第一篇:全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(1995年)
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1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題
第一試
一、選擇題
1.已知a=355,b=444,c=533,則有[
]
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b
D.a(chǎn)<c<b
A.1 B.2
C.3
D.4 3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是
4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓,那么此圓的周長為 [
]
A.62π B.63π C.64π D.65π 5.設(shè)AB是⊙O的一條弦,CD是⊙O的直徑,且與弦AB相交,記M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,則 [
]
A.M>N
B.M=N
C.M<N D.M、N的大小關(guān)系不確定 6.設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,則[
]
A.a(chǎn)>0且b>0 B.a(chǎn)<0且b>0 C.a(chǎn)>0且b<0 D.a(chǎn)<0且b<0
二、填空題
1.在12,22,32…,952這95個(gè)數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____個(gè)。
4.以線段AB為直徑作一個(gè)半圓,圓心為O,C是半圓周上的點(diǎn),且OC2=AC·BC,則∠CAB=______.
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第二試
一、已知∠ACE=∠CDE=90°,點(diǎn)B在CE上,CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F(如圖)求證F為△CDE的內(nèi)心。
二、在坐標(biāo)平面上,縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)
理由。
三、試證:每個(gè)大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。
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1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案
第一試
一、選擇題
1.講解:這類指數(shù)冪的比較大小問題,通常是化為同底然后比較指數(shù),或化為同指數(shù)然后比較底數(shù),本題是化為同指數(shù),有
c=(53)11=12511 <24311=(35)11=a
<25611=(44)11=b。選C。
利用lg2=0.3010,lg3=0.4771計(jì)算lga、lgb、lgc也可以,但沒有優(yōu)越性。
2.講解:這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定z=1,進(jìn)而可求出兩個(gè)解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程組
直接判斷:因?yàn)閤≠y(否則不是正整數(shù)),故方程組①或無解或有兩個(gè)解,對(duì)照選擇支,選B。
3.講解:顯然,方程的一個(gè)根為1,另兩根之和為x1+x2=2>1。三根能作為一個(gè)三角形的三邊,須且只須|x1-x2|<1又
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有0≤4-4m<1.
4.講解:四個(gè)選擇支表明,圓的周長存在且唯一,從而直徑也存在且唯一.又由
AB2+AD2 =252+602
=52×(52+122)=52×132
=(32+42)×132 =392+522 =BC2+CD2
故可取BD=65為直徑,得周長為65π,選D.
5.講解:此題的得分率最高,但并不表明此題最容易,因?yàn)橛行┛忌睦碛墒清e(cuò)誤的.比如有的考生取AB為直徑,則M=N=0,于是就選B.其實(shí),這只能排除A、C,不能排除D.
不失一般性,設(shè)CE≥ED,在CE上取CF=ED,則有OF=OE,且S△第 4 頁 http://004km.cn
ACE-S△ADE=S△AEF=2S△AOE.同理,S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=N.選B.
若過C、D、O分別作AB的垂線(圖3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分別為E、F、L.連CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂徑分弦定理,知L是EF的中點(diǎn).根據(jù)課本上做過的一道作業(yè):梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊,并且等于兩底差的一半,有
|CE-DF|=2OL.
即M=N.選B.
6.講解:取a=-
1、b=2可否定A、C、D,選B.一般地,對(duì)已知不等式平方,有
|a|(a+b)>a|a+b|.
顯然|a||(a+b)|>0(若等于0,則與上式矛盾),有
兩邊都只能取1或-1,故只有1>-1,即
有a<0且a+b>0,從而b>-a>0.選B.
二、填空題
1.講解:本題雖然以計(jì)算為載體,但首先要有試驗(yàn)觀察的能力.經(jīng)計(jì)算12,22,…,102,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42=16,62=36.然后,對(duì)兩位數(shù)10a+b,有
(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.
其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù),故兩位數(shù)的平方中,也中有b=4或6時(shí),其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù),問題轉(zhuǎn)化為,在1,2,…,95中個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次4或6,有2×9+1=19.
2.講解:這類問題一般都先化簡(jiǎn)后代值,直接把a(bǔ)
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學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確,最后又不會(huì)將a2+a作為整體代入.這里關(guān)鍵是整體代入,抓住這一點(diǎn),計(jì)算可以靈活.比如,由①有
由②-①,得
由③-②并將④代入,得
還可由①得
⑥÷⑤即得所求.
