第一篇：數(shù)學(xué)小論文 怎樣解題 北科大學(xué)生

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摘要：解題表（摘自《怎樣解題》）

關(guān)鍵詞： 怎樣解題

小論文正文：

引用： 1.2.3.4.怎樣解題表

“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實(shí)際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟，只要解題時(shí)按這四個(gè)步驟去做，必能成功。同學(xué)們?nèi)绻茉谄綍r(shí)的做題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂(lè)趣！”

（1）你必須弄清問(wèn)題

弄清問(wèn)題

未知數(shù)是什么？

已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知數(shù)，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來(lái)？

（2）找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。

如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。

你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

擬定計(jì)劃

你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。

這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題，你能應(yīng)用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？

（3）實(shí)行你的計(jì)劃。

實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

(4)驗(yàn)算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來(lái)？ 你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過(guò)程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過(guò)程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn)，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過(guò)程，特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)。他說(shuō)《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧。“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？……”波利亞說(shuō)他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過(guò)去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上是他解決和研究問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”?；剡^(guò)頭來(lái)想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問(wèn)題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過(guò)程。

我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過(guò)表中的某些問(wèn)題，只不過(guò)不自覺(jué)，沒(méi)有意識(shí)到這些問(wèn)題罷了。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問(wèn)題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問(wèn)題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的程度。按波利亞提出的這些問(wèn)題和建議去尋找解法，在解題的過(guò)程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。

范例一：

1.《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)》173頁(yè)22題第二問(wèn)

已知f(x)在上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：

存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?,??(0,1),使得f’(?)f’()=1.分析（根據(jù)解題表）

①．弄清問(wèn)題（略）

②.分析問(wèn)題，（如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題）a.導(dǎo)數(shù)之積為1----------------已知原函數(shù)與反函數(shù)之積為1（知識(shí)點(diǎn)）b.出現(xiàn)f’(?)f’()----------------要用兩次中值定理（之前解題經(jīng)驗(yàn)）

c.閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)-------中值定理（之前解題經(jīng)驗(yàn)）d.f(0)=0,f(1)=1--------------

③實(shí)施計(jì)劃：

令g(x)=,h(x)=x

所以g’(?)=,g(0)=0,g(1)=1,= g’(?)====f’(?)

證明完畢。

④檢驗(yàn)，正確

證明完畢。

范例二：《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)》總習(xí)題三236頁(yè)6題證明第二部分

設(shè)f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’()>0證明：存在f’’(?)=0 分析（根據(jù)解題表）

①．弄清問(wèn)題和已知條件（略）

②.分析問(wèn)題，（如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題）f(a)=f(b)=0-----------羅爾定理，f’(a)f’()>0，且證明：存在f’’(?)=0-----------零點(diǎn)定理

且已知拉格朗日中值定理

③實(shí)施計(jì)劃：

由羅爾定理得存在 f’()=0，f’()= f’()-f’(), f’()=f’()-f’()

(a-b-）<0

因?yàn)閒’(a)f’()>0，所以

由拉格朗日中值定理得存在m?[a,?],n?[?,b]使得f’(m)f’(n)<0 由零點(diǎn)定理得存在??[m,n]使得f’’(?)=0，即存在??[a,b] 使得f’’(?)=0.證明完畢。

④檢驗(yàn)，正確致謝 5.6.敬！7.完成日期：2013年11月27日星期三參考文獻(xiàn)： G 波利亞(男)（George Polya，1887—1985），著名美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家著作《怎樣解題》注釋，個(gè)人見(jiàn)解，如果有不當(dāng)之處希望審閱者指正，另外向杰出的教育家波利亞致

第二篇：怎樣解題

《怎樣解題》是由著名美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞所寫得一部經(jīng)久不衰的暢銷書，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對(duì)在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動(dòng)人的散文筆法，闡述了求得一個(gè)證明或解出一個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問(wèn)題——從建造一座橋到猜出一個(gè)字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們?cè)诒緯闹笇?dǎo)下，學(xué)會(huì)了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問(wèn)題的心臟。

目錄

內(nèi)容簡(jiǎn)介

作者簡(jiǎn)介

目錄

怎樣解題表

編輯本段內(nèi)容簡(jiǎn)介這本經(jīng)久不衰的暢銷書出自一位著名數(shù)學(xué)家的手筆，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對(duì)在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動(dòng)人的散文筆法，闡述了求得一個(gè)證明或解出一個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問(wèn)題——從建造一座橋到猜出一個(gè)字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們?cè)诒緯闹笇?dǎo)下，學(xué)會(huì)了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問(wèn)題的心臟。

編輯本段作者簡(jiǎn)介波利亞(男)（George Polya，1887—1985），著名美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。生于匈牙利布達(dá)佩斯。1912年獲布達(dá)佩斯大學(xué)博士學(xué)位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任數(shù)學(xué)助理教授、副教授和教授，1928年后任數(shù)學(xué)系主任。1940年移居美國(guó)，歷任布朗大學(xué)和斯坦福大學(xué)的教授。1976年當(dāng)選美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士。還是匈牙利科學(xué)院、法蘭西科學(xué)院、比利時(shí)布魯塞爾國(guó)際哲學(xué)科學(xué)院和美國(guó)藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院的院士。其數(shù)學(xué)研究涉及復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域。1937年提出的波利亞計(jì)數(shù)定理是組合數(shù)學(xué)的重要工具。長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

編輯本段目錄第一部分 在教室里

目的1.幫助學(xué)生

2.問(wèn)題，建議，思維活動(dòng)

3.普遍性

4.常識(shí)

5.教師和學(xué)生，模仿和實(shí)踐

主要部分，主要問(wèn)題

6.四個(gè)階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執(zhí)行方案

12.例子

編輯本段怎樣解題表“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實(shí)際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟，只要解題時(shí)按這四個(gè)步驟去做，必能成功。同學(xué)們?nèi)绻茉谄綍r(shí)的做題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂(lè)趣！”

第一，你必須弄清問(wèn)題

弄清問(wèn)題

未知數(shù)是什么？

已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知數(shù)，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來(lái)？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。

