第一篇：三角形面積計算公式的推導_教學設計（精選）

三角形面積計算公式的推導 教學設計

教學內容：三角形面積公式推導部分 教學目的：

1.通過讓學生主動探索三角形面積計算公式，經歷三角形面積公式的探索過程，進一步感受轉化的數(shù)學思想和方法。

2.使學生理解三角形面積計算公式，能正確地計算三角形的面積。

3.通過操作、觀察、比較，培養(yǎng)學生問題意識、概括能力和推理能力，發(fā)展學生的空間觀念。

教學重難點：1.學生主動探索三角形面積計算公式，經歷三角形面積公式的探索過程。

2.能正確地計算三角形的面積。

學情分析：經歷了平行四邊形的面積公式轉化過程，本節(jié)課的內容對于學生應該不難，重點是引導學生的操作后的觀察，繼而推導出三角形的面積公式，要讓學生多說，在腦海里形成清晰的理解過程。

教學過程：

一、閱讀質疑。

學生首先回顧了平行四邊形、長方形地面積公式及推導過程。然后學生提出了質疑，主要問題有：

（1）數(shù)方格怎么求三角形的面積？

（2）不數(shù)方格怎么求三角形的面積？有沒有一個通用公式？（3）能把三角形也轉化成我們學過的圖形求面積嗎？（4）轉化成的這些圖形跟三角形有什么關系嗎？

二、點撥激思 1.數(shù)方格的問題

學生根據(jù)學習材料可以解答用數(shù)方格的方法求三角形的面積。

老師接著問：有一個很大的三角形池塘，你來用數(shù)方格求它的面積。

嗯，看來數(shù)方格求面積是有一定局限性的，今天我們就來研究三角形的面積。

2.轉化的問題

你想把三角形轉化成什么圖形？學生會轉化成平行四邊形、長方形、正方形。梯形行嗎？這時學生會有兩種答案，有的說行，有的說不行，為什么不行？老師追問，學生在討論中達成共識:必須轉化成學過的，可以計算面積的圖形。

師：三角形怎樣才能轉化成這些圖形？請同學們利用手中學具，通過拼一拼，折一折，剪一剪，利用轉化成這些圖形來解決下面的幾個問題。

三、探索解疑

學生操作，討論，匯報。1.轉化的圖形

學生的答案有很多種，把兩個完全一樣的三角形轉化成了平行四邊形、長方形和正方形，還有把一個三角形沿高剪下拼成了正方形、長方形，還有把一個三角形沿中位線對折，兩邊也折轉化成了2層的長方形

2.解決轉化前后圖形間的關系（1）大小的關系

通過比較學生們發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形拼成的圖形跟三角形關系是S = S÷2。一個三角形轉化成的圖形跟三角形關系是S =S（2）底和高的關系

拼割前后各部分有什么關系？（指底和高）能推導出三角形的面積公式嗎？

師：思路真清晰，為什么÷2，誰還想說。（學生依次講拼成的長方形，正方形這兩種情況）（3）公式推導

師；同學們真了不起，想出了這么多好方法推出了三角形的面積公式，那誰能給大家說說三角形的面積等于什么？

師：如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式該怎么表示呢？

（4）推導拓展

師：我們再來看第二組，你能通過一個三角形的轉化來推導它的面積公式嗎？

<三>歸納小結

出示學習材料2，學生閱讀后談感想。體會祖國的古代科學家得了不起，2000多年前就推導出了這個公式。今天同學們通過自己的研究也推導出了三角形的面積計算公式，說明同學們也很聰明，相信將來你們還會有更多更大的發(fā)現(xiàn)，到那時你們的名字也將載如史冊，大家有信心嗎？

師：好，今天這節(jié)課我們研究了三角形的面積，你們學到了哪些知識，有什么收獲？

第二篇：小學六年級數(shù)學教案三角形面積計算公式的推導

小學六年級數(shù)學教案——三角形面積計

算公式的推導

教學內容：人教版9冊 三角形面積公式推導部分

教學目的：

1、通過讓學生主動探索三角形面積計算公式，經歷三角形面積公式的探索過程，進一步感受轉化的數(shù)學思想和方法。

2、使學生理解三角形面積計算公式，能正確地計算三角形的面積。

3、通過操作、觀察、比較，培養(yǎng)學生問題意識、概括能力和推理能力，發(fā)展學生的空間觀念。

教學過程：

一、閱讀質疑。

先請同學們自己閱讀以下材料，然后以小組為單位交流一下你們都學會了哪些知識，可以提出什么問題，并把問題隨手記錄下來。

1厘米

學生閱讀后首先回顧了平行四邊形、長方形地面積公式及推導過程。然后學生提出了質疑，主要問題有：

（1）數(shù)方格怎么求三角形的面積？

（2）不數(shù)方格怎么求三角形的面積？有沒有一個通用公式？

（3）能把三角形也轉化成我們學過的圖形求面積嗎？

（4）轉化成的這些圖形跟三角形有什么關系嗎？

（析：孔子曾說：“疑是思之始，學之端”。這里老師打破了學生等待老師提問的常規(guī)，要求學生把閱讀材料作為學習主題，通過閱讀提出問題，真正體現(xiàn)了”以生為本”。）

二、點撥激思

1.數(shù)方格的問題

學生根據(jù)學習材料可以解答用數(shù)方格的方法求三角形的面積。

老師接著問：有一個很大的三角形池塘，你來用數(shù)方格求它的面積。

學生小聲笑了起來。為什么笑？老師問到。學生說數(shù)方格太麻煩了，池塘也不好劃分方格。

嗯，看來數(shù)方格求面積是有一定局限性的，今天我們就來研究三角形的面積。

（析：一石激起千層浪，學生由數(shù)方格方法的局限性這一認識的困惑與沖突，有效地引發(fā)了學生探究面積計算公式的生長點，使學生有了探究發(fā)現(xiàn)的空間。）

2.轉化的問題

你想把三角形轉化成什么圖形？學生會轉化成平行四邊形、長方形、正方形。梯形行嗎？這時學生會有兩種答案，有的說行，有的說不行，為什么不行？老師追問，學生在討論中達成共識:必須轉化成學過的，可以計算面積的圖形。

師：三角形怎樣才能轉化成這些圖形？請同學們利用手中學具，通過拼一拼，折一折，剪一剪，利用轉化成這些圖形來解決下面的幾個問題。

（析：這里把“新”問題轉化成了“老”問題來解決，有效地把學法指導融入到了教學中，給學生創(chuàng)造了更廣闊、更真實的自主空間，無疑有利于學生可持續(xù)性發(fā)展。）

三、探索解疑分頁標題#e#

學生操作，討論，匯報。

1.轉化的圖形

學生的答案有很多種，把兩個完全一樣的三角形轉化成了平行四邊形、長方形和正方形，還有把一個三角形沿高剪下拼成了正方形、長方形，還有把一個三角形沿中位線對折，兩邊也折轉化成了2層的長方形。

2.解決轉化前后圖形間的關系

（1）大小的關系

通過比較學生們發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形拼成的圖形跟三角形關系是S = S÷2。一個三角形轉化成的圖形跟三角形關系是S =S

