第一篇：尺規(guī)三等分角不能的向量證明

定義：設(shè)S={Z0=1，Z1，...Zn}是n+1個(gè)復(fù)數(shù)，將

(1)Z0=1，Z1，...Zn叫做S-點(diǎn)；

(2)過兩個(gè)不同的S-點(diǎn)的直線叫S-直線，以一個(gè)S-點(diǎn)為圓心、任意兩個(gè)S-點(diǎn)之間的距離為半徑的圓叫S-圓；

(3)由S-直線與S-直線、S-直線與S-圓、S-圓與S-圓相交的點(diǎn)也叫S-點(diǎn)。上面這個(gè)定義完全刻畫了尺規(guī)作圖過程，如果以P表示全體S-點(diǎn)的集合，那么P也就是從S={Z0=1，Z1，...Zn}出發(fā)通過尺規(guī)作圖所得到的全部復(fù)數(shù)。

定理：設(shè)Z1，...Zn(n≥0)為n個(gè)復(fù)數(shù)。設(shè)F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，(Z'代表共軛復(fù)數(shù))，那么，一個(gè)復(fù)數(shù)Z可由S={Z0=1，Z1，...Zn}作出的充要條件是 Z屬于F(u1，...un)。其中u12屬于F, ui2 屬于F(u1，...ui-1)。換言之，Z含于F的一個(gè)2次根號(hào)擴(kuò)張。

系： 設(shè)S={Z0=1，Z1，...Zn}，F(xiàn)= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，Z為S-點(diǎn)，則 [ F(z)：F] 是2的方冪。

以下證明三等分任意角不可能性，證明尺規(guī)作圖不能三等分60度角： 證明：所謂給了60度角，相當(dāng)于給了復(fù)數(shù)Z1=1/2+√3/2 i。從而S={Z0=1, Z1}，F(xiàn)=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，當(dāng)然也能得到cos20，但是cos20滿足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可約，從而[Q(cos20)：Q]=3，于是

6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]

由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根據(jù)上面的系可知cos20不是S-點(diǎn)，從而20度不可能三等分。證畢

第二篇：淺談尺規(guī)作圖

淺談尺規(guī)作圖

所屬縣：廣西百色市凌云縣

單 位：廣西百色市凌云縣凌云中學(xué)

姓 名：唐奕清

內(nèi)容提要：尺規(guī)作圖，具有悠久的歷史淵源、豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)內(nèi)涵。但由于各種原因，尺規(guī)作圖的教學(xué)存在著許多不利因素。我們需正視困難和問題，尋找解決問題的途徑，提高尺規(guī)作圖的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖 教學(xué)意義 教學(xué)困難 提高途徑

尺規(guī)作圖，是指有限次使用無刻度的直尺和圓規(guī)來解決不同的幾何作圖問題。尺規(guī)作圖有著悠久的歷史，古希臘人最早提出了尺規(guī)作圖。后經(jīng)希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》一書中以理論形式加以明確，并被人們一直所遵守，進(jìn)而流傳至今。

在我國，關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)一直有著優(yōu)良的教學(xué)傳統(tǒng)。根據(jù)張景中院士的回憶，在1978年舉行的全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)學(xué)家蘇步青就曾寫信向主持命題工作的數(shù)學(xué)大師華羅庚建議，出一道有關(guān)尺規(guī)作圖的題目作為考試試題。[1]這種重視尺規(guī)作圖的意識(shí)，進(jìn)一步在《全日制九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中得到了體現(xiàn)?！稑?biāo)準(zhǔn)》中明確要求學(xué)生能完成一些基本的尺規(guī)作圖，并能根據(jù)一些基本作圖探索一些問題；對(duì)于尺規(guī)作圖的過程，要求能寫出已知、求作和作法。

