第一篇：微分中值定理的證明題

微分中值定理的證明題

1.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：???R，???(a,b)使得：f?(?)??f(?)?0。

證：構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)e?x，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（a,b)，使F?(?)?0 且F(a)?F(b)?0，由羅爾中值定理知：??? 即：[f?(?)??f(?)]e???0，而e???0，故f?(?)??f(?)?0。

2.設(shè)a,b?0，證明：???(a,b)，使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 證：將上等式變形得：e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作輔助函數(shù)f(x)?xe，則f(x)在[,]上連續(xù)，在(,)內(nèi)可導(dǎo)，baba 由拉格朗日定理得：

11f()?f()ba?f?(1)1?(1,1)，11ba???ba11b1a1e?e1a?(1?)e?

1?(1,1)，即 b11ba???ba

即：

aeb?bea?(1??)e?(a?b)

??(a,b)。

3.設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)?0，有F(x)?x2f(x)證明：在(0,1)

內(nèi)至少存在一點?，使得：F??(?)?0。

證：顯然F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)?F(1)?0，故由羅爾定理知：?x0?(0,1)，使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x)，故F?(0)?0，于是F?(x)在[0，x0]上滿足羅爾定理條件，故存在??(0,x0)，使得：F??(?)?0，而??(0,x0)?(0,1)，即證 4.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)?0，f(1)?1.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在?，使得f(?)?1??．

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個不同的點?，?使得f/(?)f/(?)?1

【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】（I）

令F(x)?f(x)?1?x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.（II）在[0,?]和[?,1]上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個不同的點??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?于是，由問題（1）的結(jié)論有

f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1.?1???1??f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?

??01??5.設(shè)f(x)在[0，2a]上連續(xù)，f(0)?f(2a)，證明在[0,a]上存在?使得

f(a??)?f(?).【分析】f(x)在[0,2a]上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到

f(a??)?f(?)?f(a??)?f(?)?0?f(a?x)?f(x)?0

【證明】令G(x)?f(a?x)?f(x)，x?[0,a]．G(x)在[0,a]上連續(xù)，且

G(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)

G(0)?f(a)?f(0)

當(dāng)f(a)?f(0)時，取??0，即有f(a??)?f(?)；

當(dāng)f(a)?f(0)時，G(0)G(a)?0，由根的存在性定理知存在??(0,a)使得，G(?)?0，即f(a??)?f(?)．

6.若f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且當(dāng)x?[0,1]時有0?f(x)?1，且f?(x)?1，證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個點?使得f(?)?? 證明：存在性

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)?f(x)?x

則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且有F(0)?f(0)?0?0，F(xiàn)(1)?f(1)?1?0，?由零點定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點?，使得F(?)?0，即：f(?)??

唯一性：（反證法）

假設(shè)有兩個點?1,?2?(0,1)，且?1??2，使得F(?1)?F(?2)?0

F(x)在[0,1]上連續(xù)且可導(dǎo)，且[?1,?2]?[0,1] ?

?F(x)在[?1,?2]上滿足Rolle定理條件

?必存在一點??(?1,?2)，使得：F?(?)?f?(?)?1?0

即：f?(?)?1，這與已知中f?(x)?1矛盾

?假設(shè)不成立，即：F(x)?f(x)?x在(0,1)內(nèi)僅有一個根，綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個點?，使得f(?)??

17.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，f()=1。試

2(x)=1。證至少存在一個??(0，1)，使f￠分析：f'(?)=1?f'(x)=1?f(x)=x?f(x)?x=0 令 F(x)= f(x)?x 證明： 令 F(x)= f(x)?x

F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)= f(1)?1??1?0(?f(1)?0)F(11111)= f()???0(?f()?1)222221由介值定理可知，?一個??(，1)，使 F(?)=0 又 F(0)=f(0)?0=0 對F(x)在[0，1]上用Rolle定理，?一個??(0，?)?(0，1)使

F'(?)=0 即 f'(?)=1 8.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)試證存在?和?.滿足0?????1，使f?(?)?f?(?)?0。

證 由拉格朗日中值定理知，1f()?f(0)12?f?(?)??(0,)

12?021f(1)?f()12?f?(?)??(,1)

121?211f()?f(0)f(1)?f()2?0 f?(?)?f?(?)?2?11229.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b),f(a)?f(b), 證明: ??,??(a,b)使得 f?(?)?a?bf?(?).(1)2?證:(用(b?a)乘于(1)式兩端,知)(1)式等價于

f?(?)f?(?)2(b?a)?(b?a2).(2)12?