（2）底和高的關系

拼割前后各部分有什么關系？（指底和高）能推導出三角形的面積公式嗎？

生1：兩個完全一樣的銳角三角形轉化成了平行四邊形，三角形的高就是平行四邊形的高，三角形的底就是平行四邊形的底。因為平行四邊形的面積是底×高，它是由兩個三角形拼成的，所以三角形的面積是底×高÷2

師：思路真清晰，為什么÷2，誰還想說。

（學生依次講拼成的長方形，正方形這兩種情況）

（3）公式推導

師；同學們真了不起，想出了這么多好方法推出了三角形的面積公式，那誰能給大家說說三角形的面積等于什么？

生：底×高÷2

師：如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式該怎么表示呢？

生：S=a×h÷2

（4）推導拓展

師：我們再來看第二組，你能通過一個三角形的轉化來推導它的面積公式嗎？

學生1：我是把一個等腰三角形對折，然后從中間剪開拼成了一個長方形，這個長方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因為長方形的面積是長×寬，長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是底×高÷2。

學生2：我是把一個直角三角形的上面對折下來，然后剪開，把它補在一邊，拼成了一個長方形。這個長方形的長是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面積是底×高÷2。

生3：我是把一個三角形沿著兩邊的重點對折，然后又把底邊的重點這樣對折，折成了一個長方形，這個長方形的底是三角形底的一半，寬是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面積是底×高÷2

師：這個方法怎樣，誰來評價一下。學生評價，太棒了。

生4：我還有一種辦法。把一個長方形沿對角線折疊，因為長方形的面積是長×寬，長方形是兩個三角形拼成的，所以，三角形的面積是底×高÷2

（析：把探究的權利充分的交給學生，學生自由組合，利用已有的知識經驗，通過折、移、拼、剪，得到了不同的圖形，雖然是不同的角度、不同的手段、不同的方法，但達到了同一目的，得到了正確的三角形面積計算公式，更重要的是探究過程中學生的思維空間得到了拓展，思維個性得到了發(fā)揮。）分頁標題#e#

歸納小結

出示學習材料2，學生閱讀后談感想。體會祖國的古代科學家得了不起，2000多年前就推導出了這個公式。今天同學們通過自己的研究也推導出了三角形的面積計算公式，說明同學們也很聰明，相信將來你們還會有更多更大的發(fā)現(xiàn)，到那時你們的名字也將載如史冊，大家有信心嗎？

師：好，今天這節(jié)課我們研究了三角形的面積，你們學到了哪些知識，有什么收獲？回去繼續(xù)反思整理，寫出你們的反思報告。

（析：課堂總結不僅要關注學生學會了什么，更要關注用什么方法學，學后有什么感想，要有意識的促進學生反思：我還有什么疑問？打算怎么辦？，把課后反思納入到學習的系統(tǒng)連續(xù)的過程中。）

總析：本節(jié)課有以下兩個特點

1.充分體現(xiàn)了“問題意識的培養(yǎng)”。

老師用了一種新的教學流程進行教學。即以“提出問題”，“研究問題”，“解決問題”為主線。當一個問題得到解決后，新的問題接著出現(xiàn)，學生始終處于“憤”和“悱”及對問題的探究中，有效地調動學生的學習的興奮點，學生的問題意識得到發(fā)展。

2.重視研究問題的過程。

這節(jié)課以思維訓練代替了重復練習，以發(fā)展學生的創(chuàng)造思維為重點，引導學生用多種方法進行轉化，然后通過觀察、操作、比較、歸納、抽象概括推導出公式，沒有通過太多的練習卻獲得了超常規(guī)的解題能力。這個過程是學生自主探究的過程，這個過程是學生綜合能力培養(yǎng)和提高的過程。

第三篇：三角形面積計算公式的推導數(shù)學教案設計

三角形面積計算公式的推導數(shù)學教案設

計

1、通過讓學生主動探索三角形面積計算公式，經歷三角形面積公式的探索過程，進一步感受轉化的數(shù)學思想和方法。

2、使學生理解三角形面積計算公式，能正確地計算三角形的面積。

3、通過操作、觀察、比較，培養(yǎng)學生問題意識、概括能力和推理能力，發(fā)展學生的空間觀念。

先請同學們自己閱讀以下材料，然后以小組為單位交流一下你們都學會了哪些知識，可以提出什么問題，并把問題隨手記錄下來。

1厘米

學生閱讀后首先回顧了平行四邊形、長方形地面積公式及推導過程。然后學生提出了質疑，主要問題有：

數(shù)方格怎么求三角形的面積？

不數(shù)方格怎么求三角形的面積？有沒有一個通用公式？

能把三角形也轉化成我們學過的圖形求面積嗎？

轉化成的這些圖形跟三角形有什么關系嗎？

1。數(shù)方格的問題

學生根據(jù)學習材料可以解答用數(shù)方格的方法求三角形的面積。

老師接著問：有一個很大的三角形池塘，你來用數(shù)方格求它的面積。

學生小聲笑了起來。為什么笑？老師問到。學生說數(shù)方格太麻煩了，池塘也不好劃分方格。

嗯，看來數(shù)方格求面積是有一定局限性的，今天我們就來研究三角形的面積。

2。轉化的問題

你想把三角形轉化成什么圖形？學生會轉化成平行四邊形、長方形、正方形。梯形行嗎？這時學生會有兩種答案，有的說行，有的說不行，為什么不行？老師追問，學生在討論中達成共識：必須轉化成學過的，可以計算面積的圖形。

師：三角形怎樣才能轉化成這些圖形？請同學們利用手中學具，通過拼一拼，折一折，剪一剪，利用轉化成這些圖形來解決下面的幾個問題。

學生操作，討論，匯報。

1。轉化的圖形

學生的答案有很多種，把兩個完全一樣的三角形轉化成了平行四邊形、長方形和正方形，還有把一個三角形沿高剪下拼成了正方形、長方形，還有把一個三角形沿中位線對折，兩邊也折轉化成了2層的長方形。

2。解決轉化前后圖形間的關系

大小的關系

通過比較學生們發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形拼成的圖形跟三角形關系是S = S÷2。一個三角形轉化成的圖形跟三角形關系是S =S

底和高的關系

拼割前后各部分有什么關系？能推導出三角形的面積公式嗎？

生1：兩個完全一樣的銳角三角形轉化成了平行四邊形，三角形的高就是平行四邊形的高，三角形的底就是平行四邊形的底。因為平行四邊形的面積是底×高，它是由兩個三角形拼成的，所以三角形的面積是底×高÷2

師：思路真清晰，為什么÷2，誰還想說。

公式推導

師；同學們真了不起，想出了這么多好方法推出了三角形的面積公式，那誰能給大家說說三角形的面積等于什么？

生：底×高÷2

師：如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式該怎么表示呢？

生：S=a×h÷2

推導拓展

師：我們再來看第二組，你能通過一個三角形的轉化來推導它的面積公式嗎？

學生1：我是把一個等腰三角形對折，然后從中間剪開拼成了一個長方形，這個長方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因為長方形的面積是長×寬，長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是底×高÷2。

學生2：我是把一個直角三角形的上面對折下來，然后剪開，把它補在一邊，拼成了一個長方形。這個長方形的長是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面積是底×高÷2。

生3：我是把一個三角形沿著兩邊的重點對折，然后又把底邊的重點這樣對折，折成了一個長方形，這個長方形的底是三角形底的一半，寬是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面積是底×高÷2

