第一篇：全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(1995年)

中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)

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1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一、選擇題

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,則有［

]

A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．a(chǎn)＜c＜b

A．1 B．2

C．3

D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長為 ［

]

A．62π B．63π C．64π D．65π 5．設(shè)AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，則 [

]

A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N D．M、N的大小關(guān)系不確定 6．設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則[

]

A．a(chǎn)＞0且b＞0 B．a(chǎn)＜0且b＞0 C．a(chǎn)＞0且b＜0 D．a(chǎn)＜0且b＜0

二、填空題

1．在12，22，32…，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____個(gè)。

4．以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上的點(diǎn)，且OC2＝AC·BC，則∠CAB＝______．

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第二試

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，點(diǎn)B在CE上，CA＝CB＝CD，經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F（如圖）求證F為△CDE的內(nèi)心。

二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)

理由。

三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。

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1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題

1．講解：這類指數(shù)冪的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或化為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有

c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a

＜25611＝(44)11＝b。選C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771計(jì)算lga、lgb、lgc也可以，但沒有優(yōu)越性。

2．講解：這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定z＝1,進(jìn)而可求出兩個(gè)解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程組

直接判斷：因?yàn)閤≠y(否則不是正整數(shù))，故方程組①或無解或有兩個(gè)解，對(duì)照選擇支，選B。

3．講解：顯然，方程的一個(gè)根為1，另兩根之和為x1＋x2＝2＞1。三根能作為一個(gè)三角形的三邊，須且只須｜x1－x2｜＜1又

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有0≤4－4m＜1．

4．講解：四個(gè)選擇支表明，圓的周長存在且唯一，從而直徑也存在且唯一．又由

AB2＋AD2 ＝252＋602

＝52×（52＋122）＝52×132

＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65為直徑，得周長為65π，選D．

5．講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦碛墒清e(cuò)誤的．比如有的考生取AB為直徑，則M＝N＝0，于是就選B．其實(shí)，這只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，設(shè)CE≥ED，在CE上取CF＝ED，則有OF＝OE，且S△第 4 頁 http://004km.cn

ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．選B．

若過C、D、O分別作AB的垂線（圖3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分別為E、F、L．連CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn)．根據(jù)課本上做過的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊，并且等于兩底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

即M＝N．選B．

6．講解：取a＝-

1、b＝2可否定A、C、D，選B．一般地，對(duì)已知不等式平方，有

｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．

顯然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，則與上式矛盾），有

兩邊都只能取1或-1，故只有1＞-1，即

有a＜0且a＋b＞0，從而b＞-a＞0．選B．

二、填空題

1．講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力．經(jīng)計(jì)算12，22，…，102，知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42＝16，62＝36．然后，對(duì)兩位數(shù)10a＋b，有

（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．

其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有b＝4或6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在1，2，…，95中個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次4或6，有2×9＋1＝19．

2.講解：這類問題一般都先化簡(jiǎn)后代值，直接把a(bǔ)

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學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確，最后又不會(huì)將a2＋a作為整體代入．這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活．比如，由①有

由②－①，得

由③－②并將④代入，得

還可由①得

⑥÷⑤即得所求．

3．講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y＝x2－x與反比例函數(shù)

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因而x＝1時(shí)，y有最小值1．

4．講解：此題由筆者提供，原題是求sin

∠CAB，讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°、sin15°．解法如下：

與AB2＝AB2＋AC2 ② 聯(lián)立，可推出

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

改為求∠CAB之后，思路更寬一些．如，由

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第二試

一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角△ABC中，斜邊BC上的高，過△ABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面積分別記為S和T．求證S≥2T．

在這個(gè)題目的證明中，要用到AK ＝AL＝AD．

今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來，先給出AK＝AL＝AD(斜邊上的高)，再求證KL通過△ABD、△ADC的內(nèi)心（圖7）．

其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE，然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線段相等．下面是幾個(gè)有代表性的證法．

證法1：如圖6，連DF，則由已知，有

連BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上，從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是∠ECD的平分線．

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由于F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是△CDE的內(nèi)心． 證法2：同證法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四點(diǎn)共圓．連EF，在證得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分線．

