第一篇:尺規(guī)三等分角不能的向量證明
定義:設(shè)S={Z0=1,Z1,...Zn}是n+1個(gè)復(fù)數(shù),將
(1)Z0=1,Z1,...Zn叫做S-點(diǎn);
(2)過(guò)兩個(gè)不同的S-點(diǎn)的直線叫S-直線,以一個(gè)S-點(diǎn)為圓心、任意兩個(gè)S-點(diǎn)之間的距離為半徑的圓叫S-圓;
(3)由S-直線與S-直線、S-直線與S-圓、S-圓與S-圓相交的點(diǎn)也叫S-點(diǎn)。上面這個(gè)定義完全刻畫了尺規(guī)作圖過(guò)程,如果以P表示全體S-點(diǎn)的集合,那么P也就是從S={Z0=1,Z1,...Zn}出發(fā)通過(guò)尺規(guī)作圖所得到的全部復(fù)數(shù)。
定理:設(shè)Z1,...Zn(n≥0)為n個(gè)復(fù)數(shù)。設(shè)F= Q(Z1,...Zn,Z1',...Zn'),(Z'代表共軛復(fù)數(shù)),那么,一個(gè)復(fù)數(shù)Z可由S={Z0=1,Z1,...Zn}作出的充要條件是 Z屬于F(u1,...un)。其中u12屬于F, ui2 屬于F(u1,...ui-1)。換言之,Z含于F的一個(gè)2次根號(hào)擴(kuò)張。
系: 設(shè)S={Z0=1,Z1,...Zn},F(xiàn)= Q(Z1,...Zn,Z1',...Zn'),Z為S-點(diǎn),則 [ F(z):F] 是2的方冪。
以下證明三等分任意角不可能性,證明尺規(guī)作圖不能三等分60度角: 證明:所謂給了60度角,相當(dāng)于給了復(fù)數(shù)Z1=1/2+√3/2 i。從而S={Z0=1, Z1},F(xiàn)=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角,當(dāng)然也能得到cos20,但是cos20滿足方程 4x3-3x-1/2=0,即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可約,從而[Q(cos20):Q]=3,于是
6=[ Q(cos20, √-3):Q] = [F(cos20):Q]=[F(cos20):F] [F:Q]
由于[F:Q]=[Q(√-3):Q]=2,所以[F(cos20):F]=3,根據(jù)上面的系可知cos20不是S-點(diǎn),從而20度不可能三等分。證畢
第二篇:淺談尺規(guī)作圖
淺談尺規(guī)作圖
所屬縣:廣西百色市凌云縣
單 位:廣西百色市凌云縣凌云中學(xué)
姓 名:唐奕清
內(nèi)容提要:尺規(guī)作圖,具有悠久的歷史淵源、豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)內(nèi)涵。但由于各種原因,尺規(guī)作圖的教學(xué)存在著許多不利因素。我們需正視困難和問(wèn)題,尋找解決問(wèn)題的途徑,提高尺規(guī)作圖的教學(xué)質(zhì)量。
關(guān)鍵詞:尺規(guī)作圖 教學(xué)意義 教學(xué)困難 提高途徑
尺規(guī)作圖,是指有限次使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)解決不同的幾何作圖問(wèn)題。尺規(guī)作圖有著悠久的歷史,古希臘人最早提出了尺規(guī)作圖。后經(jīng)希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》一書中以理論形式加以明確,并被人們一直所遵守,進(jìn)而流傳至今。
在我國(guó),關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)一直有著優(yōu)良的教學(xué)傳統(tǒng)。根據(jù)張景中院士的回憶,在1978年舉行的全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,數(shù)學(xué)家蘇步青就曾寫信向主持命題工作的數(shù)學(xué)大師華羅庚建議,出一道有關(guān)尺規(guī)作圖的題目作為考試試題。[1]這種重視尺規(guī)作圖的意識(shí),進(jìn)一步在《全日制九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中得到了體現(xiàn)。《標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求學(xué)生能完成一些基本的尺規(guī)作圖,并能根據(jù)一些基本作圖探索一些問(wèn)題;對(duì)于尺規(guī)作圖的過(guò)程,要求能寫出已知、求作和作法。
尺規(guī)作圖不僅有悠久的歷史淵源,也擁有著豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)內(nèi)涵。首先,尺規(guī)作圖能夠豐富教學(xué)情境,培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。眾所周知,尺規(guī)作圖是一種由學(xué)生實(shí)際執(zhí)行的操作,具有不可替代的直觀性,十分符合讓學(xué)生自己動(dòng)手解決問(wèn)題的教學(xué)理念。在實(shí)際教學(xué)中,尺規(guī)作圖是一種情境的創(chuàng)設(shè),即要求在某種條件下,由學(xué)生自己動(dòng)手解決問(wèn)題。學(xué)生能作出一張符合要求的圖形,是一種具有挑戰(zhàn)性的創(chuàng)造活動(dòng),能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。因此,在幾何教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“觀察、操作、推理”的今天,尺規(guī)作圖理應(yīng)得到足夠的重視.[2] 其次,尺規(guī)作圖能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣、嚴(yán)密的邏輯思維和空間想象能力。尺規(guī)作圖的一般步驟如下:①要求學(xué)生畫出草圖,假設(shè)圖形已作出;②根據(jù)圖形分析畫法;③利用尺規(guī)嚴(yán)格操作并寫出作法;④若要求證明,就給出證明;否則就寫出結(jié)論。學(xué)生嚴(yán)格按照步驟進(jìn)行作圖的過(guò)程,正是一個(gè)猜想、操作、驗(yàn)證的過(guò)程,有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力。[3]另外,尺規(guī)作圖能有效的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。而空間想象能力正是立體幾何教學(xué)中的重難點(diǎn),它直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的效果。從二維到三維的轉(zhuǎn)變,是學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀世界,改造世界的基礎(chǔ)。尺規(guī)作圖可以使學(xué)生積累相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn),能有效的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,是立體幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。