為證此式,只要取F(x)?f(x),取G(x)?x和x在[a,b]上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知

2f?(?)f?(?)2?(b?a)?(b?a2), f(b)?f(a)?12?其中?,??(a,b).10.已知函數(shù)f(x)在[0 ,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，證明存在?,??(a,b)，使3?2f/(?)?(a2?ab?b2)f/(?)

f/(?)f(b)?f(a)解：利用柯西中值定理 ?2333?b?a而f(b)?f(a)?f/(?)(b?a)

則

f/(?)f(b)?f(a)f/(?)(b?a)f/(?)（后面略）???22333323?b?ab?aa?ab?b/11.設(shè)f(x)在x?a時連續(xù)，f(a)?0，當(dāng)x?a時，f(x)?k?0，則在(a,a?f(a))k內(nèi)f(x)?0有唯一的實根

/解：因為f(x)?k?0，則f(x)在(a,a?f(a))上單調(diào)增加 kf(a)f(a)f/(?)/f(a?)?f(a)?f(?)?f(a)[1?]?0（中值定理）

kkk而f(a)?0故在(a,a?f(a))內(nèi)f(x)?0有唯一的實根 k1?2t?0?tsin12.試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)f(t)??在[0,x]上應(yīng)用拉t?t?0?0格朗日中值定理得：

1x2sin?0f(x)?f(0)111x??xsin?f??(?)?2si?nc(0s???x)

ox?0x?0x??

即：cos1??2?sin1??xsin1)

(0???x

x1xsin? lim?x?0??0，il2?nsi?0

因0???x，故當(dāng)x?0時，由m??0?1?0 x

得：lim?cosx?0

1??0，即limcos???01??0

解：我們已經(jīng)知道，lim?cos??01??0不存在，故以上推理過程錯誤。

首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的?是個中值點，是由f和區(qū)間[0,x]的

端點而定的，具體地說，?與x有關(guān)系，是依賴于x的，當(dāng)x?0時，?不 一定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使limcos?x?01??0成

立，而lim?cos??01??0中要求?是連續(xù)地趨于零。故由limcos?x?01??0推不出

??0lim?cos1??0

13.證明：?0?x??2成立x?tgx?x。cos2x

證明：作輔助函數(shù)f(x)?tgx，則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理知：

f(x)?f(0)tgx1??(0,x)??f?(?)?x?0xcos2?即：tgx??1?x(0,)(0,)，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即： cos20cos2?cos2xcos2?cos2x內(nèi)單調(diào)遞增，故

即：x?tgx?1。cos2x

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間[a,b]，然后驗證條件，利用定理得

??f?()(?b?a?(a,b)

f(b)?f(a)，再根據(jù)f?(x)在(a,b)內(nèi)符號或單調(diào)

證明不等式。?14.證明：當(dāng)0?x?時，sinx?tgx?2x。

證明：作輔助函數(shù)?(x)?sinx?tgx?2x

則??(x)?cosx?sec2x?2

1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)

2?

?(cosx??0

12)cosx??

故?(x)在(0,)上單調(diào)遞減，又因?(0)?0，?(x)在(0,)上連續(xù)，22

故 ?(x)??(0)=0，即：sinx?tgx?2x?0，即：sinx?tgx?2x。

注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當(dāng)x?I時f(x)?g(x)，常用輔助函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，則將問題轉(zhuǎn)化證?(x)?0，然后在I上

討論?(x)的單調(diào)性，進(jìn)而完成證明。

15.證明：若f(x)二階可導(dǎo)，且f??(x)?0，f(0)?0，則F(x)?,內(nèi)單調(diào)遞增。)

(0??

f(x)在 x證明：因F?(x)?xf?(x)?f(x)，要證F(x)單調(diào)遞增，只需證F?(x)?0，2x

即證xf?(x)?f(x)?0。

設(shè)G(x)?xf?(x)?f(x)，則G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x)，因為

f??(x)?0，x?0，故G(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，而G(0)?0f?(x)?0?0，因此G(x)?G(0)，即：xf?(x)?f(x)?0，即：F?(x)?0，即F(x)當(dāng)x?0時單調(diào)遞增。

第二篇：有關(guān)中值定理的證明題

中值定理證明題集錦

1、已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，試證：在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少x存在一點?，使得f??(?)?0.證：由limf(x)，由此又得?0?0，可得limf(x)?0，由連續(xù)性得f(0)x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)f?(0)?lim?lim?0，由f(0)?f(1)?0及題設(shè)條件知f(x)在[0,1]x?0x?0x?0x上滿足羅爾中值定理條件，因此至少存在一點 c?(0,1)，使得f?(c)?0，又因為f?(0)?f?(c)?0，并由題設(shè)條件知f?(x)在[0,c]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點?，使得f??(?)?0.2、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.證：分析：要證結(jié)論即為：[xf(x)]?x???0.令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)?F(a)?0，因此故存在一點??(0,a)，使得F?(?)?0，F(xiàn)(x)?xf(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，即f(?)??f?(?)?0.注1：此題可改為：

