第一篇：D123一元微分總結(jié)
一元微分總結(jié)
一 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)
定義1 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x?x0的一個鄰域有定義, 如果lim存在, 則稱其為y?f(x)在點x?x0的導(dǎo)數(shù).記作y??f?(x0).等價寫法: limf(x)?f(x0)x?x0f(x0??x)?f(x0)?x?0?x
x?x0
方法 導(dǎo)數(shù)是一種特殊形式的極限.因此, 極限的各種結(jié)果適用.在一點可導(dǎo)與在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).導(dǎo)函數(shù).方法 導(dǎo)函數(shù)是一個函數(shù).因此, 可以研究它的各種性質(zhì).2 單側(cè)導(dǎo)數(shù)
左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù).定理1 函數(shù)在一點可導(dǎo)的充分必要條件是: 它得左, 右導(dǎo)數(shù)存在且相等.3 可導(dǎo)與連續(xù)
定理2 如果函數(shù)在一點可導(dǎo), 則它在該點連續(xù).4 高階導(dǎo)數(shù)
導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).5 微分
定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x?x0的一個鄰域有定義, 如果存在與?x無關(guān)的數(shù)A, 使得limf(x0??x)?f(x0)?A?x?x?0?x?0, 則稱y?f(x)在點x?x0可微, 而稱A?x為函數(shù)在該點的微分.定理3
函數(shù)y?f(x)在點x?x0可微的充分必要條件是: 它在該點可導(dǎo).且有A?f?(x0)
一階微分形式不變性.二 計算導(dǎo)數(shù)與微分 工具
1?2?xsin,x?01.導(dǎo)數(shù)定義: 求證：函數(shù)f(x)??在點x?0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在該點不連x??0,x?0續(xù).?ex,x?12.單側(cè)導(dǎo)數(shù): 求a,b, 使得函數(shù)y??在點x?1處可導(dǎo).?ax?b,x?133.四則運算: 設(shè)y?x?4cosx?sin?, 求f?(x)和f?(?).4.高階導(dǎo)數(shù): 求證: 函數(shù)y?設(shè)y?2，求yx(n)2x?x2滿足yy???1?0.設(shè)y?xsinx, 求y32(n)..1 5.反函數(shù): 設(shè)y?arctanx, 求y?.設(shè)y?x?sinlnx, 求6.復(fù)合函數(shù): 設(shè)y?lncose, 求
xdxdy
dydx與
dydx22.dydxx?07.隱函數(shù): 求由方程y5?2y?x?3x7?0所確定的函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)x?y?12siny?0所確定的函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)
.求由方程
dy22dx8.參數(shù)方程: 計算由參數(shù)方程x?a(t?sint),y?a(1?cost)所確定的函數(shù)y?y(x)的.二階導(dǎo)數(shù).設(shè)函數(shù)y?y(x)的極坐標(biāo)方程為r?a?, 求
2dydx.9.微分: 設(shè)y?ln(1?ex), 求dy.設(shè)函數(shù)y?y(x)由方程ey?xy?e?0確定, 求dy.2 技巧
1.化積商為和差: 設(shè)y?1?x?xx2, 求y?.(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)2.對數(shù)求導(dǎo)法: 求y?xsinx(x?0)的導(dǎo)數(shù).求y? 的導(dǎo)數(shù).三 中值定理 羅爾定理
證明中值等式(導(dǎo)函數(shù)的根).2 拉格朗日中值定理