3.講解:這個(gè)題目是將二次函數(shù)y=x2-x與反比例函數(shù)
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因而x=1時(shí),y有最小值1.
4.講解:此題由筆者提供,原題是求sin
∠CAB,讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°、sin15°.解法如下:
與AB2=AB2+AC2 ② 聯(lián)立,可推出
而式①、③表明,AB、AC是二次方程
改為求∠CAB之后,思路更寬一些.如,由
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第二試
一、講解:首先指出,本題有IMO29-5(1989年)的背景,該題是:在直角△ABC中,斜邊BC上的高,過△ABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC于K和L,△ABC和△AKL的面積分別記為S和T.求證S≥2T.
在這個(gè)題目的證明中,要用到AK =AL=AD.
今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來,先給出AK=AL=AD(斜邊上的高),再求證KL通過△ABD、△ADC的內(nèi)心(圖7).
其次指出,本題的證法很多,但思路主要有兩個(gè):其一,連FC、FD、FE,然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線;其二是過F作三邊的垂線,然后證明其中兩條垂線段相等.下面是幾個(gè)有代表性的證法.
證法1:如圖6,連DF,則由已知,有
連BD、CF,由CD=CB,知 ∠FBD=∠CBD-45° =∠CDB-45°=∠FDB,得FB=FD,即F到B、D和距離相等,F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上,從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上,CF是∠ECD的平分線.
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由于F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn),因而就是△CDE的內(nèi)心. 證法2:同證法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四點(diǎn)共圓.連EF,在證得
∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分線.
本來,點(diǎn)E的信息很少,證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的,但四點(diǎn)共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了,因而證法2并不比證法1復(fù)雜.
由這個(gè)證明可知,F(xiàn)是△DCB的外心.
證法4:如圖8,只證CF為∠DCE的平分線.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2,∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1 得∠1=∠2.
從而∠DCF=∠GCF,得CF為∠DCE的平分線.
證法5:首先DF是∠CDE的平分線,故 △CDE的外心I在直線DF上.
現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系,并記CA=CB=CD=d,則直線AB是一次函數(shù)
y=-x+d ①
第 9 頁 http://004km.cn 的圖象(圖9).若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為(x1,y1),則 x1+y1=CH+I(xiàn)H
=CH+HB=CB=d
滿足①,即I在直線AB上,但I(xiàn)在DF上,故I是AB與DF的交點(diǎn).由交點(diǎn)的唯一性知I就是F,從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心.
還可延長ED交⊙O于P1,而CP為直徑來證.
二、講解:此題的原型由筆者提供.題目是:
于第一象限內(nèi),縱坐標(biāo)小于橫坐標(biāo)的格點(diǎn).
這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式
求正整數(shù)解.直接解,數(shù)字較繁.但有巧法,由
及1≤y<x,知1+2+…+(x-1)<1995<1+2+…+x.
但1953=1+2+…+62<1995<1+2+…+62+63=2016,得x=63,從而y=21,所求的格點(diǎn)為(21,63).
經(jīng)過命題組的修改之后,數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算.
有x2-x+18≤10|x|.
當(dāng)x≥0時(shí),有x2-11x+18≤0,得2≤x≤9,代入二次函數(shù),得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn):(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);
當(dāng)x<0時(shí),有 x2+9x+18≤0,得-6≤x≤-3,代入二次函數(shù),得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn):
(-6,6),(-3,3).
對(duì)x≥0,取x=2,4,7,9,12,14,…順次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且當(dāng)x>9時(shí),由
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對(duì)x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…順次代入,得(-3,3)、(-6,6),且當(dāng)x<-6時(shí),由
知y>-x,再無滿足y≤|x|的解. 故一共有6個(gè)整點(diǎn),圖示略.
解法3:先找滿足條件y=|x|的整點(diǎn),即分別解方程 x2-11x+18=0 ① x2+9x+18=0 ②
可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).
再找滿足y<|x|的整點(diǎn),這時(shí) 2<x<9或-6<x<-3,依次檢驗(yàn)得(4,3)、(7,6).故共有6個(gè)整點(diǎn).
三、講解:直觀上可以這樣看,當(dāng)n>6時(shí),在2,3,…,n-2中,必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n-2),記
B=n-A≥2,有n=A+B.
此時(shí),A與B必互質(zhì),否則A與B有公約數(shù)d>1,則d也是n的約數(shù),從而A與n有大于1的公約數(shù),與A、n互質(zhì)矛盾.