設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得

nf(?)??f?(?)?0.)?nf??(?)（0給分析：要證結(jié)論nf(??)??f(??)等價于n?n?1f(??nn?1n，而n?f(?)??f?(?)?0即為[xf(x)]?x???0.nf(??)??f(??)兩端同乘以?n?1）故令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結(jié)論.注2：此題與下面例題情況亦類似：

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，?x?(0,1)，有f(x)?0，證：n?n?N?，???(0,1)，使得

nf?(?)f?(1??)?成立.f(?)f(1??)分析：要證結(jié)論可變形為nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0，它等價于nfn?1(?)f?(?)f(1??)?fn(?)f?(1??)?0(給nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0兩端同乘以fn?1(?))，而nfn?1(?f)??f(??)?(fn1?f?)???(即)為(1)0[fn(x)?f?x??1?(x，用羅爾中值定理)]0.以上三題是同類型題.3、已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?0，f()?1，證明：（1）存在一點??(,1)，使f(?)??.（2）存在一點??(0,?)，使f?(?)?1.（3）存在一點x0?(0,?)，使f?(x0)?1??(f(x0)?x0).證：（1）分析：要證結(jié)論即為：f(?)???0.12121211111顯然F(x)在[,1]上連續(xù)，且F()?f()???0，F(xiàn)(1)?f(1)?1??1?0，2222211因此F(x)在[,1]上滿足零點定理的條件，由零點定理知，存在??(,1)，使F(?)?0，22令F(x)?f(x)?x，則只需證明F(x)在(,1)內(nèi)有零點即可。即f(?)??.（2）又因為F(0)?f(0)?0?0，由(1)知F(?)?0，因此F(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，故存在一點??(0,?)，使F?(?)?0，即f?(?)?1?0，即f?(?)?1.（3）分析：結(jié)論f?(x0)?1??(f(x0)?x0)即就是F?(x0)??F(x0)或F?(x0)??F(x0)?0，F(xiàn)?(x0)??F(x0)?0?e??x0[F?(x0)??F(x0)]?0，即[e??xF(x)]?x?x0?0.故令G(x)?e??xF(x)，則由題設(shè)條件知，G(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且G(0)?e0F(0)?0，G(?)?e???F(?)?0,則G(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，命題得證.4、設(shè)f(x)在[0,x]上可導(dǎo)，且f(0)?0，試證：至少存在一點??(0,x)，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f(x)?f(0)?(1??)[ln(1?x)?ln1]f?(?),也就是f(x)?f(0)f?(?)，因此只需對函數(shù)f(t)和ln(1?t)在區(qū)間[0,x]上應(yīng)用柯西中值定理?1ln(1?x)?ln11??即可.5、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，且g(x)?0，證明：至少存在一點??(a,b)，使得f?(?)g(?)?f(?)g?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0,等價于

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0，2g(?)即就是[即可.f(x)f(x)在區(qū)間[a,b]上應(yīng)用羅爾中值定理]?x???0，因此只需驗證函數(shù)F(x)?g(x)g(x)

6、設(shè)f(x)在[x1,x2]上可導(dǎo)，且0?x1?x2，試證：至少存在一點??(x1,x2)，使得x1f(x2)?x2f(x1)???f?(?)?f(?).x1?x2f(x2)f(x1)f(x)?()?x??x2x1x證：分析：要證結(jié)論即為： ,因此只需對函???f?(?)?f(?)?111?()?x??x2x1x數(shù)f(x)1和在區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用柯西中值定理即可.xx此題亦可改為：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若0?a?b，試證：至少存在一點??(a,b)，使得af(b)?bf(a)?[f(?)??f?(?)](a?b).7、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，試證：（1）???(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0；（2）???(a,b)，使得?f(?)?f?(?)?0.證:（1）令F(x)?xf(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.（2）分析：?f(?)?f?(?)?0?e[?f(?)?f?(?)]?0?[e?22x22f(x)]?x???0，因此令F(x)?ex22f(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.8、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?1，試證：??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.[exf(x)]?x??e?[f(?)?f?(?)]證：分析：要證結(jié)論即為?1，即就是?1.?xe(e)?x??令F(x)?ef(x)，令G(x)?e，則F(x)和G(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)?eaf(a)eb?ea?，即就是e[f(?)?f?(?)]?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?aeb?eaeb?ea?，即就是e?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?ae?[f(?)?f?(?)]因此，有?1，即就是e???[f(?)?f?(?)]?1.?e9、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，試證：???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?0.證：分析：要證結(jié)論即為[f(x)?g(x)]??x??令F(x)?f(x)?g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的同一點處取得相同的最大值，不妨設(shè)都在c點處取得最大值，則F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，則F(x)分別在[a,c]、[c,b]上滿足羅爾中值定理條件，故??1?(a,c)，??2?(c,b)使得F?(?1)?0，F(xiàn)?(?2)?0.由題設(shè)又知，F(xiàn)?(x)在[?1,?2]上滿足洛爾定理條件，故存在???(?1,?2)，使得F??(?)?0，即就是f??(?)?g??(?)].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的不同的點處取得相同的最大值，不妨設(shè)f(x)在p點處、g(x)在q點處取得最大值，且p?q，則F(p)?f(p?)g(?p)，F(xiàn)(q)?f(q)?g(q)?0，由零點定理知，?c?(p,q)?(0,1)，使得F(c)?0，由此得 F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，后面證明與（1）相同.10、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)?0，若極限lim?x?af(2x?a)存在，x?a試證：（1）存在一點??(a,b)，使得

b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)22?b（2）在(a,b)內(nèi)存在異于?的點?，使得f?(?)(b?a)?f(x)dx.；