師：這個方法怎樣，誰來評價一下。學生評價，太棒了。

生4：我還有一種辦法。把一個長方形沿對角線折疊，因為長方形的面積是長×寬，長方形是兩個三角形拼成的，所以，三角形的面積是底×高÷2

出示學習材料2，學生閱讀后談感想。體會祖國的古代科學家得了不起，XX多年前就推導出了這個公式。今天同學們通過自己的研究也推導出了三角形的面積計算公式，說明同學們也很聰明，相信將來你們還會有更多更大的發(fā)現(xiàn)，到那時你們的名字也將載如史冊，大家有信心嗎？

師：好，今天這節(jié)課我們研究了三角形的面積，你們學到了哪些知識，有什么收獲？回去繼續(xù)反思整理，寫出你們的反思報告。

1。充分體現(xiàn)了“問題意識的培養(yǎng)”。

老師用了一種新的教學流程進行教學。即以“提出問題”，“研究問題”，“解決問題”為主線。當一個問題得到解決后，新的問題接著出現(xiàn)，學生始終處于“憤”和“悱”及對問題的探究中，有效地調動學生的學習的興奮點，學生的問題意識得到發(fā)展。

2。重視研究問題的過程。

這節(jié)課以思維訓練代替了重復練習，以發(fā)展學生的創(chuàng)造思維為重點，引導學生用多種方法進行轉化，然后通過觀察、操作、比較、歸納、抽象概括推導出公式，沒有通過太多的練習卻獲得了超常規(guī)的解題能力。這個過程是學生自主探究的過程，這個過程是學生綜合能力培養(yǎng)和提高的過程。

第四篇：三角形面積計算公式

《三角形面積計算公式》教學設計

四卦小學

白保華

教學內容：人教版九年義務教育六年制小學數(shù)學第九冊三角形面積 教材分析：人教版五年級上冊84、85頁三角形的面積是本單元教學內容的第二課時，是在學生掌握了三角形的特征以及長方形、正方形、平行四邊形面積計算的基礎上學習的，是進一步學習梯形面積和組合圖形面積的基礎，教材首先由怎樣計算紅領巾的面積這樣一個實際問題引入三角形面積計算的問題，接著根據(jù)平行四邊形面積公式推導的方法提出解決問題的思路，把三角形也轉化成學過的圖形，通過學生動手操作和探索，推導出三角形面積計算公式，最后用字母表示出面積計算公式，這樣一方面使學生初步體會到幾何圖形的位置變換和轉化是有規(guī)律的，另一方面有助于發(fā)展學生的空間觀念。

學情分析：學生在以前的學習中，初步認識了各種平面圖形的特征，掌握了長方形、正方形、平行四邊形的面積計算，學生學習時并不陌生，在前面的圖形教學中，學生學會了運用折、剪、拼、量、算等方法探究有關圖形的知識，在學習方法上也有一定的基礎，教學時從學生的現(xiàn)實生活與日常經驗出發(fā)，設置貼近生活現(xiàn)實的情境，通過多姿多彩的圖形，把學習過程變成有趣的、充滿想象和富有推理的活動。

教學目標：

1、讓學生經歷三角形面積計算公式的探索過程，理解三角形面積公式的來源；并能靈活運用公式解決簡單的實際問題。

2、在學習活動中，培養(yǎng)學生的實踐動手能力，合作探索意識和能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和能力。

3、通過實踐操作，自主探究，使學生進一步學習用轉化的思想方法解決新問題培養(yǎng)團結互助的合作思想品質。

教學重點：三角形面積計算公式的推導。

教學難點：運用拼、剪、平移、旋轉等方法，發(fā)現(xiàn)正方形、長方形、平形四邊形及三角形面積的相互聯(lián)系推導出三角形面積計算公式。

教具準備：多媒體課件一套，投影儀。

學具準備：工具（尺、剪刀），三組學具（①完全相同的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各兩個②長方形、正方形、平行四邊形各一個③任意三角形若干個）

教學設計:

一、創(chuàng)設問題情境，質疑激勵探索

師：同學們，今天老師為大家?guī)砹藥孜焕吓笥眩銈兿牒退鼈円娨娒鎲幔?/p>

1、課件出示：

學生說名稱及特征后，平行四邊形

出示關系集合圖

長方形 正方形 師問：誰愿意說出三種圖形的面積的計算方法和計算公式的推導過程。

課件展示三角形的圖片

請同學們觀察猜測：三角形的面積會怎樣計算呢？該怎樣轉化呢？

揭題：三角形面積計算公式（板書課題）

（設計意圖：創(chuàng)設輕松的學習氛圍，用多媒體手段幫助學生回憶長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式及其所屬關系，為后面的探究活動中圖形及公式的轉化作好鋪墊。激勵學生用已有的經驗深入認識“老朋友”（三角形）的欲望和倍心，同時又導出了探索的目標和方向?！?/p>

二、合作探索新知，循序漸進解謎。

（一）實踐操作的合作探索：：根據(jù)你的猜想，動手操作驗證一下吧!第一次小組合作：1.同學們，請你們選擇三組學具中你喜歡的一種，用你們喜歡的方法進行實驗

2.通過折、剪、拼、你會轉化成哪種已學過的面積的圖形？ 3.轉化后的圖形與原三角形有什么聯(lián)系？

4.組內展示交流：你是怎樣操作的，得到什么樣的結論

（二）匯報操作驗證結果

生上臺展示：把一張三角形紙片的三個角向內對折，變成一個小長方形，得到長方形的長是原來三角形底的一半，寬就是三角形的高的一半，為此，三角形的面積等于小長方形面積的2倍。2倍與其中的一個“一半”抵消，還剩一個“一半”為此，三角形的面積等于底乘高除以2 生上臺展示：將三角形的頂角向底邊平行對折，再沿折痕剪開，把得到的小三角形沿中間對折再剪開，分別補在剩下圖形的兩側，變成一個長方形。三角形的底沒變，高縮小了一半，為此，三角形的面積等于底乘高除以2師：這個辦法怎么樣？ 生：也很合理。（表揚，祝賀）師：還有其他做法嗎？

生：把等腰三角形對折，剪開一半拼成平行四邊形（含長方形、正方形），拼成的平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高，平行四邊形的面積等于三角形的面積的2倍 生：選兩個完全一樣的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形都可以拼成一個平形四邊形（含長方形、正方形）拼得的平行四邊形的底是原來三角形底的2 倍，高不變，所以，三角形的面積等于底乘高除以2。

師：這個辦法怎么樣？看來同學們在探究三角形面積的推導想出的辦法還真不少！那么，你感覺哪種辦法最好？最有創(chuàng)意？〔設計意圖：尊重學生的知識基礎和喜好，讓學生自由選擇三組學具中的一組，使學生更滿意地完成任務，同時也培養(yǎng)學生學會。傾聽別人的正確意見，給予排斥、質疑、認同的思維空間，創(chuàng)造客觀評價他人和自己的機會，掌握三種基本思路，（即拼法、剪法、和割補法），鼓勵個性割補法。多媒體課件的分類圖展，多次發(fā)散驗證學生推導的準確性，更能幫助學生構建新的知識網(wǎng)，充分享受成功的喜悅，激發(fā)學生的積極性，真正體現(xiàn)的學生為主體，面向全體學生的教育思想。