但是,對(duì)于初中生來說,這個(gè)A的存在性有點(diǎn)抽象,下面分情況,把它具體找出來.
(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有 n=2+(n-2),(2)當(dāng)n為偶數(shù),但不是4的倍數(shù)時(shí),有
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(3)當(dāng)n為偶數(shù),且又是4的倍數(shù)時(shí),有
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第二篇:1996年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案
1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題
A.M>N
B.M=N
C.M<N
D.不確定
A.有一組 B.有二組
C.多于二組
D.不存在
3.如圖,A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn),OA=2,AB是圓O的切線,B是切點(diǎn),弦BC∥OA,連結(jié)AC,則陰影部分的面積等于 [
]
4.設(shè)x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個(gè)根,那么x13?4x22+19的值等于 [
]
A.?
4B.8
C.6
D.0
5.如果一個(gè)三角形的面積和周長都被一直線所平分,那么該直線必通過這個(gè)三角形的 [
]
A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.如果20個(gè)點(diǎn)將某圓周20等分,那么頂點(diǎn)只能在這20個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形的個(gè)數(shù)有 [
]
A.4個(gè) B.8個(gè)
C.12個(gè)
D.24個(gè)
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,則點(diǎn)N到邊BC的距離等于______.
3.設(shè)1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且
4.如圖,將邊長為1的正方形ABCD繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D'的位置,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是______.
5.某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中,甲班的m個(gè)男生和11個(gè)女生的捐款總數(shù)與乙班的9個(gè)男人和n個(gè)女生的捐款總數(shù)相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款數(shù)相同,且都是整數(shù)元,求每人的捐款數(shù).
6.設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,交BC的延長線于點(diǎn)O,P是以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上一點(diǎn)(位置如圖所示),求證:∠OPF=∠OEP.
三、(本題滿分25分)
已知a、b、c都是正整數(shù),且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1,求a+b+c的最小值.
1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案
第一試
一、選擇題 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C
二、填空題
一、據(jù)題意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得
綜上可知,每人捐款數(shù)為25元或47元.
二、作AD、BO的延長線相交于G,∵OE
而,三、據(jù)題意,方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異根,都在(?1,0)中,故
經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,∴a+b+c=11最?。?/p>
第三篇:19屆全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案
“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2019年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
一、選擇題(共5小題,每小題7分,共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里,不填、多填或錯(cuò)填都得0分)
1.若,則的值為().
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
由題設(shè)得.
2.若實(shí)數(shù)a,b滿足,則a的取值范圍是
().
(A)a≤
(B)a≥4
(C)a≤或
a≥4
(D)≤a≤4
解.C
因?yàn)閎是實(shí)數(shù),所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式
≥0,解得a≤或
a≥4.
3.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=,BC=,CD=,則AD邊的長為().
(A)
(B)
(C)
(D)
(第3題)
解:D
如圖,過點(diǎn)A,D分別作AE,DF垂直于直線BC,垂足分別為E,F(xiàn).
由已知可得
(第3題)
BE=AE=,CF=,DF=2,于是
EF=4+.
過點(diǎn)A作AG⊥DF,垂足為G.在Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理得
AD=.
4.在一列數(shù)……中,已知,且當(dāng)k≥2時(shí),(取整符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),例如,),則等于().
(A)
(B)
(C)
(D)
解:B
由和可得,,,,……
因?yàn)?010=4×502+2,所以=2.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y軸上一點(diǎn)P(0,2)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1,點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2,點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3,點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4,……,重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1,P2,…,則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是().
(A)(2010,2)
(B)(2010,)
(C)(2012,)
(D)(0,2)
解:B由已知可以得到,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為(2,0),(2,).
(第5題)
記,其中.
根據(jù)對(duì)稱關(guān)系,依次可以求得:,,.
令,同樣可以求得,點(diǎn)的坐標(biāo)為(),即(),由于2010=4502+2,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(2010,).
二、填空題
6.已知a=-1,則2a3+7a2-2a-12的值等于
.
解:0
由已知得
(a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是
2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時(shí)刻,客車在前,小轎車在后,貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘,小轎車追上了貨車;又過了5分鐘,小轎車追上了客車;再過t分鐘,貨車追上了客車,則t=
.
解:15
設(shè)在某一時(shí)刻,貨車與客車、小轎車的距離均為S千米,小轎車、貨車、客車的速度分別為
(千米/分),并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車,由題意得,①,②
.
③
由①②,得,所以,x=30.
故
(分).