第三,尺規(guī)作圖既能展現(xiàn)數(shù)學(xué)美,又能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,具有良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)美是一種特殊的美,是美的高級(jí)形式。著名哲學(xué)家沙利文曾說(shuō)過(guò):“優(yōu)美的公式就如但丁神曲中的詩(shī)句,黎曼的幾何與鋼琴合奏曲一樣優(yōu)美?!痹谡n堂教學(xué)中,向?qū)W生展示標(biāo)準(zhǔn)圖形,能讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)美,啟發(fā)思維,深化知識(shí)的理解。學(xué)生自己動(dòng)手,尺規(guī)作圖,則能提高審美認(rèn)識(shí),陶冶情操。
此外,尺規(guī)作圖有著許多規(guī)范的作圖語(yǔ)句,如:(l)過(guò)點(diǎn)X作某個(gè)平面的垂線,垂足為點(diǎn)X;(2)過(guò)點(diǎn)X作直線XX的平行線,交直線XX于點(diǎn)X;(3)在XX上截取XX=XX;(4)延長(zhǎng)XX到點(diǎn)X,使XX=XX;(5)在線段XX上取中點(diǎn)X,連結(jié)XX等等。這些規(guī)范作圖語(yǔ)句的使用,既可以避免在考試中出現(xiàn)不必要的失分,也能培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的書面表達(dá)能力和與他人合作交流的能力。因此,我們必須重視尺規(guī)作圖的教學(xué)作用,正視有關(guān)尺規(guī)作圖的教學(xué)問(wèn)題。
然而,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、推廣和工業(yè)生產(chǎn)的需要,各種各樣精密的作圖工具開(kāi)始出現(xiàn)。這些工具的使用,雖然方便了人們的需要,但也使得一些人開(kāi)始懷疑和輕視尺規(guī)作圖的作用。目前,這種思想已經(jīng)開(kāi)始在課堂上漫延,一些教師出于各種原因,淡化了尺規(guī)作圖,甚至于在課堂上根本不尺規(guī)作圖。結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐,我個(gè)人認(rèn)為出現(xiàn)這種現(xiàn)象有以下幾個(gè)原因,并結(jié)合教學(xué)實(shí)際,提出一些解決問(wèn)題的途徑,與大家交流,僅供大家參考。
(1):正確認(rèn)識(shí)教師的角色。
數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)以學(xué)生為本的教育理念,倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),倡導(dǎo)平等交往、互動(dòng)合作、共同發(fā)展的師生關(guān)系,這就要求教師能夠正確認(rèn)識(shí)自身角色。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出:教師不僅是課程的實(shí)施者,而且也是課程的研究、建設(shè)和資源開(kāi)發(fā)的重要力量;教師不僅是知識(shí)的傳授者,而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。[4]在日常的教學(xué)活動(dòng)中,教師必須起到引導(dǎo)者和組織者的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成尺規(guī)作圖的良好習(xí)慣,組織專門的尺規(guī)作圖教學(xué),在教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展過(guò)程中與學(xué)生深入交流、合作,提高學(xué)生的尺規(guī)作圖水平。
(2):高度認(rèn)識(shí)尺規(guī)作圖的作用。之所以出現(xiàn)教師上課“作草圖”、學(xué)生解題“作草圖”,甚至于在考試中也“作草圖”的現(xiàn)象,對(duì)尺規(guī)作圖作用的認(rèn)識(shí)不夠是根本原因。正所謂:天再高又怎樣,踮起腳尖就更接近陽(yáng)光,不管出現(xiàn)多少精密、復(fù)雜的制圖儀器,尺規(guī)作圖是掌握這些儀器的基礎(chǔ),在教學(xué)和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中具有不可替代的作用。所以,在當(dāng)前教材中,從小學(xué)、初中到高中數(shù)學(xué)教材,從平面作圖到立體作圖,都以專門的章節(jié)突顯了尺規(guī)作圖的特色和作用。因此,我們要高度認(rèn)識(shí)到尺規(guī)作圖的作用(前文已述,此處不再贅述),才能提高廣大師生的尺規(guī)作圖水平,達(dá)到數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。
(3):不舍本逐末,將尺規(guī)作圖深入課堂,持之以恒。許多教師和學(xué)生認(rèn)為:尺規(guī)作圖很麻煩,需要一定的時(shí)間,對(duì)解題無(wú)甚幫助,影響到解題的速度。殊不知,這是本末倒置的做法。俄國(guó)數(shù)學(xué)家沙雷金就說(shuō)過(guò):未來(lái)的幾何學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)重視以下四個(gè)步驟,直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算。但是中國(guó)的幾何教學(xué),把前兩個(gè)步驟忽略了,變成純粹的思辨論證,以及論證基礎(chǔ)上的計(jì)算。缺乏直觀,實(shí)際上就扼殺了幾何。[5]這句話一語(yǔ)中的的點(diǎn)出了當(dāng)前在幾何教學(xué)中存在的問(wèn)題。正確的做法是:在教學(xué)過(guò)程中,教師和學(xué)生都應(yīng)當(dāng)尺規(guī)作圖,這樣才可以增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知能力。而直觀感知能力,是問(wèn)題解決的第一步,也可為以后的作圖和解題積累經(jīng)驗(yàn),提高尺規(guī)作圖的速度和效率。此外,冰凍三尺,非一日之寒,培養(yǎng)學(xué)生的尺規(guī)作圖能力不是一日這功。教師更不能“三天打漁,兩天曬網(wǎng)”,而應(yīng)當(dāng)將尺規(guī)作圖深入到幾何教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié),并且持之以恒,才能達(dá)到良好的培養(yǎng)尺規(guī)作圖能力的效果。