??a?a證：（1）令F(x)??xaf(t)dt，G(x)?x2，則F(x)、G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理

b2?a2ba條件，故存在一點??(a,b)，使得

?b2?a2af(t)dt??f(t)dta?2?成立，即就是f(?)?bab2?22成立，即就是2??f(x)dx?(b?a)f(?)成立.?af(x)dxf(?)（2）由（1）知，2??ba22因此要證f?(?)(b?a)?f(x)dx?(b2?a2)f(?)，2?bf(x)dx.，?a??a即要證f?(?)(b?a)?221??a(b2?a2)f?(，)即要證f?(?)(??a)?f(?，)由已知

x?alim?f(2x?a)f(2x?a)?0，可得，lim從而得f(a)?0，因此要證f?(?)(??a)?f(?)，x?a?x?a即要證f?(?)(??a)?f(?)?f(a)，顯然只需驗證f(x)在[a,?]上滿足拉格朗日中值定理條件即可。

第三篇：2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

在考研數(shù)學(xué)中，有關(guān)中值定理的證明題型是一個重要考點，也是一個讓很多同學(xué)感到比較困惑的考點，不少同學(xué)在讀完題目后不知從何下手，不會分析證明，找不到思路，之所以會出現(xiàn)這樣的情況，主要是因為這些同學(xué)對中值定理證明題型的特點缺乏清晰的認(rèn)識，對其分析和證明方法沒有完全理解和掌握，為了協(xié)助這樣的同學(xué)克服這方面的困難，下面本文對這類題的特點和證明方法做些分析總結(jié)，供各位考生參考。

一、中值定理證明題的特點

中值定理證明題主要有以下一些特點：

1.中值定理證明題常常需要作輔助函數(shù)；

2.中值定理證明題經(jīng)常在一個題中需要結(jié)合運用三個知識點，分別是：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（包括最大值和最小值定理、零點定理和介質(zhì)定理），微分中值定理和積分中值定理；

3.中值定理證明題可能需要在一個問題的證明中反復(fù)運用同一個微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；

4.從歷年考研數(shù)學(xué)真題變化規(guī)律來看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。

二、中值定理證明題的常用方法

中值定理證明題有不同的類型，對不同的類型需要運用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：

1.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)值的等式，而函數(shù)是連續(xù)的，則可能需要運用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)進(jìn)行證明；對導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的情況也可以對導(dǎo)函數(shù)運用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

2.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于定積分的等式，則可能需要運用積分中值定理；

3.對于以下這類問題一般使用羅爾中值定理進(jìn)行證明：

6、如果是要證明兩函數(shù)差值比的中值等式，或證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進(jìn)行證明。

對于上面總結(jié)介紹的各種證明方法，在實際問題中要根據(jù)具體情況靈活運用，另外，對于需要作輔助函數(shù)的證明題，常常通過還原法分析找出需要的輔助函數(shù)，對于含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數(shù)作為輔助函數(shù)，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結(jié)希望對大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最后預(yù)祝各位考研成功、金榜題名！

第四篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點的弦是水平的，則曲線上至少有一點的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準(zhǔn)確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當(dāng)?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

//

?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關(guān)）。其中當(dāng)x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

有

Cauchy

余

項的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

?gkx0n!gn?1?k

?x?x0?g?x??? ?

k！k?0?

n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5?。?1

????

2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx?1???????1???x????1???x2n

2n2k2！4！！k?0

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xx2xnk?1xn

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1！2！n！k！k?0x

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??

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ln?1?x??x???????1???x????1???xn

23nkk?1

??

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?

n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

?1??x?x???x???x??1??C?x???xn?2！n！k?1

⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

k?1

x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

x2kn?1cos?x

cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

2k2n?2！k?0

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xke?x

e???xn?1,?0???1?

