第一篇:全國初中數(shù)學競賽試題及答案(1995年)
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1995年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題
第一試
一、選擇題
1.已知a=355,b=444,c=533,則有[
]
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b
D.a(chǎn)<c<b
A.1 B.2
C.3
D.4 3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長,那么實數(shù)m的取值范圍是
4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓,那么此圓的周長為 [
]
A.62π B.63π C.64π D.65π 5.設AB是⊙O的一條弦,CD是⊙O的直徑,且與弦AB相交,記M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,則 [
]
A.M>N
B.M=N
C.M<N D.M、N的大小關系不確定 6.設實數(shù)a、b滿足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,則[
]
A.a(chǎn)>0且b>0 B.a(chǎn)<0且b>0 C.a(chǎn)>0且b<0 D.a(chǎn)<0且b<0
二、填空題
1.在12,22,32…,952這95個數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____個。
4.以線段AB為直徑作一個半圓,圓心為O,C是半圓周上的點,且OC2=AC·BC,則∠CAB=______.
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第二試
一、已知∠ACE=∠CDE=90°,點B在CE上,CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D三點的圓交AB于F(如圖)求證F為△CDE的內(nèi)心。
二、在坐標平面上,縱坐標與橫坐標都是整數(shù)
理由。
三、試證:每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。
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1995年全國初中數(shù)學聯(lián)賽參考答案
第一試
一、選擇題
1.講解:這類指數(shù)冪的比較大小問題,通常是化為同底然后比較指數(shù),或化為同指數(shù)然后比較底數(shù),本題是化為同指數(shù),有
c=(53)11=12511 <24311=(35)11=a
<25611=(44)11=b。選C。
利用lg2=0.3010,lg3=0.4771計算lga、lgb、lgc也可以,但沒有優(yōu)越性。
2.講解:這類方程是熟知的。先由第二個方程確定z=1,進而可求出兩個解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程組
直接判斷:因為x≠y(否則不是正整數(shù)),故方程組①或無解或有兩個解,對照選擇支,選B。
3.講解:顯然,方程的一個根為1,另兩根之和為x1+x2=2>1。三根能作為一個三角形的三邊,須且只須|x1-x2|<1又
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有0≤4-4m<1.
4.講解:四個選擇支表明,圓的周長存在且唯一,從而直徑也存在且唯一.又由
AB2+AD2 =252+602
=52×(52+122)=52×132
=(32+42)×132 =392+522 =BC2+CD2
故可取BD=65為直徑,得周長為65π,選D.
5.講解:此題的得分率最高,但并不表明此題最容易,因為有些考生的理由是錯誤的.比如有的考生取AB為直徑,則M=N=0,于是就選B.其實,這只能排除A、C,不能排除D.
不失一般性,設CE≥ED,在CE上取CF=ED,則有OF=OE,且S△第 4 頁 http://004km.cn
ACE-S△ADE=S△AEF=2S△AOE.同理,S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=N.選B.
若過C、D、O分別作AB的垂線(圖3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分別為E、F、L.連CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂徑分弦定理,知L是EF的中點.根據(jù)課本上做過的一道作業(yè):梯形對角線中點的連線平行底邊,并且等于兩底差的一半,有
|CE-DF|=2OL.
即M=N.選B.
6.講解:取a=-
1、b=2可否定A、C、D,選B.一般地,對已知不等式平方,有
|a|(a+b)>a|a+b|.
顯然|a||(a+b)|>0(若等于0,則與上式矛盾),有
兩邊都只能取1或-1,故只有1>-1,即
有a<0且a+b>0,從而b>-a>0.選B.
二、填空題
1.講解:本題雖然以計算為載體,但首先要有試驗觀察的能力.經(jīng)計算12,22,…,102,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42=16,62=36.然后,對兩位數(shù)10a+b,有
(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.
其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個偶數(shù),故兩位數(shù)的平方中,也中有b=4或6時,其十位數(shù)字才會為奇數(shù),問題轉(zhuǎn)化為,在1,2,…,95中個位數(shù)出現(xiàn)了幾次4或6,有2×9+1=19.