(4):認(rèn)真解決在尺規(guī)作圖教學(xué)中遇到的問(wèn)題。
在尺規(guī)作圖的教學(xué)和使用過(guò)程中會(huì)遇到許多困難和障礙,正視這些問(wèn)題,并有效地解決它,是提高尺規(guī)作圖教學(xué)效果的關(guān)鍵。學(xué)生遇到的問(wèn)題主要有心理障礙、操作障礙和語(yǔ)言障礙等等。解決這些問(wèn)題的方法多樣,許多專家和教師都各有妙招,大家可以查找相關(guān)文獻(xiàn)去閱讀,解決自己在具體教學(xué)中遇到的問(wèn)題。但是有一個(gè)總的方針必須把握,那就是:首先應(yīng)讓學(xué)生明確作圖題與證明題在本質(zhì)、形式、思維依據(jù)、思維方式上的區(qū)別與統(tǒng)一,以減少論證思維對(duì)作圖題的消極影響。其次,也是最重要的一條是根據(jù)學(xué)生邏輯推理思維往往要依賴直觀、具體的形象的客觀實(shí)際,要求學(xué)生在分析作圖步驟之前,先按求作畫出草圖,并在草圖中盡量標(biāo)出已知的條件,使求作的圖形形象而又具體地展現(xiàn)在學(xué)生面前,化抽象為直觀。然后再根據(jù)已知條件,并以“兩點(diǎn)定線”、“兩線定點(diǎn)”的原則考慮作圖的步驟。[6](5):引入多媒體教學(xué)方式,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。雖然尺規(guī)作圖僅限于使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī),但這并不妨礙我們引入多媒體這一先進(jìn)的教學(xué)手段。通過(guò)使用投影儀,教師可以使用和學(xué)生一樣的直尺,圓規(guī),進(jìn)行作圖。親歷親為的教學(xué),可以加強(qiáng)學(xué)生的直觀感知,提高教學(xué)效果。此外,附帶有尺規(guī)作圖功能的作圖軟件,如:幾何畫板、authorware等軟件都可輕松地展現(xiàn)詳細(xì)、精確的制圖過(guò)程。尺規(guī)作圖的多媒體教學(xué),既可節(jié)省教學(xué)時(shí)間,同時(shí)又可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為以后學(xué)生使用更復(fù)雜、精密的制圖儀器打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然,這要求教師們不斷提高自身的綜合素質(zhì),熟練掌握這些優(yōu)秀、實(shí)用的尺規(guī)作圖軟件,與時(shí)俱進(jìn),否則會(huì)事倍功半,事得其反。
總之,尺規(guī)作圖具有豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)意義,在幾何教學(xué)中的意義越來(lái)越顯著。廣大師生應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到尺規(guī)作圖的重要內(nèi)涵,正視在尺規(guī)作圖教學(xué)中遇到的問(wèn)題,解決它,從而不斷提高教學(xué)質(zhì)量,為學(xué)生的發(fā)展奠基。
參考文獻(xiàn)
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第三篇:用尺規(guī)作線段與角教案
4.6用尺規(guī)作線段與角
教學(xué)目標(biāo)
1.會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段. 2.會(huì)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角. 3.會(huì)利用基本作圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖. 教學(xué)重難點(diǎn)
1.用尺規(guī)作線段(角)等于已知線段(角). 2.線段的和、差、倍、分的作法. 3.角的和、差、倍、分的作法. 教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
在現(xiàn)實(shí)生活中,我們經(jīng)常見(jiàn)到一些美麗的圖案,如下列圖案.
圖案(1)、(2)、(3)是我們?cè)?jīng)畫過(guò)的.想一想,這些圖案是利用哪些作圖工具畫出的? 直尺、圓規(guī)和三角尺是常用的作圖工具,利用這些工具可以作出很多的幾何圖形.在以后的作圖中,我們運(yùn)用最多的作圖工具是沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī).我們把只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)的作圖稱為尺規(guī)作圖.這一節(jié)我們就來(lái)學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖——用尺規(guī)作線段與角.(板書課題)
推進(jìn)新課
1.作一條線段等于已知線段
活動(dòng)一:學(xué)生預(yù)習(xí)課本例1,教師按照下面作圖步驟演示作圖過(guò)程. 已知:線段AB.求作:線段A′B′,使A′B′=AB.作法:(1)作射線A′C′.(2)以點(diǎn)A′為圓心,以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,交射線A′C′于點(diǎn)B′.A′B′就是所求的線段.
教師總結(jié):今后的作圖中,要注意作圖步驟的書寫.就現(xiàn)在來(lái)說(shuō),只要求大家了解尺規(guī)作圖的步驟.
2.作一個(gè)角等于已知角
活動(dòng)二:學(xué)生預(yù)習(xí)課本例2,教師按照例題的作圖步驟演示作圖過(guò)程. 已知:∠AOB(如圖1).
求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.圖1 作法:
(1)在∠AOB上以點(diǎn)O為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交OA,OB于點(diǎn)P,Q(如圖1);(2)作射線EG,并以點(diǎn)E為圓心,OP長(zhǎng)為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D;(3)以點(diǎn)D為圓心,PQ長(zhǎng)為半徑畫弧交第(2)步中所畫弧于點(diǎn)F;(4)作射線EF(如圖2).∠DEF即為所求作的角.
圖2 教師總結(jié):用尺規(guī)作圖具有以下四個(gè)步驟:(1)已知,即:已知的條件是什么.
(2)求作,即:所要作的最終的結(jié)果是什么,滿足什么條件.
(3)分析,即:分析如何作出所要求作的圖形,一般不用寫出來(lái).(4)作法,這是作圖的主要步驟,在這里要寫清作圖的過(guò)程.
鞏固訓(xùn)練
1.課本練習(xí)
2.畫一個(gè)鈍角∠AOB,然后以O(shè)為頂點(diǎn),以O(shè)A為一邊,在角的內(nèi)部畫一條射線OC,使∠AOC=90°,正確的圖形是().