如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。

你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

擬定計(jì)劃

你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。

這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題，你能應(yīng)用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？

第三，實(shí)行你的計(jì)劃。

實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗(yàn)算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來(lái)？你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過(guò)程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)

劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過(guò)程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn)，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過(guò)程，特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)。他說(shuō)《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧。“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？??”波利亞說(shuō)他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過(guò)去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上是他解決和研究問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”?；剡^(guò)頭來(lái)想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問(wèn)題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過(guò)程。

我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過(guò)表中的某些問(wèn)題，只不過(guò)不自覺(jué)，沒(méi)有意識(shí)到這些問(wèn)題罷了。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問(wèn)題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問(wèn)題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的程度。按波利亞提出的這些問(wèn)題和建議去尋找解法，在解題的過(guò)程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。

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生活中，碰到一個(gè)的問(wèn)題的時(shí)候，我們?nèi)绾谓鉀Q？首先我們明確要解決的問(wèn)題，然后搜集相關(guān)情報(bào)或者已有的資源，考慮問(wèn)題關(guān)鍵因素之間的內(nèi)在規(guī)律，接著嘗試一些可行的方案，最后選擇其中最優(yōu)的辦法實(shí)踐，最后問(wèn)題得以解決。對(duì)于數(shù)學(xué)解題來(lái)說(shuō)：首先我們明確未知量，然后明確已知量，確定條件，接著嘗試一些可行的方案，最終得到可以獲得未知量的方案，解出題目。

然而這里有一個(gè)模糊的地方，解決問(wèn)題最關(guān)鍵的一步——想出可行的方案，是如何辦到的？當(dāng)我們對(duì)未知、已知、條件都已經(jīng)了如指掌之后還是想不出任何的方案，這個(gè)時(shí)候解題面臨本質(zhì)的智力困難的時(shí)候，是如何從無(wú)到有思考出可能的方案供我們嘗試的？

這個(gè)問(wèn)題更有畫面感的描述是：數(shù)學(xué)課，老師出了一道幾何題，先讓大家試解，無(wú)人能解。然后老師開始講題，前面的步驟1、2、3大家都會(huì)也都想到了，這時(shí)老師添加了一條輔助線，引出步驟4，問(wèn)題得解，大家豁然開朗。然而，解題的關(guān)鍵步驟3到4是如何思考到的呢，老師為何就想到做這一條輔助線呢？

《怎樣解題》就是在回答以上問(wèn)題。

書中有一個(gè)例子可以形象的問(wèn)答這個(gè)問(wèn)題：

一個(gè)原始人站在一條小溪前，他想要越過(guò)這條小溪，但溪水經(jīng)過(guò)昨天一夜，已經(jīng)漲了上來(lái)；因此他面臨一個(gè)問(wèn)題：如何越過(guò)這條小溪。渡溪成了這道題目的研究對(duì)象，是原始題目中的X。這個(gè)人可能會(huì)回憶起，他以前曾經(jīng)踏著一顆倒下的樹度過(guò)了另外一條溪流。于是他四處尋找一顆合適的樹，就構(gòu)成了他新的未知量Y。他找不到合適的樹，但是沿著溪流有大量的樹木在岸上，他希望其中有一個(gè)樹會(huì)倒下來(lái)。于是他開始想如何使一棵樹橫倒在溪流上？這樣又產(chǎn)生了一個(gè)新的未知量Z。這一連串的念頭就是分析。如果這個(gè)人成功的完成了分析，他可能就成了橋和斧子的發(fā)明者。

而這個(gè)分析問(wèn)題的過(guò)程，正包含了普遍的解決問(wèn)題中本質(zhì)智力困難的方法。首先思考我們是否面臨過(guò)同樣或者類似的問(wèn)題，即使沒(méi)有，我們可以嘗試想更簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題，可以是更普遍化的問(wèn)題、更特殊化的問(wèn)題，甚至只是問(wèn)題中的一小部分問(wèn)題?；蛘吒纱鄟?lái)變化我們遇到的問(wèn)題的已知情況，觀察未知情況如何跟隨變化；或者變化未知量；或者同時(shí)變化已知未知量，來(lái)觀察問(wèn)題如何變化。正是這樣一個(gè)分解和重構(gòu)問(wèn)題的過(guò)程，使得我們逐漸逾越了問(wèn)題的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我們驗(yàn)證疑似可行的方案，如果其中確有可行的，問(wèn)題得解。如果沒(méi)有，我們將重復(fù)以上的過(guò)程。

以上是我理解的《怎樣解題》的主旨。

當(dāng)然原著對(duì)分解和重構(gòu)問(wèn)題的過(guò)程做了更為細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊吞接?，并配以精妙的?shù)學(xué)題示例來(lái)演示各種細(xì)節(jié)。作為一本數(shù)學(xué)方法著作，更難能可貴的是，波利亞頗為人性化的闡釋了解題過(guò)程中的非智力因素——情感的作用。在書中的第三部分—探索法小詞典中，“決心、希望、成功”“潛意識(shí)活動(dòng)”“進(jìn)展”三個(gè)詞條都嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的闡述了情感是如何作用于我們解題過(guò)程的。

