第一篇：住宅粉刷面積計算公式

住宅粉刷面積計算公式

公式一：由地面面積換算總涂刷面積

算法：總粉刷面積＝四面墻壁粉刷＋天花板粉刷

四面墻壁粉刷面積＝地面面積乘以2.5

天花板粉刷面積＝地面面積

因此，總粉刷面積(含天花板)=地面面積乘以3.5(注：會因天花板高度及門窗多寡而有所增減)公式二：重新粉刷墻面的預(yù)估漆量＝總粉刷面積除以產(chǎn)品單位粉刷面積

例如：若要粉刷房間的面積為10平方米時，總粉刷面積為35平方米，則重新粉刷墻面的預(yù)估漆量為：35平方米除以3.5(每公斤3.5平方米)＝

10。因此，所需漆重為10公斤。(注：實際漆量將依墻面狀況及粉刷方法的不同而有所增減)B 估算涂料用量的另類方法

該買多少面漆(按2遍計算)才合適呢？多了造成浪費，少了又不夠用。這里還有一簡便計算公式可供參考：居室總面積(平方米)÷4+墻壁粉刷高度(米)÷0.4，其所得之?dāng)?shù)便是所需面漆的公斤數(shù)量。例如房間總面積是16平方米，墻壁粉刷高度為1.6米，按上式計算，買8公斤面漆即可。據(jù)實驗，足夠涂兩遍，不多也不少，恰到好處。

第二篇：各種形體面積、體積計算公式

1、圓球體

2、正圓柱體

3、斜截圓柱體

4、平截正圓錐體

5、正圓錐體

6、球面扇形體

7、棱錐體

8、平截長方棱錐臺

9、空心圓柱體

11、球缺

10、平截空心圓錐體

12、球臺

13、鍥形體

14、圓環(huán)

15、桶形

16、橢圓球

第三篇：三角形面積計算公式

《三角形面積計算公式》教學(xué)設(shè)計

四卦小學(xué)

白保華

教學(xué)內(nèi)容：人教版九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊三角形面積 教材分析：人教版五年級上冊84、85頁三角形的面積是本單元教學(xué)內(nèi)容的第二課時，是在學(xué)生掌握了三角形的特征以及長方形、正方形、平行四邊形面積計算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是進一步學(xué)習(xí)梯形面積和組合圖形面積的基礎(chǔ)，教材首先由怎樣計算紅領(lǐng)巾的面積這樣一個實際問題引入三角形面積計算的問題，接著根據(jù)平行四邊形面積公式推導(dǎo)的方法提出解決問題的思路，把三角形也轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，通過學(xué)生動手操作和探索，推導(dǎo)出三角形面積計算公式，最后用字母表示出面積計算公式，這樣一方面使學(xué)生初步體會到幾何圖形的位置變換和轉(zhuǎn)化是有規(guī)律的，另一方面有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

學(xué)情分析：學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中，初步認識了各種平面圖形的特征，掌握了長方形、正方形、平行四邊形的面積計算，學(xué)生學(xué)習(xí)時并不陌生，在前面的圖形教學(xué)中，學(xué)生學(xué)會了運用折、剪、拼、量、算等方法探究有關(guān)圖形的知識，在學(xué)習(xí)方法上也有一定的基礎(chǔ)，教學(xué)時從學(xué)生的現(xiàn)實生活與日常經(jīng)驗出發(fā)，設(shè)置貼近生活現(xiàn)實的情境，通過多姿多彩的圖形，把學(xué)習(xí)過程變成有趣的、充滿想象和富有推理的活動。

教學(xué)目標(biāo)：

1、讓學(xué)生經(jīng)歷三角形面積計算公式的探索過程，理解三角形面積公式的來源；并能靈活運用公式解決簡單的實際問題。

2、在學(xué)習(xí)活動中，培養(yǎng)學(xué)生的實踐動手能力，合作探索意識和能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和能力。

3、通過實踐操作，自主探究，使學(xué)生進一步學(xué)習(xí)用轉(zhuǎn)化的思想方法解決新問題培養(yǎng)團結(jié)互助的合作思想品質(zhì)。

教學(xué)重點：三角形面積計算公式的推導(dǎo)。

教學(xué)難點：運用拼、剪、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，發(fā)現(xiàn)正方形、長方形、平形四邊形及三角形面積的相互聯(lián)系推導(dǎo)出三角形面積計算公式。

教具準備：多媒體課件一套，投影儀。

學(xué)具準備：工具（尺、剪刀），三組學(xué)具（①完全相同的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各兩個②長方形、正方形、平行四邊形各一個③任意三角形若干個）

教學(xué)設(shè)計:

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，質(zhì)疑激勵探索

師：同學(xué)們，今天老師為大家?guī)砹藥孜焕吓笥眩銈兿牒退鼈円娨娒鎲幔?/p>

1、課件出示：

學(xué)生說名稱及特征后，平行四邊形

出示關(guān)系集合圖

長方形 正方形 師問：誰愿意說出三種圖形的面積的計算方法和計算公式的推導(dǎo)過程。

課件展示三角形的圖片

請同學(xué)們觀察猜測：三角形的面積會怎樣計算呢？該怎樣轉(zhuǎn)化呢？

揭題：三角形面積計算公式（板書課題）

（設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)輕松的學(xué)習(xí)氛圍，用多媒體手段幫助學(xué)生回憶長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式及其所屬關(guān)系，為后面的探究活動中圖形及公式的轉(zhuǎn)化作好鋪墊。激勵學(xué)生用已有的經(jīng)驗深入認識“老朋友”（三角形）的欲望和倍心，同時又導(dǎo)出了探索的目標(biāo)和方向。〕