（三）各組同學可以上臺采訪和自己拼法不一樣的小組，交流經驗，比較這四種方法，你喜歡哪種方法？為什么？如果你覺得自己的拼法有不足之處，你想向哪一組同學學習？他們的拼法好在哪里。（各小組交流經驗）〔設計用意：及時反思使學生產生鮮明的對照，能及時地改進自己操作中的不足，多吸取他人的優(yōu)點，積累操作經驗，拓寬思路。合理的評價機制真正起到了鼓勵的作用。教師小組評價、同學對比評價、自己反思評價的客觀多元評價方法，培養(yǎng)學生自我評價的能力，鼓勵學生參與他人平等競爭，使學生產生挫敗和成功的情感體驗，提高心理素質。〕

（四）小組合作二：

小組交流：1.三角形的面積如何計算呢？用字母如何表示？ 2.在本上書寫計算公式 匯報結果：

生：三角形的面積等于底乘高除以2。

生：如果用S表示三角形的面積，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，字母表示三角形的面積公式S = ah ÷ 2（設計意圖：通過比較、歸納，揭示三角形面積計算公式及字母表達式。公式的推導是全體學生親身經歷探索的過程、發(fā)現(xiàn)的過程，推理的過程，是學生個人獨立思考與小組合作學習的過程，學生對公式的來源理解深刻，為實際應用及拓展創(chuàng)新鋪下了堅實的基礎）。

（五）第三次合作：

我們運用合作的力量探究出了三角形的面積計算公式，同學們太了不起了！請把三角形的面積的計算公式的推導過程與組內伙伴分享

板書兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于三角形的底，這個平行四邊形的高等于三角形的高，因為每個三角形的面積等于拼成平行四邊形面積的一半，又因為平行四邊形的面積=底×高

所以：三角形的面積=底×高÷2

三、實踐運用，拓展創(chuàng)新：

1、嘗試解答例題。

課件出示：一種零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米。這個三角形的面積是多少平方厘米？（學生獨立嘗試解答，教師巡視輔導，集體訂正。）課內作業(yè)，課外延伸。

2、鞏固練習

練習十七1-3題

四、全課總結：通過與伙伴的合作探究，你有什么收獲？你對自己的表現(xiàn)滿意嗎？ 板書設計：

三角形的面積

兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形 拼成的平行四邊形的底等于三角形的底，拼成的平行四邊形的高等于三角形的高，因為每個三角形的面積等于拼成平行四邊形面積的一半，又因為平行四邊形的面積=底×高 所以

三角形的面積=底×高÷2

S = ah ÷

2小學數(shù)學概念教學

白保華

數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的本質屬性在人腦中中的反映。數(shù)學概念比一般概念更要準確掌握。數(shù)學概念是構建數(shù)學理論體系的基礎，因此必須重 視。小學生年齡小，生活經驗不足，知識面窄，構成了概念教學中的障礙。數(shù)學概念又是小學數(shù)學基礎知識的一項重要內容，是學生理解、掌握數(shù)學知識的首要條 件，也是進行計算和解題的前提。因此重視數(shù)學概念教學，對于提高教學質量有著舉足輕重的作用。教師在概念教學中,要創(chuàng)設條件,根據(jù)不同類型概念運用不同教學策略,采用不同教學方法.可以通過演示操作、建立表象、逐步抽象、形成概念、強化練習、鞏固概念、靈活運用、提高能力等方法與策略進行概念教學.一、什么是數(shù)學概念

數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的本質屬性在人腦中中的反映。數(shù)學的研究對象是客觀事物的數(shù)量關系和空間形式。在數(shù)學中，客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質屬性而被舍棄，只保留它們在形狀、大小、位置及數(shù)量關系等方面的共同屬性。在數(shù)學科學中，數(shù)學概念的含義都要給出精確的規(guī)定，因而數(shù)學概念比一般概念更準確。

小學數(shù)學中有很多概念，包括：數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關概念等。這些概念是構成小學數(shù)學基礎知識的重要內容，它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數(shù)的整除性概念的形成。

二、小學數(shù)學概念的表現(xiàn)形式

在小學數(shù)學教材中的概念，根據(jù)小學生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。

1．定義式

定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質特征，揭示的是一類事物的本質屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認識。如“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。這樣定義的概念，條件和結論十分明顯，便于學生一下子抓住數(shù)學概念的本質。

2．描述式

用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5??叫自然數(shù)”；“象1.25、0.726、0.005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認識的深化而日趨完善，在小學數(shù)學教材中一般用于以下兩種情況。

一種是對數(shù)學中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線?！捌矫妗本陀谩罢n桌面”、“黑板面”、“湖面”來說明。

另一種是對于一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現(xiàn)不易被小學生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認識，由于小學生還缺乏運動的觀點，不能像中學生那樣用旋轉體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特征，并沒有以定義的形式揭示它們的本質屬性。學生在觀察、擺拼中，認識到圓柱體的特征是上下兩個底面是相等的圓，側面展開的形狀是長方形。

一般來說，在數(shù)學教材中，小學低年級的概念采用描述式較多，隨著小學生思維能力的逐步發(fā)展，中年級逐步采用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發(fā)展的。在整個小學階段，由于數(shù)學概念的抽象性與學生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義；而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學數(shù)學概念呈現(xiàn)出兩大特點：一是數(shù)學概念的直觀性；二是數(shù)學概念的階段性。在進行數(shù)學概念教學時，我們必須注意充分領會教材的這兩個特點。

三、小學數(shù)學概念教學的意義

首先，數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識的重要組成部分。

小學數(shù)學的基礎知識包括：概念、定律、性質、法則、公式等，其中數(shù)學概念不僅是數(shù)學基礎知識的重要組成部分，而且是學習其他數(shù)學知識的基礎。學生掌握基礎知識的過程，實際上就是掌握概念并運用概念進行判斷、推理的過程。數(shù)學中的法則都是建立在一系列概念的基礎上的。事實證明，如果學生有了正確、清晰、完整的數(shù)學概念，就有助于掌握基礎知識，提高運算和解題技能。相反，如果一個學生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數(shù)百以內的筆算加法法則為：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位滿十，就向十位進一。”要使學生理解掌握這個法則，必須事先使他們弄清“數(shù)位”、“個位”、“十位”、“個位滿十”等的意義，如果對這些概念理解不清，就無法學習這一法則。又如，圓的面積公式S=πr2，要以“圓”、“半徑”、“平方”、“圓周率”等概念為基礎?？傊W數(shù)學中的一些概念對于今后的學習而言，都是一些基本的、基礎的知識。小學數(shù)學是一門概念性很強的學科，也就是說，任何一部分內容的教學，都離不開概念教學。

其次，數(shù)學概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學能力的基礎。

概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，所以概念教學對培養(yǎng)學生的思維能力能起重要作用。沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，這是一個判斷。在這個判斷中，學生必須對“未知數(shù)”、“等式”這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，并以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。

(1)56+23＝79

(2)23-x＝67

(3)x÷5＝4.5

(4)44×2＝88

(5)75÷x＝4

(6)9+x＝123

在概念教學過程中，為了使學生順利地獲取有關概念，常常要提供豐富的感性材料讓學生觀察，在觀察的基礎上通過教師的啟發(fā)引導，對感性材料進行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質屬性。通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用。從而使學生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。6.1.3 數(shù)學概念教學的一般要求

