第一篇：初二數(shù)學(xué)習(xí)題尺規(guī)作圖

初二數(shù)學(xué)習(xí)題尺規(guī)作圖 班 姓名 號

1.尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，注明結(jié)果，不寫作法

（1）作∠AOB的對稱軸

(2)作線段AB關(guān)于直線L的對應(yīng)線段A′B′

L A A

OBB

（3）已知△ABC 與△A′B′C′關(guān)于某條直線對稱，請作出這條直線

AA′

BB′B

A

CC′

（3）（4）

（4）在直線L上求一點，使它到A、B距離相等

（5）在∠AOB的內(nèi)部求一點P，使它到角的兩邊距離相等，到C、D兩點距離也相等

A

C

D

OB

（6）已知△ABC，利用“SAS” 作出△A′B′C′，使這兩個三角形全等

A

BC

L

A（7）如圖，求作一點P，使PA=PB, PC=PD.C

DB

(8)如圖A、B、C表示三個村莊，為了解決村民子女就近入學(xué)問題，計劃建一所小學(xué)，要使小學(xué)到三個村莊距離相等，請在圖中確定學(xué)校的位置（寫出作法）

A

CB

（9）要在河邊L修建一個水泵站，分別向張莊（A）、李莊（B）送水，水泵站修在河邊什么地方，可使所用的水管最短（寫出作法）

B

A

L

第二篇：淺談尺規(guī)作圖

淺談尺規(guī)作圖

所屬縣：廣西百色市凌云縣

單 位：廣西百色市凌云縣凌云中學(xué)

姓 名：唐奕清

內(nèi)容提要：尺規(guī)作圖，具有悠久的歷史淵源、豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實內(nèi)涵。但由于各種原因，尺規(guī)作圖的教學(xué)存在著許多不利因素。我們需正視困難和問題，尋找解決問題的途徑，提高尺規(guī)作圖的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖 教學(xué)意義 教學(xué)困難 提高途徑

尺規(guī)作圖，是指有限次使用無刻度的直尺和圓規(guī)來解決不同的幾何作圖問題。尺規(guī)作圖有著悠久的歷史，古希臘人最早提出了尺規(guī)作圖。后經(jīng)希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》一書中以理論形式加以明確，并被人們一直所遵守，進而流傳至今。

在我國，關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)一直有著優(yōu)良的教學(xué)傳統(tǒng)。根據(jù)張景中院士的回憶，在1978年舉行的全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)學(xué)家蘇步青就曾寫信向主持命題工作的數(shù)學(xué)大師華羅庚建議，出一道有關(guān)尺規(guī)作圖的題目作為考試試題。[1]這種重視尺規(guī)作圖的意識，進一步在《全日制九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中得到了體現(xiàn)?！稑?biāo)準(zhǔn)》中明確要求學(xué)生能完成一些基本的尺規(guī)作圖，并能根據(jù)一些基本作圖探索一些問題；對于尺規(guī)作圖的過程，要求能寫出已知、求作和作法。

尺規(guī)作圖不僅有悠久的歷史淵源，也擁有著豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實內(nèi)涵。首先，尺規(guī)作圖能夠豐富教學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力。眾所周知，尺規(guī)作圖是一種由學(xué)生實際執(zhí)行的操作，具有不可替代的直觀性，十分符合讓學(xué)生自己動手解決問題的教學(xué)理念。在實際教學(xué)中，尺規(guī)作圖是一種情境的創(chuàng)設(shè)，即要求在某種條件下，由學(xué)生自己動手解決問題。學(xué)生能作出一張符合要求的圖形，是一種具有挑戰(zhàn)性的創(chuàng)造活動，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。因此，在幾何教學(xué)中強調(diào)“觀察、操作、推理”的今天，尺規(guī)作圖理應(yīng)得到足夠的重視.[2] 其次，尺規(guī)作圖能培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣、嚴密的邏輯思維和空間想象能力。尺規(guī)作圖的一般步驟如下：①要求學(xué)生畫出草圖，假設(shè)圖形已作出；②根據(jù)圖形分析畫法；③利用尺規(guī)嚴格操作并寫出作法；④若要求證明，就給出證明；否則就寫出結(jié)論。學(xué)生嚴格按照步驟進行作圖的過程，正是一個猜想、操作、驗證的過程，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生嚴密的邏輯思維能力。[3]另外，尺規(guī)作圖能有效的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。而空間想象能力正是立體幾何教學(xué)中的重難點，它直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的效果。從二維到三維的轉(zhuǎn)變，是學(xué)生認識客觀世界，改造世界的基礎(chǔ)。尺規(guī)作圖可以使學(xué)生積累相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗，能有效的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，是立體幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。