二、合作探索新知，循序漸進解謎。

（一）實踐操作的合作探索：：根據(jù)你的猜想，動手操作驗證一下吧!第一次小組合作：1.同學(xué)們，請你們選擇三組學(xué)具中你喜歡的一種，用你們喜歡的方法進行實驗

2.通過折、剪、拼、你會轉(zhuǎn)化成哪種已學(xué)過的面積的圖形？ 3.轉(zhuǎn)化后的圖形與原三角形有什么聯(lián)系？

4.組內(nèi)展示交流：你是怎樣操作的，得到什么樣的結(jié)論

（二）匯報操作驗證結(jié)果

生上臺展示：把一張三角形紙片的三個角向內(nèi)對折，變成一個小長方形，得到長方形的長是原來三角形底的一半，寬就是三角形的高的一半，為此，三角形的面積等于小長方形面積的2倍。2倍與其中的一個“一半”抵消，還剩一個“一半”為此，三角形的面積等于底乘高除以2 生上臺展示：將三角形的頂角向底邊平行對折，再沿折痕剪開，把得到的小三角形沿中間對折再剪開，分別補在剩下圖形的兩側(cè)，變成一個長方形。三角形的底沒變，高縮小了一半，為此，三角形的面積等于底乘高除以2師：這個辦法怎么樣？ 生：也很合理。（表揚，祝賀）師：還有其他做法嗎？

生：把等腰三角形對折，剪開一半拼成平行四邊形（含長方形、正方形），拼成的平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高，平行四邊形的面積等于三角形的面積的2倍 生：選兩個完全一樣的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形都可以拼成一個平形四邊形（含長方形、正方形）拼得的平行四邊形的底是原來三角形底的2 倍，高不變，所以，三角形的面積等于底乘高除以2。

師：這個辦法怎么樣？看來同學(xué)們在探究三角形面積的推導(dǎo)想出的辦法還真不少！那么，你感覺哪種辦法最好？最有創(chuàng)意？〔設(shè)計意圖：尊重學(xué)生的知識基礎(chǔ)和喜好，讓學(xué)生自由選擇三組學(xué)具中的一組，使學(xué)生更滿意地完成任務(wù)，同時也培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會。傾聽別人的正確意見，給予排斥、質(zhì)疑、認同的思維空間，創(chuàng)造客觀評價他人和自己的機會，掌握三種基本思路，（即拼法、剪法、和割補法），鼓勵個性割補法。多媒體課件的分類圖展，多次發(fā)散驗證學(xué)生推導(dǎo)的準確性，更能幫助學(xué)生構(gòu)建新的知識網(wǎng)，充分享受成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的積極性，真正體現(xiàn)的學(xué)生為主體，面向全體學(xué)生的教育思想。

（三）各組同學(xué)可以上臺采訪和自己拼法不一樣的小組，交流經(jīng)驗，比較這四種方法，你喜歡哪種方法？為什么？如果你覺得自己的拼法有不足之處，你想向哪一組同學(xué)學(xué)習(xí)？他們的拼法好在哪里。（各小組交流經(jīng)驗）〔設(shè)計用意：及時反思使學(xué)生產(chǎn)生鮮明的對照，能及時地改進自己操作中的不足，多吸取他人的優(yōu)點，積累操作經(jīng)驗，拓寬思路。合理的評價機制真正起到了鼓勵的作用。教師小組評價、同學(xué)對比評價、自己反思評價的客觀多元評價方法，培養(yǎng)學(xué)生自我評價的能力，鼓勵學(xué)生參與他人平等競爭，使學(xué)生產(chǎn)生挫敗和成功的情感體驗，提高心理素質(zhì)?！?/p>

（四）小組合作二：

小組交流：1.三角形的面積如何計算呢？用字母如何表示？ 2.在本上書寫計算公式 匯報結(jié)果：

生：三角形的面積等于底乘高除以2。

生：如果用S表示三角形的面積，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，字母表示三角形的面積公式S = ah ÷ 2（設(shè)計意圖：通過比較、歸納，揭示三角形面積計算公式及字母表達式。公式的推導(dǎo)是全體學(xué)生親身經(jīng)歷探索的過程、發(fā)現(xiàn)的過程，推理的過程，是學(xué)生個人獨立思考與小組合作學(xué)習(xí)的過程，學(xué)生對公式的來源理解深刻，為實際應(yīng)用及拓展創(chuàng)新鋪下了堅實的基礎(chǔ)）。

（五）第三次合作：

我們運用合作的力量探究出了三角形的面積計算公式，同學(xué)們太了不起了！請把三角形的面積的計算公式的推導(dǎo)過程與組內(nèi)伙伴分享

板書兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于三角形的底，這個平行四邊形的高等于三角形的高，因為每個三角形的面積等于拼成平行四邊形面積的一半，又因為平行四邊形的面積=底×高