1．使學生準確理解概念

理解概念，一要能舉出概念所反映的現(xiàn)實原型，二要明確概念的內涵與外延，即明確概念所反映的一類事物的共同本質屬性，和概念所反映的全體對象，三要掌握表示概念的詞語或符號。

2．使學生牢固掌握概念

掌握概念是指要在理解概念的基礎上記住概念，正確區(qū)分概念的肯定例證和否定例證。能對概念進行分類，形成一定的概念系統(tǒng)。

3．使學生能正確運用概念

概念的運用主要表現(xiàn)在學生能在不同的具體情況下，辨認出概念的本質屬性，運用概念的有關屬性進行判斷推理。

四、小學數(shù)學概念教學的過程與方法

根據(jù)數(shù)學概念學習的心理過程及特征，數(shù)學概念的教學一般也分為三個階段：①引入概念，使學生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學生理解和明確概念；③通過例題、習題使學生鞏固和應用概念。

（一）數(shù)學概念的引入

數(shù)學概念的引入，是數(shù)學概念教學的第一個環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學生的興趣和學習動機，為學生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，是揭示概念的發(fā)生和形成過程，而各個數(shù)學概念的發(fā)生形成過程又不盡相同，有的是現(xiàn)實模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎上經過一次或多次抽象后得到的；有的是從數(shù)學理論發(fā)展的需要中產生的；有的是為解決實際問題的需要而產生的；有的是將思維對象理想化，經過推理而得；有的則是從理論上的存在性或從數(shù)學對象的結構中構造產生的。因此，教學中必須根據(jù)各種概念的產生背景，結合學生的具體情況，適當?shù)剡x取不同的方式去引入概念。一般來說，數(shù)學概念的引入可以采用如下幾種方法。

1、以感性材料為基礎引入新概念。

用學生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實際問題以及模型、圖形、圖表等作為感性材料，引導學生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。

例如，要學習“平行線”的概念，可以讓學生辨認一些熟悉的實例，像鐵軌、門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個平面內、兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最后抽象出本質屬性，得到平行線的定義。

以感性材料為基礎引入新概念，是用概念形成的方式去進行教學的，因此教學中應選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質的事例，正確引導學生去進行觀察和分析，這樣才能使學生從事例中歸納和概括出共同的本質屬性，形成概念。

2、以新、舊概念之間的關系引入新概念。

如果新、舊概念之間存在某種關系，如相容關系、不相容關系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關系去進行。

例如，學習“乘法意義”時，可以從“加法意義”來引入。又如，學習“整除”概念時，可以從“除法”中的“除盡”來引入。又如，學習“質因數(shù)”可以從“因數(shù)”和“質數(shù)”這兩個概念引入。再如，在學習質數(shù)、合數(shù)概念時，可用約數(shù)概念引入：“請同學們寫出數(shù)1，2，6，7，8，12，11，15的所有約數(shù)。它們各有幾個約數(shù)？你能給出一個分類標準，把這些數(shù)進行分類嗎？你能找出多種分類方法嗎？你找出的所有分類方法中，哪一種分類方法是最新的分類方法？”

3、以“問題”的形式引入新概念。以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學中常用的方法。一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現(xiàn)實生活中的問題引入數(shù)學概念；②從數(shù)學問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。

4、從概念的發(fā)生過程引入新概念。

數(shù)學中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進行這類概念的教學時，可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程。例如，小數(shù)、分數(shù)等概念都可以這樣引入。這種方法生動直觀，體現(xiàn)了運動變化的觀點和思想，同時，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。

（二）數(shù)學概念的形成

引入概念，僅是概念教學的第一步，要使學生獲得概念，還必須引導學生準確地理解概念，明確概念的內涵與外延，正確表述概念的本質屬性。為此，教學中可采用一些具有針對性的方法。

1、對比與類比。

對比概念，可以找出概念間的差異，類比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相似之處。例如，學習“整除”概念時，可以與“除法”中的“除盡”概念進行對比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內涵，防止舊概念對學習新概念產生的負遷移作用的影響。

2、恰當運用反例。

概念教學中，除了從正面去揭示概念的內涵外，還應考慮運用適當?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|屬性，尤其是讓學生通過對比正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的錯誤進行反思，更利于強化學生對概念本質屬性的理解。

用反例去突出概念的本質屬性，實質是使學生明確概念的外延從而加深對概念內涵的理解。凡具有概念所反映的本質屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構造，就是讓學生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應當恰當，防止過難、過偏，造成學生的注意力分散，而達不到突出概念本質屬性的目的。

3、合理運用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學生對概念本質屬性的正確理解。因此，在教學中應注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形展示外，還應采用變式圖形去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質去解題時，所遇見的圖形往往是后面幾種情形。

（三）數(shù)學概念的鞏固

為了使學生牢固地掌握所學的概念，還必須有概念的鞏固和應用過程。教學中應注意如下幾個方面。

1、注意及時復習

概念的鞏固是在對概念的理解和應用中去完成和實現(xiàn)的，同時還必須及時復習，鞏固離不開必要的復習。復習的方式可以是對個別概念進行復述，也可以通過解決問題去復習概念，而更多地則是在概念體系中去復習概念。當概念教學到一定階段時，特別是在章節(jié)末復習、期末復習和畢業(yè)總復習時，要重視對所學概念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關系，形成概念體系。

2、重視應用

在概念教學中，既要引導學生由具體到抽象，形成概念，又要讓學生由抽象到具體，運用概念，學生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在于能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應用，通過應用可以加深理解，增強記憶，提高數(shù)學的應用意識。

概念的應用可以從概念的內涵和外延兩方面進行。（1）概念內涵的應用

①復述概念的定義或根據(jù)定義填空。

②根據(jù)定義判斷是非或改錯。

③根據(jù)定義推理。

④根據(jù)定義計算。

例4（1）什么叫互質數(shù)？答：

是互質數(shù)。

（2）判斷題：

27和20是互質數(shù)（）

34與85是互質數(shù)（）

有公約數(shù)1的兩個數(shù)是互質數(shù)（）

兩個合數(shù)一定不是互質數(shù)（）

（3）鈍角三角形的一個角是 82o，另兩個角的度數(shù)是互質數(shù)，這兩個角可能是多少度？

（4）如果P是質數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質。這句話對嗎？請說明理由？

2．概念外延的應用

（1）舉例

（2）辨認肯定例證或否定例證。并說明理由。

（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。

（4）將概念按不同標準分類。

例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。

（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）

（3）分母是9的最簡真分數(shù)有＿分子是9的假分數(shù)中，最小的一個是

（4）將自然數(shù)2－19按不同標準分成兩類（至少提出3種不同的分法）概念的應用可分為簡單應用和綜合應用，在初步形成某一新概念后通過簡單應用可以促進對新概念的理解，綜合應用一般在學習了一系列概念后，把這些概念結合起來加以應用，這種練習可以培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力。