本來，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜．

由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是△DCB的外心．

證法4：如圖8，只證CF為∠DCE的平分線．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1 得∠1＝∠2．

從而∠DCF＝∠GCF，得CF為∠DCE的平分線．

證法5：首先DF是∠CDE的平分線，故 △CDE的外心I在直線DF上．

現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，并記CA＝CB＝CD＝d,則直線AB是一次函數(shù)

y＝-x＋d ①

第 9 頁 http://004km.cn 的圖象（圖9）．若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為（x1，y1），則 x1＋y1＝CH＋I(xiàn)H

＝CH＋HB＝CB＝d

滿足①，即I在直線AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn)．由交點(diǎn)的唯一性知I就是F，從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心．

還可延長ED交⊙O于P1，而CP為直徑來證．

二、講解：此題的原型由筆者提供．題目是：

于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫坐標(biāo)的格點(diǎn)．

這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式

求正整數(shù)解．直接解，數(shù)字較繁．但有巧法，由

及1≤y＜x，知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．

但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，從而y＝21，所求的格點(diǎn)為(21，63)．

經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算．

有x2－x＋18≤10｜x｜．

當(dāng)x≥0時(shí)，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

當(dāng)x＜0時(shí)，有 x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn)：

(-6,6),(-3,3)．

對(duì)x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且當(dāng)x＞9時(shí)，由

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對(duì)x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…順次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且當(dāng)x<-6時(shí)，由

知y>-x，再無滿足y≤｜x｜的解． 故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略．

解法3：先找滿足條件y＝｜x｜的整點(diǎn)，即分別解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．

再找滿足y＜｜x｜的整點(diǎn)，這時(shí) 2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次檢驗(yàn)得(4，3)、(7，6)．故共有6個(gè)整點(diǎn)．

三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)n＞6時(shí)，在2，3，…，n－2中，必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n－2)，記

B＝n－A≥2，有n＝A＋B．

此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d＞1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾．

但是，對(duì)于初中生來說，這個(gè)A的存在性有點(diǎn)抽象，下面分情況，把它具體找出來．

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有 n＝2＋(n－2)，(2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有

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(3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有

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第二篇：1996年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不確定

A．有一組 B．有二組

C．多于二組

D．不存在

3．如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，則陰影部分的面積等于 [

]

4．設(shè)x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個(gè)根，那么x13?4x22+19的值等于 [

]

A．?

4B．8

C．6

D．0

5．如果一個(gè)三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)三角形的 [

]

A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20個(gè)點(diǎn)將某圓周20等分，那么頂點(diǎn)只能在這20個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形的個(gè)數(shù)有 [

]

A．4個(gè) B．8個(gè)

C．12個(gè)

D．24個(gè)

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，則點(diǎn)N到邊BC的距離等于______．

3．設(shè)1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB＇C＇D＇的位置，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中，甲班的m個(gè)男生和11個(gè)女生的捐款總數(shù)與乙班的9個(gè)男人和n個(gè)女生的捐款總數(shù)相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù)．

6.設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，交BC的延長線于點(diǎn)O，P是以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上一點(diǎn)（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數(shù)，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空題

一、據(jù)題意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

綜上可知，每人捐款數(shù)為25元或47元．

二、作AD、BO的延長線相交于G，∵OE

而，三、據(jù)題意，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異根，都在(?1，0)中，故

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，∴a+b+c=11最?。?/p>

第三篇：19屆全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2019年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設(shè)得．

2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得

AD＝．

4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因?yàn)?010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．

由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則

解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設(shè)．

因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以

．

又因?yàn)?/p>

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽R(shí)t△，所以，即=．

10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為

．

解：

因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．

由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；

（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.（第12題）

設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．

因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.（第12題）

因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２（2，）是符合條件的點(diǎn)．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，有，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是

這不可能.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.（5分）

另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?/p>

.因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………（10分）

設(shè)，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）

第四篇：1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷

一、選擇題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分．每小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)里）

1．一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°，那么n的最大值是（）．

A．11 B．12 C．13 D．14

2．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過60立方米，超過部分按每立方米1.2元收費(fèi)．已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)（）．