所以：三角形的面積=底×高÷2

三、實踐運用，拓展創(chuàng)新：

1、嘗試解答例題。

課件出示：一種零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米。這個三角形的面積是多少平方厘米？（學(xué)生獨立嘗試解答，教師巡視輔導(dǎo)，集體訂正。）課內(nèi)作業(yè)，課外延伸。

2、鞏固練習(xí)

練習(xí)十七1-3題

四、全課總結(jié)：通過與伙伴的合作探究，你有什么收獲？你對自己的表現(xiàn)滿意嗎？ 板書設(shè)計：

三角形的面積

兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形 拼成的平行四邊形的底等于三角形的底，拼成的平行四邊形的高等于三角形的高，因為每個三角形的面積等于拼成平行四邊形面積的一半，又因為平行四邊形的面積=底×高 所以

三角形的面積=底×高÷2

S = ah ÷

2小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

白保華

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反映。數(shù)學(xué)概念比一般概念更要準確掌握。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基礎(chǔ)，因此必須重 視。小學(xué)生年齡小，生活經(jīng)驗不足，知識面窄，構(gòu)成了概念教學(xué)中的障礙。數(shù)學(xué)概念又是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的一項重要內(nèi)容，是學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識的首要條 件，也是進行計算和解題的前提。因此重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，對于提高教學(xué)質(zhì)量有著舉足輕重的作用。教師在概念教學(xué)中,要創(chuàng)設(shè)條件,根據(jù)不同類型概念運用不同教學(xué)策略,采用不同教學(xué)方法.可以通過演示操作、建立表象、逐步抽象、形成概念、強化練習(xí)、鞏固概念、靈活運用、提高能力等方法與策略進行概念教學(xué).一、什么是數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反映。數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學(xué)中，客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質(zhì)屬性而被舍棄，只保留它們在形狀、大小、位置及數(shù)量關(guān)系等方面的共同屬性。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的含義都要給出精確的規(guī)定，因而數(shù)學(xué)概念比一般概念更準確。

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括：數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數(shù)的整除性概念的形成。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。

1．定義式

定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質(zhì)特征，揭示的是一類事物的本質(zhì)屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認識。如“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。這樣定義的概念，條件和結(jié)論十分明顯，便于學(xué)生一下子抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

2．描述式

用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5??叫自然數(shù)”；“象1.25、0.726、0.005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認識的深化而日趨完善，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般用于以下兩種情況。

一種是對數(shù)學(xué)中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線?！捌矫妗本陀谩罢n桌面”、“黑板面”、“湖面”來說明。

另一種是對于一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現(xiàn)不易被小學(xué)生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認識，由于小學(xué)生還缺乏運動的觀點，不能像中學(xué)生那樣用旋轉(zhuǎn)體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特征，并沒有以定義的形式揭示它們的本質(zhì)屬性。學(xué)生在觀察、擺拼中，認識到圓柱體的特征是上下兩個底面是相等的圓，側(cè)面展開的形狀是長方形。

一般來說，在數(shù)學(xué)教材中，小學(xué)低年級的概念采用描述式較多，隨著小學(xué)生思維能力的逐步發(fā)展，中年級逐步采用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發(fā)展的。在整個小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義；而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)出兩大特點：一是數(shù)學(xué)概念的直觀性；二是數(shù)學(xué)概念的階段性。在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，我們必須注意充分領(lǐng)會教材的這兩個特點。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

首先，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。

小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識包括：概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，其中數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的過程，實際上就是掌握概念并運用概念進行判斷、推理的過程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識，提高運算和解題技能。相反，如果一個學(xué)生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數(shù)百以內(nèi)的筆算加法法則為：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位滿十，就向十位進一?！币箤W(xué)生理解掌握這個法則，必須事先使他們弄清“數(shù)位”、“個位”、“十位”、“個位滿十”等的意義，如果對這些概念理解不清，就無法學(xué)習(xí)這一法則。又如，圓的面積公式S=πr2，要以“圓”、“半徑”、“平方”、“圓周率”等概念為基礎(chǔ)?？傊W(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念對于今后的學(xué)習(xí)而言，都是一些基本的、基礎(chǔ)的知識。小學(xué)數(shù)學(xué)是一門概念性很強的學(xué)科，也就是說，任何一部分內(nèi)容的教學(xué)，都離不開概念教學(xué)。

其次，數(shù)學(xué)概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。

概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，所以概念教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力能起重要作用。沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，這是一個判斷。在這個判斷中，學(xué)生必須對“未知數(shù)”、“等式”這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，并以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。

(1)56+23＝79

(2)23-x＝67

(3)x÷5＝4.5

(4)44×2＝88

(5)75÷x＝4

(6)9+x＝123

在概念教學(xué)過程中，為了使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念，常常要提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察，在觀察的基礎(chǔ)上通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，對感性材料進行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性。通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用。從而使學(xué)生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。6.1.3 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般要求

1．使學(xué)生準確理解概念

理解概念，一要能舉出概念所反映的現(xiàn)實原型，二要明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的一類事物的共同本質(zhì)屬性，和概念所反映的全體對象，三要掌握表示概念的詞語或符號。

