陣A的特征值分別為A．2,4,C．

B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解

11，3，則A-1的特征值為（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．設(shè)矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）

1A．?1?123

01B．102

?2C．

D．

?21

10．以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（）A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 C．正定矩陣的行列式一定大于零

二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

11．設(shè)det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB))=__________．

3B．正定矩陣的行列式一定小于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣

112．設(shè)3階矩陣A=42t?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 1-13?1k13．設(shè)方陣A滿足A=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A=__________． 14．實(shí)向量空間R的維數(shù)是__________．

15．設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)為__________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________． n17．設(shè)?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________． 18．設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為8，則det（-8E+A）=__________．

19．設(shè)P為n階正交矩陣，x是n維單位長(zhǎng)的列向量，則||Px||=__________．

20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________．

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

222121．計(jì)算行列式142?12?6142． ?1?1?4121222．設(shè)矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA=4A+BA，求矩陣B．

-1-1-123．設(shè)向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量通過(guò)極大線性無(wú)關(guān)組表示出來(lái)．

?124．設(shè)三階矩陣A=?24533，求矩陣A的特征值和特征向量． ?4?225．求下列齊次線性方程組的通解．

?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩陣A=3010360?110110的秩．

?1

2四、證明題（本大題共1小題，6分）

a1127．設(shè)三階矩陣A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?線性無(wú)關(guān)．

?a??a??a??31??32??33?

線性代數(shù)習(xí)題二

說(shuō)明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或T

*

A表示方陣A未選均無(wú)分。

1.設(shè)3階方陣A的行列式為2，則

?12A?()A.-1 B.?14 C.14 D.1 x?2x?1x?22.設(shè)f(x)?2x?22x?12x?2,則方程f(x)?0的根的個(gè)數(shù)為（）

3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2

D.3 3.設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若A?B,則必有（A.A?0 B.A?B?0

C.A?0

D.A?B?0

4.設(shè)A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是（）A.(A?B)2?A2?2AB?B2

B.(A?B)(A?B)?A2?B2

C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)D.(AB)2?A2B2

?a1ba1b2a1b3?5.設(shè)A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,則矩陣A的秩為（?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2

D.3 6.設(shè)6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為（）A.0

B.2））C.3 D.4 7.設(shè)向量α=（1，-2，3）與β=（2，k，6）正交，則數(shù)k為（）A.-10 C.3

B.-4 D.10 ?x1?x2?x3?4?8.已知線性方程組?x1?ax2?x3?3無(wú)解，則數(shù)a=()?2x?2ax?42?1A.?C.1 2B.0 D.1 1 29.設(shè)3階方陣A的特征多項(xiàng)式為A.-18 C.6

?E?A?(??2)(??3)2,則A?()

B.-6 D.18 10.若3階實(shí)對(duì)稱矩陣A?(aij)是正定矩陣，則A的3個(gè)特征值可能為（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3

B.-1，-2，3 D.1，2，3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

3011.設(shè)行列式D42,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__________.?2253?212.設(shè)A??a??a?b?b?,B????,則AB?__________.?a?a?bb?????103???2013.設(shè)A是4×3矩陣且r(A)?2,B?0??,則r(AB)?__________.??103???14.向量組（1，2）,（2，3）（3，4）的秩為__________.15.設(shè)線性無(wú)關(guān)的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關(guān)系為__________.?x1??x2?x3?0?16.設(shè)方程組??x1?x2?x3?0有非零解，且數(shù)??0,則??__________.?x?x??x?03?1217.設(shè)4元線性方程組Ax?b的三個(gè)解α1，α2，α3，已知?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2，且A2?5A?0,則A的全部特征值為__________.??211??1?????a019.設(shè)矩陣A?0有一個(gè)特征值??2,對(duì)應(yīng)的特征向量為x?2,則數(shù)a=__________.??????413??2?????20.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)矩陣A?(?,2?2,3?3),B求

?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均為3維列向量，且A?18,B?2.A?B.?11?1??01??1?1???????22X?10?1122.解矩陣方程0??????.?1?10??43??21???????23.設(shè)向量組α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）問(wèn)p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.T

T

T

T?2x1??x2?x3?1?24.設(shè)3元線性方程組??x1?x2?x3?2, ?4x?5x?5x??123?1（1）確定當(dāng)λ取何值時(shí)，方程組有惟一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？

（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出該方程組的通解（要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.25.已知2階方陣A的特征值為?1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對(duì)稱矩陣，證明

22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的可逆線

1?1及?2??,方陣B?A2.3A?0.習(xí)題一答案

習(xí)題二答案

線性代數(shù)習(xí)題三

說(shuō)明:在本卷中,A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8

TT

*?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=()??1??1??1??A.0 B.(1,-1)C.? D.??1???1?1?? ????3.設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,B為n階反對(duì)稱矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

12?*?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A=??34??,則A=()

??A.?1?4?3?1?1?2?1?12?1?42?????? ? B.C.D.?????34??31?? ???34??212?222????????5.下列矩陣中不是初等矩陣的是()．．?101??001??100???????A.?010? B.?010? C.?030? ?000??100??001???????6.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣,則必有()

?100??? D.?010?

?201???A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.設(shè)向量組α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則()A.α1, α2,β線性無(wú)關(guān) B.β不能由α1, α2線性表示

C.β可由α1, α2線性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2線性表示,且表示法惟一 8.設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2

D.3 ?2x1?x2?x3?0?9.設(shè)齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解,則?為()??x?x?x?023?1A.-1 B.0 C.1 D.2 10.設(shè)二次型f(x)=xAx正定,則下列結(jié)論中正確的是()A.對(duì)任意n維列向量x,xAx都大于零 B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式

TT0112的值為_________.?12?12.已知A=??23??,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________.???11??1?3?

3???13.設(shè)矩陣A=?,P=,則AP=_________.?01???24?????14.設(shè)A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|AB|=_________.15.已知向量組α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)線性相關(guān),則數(shù)k=_________.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個(gè)解,且

-1?1??3?????2???5??1???,?1??3???,則該線性方程組的通解是_________.37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣3A必有一個(gè)特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_________.???1?2?T

?20.設(shè)矩陣A=?,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??2k???

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.2-

1?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經(jīng)可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標(biāo)準(zhǔn)形.?x?2y3?

3四、證明題(本題6分)27.設(shè)n階矩陣A滿足A=E,證明A的特征值只能是?1.2線性代數(shù)習(xí)題三答案

第四篇：電磁場(chǎng)習(xí)題解答

1—2—

2、求下列情況下，真空中帶電面之間的電壓。

(2)、無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為a和b（b?a），每單位長(zhǎng)度上電荷：內(nèi)柱為?而外柱為??。

解：同軸圓柱面的橫截面如圖所示，做一長(zhǎng)為l半徑為r（a?r?b）且與同軸圓柱面共軸的圓柱體。對(duì)此圓柱體的外表面應(yīng)用高斯通量定理，得

?? ?D?dS??l

s?考慮到此問(wèn)題中的電通量均為er即半徑方向，所以電通量對(duì)圓柱體前后兩個(gè)端面的積分為0，并且在圓柱側(cè)面上電通量的大小相等，于是

2?lrD??l

??????即 D?er，E?er

2??0r2?r由此可得 U??ba??bE?dr??????ber?erdr?ln

a2??r2??0a0

1—2—

3、高壓同軸線的最佳尺寸設(shè)計(jì)——高壓同軸圓柱電纜，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為2cm，內(nèi)外導(dǎo)體間電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為200kV/cm。內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，其值可以自由選定但有一最佳值。因?yàn)閍太大，內(nèi)外導(dǎo)體的間隙就變得很小，以至在給定的電壓下，最大的E會(huì)超過(guò)介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)。另一方面，由于E的最大值Em總是在內(nèi)導(dǎo)體的表面上，當(dāng)a很小時(shí)，其表面的E必定很大。試問(wèn)a為何值時(shí)，該電纜能承受最大電壓？并求此最大電壓。

（擊穿場(chǎng)強(qiáng)：當(dāng)電場(chǎng)增大達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，使得電介質(zhì)中的束縛電荷能夠

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 1 頁(yè)

脫離它的分子 而自由移動(dòng)，這時(shí)電介質(zhì)就喪失了它的絕緣性能，稱為擊穿。某種材料能安全地承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度就稱為該材料的擊穿強(qiáng)度）。

解：同軸電纜的橫截面如圖，設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體每單位長(zhǎng)度所帶電荷的電量為?，則內(nèi)外導(dǎo)體之間及內(nèi)導(dǎo)表面上的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

E?而內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為

U??Edr??ab??，Emax?

2??r2??a??bdr?ln

a2??r2??ab或

U?aEmaxln()

badUb?Emax[ln()??1]?0

daabb?1?0，a??0.736cm aeb5Umax?aEmaxln?0.736?2?10?1.47?10(V)

a即

ln

1—3—

3、兩種介質(zhì)分界面為平面，已知?1?4?0，?2?2?0，且分界面一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度E1?100V/m，其方向與分界面的法線成450的角，求分界面另一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度E2的值。

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 2 頁(yè)

解：E1t?100sin450?502，E1n?100cos450?502

D1n?4?0E1n?20?002 根據(jù) E1t?E2t，D1n?D2n得

E2t?502，D2n?200?02，E2n?D2n?1002 2?022(502)2?(1002)2?5010(V/m)于是： E2?E2t?E2n?

1—

8、對(duì)于空氣中下列各種電位函數(shù)分布，分別求電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷體密度：（1）、??Ax2（2）、??Azyx

（3）、??Ar2sin??Bzr（4）、??Ar2nis?ocs?

解：求解該題目時(shí)注意梯度、散度在不同坐標(biāo)中的表達(dá)式不同。

????????????(Ax2)?（1）、E??????(i?j?k)??i??2Axi

?x?y?z?x??Ex?Ey?Ez?Ex?????D??0(??)??0??0(?2Ax)??2A?0

?x?y?z?x?x??????????（2）、E??????(i?j?k)

?x?y?z?Axy?z?Axy?z?Axy?z

??(i?j?k)

?x?y?z?????A(yzi?xzj?xyk)

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 3 頁(yè)

????????D??0[(?Ayz)?(?Axz)?(?Axy)]?0

?x?y?z????1??????（3）、E??????[er?e??k)

?rr???z??[??1??(Ar2sin??Brz)er?(Ar2sin??Brz)e??rr??

???(Arsin??Brz)k)]?z

?????[(2Arsin??Bz)er?Arcos?e??Brk)]

?1?1?????D???0[r(2Arsin??Bz)?(Arco?s)r?rr??

??(Br)] ?z1 ???0[(4Arsin??Bz)?Asin?]

rBz???0[4Asin??)?Asin?]

r?????1???1??（4）、E??????[er?e??e?]

?rr??rnis??????1???[er(Ar2sin?cos?)?e?(Ar2sin?cos?)?rr????e?1?(Ar2sin?cos?)]

rsin????1??1??[(2Arsin?cos?)er?(Ar2cos?cos?)e??(Ar2sin?sin?)e?]

rrsin??????[(2Arsin?cos?)er?(Arcos?cos?)e??(Arsin?)e?]