8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,則直線l的函數(shù)表達(dá)式是
.
(第8題
(第8題)
解:
如圖,延長BC交x軸于點(diǎn)F;連接OB,AFCE,DF,且相交于點(diǎn)N.
由已知得點(diǎn)M(2,3)是OB,AF的中點(diǎn),即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心,所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又因?yàn)辄c(diǎn)N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,過點(diǎn)N(5,2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分.
于是,直線即為所求的直線.
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為,則
解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為.
9.如圖,射線AM,BN都垂直于線段AB,點(diǎn)E為AM上一點(diǎn),過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE,BN于點(diǎn)F,C,過點(diǎn)C作AM的垂線CD,垂足為D.若CD=CF,則
.
(第9題)
解:
見題圖,設(shè).
因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC,所以
.
又因?yàn)?/p>
FC=DC=AB,所以
即,解得,或(舍去).
又Rt△∽R(shí)t△,所以,即=.
10.對(duì)于i=2,3,…,k,正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i-1.若的最小值滿足,則正整數(shù)的最小值為
.
解:
因?yàn)闉榈谋稊?shù),所以的最小值滿足,其中表示的最小公倍數(shù).
由于,因此滿足的正整數(shù)的最小值為.
三、解答題(共4題,每題20分,共80分)
11.如圖,△ABC為等腰三角形,AP是底邊BC上的高,點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn),BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑,連接EF.求證:
(第12A題)
.
(第12B題)
(第11題)
(第12B題)
證明:如圖,連接ED,F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑,所以
ED⊥BC,F(xiàn)D⊥BC,因此D,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………(5分)
連接AE,AF,則,所以,△ABC∽△AEF.…………(10分)
(第11題)
作AH⊥EF,垂足為H,則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得,從而,所以
.…………(20分)
12.如圖,拋物線(a0)與雙曲線相交于點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)B在第三象限內(nèi),且△AOB的面積為3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求實(shí)數(shù)a,b,k的值;
(2)過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸,交拋物線于另一點(diǎn)C,求
所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(1,4)在雙曲線上,所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.(第12題)
設(shè)點(diǎn)B(t,),AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為,則有
解得,.于是,直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,故,整理得,解得,或t=(舍去).所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,).
因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在拋物線(a0)上,所以
解得
…(10分)
(2)如圖,因?yàn)锳C∥x軸,所以C(,4),于是CO=4.又BO=2,所以.設(shè)拋物線(a0)與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0).(第12題)
因?yàn)椤螩OD=∠BOD=,所以∠COB=.(i)將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△.這時(shí),點(diǎn)(,2)是CO的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,).延長到點(diǎn),使得=,這時(shí)點(diǎn)(8,)是符合條件的點(diǎn).(ii)作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△,得到點(diǎn)(1,);延長到點(diǎn),使得=,這時(shí)點(diǎn)E2(2,)是符合條件的點(diǎn).
所以,點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,),或(2,).…………(20分)
13.求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.解:由題設(shè)得,所以,由于p是素?cái)?shù),故,或.……(5分)
(1)若,令,k是正整數(shù),于是,故,從而.所以解得
…………(10分)
(2)若,令,k是正整數(shù).當(dāng)時(shí),有,故,從而,或2.由于是奇數(shù),所以,從而.于是
這不可能.當(dāng)時(shí),;當(dāng),無正整數(shù)解;當(dāng)時(shí),無正整數(shù)解.綜上所述,所求素?cái)?shù)p=5,正整數(shù)m=9.…………(20分)
14.從1,2,…,2010這2010個(gè)正整數(shù)中,最多可以取出多少個(gè)數(shù),使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除?
解:首先,如下61個(gè)數(shù):11,,…,(即1991)滿足題設(shè)條件.(5分)
另一方面,設(shè)是從1,2,…,2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù),對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù),因?yàn)椋?/p>
.因此,所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………(10分)
設(shè),i=1,2,3,…,n.由,得,所以,即≥11.…………(15分)
≤,故≤60.所以,n≤61.綜上所述,n的最大值為61.…………(20分)
第四篇:1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案
1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷
一、選擇題(本題共6小題,每小題5分,滿分30分.每小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)里)
1.一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°,那么n的最大值是().
A.11 B.12 C.13 D.14
2.某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi):用煤氣如果不超過60立方米,按每立方米0.8元收費(fèi);如果超過60立方米,超過部分按每立方米1.2元收費(fèi).已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元,那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)().