2．使學(xué)生牢固掌握概念

掌握概念是指要在理解概念的基礎(chǔ)上記住概念，正確區(qū)分概念的肯定例證和否定例證。能對概念進行分類，形成一定的概念系統(tǒng)。

3．使學(xué)生能正確運用概念

概念的運用主要表現(xiàn)在學(xué)生能在不同的具體情況下，辨認出概念的本質(zhì)屬性，運用概念的有關(guān)屬性進行判斷推理。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程與方法

根據(jù)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程及特征，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般也分為三個階段：①引入概念，使學(xué)生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學(xué)生理解和明確概念；③通過例題、習(xí)題使學(xué)生鞏固和應(yīng)用概念。

（一）數(shù)學(xué)概念的引入

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當(dāng)，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動機，為學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，是揭示概念的發(fā)生和形成過程，而各個數(shù)學(xué)概念的發(fā)生形成過程又不盡相同，有的是現(xiàn)實模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過一次或多次抽象后得到的；有的是從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要中產(chǎn)生的；有的是為解決實際問題的需要而產(chǎn)生的；有的是將思維對象理想化，經(jīng)過推理而得；有的則是從理論上的存在性或從數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造產(chǎn)生的。因此，教學(xué)中必須根據(jù)各種概念的產(chǎn)生背景，結(jié)合學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x取不同的方式去引入概念。一般來說，數(shù)學(xué)概念的引入可以采用如下幾種方法。

1、以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念。

用學(xué)生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實際問題以及模型、圖形、圖表等作為感性材料，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。

例如，要學(xué)習(xí)“平行線”的概念，可以讓學(xué)生辨認一些熟悉的實例，像鐵軌、門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質(zhì)屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個平面內(nèi)、兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內(nèi)；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最后抽象出本質(zhì)屬性，得到平行線的定義。

以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式去進行教學(xué)的，因此教學(xué)中應(yīng)選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的事例，正確引導(dǎo)學(xué)生去進行觀察和分析，這樣才能使學(xué)生從事例中歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念。

2、以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念。

如果新、舊概念之間存在某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關(guān)系去進行。

例如，學(xué)習(xí)“乘法意義”時，可以從“加法意義”來引入。又如，學(xué)習(xí)“整除”概念時，可以從“除法”中的“除盡”來引入。又如，學(xué)習(xí)“質(zhì)因數(shù)”可以從“因數(shù)”和“質(zhì)數(shù)”這兩個概念引入。再如，在學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念時，可用約數(shù)概念引入：“請同學(xué)們寫出數(shù)1，2，6，7，8，12，11，15的所有約數(shù)。它們各有幾個約數(shù)？你能給出一個分類標(biāo)準，把這些數(shù)進行分類嗎？你能找出多種分類方法嗎？你找出的所有分類方法中，哪一種分類方法是最新的分類方法？”

3、以“問題”的形式引入新概念。以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學(xué)中常用的方法。一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現(xiàn)實生活中的問題引入數(shù)學(xué)概念；②從數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。

4、從概念的發(fā)生過程引入新概念。

數(shù)學(xué)中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進行這類概念的教學(xué)時，可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程。例如，小數(shù)、分數(shù)等概念都可以這樣引入。這種方法生動直觀，體現(xiàn)了運動變化的觀點和思想，同時，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。

（二）數(shù)學(xué)概念的形成

引入概念，僅是概念教學(xué)的第一步，要使學(xué)生獲得概念，還必須引導(dǎo)學(xué)生準確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學(xué)中可采用一些具有針對性的方法。

1、對比與類比。

對比概念，可以找出概念間的差異，類比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相似之處。例如，學(xué)習(xí)“整除”概念時，可以與“除法”中的“除盡”概念進行對比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負遷移作用的影響。

2、恰當(dāng)運用反例。

概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運用適當(dāng)?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過對比正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的錯誤進行反思，更利于強化學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解。

用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延從而加深對概念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學(xué)中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)，防止過難、過偏，造成學(xué)生的注意力分散，而達不到突出概念本質(zhì)屬性的目的。

3、合理運用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形展示外，還應(yīng)采用變式圖形去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質(zhì)去解題時，所遇見的圖形往往是后面幾種情形。

（三）數(shù)學(xué)概念的鞏固

為了使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的概念，還必須有概念的鞏固和應(yīng)用過程。教學(xué)中應(yīng)注意如下幾個方面。

1、注意及時復(fù)習(xí)

概念的鞏固是在對概念的理解和應(yīng)用中去完成和實現(xiàn)的，同時還必須及時復(fù)習(xí)，鞏固離不開必要的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式可以是對個別概念進行復(fù)述，也可以通過解決問題去復(fù)習(xí)概念，而更多地則是在概念體系中去復(fù)習(xí)概念。當(dāng)概念教學(xué)到一定階段時，特別是在章節(jié)末復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)和畢業(yè)總復(fù)習(xí)時，要重視對所學(xué)概念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關(guān)系，形成概念體系。

2、重視應(yīng)用

在概念教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運用概念，學(xué)生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在于能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應(yīng)用，通過應(yīng)用可以加深理解，增強記憶，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

概念的應(yīng)用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進行。（1）概念內(nèi)涵的應(yīng)用