五、小學數(shù)學概念教學中應注意的問題

1、把握概念教學的目標，處理好概念教學的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。

概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時也由于人們認識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質屬性的概念，也是在不斷發(fā)展和變化的。但是，在小學階段的概念教學，考慮到小學生的接受能力，往往是分階段進行的。如對“數(shù)”這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認識1、2、3、??，以后逐漸認識了零，隨著學生年齡的增大，又引進了分數(shù)(小數(shù))，以后又逐漸引進正、負數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，把數(shù)擴充到實數(shù)、復數(shù)的范圍等。又如，對“0”的認識，開始時只知道它表示沒有，然后知道又可以表示該數(shù)位上一個單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。

因此，數(shù)學概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與概念教學的階段性成了教學中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關鍵是要切實把握概念教學的階段性目標。

為了加強概念教學，教師必須認真鉆研教材，掌握小學數(shù)學概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學習階段要求也有差別。

有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，一般先用描述方法給出，以后再下定義。例如，對分數(shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學習小數(shù)以前，就讓學生初步認識了分數(shù)，“像上面講的、、、、、等，都是分數(shù)。”通過大量感性直觀的認識，結合具體事物描述什么樣的是分數(shù)，初步理解分數(shù)是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。從具體事物中抽象出來。然后概括分數(shù)的定義，這只是描述性地給出了分數(shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，引導學生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中去理解分數(shù)。

再如長方體和立方體的認識在許多教材中是分成兩個階段進行教學的。在低年級，先出現(xiàn)長方體和立方體的初步認識，通過讓學生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關長方體和立方體的感性認識，知道它們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱。然后，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什么形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學要求只要學生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認和區(qū)分這些形狀即可。僅僅停留在感性認識的層次上。第二階段是在較高年級。教學時仍要從實例引入。教學長方體的認識時，先讓學生收集長方體的物體，教師先說明什么是長方體的面、棱和頂點，讓學生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點各自的數(shù)目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關系和區(qū)別。然后歸納出長方體的特征。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。

在把握階段性目標時，應注意以下幾點：

(1)在每一個教學階段，概念都應該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂的現(xiàn)象。有些概念不嚴格下定義，但也要依據(jù)學生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質特征。同時注意與將來的嚴格定義不矛盾。

(2)當一個教學階段完成以后，應根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，不斷變化的。如：有一位學生在認識了長方體之后，認為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應加以肯定。

(3)當概念發(fā)展后，教師不但指出原來概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以便學生掌握，而且還應引導學生對有關概念進行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”的概念，在整數(shù)范圍內，通常所指的是，如果把甲量當作1份，而乙量有這樣的幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分數(shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。

因此，在數(shù)學概念教學中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內在聯(lián)系。數(shù)學概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學生對數(shù)學概念的認識，也需要隨著數(shù)學學習的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學時既要注意教學的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學生的認識能力；又要注意教學的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關系。

2、加強直觀教學，處理好具體與抽象的矛盾

盡管教材中大部分概念沒有下嚴格的定義，而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。但對于小學生來說，數(shù)學概念還是抽象的。他們形成數(shù)學概念，一般都要求有相應的感性經驗為基礎，而且要經歷一番把感性材料在腦子里來回往復，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質特征或屬性，這是形成概念的基礎。因此，在教學中，必須加強直觀，以解決數(shù)學概念的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾。

（1）通過演示、操作進行具體與抽象的轉化

教學中，對于一些相對抽象的內容，盡可能地利用恰當?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D化為具體內容，然后在此基礎上抽象出概念的本質屬性。

幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質的概念都非常抽象，因此，教學中更要加強演示、操作，通過讓學生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學生體會這些概念，從而抽象出這些概念。

例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學生用硬紙制做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學生在課堂作業(yè)本上寫出三個內容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學做完后，要求每個同學匯報自己計算的結果。

然后引導學生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數(shù)是個固定的數(shù)，數(shù)學上叫做圓周率。再讓學生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導學生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質特征(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。

這樣教師借助于直觀教學，運用學生原有的一些基礎知識，逐步抽象，環(huán)環(huán)緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學生建立表象，從而解決了數(shù)學知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。

（2）結合學生的生活實際進行具體與抽象的轉化

教學中有許多數(shù)量關系都是從具體生活內容中抽象出來的，因此，在教學中應該充分利用學生的生活實際，運用恰當?shù)姆绞竭M行具體與抽象的轉化，即把抽象的內容轉化為學生的具體生活知識，在此基礎上又將其生活知識抽象為教學內容。

例如乘法交換律的教學，往往讓學生先解答這樣的習題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學生在實際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教學也是讓學生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助于學生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。同樣常見數(shù)量關系中的單價、總價與數(shù)量之間的關系；路程、速度與時間的關系，工作量、工作效率與工作時間之間的關系等，都應結合學生的生活經驗，通過具體的題目將其抽象出來，然后又利用這些關系來分析解決問題。這樣的訓練有利于使學生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步緩解知識的抽象性與學生思維的具體形象性的矛盾。

但是，運用直觀并不是目的，它只是引起學生積極思維的一種手段。因此概念教學不能只停留在感性認識上，在學生獲得豐富的感性認識后，要對所觀察的事物進行抽象概括，揭示概念的本質屬性，使認識產生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。

3、遵循小學生學習概念的特點，組織合理有序的教學過程

盡管小學生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形成又有各自的特點，但不管以何種方式獲得概念，一般都會遵循從“引入一理解一鞏固一深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學中每個環(huán)節(jié)的教學策略及應注意的問題作一闡述。

（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料

在概念引入的過程中，要注意使學生建立起清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎，因此，在小學數(shù)學的概念教學中，無論以什么方式引入概念，都應考慮如何使小學生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學一開始，應根據(jù)教學內容運用直觀手段向學生提供豐富而典型的感性材料，如采用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導學生觀察，并結合實驗，讓學生自己動手操作，以便讓學生接觸有關的對象，豐富自己的感性認識。

如在一節(jié)教學分數(shù)的意義的課上，一位教師為了突破單位“l(fā)”這一教學難點，事先向學生提供了各種操作材料：一根繩子，4只蘋果圖，6只熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等，通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點，為理解分數(shù)的意義奠定了基礎。

但概念引入時所提供的材料要注意三點：一是所選材料要確切。例如角的認識，小學里講的角是平面角，可以讓學生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教師讓學生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，對于小學教學要求來說，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質特征。例如直角三角形的本質特征是“有一個角是直角的三角形”，至于這個直角是三角形中的哪一個角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質的。因此教學時應出示不同的圖形，使學生在不同的圖形中辨認其不變的本質屬性。

（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質屬性

概念的理解是概念教學的中心環(huán)節(jié)，教師要采取一切手段幫助學生逐步理解概念的內涵和外延，以便讓學生在理解的基礎上掌握概念。促進對概念理解的途徑有：

1）剖析概念中關鍵詞語的真實含義

例如，分數(shù)定義中的單位“1”、“平均分”、“表示這樣的一份或幾份的數(shù)”，學生只有對這些關鍵詞語的真實含義弄清楚了，才會對分數(shù)的概念有了深刻的理解。再如教學“整除”概念之后應幫助學生從以下三方面進行判斷，一是判斷是否具有“整除”關系的兩個數(shù)都必須是自然數(shù)；二是這兩個數(shù)相除所得的商是整數(shù)；三是沒有余數(shù)。對定義的分析是幫助學生認識概念的又一次提高。三角形的高的定義:“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底。”這里的“一個頂點”、“垂線”、“垂足”都是一些關鍵詞語。為了讓學生理解三角形的高，除了讓學生理解字面意思外，往往還需要學生通過實際操作，體會畫“高”的全過程。指出畫“高”的關鍵是畫垂線，并注意限制條件：“過三角形的一個頂點(可以是任何一個頂點)，作到它對邊的垂線，頂點和垂足之間的線段”。這樣把實際操作的過程和所畫的三角形高的圖形與定義所敘述的內容對照，使學生準確地理解三角形的高的定義。這實際上是在數(shù)學概念建立后，幫助學生對本質屬性進行剖析，既將本質屬性再次從定義中分離出來，加以明確。