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 4 頁(yè)

???1?11????D??0[2(r2Er)?(E?sin?)?(E?)]

rsin???rsin???r?r??0[?1?13(?2Arsin?cos?)?(?Arcos?cos?sin?)

rsin???r2?r ??1(Arsin?)]

rsin???Acos?Acos?(cos2??sin2?)?]sin?sin? ??0[?6Asin?cos??1—4—

2、兩平行導(dǎo)體平板，相距為d，板的尺寸遠(yuǎn)大于d，一板的電位為0，另一板的電位為V0，兩板間充滿電荷，電荷體密度與距離成正比，即。?(x)??0x。試求兩極板之間的電位分布（注：x?0處板的電位為0）解：電位滿足的微分方程為

?0d2???x 2?0dx其通解為： ????03x?C1x?C2 6?0定解條件為：?x?0?0； ?x?d?V0 由?x?0?0得 C2?0 由?x?d?V0得 ?于是 ????03V?d?C1d?V0，即 C1?0?0d2 6?0d6?0?03V0?02x?(?d)x 6?0d6?01—4—

3、寫出下列靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題：

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 5 頁(yè)

（1）、電荷體密度為?1和?2（注：?1和?2為常數(shù)），半徑分別為a與b的雙層同心帶電球體（如題1—4—3圖（a））；

（2）、在兩同心導(dǎo)體球殼間，左半部分和右半部分分別填充介電常數(shù)為?1與?2的均勻介質(zhì)，內(nèi)球殼帶總電量為Q，外球殼接地（題1—4—3圖b））；（3）、半徑分別為a與b的兩無(wú)限長(zhǎng)空心同軸圓柱面導(dǎo)體，內(nèi)圓柱表面上單位長(zhǎng)度的電量為?，外圓柱面導(dǎo)體接地（題1—4—3圖（c））。

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 6 頁(yè)

解：（1）、設(shè)內(nèi)球中的電位函數(shù)為?1，介質(zhì)的介電常數(shù)為?1，兩球表面之間的電位函數(shù)為?2，介質(zhì)的介電常數(shù)為?2，則?1，?2所滿足的微分方程分別為

?2?1???1?，?2?2??2 ?1?2選球坐標(biāo)系，則

??1?11?2??11?1?2?1(r)?(sin?)????r???1r2?rr2sin???r2sin???2??2?21?2??21?1?2?2(r)?(sin?)????r???2r2?rr2sin???r2sin???2由于電荷對(duì)稱，所以?1和?2均與?、?無(wú)關(guān)，即?1和?2只是r的函數(shù)，所以

?11?2??11?2??2?2，(r)??(r)??22r?r?r??r?r?r21定解條件為：

分界面條件： ?1r?a??

2電位參考點(diǎn)： ?2

附加條件：?1r?0；

?1r?a??1?r??2r?a??2?r

r?ar?b?0；

為有限值

（2）、設(shè)介電常數(shù)為?1的介質(zhì)中的電位函數(shù)為?1，介電常數(shù)為?2的介質(zhì)中的電位函數(shù)為?2，則?

1、?2所滿足的微分方程分別為

?2?1???1?，?2?2??2 ?1?2選球坐標(biāo)系，則

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 7 頁(yè)

??11?2??11?1?2?1(r)?2(sin?)?2?0 22?r??r?rrsin???rsin?????21?2??21?1?2?2(r)?2(sin?)?2?0 22?r??r?rrsin???rsin???由于外球殼為一個(gè)等電位面，內(nèi)球殼也為一個(gè)等電位面，所以?1和?2均與?、?無(wú)關(guān)，即?1和?2只是r的函數(shù)，所以

1?2??11?2??2(r)?0(r)?0，?r?rr2?rr2?r2

2分界面條件： ?1?????2???

由分解面條件可知?1??2。令 ?1??2??，則在兩導(dǎo)體球殼之間電位滿足的微分方程為

1?2??(r)?0

?rr2?r

電位參考點(diǎn)： ?r?b?0；

邊界條件：2?a2(?1Er??2Er)r?a?Q，即

2?a2(?1??2)(???)?Q ?rr?a（3）、設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為?，介質(zhì)中的電位函數(shù)為?，則?所滿足的微分方程分別為

?2??0，選球柱坐標(biāo)系，則

1???1?2??2?

(r)?2??0

r?r?rr??2?z

2電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 8 頁(yè)

由于對(duì)稱并假定同軸圓柱面很長(zhǎng)，因此介質(zhì)中的電位?和?及z無(wú)關(guān)，即?只是r的函數(shù)，所以

1???(r)?0 r?r?r

電位參考點(diǎn)： ?r?b?0；

邊界條件：2?a?Er

2?a?(?

1－7－

3、在無(wú)限大接地導(dǎo)體平板兩側(cè)各有一個(gè)點(diǎn)電荷q1和q2，與導(dǎo)體平板的距離均為d，求空間的電位分布。

r?a??，即

??)?? ?rr?a

解：設(shè)接地平板及q1和q2如圖（a）所示。選一直角坐標(biāo)系，使得z軸經(jīng)過(guò)q1和q2且正z軸方向由q2指向q1，而x，y軸的方向與z軸的方向符合右手螺旋關(guān)系且導(dǎo)體平板的表面在x，y平面內(nèi)。計(jì)算z?0處的電場(chǎng)時(shí)，在（0,0,?d）處放一鏡像電荷?q1，如圖（b）所示，用其等效q1在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此

?1?q111(?)

2224??0x2?y2?(z?d)2x?y?(z?d)計(jì)算z?0處的電場(chǎng)時(shí)，在（0,0,d）處放一鏡像電荷?q2如圖（c）所示，用

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 9 頁(yè)

其等效q2在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此

?2?q211(?)

2222224??0x?y?(z?d)x?y?(z?d)1－7－

5、空氣中平行地放置兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，半徑都是2厘米，軸線間距離為12厘米。若導(dǎo)線間加1000V電壓，求兩圓柱體表面上相距最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)的電荷面密度。

解：由于兩根導(dǎo)線為長(zhǎng)直平行導(dǎo)線，因此當(dāng)研究它們附近中部的電場(chǎng)時(shí)可將它們看成兩根無(wú)限長(zhǎng)且平行的直導(dǎo)線。在此假定下，可采用電軸法求解此題，電軸的位置及坐標(biāo)如圖所示。

12?6cm 由于對(duì)稱 h?2而 b?h2?R2?62?22?42cm

??設(shè)負(fù)電軸到點(diǎn)p(x,y)的距離矢量為r2，正電軸到點(diǎn)p(x,y)的距離矢量為r1（p點(diǎn)應(yīng)在以R為半徑的兩個(gè)圓之外），則p點(diǎn)的電位為

r2??(x?b)2?y2ln()?ln ?(x,y)? 222??0r12??0(x?b)?y1兩根導(dǎo)體之間的電壓為U，因此右邊的圓的電位為U，即

2τ(h?R?b)2U?(h?R,0)?ln? 22??02(h?R?b)

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 10 頁(yè)

由此可得 ??2??0Uh-R?b2lnh-R-b250?10004ln(1?2)?250ln(1?2)

(x?b)2?y2ln于是 ?(x,y)? 22(x?b)?yln(1?2)?E??grad?

(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]???{ex2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250? y[(x?b)?y]?y[(x?b)?y]?ey}[(x?b)2?y2][(x?b)2?y2]2222

由于兩根導(dǎo)線帶的異號(hào)電荷相互吸引，因而在兩根導(dǎo)線內(nèi)側(cè)最靠近處電場(chǎng)最強(qiáng)電荷密度最大，而在兩導(dǎo)線外側(cè)相距最遠(yuǎn)處電荷密度最小。

?max(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]????0{ex 2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250??(? ex)x?h?Ry?0y[(x?b)2?y2]?y[(x?b)2?y2]? ?ey}2222[(x?b)?y][(x?b)?y] ??011?)?1.770?10?7C/m2

ln(1?2)h?R?bh?R?b(250?min(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]????0{ex2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250y[(x?b)2?y2]?y[(x?b)2?y2]??ey}[(x?b)2?y2][(x?b)2?y2]?? ex x?h?Ry?0

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 11 頁(yè)

???011?)?8.867?10?8C/m2

ln(1?2)h?R?bh?R?b(250

1—9—

4、一個(gè)由兩只同心導(dǎo)電球殼構(gòu)成的電容器，內(nèi)球半徑為a，外球殼半徑為b，外球殼很薄，其厚度可略去不計(jì)，兩球殼上所帶電荷分別是?Q和?Q，均勻分布在球面上。求這個(gè)同心球形電容器靜電能量。

解：以球形電容器的心為心做一個(gè)半徑為r的球面，并使其介于兩導(dǎo)體球殼之間。則此球面上任意一點(diǎn)的電位移矢量為

?

D?Q?e 2r4?r??DQ?電場(chǎng)強(qiáng)度為

E??er

?4??r21??Q2而電場(chǎng)能量密度為

we?E?D? 24232??r球形電容器中儲(chǔ)存的靜電場(chǎng)能量為

b2??Q22We??wedV????rsin?d?d?dr

Va0032??2r4b2??Q2????sin?d?d?dr a0032??2r2b1Q2Q2b10?(cos0?cos?)(2??0)?2dr?dr 22?aa8??r32??rQ211Q2b?a?(?)=? 8??ab8??ab

1－9－

5、板間距離為d電壓為U0的兩平行板電極浸于介電常數(shù)為ε的液

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 12 頁(yè)

態(tài)介質(zhì)中，如圖所示。已知液體介質(zhì)的密度是?m，問(wèn)兩極板間的液體將升高多少？

解：兩平行板電極構(gòu)成一平板電容器，取如圖所示的坐標(biāo)，設(shè)平板電 容器在垂直于紙面方向的深度為w，則此電容器的電容為

(L?x)w?0xw?? C(x)? dd電容中儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為

11(L?x)w?0xw?2?)U0

We?CU02?(22dd液體表面所受的力為

2? We12? C(x)U0w?U0?(???0)

fx?? x2? x2d此力應(yīng)和電容器中高出電容器之外液面的液體所受的重力平衡，由此

可得

2U0w(???0)??mgdwh

2d2(???0)U0即 h? 22?mgd2—

5、內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為R1和R2的圓柱形電容器，中間的非理想介

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 13 頁(yè)

質(zhì)的電導(dǎo)率為?。若在內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓為U0，求非理想介質(zhì)中各點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：設(shè)圓柱形電容器介質(zhì)中的電位為?，則

?2??0

選擇圓柱坐標(biāo)，使z軸和電容器的軸線重合，則有

1???1?2??2?