第三，尺規(guī)作圖既能展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，又能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，具有良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)美是一種特殊的美，是美的高級形式。著名哲學(xué)家沙利文曾說過：“優(yōu)美的公式就如但丁神曲中的詩句，黎曼的幾何與鋼琴合奏曲一樣優(yōu)美?！痹谡n堂教學(xué)中，向?qū)W生展示標(biāo)準(zhǔn)圖形，能讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)美，啟發(fā)思維，深化知識的理解。學(xué)生自己動手，尺規(guī)作圖，則能提高審美認識，陶冶情操。

此外，尺規(guī)作圖有著許多規(guī)范的作圖語句，如：(l)過點X作某個平面的垂線，垂足為點X；(2)過點X作直線XX的平行線，交直線XX于點X；(3)在XX上截取XX=XX；(4)延長XX到點X，使XX=XX；(5)在線段XX上取中點X，連結(jié)XX等等。這些規(guī)范作圖語句的使用，既可以避免在考試中出現(xiàn)不必要的失分，也能培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的書面表達能力和與他人合作交流的能力。因此，我們必須重視尺規(guī)作圖的教學(xué)作用，正視有關(guān)尺規(guī)作圖的教學(xué)問題。

然而，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、推廣和工業(yè)生產(chǎn)的需要，各種各樣精密的作圖工具開始出現(xiàn)。這些工具的使用，雖然方便了人們的需要，但也使得一些人開始懷疑和輕視尺規(guī)作圖的作用。目前，這種思想已經(jīng)開始在課堂上漫延，一些教師出于各種原因，淡化了尺規(guī)作圖，甚至于在課堂上根本不尺規(guī)作圖。結(jié)合自身的教學(xué)實踐，我個人認為出現(xiàn)這種現(xiàn)象有以下幾個原因，并結(jié)合教學(xué)實際，提出一些解決問題的途徑，與大家交流，僅供大家參考。

（1）：正確認識教師的角色。

數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)以學(xué)生為本的教育理念，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，倡導(dǎo)平等交往、互動合作、共同發(fā)展的師生關(guān)系，這就要求教師能夠正確認識自身角色。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：教師不僅是課程的實施者，而且也是課程的研究、建設(shè)和資源開發(fā)的重要力量；教師不僅是知識的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。[4]在日常的教學(xué)活動中，教師必須起到引導(dǎo)者和組織者的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成尺規(guī)作圖的良好習(xí)慣，組織專門的尺規(guī)作圖教學(xué)，在教學(xué)活動的開展過程中與學(xué)生深入交流、合作，提高學(xué)生的尺規(guī)作圖水平。

（2）：高度認識尺規(guī)作圖的作用。之所以出現(xiàn)教師上課“作草圖”、學(xué)生解題“作草圖”，甚至于在考試中也“作草圖”的現(xiàn)象，對尺規(guī)作圖作用的認識不夠是根本原因。正所謂：天再高又怎樣，踮起腳尖就更接近陽光，不管出現(xiàn)多少精密、復(fù)雜的制圖儀器，尺規(guī)作圖是掌握這些儀器的基礎(chǔ)，在教學(xué)和社會實踐活動中具有不可替代的作用。所以，在當(dāng)前教材中，從小學(xué)、初中到高中數(shù)學(xué)教材，從平面作圖到立體作圖，都以專門的章節(jié)突顯了尺規(guī)作圖的特色和作用。因此，我們要高度認識到尺規(guī)作圖的作用（前文已述，此處不再贅述），才能提高廣大師生的尺規(guī)作圖水平，達到數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