“決心會(huì)隨著希望與無(wú)望、滿意與沮喪而產(chǎn)生波動(dòng)。如果我們認(rèn)為答案即將來(lái)臨，就很容易繼續(xù)干下去，當(dāng)我們看不到有什么克服困難的出路時(shí)，要堅(jiān)持不懈就會(huì)很難?！薄坝谐Ｌ熨x的人主要的優(yōu)勢(shì)也許在于一種常超的心理感受力。由于具有極度敏感的感受力，他能感覺(jué)到進(jìn)展的細(xì)微標(biāo)志，或者注意到這些標(biāo)志的缺乏?！边@些非智力因素對(duì)于我們解決生活和工作中的問(wèn)題尤其重要，我們需要敏感的覺(jué)察來(lái)自情感腦的反饋，并加以利用，來(lái)幫助解決問(wèn)題。舉例來(lái)說(shuō)，生活中碰到一個(gè)很復(fù)雜問(wèn)題，在長(zhǎng)期解決問(wèn)題的過(guò)程中，有一段時(shí)間可能解決問(wèn)題時(shí)沒(méi)有明顯的反饋給我們標(biāo)志，最后我們沮喪的放棄了解決問(wèn)題。然而很有可能的是，這個(gè)過(guò)程真是解決問(wèn)題的關(guān)鍵期，實(shí)際上也是有標(biāo)志出現(xiàn)的，只是當(dāng)時(shí)的我們還不理解這些標(biāo)志。由此可見(jiàn)非智力因素之于解決問(wèn)題的重要性，我們需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亞還舉出一個(gè)心理學(xué)試驗(yàn)：用一個(gè)缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動(dòng)物（狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒），在圍欄的另一側(cè)放上一個(gè)被試很想要的物體（對(duì)動(dòng)物來(lái)說(shuō)是食物，對(duì)人類嬰兒來(lái)說(shuō)是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發(fā)現(xiàn)，狗在扒著圍欄吠了幾聲發(fā)現(xiàn)無(wú)法通過(guò)的時(shí)候，不久便學(xué)會(huì)了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，人類嬰兒很快就學(xué)會(huì)了繞過(guò)障礙，而黑猩猩也學(xué)得很快（黑猩猩是和人類最近的靈長(zhǎng)類親屬）。

“母雞的行為就像那些面臨問(wèn)題的時(shí)候渾渾噩噩的人，試了一次又一次，最后靠一些運(yùn)氣碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我們甚至也不應(yīng)責(zé)怪母雞的笨拙。要轉(zhuǎn)過(guò)身從目標(biāo)跑開，不一直盯著目標(biāo)前進(jìn)，不沿著直接的道路到達(dá)目標(biāo)，確實(shí)有一定困難。母雞的困難和我們的困難具有明顯的類似性?！弊詈笠痪湓捗菜朴行┱芾?，是全書嚴(yán)謹(jǐn)行文之中唯一有些文藝的一句。`

...............

第三篇：三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)小論文

最少買幾瓶

星期六，爺爺、奶奶、爸爸、媽媽帶著我和妹妹到公園玩。不一會(huì)兒，我們就玩的滿頭大汗、口干舌燥。于是我們到小賣部去買飲料。

小賣部門口貼著一張告示： “‘迎元旦’優(yōu)惠大酬賓活動(dòng)： 飲料3元一瓶，喝完后回收空瓶，每三只空瓶可再換一瓶飲料。”

看了告示，爺爺笑著問(wèn)我和妹妹：“如果我們每人喝一瓶，至少需要買幾瓶？”

妹妹趕忙搶著說(shuō)：“我們有6個(gè)人，至少需要買6瓶?！?爺爺高興地說(shuō)：“妹妹反應(yīng)真快！姐姐有什么需要補(bǔ)充嗎？” 看著爺爺狡黠的眼神，我忽然想起了什么。

“不對(duì)，我們可能只需要買5瓶？因?yàn)楹攘?瓶，就可以用其中的3個(gè)空瓶換1瓶給第六個(gè)人喝了?！?/p>

“真好！這樣我們可以省下一瓶的錢呢。那這一瓶喝完我們就又有3個(gè)空瓶了，還可以再換1瓶，這樣就可以喝到第7瓶了。??好像多了，可不可以正好喝6瓶呢？”聽了爺爺?shù)脑?，我陷入了沉思?/p>

“既然到最后還多了1瓶，那我們可不可以只買4瓶呢？”?? 后來(lái)，我和妹妹一起拿著錢先買了4瓶，讓爺爺、奶奶、爸爸、媽媽先每人喝了一瓶，然后用其中的3個(gè)空瓶換了1瓶讓妹妹喝了，接著我跟一個(gè)有空瓶的叔叔借了一個(gè)空瓶，用剩下的一共3個(gè)空瓶又換了1瓶給自己喝了。最后把剩下的空瓶還給了那位叔叔。

叔叔看著我用4瓶的錢喝了6瓶飲料，直說(shuō)：“這個(gè)小姑娘真聰明！” 每天早上,我都和媽媽去河邊跑步.河邊種著一排柳樹,我們約定從第1棵樹跑到第60棵樹就往回跑.一天回來(lái)后,媽媽說(shuō)：“欣彤,我們天天跑步,你知道我們每天跑多少米嗎?我告訴你每相鄰兩棵樹之間相距5米.”“這還不容易?一算不就知道了嗎?”我爽快地回答道.我拿出紙和筆,三下五除二就算好了：

去時(shí)走：5×60＝300（米），來(lái)回走：300×2＝600（米）

媽媽摸著我的頭笑著說(shuō)：“孩子,你做題目速度很快,這是好的,但是,要正確地理解題意才對(duì)呀!”我疑惑了,難道理解得不對(duì)嗎?我又仔細(xì)看了看題目,還是沒(méi)明白自己錯(cuò)在哪兒.媽媽說(shuō)：“來(lái),我畫圖給你看.”于是媽媽耐心地邊畫圖邊講給我聽.如下：

棵數(shù) 相距

Y—Y 2棵樹 1個(gè)5米

Y—Y—Y 3棵樹 2個(gè)5米

Y—Y—Y—Y 4棵樹 3個(gè)5米

Y—Y—Y—Y—Y 5棵樹 4個(gè)5米

?? ?? ??

Y—Y—Y—Y—Y ?? Y 60棵樹（）個(gè)5米

聽媽媽這么一講,我恍然大悟：原來(lái),有這樣一個(gè)規(guī)律,就是樹中間間隔的段數(shù)比樹的棵樹少1.60棵樹中間相距不是60個(gè)5米,而是59個(gè)5米..于是,我把剛才的解法改為：

段數(shù)：60－1＝59

去時(shí)走：5×59＝295(米)

來(lái)回走：2×295＝590（米）.媽媽看了直點(diǎn)頭,還夸我頭腦靈活呢!