(r)???0

r?r?rr2??2?z2假定電容器在z方向上很長(zhǎng)，并考慮到軸對(duì)稱性，電位函數(shù)?只能是r的函數(shù)，因此?所滿足的微分方程可以簡(jiǎn)化為

1???(r)?0 r?r?r??C1?? ?C1，??r?rr兩邊再積分得電位的通解

??C1lnr?C2 定解條件：?r?R?U0，?r?R?0 即

r12將電位函數(shù)的通解帶入定解條件，得

C1lnR1?C2?U0 C1lnR2?C2?0

由上述兩式解得

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 14 頁(yè)

U0U0，C2?U0?lnR1

R1R1lnlnR2R2U0U0U0r于是

??lnr?lnR1?U0?ln?U0

RRRR1ln1ln1ln1R2R2R2?????1?????而

E??????[er?e??ez]

?rr???z??U0?U01r(ln?U0)??er

??er

RR?rR1rln1ln1R2R2

2—

7、一導(dǎo)電弧片由兩塊不同電導(dǎo)率的薄片構(gòu)成，如圖所示。若

C1??1?6.5?107西門子/米，?2?1.2?107西門子/米，R2?45厘米，R1?30厘米，鋼片厚度為2毫米，電極間的電壓U?30V，且?電極???1。求：

⑴、弧片內(nèi)的電位分布（設(shè)x軸上電極的電位為0）；

⑵、總電流I和弧片的電阻R；

???⑶、在分界面上D，?，E是否突變？ ⑷、分界面上的電荷密度?。

解：（1）、設(shè)電導(dǎo)率為?1的媒質(zhì)中的電位為?1，電導(dǎo)率為?2的媒質(zhì)中的電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 15 頁(yè)

電位為?2，選取柱坐標(biāo)研究此問(wèn)題。由于在柱坐標(biāo)中電極上的電位和r及z無(wú)關(guān)，因而兩部分弧片中的電位也只是?的函數(shù)，即

1? ? ?11?2?1 ?2?1 1?2?1 ??1?(r)?2??2 222r? r? rr? ?? zr? ?21? ? ?21?2?2 ?2?2 1?2?2 ??2?(r)?2??2 222r? r? rr? ?? zr? ?2由上邊兩式可得?

1、?2的通解分別為

?1?C1??C

2?2?C3??C4 此問(wèn)題的定解條件是：

?2??0?0

……（a）

?1????U

……（b）

2?1?????2???……（c）

?144? ?1? ???2???4? ?2? ????4……（d）

根據(jù)上述四式可得

C4?0，C1C1??C2?U 2???C2?C3?C4，?1C1??2C3 44聯(lián)立以上四式解得

C1?4U?2U(?1??2)?，C2?U?C1?

?(?1??2)2?1??2?14U?1，C4?0 C1??2?(?1??2)4U?2U(?1??2)???(5.95??20.65)V

?(?1??2)?1??24U?1??32.26? V

?(?1??2)C3?于是

?1??2?

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 16 頁(yè)

?（2）、根據(jù) E????得

?4U?2?5.95?

E1??e???e?

?(?1??2)rr??又???E，因此

??4U?1?2?5.95?3.868?108?7e?)??e?

?1??1E1??e??6.5?10(?rr?(?1??2)r?? R2?3.868?108?而

I?? ?1?dS??(?e?)?(?0.002)e?dr

S R1rR

?7.736?105ln(2)?3.14?105A

R1U30?5R???9.55?10 ?

5Ι3.14?10（3）、由于電流密度的法向分量在分界面上連續(xù)，且在此題目中電流密??度只有法向分量，因此 ?1???2?。分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度等于分界面處的???電流密度與電導(dǎo)率的比值，又?1??2，因此 E1?中的電流場(chǎng)，媒質(zhì)的介電常數(shù)一律為?0，因此D1??（4）、??(D1??0(????44??4???4?4??E2??D2???4。對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)。

??????D2?4???4?)? e?

4U?04U?24U?1???e??e?)? e??(?1??2)

?(?1??2)r?(?1??2)r?(?1??2)r

2—

11、以橡膠作為絕緣的電纜的漏電阻通過(guò)下屬辦法測(cè)定：把長(zhǎng)度為l的電纜浸入鹽水溶液中，然后在電纜導(dǎo)體和溶液之間加電壓，從而可測(cè)得電流。有一段3米長(zhǎng)的電纜，浸入后加200V的電壓，測(cè)得電流為2?10?9A。已知絕緣層的厚度和中心導(dǎo)體的半徑相等，求絕緣層的電阻率。

解： 設(shè)導(dǎo)體的電位高于鹽水的電位，則絕緣層中的漏電流密度為：

?I???er

2?lr而絕緣層中的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

??I

E?er

2??lr設(shè)導(dǎo)體的半徑為R1，電纜絕緣層的外半徑為R2，則導(dǎo)體和鹽水之間的電壓為：

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 17 頁(yè)

R2??IIU??er?erdr??dr

R1R12??lrR12??lrR21R2II ? dr?ln2??l?R1r2??lR1RI即

??ln2

2?UlR1將已知數(shù)據(jù)代入上式，得

2R12?10?910?9 ??ln?ln2?3.677?10?13S/m

2??200?3R1600?1???2.727?1012?/m R2??R2E?dr???3－2－

1、一半徑為a長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體，被一同樣長(zhǎng)度的同軸圓筒導(dǎo)體所包圍，圓筒半徑為b，圓柱導(dǎo)體和圓筒導(dǎo)體載有相反方向電流I。求圓筒內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度（導(dǎo)體和圓筒內(nèi)外導(dǎo)磁媒質(zhì)的磁導(dǎo)率均為?0）。

解：求解此問(wèn)題可將圓柱導(dǎo)體和圓筒導(dǎo)體視為無(wú)限長(zhǎng)。在垂直于z的平面上以z軸和此平面的交點(diǎn)為心做一半徑為r的圓l，設(shè)l的方向和z符合右手螺旋關(guān)系。

由安培環(huán)路定律得：

??H?dl?I? ?l

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 18 頁(yè)

式中I?為l中包含的電流，其方向與l符合右手螺旋關(guān)系時(shí)為正，否則為?負(fù)?？紤]到在l上H的大小相等，方向?yàn)閘的切線方向，則有

2?rH?I?

??I??0?I?I??e?，B?e? 即

H?，而 H?2?r2?r2?r當(dāng)0?r?a時(shí)，有

Ir22I??2?r?2I

?aa??0r2??r??2Ie??02Ie?

而

B?2?ra2?a當(dāng)a?r?b時(shí)，有 I??I

??? 而

B?0Ie?

2?r當(dāng)r?b時(shí)，有

I??0 ? 因而

B?0

3－3－

3、在恒定磁場(chǎng)中，若兩種不同媒質(zhì)分解面為xoz平面，其上有電流???????線密度k?2exA/m，已知H1?(ex?2ey?3ez)A/m，求H2。

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 19 頁(yè)

?解：設(shè)y?0的區(qū)域中的磁導(dǎo)率、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為?

2、H2、???B2；y?0的區(qū)域中的磁導(dǎo)率、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為?

1、H1、B1。

由已知條件得：

H1z?3；

H1x?1；

B1y?H1y?1 由分解面條件得：

H2z?H1z?2；

H2x?H1x?0；B2y?B1y

將已知條件代入，得：

H2z?2?H1z?5；

H2x?H1x?1；

B2y??1H1y?2?1

而

H2y?B2y?2?2?1 ?2????????于是

H2?H2xex?H2yey?H2zez?(ex?21ey?5ez)A/m

?2

3－4－

3、已知電流分布為

??J?J0rezr?a

???。J0為常數(shù)，求矢量位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B（注A的參考點(diǎn)選為r?r0?a處）

??

解：設(shè)r?0的區(qū)域中的矢量磁位為A1，r?0的區(qū)域的矢量磁位為A2，則??A1、A2所滿足的微分方程分別為：

???A1???0J0rez

r?a 2?

?A2?0

r?a 2考慮到電流密度只有z分量，矢量磁位也只能有z分量，上兩可改寫為

?2A1z???0J0r

r?a

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 20 頁(yè)

?2A2z?0

r?a 選圓柱坐標(biāo)系，上兩式變?yōu)?/p>

?A1z1?1?2A1z?2A1z

(r)?2????0J0r 22r?r?rr???z?A2z1?1?2A2z?2A2z

(r)?2??0

r?r?rr??2?z2由于電流密度不隨z和?變化，所以矢量磁位也不隨z和?變化，因此上述兩式可簡(jiǎn)化為

?A1z1?(r)???0J0r

（1）r?r?r?A2z1?(r)?0

（2）r?r?r

（1）、（2）兩式的通解分別為

A1z???0J03r?C1lnr?C（3）9A2z?C3lnr?C（4）

定解條件：

附加條件：當(dāng)r?0時(shí)，A1z應(yīng)為有限值；參考點(diǎn)處矢量磁位為0，即A2zr?r0?0

分解面條件：A1zr?a??11?(??A2)?A2zr?a；(??A1)r?ar?a?0?0根據(jù)定解條件，得：

C1?0

（5）

C3lnr0?C4?0

（6）

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 21 頁(yè)

??0J03a?C1lna?C2?C3lna?C4

（7）9?J111C（8）(?00a2?C1)???03a?0a即

C3lnr0?C4?0

??0J03a?C2?C3lna?C4

9??0J02C3a? 3a聯(lián)立上述三式解得：

C3???0J03?Ja；

C4?00a3lnr0； 33C2??0J03ra[1?3ln0] 9a??J?Jr?于是

A1?[?00r3?00a3(1?3ln0)]ez

99a??0J0r?[?r3?a3(1?3ln0)]ez 9a??J?J?A2?[?00a3lnr?00a3lnr0]ez

33?[?0J03r0?aln]ez 3r由柱坐標(biāo)中的旋度公式

??1?Az?A???Ar?Az?1?(rA?)?Ar??A?er(?)?e?(?)?er(?)

r???z?z?rr?r??

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 22 頁(yè)

可得：

????J?A1z?B1???A1?e?(?)?00r2e?

?r3???0J0a3??A2z?B2???A2?e?(?)?e?

?r3r

3－6－

1、在磁導(dǎo)率??7?0的半無(wú)限大導(dǎo)磁媒質(zhì)中距媒質(zhì)分界面2cm有一載流為10A的長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線，試求媒質(zhì)分界面另一側(cè)（空氣）中距分界面1cm?處p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

解：此題如圖1所示，圖中h?2cm，h1?1cm，I?10A（設(shè)其方向和正z軸的方向一致）求空氣中的磁場(chǎng)的等效模型如圖2所示。圖中的

I????而

Hp?2?7?014?07I?I?I

?0?7?08?04?7?875?I??1i?I?i?i(A/m)2?(h?h1)42?(0.01?0.02)3?????

42Bp??0Hp?1.16?10i(Wb/m)

3—7－

2、有一截面為正方形的鐵磁鐲環(huán)，均勻繞有500匝導(dǎo)線，鐲環(huán)內(nèi)外

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 23 頁(yè)

半徑分別為R1?6cm和R2?7cm，高h(yuǎn)?1cm，??800?0，求線圈的自感系數(shù)。

解：做一個(gè)半徑為r的圓，使此圓所在的平面在正方形鐵磁鐲環(huán)的兩個(gè)端面之間，且與端面平行，圓心在鐵磁鐲環(huán)的軸線上。

設(shè)線圈的匝數(shù)為n，根據(jù)安培環(huán)路定理，得

??

?H?dl?nI

l對(duì)于此題，在上述所做的圓上磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小處處相等，方向沿圓的切線方向，于是上述積分的結(jié)果為

2?rH?nI

??n?I?nI?即

H?e?，B?e?

2?r2?r??R2n?I??磁通為

???B?ds??e??e?ds??SS2?rR1n?I?02?rdzdr

h

?n?I2???R1R2h0nI?hR21dzdr? lnr2?R1n2I?hR2線圈的磁鏈為

??n?? ln2?R1再由LI??，得

n2?hR25002?800?0?0.017

L??ln?ln

I2?R12?6?