尺規(guī)作圖不僅有悠久的歷史淵源，也擁有著豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)內(nèi)涵。首先，尺規(guī)作圖能夠豐富教學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。眾所周知，尺規(guī)作圖是一種由學(xué)生實(shí)際執(zhí)行的操作，具有不可替代的直觀性，十分符合讓學(xué)生自己動(dòng)手解決問題的教學(xué)理念。在實(shí)際教學(xué)中，尺規(guī)作圖是一種情境的創(chuàng)設(shè)，即要求在某種條件下，由學(xué)生自己動(dòng)手解決問題。學(xué)生能作出一張符合要求的圖形，是一種具有挑戰(zhàn)性的創(chuàng)造活動(dòng)，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。因此，在幾何教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“觀察、操作、推理”的今天，尺規(guī)作圖理應(yīng)得到足夠的重視.[2] 其次，尺規(guī)作圖能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣、嚴(yán)密的邏輯思維和空間想象能力。尺規(guī)作圖的一般步驟如下：①要求學(xué)生畫出草圖，假設(shè)圖形已作出；②根據(jù)圖形分析畫法；③利用尺規(guī)嚴(yán)格操作并寫出作法；④若要求證明，就給出證明；否則就寫出結(jié)論。學(xué)生嚴(yán)格按照步驟進(jìn)行作圖的過程，正是一個(gè)猜想、操作、驗(yàn)證的過程，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力。[3]另外，尺規(guī)作圖能有效的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。而空間想象能力正是立體幾何教學(xué)中的重難點(diǎn)，它直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的效果。從二維到三維的轉(zhuǎn)變，是學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀世界，改造世界的基礎(chǔ)。尺規(guī)作圖可以使學(xué)生積累相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)，能有效的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，是立體幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。

第三，尺規(guī)作圖既能展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，又能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，具有良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)美是一種特殊的美，是美的高級(jí)形式。著名哲學(xué)家沙利文曾說過：“優(yōu)美的公式就如但丁神曲中的詩句，黎曼的幾何與鋼琴合奏曲一樣優(yōu)美?！痹谡n堂教學(xué)中，向?qū)W生展示標(biāo)準(zhǔn)圖形，能讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)美，啟發(fā)思維，深化知識(shí)的理解。學(xué)生自己動(dòng)手，尺規(guī)作圖，則能提高審美認(rèn)識(shí)，陶冶情操。

此外，尺規(guī)作圖有著許多規(guī)范的作圖語句，如：(l)過點(diǎn)X作某個(gè)平面的垂線，垂足為點(diǎn)X；(2)過點(diǎn)X作直線XX的平行線，交直線XX于點(diǎn)X；(3)在XX上截取XX=XX；(4)延長XX到點(diǎn)X，使XX=XX；(5)在線段XX上取中點(diǎn)X，連結(jié)XX等等。這些規(guī)范作圖語句的使用，既可以避免在考試中出現(xiàn)不必要的失分，也能培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的書面表達(dá)能力和與他人合作交流的能力。因此，我們必須重視尺規(guī)作圖的教學(xué)作用，正視有關(guān)尺規(guī)作圖的教學(xué)問題。

然而，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、推廣和工業(yè)生產(chǎn)的需要，各種各樣精密的作圖工具開始出現(xiàn)。這些工具的使用，雖然方便了人們的需要，但也使得一些人開始懷疑和輕視尺規(guī)作圖的作用。目前，這種思想已經(jīng)開始在課堂上漫延，一些教師出于各種原因，淡化了尺規(guī)作圖，甚至于在課堂上根本不尺規(guī)作圖。結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，我個(gè)人認(rèn)為出現(xiàn)這種現(xiàn)象有以下幾個(gè)原因，并結(jié)合教學(xué)實(shí)際，提出一些解決問題的途徑，與大家交流，僅供大家參考。

（1）：正確認(rèn)識(shí)教師的角色。

數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)以學(xué)生為本的教育理念，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，倡導(dǎo)平等交往、互動(dòng)合作、共同發(fā)展的師生關(guān)系，這就要求教師能夠正確認(rèn)識(shí)自身角色。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：教師不僅是課程的實(shí)施者，而且也是課程的研究、建設(shè)和資源開發(fā)的重要力量；教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。[4]在日常的教學(xué)活動(dòng)中，教師必須起到引導(dǎo)者和組織者的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成尺規(guī)作圖的良好習(xí)慣，組織專門的尺規(guī)作圖教學(xué)，在教學(xué)活動(dòng)的開展過程中與學(xué)生深入交流、合作，提高學(xué)生的尺規(guī)作圖水平。