2.講解:這類問題一般都先化簡后代值,直接把a
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學生在這道題上的錯誤主要是化簡的方向不明確,最后又不會將a2+a作為整體代入.這里關鍵是整體代入,抓住這一點,計算可以靈活.比如,由①有
由②-①,得
由③-②并將④代入,得
還可由①得
⑥÷⑤即得所求.
3.講解:這個題目是將二次函數(shù)y=x2-x與反比例函數(shù)
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因而x=1時,y有最小值1.
4.講解:此題由筆者提供,原題是求sin
∠CAB,讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°、sin15°.解法如下:
與AB2=AB2+AC2 ② 聯(lián)立,可推出
而式①、③表明,AB、AC是二次方程
改為求∠CAB之后,思路更寬一些.如,由
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第二試
一、講解:首先指出,本題有IMO29-5(1989年)的背景,該題是:在直角△ABC中,斜邊BC上的高,過△ABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC于K和L,△ABC和△AKL的面積分別記為S和T.求證S≥2T.
在這個題目的證明中,要用到AK =AL=AD.
今年的初中聯(lián)賽題相當于反過來,先給出AK=AL=AD(斜邊上的高),再求證KL通過△ABD、△ADC的內(nèi)心(圖7).
其次指出,本題的證法很多,但思路主要有兩個:其一,連FC、FD、FE,然后證其中兩個為相應的角平分線;其二是過F作三邊的垂線,然后證明其中兩條垂線段相等.下面是幾個有代表性的證法.
證法1:如圖6,連DF,則由已知,有
連BD、CF,由CD=CB,知 ∠FBD=∠CBD-45° =∠CDB-45°=∠FDB,得FB=FD,即F到B、D和距離相等,F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上,從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上,CF是∠ECD的平分線.
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由于F是△CDE上兩條角平分線的交點,因而就是△CDE的內(nèi)心. 證法2:同證法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四點共圓.連EF,在證得
∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分線.
本來,點E的信息很少,證EF為角平分線應該是比較難的,但四點共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了,因而證法2并不比證法1復雜.
由這個證明可知,F(xiàn)是△DCB的外心.
證法4:如圖8,只證CF為∠DCE的平分線.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2,∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1 得∠1=∠2.
從而∠DCF=∠GCF,得CF為∠DCE的平分線.
證法5:首先DF是∠CDE的平分線,故 △CDE的外心I在直線DF上.
現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標系,并記CA=CB=CD=d,則直線AB是一次函數(shù)
y=-x+d ①
第 9 頁 http://004km.cn 的圖象(圖9).若記內(nèi)心I的坐標為(x1,y1),則 x1+y1=CH+IH
=CH+HB=CB=d
滿足①,即I在直線AB上,但I在DF上,故I是AB與DF的交點.由交點的唯一性知I就是F,從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心.
還可延長ED交⊙O于P1,而CP為直徑來證.
二、講解:此題的原型由筆者提供.題目是:
于第一象限內(nèi),縱坐標小于橫坐標的格點.
這個題目的實質(zhì)是解不等式
求正整數(shù)解.直接解,數(shù)字較繁.但有巧法,由
及1≤y<x,知1+2+…+(x-1)<1995<1+2+…+x.
但1953=1+2+…+62<1995<1+2+…+62+63=2016,得x=63,從而y=21,所求的格點為(21,63).
經(jīng)過命題組的修改之后,數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計算.
有x2-x+18≤10|x|.
當x≥0時,有x2-11x+18≤0,得2≤x≤9,代入二次函數(shù),得合乎條件的4個整點:(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);
當x<0時,有 x2+9x+18≤0,得-6≤x≤-3,代入二次函數(shù),得合乎條件的2個整點:
(-6,6),(-3,3).
對x≥0,取x=2,4,7,9,12,14,…順次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且當x>9時,由
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對x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…順次代入,得(-3,3)、(-6,6),且當x<-6時,由
知y>-x,再無滿足y≤|x|的解. 故一共有6個整點,圖示略.
解法3:先找滿足條件y=|x|的整點,即分別解方程 x2-11x+18=0 ① x2+9x+18=0 ②
可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).
再找滿足y<|x|的整點,這時 2<x<9或-6<x<-3,依次檢驗得(4,3)、(7,6).故共有6個整點.
三、講解:直觀上可以這樣看,當n>6時,在2,3,…,n-2中,必有一個數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n-2),記
B=n-A≥2,有n=A+B.