！k?0k！n?1x

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???1?,?x?1,0???1?n?1kn?11??x

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n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數(shù)方法求極限時還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。

第五篇：微分中值定理的證明與應(yīng)用分析

本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）

題

目

微分中值定理的證明與應(yīng)用分析

姓

名

馬華龍

學(xué)號

2009145154

院

系

電氣與自動化學(xué)院

專

業(yè)

測控與儀器技術(shù)

指導(dǎo)教師

魏春玲

職稱

教授

2012 年 5月 20日 曲阜師范大學(xué)教務(wù)處制

目錄

摘要............................................................................................................................................1 Abstract.......................................................................................................................................1 1 引言........................................................................................................................................1 2 微分中值定理及其相關(guān)概念.............................................................................................1 3 微分中值定理的證明方法....................................................................................................2 3.1 費馬定理............................................................................................................................2 3.2 羅爾定理............................................................................................................................3 3.3 柯西中值定理....................................................................................................................4 4 定理的推廣............................................................................................................................5 5 定理的應(yīng)用............................................................................................................................6 5.1 利用微分中值定理證明等式與恒等式............................................................................6 5.2 利用微分中值定理證明不等式........................................................................................7 5.3 討論根的存在性................................................................................................................8 6 總結(jié)........................................................................................................................................9 致謝..........................................................................................................................................10 參考文獻(xiàn)..................................................................................................................................10

微分中值定理的證明與應(yīng)用分析

測控與儀器專業(yè)學(xué)生 馬華龍

指導(dǎo)教師

魏春玲

摘要：本文首先介紹了微分中值定理的基本內(nèi)容極其幾何意義然后又分別介紹了三個微分中值定理，最后有介紹了中值定理的推廣和應(yīng)用。詳細(xì)介紹了中值定理在證明等式和不等式以及性態(tài)等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：微分中值定理 推廣 應(yīng)用

Differential Mean Value Theorem Proof and Application Analysis Student majoring in Measurement and control technology and instrument

Ma Hualong

Tutor

Wei Chunling

Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem.The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言

在數(shù)學(xué)研究與分析中，微分學(xué)占有極其重要的地位，它是組成數(shù)學(xué)分析的重要部分。而通過對微分學(xué)整體的學(xué)習(xí)，我們可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是構(gòu)成微分學(xué)的主要組成部分。因此學(xué)好微分中值定理，對我們以后的繼續(xù)在數(shù)學(xué)方面的研究是非常重要的。

人們對微分中值定理的研究從微積分的建立之始就開始了，微分中值定理分為：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出現(xiàn)的過程聚集了眾多數(shù)學(xué)家的研究成果。而且從費馬引理到柯西中值定理使微積分不斷發(fā)展，理論知識也不段的豐富和完善，是自從引進(jìn)微積分來數(shù)學(xué)研究的重要工具之一，并且中值定理的應(yīng)用也越來越廣泛。本文將首先討論微分中值定理的證明，然后討論它的應(yīng)用，并且主要是討論微分中值定理在證明等式、不等式、函數(shù)為常數(shù)、函數(shù)的性態(tài)等方面的應(yīng)用。微分中值定理及其相關(guān)概念

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，其中最重要的內(nèi)容是拉格朗日中值定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或者推廣。也可以說微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在內(nèi)的定理的總稱，而中值定理的證明會用到以下的概念。

limf(x)?limg(x)x?x0x?x0極限的局部保號性： 若，則存在Δ≥0，任意x?(x0??,x0??)，使得f(x)?g(x)。

函數(shù)的單調(diào)性： 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)，當(dāng)x1?x2時，有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)單調(diào)遞增。當(dāng)x1?x2時，有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)單調(diào)遞減。

凹凸性： 若函數(shù)曲線位于其每一點處切線的上方(下方),則稱函數(shù)曲線時下凸(上

'y?f(x)f凸)的,或稱函數(shù)向下凸(上凸).而若的一階導(dǎo)數(shù)(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(或遞減),則稱f(x)在(a,b)是向上凹(下凹)的,或稱函數(shù)曲線向上凹(下凹).最值：設(shè)f(x)在I上有定義,若存在x0?I使任意x?I，f(x0)?f(x)（f(x0)?f(x)），則稱f(x0)為f(x)的最小值（最大值）。x0為最小值點（最大值點）。

極值：設(shè)f(x)在任意x?I上有定義，若存在x0?I,??0,任意x?(x0??,x0??)都有f(x)?f(x0)（f(x0)?f(x)），則稱f(x0)為f(x)的一個極小值（極大值），x0成為極小值點（極大值點）。

除此之外，我們還應(yīng)該看到羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的聯(lián)系。這三個定力的關(guān)系：層層遞進(jìn)，步步深入，前者是后者的特殊情況，后者是前者的推廣。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，然后用羅爾定理加以證明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而羅爾定理有是拉格朗日中值定理的直接推論。微分中值定理的證明方法