由此,我明白了一個(gè)道理,就是解決有些問(wèn)題不可以草率,應(yīng)該先試著找一找規(guī)律再解答.人民幣中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

有一天,我跟媽媽去逛商場(chǎng).媽媽進(jìn)了超市買東西,讓我站在付錢的地方等她.我沒(méi)什么事,就看著營(yíng)業(yè)員阿姨收錢.看著看著,我忽然發(fā)現(xiàn)營(yíng)業(yè)員阿姨收的錢都是1元、2元、5元、10元、20元、50元的,我感到很奇怪：人民幣為什么就沒(méi)有3元、4元、6元、7元、8元、9元或30元、40元、60元呢?我趕快跑去問(wèn)媽媽,媽媽鼓勵(lì)我說(shuō)：“好好動(dòng)腦筋想想算算,媽媽相信你能自己弄明白為什么的.”我定下心,仔細(xì)地想了起來(lái).過(guò)了一會(huì)兒,我高興地跳了起來(lái)：“我知道了,因?yàn)橹灰?元、2元、5元就可以隨意組成3元、4元、6元、7元、8元、9元,只要有10元、20元、50元同樣可以組成30元、40元、60元??”媽媽聽了直點(diǎn)頭,又向我提了一個(gè)問(wèn)題：“如果只是為了能隨意組合的話,那只要1元不就夠了嗎?干嗎還要2元、5元呢?”我說(shuō)：“光用1元要組成大一點(diǎn)的數(shù)就不方便了呀.”這下媽媽露出了滿意的笑容,夸獎(jiǎng)我會(huì)觀察,愛(ài)動(dòng)腦筋,我聽了真比吃了我最喜歡吃的冰激凌還要舒服.在此,我也想告訴其他的小朋友：其實(shí)生活中到處都有數(shù)學(xué)問(wèn)題,只要你多留心觀察,多動(dòng)腦思考,你就會(huì)有很多意外的發(fā)現(xiàn),不信你就試一試!

今天，我在做數(shù)學(xué)家庭作業(yè)時(shí)遇到一道難題：甲乙丙三個(gè)班一共有161人，甲班比乙班多2人，丙班比乙班少6人，乙班有多少人？剛一看就傻眼了，題目中只告訴了我三個(gè)班的總?cè)藬?shù)和三個(gè)班人數(shù)的關(guān)系，用三個(gè)班的總?cè)藬?shù)除以三個(gè)班除不了，我越想越糊涂了，于是我只好向媽媽發(fā)出了求救信號(hào)：“媽媽快來(lái)，我遇到難題了?！眿寢屄牭搅宋业暮奥?，忙放下自己手中的活，走了過(guò)來(lái)。

媽媽將題目讀了一遍想了會(huì)兒?jiǎn)栁遥骸澳隳懿荒芨鶕?jù)題目給的條件畫出線段圖？”被媽媽這一問(wèn)，我突然想起了之前老師教的：在題目所給的條件里，有關(guān)系就可以畫線段圖。這道題目的關(guān)系是甲班比乙班多2人，丙班比乙班少6人。這句話中沒(méi)變的是乙班，那先畫乙班的線段圖，再根據(jù)這句話畫出甲班和丙班的線段圖。如下：

根據(jù)這個(gè)圖我發(fā)現(xiàn)：假設(shè)甲班比乙班多的2人給丙班，這樣甲班和乙班人數(shù)就同樣多，此時(shí)丙班的人數(shù)就比乙班的少4人：6-2=4（人）。這時(shí)只要丙班再加4人，就和乙班的一樣多，同時(shí)總?cè)藬?shù)也多了4人：161+4=165（人）。這樣就可以平均分了：165÷3=55（人）。這時(shí)乙班的人數(shù)就算出來(lái)了，是55人。同時(shí)甲班和乙班的人數(shù)也就可以算出了：甲班：55+2=57(人)

丙班：55-6=49（人）。最后我又驗(yàn)算了一下，將三個(gè)班的人數(shù)加起來(lái)：57+55+49=161（人）正好是161人。

在媽媽的指引下，我終于用我所學(xué)的知識(shí)破解了這道難題。這件事讓我明白：無(wú)論在學(xué)習(xí)還是在生活中，遇到難題時(shí)，千萬(wàn)不能慌張，一定要冷靜地思考，將平時(shí)所學(xué)的知識(shí)在腦海里像放電影一樣想一遍，再根據(jù)題意從中找出適合解題的方法，再多難的題目都會(huì)迎刃而解。

今天，媽媽要去買燈泡。到了超市，發(fā)現(xiàn)超市里有兩種燈泡：一種是節(jié)能燈泡，一種是普通燈泡。節(jié)能燈泡雖然開200小時(shí)只需要用一度電，比普通燈泡一度電多用170個(gè)小時(shí)，但是它一個(gè)要5元，；普通燈泡一個(gè)只要1元，比節(jié)能燈泡便宜4元，但是它30個(gè)小時(shí)就要用一度電。

媽媽問(wèn)我：“考考你，如果我要買一個(gè)燈泡回家，買哪種的燈泡最劃算？”

我思索了一會(huì)兒，不慌不忙地說(shuō)：“可以這樣算：

5/1=5

30*5=150（小時(shí)）200小時(shí)>150小時(shí)

還可以這樣算：

5/1=5

200/5=40（小時(shí)）30小時(shí)<40小時(shí)

由這幾步可得出結(jié)論，節(jié)能燈泡省錢?！?/p>

媽媽又問(wèn)我：“很好。再想想看，還有沒(méi)有別的辦法來(lái)算？”

我又想了一會(huì)兒，一個(gè)字一個(gè)字地說(shuō)：“可以用我這學(xué)期才學(xué)的?百分?jǐn)?shù)?來(lái) 算。也可以這樣算：

5/200*100=0.025*100=2.5

1/30*100≈0.033*100＝3.3

3.3>2.5

或者這樣算：

200/5*100=40*100=4000

30/1*100=30*100=3000

4000>3000

因此，也是節(jié)能燈泡便宜?！?/p>

我和媽媽買了比較劃算的節(jié)能燈泡回去了。

經(jīng)過(guò)這件事，我明白了：“生活處處有數(shù)學(xué)”這個(gè)道理。

第四篇：學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)秀小論文

學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)秀小論文

生活中的“奇妙等式”【南通市城西小學(xué)六（1）班 支敏言】 數(shù)學(xué)中有許多等式，比如“速度×?xí)r間＝路程”、“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”，今天，我要向大家介紹幾條數(shù)學(xué)與我的等式。