3.下列尺規(guī)作圖的語(yǔ)句錯(cuò)誤的是(). A.作∠AOB,使∠AOB=3∠1 B.以點(diǎn)O為圓心作弧
C.以點(diǎn)A為圓心,線段a的長(zhǎng)為半徑作弧 D.作∠ABC,使∠ABC=∠1+∠2
本課小結(jié)
通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)你有哪些收獲?
本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作一條線段等于已知線段和作一個(gè)角等于已知角.正式呈現(xiàn)了尺規(guī)作圖的步驟,寫出了“已知”“求作”,且按照程序化的方式寫出了“作法”.大家在今后的作圖中,要按這些步驟進(jìn)行.要特別注意的是:作圖時(shí)一定要保留作圖痕跡.
尺規(guī)作圖與“幾何作圖三大難題”
尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺來(lái)作圖.由于對(duì)作圖工具的限制,使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題難以解決.利用尺規(guī)可以將任意角二等分,那么能利用尺規(guī)將一個(gè)任意角三等分嗎?你能作出一個(gè)立方體的邊,使該立方體的體積為給定立方體的2倍嗎?利用尺規(guī)我們能作立方體和圓,那你能不能作一個(gè)正方形使其與給定的圓的面積相等?這三個(gè)由尺規(guī)作圖引出的問(wèn)題,便是數(shù)學(xué)史上著名的幾何三大問(wèn)題.它是公元前5世紀(jì)首次由古希臘雅典城內(nèi)一個(gè)包括各方面學(xué)者的智者(巧辯)學(xué)派提出的.這三個(gè)作圖題一般分別稱為:1.三等分角;2.倍立方體;3.化圓為方.
第四篇:尺規(guī)作圖專題詳盡歸納
考點(diǎn)名稱:尺規(guī)作圖
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解什么是尺規(guī)作圖.
2.學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖:(1)畫一條線段等于已知線段;(2)畫一個(gè)角等于已知角;(3)畫線段的垂直平分線;(4)過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線;(5)畫角平分線.
3.了解五種基本作圖的理由.
4.學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫圖過(guò)程. 5.學(xué)會(huì)利用基本作圖畫三角形等較簡(jiǎn)單的圖形. 6.通過(guò)畫圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì),體會(huì)圖形的內(nèi)在美.
【基礎(chǔ)知識(shí)精講】 1.尺規(guī)作圖:
?定義:限定只用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫圖,稱為尺規(guī)作圖.
注意:這里所指的直尺是沒(méi)有刻度的直尺,由于免去了度量,因此,用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高,它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛.
?步驟:(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形,寫出已知和求作部分;(2)分析作圖的方法和過(guò)程;(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖;(4)寫出作法步驟,即作法。(根據(jù)題目要求來(lái)定是否需要寫出作法)
2.尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖.任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種.3.基本作圖共有五種:
(1)畫一條線段等于已知線段. 如圖24-4-1,已知線段DE.
求作:一條線段等于已知線段. 作法:①先畫射線AB.
②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC=MN. 線段AC就是所要作的線段.(2)作一個(gè)角等于已知角. 如圖24-4-2,已知∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB. 作法:①作射線O′A′;
②以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧,交OA于C,交OB于D. ③以點(diǎn)O′為圓心,以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作弧,交O′A′于C′. ④以點(diǎn)C′為圓心,以CD為半徑作弧,交前弧于D′. ⑤經(jīng)過(guò)點(diǎn)D′作射線O′B′,∠A′O′B′就是所求的角.(3)作線段的垂直平分線. 如圖24-4-3,已知線段AB.
求作:線段AB的垂直平分線.
作法:①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)C和D.
②作直線CD.
直線CD就是線段AB的垂直平分線.
注意:直線CD與線段AB的交點(diǎn),就是AB的中點(diǎn).(4)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.
a.經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線,如圖24-4-4.
已知:直線AB和AB上一點(diǎn)C,求作:AB的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C. 作法:作平角ACB的平分線CF.
直線CF就是所求的垂線,如圖24-4-4. b.經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.
如圖24-4-5,已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作:AB的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.
作法:①任意取一點(diǎn)K,使K和C在AB的兩旁.
②以C為圓心,CK長(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E.
③分別以D和E為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F.
④作直線CF.
直線CF就是所求的垂線. 注意:經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn),作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決.(5)平分已知角.
如圖24-4-6,已知∠AOB.
求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:①在OA和OB上,分別截取OD、OE.
②分別以D、E為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,在∠AOB內(nèi),兩弧交于點(diǎn)C.
③作射線OC.
OC就是所求的射線.
注意:以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ),一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖,都是由基本作圖組成的,同學(xué)捫要高度重視,努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好.
通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí),同學(xué)們要掌握下列作圖語(yǔ)言:(1)過(guò)點(diǎn)×和點(diǎn)×畫射線××,或畫射線××.(2)在射線××上截取××=××.(3)以點(diǎn)×為圓心,××為半徑畫?。?/p>
(4)以點(diǎn)×為圓心,××為半徑畫弧,交××于點(diǎn)×.
(5)分別以點(diǎn)×,點(diǎn)×為圓心,以××,××為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)×.(6)在射線××上依次截取××=××=××.
(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××=∠×××. 注意:學(xué)過(guò)基本作圖后,在作較復(fù)雜圖時(shí),屬于基本作圖的地方,不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程,只用一句話概括敘述就可以了.
如:(1)畫線段××=××.(2)畫∠×××=∠×××.
(3)畫××平分∠×××,或畫∠×××的角平分線.(4)過(guò)點(diǎn)×畫××⊥××,垂足為點(diǎn)×.(5)作線段××的垂直平分線××,等等. 但要注意保留全部的作圖痕跡,包括基本作圖的操作程序,不能因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远鲌D就不按程序操作,只有保留作圖痕跡,才能反映出作圖的操作是否合理.
【經(jīng)典例題精講】
例1 已知兩邊及其夾角,求作三角形. 如圖24-4-7,已知:∠α,線段a、b,求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=b.