3.1 費馬定理

費馬引理是是實分析中的一個定理，以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明函數(shù)的每一個極值都是駐點（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點為零），該定理給出了一個求出可微函數(shù)的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函數(shù)的極值的問題便化為解方程的問題。需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函數(shù)在某個點為極值的必要條件。也就是說，有些駐點不是極值，它們是拐點。要想知道一個駐點是不是極值，并進(jìn)一步區(qū)分最大值和最小值，我們需要分析二階導(dǎo)數(shù)（如果它存在）。當(dāng)該點的二階導(dǎo)數(shù)大于零時，該點為極小值點；當(dāng)該點的二階導(dǎo)數(shù)小于零時，該點為極大值點。若二階導(dǎo)數(shù)為零，則無法用該法判斷，需列表判斷。

xx費馬引理的內(nèi)容：函數(shù)f(x)在點0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并且在0處可導(dǎo)，如

'x?U(x)f(x)?f(x)f(x)?f(x)f(x0)=0。0，都有0或者0，那么果對于任意的費馬定理的幾何意義:若將函數(shù)f(x)的曲線置于平面直角坐標(biāo)系XOY,則費馬定

x(x,f(x0))理具有幾何意義:對曲線y?f(x)上,若有一點0存在切線,且0為f(x)極值點.則這一點處的切線平行于x軸.證明方法：x0x為f(x)的極值點.不妨設(shè)0為極小值點,則

???0,?x?(x0??,x0??),有f(x0)?f(x).f(x)?f(x0)?0x?x0x?x0若,則;f(x)?f(x0)?0x?x0x?x0若,則;取極限:x?x0lim?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)lim-x?xx?x0x?x0與0分別為T、S

limf(x)?f(x0)x?x0.x?x0x由于f(x)在0處可導(dǎo),則T=S=由極限的局部保號性有:T?0, S?0.故 T=S=0.f(x)?f(x0)lim?0x?x0f?(x0)?0 x?x0所以有 即3.2 羅爾定理

若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)，則至少存在一點???a,b?使f?(?)?0。

羅爾定理的幾何意義：羅爾定理的三個已知條件的意義：

⒈f(x)在?a,b?上連續(xù)表明曲線連同端點在內(nèi)是無縫隙的曲線；

⒉f(x)在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)表明曲線y?f(x)在每一點處有切線存在； ⒊f(a)?f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸

'?f 羅爾定理的結(jié)論的直幾何意義是：在（a,b）內(nèi)至少能找到一點，使(?)?0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，與x軸平行。

羅爾定理的證明：根據(jù)f是閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，由極值定理得在

?a,b? 上有最大值(M)和最小值(m)。

1.如果M?m，此時f(x)在?a,b?上恒為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2.如果M?m，由條件f(a)?f(b)知，兩個數(shù)M，m中至少有一個不等于端點的函數(shù)值f(a)?f(b)，不妨設(shè)M?f(a)（如果設(shè)m?f(a)，證法完全類似），那么必定在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有一點?使f(?)?M。

'f(x)?f(?)???x?a,bf法1：因此，有，由費馬引理可知(?)?0。

法2：由于f(x)在ξ處最大，故不論?x是正或負(fù)，總有

f(???x)?f(?)?0, 因此，當(dāng)?x?0時，{f(???x)?f(?)}/?x?0，故由極限的保號性有

f?'(?)?lim?{f(???x)?f(?)}/?x?0?x?0（1）

而當(dāng)?x?0時，{f(???x)?f?)}/?x?0，故

f_'(?)?lim?{f(???x)?f(?)}/?x?0?x?0（2）

''f(?)f由(1)，(2)兩式及存在知，必有(?)?0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的內(nèi)容： 若函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù);(2)在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo);則至少存在一點??(a,b)使得

f(b)?f(a)b?a.拉格朗日定理的幾何意義:如圖所示,過A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點的直線斜率

f?(?)?f(b)?f(a)b?a,而拉格朗日定理則表明了存在于曲線上的A,B兩點某點的切線必定平行于直線AB.KAB?拉格朗日中值定理的證明：

利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù).f(b)?f(a)??F(x)?f(x)??f(a)?(x?a)?b?a??.證明 作輔助函數(shù)

f(b)?f(a)??F(x)?f(x)??f(a)?(x?a)?b?a??

顯然,F(x)在?a,b?上連續(xù), 在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),且f(a)?f(b)?0,由羅爾定理可知,存

?在一點??(a,b)使得F(?)?0 即

f(b)?f(a)b?a

??推論 設(shè)f(x)、g(x)都在區(qū)間K上可導(dǎo),且f(x)?g(x),則

f(x)?g(x)?c f?(?)?3.3 柯西中值定理

柯西中值定理的內(nèi)容： 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:(1)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù);

?(2)在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo),且g(x)?0;則至少存在一點??(a,b)使得

f?(?)f(b)?f(a)??g(?)g(b)?g(a).?柯西中值定理的證明：由定理條件可知g(b)?g(a),則存在??(a,b)使得g(x)?0,因此,只需證

?? f(?)?g(b)?g(a)??g(?)?f(b)?f(a)??0.為此,構(gòu)造函數(shù)