A．60元 B．66元 C．75元 D．78元

3．已知，那么代數(shù)式的值為（）．

A． B．－ C．－ D．

4．在三角形ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面積是（）．

A．30 B．36 C．72 D．125

5．如果拋物線

與x軸的交點(diǎn)為A，B，項(xiàng)點(diǎn)為C，那么三角形ABC的面積的最小值是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在正五邊形ABCDE所在的平面內(nèi)能找到點(diǎn)P，使得△PCD與△BCD的面積相等，并且△ABP為等腰三角形，這樣的不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分）

7．已知，那么x + y的值為

．

28．如圖1，正方形ABCD的邊長為10cm，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，且EB=10cm，點(diǎn)

2P在邊DC上運(yùn)動(dòng)，EP與AB的交點(diǎn)為F．設(shè)DP=xcm，△EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm，那么，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是

（0＜x＜10）．

9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值為

．

10．如圖2，已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)在第Ⅰ象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為30°，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是

．

11．設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形，記作A1（如圖3），將A1的每條邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2（如圖4）；將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3（如圖5）；再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么A4的周長是

． 22

12．江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等．如果用兩

臺(tái)抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完．如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī)

臺(tái)．

三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）

13．設(shè)實(shí)數(shù)s，t分別滿足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．

14．如圖6，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)是P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長．

15．有人編了一個(gè)程序：從1開始，交錯(cuò)地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3．例如，30可以這樣得到：

．

（1）（10分）證明：可以得到22；

10097

（2）（10分）證明：可以得到2 + 2－2．

1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6

三、13．解：∵s≠0，∴第一個(gè)等式可以變形為：

又∵st≠1，．

∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的兩個(gè)不同的實(shí)根，于是，有

．

即st + 1 =－99s，t = 19s．

∴．

14．解：設(shè)圓心為O，連接BO并延長交AD于H．

∵AB=BD，O是圓心，∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．

從而△OPB∽△CPD．

∴CD=1．

于是AD=

又OH=CD=，于是

．，2

AB=

BC=

所以，四邊形ABCD的周長為

15．證明：

（1），．

．

．

也可以倒過來考慮：

．

（或者

（2

．））

．

或倒過來考慮：

．

注意：加法與乘法必須是交錯(cuò)的，否則不能得分．

第五篇：2018全國初中應(yīng)用物理競(jìng)賽試題及答案

2018年全國初中應(yīng)用物理競(jìng)賽試題及答案

注意事項(xiàng)： 1.請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)填寫所在地區(qū)、學(xué)校、姓名和考號(hào)。2.用藍(lán)色或黑色鋼筆、圓珠筆書寫。3.本試卷共有六個(gè)大題，滿分100分。

―、本題共10小題，每小題2分，共20分。以下各小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的，把正確選項(xiàng)前面的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.如圖1所示為倫敦四大地標(biāo)性摩天大樓：“對(duì)講機(jī)”、“小黃瓜”、“奶酷刨”、“碎片大廈”。其中座大樓的設(shè)計(jì)考慮不周，曾經(jīng)由于玻璃反光將停放在附近的小轎車某些部件“烤”熔化了，你認(rèn)為這座大樓最可能是（）

2.當(dāng)今，世界性的能源危機(jī)斷地加深，節(jié)約能源義不容辭。下面四種符號(hào)中，為中國節(jié)能標(biāo)志的是（）

3.在炎熱的夏天，當(dāng)我們吃冰棒的時(shí)候，常常看到在冰棒的周圍有“白氣”冒出，關(guān)于這個(gè)“白氣”，下列說法中正確的是（）

A.“白氣”是冰棒上的冰升華的結(jié)果，“白氣”應(yīng)該上升 B.“白氣”是冰棒上的冰升華的結(jié)果，“白氣”應(yīng)該下降 C.“白氣”是空氣中的水蒸氣液化的結(jié)果，“白氣”應(yīng)該上升 D.“白氣”是空氣中的水蒸氣液化的結(jié)果，“白氣”應(yīng)該下降 4.如圖3所示為雙線并繞的螺線管，a、b、c、d為四個(gè)接線柱，其中a、b之間連接一根較細(xì)的導(dǎo)線；c、d之間連接一根較粗的導(dǎo)線。如用兩端電壓恒定的同一個(gè)電源供電，下列連接方式中磁性最強(qiáng)的方法是（）