2）辨析概念的肯定例證和否定例證

學生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實例突出概念的主要特征，幫助他們加深對概念的理解。教師不僅要充分運用肯定例證來幫助學生理解概念的內涵，同時要及時運用否定例證來促進學生對概念的辨析。在概念揭示后往往要針對教學要求組織學生進行一些練習，如教完三角形按角分類后，可以出示：一個三角形不是直角三角形，并且有兩個角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形。讓學生進行判斷，引起學生討論來鞏固三角形的分類，以深化對三角形這一概念的外延的進一步認識。再如，小數(shù)的性質揭示后，可以讓學生判斷0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各數(shù)，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?從而加深學生對小數(shù)性質的理解。

3）變換本質屬性的敘述或表達方式

小學生理解和掌握概念的特點之一往往是：對某一概念的內涵不很清楚，也不全面，把非本質的特征作為本質的特征。例如，有的學生誤認為，只有水平放置的長方形才叫長方形，如果斜著放就辨認不出來。為此，往往需要變換概念的敘述或表達方式，讓學生從各個側面來理解概念。旨在從變式中把握概念的本質屬性，排除非本質屬性的干擾。因為事物的本質屬性可以運用不同的語言來表達，如果學生對各種不同的敘述和表達都能理解和掌握，就說明學生對概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。

4）對近似的概念及時加以對比辨析

在小學數(shù)學中，有些概念其含義接近，但本質屬性又有區(qū)別。如數(shù)與數(shù)字，數(shù)位與位數(shù)，奇數(shù)與質數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)，化簡比與求比值，時間與時刻，質數(shù)、質因數(shù)與互質數(shù)，周長與面積，等等。對這類概念，學生常常容易混淆，必須及時把它們加以比較，以避免互相干擾。

如學習了“整除”，為了和以前學的“除盡”加以比較，可以設計這樣的練習題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡?

(1)8÷2＝4

(2)48÷8＝6

(3)30÷7＝4??(4)8÷5＝1.6

(5)6÷0.2＝30

(6)1.8÷3＝0.6

引導學生通過分析、比較，從而得出：第(3)題是有余數(shù)的除法，當然不能說被除數(shù)被除數(shù)整除或除盡，其他各題當然能說被除數(shù)被除數(shù)除盡了。其中只有第(1)、(2)題，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，而且沒有余數(shù)，這兩題既可以說被除數(shù)被除數(shù)除盡，又能說被除數(shù)被除數(shù)整除。從上面的分析中，讓學生明白：整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數(shù)的情況。

學習了比之后，可以用列表法設計比與除法、分數(shù)之間的聯(lián)系的習題，從中明確“除法是一種運算，分數(shù)是一個數(shù)，比是一個關系式”的區(qū)別。

（3）重視概念的運用，發(fā)揮概念的作用

正確、靈活地運用概念，就是要求學生能夠正確、靈活地運用概念組成判斷，進行推理、計算、作圖等，能運用概念分析和解決實際問題。理解概念的目的在于運用，運用的途徑有：

1)自舉實例

這是要求學生把已經初步獲得的概念簡單運用于實際，通過實例來說明概念，加深對概念的理解。有經驗的教師，根據(jù)小學生對概念的認識通常帶有具體性的特點，在學生通過分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學生的認識規(guī)律，使學生更準確把握概念的內涵和外延。

例如在學生初步獲得了真分數(shù)、假分數(shù)的概念后，就可以讓學生分別舉一些真分數(shù)和假分數(shù)的實例；知道了圓柱的特征后，讓學生說說日常生活中有哪些物品的形狀是圓柱形的。

2)運用于計算、作圖等

例如，如學了乘法的運算定律后，就可以讓學生簡便計算下面各題。

104×2

548×25

101×35×2

(80+8)×25

8×(125+50)

34×5×在掌握分數(shù)的基本性質后，就要求學生能熟練地進行通分、約分，并說明通分、約分的依據(jù)。學習了小數(shù)的性質后，就可以讓學生把小數(shù)按要求進行化簡或改寫；學習了等腰三角形，可設計一組操作題；畫一個等腰三角形；畫一個頂角60度的等腰三角形；畫一個腰長為2厘米的等腰直角三角形。

3)運用于生活實踐

數(shù)學概念來源于生活，就必然要回到生活實際中去。教師引導學生運用概念去解決數(shù)學問題，是培養(yǎng)學生思維，發(fā)展各種數(shù)學能力的過程。并且，也只有讓學生把所學習到的數(shù)學概念，拿到生活實際中去運用，才會使學到的概念鞏固下來，進而提高學生對數(shù)學概念的運用技能。為此，教師在教學中應當根據(jù)教材內容和學生實際，在掌握小學數(shù)學教材邏輯系統(tǒng)的基礎上，有意識地深化和發(fā)展學生的數(shù)學概念。

例如在學習圓的面積后，一位教師就設計了這樣的問題：“我們已經學習了圓面積公式，誰能想辦法算一算，學校操場上白楊樹樹干的橫截面面積?”同學們就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認為樹一砍下來就會死掉。這時教師進一步引導說：“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下。”學生們渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭論，終于找到了好辦法，即先量出樹干的周長，再算出半徑，然后應用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學生還到操場上實際測量了樹干的周長，算出了橫截面面積。再如，在教學正比例應用題時，可以啟發(fā)學生運用旗桿高度與影長的關系，巧妙地算出了旗桿的高度。這樣通過創(chuàng)設有效的教學情景，教師適時點撥，不但啟迪了學生的思維，而且培養(yǎng)了學生學以致用的興趣和能力，也加深了對所學概念的理解。（4）注重概念之間的比較分類，深化概念

小學數(shù)學知識的特點是系統(tǒng)性強，前后聯(lián)系密切，但是由于小學生思維發(fā)展水平和接受能力的限制，有些知識的教學往往是分幾節(jié)課或幾個學期來完成，這樣難免在不同程度上削弱知識間的聯(lián)系。對一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階段應進行系統(tǒng)的整理，使學生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡，形成良好的認知結構。尤其是中高年級，可以引導學生將概念進行分類，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以形成概念系統(tǒng)。

第五篇：梯形面積計算公式的推導

梯形面積計算公式的推導。

編排意圖

這部分內容的教學是在學習了平行四邊形和三角形面積計算的基礎上進行的。與前兩節(jié)一樣，教材先通過小轎車車窗玻璃是梯形的這樣一個生活實例引入梯形面積計算。然后通過學生動手實驗探索出面積計算公式，最后用字母表示出梯形的面積計算公式。但是要求又有提高，不再給出具體的方法，而是要求用學過的方法去推導梯形面積計算公式。這里仍然要運用轉化成已學過圖形的方法，但是從教材中學生的操作可以看出，方法與途徑多了，可以用分割的方法，也可以用拼擺的方法；可以轉化為三角形進行推導，也可以轉化成平行四邊形進行推導。教學建議