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 24 頁(yè)

5002?800?4??10?7?0.017?ln?0.0616H

2?6

3—7－

3、如圖所示，求真空中：（1）、沿Z軸放置的無(wú)限長(zhǎng)直線電流和匝數(shù)為1000的矩形回路之間的互感；（2）、如矩形回路及其它長(zhǎng)度所標(biāo)尺寸的單位，不是米而是厘米，重新求互感。

解：(1)、在x?0，y?0的半平面內(nèi)

B???0I?2?y(?i)

設(shè)互感磁通?m的方向如圖中的?所示，則

? 5 5I?0m?? 2 ? 0 2?y dz dy?5I?02?ln52 與線圈交鏈的總互感磁鏈為

?2500I?0m?N?m??ln52()而

M??mI?2500?0?ln(52)?9.163?10?4(H)（2）、如圖中的尺寸的單位為厘米時(shí)

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 25 頁(yè)

M??m25?05?ln()?9.163?10?6(H)I?23－8－

1、求無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間區(qū)域內(nèi)所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為R1，外導(dǎo)體很薄，半徑為R2，內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為?0，電纜中的電流為I。

解：設(shè)同軸電纜的橫截面及內(nèi)導(dǎo)體中電流的方向如圖所示，則內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為（取圓柱坐標(biāo)，使z軸和同軸電纜的軸線一致，其方向和I的方向相同）

????0I?I?e?，而

B??0H?e?

H?2?r2?r?0I21????H?B

得

wm??22 由

wm28?r而

Wm??10??02?R2R1?rdrd?dz??wm2?R2R110??02?R2R1?0I2drd?dz 28?r?0I2?8?2???001?0I21drd?dz?r8?2??012?0?0I2R2R2 lnd?dz?lnR14?R13 －8－

2、在題3 －7－2的鐲環(huán)線圈中，通以電流I?1A。求磁場(chǎng)能量：

??121（1）、用Wm?LI求解；（2）、用Wm??B?HdV求解。

22V解： 利用題3 －7－2的一些結(jié)果，有

??n?I?n2?hR2nI?

H? e?，B?e?，L?ln2?r2?r2?R

1電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 26 頁(yè)

1n2?hR22n2?hI2R2（1）、Wm?

lnI?ln22?R14?R15002?800?4??10?7?0.01?127ln?3.08?10?2(J)

?4?61??1hR22?nI??nI?（2）、Wm??H?BdV????e??e?rd?drdz

V0R01222?r2?r?n2I21hR22??n2I ????d?drdz?20R0124?r8?2???0R1hR22?01d?drdz r?hn2I2R2?ln?3.08?10?2(J)

4?R1

4—

1、長(zhǎng)直導(dǎo)線中通過(guò)電流i，一矩形導(dǎo)線框置于其近旁，兩邊與直導(dǎo)線平行，且與直導(dǎo)線共面，如圖所示。

（1）、設(shè)i?Imcos(?t)，求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（設(shè)框的尺寸遠(yuǎn)小于正弦電流的波長(zhǎng)）。

（2）、設(shè)i?I0，線框環(huán)路以速度v向右平行移動(dòng)，求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。（3）、設(shè)i?Imcos(?t)，且線框又向右平行移動(dòng)，再求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

解：取電動(dòng)勢(shì)和磁通的方向如圖所示，選柱坐標(biāo)且使z軸與線電流重合，方向與電流的方向一致。

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 27 頁(yè)

（1）、線圈不動(dòng)，電流隨時(shí)間變化：

?i?0?e?

B?2?r

???b0?c?aci?0??i?ba?ce??e?drdz?0ln 2?r2?c由于e和?符合右手螺旋關(guān)系，所以

e???b?Imd?di?ba?cc?a??(0ln)?0ln()sin?(t)dtdt2?c2?c

（2）、電流不變，線圈運(yùn)動(dòng)：

取積分路徑的方向和電動(dòng)勢(shì)的方向一致，則

???e??v?B?dl

l?

?[?(v?b0b?

??(v?0c?vt?a?I0?0??I???e?)?ezdz??(v?00e?)?erdr

c?vt2?(c?vt)2?rc?vt?a?I0?0I?????e?)?(?ez)dz??(v?00e?)?(?er)dr]

c?vt2?(c?vt?a)2?rb?

??(v?0b?I0?0??I0?0??e?)?ezdz??(v?e?)?(?ez)dz

02?(c?vt)2?(c?vt?a)

??

??

?bvI0?0??vI0?0??ez?ezdz??ez?(?ez)dz

02?(c?vt)02?(c?vt?a)bbvI0?0vI0?0dz???dz

02?(c?vt)02?(c?vt?a)bvI0?0b11(?)2?c?vtc?vt?a

（3）、電流和線圈的位置都隨時(shí)間變化：

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 28 頁(yè)

?i?0?B?e?

2?r

???

e??b0?c?vt?ac?vti?0??i?ba?c?vte??e?drdz?0ln 2?r2?c?vt?bdd?di?ba?c?vta?c?vt??(0ln)??0?(iln)dtdt2?c?vt2?dtc?vt?0bda?c?vt?[Imcos(?t)ln] 2?dtc?vt

?????0bImd?{cos(?t)ln(a?c?vt)?cos(?t)ln(c?vt)} 2?dt?0bImv?{??sin(?t)ln(a?c?vt)?cos(?t)2?a?c?vtv} c?vt

??(t)lnc(?vt)?cos?(t)

??sin???0bIma?c?vt11?{?lnsin(?t)?v(?)cos(?t)} 2?c?vtc?vta?c?vt

??0.02sin(109t)A/m2，4—

2、已知一種有損耗媒質(zhì)中的電流密度J若媒質(zhì)c的??103S/m，?r?6.5，求位移電流密度。

解：用相量表示電流密度，則

??0.02/00

Jcm00.02/0?50??電場(chǎng)強(qiáng)度為

E ??2?10/0V/mm3?10?Jcm???E????E?電位移相量為 Dmmr0m

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 29 頁(yè)

10?913?2?10?5/00??10?14/00C/m?6.5?36?36???j?D??j109?13?10?14/00?j1.149?10?6/00A/m2 而

?Dmm36?所以

?D?1.149?10?6sin(109t?900)A/m2

4－

5、由圓形極板構(gòu)成的平板電容器如圖所示，兩極板之間充滿電導(dǎo)率為?、介電常數(shù)為?、磁導(dǎo)率為?0的非理想介質(zhì)。把電容接到直流電源上，求該系統(tǒng)中的電流及電容器極板之間任意一點(diǎn)的坡印亭向量，并證明其中消耗的功率等于電源供給的功率。

解：忽略邊緣效應(yīng)后有

???r2??U0??Ur??r?E?(?ez)，H?(?e?)??e???0e?

d2?r22d電容中任意一點(diǎn)的坡印亭矢量為：

2????U0???U0r??U0r?S?E?H?ez?e???er 2d2d2dU電流為：

I?0??R2

d電源提供的功率為：

2U0Ps?U0I???R2

d電容消耗的功率為：

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 30 頁(yè)

????Pc???S?ds??{?S?ds??ss1s2??S?ds??s3??S?ds}

上式中的S，S1，S2和S3分別是電容器的外表面、介質(zhì)與上極板的分界面、介質(zhì)與下極板的分界面和電容器的外側(cè)面。由于在介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面處，導(dǎo)體一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0，所以

222???U0?U0?U0?2??Pc???S?ds???R(?e)?eds?Rds?R rr?s32d2s3s32d2d

4—

7、已知空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度為

??

E?0.1sin(10?x)cos(6??109t??z)ey

?求相應(yīng)的H和?。

11解： v???3?108m/s

?0?010?9?74??10?36??6??109?20?rad/ m

???8v3?10???

Em?0.1sin(10?x)e?j?zey

??????由

??E??j?B??j??H，得

?????????e?eeeeexyzxyz??????11?????1?????? Hm?j??Em?j?j0??????x?y?z?????x?z??E?0E?????0?ym?xmEymEzm???

????E??Eymym?j[?ex?ez]???z?x????1?j[?ex(0.1sin(10?x)e?j?z)?ez(0.1sin(10?x)e?j?z)] ???z?x??1?j[?ex0.1sin(10?x)(?j?)e?j?z?ez0.1?10?cos(10?x)e?j?z] ??0?0.1??[?exsin(10?x)?e?j?z?ez10?cos(10?x)e?j?z?j90] ????0.1?j?z?j?z?j900?[?esin(10?x)?20?e?e10?cos(10?x)e] xz9?76??10?4??10

1電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 31 頁(yè)

??1?j?z?j?z?j900?[?exsin(10?x)?2e?ezcos(10?x)e] 24??102??11?j?z?j?z?j900??exsin(10?x)e?ecos(10?x)e z2212??1024??10??1H?[?exsin(10?x)cos(6??109t?20?z)212??10?190cos(10?x)cos(6??10t?20?z?90)]A/m

?ez 224??10

6－2－

3、已知自由空間中電磁場(chǎng)的電場(chǎng)分量表達(dá)式為

??

E?37.7cos(6??108t?2?z)eyV/m

這是一種什么性質(zhì)的場(chǎng)？試求出其頻率、波長(zhǎng)、速度、相位常數(shù)、傳播方向及?H的表達(dá)式。

解：此場(chǎng)為一種沿負(fù)z軸方向傳播的均勻平面波。

v3?108?1m f?3?10Hz，v??3?10m/s，???8f3?10?0?0818?6??108?2?rad/ m

???v3?108

Z0??0?12?0 ?0?37.7?H?cos(6??108t?2?z)ex

120??

?0.1cos(6??108t?2?z)exA/m

6－2－

4、某電臺(tái)發(fā)射600kHz的電磁波，在離電臺(tái)足夠遠(yuǎn)處可以認(rèn)為是平面波。設(shè)在某一點(diǎn)a，某瞬間的電場(chǎng)強(qiáng)度為10?10?3V/m，求該點(diǎn)瞬間的磁場(chǎng)強(qiáng)度。若沿電磁波的傳播方向前行100m，到達(dá)另一點(diǎn)b，問(wèn)該點(diǎn)要遲多少時(shí)間才具有此10?10?3V/m的電場(chǎng)。

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 32 頁(yè)

解：空氣可以視為理想介質(zhì)，設(shè)電磁波沿x方向傳播，因此

E?Emcos(2??6?105t??x)

設(shè)電磁波傳播到a點(diǎn)的時(shí)間為t1，a點(diǎn)的x坐標(biāo)為x1，則

Emcos(2??6?105t1??x1)?10?2

10?2即

Em? 5cos(2??6?10t1??x1)10?25于是

E?cos(2??6?10t??x)5cos(2??6?10t1??x1)根據(jù)理想介質(zhì)中磁場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，有

E10?2H??cos(2??6?10t??x)5Z0120?cos(2??6?10t1??x1)當(dāng)t?t1，x?x1時(shí)，有

E10?2H??cos(2??6?105t1??x1)5Z0120?cos(2??6?10t1??x1)10?2??2.65?10?5A/m 120?設(shè)電磁波傳播到b點(diǎn)的時(shí)間為t2，b點(diǎn)的x坐標(biāo)為x2。依據(jù)題意可得

10?25?2 cos(2??6?10t??x)?10225cos(2??6?10t1??x1)即

cos(2??6?105t2??x2)?cos(2??6?105t1??x1)將x2?x1?100帶入上式，得

cos(2??6?105t2??(x1?100))?cos(2??6?105t1??x1)根據(jù)上式，可得

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 33 頁(yè)

2??6?105?1008?1001?63?10???10s

(t2?t1)?5532??6?102??6?10

6－3－

1、均勻平面波在海水中垂直向下傳播，已知f?0.5MHz，海水的?r?80，?r?1，??4S/m，在x?0處

??