A.將bc相連，然后a、d分別接電源兩極 B.將cd相連，然后a、b分別接電源兩極

C.將ab相連、cd相連，然后分別接電源兩極 D.將ad相連、bc相連，然后分別接電源兩極

5.5號(hào)電池因其體積小、容量適中，因此在小功率電器產(chǎn)品中廣泛使用。某種市售5號(hào)電池包裝上寫有“1.5 V 2000 mAH”字祥。對(duì)該電池，下列說法中正確的是（）

A.它能提供的電能約10.8 kJ B.它正常工作時(shí)的電流是2 A C.它提供的最大電功率為3 W D.它在電路中是提供電荷的裝置

6.在平緩的海灘上經(jīng)?？梢钥吹饺鐖D4所示的情景：不論遠(yuǎn)處的海浪沿什么方向沖向海岸，到達(dá)岸邊時(shí)總是大約沿著垂直于岸的方向。發(fā)生這個(gè)現(xiàn)象的原因可能是（）

A.在海岸邊，風(fēng)的方向總是與海岸線垂直 B.在海岸邊，風(fēng)的方向總是與海岸線平行

C.水波在淺水中傳播時(shí)，水越淺傳播得越快 D.水波在淺水中傳播時(shí)，水越淺傳播得越慢

7.小明在寵物店買了淡水熱帶魚，為方便帶回家，商家將魚放在裝有水的輕薄的塑料袋里。如果小明將裝著魚且沒有打開的塑料袋直接放入家里的淡水魚缸中，則圖5中最有可能發(fā)生的情況是()

8.微波在傳播過程中，如果遇到金屬會(huì)被反射，遇到陶瓷或玻璃則幾乎不被吸收的透射，而遇到類似于水、酸等極性分子構(gòu)成的物質(zhì)則會(huì)被吸收導(dǎo)致這些物質(zhì)的溫度升高。如圖6所示為家用微波爐工作過程的示意圖。根據(jù)這些信息，你認(rèn)為以下關(guān)于微波爐的說法不正確．．．的是（）

A.爐的內(nèi)壁要使用金屬材料 B.爐內(nèi)盛放食物的容器的材質(zhì)可以是玻璃或陶瓷

C.爐內(nèi)轉(zhuǎn)盤的主要作用是為了從不同側(cè)面看到食物被加熱的情況 D.微波爐的玻璃門上有一層金屬膜或金屬網(wǎng)

9.靜止、密閉的客車上有一個(gè)系在座椅上的氦氣球，一個(gè)懸掛在車頂?shù)男∏颉Ｈ艨蛙囃蝗粏?dòng)向左駛出，圖7中氦氣球與懸掛小球最可能出現(xiàn)的相對(duì)位置變化是（）10.紙是我國古代四大發(fā)明之一，造紙術(shù)的發(fā)明，引起了書寫材料的一場(chǎng)革命，直至今日仍為信息傳遞和保存的重要方式之一。如圖8甲所示是平放于水平桌面上的一包印紙，熱愛物理的小遠(yuǎn)同學(xué)注意到打印紙的包裝上有如圖8乙所示的一些信息，他還用毫米刻度尺測(cè)量了這包紙的厚度，記錄了一個(gè)數(shù)據(jù)5.00，但忘了寫單位，以下對(duì)這包紙的估算最符合實(shí)際情況的是（）

A.這種紙單張紙張的厚度約是50μm B.這包紙的質(zhì)量約為2.5 kg C.這種紙的密度大于水的密度 D.這包紙對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)約為40 Pa

二、簡(jiǎn)答下列各題（每題6分，共30分）1.炎熱的夏天，小明想用冰袋給如圖9所示的罐裝飲料降溫。他想到了兩種方法：一種方法是將冰袋放在罐裝飲料的上方，另-種方法是將冰袋放在罐裝飲料的下方。假定液體飲料充滿整個(gè)容器且飲料的末溫不低于4℃，則哪種方法可以使罐裝飲料降溫更快，為什么？