（2）：高度認(rèn)識(shí)尺規(guī)作圖的作用。之所以出現(xiàn)教師上課“作草圖”、學(xué)生解題“作草圖”，甚至于在考試中也“作草圖”的現(xiàn)象，對(duì)尺規(guī)作圖作用的認(rèn)識(shí)不夠是根本原因。正所謂：天再高又怎樣，踮起腳尖就更接近陽光，不管出現(xiàn)多少精密、復(fù)雜的制圖儀器，尺規(guī)作圖是掌握這些儀器的基礎(chǔ)，在教學(xué)和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中具有不可替代的作用。所以，在當(dāng)前教材中，從小學(xué)、初中到高中數(shù)學(xué)教材，從平面作圖到立體作圖，都以專門的章節(jié)突顯了尺規(guī)作圖的特色和作用。因此，我們要高度認(rèn)識(shí)到尺規(guī)作圖的作用（前文已述，此處不再贅述），才能提高廣大師生的尺規(guī)作圖水平，達(dá)到數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

（3）：不舍本逐末，將尺規(guī)作圖深入課堂，持之以恒。許多教師和學(xué)生認(rèn)為：尺規(guī)作圖很麻煩，需要一定的時(shí)間，對(duì)解題無甚幫助，影響到解題的速度。殊不知，這是本末倒置的做法。俄國數(shù)學(xué)家沙雷金就說過：未來的幾何學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)重視以下四個(gè)步驟，直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算。但是中國的幾何教學(xué)，把前兩個(gè)步驟忽略了，變成純粹的思辨論證，以及論證基礎(chǔ)上的計(jì)算。缺乏直觀，實(shí)際上就扼殺了幾何。[5]這句話一語中的的點(diǎn)出了當(dāng)前在幾何教學(xué)中存在的問題。正確的做法是：在教學(xué)過程中，教師和學(xué)生都應(yīng)當(dāng)尺規(guī)作圖，這樣才可以增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知能力。而直觀感知能力，是問題解決的第一步，也可為以后的作圖和解題積累經(jīng)驗(yàn)，提高尺規(guī)作圖的速度和效率。此外，冰凍三尺，非一日之寒，培養(yǎng)學(xué)生的尺規(guī)作圖能力不是一日這功。教師更不能“三天打漁，兩天曬網(wǎng)”，而應(yīng)當(dāng)將尺規(guī)作圖深入到幾何教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，并且持之以恒，才能達(dá)到良好的培養(yǎng)尺規(guī)作圖能力的效果。

（4）：認(rèn)真解決在尺規(guī)作圖教學(xué)中遇到的問題。

在尺規(guī)作圖的教學(xué)和使用過程中會(huì)遇到許多困難和障礙,正視這些問題，并有效地解決它，是提高尺規(guī)作圖教學(xué)效果的關(guān)鍵。學(xué)生遇到的問題主要有心理障礙、操作障礙和語言障礙等等。解決這些問題的方法多樣，許多專家和教師都各有妙招，大家可以查找相關(guān)文獻(xiàn)去閱讀，解決自己在具體教學(xué)中遇到的問題。但是有一個(gè)總的方針必須把握，那就是：首先應(yīng)讓學(xué)生明確作圖題與證明題在本質(zhì)、形式、思維依據(jù)、思維方式上的區(qū)別與統(tǒng)一，以減少論證思維對(duì)作圖題的消極影響。其次，也是最重要的一條是根據(jù)學(xué)生邏輯推理思維往往要依賴直觀、具體的形象的客觀實(shí)際，要求學(xué)生在分析作圖步驟之前，先按求作畫出草圖，并在草圖中盡量標(biāo)出已知的條件，使求作的圖形形象而又具體地展現(xiàn)在學(xué)生面前，化抽象為直觀。然后再根據(jù)已知條件，并以“兩點(diǎn)定線”、“兩線定點(diǎn)”的原則考慮作圖的步驟。[6]（5）：引入多媒體教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。雖然尺規(guī)作圖僅限于使用無刻度的直尺和圓規(guī)，但這并不妨礙我們引入多媒體這一先進(jìn)的教學(xué)手段。通過使用投影儀，教師可以使用和學(xué)生一樣的直尺，圓規(guī)，進(jìn)行作圖。親歷親為的教學(xué)，可以加強(qiáng)學(xué)生的直觀感知，提高教學(xué)效果。此外，附帶有尺規(guī)作圖功能的作圖軟件，如：幾何畫板、authorware等軟件都可輕松地展現(xiàn)詳細(xì)、精確的制圖過程。尺規(guī)作圖的多媒體教學(xué)，既可節(jié)省教學(xué)時(shí)間，同時(shí)又可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為以后學(xué)生使用更復(fù)雜、精密的制圖儀器打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，這要求教師們不斷提高自身的綜合素質(zhì)，熟練掌握這些優(yōu)秀、實(shí)用的尺規(guī)作圖軟件，與時(shí)俱進(jìn)，否則會(huì)事倍功半，事得其反。