1.證明中值等式.2.證明不等式.3.證明恒等式(用推論).方法 拉格朗日中值定理在函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)之間建立聯(lián)系.從導(dǎo)函數(shù)出發(fā), 可以研究函數(shù).反之, 從函數(shù)出發(fā)也可以研究導(dǎo)函數(shù).3 柯西中值定理
證明中值等式: 4 洛必達法則
1.商: limesinx?x(1?x)tan?1?1?cosx3xx?0x?.2.差：lim?x?0?1??2??2limx?xln1?.???.??2x??x??x???11?cosx?sinx?3.冪指函數(shù)：lim??x?0x??.2 4.數(shù)列極限: limnn??1???12n.limn?cos?e2n?.n??n??4 5.抽象函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)在點x?a二次可導(dǎo), 且f?(a)?0, 計算極限 ??11lim???.x?a?f(x)?f(a)(x?a)f?(a)?已知lim6?f(x)f(x)??sin6x, 求.lim??0232?x?0x?0?xx??x5 泰勒公式
近似計算.四 函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性判定
1.單調(diào)函數(shù): 判定函數(shù)y?x3的單調(diào)性.2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 確定函數(shù)y?32x?23x的單調(diào)區(qū)間.3.證明題: 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,??)上連續(xù), 在(0,??)內(nèi)可導(dǎo).且f(0)?0,f?(x)單調(diào)增加, 則函數(shù)F(x)?f(x)x在區(qū)間(0,??)內(nèi)單調(diào)增加.2 凸凹性判定
1.凸函數(shù): 判定函數(shù)y?lnx的凸凹性.2.函數(shù)的凸區(qū)間: 確定函數(shù)y?x3?6x?1的凸凹區(qū)間.3.證明題: 設(shè)函數(shù)f(x)?0二次可導(dǎo), 且有f(x)f??(x)?[f?(x)]2, 求證: 函數(shù)F(x)?lnf(x)是下凸函數(shù).3 拐點
1.二階導(dǎo)數(shù)條件: 求曲線y?3x的拐點.4 極值
1.必要條件: 費馬定理, 駐點.2.一階導(dǎo)數(shù)充分條件: 求函數(shù)y?1?(x?2)值.422/3的極值.求函數(shù)y?(x?1)?1的極
233.二階導(dǎo)數(shù)充分條件: 求函數(shù)y?x?2x?4的極值.4.證明題: 設(shè)函數(shù)y?f(x)滿足limf(x)1?cosxx?0?2, 則點x?0是f(x)的極小值點.5 最值
1.閉區(qū)間候選點: 駐點, 不可導(dǎo)點, 端點.求函數(shù)y?2x?3x?12x?14在區(qū)間[?3,4]上的最值.322.開區(qū)間用一階導(dǎo)數(shù)充分條件: 求函數(shù)y?xe的最小值.x 3 五 幾何應(yīng)用 切線與法線
1.顯函數(shù): 求函數(shù)y?xlnx在點(e,e)處的法線方程.2.隱函數(shù): 求橢圓
3)處的切線方程.2ab3.參數(shù)方程: 已知橢圓的參數(shù)方程x?acost,y?bsint,0?t?2?, 求橢圓在點
2x2?y22?1上點(2,3t??4處的切線方程.?44.極坐標(biāo): 求曲線r?e?在點??處的切線的直角坐標(biāo)方程.(變成參數(shù)方程.)
x25.在曲線上求點, 使得該點處的切線滿足所給條件: 在橢圓
4?y29?1上求點, 使得該點處的切線與直線2x?3y?1平行.求曲線y?x3/2通過點(5,11)的切線方程.6.證明題: 曲線x?y?a上任意一點處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于常數(shù).2 曲率
1.顯函數(shù): 求拋物線y?ax2?bx?c上曲率的最大值.六 等式與不等式 證明恒等式
1.拉格朗日中值定理的推論: 求證: 當(dāng)?1?x?1時, 有arcsinx?arccosx?