（3）：不舍本逐末，將尺規(guī)作圖深入課堂，持之以恒。許多教師和學(xué)生認為：尺規(guī)作圖很麻煩，需要一定的時間，對解題無甚幫助，影響到解題的速度。殊不知，這是本末倒置的做法。俄國數(shù)學(xué)家沙雷金就說過：未來的幾何學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)重視以下四個步驟，直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算。但是中國的幾何教學(xué)，把前兩個步驟忽略了，變成純粹的思辨論證，以及論證基礎(chǔ)上的計算。缺乏直觀，實際上就扼殺了幾何。[5]這句話一語中的的點出了當(dāng)前在幾何教學(xué)中存在的問題。正確的做法是：在教學(xué)過程中，教師和學(xué)生都應(yīng)當(dāng)尺規(guī)作圖，這樣才可以增強學(xué)生的直觀感知能力。而直觀感知能力，是問題解決的第一步，也可為以后的作圖和解題積累經(jīng)驗，提高尺規(guī)作圖的速度和效率。此外，冰凍三尺，非一日之寒，培養(yǎng)學(xué)生的尺規(guī)作圖能力不是一日這功。教師更不能“三天打漁，兩天曬網(wǎng)”，而應(yīng)當(dāng)將尺規(guī)作圖深入到幾何教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)，并且持之以恒，才能達到良好的培養(yǎng)尺規(guī)作圖能力的效果。

（4）：認真解決在尺規(guī)作圖教學(xué)中遇到的問題。

在尺規(guī)作圖的教學(xué)和使用過程中會遇到許多困難和障礙,正視這些問題，并有效地解決它，是提高尺規(guī)作圖教學(xué)效果的關(guān)鍵。學(xué)生遇到的問題主要有心理障礙、操作障礙和語言障礙等等。解決這些問題的方法多樣，許多專家和教師都各有妙招，大家可以查找相關(guān)文獻去閱讀，解決自己在具體教學(xué)中遇到的問題。但是有一個總的方針必須把握，那就是：首先應(yīng)讓學(xué)生明確作圖題與證明題在本質(zhì)、形式、思維依據(jù)、思維方式上的區(qū)別與統(tǒng)一，以減少論證思維對作圖題的消極影響。其次，也是最重要的一條是根據(jù)學(xué)生邏輯推理思維往往要依賴直觀、具體的形象的客觀實際，要求學(xué)生在分析作圖步驟之前，先按求作畫出草圖，并在草圖中盡量標(biāo)出已知的條件，使求作的圖形形象而又具體地展現(xiàn)在學(xué)生面前，化抽象為直觀。然后再根據(jù)已知條件，并以“兩點定線”、“兩線定點”的原則考慮作圖的步驟。[6]（5）：引入多媒體教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。雖然尺規(guī)作圖僅限于使用無刻度的直尺和圓規(guī)，但這并不妨礙我們引入多媒體這一先進的教學(xué)手段。通過使用投影儀，教師可以使用和學(xué)生一樣的直尺，圓規(guī)，進行作圖。親歷親為的教學(xué)，可以加強學(xué)生的直觀感知，提高教學(xué)效果。此外，附帶有尺規(guī)作圖功能的作圖軟件，如：幾何畫板、authorware等軟件都可輕松地展現(xiàn)詳細、精確的制圖過程。尺規(guī)作圖的多媒體教學(xué)，既可節(jié)省教學(xué)時間，同時又可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為以后學(xué)生使用更復(fù)雜、精密的制圖儀器打好堅實的基礎(chǔ)。當(dāng)然，這要求教師們不斷提高自身的綜合素質(zhì)，熟練掌握這些優(yōu)秀、實用的尺規(guī)作圖軟件，與時俱進，否則會事倍功半，事得其反。

總之，尺規(guī)作圖具有豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實意義，在幾何教學(xué)中的意義越來越顯著。廣大師生應(yīng)充分認識到尺規(guī)作圖的重要內(nèi)涵，正視在尺規(guī)作圖教學(xué)中遇到的問題，解決它，從而不斷提高教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生的發(fā)展奠基。

參考文獻

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[3]劉芳.對尺規(guī)作圖教學(xué)的三個思考.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2009年第10期

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗).北京:人民教育出版社.2003-4-1 [5]沙雷金[呂乃剛譯].直觀幾何.上海：華東師范大學(xué)出版社.2001-1-1.[6]王孝波.尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)障礙及教學(xué)對策.教學(xué)研究.1998年第1期