作法:①作∠MAN=∠α.
②在射線AM、AN上分別作線段AB=a,AC=b. ③連結(jié)BC.
如圖24-4-8,△ABC即為所求作的三角形.
注意:一般幾何作圖題,應(yīng)有下面幾個(gè)步驟:已知、求作、作法,比較復(fù)雜的作圖題,在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析.
例2 如圖24-4-9,已知底邊a,底邊上的高h(yuǎn),求作等腰三角形.
已知線段a、h.求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
分析:可先作出底邊BC,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì),可再作出BC的垂直平分線,從而作出BC邊上的高AD,分別連結(jié)AB和AC,即可作出等腰△ABC來(lái).
作法:(1)作線段BC=a.
(2)作線段BC的垂直平分線MN,MN與BC交于點(diǎn)D.(3)在MN上截取DA,使DA=h.(4)連結(jié)AB、AC.
如圖24-4-10,△ABC即為所求的等腰三角形.
例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高,作三角形. 如圖24-4-11,已知線段a,m,h(m>h).
求作:△ABC使它的一邊等于a,這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h).
分析:如圖24-4-12,假定△ABC已作出,其中BC=a,中線AD=m,高AE=h,在△AED中AD=m,AE=h,∠AED=90°,因此這個(gè)Rt△AED可以作出來(lái)(△AED為奠基三角形).當(dāng)Rt△AED作出后,由可得到. 的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C,于是△ABC即
作法:(1)作△AED,使∠AED=90°,AE=h,AD=m.
(2)延長(zhǎng)ED到B,使.
(3)在DE或BE的延長(zhǎng)線上?。?/p>
(4)連結(jié)AB、AC.
則△ABC即為所求作的三角形.
注意:因?yàn)槿切沃校贿吷系母卟荒艽笥谶@邊上的中線,所以如果h>m,作圖題無(wú)解;若m=h,則作出的圖形為等腰三角形.
例4 如圖24-4-13,已知線段a.
求作:菱形ABCD,使其半周長(zhǎng)為a,兩鄰角之比為1∶2.
分析:因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?,“半周長(zhǎng)為a”就是菱形邊長(zhǎng)為,為此首先要將線段a等分,又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行,則同旁內(nèi)角互補(bǔ),由“鄰角之比為1∶2”可知,菱形較小內(nèi)角為60°,則菱形較短對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形.所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形,則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD.
作法:(1)作線段a的垂直平分線,等分線段a.
(2)作線段AC,使.
(3)分別以A、C為圓心,為半徑,在AC的兩側(cè)畫弧,兩弧分別交于B,D.
(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD,則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14).
注意:這種通過(guò)先畫三角形,然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”.
例5 如圖24-4-15,已知∠AOB和C、D兩點(diǎn).
求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等.
分析:要使PC=PD,則點(diǎn)P在CD的垂直平分線上,要使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等,則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上,那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)了.
作法:(1)連結(jié)CD.
(2)作線段CD的中垂線l.
(3)作∠AOB的角平分線OM,交l于點(diǎn)P,P點(diǎn)為所求.
注意:這類定點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)需確定兩線,兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn),當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求.
【中考考點(diǎn)】
例6(2000·安徽省)如圖24-4-16,直線
表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有()
A.一處 B.二處 C.三處 D.四處 分析:到直線
距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線上,可利用作角平分線的方法找到這些點(diǎn).
解:分別作
相交所構(gòu)成的角平分線,共可作出六條,三條角平分線相交的交點(diǎn)共有四個(gè).
答案:D.
注意:本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì),在具體作圖時(shí),不可只作出位于中心位置的一處,而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn).
例7(2002·陜西省)如圖24-4-17,△ABC是一塊直角三角形余料,∠C=90°,工人師傅要把它加工成—個(gè)正方形零件,使C為正方形的—個(gè)頂點(diǎn),其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上.
(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)工人師傅測(cè)得AC=80 cm,BC=120cm,請(qǐng)幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長(zhǎng).
解:(1)作∠ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形—頂點(diǎn),作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn),如圖24-4-17.
(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x cm,∵DE∥AC,∴,∴.
∴x=48.
答:這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為48cm.
注意:本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目,要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握,同時(shí)對(duì)作出圖形的性質(zhì)要清楚.
例8(2002·山西省)如圖24-4-18①,有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪),現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí),設(shè)計(jì)兩種方案,確定這個(gè)圓形零件的半徑.
分析:欲確定這個(gè)圓形零件的半徑,可以借助三角板,T形尺或尺規(guī)作圖均可,圖②中是這個(gè)零件的半徑,圖③中OB是這個(gè)零件半徑. 解:如圖24-4-18②③所示.
【常見(jiàn)錯(cuò)誤分析】
例9 如圖24-4-19,已知線段a、b、h.
求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC邊上的高AD=h.
并回答問(wèn)題,你作出的三角形唯一嗎?從中你可以得到什么結(jié)論呢? 錯(cuò)解:(1)作法:①作Rt△ADC,使AD=h,AC=b. ②在直線CD上截取CB=a.
如圖24-4-20,則△ABC就是所求作的三角形.
(2)作出的三角形唯一.
(3)得出結(jié)論:有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等.
誤區(qū)分析:本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部. 正解:如圖24-4-21,作法:①作Rt△ADC,使AD=h,AC=b. ②在直線CD上截取CB=a(在點(diǎn)C的兩側(cè)). 則△ABC,△AB′C都是所求作三角形.(2)作出的三角形不唯一.
(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等. 注意:與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎.
【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】
學(xué)習(xí)基本作圖,主要是運(yùn)用觀察法,通過(guò)具體的操作,了解各種基本作圖的步驟,掌握作圖語(yǔ)言.
【規(guī)律總結(jié)】
畫復(fù)雜的圖形時(shí),如一時(shí)找不到作法,—般是先畫出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖,再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析,逐步尋找畫圖步驟.有時(shí),也可以根據(jù)已知條件和基本作圖,先作局部三角形,再以此為基礎(chǔ),根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分,從而完成全圖,這種方法稱為三角形奠基法.