?2.2 證明中值等式
1.羅爾定理: 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)?f(b)?0, 求證: 存在??(a,b), 使得f(?)?f?(?)?0.(令F(x)?ef(x).)2.拉格朗日中值定理: 設(shè)函數(shù)f(x)?0在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo), 求證: 存在??(a,b), 使得f(b)f?(?).ln?(b?a)f(a)f(?)3.柯西中值定理: 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 其中0?a?b, 則存在??(a,b), 使得f(b)?f(a)??f?(?)ln
bax.3 證明不等式
1.拉格朗日中值定理: 求證: 當(dāng)x?0時, 有2.單調(diào)性: 求證: 當(dāng)x?1時, 2x?3?x3.最值: 求證: 當(dāng)x?1時, 有e?x1?x?ln(1?x)?x.1x.11?x.4
x?y4.凸凹性: 求證: 當(dāng)x?y時, e?e
xy?2e2.七 方程的根 存在性(下限)1.零點定理(函數(shù)): 求證: 方程x2x?1在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個根.2.羅爾定理(導(dǎo)函數(shù)): 設(shè)a1?2a22n在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個根.設(shè)y?f(x)在[0,1]上連續(xù), 在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù), 且f(1)?0, 令F(x)?xf(x), 求證: 存在??(0,1), 使得F??(?)?0.(先證存在???an?0, 求證: 方程a1?a2x???anxn?1?0??(0,1), 使得F?(?)?0.)2 唯一性(上限)1.單調(diào)性: 求證: 方程x3?x?1?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個根.設(shè)函數(shù)y?f(x)可導(dǎo), 且滿足f(x)?f?(x)?0, 求證: 方程f(x)?0至多有一個實根.3 討論個數(shù)
1.作圖: 研究方程lnx?kx的根的個數(shù).八近似計算 函數(shù)值
微分: f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x
第二篇：第二章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)
一、導(dǎo)數(shù)與微分概念
1．導(dǎo)數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)y?f?x?在點x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在x0處有增量?x，相應(yīng)地函數(shù)增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果極限
limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，存在，則稱此極限值為函數(shù)f?x?在x0處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作f??x0?，或y?x?x0df?x?dy，等，并稱函數(shù)y?f?x?在點x0處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，x?xx?xdxdx00則稱函數(shù)y?f?x?在點x0處不可導(dǎo)。
導(dǎo)數(shù)定義的另一等價形式，令x?x0??x，?x?x?x0，則f??x0??limx?x0f?x??f?x0?
x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x
我們也引進單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。
右導(dǎo)數(shù)：f???x0??lim?x?x0
左導(dǎo)數(shù)：f???x0??lim?x?x0
則有
f?x?在點x0處可導(dǎo)?f?x?在點x0處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義
如果函數(shù)y?f?x?在點x0處導(dǎo)數(shù)f??x0?存在，則在幾何上f??x0?表示曲線y?f?x?在點?x0,f?x0??處的切線的斜率。
切線方程：y?f?x0??f??x0??x?x0?
法線方程：y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0? f??x0?
設(shè)物體作直線運動時路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系為S?f?t?，如果f??t0?存在，則f??t0?表示物體在時刻t0時的瞬時速度。
3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系
如果函數(shù)y?f?x?在點x0處可導(dǎo)，則f?x?在點x0處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)y?f?x?在點x0處連續(xù)，卻不一定在點x0處可導(dǎo)。例如，y?f?x??x，在x0?0處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。
4．微分的定義
設(shè)函數(shù)y?f?x?在點x0處有增量?x時，如果函數(shù)的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表達式
?y?A?x0??x?o??x?
??x?0?
其中A?x0?為?x為無關(guān)，o??x?是?x?0時比?x高階的無窮小，則稱f?x?在x0處可微，并把?y中的主要線性部分A?x0??x稱為f?x?在x0處的微分，記以dy或
x?x0df?x?x?x0。
我們定義自變量的微分dx就是?x。
5．微分的幾何意義
?y?f?x0??x??f?x0?是曲線y?f?x?在點x0處相應(yīng)于自變量增量?x的縱坐標(biāo)f?x0?的增量，微分dy增量（見圖）。x?x0是曲線y?f?x?在點M0?x0,f?x0??處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系
f?x?在x0處可微?f?x?在x0處可導(dǎo)。
且dyx?x0?A?x0??x?f??x0?dx
一般地，y?f?x?則dy?f??x?dx
所以導(dǎo)數(shù)f??x??dy也稱為微商，就是微分之商的含義。dx
7．高階導(dǎo)數(shù)的概念
如果函數(shù)y?f?x?的導(dǎo)數(shù)y??f??x?在點x0處仍是可導(dǎo)的，則把y??f??x?在點x0處
d2y的導(dǎo)數(shù)稱為y?f?x?在點x0處的二階導(dǎo)數(shù)，記以y??，或f???x0?，或等，x?x0dx2x?x0也稱f?x?在點x0處二階可導(dǎo)。
如果y?f?x?的n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為y?f?x?的n階導(dǎo)數(shù)，記以y?n?，dnyy?x?，n等，這時也稱y?f?x?是n階可導(dǎo)。
dx?n?
二、導(dǎo)數(shù)與微分計算
1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略）
2．導(dǎo)數(shù)與微分的運算法則
（1）四則運算求導(dǎo)和微分公式
[f1f2]?f1f2?f1f2
[f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3 '''''''f'f'g?fg'
()? 2gg
（2）反函數(shù)求導(dǎo)公式
設(shè)y?f(x)的反函數(shù)為x?g(y)，則g(y)?