第三篇：尺規(guī)作圖專題詳盡歸納

考點名稱：尺規(guī)作圖

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．了解什么是尺規(guī)作圖．

2．學(xué)會用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．

3．了解五種基本作圖的理由．

4．學(xué)會使用精練、準(zhǔn)確的作圖語言敘述畫圖過程． 5．學(xué)會利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形． 6．通過畫圖認識圖形的本質(zhì)，體會圖形的內(nèi)在美．

【基礎(chǔ)知識精講】 1．尺規(guī)作圖：

?定義：限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖．

注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛．

?步驟：(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規(guī)進行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法。（根據(jù)題目要求來定是否需要寫出作法）

2．尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖．任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種.3．基本作圖共有五種：

(1)畫一條線段等于已知線段． 如圖24-4-1，已知線段DE．

求作：一條線段等于已知線段． 作法：①先畫射線AB．

②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC＝MN． 線段AC就是所要作的線段．(2)作一個角等于已知角． 如圖24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射線O′A′；

②以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D． ③以點O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′于C′． ④以點C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′． ⑤經(jīng)過點D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線． 如圖24-4-3，已知線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：①分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

②作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

注意：直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點．(4)經(jīng)過一點作已知直線的垂線．

a．經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線，如圖24-4-4．

已知：直線AB和AB上一點C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C． 作法：作平角ACB的平分線CF．

直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4． b．經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線．

如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

作法：①任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．

②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．

③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．

④作直線CF．

直線CF就是所求的垂線． 注意：經(jīng)過已知直線上的一點，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．

如圖24-4-6，已知∠AOB．

求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．

②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點C．

③作射線OC．

OC就是所求的射線．

注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好．

通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語言：(1)過點×和點×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點×為圓心，××為半徑畫?。?/p>

(4)以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×．

(5)分別以點×，點×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××＝∠×××． 注意：學(xué)過基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了．

如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．

(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點×畫××⊥××，垂足為點×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等． 但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因為作法的敘述省略而作圖就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．

【經(jīng)典例題精講】

例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形． 如圖24-4-7，已知：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b． ③連結(jié)BC．

如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．

注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析．

例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h，求作等腰三角形．

已知線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰△ABC來．

作法：(1)作線段BC＝a．

(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結(jié)AB、AC．

如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形． 如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．

分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當(dāng)Rt△AED作出后，由可得到． 的關(guān)系可作出點B和點C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延長ED到B，使．

(3)在DE或BE的延長線上?。?/p>

(4)連結(jié)AB、AC．

則△ABC即為所求作的三角形．

注意：因為三角形中，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4 如圖24-4-13，已知線段a．

求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．

分析：因為菱形四邊相等，“半周長為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因為菱形對邊平行，則同旁內(nèi)角互補，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形．所以作圖時只要作出兩個有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．

作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．

(2)作線段AC，使．

(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D．

(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．

注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5 如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點．

求作一點P，使PC＝PD，且使點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．

分析：要使PC＝PD，則點P在CD的垂直平分線上，要使點P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點就是垂直平分線與角平分線的交點了．

作法：(1)連結(jié)CD．

(2)作線段CD的中垂線l．

(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點P，P點為所求．

注意：這類定點問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點即為定點，當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求．

【中考考點】

例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線

表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 分析：到直線

距離相等的點在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點．

解：分別作

相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點共有四個．

答案：D．

注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個正方形零件，使C為正方形的—個頂點，其他三個頂點分別在AB、BC、AC邊上．

(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)工人師傅測得AC＝80 cm，BC＝120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．

解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點E即為正方形—頂點，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點F、D即為所作正方形另兩個頂點，如圖24-4-17．

(2)設(shè)這個正方形零件的邊長為x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：這個正方形零件的邊長為48cm．

注意：本題是幾何作圖和幾何計算相結(jié)合題目，要求讀者對基本作圖務(wù)必掌握，同時對作出圖形的性質(zhì)要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個輪)，現(xiàn)要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識，設(shè)計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑．

分析：欲確定這個圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖②中是這個零件的半徑，圖③中OB是這個零件半徑． 解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯誤分析】

例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．

并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？ 錯解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a．

如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形全等．

誤區(qū)分析：本題錯解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部． 正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a(在點C的兩側(cè))． 則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形不一定全等． 注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎．

【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】

學(xué)習(xí)基本作圖，主要是運用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規(guī)律總結(jié)】

畫復(fù)雜的圖形時，如一時找不到作法，—般是先畫出一個符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