①復(fù)述概念的定義或根據(jù)定義填空。

②根據(jù)定義判斷是非或改錯。

③根據(jù)定義推理。

④根據(jù)定義計算。

例4（1）什么叫互質(zhì)數(shù)？答：

是互質(zhì)數(shù)。

（2）判斷題：

27和20是互質(zhì)數(shù)（）

34與85是互質(zhì)數(shù)（）

有公約數(shù)1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)（）

兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（）

（3）鈍角三角形的一個角是 82o，另兩個角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個角可能是多少度？

（4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對嗎？請說明理由？

2．概念外延的應(yīng)用

（1）舉例

（2）辨認肯定例證或否定例證。并說明理由。

（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。

（4）將概念按不同標(biāo)準分類。

例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。

（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）

（3）分母是9的最簡真分數(shù)有＿分子是9的假分數(shù)中，最小的一個是

（4）將自然數(shù)2－19按不同標(biāo)準分成兩類（至少提出3種不同的分法）概念的應(yīng)用可分為簡單應(yīng)用和綜合應(yīng)用，在初步形成某一新概念后通過簡單應(yīng)用可以促進對新概念的理解，綜合應(yīng)用一般在學(xué)習(xí)了一系列概念后，把這些概念結(jié)合起來加以應(yīng)用，這種練習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。

五、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)注意的問題

1、把握概念教學(xué)的目標(biāo)，處理好概念教學(xué)的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。

概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時也由于人們認識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也是在不斷發(fā)展和變化的。但是，在小學(xué)階段的概念教學(xué)，考慮到小學(xué)生的接受能力，往往是分階段進行的。如對“數(shù)”這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認識1、2、3、??，以后逐漸認識了零，隨著學(xué)生年齡的增大，又引進了分數(shù)(小數(shù))，以后又逐漸引進正、負數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，把數(shù)擴充到實數(shù)、復(fù)數(shù)的范圍等。又如，對“0”的認識，開始時只知道它表示沒有，然后知道又可以表示該數(shù)位上一個單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。

因此，數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與概念教學(xué)的階段性成了教學(xué)中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關(guān)鍵是要切實把握概念教學(xué)的階段性目標(biāo)。

為了加強概念教學(xué)，教師必須認真鉆研教材，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡(luò)。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學(xué)習(xí)階段要求也有差別。

有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，一般先用描述方法給出，以后再下定義。例如，對分數(shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學(xué)習(xí)小數(shù)以前，就讓學(xué)生初步認識了分數(shù)，“像上面講的、、、、、等，都是分數(shù)。”通過大量感性直觀的認識，結(jié)合具體事物描述什么樣的是分數(shù)，初步理解分數(shù)是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。從具體事物中抽象出來。然后概括分數(shù)的定義，這只是描述性地給出了分數(shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中去理解分數(shù)。

再如長方體和立方體的認識在許多教材中是分成兩個階段進行教學(xué)的。在低年級，先出現(xiàn)長方體和立方體的初步認識，通過讓學(xué)生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關(guān)長方體和立方體的感性認識，知道它們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱。然后，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什么形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學(xué)要求只要學(xué)生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認和區(qū)分這些形狀即可。僅僅停留在感性認識的層次上。第二階段是在較高年級。教學(xué)時仍要從實例引入。教學(xué)長方體的認識時，先讓學(xué)生收集長方體的物體，教師先說明什么是長方體的面、棱和頂點，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點各自的數(shù)目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關(guān)系和區(qū)別。然后歸納出長方體的特征。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學(xué)生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學(xué)生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。

在把握階段性目標(biāo)時，應(yīng)注意以下幾點：

(1)在每一個教學(xué)階段，概念都應(yīng)該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂的現(xiàn)象。有些概念不嚴格下定義，但也要依據(jù)學(xué)生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質(zhì)特征。同時注意與將來的嚴格定義不矛盾。

(2)當(dāng)一個教學(xué)階段完成以后，應(yīng)根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，不斷變化的。如：有一位學(xué)生在認識了長方體之后，認為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學(xué)生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應(yīng)加以肯定。

(3)當(dāng)概念發(fā)展后，教師不但指出原來概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以便學(xué)生掌握，而且還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對有關(guān)概念進行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”的概念，在整數(shù)范圍內(nèi)，通常所指的是，如果把甲量當(dāng)作1份，而乙量有這樣的幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分數(shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當(dāng)作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。

因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學(xué)時既要注意教學(xué)的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學(xué)生的認識能力；又要注意教學(xué)的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學(xué)打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關(guān)系。

2、加強直觀教學(xué)，處理好具體與抽象的矛盾

盡管教材中大部分概念沒有下嚴格的定義，而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。但對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念還是抽象的。他們形成數(shù)學(xué)概念，一般都要求有相應(yīng)的感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，而且要經(jīng)歷一番把感性材料在腦子里來回往復(fù)，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質(zhì)特征或?qū)傩?，這是形成概念的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中，必須加強直觀，以解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維形象性之間的矛盾。

（1）通過演示、操作進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化

教學(xué)中，對于一些相對抽象的內(nèi)容，盡可能地利用恰當(dāng)?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上抽象出概念的本質(zhì)屬性。

幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常抽象，因此，教學(xué)中更要加強演示、操作，通過讓學(xué)生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學(xué)生體會這些概念，從而抽象出這些概念。