H?20.5?10?7cos(?t?350)ey

??求：（1）、海水中的波長(zhǎng)及相位速度；（2）、x?1m處，E和H的表達(dá)式；（3）、由表面到1m深處，每立方米海水中損耗的平均功率。

解：由于????42??0.5?106?80?1036??9?1800，所以此時(shí)的海水為良導(dǎo)體。

（1）、??2?2????2?2?5m；

2??0.5?106?4??10?7? v?2?2?2??5?1055???106m/ s?7??24??10?4（2）、???????22??5?105?4??10?7?4??2.81m1/2

??

H?20.5?10?7e?2.81xcos(?t?350?2.81x)ey

??2??5?105?4??10?70

Z0?/45?/450?0.993/450?

?4??

E?20.5?10?7?0.993e?2.81xcos(?t?350?2.81x?450)(?ez)?

?20.36?10?7e?2.81xcos(?t?350?2.81x?450)(?ez)

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 34 頁(yè)

在x?1處

??

E?1.226?10?7cos?(t?1501)(?ez)

??

H?1.234?10?7cos(?t?1960)ey

????（3）、S?E?H?20.36?10?7e?2.81xcos(?t?150?2.81x)(?ez)

?

?20.5?10?7e?2.81xcos(?t?350?2.81x)ey

?

?4.17?10?12e?5.62xcos(?t?150?2.81x)cos(?t?350?2.81x)ex ?

?2.085?10?12e?5.62x[cos(450)?cos(2?t?250?5.62x)]ex

? Sav?T?T0?2.085?10?12e?5.62x[cos(450)?cos(2?t?250?5.62x)]exdt

?

?2.085?10?12e?5.62xcos(450)ex

??

P??[?2.085?10?12cos(450)ex?(?ex)ds

s1??

??2.085?10?12e?5.62cos(450)ex?(ex)ds]

s

2??s12.085?10?12cos(450)ds??2.085?10?12e?5.62cos(450)ds

s2s1s2

?2.085?10?12?0.707?[?ds??

e?5.62ds]?1.47?10?12W/m3

6－3－

3、設(shè)一均勻平面電磁波在一良導(dǎo)體內(nèi)傳播，其傳播速度為光在自由空間波速的1‰且波長(zhǎng)為0.3mm，設(shè)煤質(zhì)的磁導(dǎo)率為?0，試決定該平面電磁波的頻率及良導(dǎo)體的電導(dǎo)率。

解：

v?c?0.001?3?105m/s，而在良導(dǎo)體中：

??2?由上兩式得：

2?2?3?10?4，v??3?105

?????

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 35 頁(yè)

8? ?9?10?8

??0?

2??9?1010 ?0?16?2即

22?81?100

?0????4?4?1???106S/m ?790?090?4??1099?1010?0?而

??，2?9?1010?0?9?1010?4??10?71????106?109Hz

f?2?4?4?97—

8、已知傳輸線在1GHz時(shí)的分布參數(shù)為：R0?10.4?/m；C0?8.35?10?12F/m；L0?1.33?10?6H/m，G0?0.8?10?6S/m。試求傳輸線的特性阻抗，衰減常數(shù)，相位常數(shù)，傳輸線上的波長(zhǎng)及傳播速度。

解：特性阻抗

R0?j?L0Z0??G0?j?C010.4?j2??109?1.33?10?6?399.1?

0.8?10?6?j2??109?8.35?10?12衰減常數(shù)和相位常數(shù)：

??j??(R0?j?L0)(G0?j?C0)

?(10.4?j2??109?1.33?10?6)(0.8?10?6?j2??109?8.35?10?12)

?0.01315?j20.93

由此可見

??0.01315Np/m，??20.93rad/m

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 36 頁(yè)

波速和波長(zhǎng)：

v??v?3?108m/, s ???0.3m ?f7—4—

2、特性阻抗Z0?100?，長(zhǎng)度為?/8的無(wú)損耗傳輸線，輸出端接有負(fù)載Zl?(200?j300)?，輸入端接有內(nèi)阻為100?、電壓為500?00V的電源。試求：（1）、傳輸線輸入端的電壓；（2）、負(fù)載吸收的平均功率；（3）、負(fù)載端的電壓。

解：（1）、傳輸線的輸入阻抗為

2?2?Zlcos(l)?jZ0sin(l)??

Zin?Z02?2?Z0cos(l)?jZlsin(l)

??(200?j300)cos()?j100sin()4?100??100cos()?j(200?j300)sin()44

?50(1?j3)

00500?0500?0520??

I??/45A 10100?50?j1501502/?4530??ZI??50(1?j3)?52/450A?372.68/-26.5V6

U1in13（2）、負(fù)載吸收的平均功率

由于傳輸線是無(wú)損線，所以負(fù)載吸收的平均功率等于傳輸線始端輸入的平均功率

P2?U1I1cos(?26.560?450)?277.85W（3）、負(fù)載端的電壓

????U?cos2?sin2?cos??sin?(l)?jZI(l)?U()?jZI()

U2101101??44??

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 37 頁(yè)

2??]?2[50(1?j3)?52/450?j100?52/450] [U1?jZ0I12233250250/450?[1?j5]??5.1/450?78.690?425/?33.690V

?337—

17、長(zhǎng)度為?/4的無(wú)損耗線聯(lián)接如題7—17圖。其特性阻抗Z0為50?。

?若要使電源發(fā)出最大功率，試決定集中參數(shù)B的值及電源內(nèi)阻。

Z2??2??解：Zlcos()?jZ0sin()Z2025in?Z0?4?4Zcos(2??2???Z? l(1?4)?jZ?j)0lsin(?4)

Y1(1?j)in?Z? in25當(dāng) YjB?1in?R時(shí)電源發(fā)出的功率最大，由此可得

01?j25?jB?1R

即 B?1S，R0?25? 025

電磁場(chǎng)習(xí)題解答

第 38 頁(yè)

第五篇：工程材料習(xí)題解答.doc

1-2假設(shè)塑性變形時(shí)材料體積不變，那么在什么情況下塑性指標(biāo)δ、ψ之間能建立何種數(shù)學(xué)關(guān)系。解：無(wú)頸縮情況下，L0S0＝L1S1 ……①δ＝（L1-L0）/ L0，ψ＝（S0-S1）/ S0 ……②

②代入①化簡(jiǎn)得（δ+1）(1-ψ)=1 1-3 現(xiàn)有一碳鋼制支架剛性不足，采用以下三種方法中的哪種方法可有效解決此問(wèn)題？為什么？①改用合金鋼；②進(jìn)行熱處理改性強(qiáng)化；③改變改支架的截面與結(jié)構(gòu)形狀尺寸。

答：選用第三種。因?yàn)楣ぜ膭傂允紫热Q于其材料的彈性模量E，又與該工件的形狀和尺寸有關(guān)。而材料的彈性模量E難于通過(guò)合金化、熱處理、冷熱加工等方法改變，所以選第三種。

l-5在零件設(shè)計(jì)與選材時(shí)，如何合理選擇材料的σp、σe、σs、σb性能指標(biāo)?各舉一例說(shuō)明。答：σp：當(dāng)要求彈性應(yīng)力和彈性變形之間保持嚴(yán)格的正比關(guān)系時(shí)。σ工?σp

σe：工程上，對(duì)于彈性元件，要求σ工?σeσs：對(duì)于不允許有明顯塑性變形的工程零件，要求σ工?σσb：對(duì)塑性較差的材料，要求σ工?σb例如：σp-炮管、σe-彈性元件、σs-緊固螺栓、σb-鋼絲繩 1-6現(xiàn)有兩種低強(qiáng)度鋼在室溫下測(cè)定沖擊韌性，其中材料A的A K =80J，材料B的A K =60J，能否得出在任何情況下材料A的韌性高于材料B，為什么？ 答：不能。因?yàn)橛绊憶_擊韌性的因素很多。

1-7實(shí)際生產(chǎn)中，為什么零件設(shè)計(jì)圖或工藝卡上一般是提出硬度技術(shù)要求而不是強(qiáng)度或塑性值？ 答：這是由它們的定義、性質(zhì)和測(cè)量方法決定的。硬度是一個(gè)表征材料性能的綜合性指標(biāo)，表示材料表面局部區(qū)域內(nèi)抵抗變形和破壞的能力，同時(shí)硬度的測(cè)量操作簡(jiǎn)單，不破壞零件，而強(qiáng)度和塑性的測(cè)量操作復(fù)雜且破壞零件，所以實(shí)際生產(chǎn)中，在零件設(shè)計(jì)圖或工藝卡上一般提出硬度技術(shù)要求而不提強(qiáng)度或塑性值。

2-1 常見的金屬晶體結(jié)構(gòu)有哪幾種：它們的原于排列和晶格常數(shù)有什么特點(diǎn)?。α—Fe、γ—Fe、Al、Cu、Ni、Pb、C r、V、Mg、Zn各屬何種結(jié)構(gòu)?

答：體心：α—Fe、C r、V 面心： γ—Fe、Al、Cu、Ni、Pb、密排六方：Mg、Zn 2-2已知γ-Fe的晶格常數(shù)要大于α-Fe的晶格常數(shù)，但為什么γ-Fe冷卻到912C轉(zhuǎn)變?yōu)棣?Fe時(shí)，體積反而增大？ 答：這是因?yàn)檫@兩種晶格的致密度不同，γ-Fe的致密度是74%，α-Fe的致密度是68%，當(dāng)γ-Fe冷卻到912C轉(zhuǎn)變?yōu)棣?Fe時(shí)，由于致密度變小，導(dǎo)致了體積反而增大。

2-5 總結(jié)說(shuō)明實(shí)際金屬晶體材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

答：金屬晶體內(nèi)原子排列總體上規(guī)則重復(fù)，常見體心、面心、密排六方三各晶格類型。但也存在不完整的地方，即缺陷，按幾何形態(tài)分為點(diǎn)、線、面缺陷。

3-1 如果其它條件相同，試比較在下列鑄造條件下，所得鑄件晶粒的大??；(1)金屬模澆注與砂模澆注；(2)高溫澆注與低溫澆注；(3)鑄成薄壁件與鑄成厚壁件；(4)澆注時(shí)采用振動(dòng)與不采用振動(dòng)；(5)厚大鑄件的表面部分與中心部分。

0

0

s 答：1前?。?后??；3前??；4前??；5前小； 3-2 下列元素在α—Fe中形成哪種固溶體？ Si，C，N，Cr，Mn，B，Ni 答：間隙：C，N，B 置換：Si，Cr，Mn，Ni 3-6 為什么鑄造合金常選用接近共晶成分的合金?為什么要進(jìn)行壓力加工的合金常選用單相固溶體成分的合金? 答：共晶成分的合金恒溫結(jié)晶，流動(dòng)性好，適合鑄造。單相固溶體成分的合金，塑性好。