拓展： 1．利用基本作圖作三角形：(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；（5）已知一直角邊和斜邊作直角三角形．

2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 ：

(1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．（3）作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 ．

附件：尺規(guī)作圖簡史：

“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規(guī)”這個字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.春秋時代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰(zhàn)國時期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實用性.古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用，而忽視規(guī)矩的實用價值.因此，在作圖中對規(guī)、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規(guī)作圖問題.所謂尺規(guī)作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關(guān)進監(jiān)獄，并被判處死刑.在監(jiān)獄里，他思考改圓成方以及其他有關(guān)問題，用來打發(fā)令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外，對他來說，時間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問題.后來以理論形式具體明確這個規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來.由于對尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當(dāng)時很多有名的希臘數(shù)學(xué)家，都曾著力于研究這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由于尺規(guī)作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后兩千年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規(guī)作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是無理數(shù)，化圓為方問題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.?

第四篇：尺規(guī)作圖知識歸納

考點名稱：尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖：是指限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來完成的畫圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什么，畫一個圓又不知道它的半徑，畫線段又沒有精確的長度。

其實尺規(guī)作圖的用處很大，比如單用圓規(guī)找出一個圓的圓心，量度一個角的角度，等等。運用尺規(guī)作圖可以畫出與某個角相等的角，十分方便。尺規(guī)作圖的中基本作圖： 作一條線段等于已知線段； 作一個角等于已知角； 作線段的垂直平分線； 作已知角的角平分線； 過一點作已知直線的垂線。還有：

已知一角、一邊做等腰三角形 已知兩角、一邊做三角形 已知一角、兩邊做三角形 依據(jù)公理：

還可以根據(jù)已知條件作三角形，一般分為已知三邊作三角形，已知兩邊及夾角作三角形，已知兩角及夾邊作三角形等，作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。注意：

保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。

? ?

尺規(guī)作圖方法：

任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法： ·通過兩個已知點可作一直線。·已知圓心和半徑可作一個圓。·若兩已知直線相交，可求其交點?！と粢阎本€和一已知圓相交，可求其交點?！と魞梢阎獔A相交，可求其交點。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．了解什么是尺規(guī)作圖．

2．學(xué)會用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．

3．了解五種基本作圖的理由．

4．學(xué)會使用精練、準(zhǔn)確的作圖語言敘述畫圖過程． 5．學(xué)會利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形． 6．通過畫圖認識圖形的本質(zhì)，體會圖形的內(nèi)在美．

【基礎(chǔ)知識精講】 1．尺規(guī)作圖：

限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖．

注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛．

2．尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖． 3．基本作圖共有五種：

(1)畫一條線段等于已知線段． 如圖24-4-1，已知線段DE．

求作：一條線段等于已知線段． 作法：①先畫射線AB．

②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC＝MN． 線段AC就是所要作的線段．(2)作一個角等于已知角． 如圖24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射線O′A′；

②以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D． ③以點O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′于C′． ④以點C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′． ⑤經(jīng)過點D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線． 如圖24-4-3，已知線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：①分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

②作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

注意：直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點．(4)經(jīng)過一點作已知直線的垂線．

a．經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線，如圖24-4-4．

已知：直線AB和AB上一點C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C． 作法：作平角ACB的平分線CF．

直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4． b．經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線．

如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

作法：①任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．

②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．

③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．

④作直線CF．

直線CF就是所求的垂線． 注意：經(jīng)過已知直線上的一點，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．

如圖24-4-6，已知∠AOB．

求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．

②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點C． ③作射線OC．

OC就是所求的射線．

注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好．

通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語言：(1)過點×和點×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點×為圓心，××為半徑畫弧．

(4)以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×．

(5)分別以點×，點×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××＝∠×××．

注意：學(xué)過基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了．

如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．

(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點×畫××⊥××，垂足為點×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等． 但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因為作法的敘述省略而作圖就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．

【經(jīng)典例題精講】

例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形． 如圖24-4-7，已知：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b． ③連結(jié)BC．

如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．

注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析．

例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h，求作等腰三角形．

已知線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰△ABC來．

作法：(1)作線段BC＝a．

(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結(jié)AB、AC．

如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形． 如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．

分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當(dāng)Rt△AED作出后，由可得到． 的關(guān)系可作出點B和點C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延長ED到B，使．