生活中，我總結(jié)出這一等式：“我＋父母＝正確數(shù)學(xué)”。平時(shí)，我會(huì)經(jīng)常遇到一些難題，但是，父母的工作十分繁忙，很少有時(shí)間陪我，每當(dāng)我睡下時(shí)，他們還沒(méi)回來(lái)，一家人唯一的溝通方法，就是那一本“留言本”。每次留下的題目，父母總會(huì)絞盡腦汁地為我解答。父母學(xué)習(xí)書上的例題，給我解答是最令我感動(dòng)的。每次看到留言本上，父母給我留下的解題思路，我都會(huì)在心中默默地感謝他們。

小時(shí)候，父母也為我總結(jié)出這一等式：“課本＋生活＝數(shù)學(xué)”。那時(shí)，父母工作都不是很忙，每次出去買東西，都會(huì)帶上我。最讓我記憶猶新的是我上中班的時(shí)候，媽媽帶我買菜的一件事。當(dāng)時(shí)，正值秋季，媽媽見(jiàn)路邊有些賣蘋果的攤子，便和賣蘋果的人討價(jià)還價(jià)起來(lái)，最終，以一元一斤的價(jià)錢買了三斤。當(dāng)時(shí)，媽媽轉(zhuǎn)過(guò)頭來(lái)，親切地問(wèn)：“贏贏，一元一斤的蘋果，三斤多少錢？”我想了想，說(shuō)：“是，是三塊錢?！比堑弥車娜酥笨湮衣斆?。回家后，媽媽又問(wèn)我是怎么會(huì)的，我笑著說(shuō)：“我是用1+1+1=3的。”直到現(xiàn)在，媽媽還經(jīng)常提那件事，教育我說(shuō)：“數(shù)學(xué)不光要學(xué)課本上的，還要學(xué)習(xí)生活中的?！?“每晚三題=快樂(lè)數(shù)學(xué)。”這是我小學(xué)三年級(jí)時(shí)所立下的等式。每天晚上做三道思考題不多也不少，只要堅(jiān)持不懈，一定能積累許多?，F(xiàn)在，我依然堅(jiān)持每天做三道思考題，有時(shí)間還能多做一點(diǎn)，兩年多了，不知道自己已經(jīng)做了多少了，也不知道自己寫滿了多少的本子，這種作業(yè)方式,使我受益非淺，讓我在多次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)，品嘗勝利的喜悅?！扒趧?dòng)腦+勤動(dòng)手=成功，”這是我通過(guò)實(shí)際生活所悟出的道理，也是我一般的解題順序。一般拿到題目，我總要先讀懂題目，弄清資料，掌握其中的關(guān)系，然后根據(jù)關(guān)系列出算式，一步步地解答。有時(shí)，還可以通過(guò)畫圖的方法，根據(jù)已知數(shù)量畫出線段圖，便于理解題目。至于答完之后，再找?guī)椎李愃频念}目，鞏固一下，對(duì)學(xué)習(xí)也有好處。其實(shí)，生活中還有許多奇妙的等式，在等著我們?nèi)タ偨Y(jié)，去探索。（指導(dǎo)老師 晨風(fēng)曉月）

不規(guī)則茶壺能裝水多少【南通市城西小學(xué) 六（6）班 李舒敏】

最近，我校開展了“探索生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的活動(dòng)。經(jīng)過(guò)反復(fù)思考，我發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：怎樣才能算出一個(gè)不規(guī)則的茶壺能裝水多少毫升？

茶壺的形狀是不規(guī)則的，不好直接利用公式來(lái)計(jì)算它的容積，但我們可以將茶壺中裝滿水，再將水倒入一個(gè)規(guī)則的量杯中，這樣，茶壺的容積不就可以利用公式計(jì)算出來(lái)了嗎。首先，我找來(lái)一個(gè)不規(guī)則的茶壺，將其倒?jié)M水；再將水滴水不漏地倒入一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)8cm，寬5cm的長(zhǎng)方體量杯中；然后，我再量出量杯中的水高，是16.5cm；最后，利用求長(zhǎng)方體體積的公式便求出了這個(gè)不規(guī)則茶壺的容積了：8×5×16.5=660（立方厘米），合660毫升，也就是這個(gè)茶壺能裝水660毫升。這個(gè)問(wèn)題，我還想出了另一個(gè)解決的方法：我們可以先稱出1立方分米的水重多少千克，再稱出裝滿水后的茶壺中水的重量，這樣，同樣可以算出不規(guī)則茶壺能裝水多少毫升。我先稱出1立方分米的水重1千克，然后我又稱出裝滿水的茶壺重0.895千克，空茶壺重0.238千克；用0.895-0.238=0.657(千克)，就是裝滿水后的茶壺中水的重量。0.657÷1=0.657(立方分米)，合657毫升，也就是這個(gè)茶壺能裝水657毫升。

沒(méi)想到這兩種方法的誤差這么小，我想這兩種算法都是可行的吧。

通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)，我發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題竟這么有意思。讓我們?cè)谔剿魃钪械臄?shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)科學(xué)的研究方法，掌握更多有益的知識(shí)。

? 數(shù)學(xué)小論文

解放路小學(xué) 六（1）班 張曉蕾

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無(wú)處不用到數(shù)學(xué)?！碧貏e是二十一世紀(jì)的今天，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更是無(wú)所不在。那么，我們?nèi)绾螐男〈蛳聢?jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，究竟什么樣的課堂教學(xué)才適合新一代的學(xué)生呢？我認(rèn)為，在課堂中，由學(xué)生去擔(dān)任學(xué)習(xí)的主角，才是我們的心愿。那么，數(shù)學(xué)活動(dòng)課就是讓我們充分體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)的一種教學(xué)方式。