此時,A與B必互質(zhì),否則A與B有公約數(shù)d>1,則d也是n的約數(shù),從而A與n有大于1的公約數(shù),與A、n互質(zhì)矛盾.
但是,對于初中生來說,這個A的存在性有點抽象,下面分情況,把它具體找出來.
(1)當n為奇數(shù)時,有 n=2+(n-2),(2)當n為偶數(shù),但不是4的倍數(shù)時,有
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(3)當n為偶數(shù),且又是4的倍數(shù)時,有
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第二篇:1996年全國初中數(shù)學競賽試題及答案
1996年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題
A.M>N
B.M=N
C.M<N
D.不確定
A.有一組 B.有二組
C.多于二組
D.不存在
3.如圖,A是半徑為1的圓O外的一點,OA=2,AB是圓O的切線,B是切點,弦BC∥OA,連結(jié)AC,則陰影部分的面積等于 [
]
4.設x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個根,那么x13?4x22+19的值等于 [
]
A.?
4B.8
C.6
D.0
5.如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分,那么該直線必通過這個三角形的 [
]
A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.如果20個點將某圓周20等分,那么頂點只能在這20個點中選取的正多邊形的個數(shù)有 [
]
A.4個 B.8個
C.12個
D.24個
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,則點N到邊BC的距離等于______.
3.設1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且
4.如圖,將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D'的位置,則這兩個正方形重疊部分的面積是______.
5.某校在向“希望工程”捐款活動中,甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男人和n個女生的捐款總數(shù)相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款數(shù)相同,且都是整數(shù)元,求每人的捐款數(shù).
6.設凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M,過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F,交BC的延長線于點O,P是以O為圓心OM為半徑的圓上一點(位置如圖所示),求證:∠OPF=∠OEP.
三、(本題滿分25分)
已知a、b、c都是正整數(shù),且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B,若A、B到原點的距離都小于1,求a+b+c的最小值.
1996年全國初中數(shù)學聯(lián)賽參考答案
第一試
一、選擇題 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C
二、填空題
一、據(jù)題意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得
綜上可知,每人捐款數(shù)為25元或47元.
二、作AD、BO的延長線相交于G,∵OE
而,三、據(jù)題意,方程ax2+bx+c=0有兩個相異根,都在(?1,0)中,故
經(jīng)檢驗,符合題意,∴a+b+c=11最?。?/p>
第三篇:19屆全國初中數(shù)學競賽試題及答案
“《數(shù)學周報》杯”2019年全國初中數(shù)學競賽試題
一、選擇題(共5小題,每小題7分,共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得0分)
1.若,則的值為().
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
由題設得.
2.若實數(shù)a,b滿足,則a的取值范圍是
().
(A)a≤
(B)a≥4
(C)a≤或
a≥4
(D)≤a≤4
解.C
因為b是實數(shù),所以關于b的一元二次方程的判別式
≥0,解得a≤或
a≥4.
3.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=,BC=,CD=,則AD邊的長為().
(A)
(B)
(C)
(D)
(第3題)
解:D
如圖,過點A,D分別作AE,DF垂直于直線BC,垂足分別為E,F(xiàn).
由已知可得
(第3題)
BE=AE=,CF=,DF=2,于是
EF=4+.
過點A作AG⊥DF,垂足為G.在Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理得
AD=.
4.在一列數(shù)……中,已知,且當k≥2時,(取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),例如,),則等于().
(A)
(B)
(C)
(D)
解:B
由和可得,,,,……
因為2010=4×502+2,所以=2.
5.如圖,在平面直角坐標系xOy中,等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y軸上一點P(0,2)繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1,點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2,點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3,點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4,……,重復操作依次得到點P1,P2,…,則點P2010的坐標是().
(A)(2010,2)
(B)(2010,)
(C)(2012,)
(D)(0,2)
解:B由已知可以得到,點,的坐標分別為(2,0),(2,).
(第5題)
記,其中.
根據(jù)對稱關系,依次可以求得:,,.
令,同樣可以求得,點的坐標為(),即(),由于2010=4502+2,所以點的坐標為(2010,).
二、填空題
6.已知a=-1,則2a3+7a2-2a-12的值等于
.