(3)在DE或BE的延長線上?。?/p>

(4)連結(jié)AB、AC．

則△ABC即為所求作的三角形．

注意：因為三角形中，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4 如圖24-4-13，已知線段a．

求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．

分析：因為菱形四邊相等，“半周長為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因為菱形對邊平行，則同旁內(nèi)角互補，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形．所以作圖時只要作出兩個有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．

作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．

(2)作線段AC，使．

(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D．

(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．

注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5 如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點．

求作一點P，使PC＝PD，且使點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．

分析：要使PC＝PD，則點P在CD的垂直平分線上，要使點P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點就是垂直平分線與角平分線的交點了．

作法：

(1)連結(jié)CD．

(2)作線段CD的中垂線l．

(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點P，P點為所求．

注意：這類定點問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點即為定點，當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求．

【中考考點】

例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線

表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 分析：到直線

距離相等的點在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點．

解：分別作

相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點共有四個．

答案：D．

注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個正方形零件，使C為正方形的—個頂點，其他三個頂點分別在AB、BC、AC邊上．

(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)工人師傅測得AC＝80 cm，BC＝120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．

解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點E即為正方形—頂點，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點F、D即為所作正方形另兩個頂點，如圖24-4-17．

(2)設(shè)這個正方形零件的邊長為x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：這個正方形零件的邊長為48cm．

注意：本題是幾何作圖和幾何計算相結(jié)合題目，要求讀者對基本作圖務(wù)必掌握，同時對作出圖形的性質(zhì)要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個輪)，現(xiàn)要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識，設(shè)計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑．

分析：欲確定這個圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖②中是這個零件的半徑，圖③中OB是這個零件半徑． 解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯誤分析】

例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．

并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？ 錯解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a．

如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形全等．

誤區(qū)分析：本題錯解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部． 正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a(在點C的兩側(cè))． 則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形不一定全等． 注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎．

【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】 學(xué)習(xí)本單元基本作圖，主要是運用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規(guī)律總結(jié)】

畫復(fù)雜的圖形時，如一時找不到作法，—般是先畫出一個符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

考點一 尺規(guī)作圖 1．定義：只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖． 2．步驟：(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規(guī)進行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法． 考點二 五種基本作圖 1．作一線段等于已知線段； 2 ．作一個角等于已知角； 3．作已知角的平分線； 4．過一點作已知直線的垂線； 5．作已知線段的垂直平分線． 考點三 基本作圖的應(yīng)用 1．利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形． 2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過不在同一直線上的三點作圓

(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．

尺規(guī)作圖簡史：

“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規(guī)”這個字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.春秋時代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰(zhàn)國時期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實用性.古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用，而忽視規(guī)矩的實用價值.因此，在作圖中對規(guī)、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規(guī)作圖問題.所謂尺規(guī)作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關(guān)進監(jiān)獄，并被判處死刑.在監(jiān)獄里，他思考改圓成方以及其他有關(guān)問題，用來打發(fā)令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外，對他來說，時間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問題.后來以理論形式具體明確這個規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來.由于對尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當(dāng)時很多有名的希臘數(shù)學(xué)家，都曾著力于研究這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由于尺規(guī)作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后兩千年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規(guī)作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是無理數(shù)，化圓為方問題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.?

第五篇：八年級數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖

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§19.3 尺規(guī)作圖(1)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解尺規(guī)作圖.

2.掌握尺規(guī)的基本作圖：畫一條線段等于已知線段，畫一個角等于已知角.3.尺規(guī)作圖的步驟.

4.尺規(guī)作圖的簡單應(yīng)用，解尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法.

二、教學(xué)重點畫圖，寫出作圖的主要畫法.

三、教學(xué)難點寫出作圖的主要畫法，應(yīng)用尺規(guī)作圖.

四、教學(xué)方法引導(dǎo)法，演示法.

五、教學(xué)過程

(一)引入直尺、量角器、圓規(guī)都是都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以畫線，用量角器可以畫角，用圓規(guī)可以畫圓.

請大家畫一條長4cm的線段，畫一個48°的角，畫一個半徑為3cm的圓. 如果只用無刻度的直尺和圓規(guī)，你還能畫出符合條件的線段、角嗎? 實際上，只用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，在數(shù)學(xué)上叫做尺規(guī)作圖.(二)新課

1.畫一條線段等于已知線段.