F(x)?f(x)?g(b)?g(a)??g(x)?f(b)?f(a)?,x??a,b? 顯然,F(x)在?a,b?上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),且F(a)?F(b)根據(jù)羅爾定理,存在??(a,b)使得

F?(?)?0f?(?)?g(b)?g(a)??g?(?)?f(b)?f(a)??0

f?(?)f(b)?f(a)?所以,g?(?)g(b)?g(a).即 定理的推廣

前面我們已經(jīng)討論了定理之間的關(guān)系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內(nèi)容

a,b?我們知道，這三個定理都要求函數(shù)f?x?在?a,b?上是連續(xù)，在?內(nèi)是可導(dǎo)。那么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間?a,b?，把它推廣到無限區(qū)間?a,???或???,???，再把開區(qū)間?a,b?推廣到無限區(qū)間?a,???或???,???的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理呢？

通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間，推廣到無限區(qū)間上可以得到幾個相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的三個，下面給出定理以及證明。

limf?x??f?a?f?x??a,???a,????x定理1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且???，則至少

f???0??a,???存在一點?，使??成立。

證明：

111x??a?1?t??t???a?1t令x?a?1，則t，即可得到關(guān)于t參數(shù)函數(shù)

t?0,1當(dāng)x??a,???時，則??

lim??t????f?x??f????t????g?t? 即??1??a，t?0，再令g?t??limf?f?x??f?a??f????t????xlim???1????g?1??limt?0t?0??? ?g?0??limg?t?t?0 ?g?0??g?1? ? g?t??0,1?0,1在上連續(xù)，在??內(nèi)可導(dǎo)，且g?0??g?1?，由Rolle定理可得到?，使g?????0成立 至少存在一點???0,1令，使f????0成立

證畢

?limf?x??limf?x???,?????,???fxx???定理2 若??在?上連續(xù)，在?內(nèi)可導(dǎo)，并且x???，至

f???0?????,???少存在一點，使??成立。

定理2的證明可以參照定理1。

limf?x??Ma,???a,???定理3 若f?x?在?上連續(xù)，在?內(nèi)可導(dǎo)，并且x???，則至少存在，有至少存在一點???a,?????????f???????????0，而

???????1?2?0.一點???a,???，使 成立。?M?f?a???f??????2???1?a?證明：設(shè)t?111x??a?1??t???a?1x?a?1，則tt，即可得到關(guān)于t參數(shù)函數(shù)

當(dāng)x??a,???時，則t??0,1? lim??t????f?x??f????t????g?t? 即??1??a，t?0，再令?limg?t??lim??t??limf?x??M t?0t?0x????g?0??limg?t??Mt?0? g?t?在?0,1?上連續(xù)，在?

0,1?內(nèi)可導(dǎo)，由Lagrange定理得

g?1??g?0?1?0成立 至少存在一點???0,1?，使

g?????即g?????f?a??M

???????1???令??????，有g(shù)????f????????，而至少存在一點???a,???，使

?M?f?a???f??????2???1?a??2?????1?a?2，成立.證畢 定理的應(yīng)用

5.1 利用微分中值定理證明等式與恒等式

在證明一些出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的等式時,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?考慮應(yīng)用微分中值定理加以證明.還有,就是我們在證明一些與中值定理有關(guān)的題目時,構(gòu)造輔助函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。在證明題中巧妙選用和構(gòu)造輔助函數(shù),進(jìn)行系統(tǒng)分析和闡述,從而證明相關(guān)結(jié)論。我們一下面一個例題來講解。

?1?f(0)?f(1)?0,f???1?2?例：設(shè)函數(shù)f(x)在[0, 1]上連續(xù)，在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且，1??(,1)2，使f(?)??；

試證(1)存在(2)對任意實數(shù)λ，必存在??(0,?)，使

得

f'(?)??[f(?)??]?1

分析(1)欲證等式可寫成 f(?)???0

1(,1)則只需設(shè)?(x)?f(x)?x在2上存在零點.(2)欲證等式可改寫成 [f'(?)?1]??[f(?)??]?0

''??x?(x)?f(x)?x,?(x)?f(x)?1F(x)?e?(x)，再對 由于，則只需取輔助函數(shù)

F(x)在[0,?]上用羅爾定理.?1?11?????0,?(1)??1?0[,1]?(x)?f(x)?x?(x)證(1)，因在2上連續(xù)，?2?2，1??(,1)2，使得 故由零點定理，存在?(?)?0,即f(?)??