解:0
由已知得
(a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是
2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時刻,客車在前,小轎車在后,貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘,小轎車追上了貨車;又過了5分鐘,小轎車追上了客車;再過t分鐘,貨車追上了客車,則t=
.
解:15
設在某一時刻,貨車與客車、小轎車的距離均為S千米,小轎車、貨車、客車的速度分別為
(千米/分),并設貨車經(jīng)x分鐘追上客車,由題意得,①,②
.
③
由①②,得,所以,x=30.
故
(分).
8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經(jīng)過點M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,則直線l的函數(shù)表達式是
.
(第8題
(第8題)
解:
如圖,延長BC交x軸于點F;連接OB,AFCE,DF,且相交于點N.
由已知得點M(2,3)是OB,AF的中點,即點M為矩形ABFO的中心,所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又因為點N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,過點N(5,2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分.
于是,直線即為所求的直線.
設直線的函數(shù)表達式為,則
解得,故所求直線的函數(shù)表達式為.
9.如圖,射線AM,BN都垂直于線段AB,點E為AM上一點,過點A作BE的垂線AC分別交BE,BN于點F,C,過點C作AM的垂線CD,垂足為D.若CD=CF,則
.
(第9題)
解:
見題圖,設.
因為Rt△AFB∽Rt△ABC,所以
.
又因為
FC=DC=AB,所以
即,解得,或(舍去).
又Rt△∽Rt△,所以,即=.
10.對于i=2,3,…,k,正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i-1.若的最小值滿足,則正整數(shù)的最小值為
.
解:
因為為的倍數(shù),所以的最小值滿足,其中表示的最小公倍數(shù).
由于,因此滿足的正整數(shù)的最小值為.
三、解答題(共4題,每題20分,共80分)
11.如圖,△ABC為等腰三角形,AP是底邊BC上的高,點D是線段PC上的一點,BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑,連接EF.求證:
(第12A題)
.
(第12B題)
(第11題)
(第12B題)
證明:如圖,連接ED,F(xiàn)D.因為BE和CF都是直徑,所以
ED⊥BC,F(xiàn)D⊥BC,因此D,E,F(xiàn)三點共線.…………(5分)
連接AE,AF,則,所以,△ABC∽△AEF.…………(10分)
(第11題)
作AH⊥EF,垂足為H,則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得,從而,所以
.…………(20分)
12.如圖,拋物線(a0)與雙曲線相交于點A,B.已知點A的坐標為(1,4),點B在第三象限內(nèi),且△AOB的面積為3(O為坐標原點).(1)求實數(shù)a,b,k的值;
(2)過拋物線上點A作直線AC∥x軸,交拋物線于另一點C,求
所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.解:(1)因為點A(1,4)在雙曲線上,所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達式為.(第12題)
設點B(t,),AB所在直線的函數(shù)表達式為,則有
解得,.于是,直線AB與y軸的交點坐標為,故,整理得,解得,或t=(舍去).所以點B的坐標為(,).
因為點A,B都在拋物線(a0)上,所以
解得
…(10分)
(2)如圖,因為AC∥x軸,所以C(,4),于是CO=4.又BO=2,所以.設拋物線(a0)與x軸負半軸相交于點D,則點D的坐標為(,0).(第12題)
因為∠COD=∠BOD=,所以∠COB=.(i)將△繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得到△.這時,點(,2)是CO的中點,點的坐標為(4,).延長到點,使得=,這時點(8,)是符合條件的點.(ii)作△關于x軸的對稱圖形△,得到點(1,);延長到點,使得=,這時點E2(2,)是符合條件的點.
所以,點的坐標是(8,),或(2,).…………(20分)
13.求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.解:由題設得,所以,由于p是素數(shù),故,或.……(5分)
(1)若,令,k是正整數(shù),于是,故,從而.所以解得
…………(10分)
(2)若,令,k是正整數(shù).當時,有,故,從而,或2.由于是奇數(shù),所以,從而.于是
這不可能.當時,;當,無正整數(shù)解;當時,無正整數(shù)解.綜上所述,所求素數(shù)p=5,正整數(shù)m=9.…………(20分)
14.從1,2,…,2010這2010個正整數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除?