（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式
設(shè)y?f(u),u?g(x)，則
（4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則
每一次對x求導(dǎo)，把y看作中間變量，然后解出y
例：ex?y''11? ''f(x)f[g(y)]dydydu??f'[g(x)]g'(x)dxdudx?sin(3x?2y)?5x?6y?7，確定y?y(x)，求y'
解：兩邊每一項對x求導(dǎo)，把y看作中間變量
ex?y(1?y')?[cos(3x?2y)](3?2y')?5?6y'?0
'
然后把y解出來
（5）對數(shù)求導(dǎo)法
取對數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則
y?
lny?
求導(dǎo)得
(x?1)(x?2)
(x?3)(x?4)1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)] 2y'11111?(???)y2x?1x?2x?3x?4
解出y'
y?xxx?0
xlnx
y?e 解出y'
lny?xlnx
y'?lnx?1解出y' y
（6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式
dydydt?'(t)設(shè)x??(t),y??(t),則??dxdx?'(t)dt
(?'(t)?0)
第三篇：微分幾何期中考試
2009—2010年微分幾何期中考試試題
一、判斷題（10分）
1.在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一。()
2.空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀。()
3.保角變換一定是等距變換。()
4.撓率是空間曲線的副法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。（）
5.空間曲線穿過密切平面和從切平面,不穿過法平面。()
二、計算與證明題：
1．已知圓柱螺線的參數(shù)方程
(C):r={acost,asint,bt},t R
（1）求曲線C上任一點M的基本向量a,b,g。
（2）求曲線C上任一點M及A(a,0,0)點的切線和法平面及密切平面的一般方程。
（3）求曲線C的主法線曲面的參數(shù)方程和一般方程。
2．已知空間曲線(Viniani曲線)：
222ì?x+y+z=1(C):?í22???x+y=x
求曲線C在(0,0,1)點的曲率。
3．
第四篇：第四版微分幾何期末復(fù)習(xí)總結(jié)
1.求I弧長和交角.(1)I?du2?sinh2udv2,求u=v的弧長.解：u=v?I?du2?sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,設(shè)曲線u=v上兩點A(u1),B(u2)?u1
1212?切線R-r0=?r1(0);主法線R-r0=?（?r01??r0?r0）?;副法線?R-r0?=?(r0?r0).dx2dx)?b]/[()2?1]dydy
第五篇：有關(guān)微分與積分章節(jié)知識點的總結(jié)
有關(guān)微分與積分章節(jié)知識點的總結(jié)
姜維謙PB0820706
3一元函數(shù)的積分
一．求不定積分
1.積分基本公式
2.換元積分法
湊微分法∫f(u(x))u’(x)dx=∫f(u(x))du(x)=F(u(x))+C
第二換元法∫f(x)dx=∫f(u(t))u’(t)dt=F(u-1(x))+C
注意：x=u(t)應(yīng)單調(diào)（可以反解）—不單調(diào)時應(yīng)分類討論(e:g開方去絕對值時)
3.分部積分法
∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)
適用于解異名函數(shù)“反對冪三指”（與dx結(jié)合性遞增）
應(yīng)用：解二元方程，遞推式
e.g:①In=∫(lnx)n(次方)dx,n>=
1②In=∫dx/(x2+a2)^n(次方)，n>=1
4.模式函數(shù)：有理函數(shù)類
⑴整形分式—部分分式法（通解）
∫P(x)/Q(x)dx——分離常數(shù)得既約真分式與多項式——Q(x)因式分解化為部分分式和 ——待定系數(shù)后比較系數(shù)（還可以結(jié)合賦值，求導(dǎo)數(shù)，取極限等）
——化為Ik=∫dx/(x-a)^k(次方)類與Jk=∫(Bx+C)/(x2+bx+c)^k(次方)dx類積分 ⑵三角有理式
㈠萬能代換（通解）
㈡特殊代換R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx)