2.將新打開蓋子的飲料盒中的果汁倒入杯中時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)果汁流出斷斷續(xù)續(xù)、時(shí)遠(yuǎn)時(shí)近（同時(shí)發(fā)出咕咚聲）的現(xiàn)象，果汁也很容易濺出杯子外面。為避免這種情況發(fā)生，在打開飲料盒的蓋子后，應(yīng)采用圖10甲還是圖10乙的方式倒果汁，請(qǐng)運(yùn)用物理知識(shí)說明圖10甲、乙兩種方式倒果汁效果不同的原因。

3.擰開水龍頭，讓水流平穩(wěn)地流出，形成如圖11所示形狀的水柱。請(qǐng)看圖回答:(1）簡(jiǎn)述水龍頭把手的作用；(2）為什么流出的水柱呈上粗下細(xì)的形狀？

4.中國科技館“探索與發(fā)現(xiàn)”展廳有一個(gè)展品名為：“伸縮的線圈’它是一個(gè)用軟線在一根塑料管上繞成的軟螺線管，軟螺線管導(dǎo)線的兩端可通過開關(guān)與電源相聯(lián)。如圖12所示分別是該展品中軟螺線管通電或不通電的兩種狀態(tài)，請(qǐng)回答以下幾個(gè)問題：(1）哪幅圖是軟螺線管通電的狀態(tài)？(2）如果將軟螺線管通電的電流反向，可以看到什么現(xiàn)象？(3）解釋軟螺線管通電或不通電的兩種狀態(tài)的原因。

5.圖13所示為低壓電路中常用的油浸自冷式變壓器。變版器內(nèi)部的鐵芯、線圈浸沒于變壓器油（一種礦物油，也稱導(dǎo)熱油）中。變壓器工作時(shí)，鐵芯、線圈會(huì)發(fā)熱，熱量就在導(dǎo)熱油流經(jīng)變壓器外部那一根根金屬管道的過程中導(dǎo)出并散發(fā)到空氣中，從而使鐵芯、線圈的溫度不會(huì)升髙太多，以確保變壓器的安全運(yùn)行。請(qǐng)回答：(1）變壓器外部的散熱器做成豎直方向上的管道狀，這樣做的目的是什么？(2）變壓器的上部有個(gè)油箱，其側(cè)面有一個(gè)油量表，如圖13所示，油量表的主要部件是一根外置的玻璃管。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何判斷油箱的油量，依據(jù)的主要物理知識(shí)是什么，并解釋正常情況下，變壓器油箱中的導(dǎo)熱油為什么不允許裝滿？(3）變壓器附近要設(shè)置防觸電的警示標(biāo)志，請(qǐng)解釋原因。

三、（11分）海洋打撈技術(shù)中常用浮筒打撈海底沉船。充滿海水的浮筒靠自重下沉，向沉入水中的浮筒內(nèi)充氣，將浮筒內(nèi)海水排出，浮筒即產(chǎn)生上舉力。浮筒為鋼制的空心圓柱體，其圓柱面的外半徑r=5m，圓柱體高度L=12m，其質(zhì)量為2×l05kg。某海域有一艘失事沉船，打撈人員需先用聲吶（一種發(fā)射聲波的儀器）探測(cè)沉船的深度，在沉船正上方的海面上向沉船發(fā)射聲波，測(cè)得聲波從發(fā)出至接收到反射波的時(shí)間是0.1s，海水中的聲速為1500m/s。已知海面大氣壓p0=1.0×l05Pa，海水的密度是ρ=1.03×103kg/m3。(1）求給浮筒充氣的氣體壓強(qiáng)至少應(yīng)是多大？(2）若用浮筒打撈沉船時(shí)，需用6個(gè)這樣的浮筒。若用其他方式打撈這艘沉船，大約需要多大的力才能將沉船打撈起來？

