第一篇：全國1995年初中數學聯(lián)合競賽試題(含解析)

全國1995年初中數學聯(lián)合競賽試題（含解析）

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

?xy?yz?632.方程組?的正整數解的組數是（）

xz?yz?23?A．1 B．2.C．3 D．4

23．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是（）A.0?m?1 B.m?333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為（）A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關系不確定

6．設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個數中，十位數字為奇數的數共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4a?a4?a3?a2219.設x為正實數,則函數y=x-x+

21的最小值是__________.x210.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.二、在坐標平面上，縱坐標與橫坐標都是整數的點稱為整點,試在二次函數y?的圖象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.三、試證：每個大于6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和.x2?x10?9510

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

2.方程組?A．1 ?xy?yz?63的正整數解的組數是（）

?xz?yz?23 B．2.C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是（）

A.0?m?1 B.m?

2333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為（）

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關系不確定

6.設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個數中，十位數字為奇數的數共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4324a?a?a?a21

9．設x為正實數,則函數y=x-x+

21的最小值是__________.x2【解析】：這個題目是將二次函數y＝x－x與反比例函數

10.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

2第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.,試在二次函數y?的圖

象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.x2?x1010?95

6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和.

第二篇：2007-2012年全國初中數學聯(lián)合競賽分類解析---幾何填空題

2007-2012年全國初中數學聯(lián)合競賽分類解析匯編---幾何填空題

1.已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB?2,BC?CD?10,AD?6，過B、D兩點作圓,與BA的延長線交于點E，與CB的延長線交于點F，則BE?BF的值為____4_____.（2007）

解延長CD交⊙O于點G，設BE,DG的中點分別為點M,N，則

易知AM?DN.因為BC?CD?10，由割線定理，易證BF?DG，所以BE?BF?BE?DG?2(BM?DN)?2(BM?AM)?2AB?4.F M N D

C

2．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M,N為BD

所在直線上的兩點，且AM??MAN?135?，則四邊形AMCN的面積為

5（2008）

解設正方形ABCD的中心為O，連AO，則AO?

BD，AO?OB?, MO?又?ABM??NDA?135?，,∴MB?MO?OB?.2?45???NAD??MAN??DAB??MAB?135??90???MAB

?MAB??AMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNAD?，從而DN??BA?1?MBBAMB2根據對稱性可知，四邊形AMCN的面積

115S?2S△MAN?2??MN?AO?2???.222

3． 設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為m和n，則四邊形DECF的面積為______.（2009）

【答】

設△ABC的面積為S,則因為△ADE∽△ABC，所

以

AD

?

ABBD又因為△BDF∽△BAC，所以?

AB兩式相加

得

F

C

ADBD???1，即ABAB?1，解

得S?2.所以四邊形DECF的面積為2?m?n?

4．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內一點，且PA

PC＝5，則PB＝______．（2009）【答】

E?mP,F作PE⊥AB，交AB于點E，作PF⊥BC，交BC于點F，設P

△PCF中利用勾股定理，得

n?，分別在△PAE、m2?(5?n)2?5①(5?m)?n?25②

②－①，得10(n?m)?20，所以m?n?2，代入①中，得n?7n?12?0，解得n1?3，n2?4.F

C

當n?3時，m?n?2?1，在Rt△PAE

中，由勾股定理可得PB??當n?4時，m?n?2?2，此時PE?AE，所以點P在△ABC的外面，不符合題意，舍去.因此PB

5．在△ABC中，已知?B?2?A，BC?2,AB?2?2，則?A?．（2011）【答】 15?。

延長AB到D，使BD＝BC，連線段CD，則?D??BCD?

?ABC??A，所以CA＝2

CD。

作CE?AB于點E，則E為AD的中點，故

AE?DE?AD?(AB?BD)?(2?2)?2?222，EB

D

BE?AB?AE?(2??(2?.在Rt△BCE

中，co?sEBC?

EB，所以?EBC?30?，故 ?

BC?A?

?ABC?15?． 2

6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F，如果DE?＝．（2011）

【答】 24.設CE?4x,AE?y，則DF?DE?3x,EF?6x．

連AD，BC．因為AB為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，所以

A

B

CE，AC?8，D為EF的中點，則AB4

?EAF?90?,?ACD??DAF．

又因為D為Rt△AEF的斜邊EF的中點，∴ DA?DE?DF，∴ ?DAF??AFD，∴ ?ACD??AFD，∴ AF?AC?8． 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF

F

?AE2?AF2，即 36x2?y2?320．

設BE?z，由相交弦定理得 CE?DE?AE?BE，即yz?4x?3x?12x，∴ y?320?3yz① 又∵ AD?DE，∴ ?DAE??AED．

又?DAE??BCE,?AED??BEC，∴ ?BCE??BEC，從而BC?BE?z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得 AB?AC?BC，即(y?z)?320?z，∴ y?2yz?320．② 聯(lián)立①②，解得y?8,z?16．

所以AB?AE?BE?24．

7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點，∠ACP＝20°，則＝．（2012）

【答】

設D為BC的中點，在△ABC外作∠CAE＝20°，則∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，則易證△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝

BCAP

BC.2

又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60

°＝

1AP，PF＝CE，所以AP＝BC，222

因此

BC

AP

E

B

第三篇：全國高中數學聯(lián)合競賽1996年試題

一九九六年全國高中數學聯(lián)合競賽

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1.把圓x2+(y –1)2 =1與橢圓9x2+(y + 1)2 = 9的公共點, 用線段連接起來的圖形是_________.(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形

12.等比數列{an}的首項a1=1536, 公比是q= –.用Tn表示它的前n項之積, 則Tn(n?N)最大的是．2

____________

(A)T9(B)T11(C)T12(D)T1

33.存在整數np?n?n是整數的質數p________

(A)不存在(B)只有一個(C)多于一個,但為有限個(D)有無窮多個

14設x?(– , 0),以下三個數: ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)?的大小關系是2

__________.(A)?3 < ?2 < ?1(B)?1 < ?3 < ?2(C)?3 < ?1 < ?2(D)?2 < ?3 < ?1

15.如果在區(qū)間[1, 2 ]上, 函數f(x)= x2 + px + q與)2在同一點取相同的最小值, x

那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是__________.1151(A)4?2?4(B)4?2?4(C)1?2?4(D)以上答案都不對 4226.高為8的圓臺內有一個半徑為2的球O1, 球心O1在圓臺的軸上.球O1與圓臺上底面、側面都相切.圓臺內可再放入一個半徑為3的球O2, 使得球O2與球O1、圓臺的下底面及側面都只有一個公共點, 除球O2, 圓臺內最多還能放入半徑為3的球的個數是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)

4二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)

11.集合{x| –1? log(1)10 <– , x?N}的真子集的個數是_____________________ 2x

2.復平面上非零復數z1,z2在以i為圓心1為半徑的圓上z1,z2的實部

1為零,z1的輻角主值為? , 則z 2 = ____________.6

3.曲線C的極坐標方程是? = 1 + cos?, 點A的極坐標是(2, 0).曲線C在它所在的平面內

繞A 旋轉一周, 則它掃過的圖形的面積是______________.4.已知將給定的兩個全等的三棱錐的底面粘在一起, 恰得到一個所有二面角都相等的六

面體, 并且該六面體的最短棱的長為2, 則最遠的兩個基本點頂點的距離是__________.5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個正方體的六個面染色, 每面恰染一種

顏色, 每兩個具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有_____________種.(注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當的翻轉,使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同,那么,我們就說這兩個正方體的染色方案相同).6.在直角坐標平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點（即橫、縱坐標皆為整數的點）的個數為_______________.

第四篇：1996年全國初中數學競賽試題及答案

1996年全國初中數學聯(lián)賽試題

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不確定

A．有一組 B．有二組

C．多于二組

D．不存在

3．如圖，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點，弦BC∥OA，連結AC，則陰影部分的面積等于 [

]

4．設x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個根，那么x13?4x22+19的值等于 [

]

A．?

4B．8

C．6

D．0

5．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的 [

]

A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20個點將某圓周20等分，那么頂點只能在這20個點中選取的正多邊形的個數有 [

]

A．4個 B．8個

C．12個

D．24個

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，則點N到邊BC的距離等于______．

3．設1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉60°至AB＇C＇D＇的位置，則這兩個正方形重疊部分的面積是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數與乙班的9個男人和n個女生的捐款總數相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數相同，且都是整數元，求每人的捐款數．

6.設凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O為圓心OM為半徑的圓上一點（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B，若A、B到原點的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全國初中數學聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空題

一、據題意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

綜上可知，每人捐款數為25元或47元．

二、作AD、BO的延長線相交于G，∵OE

而，三、據題意，方程ax2+bx+c=0有兩個相異根，都在(?1，0)中，故

經檢驗，符合題意，∴a+b+c=11最?。?/p>

第五篇：19屆全國初中數學競賽試題及答案

“《數學周報》杯”2019年全國初中數學競賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設得．

2．若實數a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因為b是實數，所以關于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據勾股定理得

AD＝．

4．在一列數……中，已知，且當k≥2時，（取整符號表示不超過實數的最大整數，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因為2010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉180°得點P1，點P1繞點B旋轉180°得點P2，點P2繞點C旋轉180°得點P3，點P3繞點D旋轉180°得點P4，……，重復操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點，的坐標分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據對稱關系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點的坐標為（），即（），由于2010=4502+2，所以點的坐標為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．

由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設直線的函數表達式為，則

解得,故所求直線的函數表達式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設．

因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

．

又因為

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．對于i=2，3，…，k，正整數n除以i所得的余數為i－1．若的最小值滿足，則正整數的最小值為

．

解：

因為為的倍數，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數．

由于，因此滿足的正整數的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因為BE和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B.已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數表達式為.（第12題）

設點B（t，），AB所在直線的函數表達式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．

因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D，則點D的坐標為（，0）.（第12題）

因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E２（2，）是符合條件的點．

所以，點的坐標是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素數p和正整數m.解：由題設得，所以，由于p是素數，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數.當時，有，故，從而，或2.由于是奇數，所以，從而.于是

這不可能.當時，；當，無正整數解；當時，無正整數解.綜上所述，所求素數p=5，正整數m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數：11，，…，（即1991）滿足題設條件.（5分）

另一方面，設是從1，2，…，2010中取出的滿足題設條件的數，對于這n個數中的任意4個數，因為，所以

.因此，所取的數中任意兩數之差都是33的倍數.…………（10分）

設，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）