例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學(xué)生用硬紙制做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學(xué)生在課堂作業(yè)本上寫出三個內(nèi)容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習(xí)本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學(xué)做完后，要求每個同學(xué)匯報自己計算的結(jié)果。

然后引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數(shù)是個固定的數(shù)，數(shù)學(xué)上叫做圓周率。再讓學(xué)生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導(dǎo)學(xué)生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質(zhì)屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質(zhì)特征(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。

這樣教師借助于直觀教學(xué)，運用學(xué)生原有的一些基礎(chǔ)知識，逐步抽象，環(huán)環(huán)緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學(xué)生建立表象，從而解決了數(shù)學(xué)知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。

（2）結(jié)合學(xué)生的生活實際進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化

教學(xué)中有許多數(shù)量關(guān)系都是從具體生活內(nèi)容中抽象出來的，因此，在教學(xué)中應(yīng)該充分利用學(xué)生的生活實際，運用恰當(dāng)?shù)姆绞竭M行具體與抽象的轉(zhuǎn)化，即把抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具體生活知識，在此基礎(chǔ)上又將其生活知識抽象為教學(xué)內(nèi)容。

例如乘法交換律的教學(xué)，往往讓學(xué)生先解答這樣的習(xí)題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學(xué)生在實際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教學(xué)也是讓學(xué)生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助于學(xué)生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。同樣常見數(shù)量關(guān)系中的單價、總價與數(shù)量之間的關(guān)系；路程、速度與時間的關(guān)系，工作量、工作效率與工作時間之間的關(guān)系等，都應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗，通過具體的題目將其抽象出來，然后又利用這些關(guān)系來分析解決問題。這樣的訓(xùn)練有利于使學(xué)生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步緩解知識的抽象性與學(xué)生思維的具體形象性的矛盾。

但是，運用直觀并不是目的，它只是引起學(xué)生積極思維的一種手段。因此概念教學(xué)不能只停留在感性認識上，在學(xué)生獲得豐富的感性認識后，要對所觀察的事物進行抽象概括，揭示概念的本質(zhì)屬性，使認識產(chǎn)生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。

3、遵循小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點，組織合理有序的教學(xué)過程

盡管小學(xué)生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形成又有各自的特點，但不管以何種方式獲得概念，一般都會遵循從“引入一理解一鞏固一深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學(xué)中每個環(huán)節(jié)的教學(xué)策略及應(yīng)注意的問題作一闡述。

（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料

在概念引入的過程中，要注意使學(xué)生建立起清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎(chǔ)，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，無論以什么方式引入概念，都應(yīng)考慮如何使小學(xué)生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學(xué)一開始，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容運用直觀手段向?qū)W生提供豐富而典型的感性材料，如采用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并結(jié)合實驗，讓學(xué)生自己動手操作，以便讓學(xué)生接觸有關(guān)的對象，豐富自己的感性認識。

如在一節(jié)教學(xué)分數(shù)的意義的課上，一位教師為了突破單位“l(fā)”這一教學(xué)難點，事先向?qū)W生提供了各種操作材料：一根繩子，4只蘋果圖，6只熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等，通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點，為理解分數(shù)的意義奠定了基礎(chǔ)。

但概念引入時所提供的材料要注意三點：一是所選材料要確切。例如角的認識，小學(xué)里講的角是平面角，可以讓學(xué)生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教師讓學(xué)生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，對于小學(xué)教學(xué)要求來說，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質(zhì)特征。例如直角三角形的本質(zhì)特征是“有一個角是直角的三角形”，至于這個直角是三角形中的哪一個角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質(zhì)的。因此教學(xué)時應(yīng)出示不同的圖形，使學(xué)生在不同的圖形中辨認其不變的本質(zhì)屬性。

（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性

概念的理解是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，教師要采取一切手段幫助學(xué)生逐步理解概念的內(nèi)涵和外延，以便讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握概念。促進對概念理解的途徑有：

1）剖析概念中關(guān)鍵詞語的真實含義

例如，分數(shù)定義中的單位“1”、“平均分”、“表示這樣的一份或幾份的數(shù)”，學(xué)生只有對這些關(guān)鍵詞語的真實含義弄清楚了，才會對分數(shù)的概念有了深刻的理解。再如教學(xué)“整除”概念之后應(yīng)幫助學(xué)生從以下三方面進行判斷，一是判斷是否具有“整除”關(guān)系的兩個數(shù)都必須是自然數(shù)；二是這兩個數(shù)相除所得的商是整數(shù)；三是沒有余數(shù)。對定義的分析是幫助學(xué)生認識概念的又一次提高。三角形的高的定義:“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底?！边@里的“一個頂點”、“垂線”、“垂足”都是一些關(guān)鍵詞語。為了讓學(xué)生理解三角形的高，除了讓學(xué)生理解字面意思外，往往還需要學(xué)生通過實際操作，體會畫“高”的全過程。指出畫“高”的關(guān)鍵是畫垂線，并注意限制條件：“過三角形的一個頂點(可以是任何一個頂點)，作到它對邊的垂線，頂點和垂足之間的線段”。這樣把實際操作的過程和所畫的三角形高的圖形與定義所敘述的內(nèi)容對照，使學(xué)生準確地理解三角形的高的定義。這實際上是在數(shù)學(xué)概念建立后，幫助學(xué)生對本質(zhì)屬性進行剖析，既將本質(zhì)屬性再次從定義中分離出來，加以明確。