活動(dòng)課上，在老師的指導(dǎo)下，我們分成小組，通過(guò)自己動(dòng)手去測(cè)量、拼湊、剪切、計(jì)算，去探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣，即培養(yǎng)了我們的動(dòng)手能力，又提高了我們的思維能力，而且讓我們初步嘗到了數(shù)學(xué)家研究問(wèn)題成功時(shí)的滋味，使我們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣倍增。

例如，我們上《平行四邊形面積得計(jì)算》這節(jié)課時(shí)，老師讓我們分成幾個(gè)小組，發(fā)一些平行四邊形的小紙片，讓同學(xué)們互相討論，怎樣使一個(gè)平行四邊形經(jīng)過(guò)剪貼、拼湊變成一個(gè)我們已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形呢？大家七嘴八舌的討論開了，有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以用剪刀沿著平行四邊形的高，把它剪成一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，然后可以把它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形；一些同學(xué)又發(fā)現(xiàn)還可以從平行四邊形的任意一條高剪開，就得到兩個(gè)直角梯形，依然可以拼成一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形。同學(xué)們通過(guò)觀察、思考，認(rèn)識(shí)到拼成的長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”和“寬”，分別就是原來(lái)平行四邊形的“底邊”和“高”。由此，大家終于自己找到了平行四邊形面積公式為：S=ah。再比如，上《有余數(shù)的除法》這節(jié)課時(shí)，老師采用讓同學(xué)們玩撲克牌的游戲，使大家很快理解和掌握了有余數(shù)的除法的計(jì)算規(guī)律，讓大家在輕松愉快的活動(dòng)中學(xué)到知識(shí)。

我每次做數(shù)奧都是拿起一道題拉起來(lái)就做，因?yàn)槲矣X(jué)得這樣做起來(lái)很快。可是今天做數(shù)奧時(shí)，有一道題改變了我的看法，做得快不一定是做得對(duì)，主要還是要做對(duì)。

今天，我做了一道題目把我難住了，我苦思冥想了好幾個(gè)小時(shí)都沒(méi)有想出來(lái)，于是我只好乖乖地去看基礎(chǔ)提煉，讓它來(lái)幫我分析。這道題目是這樣的：求3333333333的平方中有多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字？分析是這樣的：3333333333的平方就是3333333333×3333333333，這道乘法算式由于數(shù)字太多使計(jì)算復(fù)雜，我們可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法化繁為簡(jiǎn)，也就是把一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，積不變。使題目轉(zhuǎn)化為求9999999999×1111111111=（10000000000-1）×1111111111=***00000-1111111111=***88889因此，乘積中有十個(gè)奇數(shù)數(shù)字。這道題，我們還可以位數(shù)少的兩個(gè)數(shù)相乘算起，就能發(fā)現(xiàn)積中奇數(shù)的數(shù)字個(gè)數(shù)。即3×3=9→積中有1個(gè)奇數(shù)數(shù)字。33×33=1089→積中有2個(gè)奇數(shù)數(shù)字。333×333=110889→積中有3個(gè)奇數(shù)數(shù)字。3333×3333=11108889→積中有4個(gè)奇數(shù)數(shù)字。??

從上面試算中，容易發(fā)現(xiàn)積是由1，0，8，9四個(gè)數(shù)字組成的，1和8的個(gè)數(shù)相同，比一個(gè)因數(shù)中的3的個(gè)數(shù)少1，0和9各一個(gè)，分別在1和8的后面。積中奇數(shù)的數(shù)字個(gè)數(shù)與一個(gè)因數(shù)中3的個(gè)數(shù)相同，可以推導(dǎo)出原題的積是：***88889，積中有10個(gè)奇數(shù)數(shù)字。

做了這道題，我知道做數(shù)奧不能求快，要求懂它的方法?？傊?，我認(rèn)為用活動(dòng)課的方式上數(shù)學(xué)課，是我們小學(xué)生非常喜歡的。在課堂上，每個(gè)同學(xué)對(duì)知識(shí)的探索過(guò)程充滿了好奇心，都迫切渴望通過(guò)自己的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，去找到解決問(wèn)題的方法。學(xué)習(xí)中，我們充分體驗(yàn)套了做學(xué)習(xí)的主人的快樂(lè)和自豪。希望老師們能多用活動(dòng)課的方式來(lái)上數(shù)學(xué)課。這樣，我們將會(huì)學(xué)的更扎實(shí)、更輕松、更靈活、更優(yōu)秀。

例子：《容易忽略的答案》

大千世界，無(wú)奇不有，在我們數(shù)學(xué)王國(guó)里也有許多有趣的事情。比如，在我現(xiàn)在的第九冊(cè)的練習(xí)冊(cè)中，有一題思考題是這樣說(shuō)的：“一輛客車從東城開向西城，每小時(shí)行45千米，行了2.5小時(shí)后停下，這時(shí)剛好離東西兩城的中點(diǎn)18千米，東西兩城相距多少千米？王星與小英在解上面這道題時(shí)，計(jì)算的方法與結(jié)果都不一樣。王星算出的千米數(shù)比小英算出的千米數(shù)少，但是許老師卻說(shuō)兩人的結(jié)果都對(duì)。這是為什么呢？你想出來(lái)了沒(méi)有？你也列式算一下他們兩人的計(jì)算結(jié)果。”其實(shí)，這道題我們可以很快速地做出一種方法，就是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米），但仔細(xì)推敲看一下，就覺(jué)得不對(duì)勁。其實(shí)，在這里我們忽略了一個(gè)非常重要的條件，就是“這時(shí)剛好離東西城的中點(diǎn)18千米”這個(gè)條件中所說(shuō)的“離”字，沒(méi)說(shuō)是還沒(méi)到中點(diǎn)，還是超過(guò)了中點(diǎn)。如果是沒(méi)到中點(diǎn)離中點(diǎn)18千米的話，列式就是前面的那一種，如果是超過(guò)中點(diǎn)18千米的話，列式應(yīng)該就是45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。所以正確答案應(yīng)該是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米）和45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。兩個(gè)答案，也就是說(shuō)王星的答案加上小英的答案才是全面的。