解:首先,如下61個數(shù):11,,…,(即1991)滿足題設條件.(5分)
另一方面,設是從1,2,…,2010中取出的滿足題設條件的數(shù),對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù),因為,所以
.因此,所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………(10分)
設,i=1,2,3,…,n.由,得,所以,即≥11.…………(15分)
≤,故≤60.所以,n≤61.綜上所述,n的最大值為61.…………(20分)
第四篇:1999年全國初中數(shù)學競賽試題及答案
1999年全國初中數(shù)學競賽試卷
一、選擇題(本題共6小題,每小題5分,滿分30分.每小題均給出了代號為A,B,C,D的四個結(jié)論,其中只有一個是正確的.請將正確答案的代號填在題后的括號里)
1.一個凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°,那么n的最大值是().
A.11 B.12 C.13 D.14
2.某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費:用煤氣如果不超過60立方米,按每立方米0.8元收費;如果超過60立方米,超過部分按每立方米1.2元收費.已知某用戶4月份的煤氣費平均每立方米0.88元,那么4月份該用戶應交煤氣費().
A.60元 B.66元 C.75元 D.78元
3.已知,那么代數(shù)式的值為().
A. B.- C.- D.
4.在三角形ABC中,D是邊BC上的一點,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面積是().
A.30 B.36 C.72 D.125
5.如果拋物線
與x軸的交點為A,B,項點為C,那么三角形ABC的面積的最小值是().
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在正五邊形ABCDE所在的平面內(nèi)能找到點P,使得△PCD與△BCD的面積相等,并且△ABP為等腰三角形,這樣的不同的點P的個數(shù)為().
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空題(本題共6小題,每小題5分,滿分30分)
7.已知,那么x + y的值為
.
28.如圖1,正方形ABCD的邊長為10cm,點E在邊CB的延長線上,且EB=10cm,點
2P在邊DC上運動,EP與AB的交點為F.設DP=xcm,△EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm,那么,y與x之間的函數(shù)關系式是
(0<x<10).
9.已知ab≠0,a + ab-2b = 0,那么的值為
.
10.如圖2,已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標系中,A,B兩點在第Ⅰ象限內(nèi),OA與x軸的夾角為30°,那么點B的坐標是
.
11.設有一個邊長為1的正三角形,記作A1(如圖3),將A1的每條邊三等分,在中間的線段上向形外作正三角形,去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2(如圖4);將A2的每條邊三等分,并重復上述過程,所得到的圖形記作A3(如圖5);再將A3的每條邊三等分,并重復上述過程,所得到的圖形記作A4,那么A4的周長是
. 22
12.江堤邊一洼地發(fā)生了管涌,江水不斷地涌出,假定每分鐘涌出的水量相等.如果用兩
臺抽水機抽水,40分鐘可抽完;如果用4臺抽水機抽水,16分鐘可抽完.如果要在10分鐘內(nèi)抽完水,那么至少需要抽水機
臺.
三、解答題(本題共3小題,每小題20分,滿分60分)
13.設實數(shù)s,t分別滿足19s + 99s + 1 = 0,t + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求的值.
14.如圖6,已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O,對角線AC是直徑,對角線AC和BD的交點是P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長.
15.有人編了一個程序:從1開始,交錯地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法)每次加法,將上次的運算結(jié)果加2或加3;每次乘法,將上次的運算結(jié)果乘2或乘3.例如,30可以這樣得到:
.
(1)(10分)證明:可以得到22;
10097
(2)(10分)證明:可以得到2 + 2-2.
1999年全國初中數(shù)學競賽答案
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D
二、7.10 8.y = 5x + 50 9. 10. 11. 12.6
三、13.解:∵s≠0,∴第一個等式可以變形為:
又∵st≠1,.
∴,t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的兩個不同的實根,于是,有
.
即st + 1 =-99s,t = 19s.
∴.
14.解:設圓心為O,連接BO并延長交AD于H.
∵AB=BD,O是圓心,∴BH⊥AD. 又∵∠ADC=90°,∴BH∥CD.
從而△OPB∽△CPD.
∴CD=1.
于是AD=
又OH=CD=,于是
.,2
AB=
BC=
所以,四邊形ABCD的周長為
15.證明:
(1),.
.
.