拓展: 1.利用基本作圖作三角形:(1)已知三邊作三角形;(2)已知兩邊及其夾角作三角形;(3)已知兩角及其夾邊作三角形;(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形;(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形.
2.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 :
(1)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓).(2)作三角形的內(nèi)切圓.(3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 .
附件:尺規(guī)作圖簡(jiǎn)史:
“規(guī)”就是圓規(guī),是用來(lái)畫圓的工具,在我國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺,由長(zhǎng)短兩尺相交成直角而成,兩者間用木杠連接以使其牢固,其中短尺叫勾,長(zhǎng)尺叫股.矩的使用是我國(guó)古代的一個(gè)發(fā)明,山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩,女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角,加上刻度可以測(cè)量,還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字,這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩,右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之勢(shì),……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先測(cè)量地勢(shì)的高低,就必定要用勾股的道理.這也說(shuō)明矩起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述,《墨子》卷七中說(shuō)“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩,以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說(shuō)“離婁(傳說(shuō)中目力非常強(qiáng)的人)之明,公輸子(即魯班,傳說(shuō)木匠的祖師)之巧,不以規(guī)矩,不能成方圓.”可見(jiàn),在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國(guó)古代的矩上已有刻度,因此使用范圍較廣,具有較大的實(shí)用性.古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用,而忽視規(guī)矩的實(shí)用價(jià)值.因此,在作圖中對(duì)規(guī)、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺規(guī)作圖問(wèn)題.所謂尺規(guī)作圖,就是只有限次地使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛,被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄,并被判處死刑.在監(jiān)獄里,他思考改圓成方以及其他有關(guān)問(wèn)題,用來(lái)打發(fā)令人苦惱的無(wú)所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具,只能用一根繩子畫圓,用隨便找來(lái)的破木棍作直尺,當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外,對(duì)他來(lái)說(shuō),時(shí)間是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問(wèn)題.后來(lái)以理論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響,希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來(lái).由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制,使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題無(wú)法解決.最著名的是被稱為幾何三大問(wèn)題的三個(gè)古希臘古典作圖難題:立方倍積問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題.當(dāng)時(shí)很多有名的希臘數(shù)學(xué)家,都曾著力于研究這三大問(wèn)題,雖然借助于其他工具或曲線,這三大難題都可以解決,但由于尺規(guī)作圖的限制,卻一直未能如愿以償.以后兩千年來(lái),無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁,都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何,關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問(wèn)題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬(wàn)芝爾首先證明立方倍積問(wèn)題和三等分任意角問(wèn)題都屬于尺規(guī)作圖不可能問(wèn)題.1882年林德曼證明了π是無(wú)理數(shù),化圓為方問(wèn)題不可能用尺規(guī)作圖解決,這才結(jié)束了歷時(shí)兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.?
第五篇:尺規(guī)作圖知識(shí)歸納
考點(diǎn)名稱:尺規(guī)作圖
尺規(guī)作圖:是指限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫圖。一把沒(méi)有刻度的直尺看似不能做什么,畫一個(gè)圓又不知道它的半徑,畫線段又沒(méi)有精確的長(zhǎng)度。
其實(shí)尺規(guī)作圖的用處很大,比如單用圓規(guī)找出一個(gè)圓的圓心,量度一個(gè)角的角度,等等。運(yùn)用尺規(guī)作圖可以畫出與某個(gè)角相等的角,十分方便。尺規(guī)作圖的中基本作圖: 作一條線段等于已知線段; 作一個(gè)角等于已知角; 作線段的垂直平分線; 作已知角的角平分線; 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。還有:
已知一角、一邊做等腰三角形 已知兩角、一邊做三角形 已知一角、兩邊做三角形 依據(jù)公理:
還可以根據(jù)已知條件作三角形,一般分為已知三邊作三角形,已知兩邊及夾角作三角形,已知兩角及夾邊作三角形等,作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理:SSS,SAS,ASA等。注意:
保留全部的作圖痕跡,包括基本作圖的操作程序,只有保留作圖痕跡,才能反映出作圖的操作是否合理。
? ?
尺規(guī)作圖方法:
任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法: ·通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線?!ひ阎獔A心和半徑可作一個(gè)圓?!と魞梢阎本€相交,可求其交點(diǎn)。·若已知直線和一已知圓相交,可求其交點(diǎn)?!と魞梢阎獔A相交,可求其交點(diǎn)。
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解什么是尺規(guī)作圖.
2.學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖:(1)畫一條線段等于已知線段;(2)畫一個(gè)角等于已知角;(3)畫線段的垂直平分線;(4)過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線;(5)畫角平分線.
3.了解五種基本作圖的理由.
4.學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫圖過(guò)程. 5.學(xué)會(huì)利用基本作圖畫三角形等較簡(jiǎn)單的圖形. 6.通過(guò)畫圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì),體會(huì)圖形的內(nèi)在美.
【基礎(chǔ)知識(shí)精講】 1.尺規(guī)作圖:
限定只用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫圖,稱為尺規(guī)作圖.
注意:這里所指的直尺是沒(méi)有刻度的直尺,由于免去了度量,因此,用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高,它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛.
2.尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖. 3.基本作圖共有五種:
(1)畫一條線段等于已知線段. 如圖24-4-1,已知線段DE.
求作:一條線段等于已知線段. 作法:①先畫射線AB.
②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC=MN. 線段AC就是所要作的線段.(2)作一個(gè)角等于已知角. 如圖24-4-2,已知∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB. 作法:①作射線O′A′;
②以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧,交OA于C,交OB于D. ③以點(diǎn)O′為圓心,以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作弧,交O′A′于C′. ④以點(diǎn)C′為圓心,以CD為半徑作弧,交前弧于D′. ⑤經(jīng)過(guò)點(diǎn)D′作射線O′B′,∠A′O′B′就是所求的角.(3)作線段的垂直平分線. 如圖24-4-3,已知線段AB.