總之，尺規(guī)作圖具有豐富的教學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)意義，在幾何教學(xué)中的意義越來越顯著。廣大師生應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到尺規(guī)作圖的重要內(nèi)涵，正視在尺規(guī)作圖教學(xué)中遇到的問題，解決它，從而不斷提高教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生的發(fā)展奠基。

參考文獻(xiàn)

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[3]劉芳.對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的三個(gè)思考.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2009年第10期

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)).北京:人民教育出版社.2003-4-1 [5]沙雷金[呂乃剛譯].直觀幾何.上海：華東師范大學(xué)出版社.2001-1-1.[6]王孝波.尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)障礙及教學(xué)對(duì)策.教學(xué)研究.1998年第1期

第三篇：用尺規(guī)作線段與角教案

4.6用尺規(guī)作線段與角

教學(xué)目標(biāo)

1．會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段． 2．會(huì)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角． 3．會(huì)利用基本作圖進(jìn)行簡單的尺規(guī)作圖． 教學(xué)重難點(diǎn)

1．用尺規(guī)作線段(角)等于已知線段(角)． 2．線段的和、差、倍、分的作法． 3．角的和、差、倍、分的作法． 教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常見到一些美麗的圖案，如下列圖案．

圖案(1)、(2)、(3)是我們曾經(jīng)畫過的．想一想，這些圖案是利用哪些作圖工具畫出的？ 直尺、圓規(guī)和三角尺是常用的作圖工具，利用這些工具可以作出很多的幾何圖形．在以后的作圖中，我們運(yùn)用最多的作圖工具是沒有刻度的直尺和圓規(guī)．我們把只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)的作圖稱為尺規(guī)作圖．這一節(jié)我們就來學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖——用尺規(guī)作線段與角．(板書課題)

推進(jìn)新課

1．作一條線段等于已知線段

活動(dòng)一：學(xué)生預(yù)習(xí)課本例1，教師按照下面作圖步驟演示作圖過程． 已知：線段AB.求作：線段A′B′，使A′B′＝AB.作法：(1)作射線A′C′.(2)以點(diǎn)A′為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交射線A′C′于點(diǎn)B′.A′B′就是所求的線段．

教師總結(jié)：今后的作圖中，要注意作圖步驟的書寫．就現(xiàn)在來說，只要求大家了解尺規(guī)作圖的步驟．

2．作一個(gè)角等于已知角

活動(dòng)二：學(xué)生預(yù)習(xí)課本例2，教師按照例題的作圖步驟演示作圖過程． 已知：∠AOB(如圖1)．

求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.圖1 作法：

(1)在∠AOB上以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)P，Q(如圖1)；(2)作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心，OP長為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；(3)以點(diǎn)D為圓心，PQ長為半徑畫弧交第(2)步中所畫弧于點(diǎn)F；(4)作射線EF(如圖2)．∠DEF即為所求作的角．

圖2 教師總結(jié)：用尺規(guī)作圖具有以下四個(gè)步驟：(1)已知，即：已知的條件是什么．

(2)求作，即：所要作的最終的結(jié)果是什么，滿足什么條件．

(3)分析，即：分析如何作出所要求作的圖形，一般不用寫出來．(4)作法，這是作圖的主要步驟，在這里要寫清作圖的過程．

鞏固訓(xùn)練

1．課本練習(xí)

2．畫一個(gè)鈍角∠AOB，然后以O(shè)為頂點(diǎn)，以O(shè)A為一邊，在角的內(nèi)部畫一條射線OC，使∠AOC＝90°，正確的圖形是()．

3．下列尺規(guī)作圖的語句錯(cuò)誤的是()． A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠1 B．以點(diǎn)O為圓心作弧

C．以點(diǎn)A為圓心，線段a的長為半徑作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠1＋∠2

本課小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)你有哪些收獲？

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作一條線段等于已知線段和作一個(gè)角等于已知角．正式呈現(xiàn)了尺規(guī)作圖的步驟，寫出了“已知”“求作”，且按照程序化的方式寫出了“作法”．大家在今后的作圖中，要按這些步驟進(jìn)行．要特別注意的是：作圖時(shí)一定要保留作圖痕跡．