2）辨析概念的肯定例證和否定例證

學(xué)生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實例突出概念的主要特征，幫助他們加深對概念的理解。教師不僅要充分運用肯定例證來幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，同時要及時運用否定例證來促進學(xué)生對概念的辨析。在概念揭示后往往要針對教學(xué)要求組織學(xué)生進行一些練習(xí)，如教完三角形按角分類后，可以出示：一個三角形不是直角三角形，并且有兩個角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形。讓學(xué)生進行判斷，引起學(xué)生討論來鞏固三角形的分類，以深化對三角形這一概念的外延的進一步認識。再如，小數(shù)的性質(zhì)揭示后，可以讓學(xué)生判斷0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各數(shù)，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?從而加深學(xué)生對小數(shù)性質(zhì)的理解。

3）變換本質(zhì)屬性的敘述或表達方式

小學(xué)生理解和掌握概念的特點之一往往是：對某一概念的內(nèi)涵不很清楚，也不全面，把非本質(zhì)的特征作為本質(zhì)的特征。例如，有的學(xué)生誤認為，只有水平放置的長方形才叫長方形，如果斜著放就辨認不出來。為此，往往需要變換概念的敘述或表達方式，讓學(xué)生從各個側(cè)面來理解概念。旨在從變式中把握概念的本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性的干擾。因為事物的本質(zhì)屬性可以運用不同的語言來表達，如果學(xué)生對各種不同的敘述和表達都能理解和掌握，就說明學(xué)生對概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。

4）對近似的概念及時加以對比辨析

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些概念其含義接近，但本質(zhì)屬性又有區(qū)別。如數(shù)與數(shù)字，數(shù)位與位數(shù)，奇數(shù)與質(zhì)數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)，化簡比與求比值，時間與時刻，質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)與互質(zhì)數(shù)，周長與面積，等等。對這類概念，學(xué)生常常容易混淆，必須及時把它們加以比較，以避免互相干擾。

如學(xué)習(xí)了“整除”，為了和以前學(xué)的“除盡”加以比較，可以設(shè)計這樣的練習(xí)題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡?

(1)8÷2＝4

(2)48÷8＝6

(3)30÷7＝4??(4)8÷5＝1.6

(5)6÷0.2＝30

(6)1.8÷3＝0.6

引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較，從而得出：第(3)題是有余數(shù)的除法，當(dāng)然不能說被除數(shù)被除數(shù)整除或除盡，其他各題當(dāng)然能說被除數(shù)被除數(shù)除盡了。其中只有第(1)、(2)題，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，而且沒有余數(shù)，這兩題既可以說被除數(shù)被除數(shù)除盡，又能說被除數(shù)被除數(shù)整除。從上面的分析中，讓學(xué)生明白：整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數(shù)的情況。

學(xué)習(xí)了比之后，可以用列表法設(shè)計比與除法、分數(shù)之間的聯(lián)系的習(xí)題，從中明確“除法是一種運算，分數(shù)是一個數(shù)，比是一個關(guān)系式”的區(qū)別。

（3）重視概念的運用，發(fā)揮概念的作用

正確、靈活地運用概念，就是要求學(xué)生能夠正確、靈活地運用概念組成判斷，進行推理、計算、作圖等，能運用概念分析和解決實際問題。理解概念的目的在于運用，運用的途徑有：

1)自舉實例

這是要求學(xué)生把已經(jīng)初步獲得的概念簡單運用于實際，通過實例來說明概念，加深對概念的理解。有經(jīng)驗的教師，根據(jù)小學(xué)生對概念的認識通常帶有具體性的特點，在學(xué)生通過分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學(xué)生的認識規(guī)律，使學(xué)生更準確把握概念的內(nèi)涵和外延。

例如在學(xué)生初步獲得了真分數(shù)、假分數(shù)的概念后，就可以讓學(xué)生分別舉一些真分數(shù)和假分數(shù)的實例；知道了圓柱的特征后，讓學(xué)生說說日常生活中有哪些物品的形狀是圓柱形的。

2)運用于計算、作圖等

例如，如學(xué)了乘法的運算定律后，就可以讓學(xué)生簡便計算下面各題。

104×2

548×25

101×35×2

(80+8)×25

8×(125+50)

34×5×在掌握分數(shù)的基本性質(zhì)后，就要求學(xué)生能熟練地進行通分、約分，并說明通分、約分的依據(jù)。學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)后，就可以讓學(xué)生把小數(shù)按要求進行化簡或改寫；學(xué)習(xí)了等腰三角形，可設(shè)計一組操作題；畫一個等腰三角形；畫一個頂角60度的等腰三角形；畫一個腰長為2厘米的等腰直角三角形。

3)運用于生活實踐

數(shù)學(xué)概念來源于生活，就必然要回到生活實際中去。教師引導(dǎo)學(xué)生運用概念去解決數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過程。并且，也只有讓學(xué)生把所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念，拿到生活實際中去運用，才會使學(xué)到的概念鞏固下來，進而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運用技能。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實際，在掌握小學(xué)數(shù)學(xué)教材邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，有意識地深化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概念。