A.60元 B.66元 C.75元 D.78元
3.已知,那么代數(shù)式的值為().
A. B.- C.- D.
4.在三角形ABC中,D是邊BC上的一點(diǎn),已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面積是().
A.30 B.36 C.72 D.125
5.如果拋物線
與x軸的交點(diǎn)為A,B,項(xiàng)點(diǎn)為C,那么三角形ABC的面積的最小值是().
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在正五邊形ABCDE所在的平面內(nèi)能找到點(diǎn)P,使得△PCD與△BCD的面積相等,并且△ABP為等腰三角形,這樣的不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為().
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空題(本題共6小題,每小題5分,滿分30分)
7.已知,那么x + y的值為
.
28.如圖1,正方形ABCD的邊長為10cm,點(diǎn)E在邊CB的延長線上,且EB=10cm,點(diǎn)
2P在邊DC上運(yùn)動(dòng),EP與AB的交點(diǎn)為F.設(shè)DP=xcm,△EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm,那么,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是
(0<x<10).
9.已知ab≠0,a + ab-2b = 0,那么的值為
.
10.如圖2,已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中,A,B兩點(diǎn)在第Ⅰ象限內(nèi),OA與x軸的夾角為30°,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是
.
11.設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形,記作A1(如圖3),將A1的每條邊三等分,在中間的線段上向形外作正三角形,去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2(如圖4);將A2的每條邊三等分,并重復(fù)上述過程,所得到的圖形記作A3(如圖5);再將A3的每條邊三等分,并重復(fù)上述過程,所得到的圖形記作A4,那么A4的周長是
. 22
12.江堤邊一洼地發(fā)生了管涌,江水不斷地涌出,假定每分鐘涌出的水量相等.如果用兩
臺(tái)抽水機(jī)抽水,40分鐘可抽完;如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽水,16分鐘可抽完.如果要在10分鐘內(nèi)抽完水,那么至少需要抽水機(jī)
臺(tái).
三、解答題(本題共3小題,每小題20分,滿分60分)
13.設(shè)實(shí)數(shù)s,t分別滿足19s + 99s + 1 = 0,t + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求的值.
14.如圖6,已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O,對(duì)角線AC是直徑,對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)是P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長.
15.有人編了一個(gè)程序:從1開始,交錯(cuò)地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法)每次加法,將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3;每次乘法,將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3.例如,30可以這樣得到:
.
(1)(10分)證明:可以得到22;
10097
(2)(10分)證明:可以得到2 + 2-2.
1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D
二、7.10 8.y = 5x + 50 9. 10. 11. 12.6
三、13.解:∵s≠0,∴第一個(gè)等式可以變形為:
又∵st≠1,.
∴,t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的兩個(gè)不同的實(shí)根,于是,有
.
即st + 1 =-99s,t = 19s.
∴.
14.解:設(shè)圓心為O,連接BO并延長交AD于H.
∵AB=BD,O是圓心,∴BH⊥AD. 又∵∠ADC=90°,∴BH∥CD.
從而△OPB∽△CPD.
∴CD=1.
于是AD=
又OH=CD=,于是
.,2
AB=
BC=
所以,四邊形ABCD的周長為
15.證明:
(1),.
.
.
也可以倒過來考慮:
.
(或者
(2
.))
.
或倒過來考慮:
.
注意:加法與乘法必須是交錯(cuò)的,否則不能得分.