請同學(xué)們探索用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫一條線段等于已知的線段. 已知線段a，用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫一條線段等于已知線段a.請同學(xué)們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例1 已知三邊作三角形.

已知：線段a、b、c.(畫出三條線段a、b、c) 求作：△ABC，使得三邊為線段a、b、c. 作法：(1)畫一條線段AB，使得AB=c.

(2)以點A為圓心，以線段b的長為半徑畫圓弧；再以點B為圓心，以線段a的長為半徑畫圓億庫教育網(wǎng)

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??；兩弧交于點C.

(3)連結(jié)AC，BC. △ABC即為所求. 2.畫一個角等于已知角.請同學(xué)們探索用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫一個角等于已知角.已知角∠MPN，用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫一個角等于已知角∠MPN. 請同學(xué)們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 作法：(1)畫射線OA.

(2)以角∠MPN的頂點P為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交∠MPN的兩邊于E、F.(3)以點O為圓心，以PE長為半徑畫弧，交OA于點C.(4)以點C為圓心，以EF長為半徑畫弧，交前一條弧于點D.(5)經(jīng)過點D作射線OB.

∠AOB就是所畫的角.(如圖)注意：幾何作圖要保留作圖痕跡.

探索如何過直線外一點做已知直線的平行線； 請同學(xué)們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例2 根據(jù)下列條件作三角形.(1)已知兩邊及夾角作三角形；(2)已知兩角及夾邊作三角形；

請同學(xué)們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法(順序). 練習(xí)：教材第82頁練習(xí)第1、2題.

(三)小結(jié)請同學(xué)們自己對本課內(nèi)容進行小結(jié).(四)作業(yè)習(xí)題1、2題.

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§19.3 尺規(guī)作圖(2)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.進一步熟練尺規(guī)作圖.

2.掌握尺規(guī)的基本作圖：畫角平分線.

3.進一步學(xué)習(xí)解尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法，以及掌握準(zhǔn)確的作圖語言.4.運用尺規(guī)基本作圖解決有關(guān)的作圖問題.

二、教學(xué)重點分析尺規(guī)基本作圖問題的解決過程，寫好作圖的主要畫法，并完成作圖.

三、教學(xué)難點分析實際作圖問題，運用尺規(guī)的基本作圖，寫出作圖的主要畫法.

四、教學(xué)方法引導(dǎo)法，演示法，分析法，討論法.

五、教學(xué)過程

(一)引入我們已熟悉尺規(guī)的基本作圖：畫一條線段等于已知線段，畫一個角等于已知角，那么利用尺規(guī)還能畫角平分線嗎?

(二)新課

前面我們學(xué)習(xí)了用尺規(guī)畫線段，那么你能利用尺規(guī)作圖將一個角兩等分嗎? 利用尺規(guī)作圖畫角平分線.

請同學(xué)們探索用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫出一個角的平分線. 已知∠AOB，用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫出已知∠AOB的平分線. 請各小組同學(xué)討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例1 已知∠α與∠β，求作一個角，使它等于(∠α+∠β)的一半.

分析：要完成這個作圖，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分線即可. 已知、求作、作法由學(xué)生自行完成.(略)

例2 已知三角形中的一個角，此角的平分線長，以及這個角的一邊長，求作三角形. 分析：首先作出符合條件的圖形草圖，分析圖形的特征，然后確定作圖的順序，寫出已知、求作、作法，作圖中遇到屬于基本作圖的，只敘述基本作圖即可.億庫教育網(wǎng)

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已知：∠α，以及線段b、c(b＜c).

求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分線AD=b. 作法：(1)作∠MAN=∠α.(2)作∠MAN的平分線AE.

(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b.(4)連結(jié)BD，并延長交AN于點C. △ABC就是所畫的三角形.(如圖)

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高(中線長大于高)，求作三角形.同學(xué)們先自主思考探索，然后各小組同學(xué)討論、交流、歸納出具體的作圖方 法.再請學(xué)生代表上黑板示范，并解釋原由.

例4 已知直線和直線外兩點(過這兩點的直線與已知直線不垂直)，利用尺規(guī)作圖在直線上求作一點，使其到直線外已知兩點的距離和最小.

同學(xué)們先自主思考，然后各小組交流意見，完成作圖. 練習(xí)教材練習(xí)第1、2題.(三)小結(jié)

1.尺規(guī)作圖的五種常用基本作圖. 2.掌握一些規(guī)范的幾何作圖語句.