求作:線段AB的垂直平分線.
作法:①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)C和D.
②作直線CD.
直線CD就是線段AB的垂直平分線.
注意:直線CD與線段AB的交點(diǎn),就是AB的中點(diǎn).(4)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.
a.經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線,如圖24-4-4.
已知:直線AB和AB上一點(diǎn)C,求作:AB的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C. 作法:作平角ACB的平分線CF.
直線CF就是所求的垂線,如圖24-4-4. b.經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.
如圖24-4-5,已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作:AB的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.
作法:①任意取一點(diǎn)K,使K和C在AB的兩旁.
②以C為圓心,CK長(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E.
③分別以D和E為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F.
④作直線CF.
直線CF就是所求的垂線. 注意:經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn),作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決.(5)平分已知角.
如圖24-4-6,已知∠AOB.
求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:①在OA和OB上,分別截取OD、OE.
②分別以D、E為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,在∠AOB內(nèi),兩弧交于點(diǎn)C. ③作射線OC.
OC就是所求的射線.
注意:以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ),一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖,都是由基本作圖組成的,同學(xué)捫要高度重視,努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好.
通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí),同學(xué)們要掌握下列作圖語(yǔ)言:(1)過(guò)點(diǎn)×和點(diǎn)×畫射線××,或畫射線××.(2)在射線××上截取××=××.(3)以點(diǎn)×為圓心,××為半徑畫?。?/p>
(4)以點(diǎn)×為圓心,××為半徑畫弧,交××于點(diǎn)×.
(5)分別以點(diǎn)×,點(diǎn)×為圓心,以××,××為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)×.(6)在射線××上依次截取××=××=××.
(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××=∠×××.
注意:學(xué)過(guò)基本作圖后,在作較復(fù)雜圖時(shí),屬于基本作圖的地方,不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程,只用一句話概括敘述就可以了.
如:(1)畫線段××=××.(2)畫∠×××=∠×××.
(3)畫××平分∠×××,或畫∠×××的角平分線.(4)過(guò)點(diǎn)×畫××⊥××,垂足為點(diǎn)×.(5)作線段××的垂直平分線××,等等. 但要注意保留全部的作圖痕跡,包括基本作圖的操作程序,不能因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远鲌D就不按程序操作,只有保留作圖痕跡,才能反映出作圖的操作是否合理.
【經(jīng)典例題精講】
例1 已知兩邊及其夾角,求作三角形. 如圖24-4-7,已知:∠α,線段a、b,求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=b.
作法:①作∠MAN=∠α.
②在射線AM、AN上分別作線段AB=a,AC=b. ③連結(jié)BC.
如圖24-4-8,△ABC即為所求作的三角形.
注意:一般幾何作圖題,應(yīng)有下面幾個(gè)步驟:已知、求作、作法,比較復(fù)雜的作圖題,在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析.
例2 如圖24-4-9,已知底邊a,底邊上的高h(yuǎn),求作等腰三角形.
已知線段a、h.求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
分析:可先作出底邊BC,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì),可再作出BC的垂直平分線,從而作出BC邊上的高AD,分別連結(jié)AB和AC,即可作出等腰△ABC來(lái).
作法:(1)作線段BC=a.
(2)作線段BC的垂直平分線MN,MN與BC交于點(diǎn)D.(3)在MN上截取DA,使DA=h.(4)連結(jié)AB、AC.
如圖24-4-10,△ABC即為所求的等腰三角形.
例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高,作三角形. 如圖24-4-11,已知線段a,m,h(m>h).
求作:△ABC使它的一邊等于a,這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h).
分析:如圖24-4-12,假定△ABC已作出,其中BC=a,中線AD=m,高AE=h,在△AED中AD=m,AE=h,∠AED=90°,因此這個(gè)Rt△AED可以作出來(lái)(△AED為奠基三角形).當(dāng)Rt△AED作出后,由可得到. 的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C,于是△ABC即
作法:(1)作△AED,使∠AED=90°,AE=h,AD=m.(2)延長(zhǎng)ED到B,使.
(3)在DE或BE的延長(zhǎng)線上?。?/p>
(4)連結(jié)AB、AC.
則△ABC即為所求作的三角形.
注意:因?yàn)槿切沃校贿吷系母卟荒艽笥谶@邊上的中線,所以如果h>m,作圖題無(wú)解;若m=h,則作出的圖形為等腰三角形.
例4 如圖24-4-13,已知線段a.
求作:菱形ABCD,使其半周長(zhǎng)為a,兩鄰角之比為1∶2.
分析:因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?,“半周長(zhǎng)為a”就是菱形邊長(zhǎng)為,為此首先要將線段a等分,又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行,則同旁內(nèi)角互補(bǔ),由“鄰角之比為1∶2”可知,菱形較小內(nèi)角為60°,則菱形較短對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形.所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形,則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD.
作法:(1)作線段a的垂直平分線,等分線段a.
(2)作線段AC,使.
(3)分別以A、C為圓心,為半徑,在AC的兩側(cè)畫弧,兩弧分別交于B,D.
(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD,則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14).
注意:這種通過(guò)先畫三角形,然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”.
例5 如圖24-4-15,已知∠AOB和C、D兩點(diǎn).
求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等.
分析:要使PC=PD,則點(diǎn)P在CD的垂直平分線上,要使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等,則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上,那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)了.
作法:
(1)連結(jié)CD.
(2)作線段CD的中垂線l.
(3)作∠AOB的角平分線OM,交l于點(diǎn)P,P點(diǎn)為所求.
注意:這類定點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)需確定兩線,兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn),當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求.
【中考考點(diǎn)】
例6(2000·安徽省)如圖24-4-16,直線
表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有()
A.一處 B.二處 C.三處 D.四處 分析:到直線
距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線上,可利用作角平分線的方法找到這些點(diǎn).