第五篇:2018全國初中應(yīng)用物理競(jìng)賽試題及答案
2018年全國初中應(yīng)用物理競(jìng)賽試題及答案
注意事項(xiàng): 1.請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)填寫所在地區(qū)、學(xué)校、姓名和考號(hào)。2.用藍(lán)色或黑色鋼筆、圓珠筆書寫。3.本試卷共有六個(gè)大題,滿分100分。
―、本題共10小題,每小題2分,共20分。以下各小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的,把正確選項(xiàng)前面的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.如圖1所示為倫敦四大地標(biāo)性摩天大樓:“對(duì)講機(jī)”、“小黃瓜”、“奶酷刨”、“碎片大廈”。其中座大樓的設(shè)計(jì)考慮不周,曾經(jīng)由于玻璃反光將停放在附近的小轎車某些部件“烤”熔化了,你認(rèn)為這座大樓最可能是()
2.當(dāng)今,世界性的能源危機(jī)斷地加深,節(jié)約能源義不容辭。下面四種符號(hào)中,為中國節(jié)能標(biāo)志的是()
3.在炎熱的夏天,當(dāng)我們吃冰棒的時(shí)候,常常看到在冰棒的周圍有“白氣”冒出,關(guān)于這個(gè)“白氣”,下列說法中正確的是()
A.“白氣”是冰棒上的冰升華的結(jié)果,“白氣”應(yīng)該上升 B.“白氣”是冰棒上的冰升華的結(jié)果,“白氣”應(yīng)該下降 C.“白氣”是空氣中的水蒸氣液化的結(jié)果,“白氣”應(yīng)該上升 D.“白氣”是空氣中的水蒸氣液化的結(jié)果,“白氣”應(yīng)該下降 4.如圖3所示為雙線并繞的螺線管,a、b、c、d為四個(gè)接線柱,其中a、b之間連接一根較細(xì)的導(dǎo)線;c、d之間連接一根較粗的導(dǎo)線。如用兩端電壓恒定的同一個(gè)電源供電,下列連接方式中磁性最強(qiáng)的方法是()
A.將bc相連,然后a、d分別接電源兩極 B.將cd相連,然后a、b分別接電源兩極
C.將ab相連、cd相連,然后分別接電源兩極 D.將ad相連、bc相連,然后分別接電源兩極
5.5號(hào)電池因其體積小、容量適中,因此在小功率電器產(chǎn)品中廣泛使用。某種市售5號(hào)電池包裝上寫有“1.5 V 2000 mAH”字祥。對(duì)該電池,下列說法中正確的是()
A.它能提供的電能約10.8 kJ B.它正常工作時(shí)的電流是2 A C.它提供的最大電功率為3 W D.它在電路中是提供電荷的裝置
6.在平緩的海灘上經(jīng)??梢钥吹饺鐖D4所示的情景:不論遠(yuǎn)處的海浪沿什么方向沖向海岸,到達(dá)岸邊時(shí)總是大約沿著垂直于岸的方向。發(fā)生這個(gè)現(xiàn)象的原因可能是()
A.在海岸邊,風(fēng)的方向總是與海岸線垂直 B.在海岸邊,風(fēng)的方向總是與海岸線平行
C.水波在淺水中傳播時(shí),水越淺傳播得越快 D.水波在淺水中傳播時(shí),水越淺傳播得越慢
7.小明在寵物店買了淡水熱帶魚,為方便帶回家,商家將魚放在裝有水的輕薄的塑料袋里。如果小明將裝著魚且沒有打開的塑料袋直接放入家里的淡水魚缸中,則圖5中最有可能發(fā)生的情況是()
8.微波在傳播過程中,如果遇到金屬會(huì)被反射,遇到陶瓷或玻璃則幾乎不被吸收的透射,而遇到類似于水、酸等極性分子構(gòu)成的物質(zhì)則會(huì)被吸收導(dǎo)致這些物質(zhì)的溫度升高。如圖6所示為家用微波爐工作過程的示意圖。根據(jù)這些信息,你認(rèn)為以下關(guān)于微波爐的說法不正確...的是()
A.爐的內(nèi)壁要使用金屬材料 B.爐內(nèi)盛放食物的容器的材質(zhì)可以是玻璃或陶瓷
C.爐內(nèi)轉(zhuǎn)盤的主要作用是為了從不同側(cè)面看到食物被加熱的情況 D.微波爐的玻璃門上有一層金屬膜或金屬網(wǎng)
9.靜止、密閉的客車上有一個(gè)系在座椅上的氦氣球,一個(gè)懸掛在車頂?shù)男∏颉H艨蛙囃蝗粏?dòng)向左駛出,圖7中氦氣球與懸掛小球最可能出現(xiàn)的相對(duì)位置變化是()10.紙是我國古代四大發(fā)明之一,造紙術(shù)的發(fā)明,引起了書寫材料的一場(chǎng)革命,直至今日仍為信息傳遞和保存的重要方式之一。如圖8甲所示是平放于水平桌面上的一包印紙,熱愛物理的小遠(yuǎn)同學(xué)注意到打印紙的包裝上有如圖8乙所示的一些信息,他還用毫米刻度尺測(cè)量了這包紙的厚度,記錄了一個(gè)數(shù)據(jù)5.00,但忘了寫單位,以下對(duì)這包紙的估算最符合實(shí)際情況的是()
A.這種紙單張紙張的厚度約是50μm B.這包紙的質(zhì)量約為2.5 kg C.這種紙的密度大于水的密度 D.這包紙對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)約為40 Pa
二、簡(jiǎn)答下列各題(每題6分,共30分)1.炎熱的夏天,小明想用冰袋給如圖9所示的罐裝飲料降溫。他想到了兩種方法:一種方法是將冰袋放在罐裝飲料的上方,另-種方法是將冰袋放在罐裝飲料的下方。假定液體飲料充滿整個(gè)容器且飲料的末溫不低于4℃,則哪種方法可以使罐裝飲料降溫更快,為什么?