也可以倒過來考慮:
.
(或者
(2
.))
.
或倒過來考慮:
.
注意:加法與乘法必須是交錯的,否則不能得分.
第五篇:2018全國初中應用物理競賽試題及答案
2018年全國初中應用物理競賽試題及答案
注意事項: 1.請在密封線內(nèi)填寫所在地區(qū)、學校、姓名和考號。2.用藍色或黑色鋼筆、圓珠筆書寫。3.本試卷共有六個大題,滿分100分。
―、本題共10小題,每小題2分,共20分。以下各小題給出的四個選項中只有一個是正確的,把正確選項前面的字母填在題后的括號內(nèi)。1.如圖1所示為倫敦四大地標性摩天大樓:“對講機”、“小黃瓜”、“奶酷刨”、“碎片大廈”。其中座大樓的設計考慮不周,曾經(jīng)由于玻璃反光將停放在附近的小轎車某些部件“烤”熔化了,你認為這座大樓最可能是()
2.當今,世界性的能源危機斷地加深,節(jié)約能源義不容辭。下面四種符號中,為中國節(jié)能標志的是()
3.在炎熱的夏天,當我們吃冰棒的時候,常??吹皆诒舻闹車小鞍讱狻泵俺觯P于這個“白氣”,下列說法中正確的是()
A.“白氣”是冰棒上的冰升華的結(jié)果,“白氣”應該上升 B.“白氣”是冰棒上的冰升華的結(jié)果,“白氣”應該下降 C.“白氣”是空氣中的水蒸氣液化的結(jié)果,“白氣”應該上升 D.“白氣”是空氣中的水蒸氣液化的結(jié)果,“白氣”應該下降 4.如圖3所示為雙線并繞的螺線管,a、b、c、d為四個接線柱,其中a、b之間連接一根較細的導線;c、d之間連接一根較粗的導線。如用兩端電壓恒定的同一個電源供電,下列連接方式中磁性最強的方法是()
A.將bc相連,然后a、d分別接電源兩極 B.將cd相連,然后a、b分別接電源兩極
C.將ab相連、cd相連,然后分別接電源兩極 D.將ad相連、bc相連,然后分別接電源兩極
5.5號電池因其體積小、容量適中,因此在小功率電器產(chǎn)品中廣泛使用。某種市售5號電池包裝上寫有“1.5 V 2000 mAH”字祥。對該電池,下列說法中正確的是()
A.它能提供的電能約10.8 kJ B.它正常工作時的電流是2 A C.它提供的最大電功率為3 W D.它在電路中是提供電荷的裝置
6.在平緩的海灘上經(jīng)??梢钥吹饺鐖D4所示的情景:不論遠處的海浪沿什么方向沖向海岸,到達岸邊時總是大約沿著垂直于岸的方向。發(fā)生這個現(xiàn)象的原因可能是()
A.在海岸邊,風的方向總是與海岸線垂直 B.在海岸邊,風的方向總是與海岸線平行
C.水波在淺水中傳播時,水越淺傳播得越快 D.水波在淺水中傳播時,水越淺傳播得越慢
7.小明在寵物店買了淡水熱帶魚,為方便帶回家,商家將魚放在裝有水的輕薄的塑料袋里。如果小明將裝著魚且沒有打開的塑料袋直接放入家里的淡水魚缸中,則圖5中最有可能發(fā)生的情況是()
8.微波在傳播過程中,如果遇到金屬會被反射,遇到陶瓷或玻璃則幾乎不被吸收的透射,而遇到類似于水、酸等極性分子構(gòu)成的物質(zhì)則會被吸收導致這些物質(zhì)的溫度升高。如圖6所示為家用微波爐工作過程的示意圖。根據(jù)這些信息,你認為以下關于微波爐的說法不正確...的是()
A.爐的內(nèi)壁要使用金屬材料 B.爐內(nèi)盛放食物的容器的材質(zhì)可以是玻璃或陶瓷
C.爐內(nèi)轉(zhuǎn)盤的主要作用是為了從不同側(cè)面看到食物被加熱的情況 D.微波爐的玻璃門上有一層金屬膜或金屬網(wǎng)