3.學(xué)過基本作圖后，在以后的作圖中，遇到屬于基本作圖的地方，只須用一句話概括敘述即可.

4.解決尺規(guī)作圖問題，先作出符合條件的圖形草圖，再確定具體的作圖方法.

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(四)作業(yè)教材第5題.§19.3 尺規(guī)作圖(3)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.進一步熟練尺規(guī)作圖.

2.掌握尺規(guī)的基本作圖：畫線段的垂直平分線，畫直線的垂線. 3.尺規(guī)作圖的簡單應(yīng)用，解尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法.

二、教學(xué)重點 畫圖，寫出作圖的主要畫法.

三、教學(xué)難點寫出作圖的主要畫法，應(yīng)用尺規(guī)作圖.

四、教學(xué)方法引導(dǎo)法，演示法，分析法，探索法.

五、教學(xué)過程

(一)引入我們已熟悉尺規(guī)的兩個基本作圖：畫線段，畫角. 那么利用尺規(guī)還能解決什么作圖問題呢?(二)新課

1.畫線段的垂直平分線.

請同學(xué)們探索用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫出一條線段的垂直平分線.已知線段a，用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫出已知線段a的垂直平分線. 解決這一問題，要利用好線段垂直平分線的性質(zhì). 請同學(xué)們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例1 已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.

分析：要完成這個作圖，先作出底邊，再作底邊的垂直平分線，取高，最后完成三角形.已知：底邊a、及底邊上的高h.(畫出兩條線段a、h) 求作：△ABC，使得一底邊為a、底邊上的高為h. 作法：(略). 2.畫直線的垂線.

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請同學(xué)們探索用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地畫出一條直線的垂線. 請同學(xué)們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法.

實際上，畫出一條直線的垂線，就是轉(zhuǎn)化為畫線段的垂直平分線. 例2 過直線外一點作直線的垂線.

已知：直線a、及直線a外一點A.(畫出直線a、點A) 求作：直線a的垂線直線b，使得直線b經(jīng)過點A.

作法：(1)以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線a于點C、D.(2)以點C為圓心，以AD長為半徑在直線另一側(cè)畫弧.

(3)以點D為圓心，以AD長為半徑在直線另一側(cè)畫弧，交前一條弧于點B.(4)經(jīng)過點A、B作直線AB.

直線AB就是所畫的垂線b.(如圖)

3.（優(yōu)生）探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓. 思考：如何解決這一實際問題?下面我們共同探尋解決這一問題的辦法. 練習(xí)教材練習(xí)第1、2題.

探究1：過一個已知點A如何作圓?(如圖，讓學(xué)生動手去完成)

學(xué)生討論并發(fā)現(xiàn)：過點A所作圓的圓心在哪兒?半徑多大?可以作幾個這樣的圓?(圓心不定，半徑不定，可以作無數(shù)個圓)

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探究1 探究2：過已知兩點A、B如何作圓?(如圖，學(xué)生動手去完成)

探究2 學(xué)生繼續(xù)討論并發(fā)現(xiàn)：它們的圓心到A、B兩點的距離怎樣?能用式子表示嗎?圓心在哪里?過點A、B兩點的圓有幾個?(OA=OB，圓心在直線AB的垂直平分線上，有無數(shù)個圓)

探究3：過同一平面內(nèi)三個點的情況會怎樣呢? 分兩種情況研究：

(1)求作一個圓，使它經(jīng)過不在一直線上三點A、B、C.

已知：不在一直線上三點A、B、C，求作一個圓，使它同時經(jīng)過點A、B、C.(學(xué)生口述作法，教師示范作圖過程)

學(xué)生討論并發(fā)現(xiàn)：這樣一共可作幾個圓?圓心在哪里?圓心到A、B、C三點的距離怎樣?(可作一個圓，圓心是線段AB、AC、BC的垂直平分線的交點，圓心到A、B、C三點距離相等)

(2)過在一直線上的三點A、B、C可以作幾個圓?(不能作出) 發(fā)現(xiàn)結(jié)論：不在同一直線上的三點確定一個圓：(三)小結(jié)請同學(xué)們自己對本課內(nèi)容進行小結(jié).(四)作業(yè)習(xí)題3、4題.

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