2.將新打開蓋子的飲料盒中的果汁倒入杯中時(shí),有時(shí)會(huì)出現(xiàn)果汁流出斷斷續(xù)續(xù)、時(shí)遠(yuǎn)時(shí)近(同時(shí)發(fā)出咕咚聲)的現(xiàn)象,果汁也很容易濺出杯子外面。為避免這種情況發(fā)生,在打開飲料盒的蓋子后,應(yīng)采用圖10甲還是圖10乙的方式倒果汁,請(qǐng)運(yùn)用物理知識(shí)說明圖10甲、乙兩種方式倒果汁效果不同的原因。
3.擰開水龍頭,讓水流平穩(wěn)地流出,形成如圖11所示形狀的水柱。請(qǐng)看圖回答:(1)簡(jiǎn)述水龍頭把手的作用;(2)為什么流出的水柱呈上粗下細(xì)的形狀?
4.中國科技館“探索與發(fā)現(xiàn)”展廳有一個(gè)展品名為:“伸縮的線圈’它是一個(gè)用軟線在一根塑料管上繞成的軟螺線管,軟螺線管導(dǎo)線的兩端可通過開關(guān)與電源相聯(lián)。如圖12所示分別是該展品中軟螺線管通電或不通電的兩種狀態(tài),請(qǐng)回答以下幾個(gè)問題:(1)哪幅圖是軟螺線管通電的狀態(tài)?(2)如果將軟螺線管通電的電流反向,可以看到什么現(xiàn)象?(3)解釋軟螺線管通電或不通電的兩種狀態(tài)的原因。
5.圖13所示為低壓電路中常用的油浸自冷式變壓器。變版器內(nèi)部的鐵芯、線圈浸沒于變壓器油(一種礦物油,也稱導(dǎo)熱油)中。變壓器工作時(shí),鐵芯、線圈會(huì)發(fā)熱,熱量就在導(dǎo)熱油流經(jīng)變壓器外部那一根根金屬管道的過程中導(dǎo)出并散發(fā)到空氣中,從而使鐵芯、線圈的溫度不會(huì)升髙太多,以確保變壓器的安全運(yùn)行。請(qǐng)回答:(1)變壓器外部的散熱器做成豎直方向上的管道狀,這樣做的目的是什么?(2)變壓器的上部有個(gè)油箱,其側(cè)面有一個(gè)油量表,如圖13所示,油量表的主要部件是一根外置的玻璃管。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何判斷油箱的油量,依據(jù)的主要物理知識(shí)是什么,并解釋正常情況下,變壓器油箱中的導(dǎo)熱油為什么不允許裝滿?(3)變壓器附近要設(shè)置防觸電的警示標(biāo)志,請(qǐng)解釋原因。
三、(11分)海洋打撈技術(shù)中常用浮筒打撈海底沉船。充滿海水的浮筒靠自重下沉,向沉入水中的浮筒內(nèi)充氣,將浮筒內(nèi)海水排出,浮筒即產(chǎn)生上舉力。浮筒為鋼制的空心圓柱體,其圓柱面的外半徑r=5m,圓柱體高度L=12m,其質(zhì)量為2×l05kg。某海域有一艘失事沉船,打撈人員需先用聲吶(一種發(fā)射聲波的儀器)探測(cè)沉船的深度,在沉船正上方的海面上向沉船發(fā)射聲波,測(cè)得聲波從發(fā)出至接收到反射波的時(shí)間是0.1s,海水中的聲速為1500m/s。已知海面大氣壓p0=1.0×l05Pa,海水的密度是ρ=1.03×103kg/m3。(1)求給浮筒充氣的氣體壓強(qiáng)至少應(yīng)是多大?(2)若用浮筒打撈沉船時(shí),需用6個(gè)這樣的浮筒。若用其他方式打撈這艘沉船,大約需要多大的力才能將沉船打撈起來?