在日常學(xué)習(xí)中，往往有許多數(shù)學(xué)題目的答案是多個(gè)的，容易在練習(xí)或考試中被忽略，這就需要我們認(rèn)真審題，喚醒生活經(jīng)驗(yàn)，仔細(xì)推敲，全面正確理解題意。否則就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的錯(cuò)誤。

? 找等量關(guān)系“五法”

順昌縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)五年（4）班陳宇馨

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系。怎樣找等量關(guān)系呢？經(jīng)過(guò)思考我總結(jié)出以下五種方法：

一、根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)找出等量關(guān)系。

例如：一輛公共汽車原來(lái)車上有28人，在電影院下車了一些人，在文化館又上來(lái)了9人，這時(shí)車上人數(shù)是30人，在電影院下車了多少人？

在乘車中我們知道：車上原有人數(shù)－下車的人數(shù)＋又上車的人數(shù)＝車上現(xiàn)有的人數(shù)。根據(jù)這一等量關(guān)系，設(shè)在電影院下車了X人，則容易列出方程：28－X＋9=30

二、運(yùn)用基本的數(shù)量關(guān)系找等量關(guān)系。

例如：客、貨兩車同時(shí)從相距237千米的甲乙兩站相向開出，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇?？蛙嚸啃r(shí)行38千米，貨車每小時(shí)行多少千米？

這是一道行程應(yīng)用題，它基本的數(shù)量關(guān)系是：速度和×相遇時(shí)間=總路程。設(shè)貨車每小時(shí)行X千米，可列出方程：（38＋X）×3=387。

三、抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)找等量關(guān)系。

例如：學(xué)校飼養(yǎng)小組今年養(yǎng)兔25只，比去年養(yǎng)的只數(shù)的3倍少8只。去年養(yǎng)兔多少只？本題的核心部分為：“今年養(yǎng)兔25只，比去年養(yǎng)的只數(shù)的3倍少8只?！睆闹锌烧页觯喝ツ牮B(yǎng)兔的只數(shù)×3－8只=今年養(yǎng)兔的只數(shù)。設(shè)去年養(yǎng)兔X只，得方程：3X－8=25。

四、運(yùn)用計(jì)算公式找等量關(guān)系。

有些應(yīng)用題可以運(yùn)用某一計(jì)算公式所提供的等量關(guān)系列出方程。如：一個(gè)三角形的面積是4.8平方米，底是1.6米，高是多少米？解答時(shí)可把三角形的面積公式做等量，設(shè)三角形的高是X米，可列出方程：1.6X÷2=4.8。

五、借助線段圖示找等量關(guān)系。

例如：校園里的楊樹和柳樹共有36棵，楊樹的棵數(shù)是柳樹的2倍。柳樹有多少棵？ 根據(jù)題意可畫出線段圖：柳樹： 楊樹：

從線段圖中可清楚地看出：柳樹的棵數(shù)+楊樹的棵數(shù)=總棵數(shù)。設(shè)柳樹的棵數(shù)為X棵，得方程：X＋2X＝36（指導(dǎo)教師：張學(xué)明）

注：此文2006年五月發(fā)表于農(nóng)村孩子報(bào)

一類乘法題的巧算

順昌縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年（5）班賴佳雨

你能很快的說(shuō)出88×64的積是多少嗎?讓我把這類題的巧算告訴大家吧!88 64=56 32 8×（6+1）（首加1，頭乘頭）8×4（尾乘尾）

你明白了嗎?當(dāng)兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí),如果一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)字相同,另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)字之和是10時(shí),我們可以采取頭乘頭,尾乘尾的方法。不過(guò)有一種特殊的情況要注意，如77×91=70 07 7×（9+1）

7×1（在“7”前補(bǔ)“0”）

就是說(shuō)，如果兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在前邊補(bǔ)“0”。你學(xué)會(huì)了嗎？試著說(shuō)出下面各題的積： 66×46＝

73×88 ＝

19×44＝（指導(dǎo)教師：張海 是6分鐘嗎? 順昌縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)

黃書萌

題目：三個(gè)人同時(shí)吃3個(gè)蘋果，用3分鐘吃完。六個(gè)人同時(shí)吃6個(gè)蘋果，需要幾分鐘吃完？ 分析與解答：乍一看“三個(gè)人同時(shí)吃3個(gè)蘋果，用3分鐘”，容易得出：六個(gè)人同時(shí)吃6個(gè)蘋果用6分鐘。其實(shí)這是錯(cuò)的。因?yàn)?，三個(gè)人同時(shí)吃3個(gè)蘋果，用3分鐘吃完，實(shí)際上就是1個(gè)人吃1個(gè)蘋果用3分鐘。同樣，六個(gè)人同時(shí)吃6個(gè)蘋果所用的時(shí)間也就是1個(gè)人吃一個(gè)蘋果的時(shí)間,即3分鐘。所以，本題的正確答案為：3分鐘。巧算紅薯體積

_______________________________________ 發(fā)表日期：2006年3月28日

作者：六（1）班顧笑洋

【編輯錄入：cz】

星期天，我與媽媽出去散步，在一個(gè)弄堂里，我聞到了一股濃濃的，烤紅薯的香味。聞到這香味，我的肚子就“咕咕”地叫了起來(lái)，“媽媽，我們買個(gè)紅薯吃吃吧，我餓了。”我拉著媽媽的手央求道，“買一個(gè)倒是可以，不過(guò)??”“不過(guò)什么？”我急忙問(wèn)，“不過(guò)買了以后先回家，算出了紅薯的體積，你才能吃?！薄靶?！行！”我滿口答應(yīng)。