例如在學(xué)習(xí)圓的面積后，一位教師就設(shè)計了這樣的問題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式，誰能想辦法算一算，學(xué)校操場上白楊樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認為樹一砍下來就會死掉。這時教師進一步引導(dǎo)說：“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下。”學(xué)生們渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭論，終于找到了好辦法，即先量出樹干的周長，再算出半徑，然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學(xué)生還到操場上實際測量了樹干的周長，算出了橫截面面積。再如，在教學(xué)正比例應(yīng)用題時，可以啟發(fā)學(xué)生運用旗桿高度與影長的關(guān)系，巧妙地算出了旗桿的高度。這樣通過創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情景，教師適時點撥，不但啟迪了學(xué)生的思維，而且培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)以致用的興趣和能力，也加深了對所學(xué)概念的理解。（4）注重概念之間的比較分類，深化概念

小學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點是系統(tǒng)性強，前后聯(lián)系密切，但是由于小學(xué)生思維發(fā)展水平和接受能力的限制，有些知識的教學(xué)往往是分幾節(jié)課或幾個學(xué)期來完成，這樣難免在不同程度上削弱知識間的聯(lián)系。對一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階段應(yīng)進行系統(tǒng)的整理，使學(xué)生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。尤其是中高年級，可以引導(dǎo)學(xué)生將概念進行分類，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以形成概念系統(tǒng)。

第四篇：平行四邊形的面積計算公式

一、注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透

在教學(xué)設(shè)計方面，我先是讓學(xué)生大膽猜測兩塊草地（等底等高的長方形與平行四邊形）的面積哪一個大，再讓學(xué)生通過動手操作、驗證平行四邊形的面積，其實它們的面積是一樣大的。

二、注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是促進學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中，通過學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，全面揭示數(shù)學(xué)思維過程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識發(fā)生、發(fā)展過程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識的心理活動統(tǒng)一起來。在這節(jié)課中，我設(shè)計了剪一剪、拼一拼等學(xué)習(xí)活動，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：長方形的面積與原平行四邊形的面積有什么關(guān)系？長方形的長和寬與平行四邊形底和高有什么關(guān)系？充分利用多媒體課件演示，形象、直觀，使學(xué)生得出結(jié)論：因為長方形的面積=長乘寬，所以平行四邊形的面積=底乘高。在此，我特別注意強調(diào)底與高應(yīng)該是相對應(yīng)的，通過觀察、交流、討論、練習(xí)等形式，讓學(xué)生在理解公式推導(dǎo)的過程中學(xué)會解決問題。學(xué)生掌握了平行四邊形的求證方法，也為今后求證三角形、梯形等面積公式和其他類似的問題提供了思維模式。這個求證過程也促進了學(xué)生猜測、驗證、抽象概括等思維能力的發(fā)展。

三、注重了師生互動、生生互動

新課程標(biāo)準提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中主張以學(xué)生為主體，注重師生互動和生生互動。師生應(yīng)該互有問答，學(xué)生與學(xué)生之間要互有問答。在這節(jié)課中，我能始終面向全體學(xué)生，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，通過教學(xué)中師生之間、同學(xué)之間的互動關(guān)系，產(chǎn)生教與學(xué)之間的共鳴。

四、我的遺憾

課前預(yù)設(shè)學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的方法有三種，第一種是沿著平行四邊形的頂點做的高剪開，通過平移，拼出長方形。第二種是沿著平行四邊形中間任意一高剪開，第三種是沿平行四邊形兩端的兩個頂點做的高剪開，把剪下來的兩個小直角三角形拼成一個長方形，再和剪后得出的長方形拼成一個長方形。這節(jié)課學(xué)生大部分都拼出第一種，后兩種學(xué)生沒拼出來。教學(xué)是一門有著缺憾的藝術(shù)。做為教者的我們，往往在執(zhí)教后，都會留下或多或少的遺憾，只要我們用心思考，不斷改進，我們的課堂就會更加精彩。

第五篇：構(gòu)造柱的面積計算公式

構(gòu)造柱的模板面積計算公式（D指馬牙槎的外伸長度；K指墻體寬度；H為柱高度為）：

當(dāng)構(gòu)造柱位于單片墻最前端時，S=(K×3+D×2)×H

當(dāng)構(gòu)造柱位于L或一形墻體相交處時，S=(K×2+D×4)×H 當(dāng)構(gòu)造柱位于T形墻體相交處時，S=(K×1+D×6)×H

當(dāng)構(gòu)造柱位于十形墻體相交處時,S=D×8×H。

構(gòu)造柱工程量計算公式是：V =（B+b）×A×H + K，其中：V--構(gòu)造柱砼體積、B--構(gòu)造柱寬度(注：指同墻軸線方向平行的尺寸)、b---馬牙搓寬度(注意：馬牙搓兩邊有時，計算一邊的寬度；馬牙搓一邊有時，計算一邊的一半寬度)、A--構(gòu)造柱長度(注：指同墻軸線方向垂直的尺寸)、H--構(gòu)造柱高度（自基礎(chǔ)上表面至構(gòu)造柱頂面之間的距離）、K--構(gòu)造柱基礎(chǔ)工程量