學生經過平行四邊形和三角形面積公式的推導，已經知道要把梯形轉化為學過的圖形進行推導。前面平行四邊形和三角形轉化的方法不同，平行四邊形主要是用割補的方法，而三角形主要用拼擺的方法。本課要求用學過的方法去推導，沒有指明具體的方法。在學生操作實驗前，可以先回憶一下前面運用過的兩種方法，有條件的可以把前面推導的過程制成課件，進行展示，加以回顧。在此基礎上放手讓學生自己去做，教師不必提出統(tǒng)一的操作要求。2． 梯形面積計算公式推導有多種方法，教材顯示了三種方法。（1）兩個一樣的梯形拼成一個平行四邊形。推導過程：

兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于梯形的（上底+下底），這個平行四邊形的高等于梯形的高，每個梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，所以，梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2(2)把一個梯形剪成兩個三角形（見下左圖）。推導：

梯形的面積＝三角形1的面積＋三角形2的面積

＝梯形上底×高÷2＋梯形下底×高÷

2＝（梯形上底＋梯形下底）×高÷2

（3）把一個梯形剪成一個平行四邊形和一個三角形（見上右圖）。推導：

梯形的面積=平行四邊形面積＋三角形面積

=平行四邊形的底×高＋三角形的底×高÷2 =（平行四邊形的底＋三角形的底÷2）×高 =（平行四邊形的底＋三角形的底÷2）×高×2÷2 =（平行四邊形的底×2＋三角形的底÷2×2）×高÷2 =（平行四邊形的底＋平行四邊形的底＋三角形的底）×高÷2

因為 梯形的上底=平行四邊形的底

梯形的下底=平行四邊形的底＋三角形的底 所以梯形的面積=（上底＋下底）×高÷2

第（1）種方法比較容易推導和理解，（2）和（3）因為涉及乘除法運算定律、性質和等式變形，學生的推導會有困難。教學中要鼓勵學生用多種方法進行推導，在此基礎上進行匯報和交流?？梢缘冢?）種方法為研究重點，讓學生敘述推導的過程，得出梯形面積計算公式。（2）和（3）種方法可視學生接受能力，不做統(tǒng)一要求。

學生在操作實驗中，可能會出現(xiàn)更多的方法。例如教材第96頁的方法，注意給學生留有較充分的操作和交流時間。推導過程：

從梯形兩腰中點的連線將梯形剪開，拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底等于（梯形的上底＋梯形的下底）平行四邊形的高等于梯形的高÷2 梯形的面積等于拼成的平行四邊形的面積 所以 梯形的面積＝（上底 ＋下底）×高÷2 3．例3及“做一做”。編排意圖

（1）例3應用梯形面積計算公式解決實際問題。

（2）“做一做”是計算引入部分提出的車窗玻璃的面積，注意是求兩個梯形的面積。教學建議

（1）例3可結合圖片和橫截面的示意圖幫助學生理解橫截面的含義，找到直角梯形的高也是它的一個腰長，再應用公式進行計算。

（2）結合例3和“做一做”，檢查學生運用公式計算的情況，強調計算時不要忘記除以2。4．關于練習十七一些習題的說明和教學建議。

第1、3題是應用梯形面積計算公式求面積。第1題需要先測量計算所需條件的長度，再計算；第3題要選擇條件進行計算，有些是間接條件要轉化為直接條件。通過練習可以加深學生對梯形面積計算公式的理解和記憶。

第2、4、5、6題都是應用梯形面積計算公式解決實際問題。

第2題，飛機模型的機翼是兩個完全相同的梯形。求機翼的面積，可以先求出一個梯形的面積，再乘2；也可以根據(jù)梯形面積公式的推導經驗，設想把兩個梯形拼成一個底長100mm＋48mm，高250mm的平行四邊形，求出它的面積。

第4題，注意讓學生觀察圖示找到計算所需條件?；▔娜鎳h笆，形成一個直角梯形。20m就是它的高，用46m-20m可以得到梯形上底與下底的和。

第5題，要結合示意圖先讓學生理解水渠的橫截面。水渠的渠口寬、渠底寬和渠深分別是梯形的上底、下底和高，再計算出梯形的面積。

第6題，可結合教材中的圖使學生理解圓木堆的橫截面可以看作一個梯形，梯形的上底長相當于頂層的根數(shù)，梯形的下底長相當于底層的根數(shù)，梯形的高相當于圓木的層數(shù)。所以可以借助梯形面積計算公式計算出圓木的總根數(shù)。

第8*題是選作題。首先要考慮如何剪去一個最大的平行四邊形。應該是以梯形上底長度為底長的平行四邊形。

剩下的是三角形，可以用兩種方法求面積。方法一 梯形的面積－剪去的平行四邊形的面積（2＋3.5）×1.8÷2－2×1.8＝1.35(cm)

2方法二用梯形的下底長減去梯形的上底長得到剩下三角形的底長，乘梯形的高, 再除以2,得到剩下的三角形的面積。(3.5－2)×1.8÷2 = 1.35(cm)

《梯形面積的計算》 教案1

教學目標：

（1）理解梯形面積公式的推導過程，會應用公式正確計算梯形的面積。

（2）培養(yǎng)學生合作學習的能力。

（3）繼續(xù)滲透旋轉、平移的數(shù)學思想。教學重點：理解并掌握梯形面積公式的計算方法。教學難點：理解梯形面積公式的推導過程。教學過程：

一、復習舊知

1．求出下面圖形的面積。

2．回憶三角形面積公式推導過程（演示課件：拼擺三角形 下載）

二、設疑引入

教師出示一個梯形和一個三角形（已標出底和高）。這個梯形比三角形的面積大還是??？相差多少呢？要想得到準確地結果該怎么辦？

板書課題：梯形面積的計算

三、指導探索

第一部分：梯形面積公式的推導。1．小組合作推導公式。

教師談話：利用手里的學具，仿照求三角形面積的方法推導梯形面積的計算公式

提綱：

2．（演示課件：拼擺梯形 下載）

電腦演示轉化推導的全過程。

3．由學生自己說明“梯形面積＝（上底+下底）×高÷2”的道理。4．概括總結、歸納公式。

提問：（1）（上底＋下底）×高求的是什么？

（2）為什么要除以2？

板書：梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2

第二部分，應用公式計算。

1．出示例

1、一條新挖的渠道，橫截面是梯形，渠口寬2.8米，渠底寬1.4米，渠深1.2米。它的橫截面的面積是多少平方米？

2．提問：已知什么？求什么？怎樣解答？

3、列式解答

（2.8＋1.4）×1.2÷2

＝4.2×1.2÷2

＝2.52（平方米）

答：它的橫截面的面積是2.52平方米。

四、鞏固練習

1、計算下面梯形的面積。

2．動手測量學具（梯形）的相關數(shù)據(jù)，并計算梯形學具的面積。

3．下面是一座水電站攔河壩的橫截面圖，求它的面積。

五、質疑總結。

1．師生共同回憶這節(jié)課所學習的內容。

提問：求梯形的面積為什么要除以2？

求梯形面積需知哪些條件？

2．引導學生質疑，組織學生解題。

六、板書設計