解:分別作
相交所構(gòu)成的角平分線,共可作出六條,三條角平分線相交的交點(diǎn)共有四個(gè).
答案:D.
注意:本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì),在具體作圖時(shí),不可只作出位于中心位置的一處,而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn).
例7(2002·陜西省)如圖24-4-17,△ABC是一塊直角三角形余料,∠C=90°,工人師傅要把它加工成—個(gè)正方形零件,使C為正方形的—個(gè)頂點(diǎn),其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上.
(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)工人師傅測(cè)得AC=80 cm,BC=120cm,請(qǐng)幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長(zhǎng).
解:(1)作∠ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形—頂點(diǎn),作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn),如圖24-4-17.
(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x cm,∵DE∥AC,∴,∴.
∴x=48.
答:這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為48cm.
注意:本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目,要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握,同時(shí)對(duì)作出圖形的性質(zhì)要清楚.
例8(2002·山西省)如圖24-4-18①,有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪),現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí),設(shè)計(jì)兩種方案,確定這個(gè)圓形零件的半徑.
分析:欲確定這個(gè)圓形零件的半徑,可以借助三角板,T形尺或尺規(guī)作圖均可,圖②中是這個(gè)零件的半徑,圖③中OB是這個(gè)零件半徑. 解:如圖24-4-18②③所示.
【常見(jiàn)錯(cuò)誤分析】
例9 如圖24-4-19,已知線段a、b、h.
求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC邊上的高AD=h.
并回答問(wèn)題,你作出的三角形唯一嗎?從中你可以得到什么結(jié)論呢? 錯(cuò)解:(1)作法:①作Rt△ADC,使AD=h,AC=b. ②在直線CD上截取CB=a.
如圖24-4-20,則△ABC就是所求作的三角形.
(2)作出的三角形唯一.
(3)得出結(jié)論:有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等.
誤區(qū)分析:本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部. 正解:如圖24-4-21,作法:①作Rt△ADC,使AD=h,AC=b. ②在直線CD上截取CB=a(在點(diǎn)C的兩側(cè)). 則△ABC,△AB′C都是所求作三角形.(2)作出的三角形不唯一.
(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等. 注意:與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎.
【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】 學(xué)習(xí)本單元基本作圖,主要是運(yùn)用觀察法,通過(guò)具體的操作,了解各種基本作圖的步驟,掌握作圖語(yǔ)言.
【規(guī)律總結(jié)】
畫復(fù)雜的圖形時(shí),如一時(shí)找不到作法,—般是先畫出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖,再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析,逐步尋找畫圖步驟.有時(shí),也可以根據(jù)已知條件和基本作圖,先作局部三角形,再以此為基礎(chǔ),根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分,從而完成全圖,這種方法稱為三角形奠基法.
考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖 1.定義:只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖. 2.步驟:(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形,寫出已知和求作部分;(2)分析作圖的方法和過(guò)程;(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖;(4)寫出作法步驟,即作法. 考點(diǎn)二 五種基本作圖 1.作一線段等于已知線段; 2 .作一個(gè)角等于已知角; 3.作已知角的平分線; 4.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線; 5.作已知線段的垂直平分線. 考點(diǎn)三 基本作圖的應(yīng)用 1.利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形;(2)已知兩邊及其夾角作三角形;(3)已知兩角及其夾邊作三角形;(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形;
(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形. 2.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓
(即三角形的外接圓).(2)作三角形的內(nèi)切圓.
尺規(guī)作圖簡(jiǎn)史:
“規(guī)”就是圓規(guī),是用來(lái)畫圓的工具,在我國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺,由長(zhǎng)短兩尺相交成直角而成,兩者間用木杠連接以使其牢固,其中短尺叫勾,長(zhǎng)尺叫股.矩的使用是我國(guó)古代的一個(gè)發(fā)明,山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩,女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角,加上刻度可以測(cè)量,還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字,這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩,右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之勢(shì),……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先測(cè)量地勢(shì)的高低,就必定要用勾股的道理.這也說(shuō)明矩起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述,《墨子》卷七中說(shuō)“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩,以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說(shuō)“離婁(傳說(shuō)中目力非常強(qiáng)的人)之明,公輸子(即魯班,傳說(shuō)木匠的祖師)之巧,不以規(guī)矩,不能成方圓.”可見(jiàn),在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國(guó)古代的矩上已有刻度,因此使用范圍較廣,具有較大的實(shí)用性.古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用,而忽視規(guī)矩的實(shí)用價(jià)值.因此,在作圖中對(duì)規(guī)、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺規(guī)作圖問(wèn)題.所謂尺規(guī)作圖,就是只有限次地使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛,被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄,并被判處死刑.在監(jiān)獄里,他思考改圓成方以及其他有關(guān)問(wèn)題,用來(lái)打發(fā)令人苦惱的無(wú)所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具,只能用一根繩子畫圓,用隨便找來(lái)的破木棍作直尺,當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外,對(duì)他來(lái)說(shuō),時(shí)間是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問(wèn)題.后來(lái)以理論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響,希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來(lái).由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制,使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題無(wú)法解決.最著名的是被稱為幾何三大問(wèn)題的三個(gè)古希臘古典作圖難題:立方倍積問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題.當(dāng)時(shí)很多有名的希臘數(shù)學(xué)家,都曾著力于研究這三大問(wèn)題,雖然借助于其他工具或曲線,這三大難題都可以解決,但由于尺規(guī)作圖的限制,卻一直未能如愿以償.以后兩千年來(lái),無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁,都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何,關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問(wèn)題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬(wàn)芝爾首先證明立方倍積問(wèn)題和三等分任意角問(wèn)題都屬于尺規(guī)作圖不可能問(wèn)題.1882年林德曼證明了π是無(wú)理數(shù),化圓為方問(wèn)題不可能用尺規(guī)作圖解決,這才結(jié)束了歷時(shí)兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.?