３-補(bǔ)１、什么叫固溶體相？其結(jié)構(gòu)有何特點(diǎn)？性能如何？在合金中有何作用？舉一例說(shuō)明。答：組成固態(tài)合金的組元相互溶解形成的均勻結(jié)晶相。

結(jié)構(gòu)：保持溶劑的晶格不變，溶質(zhì)以原子分散于溶劑晶格中，成分不固定，A（B）表示。性能：強(qiáng)度較純?nèi)軇┙饘俅?，塑性、韌性較好。作用：合金中為基本相，作基體相。舉例：如碳鋼中的鐵素體F。

３-補(bǔ)

2、已知A熔點(diǎn)600度與B熔點(diǎn)500度，在液態(tài)無(wú)限互溶；在固態(tài)300度時(shí)，A溶于B的最大溶解度為30%，室溫時(shí)為10%，但B不溶于A；在300度時(shí)，含40%B的液態(tài)合金發(fā)生共晶反應(yīng)?，F(xiàn)要求：

（1）、作出A--B合金相（2）、注明各相區(qū)的組答：

4-4 簡(jiǎn)要比較液態(tài)異同之處。

答：同：都是結(jié)晶，需要△T，有形核、長(zhǎng)大過(guò)程。異：液態(tài)結(jié)晶，液→固，△T可小些，無(wú)序→有序，相變。重結(jié)晶，固→固，△T較大，有序→有序，相變。

再結(jié)晶，只有變形金屬才可再結(jié)晶，是晶格畸變減輕、消失，破碎晶?！旰镁Я?，不是相變。4-5 金屬鑄件能否通過(guò)再結(jié)晶退火來(lái)細(xì)化晶粒？為什么？

答：不能。只有變形金屬才可再結(jié)晶，儲(chǔ)存能量是產(chǎn)生再結(jié)晶的前提。

8、鎢在1000℃變形加工，錫在室溫下變形加工，請(qǐng)說(shuō)明它們是熱加工還是冷加工（鎢熔點(diǎn)是3410℃，錫熔點(diǎn)是232℃）？

解：鎢的再結(jié)晶溫度是：（3410＋273）×0.4-273＝1200℃

∵加工溫度小于再結(jié)晶溫度，∴屬于冷加工 錫的再結(jié)晶溫度是：（232＋273）×0.4-273＝-33℃ ∵加工溫度大于再結(jié)晶溫度，∴屬于熱加工

圖； 織。

結(jié)晶、重結(jié)晶、再結(jié)晶的4-9 用下列三種方法制造齒輪，哪一種比較理想?為什么?(1)用厚鋼板切成圓板，再加工成齒輪(2)用粗鋼棒切下圓板，再加工成齒輪；(3)將圓棒鋼材加熱，鍛打成圓餅，再加工成齒輪。（4）下料后直接擠壓成形。答：第四種。下料后直接擠壓成形，保留纖維組織。

4-１０、用一根冷拉鋼絲繩吊裝一大型工件進(jìn)入熱處理爐，并隨工件一起加熱到1000℃保溫，當(dāng)出爐后再次吊裝工件時(shí)，鋼絲繩發(fā)生斷裂，試分析其原因。

答：冷拉鋼絲繩是利用加工硬化效應(yīng)提高其強(qiáng)度的，在這種狀態(tài)下的鋼絲中晶體缺陷密度增大，強(qiáng)度增加，處于加工硬化狀態(tài)。在1000℃時(shí)保溫，鋼絲將發(fā)生回復(fù)、再結(jié)晶和晶粒長(zhǎng)大過(guò)程，組織和結(jié)構(gòu)恢復(fù)到軟化狀態(tài)。在這一系列變化中，冷拉鋼絲的加工硬化效果將消失，強(qiáng)度下降，在再次起吊時(shí)，鋼絲將被拉長(zhǎng)，發(fā)生塑性變形，橫截面積減小，強(qiáng)度將比保溫前低，所以發(fā)生斷裂。

５-１、分析含碳量ＷC分別為0.2%、0.45%、0.8%、1.2%的鐵碳合金在極緩慢冷卻時(shí)的組織轉(zhuǎn)變過(guò)程，繪出室溫組織示意圖并在圖上標(biāo)出組織組成物名稱。

答：

0.2%：A-F+A-F+P 0.45%：A-F+A-F+P 0.8%：A-P 1.2%：A-Fe3C+A-Fe3C+P 5-2 分析一次滲碳體、二次滲碳體、三次滲碳體、共晶滲碳體、共析滲碳體的異同之處。答：同：性能

異：一次滲碳體從液態(tài)中析出，為長(zhǎng)條狀。二次滲碳體從Ａ中析出，為網(wǎng)狀。三次滲碳體從Ｆ中析出，為點(diǎn)狀。共晶滲碳體與Ａ共晶反應(yīng)生成，為塊狀。共析滲碳體與Ｆ共析反應(yīng)生成，為長(zhǎng)條狀。

5-4 某倉(cāng)庫(kù)中積壓了許多退火狀態(tài)的碳鋼，由于鋼材混雜不知其化學(xué)成分．現(xiàn)找出一根，經(jīng)金相分析后發(fā)現(xiàn)組織為珠光體和鐵素體，其中鐵素體占80％(體積分?jǐn)?shù))。問(wèn)此鋼中碳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)大約為多少？

解：組織為珠光體和鐵素體，所以是亞共析鋼，C全在P中，Wc=0.77%×20%=0.154% ５-3 根據(jù)鐵碳相圖計(jì)算：

(１)室溫下，Ｗc為0.2％的鋼中珠光體和鐵素體的相對(duì)量；(2)室溫下，Ｗc為１.2％的鋼中珠光體和二次滲碳體的相對(duì)量；(3)727℃共析反應(yīng)剛完成時(shí)，珠光體中鐵素體和滲碳體的相對(duì)量；(4)Wc為1．2%的鋼在1400℃、1100℃和800℃時(shí)奧氏體中的含碳量；(5)鐵碳合金中二次滲碳體和三次滲碳體的最大質(zhì)量分?jǐn)?shù)。解：（1）WP=0.2/0.77=26% WF=(0.77-0.2)/0.77=74%（2）WP=(6.69-1.2)/(6.69-0.77)=92.7% WFe3CⅡ=(1.2-0.77)/(6.69-0.77)=7.3%（3）WF=(6.69-0.77)/6.69=88% WFe3C=0.77/6.69=12%（4）1400℃為L(zhǎng)+A，A中C%>1.2% 1100℃為A，A中C%=1.2% 800℃為A+ Fe3C，A中C%<1.2%（5）W Fe3CⅡMAX=(2.11-0.77)/(6.69-0.77)=22.6% W Fe3CⅢMAX=(0.0218-0.0008)/(6.69-0.0008)=0.3% ５-5 已知鐵素體的硬度為80HBS，滲碳體的硬度為800HBw，根據(jù)兩相混合物的合金性能變化規(guī)律，計(jì)算珠光體的硬度。為什么實(shí)際側(cè)得的珠光體的硬度都要高于此計(jì)算值? 解：WF=(6.69-0.77)/6.69=88% WFe3C=0.77/6.69=12% HB≈88%×80+12%×800＝166.4 滲碳體的強(qiáng)化作用。

5-6 現(xiàn)有形狀和尺寸完全相同的四塊平衡狀態(tài)的鐵碳合金，它們的含碳量Ｗc分別為0.20％、0.40％、1.2％、3.5％，根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)可用哪些方法來(lái)區(qū)別它們? 答：硬度。

5-7 根據(jù)鐵碳相圖解釋下列現(xiàn)象：

(1)在進(jìn)行熱軋和鍛造時(shí)，通常將鋼材加熱到1000—l250℃;(2)鋼鉚釘一般用低碳鋼制作；

(3)綁扎物件一般用鐵絲(鍍鋅低碳鋼絲)，而起重機(jī)吊重物時(shí)的鋼絲繩Ｗc分別為0.60％、0.65％、0.70％的鋼等制成；

(4)在1100℃時(shí)，Wc＝0.4％的碳鋼能進(jìn)行鍛造，而Mc＝4.0％的鑄鐵不能進(jìn)行鍛造；(5)在室溫下，現(xiàn)Wc＝0.8％的碳鋼比Wc＝1.2％的碳鋼強(qiáng)度高;(6)Wc＝1.0％的碳鋼比Wc＝0.5％的碳鋼硬度高;(7)鋼適用于壓力加工成形，而鑄鐵適于鑄造成形。

答：(1)在Ａ區(qū)(2)塑性好(3)前塑性好，后強(qiáng)度大(4)前在Ａ區(qū)，后含滲碳體多

(5)0.9％后強(qiáng)度下降(6)前含碳量大(7)前可成塑性好的Ａ，后共晶組織流動(dòng)性好。6補(bǔ)-1 示意畫出共析碳鋼的Ｃ曲線。6補(bǔ)-2 鋼Ａ化的過(guò)程怎樣？目的是什么？ 答：過(guò)程――

1、A形核；

2、A長(zhǎng)大；

3、殘余滲碳體溶解；

4、A成分均勻化。目的――細(xì)小、均勻的A。

6補(bǔ)-3 根據(jù)Ｃ曲線分析高、中、低溫轉(zhuǎn)變的組織和性能。答：

1、高溫轉(zhuǎn)變（A1~550℃），P類轉(zhuǎn)變，擴(kuò)散型

粗P（A1~680℃）細(xì)P（680 ~600℃）－－Ｓ 極細(xì)P（600 ~550℃）－－Ｔ Ｐ層片間距越小，強(qiáng)度、硬度越高，塑性和韌性也變好。

2、中溫轉(zhuǎn)變（550 ~Ms240℃），B類轉(zhuǎn)變，半擴(kuò)散型。

B上（550 ~350℃），呈羽毛狀； B下（350 ~240℃），呈針片狀

低溫形成的B下，不僅具有高的強(qiáng)度、硬度和耐磨性，而且有良好的塑性和韌性。

3、低溫轉(zhuǎn)變（Ms~Mf），M類轉(zhuǎn)變，無(wú)擴(kuò)散型 M是C在α—Fe 中的過(guò)飽和間隙固溶體。隨著含碳增加，強(qiáng)度和硬度升高，低碳Ｍ不僅具有高的強(qiáng)度和硬度，而且有良好的塑性和韌性 6補(bǔ)-4 什么叫Ｍ？Ｍ轉(zhuǎn)變的條件和特點(diǎn)是什么？

答：M是C在α—Fe 中的過(guò)飽和間隙固溶體。M形成條件：＞Vk，＜ Ms

Ｍ轉(zhuǎn)變特點(diǎn)：①無(wú)擴(kuò)散相變；②速度極快；③變溫生成；④轉(zhuǎn)變不完全；⑤Ａ內(nèi)生成，先大后小。6補(bǔ)-5 退火和正火的主要目的是什么? 1）調(diào)整硬度以便于切削加工；

2）消除殘余應(yīng)力，防止鋼件在淬火時(shí)產(chǎn)生變形或開裂； 3）細(xì)化晶粒、改善組織以提高鋼的力學(xué)性能。4）為最終熱處理作組織上的準(zhǔn)備。6補(bǔ)-