四、(12分)如圖14甲所示為手動(dòng)壓力機(jī),廠家己標(biāo)出部分尺寸,其他相關(guān)尺寸可根據(jù)圖甲估測(cè)獲得。壓力機(jī)手柄拆卸下來的結(jié)構(gòu)如圖14乙所示,手柄總長度為30 cm,手柄連接的齒輪直徑為2 cm。向下壓手柄右端時(shí)通過齒輪帶動(dòng)齒條向下運(yùn)動(dòng),可對(duì)放在臺(tái)面上的物體施加巨大壓力。若此壓力機(jī)的規(guī)格是可產(chǎn)生5000N的壓力,總質(zhì)量為9 kg。請(qǐng)通過估算說明:根據(jù)該壓力機(jī)的設(shè)計(jì)規(guī)格,若手柄轉(zhuǎn)到任何方位時(shí)都能正常工作,在將該壓力機(jī)放在水平桌面上使用時(shí),是否需要用螺栓將其固定在工作臺(tái)上?(g取10N/kg)
五、(13分)某學(xué)校新裝的飲水機(jī)既能提供溫度為100℃的幵水,也能提供溫度為35℃的可直接飲用的溫開水。研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)査閱了相關(guān)資料,畫出了飲水機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖15所示。他們發(fā)現(xiàn)從自來水管流入飲水機(jī)的20℃生水并不是直接進(jìn)入加熱器,而是先進(jìn)入換熱器,與已經(jīng)加熱到100℃的開水進(jìn)行熱交換,這樣開水就變成了35℃的溫開水,生水也被加熱到85℃然后進(jìn)入加熱器。若飲水機(jī)加熱器的額定功率為3 kW,飲水機(jī)內(nèi)水箱容量45L,已知C水=4.2×103J/(kg·℃)。請(qǐng)回答下列問題:(1)寫出A、B、C、D四個(gè)位置的水溫。(2)相同功率的只能提供開水的飲水機(jī),一天供應(yīng)8小時(shí)開水,最多能供應(yīng)多少L?(3)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示,學(xué)校學(xué)生一天所需的開水和溫開水的質(zhì)量之比是1:4,使用該型號(hào)飲水機(jī),每天正常工作8小時(shí),最多能供應(yīng)多少L可飲用水?(4)請(qǐng)簡(jiǎn)述這種飲水機(jī)有哪些優(yōu)點(diǎn)?
六、(14分)為了研究“從靜止開始滴落的水滴,在不同時(shí)間段的平均速度隨時(shí)間變化的規(guī)律”,小林將這個(gè)問題簡(jiǎn)化為“研究水滴分別在0~0.2 s、0.2 s~0.4 s、0.4 s~0.6 s…的平均速度與時(shí)間有什么關(guān)系”?他使用醫(yī)用輸液系統(tǒng)、刻度尺、電子秒表展幵了研究。使用如圖16所示的輸液系統(tǒng)吋以保持一段時(shí)間內(nèi)滴出水滴的時(shí)間間隔相同。(1)調(diào)節(jié)流速調(diào)節(jié)器,改變滴出水滴的時(shí)間間隔。不增加器材,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究:當(dāng)?shù)纬鏊螘r(shí)間間隔長短改變時(shí),每個(gè)水滴的質(zhì)量是否發(fā)生變化?寫出實(shí)驗(yàn)少驟、預(yù)測(cè)可以觀察到的現(xiàn)象,并說明可得出的結(jié)論;(2)小林從第1個(gè)水滴離開針頭開始計(jì)時(shí),到第31個(gè)水滴離開針頭按下秒表停止計(jì)時(shí),讀出秒表的示數(shù)為調(diào)整水滴滴出時(shí)間間隔,使t1= 6 s。保持滴出時(shí)間間隔不變,然后他在針頭正下方放置接水盤,調(diào)整接水盤底部到針頭滴水口的高度h1,使耳朵剛好聽到前一個(gè)水滴滴在盤中的聲音同時(shí),下一水滴剛好開始下落。用刻度尺測(cè)量出h1 = 0.20 m,求此過程水滴下落的平均速度V1;(3)假如第(1)問實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明:當(dāng)水滴滴出時(shí)間間隔較長時(shí),改變水滴滴出時(shí)間間隔,滴出水滴的質(zhì)量幾乎不變。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究“水滴分別在0~0.2 s、0.2 s~0.4 s、……的平均速度,與時(shí)間有什么關(guān)系”,寫出實(shí)驗(yàn)步驟和平均速度的計(jì)算公式。