四、（12分）如圖14甲所示為手動(dòng)壓力機(jī)，廠家己標(biāo)出部分尺寸，其他相關(guān)尺寸可根據(jù)圖甲估測(cè)獲得。壓力機(jī)手柄拆卸下來的結(jié)構(gòu)如圖14乙所示，手柄總長度為30 cm，手柄連接的齒輪直徑為2 cm。向下壓手柄右端時(shí)通過齒輪帶動(dòng)齒條向下運(yùn)動(dòng)，可對(duì)放在臺(tái)面上的物體施加巨大壓力。若此壓力機(jī)的規(guī)格是可產(chǎn)生5000N的壓力，總質(zhì)量為9 kg。請(qǐng)通過估算說明：根據(jù)該壓力機(jī)的設(shè)計(jì)規(guī)格，若手柄轉(zhuǎn)到任何方位時(shí)都能正常工作，在將該壓力機(jī)放在水平桌面上使用時(shí)，是否需要用螺栓將其固定在工作臺(tái)上？（g取10N/kg)

五、（13分）某學(xué)校新裝的飲水機(jī)既能提供溫度為100℃的幵水，也能提供溫度為35℃的可直接飲用的溫開水。研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)査閱了相關(guān)資料，畫出了飲水機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖15所示。他們發(fā)現(xiàn)從自來水管流入飲水機(jī)的20℃生水并不是直接進(jìn)入加熱器，而是先進(jìn)入換熱器，與已經(jīng)加熱到100℃的開水進(jìn)行熱交換，這樣開水就變成了35℃的溫開水，生水也被加熱到85℃然后進(jìn)入加熱器。若飲水機(jī)加熱器的額定功率為3 kW，飲水機(jī)內(nèi)水箱容量45L，已知C水=4.2×103J/（kg·℃）。請(qǐng)回答下列問題：(1)寫出A、B、C、D四個(gè)位置的水溫。(2）相同功率的只能提供開水的飲水機(jī)，一天供應(yīng)8小時(shí)開水，最多能供應(yīng)多少L?(3）統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，學(xué)校學(xué)生一天所需的開水和溫開水的質(zhì)量之比是1:4，使用該型號(hào)飲水機(jī)，每天正常工作8小時(shí)，最多能供應(yīng)多少L可飲用水？(4)請(qǐng)簡(jiǎn)述這種飲水機(jī)有哪些優(yōu)點(diǎn)？

六、（14分）為了研究“從靜止開始滴落的水滴，在不同時(shí)間段的平均速度隨時(shí)間變化的規(guī)律”，小林將這個(gè)問題簡(jiǎn)化為“研究水滴分別在0～0.2 s、0.2 s～0.4 s、0.4 s～0.6 s…的平均速度與時(shí)間有什么關(guān)系”？他使用醫(yī)用輸液系統(tǒng)、刻度尺、電子秒表展幵了研究。使用如圖16所示的輸液系統(tǒng)吋以保持一段時(shí)間內(nèi)滴出水滴的時(shí)間間隔相同。(1）調(diào)節(jié)流速調(diào)節(jié)器，改變滴出水滴的時(shí)間間隔。不增加器材，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究：當(dāng)?shù)纬鏊螘r(shí)間間隔長短改變時(shí)，每個(gè)水滴的質(zhì)量是否發(fā)生變化？寫出實(shí)驗(yàn)少驟、預(yù)測(cè)可以觀察到的現(xiàn)象，并說明可得出的結(jié)論；(2）小林從第1個(gè)水滴離開針頭開始計(jì)時(shí)，到第31個(gè)水滴離開針頭按下秒表停止計(jì)時(shí)，讀出秒表的示數(shù)為調(diào)整水滴滴出時(shí)間間隔，使t1= 6 s。保持滴出時(shí)間間隔不變，然后他在針頭正下方放置接水盤，調(diào)整接水盤底部到針頭滴水口的高度h1，使耳朵剛好聽到前一個(gè)水滴滴在盤中的聲音同時(shí)，下一水滴剛好開始下落。用刻度尺測(cè)量出h1 = 0.20 m，求此過程水滴下落的平均速度V1;(3）假如第（1)問實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：當(dāng)水滴滴出時(shí)間間隔較長時(shí)，改變水滴滴出時(shí)間間隔，滴出水滴的質(zhì)量幾乎不變。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究“水滴分別在0～0.2 s、0.2 s～0.4 s、……的平均速度，與時(shí)間有什么關(guān)系”，寫出實(shí)驗(yàn)步驟和平均速度的計(jì)算公式。