回到家，我早已把要算紅薯體積的事拋到了九霄云外，拿起紅薯就要吃，“哎，怎么開始吃了？不是說(shuō)好要算紅薯的體積嗎？不能說(shuō)話不算數(shù)！”“??？”我大吃一驚，“還真要算啊？”“那是當(dāng)然！”媽媽說(shuō)，“你要先算出紅薯的體積，才能吃！”“哼！有什么了不起的，不就是算個(gè)紅薯的體積嗎？難道能難倒我？” 我翻開數(shù)學(xué)書查看，可書上只有長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體體積的計(jì)算方法呀，再說(shuō)了，這紅薯是個(gè)不規(guī)則的立體圖形，又不能把它揉捏，怎么算呀？我托著下巴冥思苦想。這時(shí)，我看到了桌上的一本《數(shù)學(xué)名人小故事》，我翻開它，饒有興味讀起了第一個(gè)小故事，這個(gè)故事是講阿基米德利用等積代換算出了金皇冠的真假。我靈機(jī)一動(dòng)，想道：我不是也可以用等積代換來(lái)求紅薯的體積嗎？于是，我拿來(lái)一個(gè)圓柱形的玻璃杯，量出它的底面直徑是6厘米，我往杯中到了10厘米的水，然后把紅薯完全浸沒(méi)在水中，這時(shí)，杯中的水上升了。我又量了一下，現(xiàn)在的水是15厘米，也就是說(shuō)，杯中的水上升了： 15-10=5（厘米）

按照等積代換，上升水的體積就是紅薯的體積，由此，可以算出紅薯的體積是：（6÷2）2×3.14×5＝141.3（立方厘米）

“媽媽！我算出來(lái)了！我算出來(lái)了！是141.3立方厘米！我算出來(lái)了！我能吃紅薯了！”我一路小跑來(lái)到媽媽跟前，“哦？算出來(lái)了？”媽媽放下手中事情微笑地看著我。“嗯，是141.3立方厘米?！蔽易院赖卣f(shuō)，“那你說(shuō)說(shuō)看是怎樣算的？”媽媽又問(wèn)道。我把我實(shí)驗(yàn)的過(guò)程講給媽媽聽，媽媽聽了之后向我翹起了大拇指，還夸我是“數(shù)學(xué)小博士”。

其實(shí)，在生活中，許多看似不能求的東西都能通過(guò)等積代換來(lái)求，只要大家肯動(dòng)腦，愛(ài)動(dòng)腦，就什么難題也難不倒！

奇妙的水位

在生活中，各式各樣的事情都能從一個(gè)普普通通毫不起眼的小事變成一個(gè)個(gè)既生動(dòng)又引人深思的數(shù)學(xué)題。我們常做的應(yīng)用題，就是在生活中取材，再稍加改編而成的題目。這不，我又在做數(shù)學(xué)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一道趣題：

在一個(gè)游泳池內(nèi)，有一艘小船，上面有許多石頭，現(xiàn)在把石頭全部從船里扔到水中，請(qǐng)問(wèn)，游泳池內(nèi)的水位會(huì)上升、下降，還是不變？

乍一看題目，我便疑惑不解：這道題似乎和數(shù)學(xué)沾不上一點(diǎn)關(guān)系??！這下該怎么做呢？我不氣餒，努力思考，不一會(huì)兒便理出了頭緒：當(dāng)石頭扔到水中后，船的重量減輕，便會(huì)上浮，水位也會(huì)下降，但石頭在水中占了一部分空間，水位又要隨之上升。因?yàn)檫@都是同一堆石頭，所以上升與下降的幅度也應(yīng)該一致，水位當(dāng)然保持不變啦！可爸爸看了，卻說(shuō)是下降，我很不服氣，決定與他打個(gè)賭。

可是，用什么來(lái)證明我的猜想正確與否呢？這時(shí)，抽象的想象就沒(méi)有真實(shí)的操作好了。于是，我便在爸爸的協(xié)助下作了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：由于我能力有限，沒(méi)法從外面搬來(lái)一個(gè)游泳池，也沒(méi)法去造一艘小船，只好把題中的條件按比例縮小了。游泳池變成塑料盆，小船變成肥皂盒，石頭則變成了五塊橡皮。我先在塑料盆里倒進(jìn)一些水，再把裝著五塊橡皮的肥皂盒放入水中，然后用直尺量出水位是20厘米。最關(guān)鍵的時(shí)刻到了，我把五塊橡皮小心翼翼地從肥皂盒中取出，再全部投入水中，最后用直尺量出水位——天哪！竟然只有18厘米，是下降了！我錯(cuò)了！

雖然事實(shí)證明，水位是下降了，但我還是丈二和尚——摸不著頭腦：這水位怎么會(huì)下降呢？ 我苦思冥想了好長(zhǎng)時(shí)間，草稿紙上全是一幅幅演示圖，可我還是一籌莫展。我急得團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，可越急腦子越亂，反而想不出了。就當(dāng)我即將放棄的時(shí)候，我突然想起了數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)孜孜不倦，夜以繼日算題目的故事，血液中仿佛充斥著一股勇往直前的力量，任何困難都擋不住我。果然，不出半小時(shí)，這道題我終于想通了：當(dāng)石頭在船上時(shí)，上升水的重量=石頭的重量，而石頭的密度比水大，因此同等重量的水和石頭，水的體積大于石頭的體積。當(dāng)石頭被投進(jìn)水中后，水便下降了石頭的重量，而石頭在水中要占空間，因此，石頭扔進(jìn)水中后，水上升的體積=石頭的體積。而同等體積的水和石頭，水的重量小于石頭的重量。綜合以上幾點(diǎn)，得到：石頭扔下去后，水位下降的重量大于石頭的重量，水位上升的重量小于石頭的重量，也就是下降的水的重量大于上升的水的重量，于是下降的水的體積便大于上升的水的體積，水位當(dāng)然下降了。就這樣，一道難題便迎刃而解了。

其實(shí)，仔細(xì)觀察，這道題與數(shù)學(xué)密不可分，其中的體積、重量、密度，都屬于數(shù)學(xué)的范疇之內(nèi)。你瞧，一個(gè)生活中的小事也能變成一道數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的，讓我們熱愛(ài)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)吧

第五篇：怎樣解題表

波利亞的“怎樣解題表”

一，你必須弄清問(wèn)題

弄清問(wèn)題

未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來(lái)？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。

如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。

你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

擬定計(jì)劃

你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。

這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題，你能應(yīng)用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？

第三，實(shí)行你的計(jì)劃。

實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗(yàn)算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來(lái)？ 你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題？