9.靜止、密閉的客車上有一個系在座椅上的氦氣球,一個懸掛在車頂?shù)男∏?。若客車突然啟動向左駛出,圖7中氦氣球與懸掛小球最可能出現(xiàn)的相對位置變化是()10.紙是我國古代四大發(fā)明之一,造紙術(shù)的發(fā)明,引起了書寫材料的一場革命,直至今日仍為信息傳遞和保存的重要方式之一。如圖8甲所示是平放于水平桌面上的一包印紙,熱愛物理的小遠同學注意到打印紙的包裝上有如圖8乙所示的一些信息,他還用毫米刻度尺測量了這包紙的厚度,記錄了一個數(shù)據(jù)5.00,但忘了寫單位,以下對這包紙的估算最符合實際情況的是()
A.這種紙單張紙張的厚度約是50μm B.這包紙的質(zhì)量約為2.5 kg C.這種紙的密度大于水的密度 D.這包紙對水平桌面的壓強約為40 Pa
二、簡答下列各題(每題6分,共30分)1.炎熱的夏天,小明想用冰袋給如圖9所示的罐裝飲料降溫。他想到了兩種方法:一種方法是將冰袋放在罐裝飲料的上方,另-種方法是將冰袋放在罐裝飲料的下方。假定液體飲料充滿整個容器且飲料的末溫不低于4℃,則哪種方法可以使罐裝飲料降溫更快,為什么?
2.將新打開蓋子的飲料盒中的果汁倒入杯中時,有時會出現(xiàn)果汁流出斷斷續(xù)續(xù)、時遠時近(同時發(fā)出咕咚聲)的現(xiàn)象,果汁也很容易濺出杯子外面。為避免這種情況發(fā)生,在打開飲料盒的蓋子后,應采用圖10甲還是圖10乙的方式倒果汁,請運用物理知識說明圖10甲、乙兩種方式倒果汁效果不同的原因。
3.擰開水龍頭,讓水流平穩(wěn)地流出,形成如圖11所示形狀的水柱。請看圖回答:(1)簡述水龍頭把手的作用;(2)為什么流出的水柱呈上粗下細的形狀?
4.中國科技館“探索與發(fā)現(xiàn)”展廳有一個展品名為:“伸縮的線圈’它是一個用軟線在一根塑料管上繞成的軟螺線管,軟螺線管導線的兩端可通過開關與電源相聯(lián)。如圖12所示分別是該展品中軟螺線管通電或不通電的兩種狀態(tài),請回答以下幾個問題:(1)哪幅圖是軟螺線管通電的狀態(tài)?(2)如果將軟螺線管通電的電流反向,可以看到什么現(xiàn)象?(3)解釋軟螺線管通電或不通電的兩種狀態(tài)的原因。
5.圖13所示為低壓電路中常用的油浸自冷式變壓器。變版器內(nèi)部的鐵芯、線圈浸沒于變壓器油(一種礦物油,也稱導熱油)中。變壓器工作時,鐵芯、線圈會發(fā)熱,熱量就在導熱油流經(jīng)變壓器外部那一根根金屬管道的過程中導出并散發(fā)到空氣中,從而使鐵芯、線圈的溫度不會升髙太多,以確保變壓器的安全運行。請回答:(1)變壓器外部的散熱器做成豎直方向上的管道狀,這樣做的目的是什么?(2)變壓器的上部有個油箱,其側(cè)面有一個油量表,如圖13所示,油量表的主要部件是一根外置的玻璃管。請簡述如何判斷油箱的油量,依據(jù)的主要物理知識是什么,并解釋正常情況下,變壓器油箱中的導熱油為什么不允許裝滿?(3)變壓器附近要設置防觸電的警示標志,請解釋原因。
三、(11分)海洋打撈技術(shù)中常用浮筒打撈海底沉船。充滿海水的浮筒靠自重下沉,向沉入水中的浮筒內(nèi)充氣,將浮筒內(nèi)海水排出,浮筒即產(chǎn)生上舉力。浮筒為鋼制的空心圓柱體,其圓柱面的外半徑r=5m,圓柱體高度L=12m,其質(zhì)量為2×l05kg。某海域有一艘失事沉船,打撈人員需先用聲吶(一種發(fā)射聲波的儀器)探測沉船的深度,在沉船正上方的海面上向沉船發(fā)射聲波,測得聲波從發(fā)出至接收到反射波的時間是0.1s,海水中的聲速為1500m/s。已知海面大氣壓p0=1.0×l05Pa,海水的密度是ρ=1.03×103kg/m3。(1)求給浮筒充氣的氣體壓強至少應是多大?(2)若用浮筒打撈沉船時,需用6個這樣的浮筒。若用其他方式打撈這艘沉船,大約需要多大的力才能將沉船打撈起來?