6、回火的種類及其性能如何？

⑴.低溫回火（<200℃），得M回。性能：應(yīng)力減小，硬度變化不大。

⑵.中溫回火（300～400℃），得T回。性能：應(yīng)力基本消除，強(qiáng)度、硬度降低，塑、韌性上升。⑶.高溫回火（>400℃），得S回。性能：強(qiáng)度、硬度進(jìn)一步降低，塑、韌性進(jìn)一步上升。

6補(bǔ)-

7、過(guò)共析鋼淬火加熱溫度如何選擇？為什么？淬火加熱后的組織是什么？

答：過(guò)共析鋼淬火加熱溫度應(yīng)為Ac1+30~50℃，如大于Accm，則完全A化，淬火后為M+A＇，無(wú)Fe3C對(duì)耐磨性不利，如Ac1+30~50℃，組織為A+Fe3C，淬火后為M+Fe3C+ A＇少，滿足要求，淬火加熱后組織為A+Fe3C 6-2 確定下列鋼件的退火方法，并指出退火的目的及退火后的組織(1)經(jīng)冷軋后的15鋼鋼板，要求降低硬度；(2)ZG270—500的鑄造齒輪；(3)鍛造過(guò)熱的60鋼鍛坯；

(4)具有片狀滲碳體的 T12鋼坯。

答：(1)、再結(jié)晶退火，降低硬度，Ｆ＋Ｐ(2)、完全退火，細(xì)化晶粒，Ｆ＋Ｐ(3)、完全退火，細(xì)化晶粒，Ｆ＋Ｐ(4)、球化退火，使Fe3C 球化，Ｐ＋粒Fe3C ６-3 指出下列零件的鍛造毛坯進(jìn)行正火的主要目的及正火后的顯微組織。20鋼齒輪；(2)45鋼小軸；(3)T12鋼銼刀。答： 降低硬度，便于加工，Ｆ＋Ｐ 作為最終熱處理，獲得較好性能，Ｆ＋Ｐ 消除鍛造應(yīng)力，為后續(xù)工序準(zhǔn)備，Ｐ＋Fe3C 6-５

比較45鋼分別加熱到700℃、750℃和840℃水冷后硬度值的高低，并說(shuō)明原因。答：700℃時(shí)，組織為F+P，水冷為F+P 750℃時(shí)，組織為F+A，水冷為F+M 840℃時(shí)，組織為A，水冷為M 故加熱溫度高，水冷硬度高。

6-6 現(xiàn)有一批絲錐，原定由T12鋼制成，要求硬度為60～64HRＣ。但生產(chǎn)時(shí)材料中混入了45鋼，若混入的45鋼在熱處理時(shí)，(1)仍按T12鋼進(jìn)行處理，問(wèn)能否達(dá)到絲錐的要求?為什么?(2)按45鋼進(jìn)行處理后能否達(dá)到絲錐的要求？為什么? 答：（1）不能達(dá)到要求。45鋼淬火加熱溫度>A1時(shí)，組織為F+A，淬火后為F+M，軟硬不均，耐磨性差。（2）不能達(dá)到要求。按45鋼處理，淬火加熱溫度>A3時(shí)，組織為A，淬火后獲得粗針頭M，韌性差，同時(shí)殘余A體多，硬度不足，無(wú)Fe3C，耐磨性差。

6-7 甲、乙兩廠生產(chǎn)同一批零件，材料都是45A鋼，硬度要求220~250HBS，甲廠采用正火，乙廠采用調(diào)質(zhì)，都能達(dá)到硬度要求。試分析甲、乙兩廠產(chǎn)品的組織和性能有何區(qū)別？

答：甲廠正火組織為F+S，F(xiàn)e3C呈片層狀。乙廠調(diào)質(zhì)組織為回火索氏體，F(xiàn)e3C呈顆粒狀。在硬度相同的條件下，調(diào)質(zhì)的塑性、韌性更好些，因此乙廠工藝較好。

6-8 現(xiàn)有三個(gè)形狀、尺寸、材質(zhì)(低碳鋼)完全相同的齒輪。分別進(jìn)行整體淬火、滲碳淬火和高頻感應(yīng)加熱淬火，試用最簡(jiǎn)單的辦法把它們區(qū)分出來(lái)。

答：用測(cè)硬度方法區(qū)分。低碳鋼整體淬火組織為F，硬度低不均；滲碳淬火得M+Fe3C（高C），硬度最高；高頻淬火為M（低C），硬度次之。

6-9現(xiàn)有低碳鋼和中碳鋼齒輪各一個(gè)，為了使齒面具有高的硬度和耐磨性，試問(wèn)應(yīng)進(jìn)行何種熱處理?并比較它們經(jīng)熱處理后在組織和性能上有何不同? 答：低碳鋼：滲碳后淬火+低溫回火，表面達(dá)要求 中碳鋼：淬火+低溫回火，次之。6-10某一用45鋼制造的零件，其加工路線如下：

備料－鍛造－正火－粗機(jī)加工－調(diào)質(zhì)－精機(jī)械加工－高頻感應(yīng)加熱淬火＋低溫回火－磨削，請(qǐng)說(shuō)明各熱處理工序的目的熱處理后的組織。

答：正火――降低硬度，便于加工； 調(diào)質(zhì)――獲得良好綜合性能； 高頻淬火＋低溫回火――表面獲得高硬度和耐磨性。

6-11生產(chǎn)中經(jīng)常把已加熱到淬火溫度的鉗工鑿子刃部投入水中急冷，然后出水停留一段時(shí)間，再整體投入水中冷卻。試分析這先后兩次水冷的作用。

答： 刃部入水急冷為淬火，得Ｍ＋Fe3C 出水停留一段時(shí)間為回火，得Ｍ’＋ Fe3C 再整體投入水中，為抑制繼續(xù)回火，保留回火組織。7補(bǔ)-

1、Me對(duì)淬火鋼的回火轉(zhuǎn)變有何影響？

答：1)提高回火穩(wěn)定性；2）產(chǎn)生二次硬化提高鋼的淬透性；3）有些Me影響高溫回火脆性。7補(bǔ)-

2、總結(jié)Me在鋼中的作用。答:Me存在鋼中可以 1）強(qiáng)化F（Me在F中）；2）提高淬透性（Me在A中）；3）提高回火穩(wěn)定性（Me在M中）；4）細(xì)晶強(qiáng)化（形成穩(wěn)定的的化合物）；5）有些Me影響高溫回火脆性。

7補(bǔ)-

3、總結(jié)滲碳鋼、調(diào)質(zhì)鋼、彈簧鋼、軸承鋼的性能要求，成分特點(diǎn)、熱處理特點(diǎn)、最終組織及常用鋼種。

答：

一、滲碳鋼

性能要求：表面硬而耐磨，心部強(qiáng)韌。成分特點(diǎn)：低碳，Cr等。

熱處理特點(diǎn)：滲碳后淬火＋低溫回火。最終組織：表面——M＇+碳化物+A＇少，心部——M＇或F+P。

常用鋼種：20、20Cr、20CrMnTi、18CrNiWA等

二、調(diào)質(zhì)鋼

性能要求：綜合性能好。成分特點(diǎn)：中碳，Cr、Mn、Si、Ni等。

熱處理特點(diǎn)：淬火＋高溫回火。最終組織：S＇ 常用鋼種：

45、40Cr等

三、彈簧鋼

性能要求：彈性強(qiáng)度高，屈強(qiáng)比高。成分特點(diǎn)：高碳中低的的部分，Cr、Mn等。熱處理特點(diǎn)：淬火＋中溫回火。最終組織：T＇ 常用鋼種：65Mn、60Si2Mn等

四、軸承鋼

性能要求：硬度高，耐磨性好，穩(wěn)定。成分特點(diǎn)：高碳，Cr等。熱處理特點(diǎn)：淬火＋低溫回火（淬火后冷處理，回火后時(shí)效）。最終組織：M＇ 常用鋼種：GCr15

7補(bǔ)-

4、高速鋼為什么要鍛造？鍛造后如何處理？得何組織？

答：打碎碳化物，成型。鍛造后等溫退火，得S+碳化物。7補(bǔ)-

5、高速鋼如何最終熱處理？為什么？是否屬調(diào)質(zhì)？為什么？

答：高溫度的淬火，使盡可能多的C、Me溶入A中，以保證性能，但不讓A長(zhǎng)大。

高溫度的回火多次，盡可能在二次硬化作用最強(qiáng)的溫度范圍內(nèi)回火保證熱硬性；多次回火以盡量減少殘余A的量，得使用狀態(tài)組織為M＇+碳化物+ A＇少

不屬調(diào)質(zhì)，因該處理得的組織不是S＇。

7補(bǔ)-

6、不銹鋼抗蝕性好的原因是什么？A不銹鋼有何特點(diǎn)？ 答：Me加入后：

提高固溶體基體的電極電位；⑵.形成均勻單相組織；⑶.形成保護(hù)膜。A不銹鋼抗蝕性好，抗拉強(qiáng)度低，塑性好，但加工硬化傾向大，切削性差。7補(bǔ)-

7、某型號(hào)的柴油機(jī)的凸輪軸，要求凸輪表面有高的硬度（>50 HRC），而心部具有良好韌性，原來(lái)采用45鋼調(diào)質(zhì)處理再在凸輪表面進(jìn)行高頻淬火，最后低溫回火，現(xiàn)因工廠庫(kù)存的45鋼以用完，只剩15鋼，擬用15鋼代替。試說(shuō)明：

原45鋼各熱處理工序的作用

改用15鋼后，仍按原熱處理工序進(jìn)行能否滿足性能要求？為什么？

（3）改用15鋼后，為達(dá)到所需要的性能，在心部強(qiáng)度足夠的前提下，應(yīng)采用何種工藝。答：（１）45鋼調(diào)質(zhì)，獲良好的綜合性能 表面淬火+低溫回火，使表面獲較高的硬度和耐磨性（2）改用15鋼后仍按原工藝，不能滿足性能要求。

因15鋼含C量低，調(diào)質(zhì)后綜合性能遠(yuǎn)不及45鋼，特別是強(qiáng)度和硬度。

改用15鋼后，應(yīng)采用滲碳工藝，滲碳后淬火+低溫回火處理，心部保持足夠的強(qiáng)韌性，表面具有較高的硬度。

7補(bǔ)-8 要制造齒輪、連桿、熱鍛模具、彈簧、冷沖壓模具、滾動(dòng)軸承、車刀、銼刀、機(jī)床床身等零件，試從下列牌號(hào)中分別選出合適的材料并敘述所選材料的名稱、成分、熱處理工藝和零件制成后的最終組織。

T10、65Mn、HT300、W6Mo5Cr4V2、GCr15Mo、40Cr、20CrMnTi、Cr12MoV、5CrMnMo 答：齒輪：20CrMnTi滲碳鋼；C%=0.2%,Cr,Mn,Ti<1.5%；滲碳＋淬火＋低溫回火；組織為回火馬氏體。連桿：40Cr調(diào)質(zhì)鋼；C%=0.4%,Cr<1.5%；調(diào)質(zhì)處理（淬火＋高溫回火）；組織為回火索氏體。彈簧：65Mn彈簧鋼；C%=0.65%,Mn<1.5%；淬火＋中溫回火；組織為回火托氏體。