尺規(guī)作圖與“幾何作圖三大難題”

尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作圖．由于對(duì)作圖工具的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題難以解決．利用尺規(guī)可以將任意角二等分，那么能利用尺規(guī)將一個(gè)任意角三等分嗎？你能作出一個(gè)立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的2倍嗎？利用尺規(guī)我們能作立方體和圓，那你能不能作一個(gè)正方形使其與給定的圓的面積相等？這三個(gè)由尺規(guī)作圖引出的問題，便是數(shù)學(xué)史上著名的幾何三大問題．它是公元前5世紀(jì)首次由古希臘雅典城內(nèi)一個(gè)包括各方面學(xué)者的智者(巧辯)學(xué)派提出的．這三個(gè)作圖題一般分別稱為：1.三等分角；2.倍立方體；3.化圓為方．

第四篇：尺規(guī)作圖專題詳盡歸納

考點(diǎn)名稱：尺規(guī)作圖

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．了解什么是尺規(guī)作圖．

2．學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個(gè)角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點(diǎn)畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．

3．了解五種基本作圖的理由．

4．學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語言敘述畫圖過程． 5．學(xué)會(huì)利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形． 6．通過畫圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)，體會(huì)圖形的內(nèi)在美．

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】 1．尺規(guī)作圖：

?定義：限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖．

注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛．

?步驟：(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法。（根據(jù)題目要求來定是否需要寫出作法）

2．尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖．任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種.3．基本作圖共有五種：

(1)畫一條線段等于已知線段． 如圖24-4-1，已知線段DE．

求作：一條線段等于已知線段． 作法：①先畫射線AB．

②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC＝MN． 線段AC就是所要作的線段．(2)作一個(gè)角等于已知角． 如圖24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射線O′A′；

②以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D． ③以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′于C′． ④以點(diǎn)C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′． ⑤經(jīng)過點(diǎn)D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線． 如圖24-4-3，已知線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D．

②作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

注意：直線CD與線段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)．(4)經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線．

a．經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線，如圖24-4-4．

已知：直線AB和AB上一點(diǎn)C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C． 作法：作平角ACB的平分線CF．

直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4． b．經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．

如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C．

作法：①任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁．

②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．

③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F．

④作直線CF．

直線CF就是所求的垂線． 注意：經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．

如圖24-4-6，已知∠AOB．

求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．

②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C．

③作射線OC．

OC就是所求的射線．

注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好．

通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語言：(1)過點(diǎn)×和點(diǎn)×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫?。?/p>

(4)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點(diǎn)×．

(5)分別以點(diǎn)×，點(diǎn)×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××＝∠×××． 注意：學(xué)過基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時(shí)，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只用一句話概括敘述就可以了．

如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．

(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點(diǎn)×畫××⊥××，垂足為點(diǎn)×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等． 但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远鲌D就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．

【經(jīng)典例題精講】

例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形． 如圖24-4-7，已知：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b． ③連結(jié)BC．

如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．

注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個(gè)步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析．

例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h(yuǎn)，求作等腰三角形．

已知線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰△ABC來．

作法：(1)作線段BC＝a．

(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點(diǎn)D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結(jié)AB、AC．

如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形． 如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．

分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個(gè)Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當(dāng)Rt△AED作出后，由可得到． 的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延長ED到B，使．

(3)在DE或BE的延長線上取．

(4)連結(jié)AB、AC．

則△ABC即為所求作的三角形．

注意：因?yàn)槿切沃校贿吷系母卟荒艽笥谶@邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4 如圖24-4-13，已知線段a．

求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．

分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟龋鞍胫荛L為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行，則同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形．所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．

作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．

(2)作線段AC，使．

(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D．

(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．

注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5 如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)．

求作一點(diǎn)P，使PC＝PD，且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．

分析：要使PC＝PD，則點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，要使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)了．

作法：(1)連結(jié)CD．

(2)作線段CD的中垂線l．

(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點(diǎn)P，P點(diǎn)為所求．

注意：這類定點(diǎn)問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn)，當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求．