四、(12分)如圖14甲所示為手動壓力機,廠家己標出部分尺寸,其他相關尺寸可根據(jù)圖甲估測獲得。壓力機手柄拆卸下來的結(jié)構(gòu)如圖14乙所示,手柄總長度為30 cm,手柄連接的齒輪直徑為2 cm。向下壓手柄右端時通過齒輪帶動齒條向下運動,可對放在臺面上的物體施加巨大壓力。若此壓力機的規(guī)格是可產(chǎn)生5000N的壓力,總質(zhì)量為9 kg。請通過估算說明:根據(jù)該壓力機的設計規(guī)格,若手柄轉(zhuǎn)到任何方位時都能正常工作,在將該壓力機放在水平桌面上使用時,是否需要用螺栓將其固定在工作臺上?(g取10N/kg)
五、(13分)某學校新裝的飲水機既能提供溫度為100℃的幵水,也能提供溫度為35℃的可直接飲用的溫開水。研究性學習小組的同學査閱了相關資料,畫出了飲水機內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡圖如圖15所示。他們發(fā)現(xiàn)從自來水管流入飲水機的20℃生水并不是直接進入加熱器,而是先進入換熱器,與已經(jīng)加熱到100℃的開水進行熱交換,這樣開水就變成了35℃的溫開水,生水也被加熱到85℃然后進入加熱器。若飲水機加熱器的額定功率為3 kW,飲水機內(nèi)水箱容量45L,已知C水=4.2×103J/(kg·℃)。請回答下列問題:(1)寫出A、B、C、D四個位置的水溫。(2)相同功率的只能提供開水的飲水機,一天供應8小時開水,最多能供應多少L?(3)統(tǒng)計結(jié)果顯示,學校學生一天所需的開水和溫開水的質(zhì)量之比是1:4,使用該型號飲水機,每天正常工作8小時,最多能供應多少L可飲用水?(4)請簡述這種飲水機有哪些優(yōu)點?
六、(14分)為了研究“從靜止開始滴落的水滴,在不同時間段的平均速度隨時間變化的規(guī)律”,小林將這個問題簡化為“研究水滴分別在0~0.2 s、0.2 s~0.4 s、0.4 s~0.6 s…的平均速度與時間有什么關系”?他使用醫(yī)用輸液系統(tǒng)、刻度尺、電子秒表展幵了研究。使用如圖16所示的輸液系統(tǒng)吋以保持一段時間內(nèi)滴出水滴的時間間隔相同。(1)調(diào)節(jié)流速調(diào)節(jié)器,改變滴出水滴的時間間隔。不增加器材,請設計實驗研究:當?shù)纬鏊螘r間間隔長短改變時,每個水滴的質(zhì)量是否發(fā)生變化?寫出實驗少驟、預測可以觀察到的現(xiàn)象,并說明可得出的結(jié)論;(2)小林從第1個水滴離開針頭開始計時,到第31個水滴離開針頭按下秒表停止計時,讀出秒表的示數(shù)為調(diào)整水滴滴出時間間隔,使t1= 6 s。保持滴出時間間隔不變,然后他在針頭正下方放置接水盤,調(diào)整接水盤底部到針頭滴水口的高度h1,使耳朵剛好聽到前一個水滴滴在盤中的聲音同時,下一水滴剛好開始下落。用刻度尺測量出h1 = 0.20 m,求此過程水滴下落的平均速度V1;(3)假如第(1)問實驗結(jié)果證明:當水滴滴出時間間隔較長時,改變水滴滴出時間間隔,滴出水滴的質(zhì)量幾乎不變。請設計實驗研究“水滴分別在0~0.2 s、0.2 s~0.4 s、……的平均速度,與時間有什么關系”,寫出實驗步驟和平均速度的計算公式。