冷沖壓模具：Cr12MoV冷變形模具鋼；C%>1%,Cr=12%,Mo,V<1.5%；淬火＋低溫回火；組織為回火馬氏體。

滾動(dòng)軸承：GCr15Mo軸承鋼；C%＝1%,Cr=1.5%,Mo<1.5%；球化退火＋淬火＋低溫回火；組織為回火馬氏體。

車刀：W6Mo5Cr4V2高速鋼；W%=6%,Mo%=5%,Cr%=4%,V%=2%；淬火＋560℃三次回火；組織為回火馬氏體＋碳化物。

銼刀：T10碳素工具鋼；C%＝1%；淬火＋低溫回火；組織為回火馬氏體＋碳化物。熱鍛模具：5CrMnMo熱變形模具鋼；C%=0.5%,Cr,Mn,Mo<1.5%；淬火＋高溫回火；組織為回火索氏體。機(jī)床床身：HT300灰口鐵；無(wú)需熱處理。

8-１、鋁合金的熱處理強(qiáng)化和鋼的淬火強(qiáng)化有何不同? 答：鋼的淬火強(qiáng)化是加熱得單相Ａ，Ａ中含Ｃ多，淬火得α過(guò)（無(wú)擴(kuò)散相變得到的α過(guò)為Ｍ），晶格畸變而強(qiáng)化。

鋁合金的熱處理強(qiáng)化是淬火得α過(guò)（鋁基固溶體），強(qiáng)度、硬度并不高，通過(guò)時(shí)效α過(guò)中析出第二相，造成晶格畸變而強(qiáng)化。

2、鋁合金是如何分類的? 答：按成分和工藝特點(diǎn)分

成分小于D點(diǎn)的合金——變形鋁合金(其中成分小于F點(diǎn)的不能熱處理強(qiáng)化)； 成分大于D點(diǎn)的合金——鑄造鋁合金。

8-3 簡(jiǎn)述純鋁及各類鋁合金牌號(hào)表示方法、性能特點(diǎn)及應(yīng)用。答：LF 8補(bǔ)-

1、軸承合金的組織特點(diǎn)是什么？

答：主要有兩種組織，一種是軟基體+硬質(zhì)點(diǎn)，一種是硬基體+軟質(zhì)點(diǎn)。

8補(bǔ)-2.不同鋁合金可通過(guò)哪些途徑達(dá)到強(qiáng)化目的？答：鑄造鋁硅合金可通過(guò)變質(zhì)處理達(dá)到強(qiáng)化的目的。能熱處理強(qiáng)化的變形鋁合金可利用時(shí)效強(qiáng)化（固溶處理后時(shí)效處理）達(dá)到強(qiáng)化目的。

8補(bǔ)-3.何謂硅鋁明？它屬于哪一類鋁合金？為什么硅鋁明具有良好的鑄造性能？在變質(zhì)處理前后其組織及性能有何變化？這類鋁合金主要用在何處？答：鋁硅鑄造合金又稱為硅鋁明，由于含硅量為17%附近的硅鋁明為共晶成分合金，具有優(yōu)良的鑄造性能。在鑄造緩冷后,其組織主要是共晶體(α十Si),其中硅晶體是硬化相,并呈粗大針狀,會(huì)嚴(yán)重降低合金的力學(xué)性能,為了改善鋁硅合金性能,可在澆注前往液體合金中加入含鈉的變質(zhì)劑,納能促進(jìn)硅形核,并阻礙其晶體長(zhǎng)犬,使硅晶體成為極細(xì)粒狀均勻分布在鋁基體上。鈉還能使相圖中共晶點(diǎn)向右下方移動(dòng),使變質(zhì)后形成亞共晶組織。變質(zhì)后鋁合金的力學(xué)性能顯著提高。

鑄造鋁硅合金一般用來(lái)制造質(zhì)輕、耐蝕、形狀復(fù)雜及有一定力學(xué)性能的鑄件,如發(fā)動(dòng)機(jī)缸體、手提電動(dòng)或風(fēng)動(dòng)工具(手電鉆)以及儀表外殼。同時(shí)加入鎂、銅的鋁硅系合金(如ZL108),在變質(zhì)處理后還可進(jìn)行固溶處理+時(shí)效,使其具有較好耐熱性和耐磨性,是制造內(nèi)燃機(jī)活塞的材料。

14補(bǔ)-

1、什么是失效？

答：零件在使用過(guò)程中，因外部形狀尺寸和內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)發(fā)生變化而失去原有的設(shè)計(jì)功能，使其低效工作或無(wú)法工作或提前退役的現(xiàn)象即稱為失效。

14補(bǔ)-

2、失效形式有那幾種？

答：按零件的工作條件及失效的特點(diǎn)將失效分為四大類：即過(guò)量變形、斷裂、表面損傷和物理性能降級(jí)。對(duì)結(jié)構(gòu)材料的失效而言，前三種是主要的。

14補(bǔ)-

3、失效的原因是什么？ 答：(一)設(shè)計(jì) 結(jié)構(gòu)形狀不合理

(二)材料 一是選材不當(dāng)，這是最重要的原因；其二是材質(zhì)欠佳。

(三)加工 加工缺陷、組織不均勻缺陷(粗大組織、帶狀組織等)、表面質(zhì)量(刃痕等)與有害殘余應(yīng)力分布等。

(四)使用 零件安裝時(shí)配合不當(dāng)、對(duì)中不良等，維修不及時(shí)或不當(dāng)，操作違反規(guī)程均可導(dǎo)致工件在使用中失效。

14補(bǔ)-

4、選材一般遵循基本原則是什么？

答：選材一般應(yīng)遵循三個(gè)基本原則：使用性能、工藝性能和經(jīng)濟(jì)性能，它們是辯證的統(tǒng)一體。在大多數(shù)情況下，使用性能是選材的首要原則與依據(jù)。

一補(bǔ)－

1、什么是液態(tài)合金的充型能力?它與合金的流動(dòng)性有何關(guān)系? 答: 液體金屬充滿鑄型型腔，獲得尺寸精確、輪廓清晰的成形件的能力。合金的流動(dòng)性好，充型能力好。

影響充型能力：內(nèi)因－合金的流動(dòng)性（主要取決于成分）外因－澆注條件（溫度、速度）；鑄型（溫度、熱容量、結(jié)構(gòu)等）

一補(bǔ)－

2、液態(tài)合金的收縮分哪幾個(gè)階段？ 答：液態(tài)收縮、凝固收縮和固態(tài)收縮。一補(bǔ)－

3、縮孔、縮松是如何形成的？形成特點(diǎn)是什么？對(duì)鑄件的影響如何？

答：液態(tài)合金在冷凝過(guò)程中，若其液態(tài)收縮和凝固收縮所縮減的容積得不到補(bǔ)充，則在鑄件最后凝固的部位形成一些孔洞。大而集中的稱為縮孔，細(xì)小而分散的稱為縮松。

恒溫結(jié)晶或結(jié)晶溫度范圍窄的合金，易形成縮孔。結(jié)晶溫度范圍寬的合金，易形成縮松。

縮孔、縮松都會(huì)使鑄件的力學(xué)性能下降，影響致密性。一補(bǔ)－４、鑄造應(yīng)力是如何產(chǎn)生的？有何危害？如何防止？

答：鑄件在凝固以后的繼續(xù)冷卻過(guò)程中，若固態(tài)收縮受到阻礙，鑄件內(nèi)部即將產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力。如保留到室溫的殘余應(yīng)力即鑄造應(yīng)力。鑄造應(yīng)力使鑄件翹曲變形，甚至開裂。

盡量減小內(nèi)應(yīng)力，可采取同時(shí)凝固原則、壁厚均勻、改善充型條件等。

二補(bǔ)－１、壓力加工有何特點(diǎn)？答：優(yōu)點(diǎn)：改善金屬組織，提高力學(xué)性能；提高材料的利用率；塑性成型生產(chǎn)率高；獲得精度較高的零件。不足：不能加工脆性材料和形狀復(fù)雜的零件。

二補(bǔ)－２、何謂金屬的可鍛性？如何衡量？答：金屬材料接受壓力加工的難易程度。常用金屬的塑性和變形拉力衡量。

二補(bǔ)－３、影響金屬可鍛性的因素有哪些？舉例說(shuō)明。答：內(nèi)因：金屬的成分、組織。外因：變形溫度、變形速度、應(yīng)力狀態(tài)和模具工具等。如低碳鋼的鍛造常加熱到1100℃，奧氏體狀態(tài)塑性好。

二補(bǔ)－４、纖維組織是怎樣形成的？它的存在有何特點(diǎn)？如何利用？

答：變形程度較大，晶粒沿變形方向拉長(zhǎng)、壓扁，形成纖維組織出現(xiàn)各向異性，順纖維方向能承受較大的正應(yīng)力。讓零件工作時(shí)的正應(yīng)力方向與纖維方向一致，切應(yīng)力方向與之垂直；使纖維沿零件外形分布，而不被切斷。

二補(bǔ)－５、低碳鋼的鍛造溫度范圍如何確定？為什么？

答：根據(jù)鐵碳相圖初鍛一般在固相線以下100~200℃，不過(guò)燒、過(guò)熱；終鍛再結(jié)晶溫度50~100℃，保證鍛后再結(jié)晶。

二補(bǔ)－６、板材沖壓的基本工序有哪些？

答：分離工序：包括落料、沖孔、切斷；變形工序：拉伸、彎曲等。

二補(bǔ)－８、落料與沖孔的區(qū)別？答：落料沖下來(lái)的成為零件；沖孔沖下來(lái)的是廢料。

三補(bǔ)－１、何謂正接法、反接法？各有何特點(diǎn)？答：用直流焊機(jī)焊接時(shí)，當(dāng)工件接陽(yáng)極，焊條接陰極稱直流正接；工件接陰極，焊條接陽(yáng)極稱直流反接。三補(bǔ)－２、焊條的組成及其功用如何？

答：焊條由焊條芯和藥皮組成。焊條芯：傳導(dǎo)電流，填充填充金屬。

藥皮：穩(wěn)弧、造氣造渣，保護(hù)熔池，脫氧、去硫、滲合金元素。三補(bǔ)－３、按熔渣化學(xué)性質(zhì)焊條如何分類？各有何應(yīng)用特點(diǎn)？

答：根據(jù)焊條藥中氧化物（熔渣）化學(xué)性質(zhì)，分為酸性和堿性兩類。堿性焊條焊接工藝性差，焊接重要結(jié)構(gòu)件； 酸性焊條焊接工藝性好，焊接一般結(jié)構(gòu)件。

三補(bǔ)－４、焊接接頭的組成如何？各部分組織性能如何？ 答：接頭由焊縫金屬、熱影響區(qū)和熔合區(qū)組成。

焊縫金屬：鑄態(tài)細(xì)晶區(qū)和柱狀晶區(qū)，力學(xué)性能一般不低于母材。

熱影響區(qū)：靠近焊縫的母材由于熱傳導(dǎo)也有不同程度的溫度升高的區(qū)域，性能視程度不同而不同。熔合區(qū)：焊縫與熱影響區(qū)的過(guò)渡區(qū)，性能最差。

在熱影響區(qū)中，有過(guò)熱區(qū)、正火區(qū)、部分相變區(qū)，正火區(qū)性能最好。

三補(bǔ)－５、焊接應(yīng)力是如何產(chǎn)生的？答：焊接過(guò)程中對(duì)焊件的不均勻加熱和冷卻產(chǎn)生。