【中考考點(diǎn)】

例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線

表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 分析：到直線

距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點(diǎn)．

解：分別作

相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點(diǎn)共有四個(gè)．

答案：D．

注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時(shí)，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn)．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個(gè)正方形零件，使C為正方形的—個(gè)頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上．

(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)工人師傅測得AC＝80 cm，BC＝120cm，請(qǐng)幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．

解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形—頂點(diǎn)，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖24-4-17．

(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長為x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：這個(gè)正方形零件的邊長為48cm．

注意：本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目，要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握，同時(shí)對(duì)作出圖形的性質(zhì)要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪)，現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)兩種方案，確定這個(gè)圓形零件的半徑．

分析：欲確定這個(gè)圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖②中是這個(gè)零件的半徑，圖③中OB是這個(gè)零件半徑． 解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯(cuò)誤分析】

例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．

并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？ 錯(cuò)解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a．

如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等．

誤區(qū)分析：本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部． 正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a(在點(diǎn)C的兩側(cè))． 則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等． 注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎．

【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】

學(xué)習(xí)基本作圖，主要是運(yùn)用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規(guī)律總結(jié)】

畫復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，—般是先畫出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時(shí)，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

拓展： 1．利用基本作圖作三角形：(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；（5）已知一直角邊和斜邊作直角三角形．

2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 ：

(1)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．（3）作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 ．

附件：尺規(guī)作圖簡史：

“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個(gè)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠(yuǎn)的中國古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強(qiáng)的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實(shí)用性.古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用，而忽視規(guī)矩的實(shí)用價(jià)值.因此，在作圖中對(duì)規(guī)、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規(guī)作圖問題.所謂尺規(guī)作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，并被判處死刑.在監(jiān)獄里，他思考改圓成方以及其他有關(guān)問題，用來打發(fā)令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外，對(duì)他來說，時(shí)間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問題.后來以理論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來.由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個(gè)古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當(dāng)時(shí)很多有名的希臘數(shù)學(xué)家，都曾著力于研究這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由于尺規(guī)作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后兩千年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規(guī)作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是無理數(shù)，化圓為方問題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時(shí)兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.?

第五篇：尺規(guī)作圖知識(shí)歸納

考點(diǎn)名稱：尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖：是指限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來完成的畫圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什么，畫一個(gè)圓又不知道它的半徑，畫線段又沒有精確的長度。

其實(shí)尺規(guī)作圖的用處很大，比如單用圓規(guī)找出一個(gè)圓的圓心，量度一個(gè)角的角度，等等。運(yùn)用尺規(guī)作圖可以畫出與某個(gè)角相等的角，十分方便。尺規(guī)作圖的中基本作圖： 作一條線段等于已知線段； 作一個(gè)角等于已知角； 作線段的垂直平分線； 作已知角的角平分線； 過一點(diǎn)作已知直線的垂線。還有：

已知一角、一邊做等腰三角形 已知兩角、一邊做三角形 已知一角、兩邊做三角形 依據(jù)公理：

還可以根據(jù)已知條件作三角形，一般分為已知三邊作三角形，已知兩邊及夾角作三角形，已知兩角及夾邊作三角形等，作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。注意：

保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。

? ?

尺規(guī)作圖方法：

任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法： ·通過兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線。·已知圓心和半徑可作一個(gè)圓?！と魞梢阎本€相交，可求其交點(diǎn)?！と粢阎本€和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)?！と魞梢阎獔A相交，可求其交點(diǎn)。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．了解什么是尺規(guī)作圖．

2．學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個(gè)角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點(diǎn)畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．

3．了解五種基本作圖的理由．

4．學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語言敘述畫圖過程． 5．學(xué)會(huì)利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形． 6．通過畫圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)，體會(huì)圖形的內(nèi)在美．

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】 1．尺規(guī)作圖：

限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖．

注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛．

2．尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖． 3．基本作圖共有五種：

(1)畫一條線段等于已知線段． 如圖24-4-1，已知線段DE．

求作：一條線段等于已知線段． 作法：①先畫射線AB．

②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC＝MN． 線段AC就是所要作的線段．(2)作一個(gè)角等于已知角． 如圖24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射線O′A′；

②以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D． ③以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′于C′． ④以點(diǎn)C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′． ⑤經(jīng)過點(diǎn)D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線． 如圖24-4-3，已知線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D．

②作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

注意：直線CD與線段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)．(4)經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線．

a．經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線，如圖24-4-4．

已知：直線AB和AB上一點(diǎn)C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C． 作法：作平角ACB的平分線CF．