R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx)
R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)
⑶可有理化的無理式
㈠三角換元
㈡代數(shù)換元∫R(x,(ax+b)/(cx+d)^1/m(次方))
∫R(x,(ax2+bx+c)^1/2(次方))——Euler代換消除平方項
注：三角有理式，可有理化的無理式均可以通過代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準有理函數(shù)形式后積分，但通解過程均較繁瑣。故而在求解有理函數(shù)類積分時應(yīng)適當(dāng)考慮湊配，變形等技巧并 利用上述1.2.3.常用方法簡化運算詳見書P103
一．求定積分
1.N-L公式（形式直接易求）∫
在[a,b]上連續(xù)，x在[a,b]上)(積分形式的微積分基本定理)
~微分形式：F(x)=是f(t)的一個原函數(shù) 2.Riemann積分
步驟：分割——求和近似——取極限
~求極限（T
(注意x對應(yīng)的上下限)
3.換元法
’(t)dt
注：①只需注意上下限的變化（不同積分變元）
②變量代換思路：被積函數(shù)，積分上下限，無窮積分與常義積分的轉(zhuǎn)化
③觀察利用被積函數(shù)在積分區(qū)間上的對稱關(guān)系
&
e.g:Im=次方)dx=次方)dx
5.∞)
Cauchy
主值V.P.lim∫
V.P.lim∫∫
廣義積分也可以用上述1.3.4.解法求解
注：求定積分時應(yīng)結(jié)合分項積分與分段積分
二．積分的性質(zhì)運用
1.單調(diào)性2.有界性3.積分絕對值三角不等式（Riemann和理解）
——用于放縮為“易積分形式”如常值積分
4.區(qū)間加合性 5.積分中值6.定理4.1.11
——有關(guān)積分不等式的證明
結(jié)合微分中值定理
結(jié)合Rolle定理
7．線性8.對稱性
F＇(x)=(=f(x)）’=f(Ψ(x))φ’(x)-f(φ(x))φ’(x)
---積分式求導(dǎo)—注意區(qū)分各步的積分與微分變元
~1.研究函數(shù)極值、拐點、單調(diào)性
2.結(jié)合R’H法則求極限
3．Rolle定理
五．定積分的應(yīng)用舉例（詳見書）
一元函數(shù)的微分
一．導(dǎo)數(shù)的求解
1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義
F’(x0)=lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)
~間斷點可導(dǎo)性判斷：比較limf’(x0)（x->x0）與lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)
2.復(fù)合函數(shù)
（f-1(y0)）’=1/f’(x0)(f(x)=f-1(y))
3.高階導(dǎo)數(shù)
㈠Leibniz定理（uv）^(n)(n階導(dǎo)數(shù))=Σ
㈡化積商形式為和差形式
e.g:y=Pn(x)
y=㏑(ax+b)&(c/(ax+b))^(n)
sinx^(n)=sin(x+nπ/2)
~求遞推關(guān)系
三．重要定理的運用
Rolle——證明ε存在性的等式（微分式的轉(zhuǎn)化）
注意①輔助函數(shù)的構(gòu)造
②f(a)=f(b)形式
Lagrange中值——證明不等式
求未定式極限
求函數(shù)導(dǎo)數(shù)
~研究函數(shù)性質(zhì)——單調(diào)性—不等式證明
求極?。ù螅┲怠⒆钪?/p>
凹凸性判斷㈠定義㈡f’’(x)
漸近線求法①垂直漸近線②非垂直漸近線
Cauchy中值——證明不等式
求未定式極限
L’H法則注：①l可以無窮大，x0任意
②適用于0/0、∞/∞型，其他形式未定式應(yīng)做適當(dāng)轉(zhuǎn)化
Taylor公式——等價無窮小量
有關(guān)ε的恒等式證明
四．求未定式極限
㈠R’H法則（僅適用于未定式）
㈡中值定理
㈢重要極限~冪指函數(shù)的轉(zhuǎn)化
㈣等價無窮小量（因子替換）
㈤Taylor展開---統(tǒng)一形式
注：各種極限求法各有其使用范圍，在具體求解過程中還應(yīng)考慮比較優(yōu)化、綜合運用
結(jié)語：由于個人對知識的理解有限，所以只能在知識點方面作出一點總結(jié)，而無法就某個方面作深入的探討。另外，鑒于本人對Word中數(shù)學(xué)語言表述的能力更加有限，在一些語言和
知識點上無法詳細闡明，并且版面質(zhì)量較差，敬請見諒姜維謙（PB08207063）
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