09年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

第一篇：09年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

時(shí)間：2009-6-3 14:33:52 點(diǎn)擊：15833 2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案

第一試

一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.設(shè)，則

.D.（）

.A.24.B.25.C.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（）A.3．用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù).B..C..D..為（）

A.1.B.2.C.3.D.4.4．設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為（）

A..B..C..D..5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，則

CBE＝（D）

A..B..C..D..1

6．設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得A.3.B.4.C.5.D.6.為完全平方數(shù)的的個(gè)數(shù)是（）

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實(shí)數(shù)，若則

是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，的最小值是____________.2．設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC交BC于點(diǎn)F，已知△ADE、△DBF的面積分別為3．如果實(shí)數(shù)滿足條件，和，則四邊形DECF的面積為_(kāi)_____.，則

______.4．已知_____對(duì).是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì)共有第一試答案： ACCBDB；－3，第二試（A）

一．（本題滿分20分）已知二次函數(shù)別為A、B，與，－1，－7 的圖象與軸的交點(diǎn)分軸的交點(diǎn)為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).，求和的值.，設(shè)，則，.（1）證明：⊙P與（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且解:（1）易求得點(diǎn)設(shè)⊙P與的坐標(biāo)為軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OB＝OC×OD，則因?yàn)?，所以點(diǎn)

在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在.軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1).（2）因?yàn)锳B⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為即.，又，所以，解得.、分別是二．（本題滿分25分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，△ADC、△BDC的內(nèi)心，AC＝3，BC＝4，求解作E⊥AB于E，F(xiàn)⊥AB于F...在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因?yàn)檫B接DDA＝∠E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以、D，則D、D

＝.DC＝∠

D，分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠

＝90°，所以DC＝∠DB＝45°，故∠D⊥

.同理，可求得，.所以＝.三．（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：

①

②

證明：以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證法1 將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即所以.因此，以

或，或，即

或

為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證法2 結(jié)合①式，由②式可得，變形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即 4，所以或

或或

.或

.結(jié)合①式可得因此，以

為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.第二試（B）

一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.解因?yàn)锽N是∠ABC的平分線，所以又因?yàn)镃H⊥AB，所以，因此.，因此C、F、H、B

.又F是QN的中點(diǎn)，所以CF⊥QN，所以四點(diǎn)共圓.又，所以FC＝FH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上.同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試（C）

一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）已知

為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：

①

②

是否存在以

為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以.因此，以

或或，即或或

為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.解法2 結(jié)合①式，由②式可得，變形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即所以或或或

.或

.結(jié)合①式可得因此，以下載附件：

為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．若，則的值為（）．

（A）（B）（C）（D）

解：由題設(shè)得．

2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是（）．

（A）a≤（B）a≥4（C）a≤ 或 a≥4（D）≤a≤4 解．C 因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長(zhǎng)為（）．（A）（B）

（第3題）

（C）（D）

解：D 如圖，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由已知可得（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋．

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得

AD ＝．

4．在一列數(shù) ??中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào) 表示不超過(guò)實(shí)數(shù) 的最大整數(shù)，例如，），則等于（(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 由和可得，，，，）．

因?yàn)?010=4×502+2，所以 =2．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，??，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，?，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（）．（第5題）

（A）（2010，2）（B）（2010，）

（C）（2012，）（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．記，其中．

根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點(diǎn) 的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4 502+2，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12 的值等于．

解：0 由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車(chē)、一輛貨車(chē)和一輛小轎車(chē)在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車(chē)在前，小轎車(chē)在后，貨車(chē)在客車(chē)與小轎車(chē)的正中間．過(guò)了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)；又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)；再過(guò)t分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)，則t＝．解：15

設(shè)在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離均為S千米，小轎車(chē)、貨車(chē)、客車(chē)的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車(chē)經(jīng)x分鐘追上客車(chē)，由題意得，①，② ． ③ 由①②，得，所以，x=30．故（分）．（第8題

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是．

（第8題）

解：

如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AF CE，DF，且相交于點(diǎn)N．

由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過(guò)點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．于是，直線即為所求的直線．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．（第9題）

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則．

解：見(jiàn)題圖，設(shè) ．

因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以．又因?yàn)?FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．

又Rt△ ∽R(shí)t△，所以，即 = ．

10．對(duì)于i=2，3，?，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù) 的最小值為．解：因?yàn)?為的倍數(shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．由于，因此滿足的正整數(shù) 的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.????（5分）連接AE，AF，則（第11題），所以，△ABC∽△AEF.????（10分）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以.????（20分）

12．如圖，拋物線（a 0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；

（2）過(guò)拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).（第12題）

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．

因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a 0）上，所以解得 ????（10分）（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.13

（第12題）

設(shè)拋物線（a 0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△ 繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為（4，）.延長(zhǎng) 到點(diǎn)，使得 =，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作△ 關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng) 到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２（2，）是符合條件的點(diǎn)．

所以，點(diǎn) 的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.????（20分）

13．求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.．解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.??（5分）

（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而.所以解得 ????（10分）（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng) 時(shí)，有，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是

這不可能.當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)，無(wú)正整數(shù)解；當(dāng) 時(shí)，無(wú)正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.????（20分）

14．從1，2，?，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，?，（即1991）滿足題設(shè)條件.????（5分）

另一方面，設(shè) 是從1，2，?，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).????（10分）設(shè)，i=1，2，3，?，n.由，得，所以，即 ≥11.????（15分）

≤，故 ≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.????（20分）

第二篇：95-08全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

２００１年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案

２００２年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案

２００３年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案

２００５年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案

２００５年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題及答案

２００６年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題及答案

答案：

２００７年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題及答案

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２００８年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題及答案

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２００８年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試試題及答案

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