直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4． b．經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．

如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C．

作法：①任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁．

②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．

③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F．

④作直線CF．

直線CF就是所求的垂線． 注意：經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．

如圖24-4-6，已知∠AOB．

求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．

②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C． ③作射線OC．

OC就是所求的射線．

注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好．

通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語言：(1)過點(diǎn)×和點(diǎn)×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫?。?/p>

(4)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點(diǎn)×．

(5)分別以點(diǎn)×，點(diǎn)×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××＝∠×××．

注意：學(xué)過基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時(shí)，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只用一句話概括敘述就可以了．

如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．

(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點(diǎn)×畫××⊥××，垂足為點(diǎn)×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等． 但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远鲌D就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．

【經(jīng)典例題精講】

例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形． 如圖24-4-7，已知：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b． ③連結(jié)BC．

如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．

注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個(gè)步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析．

例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h(yuǎn)，求作等腰三角形．

已知線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰△ABC來．

作法：(1)作線段BC＝a．

(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點(diǎn)D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結(jié)AB、AC．

如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形． 如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．

分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個(gè)Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當(dāng)Rt△AED作出后，由可得到． 的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延長ED到B，使．

(3)在DE或BE的延長線上?。?/p>

(4)連結(jié)AB、AC．

則△ABC即為所求作的三角形．

注意：因?yàn)槿切沃?，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4 如圖24-4-13，已知線段a．

求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．

分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟龋鞍胫荛L為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行，則同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形．所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．

作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．

(2)作線段AC，使．

(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D．

(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．

注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5 如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)．

求作一點(diǎn)P，使PC＝PD，且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．

分析：要使PC＝PD，則點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，要使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)了．

作法：

(1)連結(jié)CD．

(2)作線段CD的中垂線l．

(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點(diǎn)P，P點(diǎn)為所求．

注意：這類定點(diǎn)問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn)，當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求．

【中考考點(diǎn)】

例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線

表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 分析：到直線

距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點(diǎn)．

解：分別作

相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點(diǎn)共有四個(gè)．

答案：D．

注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時(shí)，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn)．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個(gè)正方形零件，使C為正方形的—個(gè)頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上．

(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)工人師傅測得AC＝80 cm，BC＝120cm，請(qǐng)幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．

解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形—頂點(diǎn)，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖24-4-17．

(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長為x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：這個(gè)正方形零件的邊長為48cm．

注意：本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目，要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握，同時(shí)對(duì)作出圖形的性質(zhì)要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪)，現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)兩種方案，確定這個(gè)圓形零件的半徑．

分析：欲確定這個(gè)圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖②中是這個(gè)零件的半徑，圖③中OB是這個(gè)零件半徑． 解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯(cuò)誤分析】

例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．

并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？ 錯(cuò)解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a．

如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等．

誤區(qū)分析：本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部． 正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a(在點(diǎn)C的兩側(cè))． 則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等． 注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎．

【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】 學(xué)習(xí)本單元基本作圖，主要是運(yùn)用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規(guī)律總結(jié)】

畫復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，—般是先畫出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時(shí)，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖 1．定義：只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖． 2．步驟：(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法． 考點(diǎn)二 五種基本作圖 1．作一線段等于已知線段； 2 ．作一個(gè)角等于已知角； 3．作已知角的平分線； 4．過一點(diǎn)作已知直線的垂線； 5．作已知線段的垂直平分線． 考點(diǎn)三 基本作圖的應(yīng)用 1．利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形． 2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓

(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．

尺規(guī)作圖簡史：

“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個(gè)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠(yuǎn)的中國古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強(qiáng)的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實(shí)用性.古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用，而忽視規(guī)矩的實(shí)用價(jià)值.因此，在作圖中對(duì)規(guī)、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規(guī)作圖問題.所謂尺規(guī)作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，并被判處死刑.在監(jiān)獄里，他思考改圓成方以及其他有關(guān)問題，用來打發(fā)令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外，對(duì)他來說，時(shí)間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問題.后來以理論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來.由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個(gè)古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當(dāng)時(shí)很多有名的希臘數(shù)學(xué)家，都曾著力于研究這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由于尺規(guī)作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后兩千年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規(guī)作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是無理數(shù)，化圓為方問題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時(shí)兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.?