(2)令F(0)= 0 ,，因F(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理，存在，使得

由于，故得

f'(?)??[f(?)??]?1

例：設(shè)0?a?b,f(x)在?a,b?連續(xù)可導(dǎo),則存在???a,b?使得

f(b)?f(a)??f?(?)ln證明 令

ba.g(x)?lnx

?則g(x)?0,且f(x),g(x)在?a,b?上連續(xù)在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)

根據(jù)柯西定理,存在???a,b?使得

f?(?)f(b)?f(a)??g(?)lnb?lna

f(b)?f(a)??f?(?)ln即,5.2 利用微分中值定理證明不等式

微分中值定理在不等式的證明中同樣起到重要的作用，因此在證明不等式的時候，可以考慮從中值定理入手，從而解決問題。首先我們給出利用中值定理證明不等式的步(1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)；驟：（2）；構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間[a,b]；（3）利用??(a,b)，'對f(?)進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖湛s。下面我們給出幾個證明不等式的例子。

ba.例1： 證明對任何正數(shù)a、b(a?b)有

b?aab?a?ln?ba.b證明 令f(x)?lnx,x??a,b?.則f(x)在?a,b?上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理,存在???a,b?使得

1lnb?lna??b?a??

111??由于???a,b?,所以b?a,即有

b?aab?a?ln?ba

b?例2：設(shè)x?0，對0???1的情況，求證x??x?1??。

分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對于該題目如果直接應(yīng)用做差或者做商的話顯然是不行的。那我們是否能通過變形是，他們可以應(yīng)用做差或是做商呢？我們來看下不等式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x?1時，等式兩邊就相等了，所以接下來排除x?1，分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的代數(shù)式比較復(fù)雜，則是否可以把

f?x??x?左邊的代數(shù)式構(gòu)造輔助函數(shù)，是題目可以運用中值定理解題呢？不妨設(shè)，F(xiàn)?x???x。利用Cauchy定理即可證明。

f?x??x?x,1??1,x??x?1x?1證明：當(dāng)時結(jié)論顯然成立，當(dāng)時，取或，在該區(qū)間設(shè)，F(xiàn)?x???x，由柯西定理得：

f?x??f?1?f????????x,1????1,x?F?x??F?1?F???? 或

x??1????1?????1?即?x??

當(dāng)x?1時，???x,1?，?x??1?1即?x??

??1?1

又?x?????x?1??0

??故x?1??x??，即x?1?1??

???1,x????1?1當(dāng)x?1時，則?x?????x?1??0

故x?1??x??，即x?1?1?? 由此，不等式得證。5.3 討論根的存在性

在證明根的存在性問題時，當(dāng)遇到滿足微分中值定理的相關(guān)條件時，就能夠從中值定理的角度來解決問題。因此我們可以說，微分中值定理可以應(yīng)用在解決根的存在性的問題上。我們從下面的例題來看中值定理在這方面的應(yīng)用。

例1：設(shè)a1,a2,?,an為任意n個實數(shù),證明函數(shù): 在(0,?)必有零點.f(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx ??? 證法 利用羅爾定理,令F(x)?f(x),只需F(x)在?0,??上滿足羅爾定理條件.證明 作輔助函數(shù)

11a2cos2x???ancosnx,x??0,??2n ,則

F?(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx?f(x)

容易驗證F(x)在?0,??上連續(xù),在(0,?)可導(dǎo),且 F(x)?a1cosx?F(?)?F(0)?0,所以存在??(0,?)使得 ? F(?)?0,即f(?)?0.所以,f(x)在(0,?)必存在零點.例2： 設(shè)ai?R且滿足a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.x2x3xn?1F(x)?a0x?a1?a2?...?an23n?1, 證明： 引進(jìn)輔助函數(shù)顯然F(0)?F(1)?0,F(x)又是多項式函數(shù)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),F(x)滿足羅爾中值定理的條件,故存在??(0,1)使

F?(?)?0 而

F?(x)?a0?a1x1?a2x2?...?anxn 故方程

a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0 在(0,1)內(nèi)至少有一個實根?.注：本題構(gòu)造F(x)的依據(jù)是使F(x)得導(dǎo)數(shù)恰好是所證方程的左邊.a0?aa1a2??...?n?023n?1,證明方程 總結(jié)

本文是研究主要是通過在大學(xué)階段對有關(guān)數(shù)學(xué)方面的知識的分析和學(xué)習(xí)得到的，并參考了一些圖書資料。從整個世界來看，人們對中值定理的研究從微積分的建立之時就開始了，至今有關(guān)微分中值定理問題的研究非?；钴S,且已有豐富的成果。本文通過與老師同學(xué)的討論，介紹了微分中值定理的主要證明方法和在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用分析，分析了費馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明方法；在應(yīng)用方面主要通過例題的形式討論研究了中值定理在證明等式、不等式、恒等式以及在討論方程根的存在性等方面的應(yīng)用。

深入研究微分中值定理,有助于加深對這些定理的理解;清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用。

致謝

完成本論文，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師魏老師的熱懷和指導(dǎo)。在我撰寫論文的過程中，魏老師傾注了大量的心血和汗水，無論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老師教誨和幫助在此表示真誠地感謝和深深的謝意。

最后，向在百忙中抽出時間對本文進(jìn)行評審并提出寶貴意見的各位專家表示感謝！參考文獻(xiàn)

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