第一篇：高中幾何公式

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內。

（1）判定直線在平面內的依據

（2）判定點在平面內的方法

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線。

（1）判定兩個平面相交的依據

（2）判定若干個點在兩個相交平面的交線上

公理3：經過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。（1）確定一個平面的依據

（2）判定若干個點共面的依據

推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。（1）判定若干條直線共面的依據

（2）判斷若干個平面重合的依據

（3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據

推論2：經過兩條相交直線，有且僅有一個平面。

推論3：經過兩條平行線，有且僅有一個平面。

立體幾何 直線與平面

空 間 二 直 線平行直線

公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。

異面直線

空 間 直 線 和平面 位 置 關 系

（1）直線在平面內——有無數個公共點

（2）直線和平面相交——有且只有一個公共點

（3）直線和平面平行——沒有公共點

立體幾何 直線與平面

直線與平面所成的角

（1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角

（2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角

（3）一條直線和平面平行，或在平面內，定義它和平面所成的角是00的角

三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直

三垂線逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直

空間兩個平面 兩個平面平行 判定

性質

（1）如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

（2）垂直于同一直線的兩個平面平行

（1）兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面

（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

（3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面

相交的兩平面 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面

二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角

兩平面垂直 判定

性質

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

（1）若二平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面

（2）如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內

立體幾何 多面體、棱柱、棱錐

多面體

定義 由若干個多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。

棱柱 斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱。

直棱柱：側棱與底面垂直的棱柱。

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。

棱錐 正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。

球

到一定點距離等于定長或小于定長的點的集合。

歐拉定理

簡單多面體的頂點數V，棱數E及面數F間有關系：V+F-E=2 回答人的補

充

2009-08-09 20:15

第二篇：2018年中考初中幾何公式

2018年中考初中幾何公式

1、平行線證明

①經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

②如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

③同位角相等，兩直線平行

④內錯角相等，兩直線平行

⑤同旁內角互補，兩直線平行

⑥兩直線平行，同位角相等

⑦兩直線平行，內錯角相等

⑧兩直線平行，同旁內角互補

2、全等三角形證明

①邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

②角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

③推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

④邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

⑤斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

3、三角形基本定理

①定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

②定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

③角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

④等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)⑤推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

⑥等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

⑦推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

⑧等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)⑨直角三角形

4、多邊形定理

①定理四邊形的內角和等于360°

②四邊形的外角和等于360°

③多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

④推論任意多邊的外角和等于360°

5、平行四邊形證明與等腰梯形證明

①平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

②平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

③平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

④矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

⑤矩形性質定理2矩形的對角線相等

……

⑥等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

⑦等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

⑧推論1經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

⑨推論2經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

7、相似三角形證明

①相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似(ASA)②判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)③判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)④定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

⑤性質定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

⑥性質定理2相似三角形周長的比等于相似比

⑦性質定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

8、弦和圓的證明

①定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

②垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

③推論1平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

④推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

⑤圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

⑥定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等 ⑦線與圓的位置關系

直線L和⊙O相交d 直線L和⊙O相切d=r 直線L和⊙O相離d>r ⑧圓與圓之間的位置關系

兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r 兩圓相交R-rr)兩圓內切d=R-r(R>r)兩圓內含dr)

第三篇：高中幾何證明題

高中幾何證明題

1、(本題14分)如圖5所示，AF、DE分別世?O、?O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD?8.BC是?O的直徑，AB?AC?6,OE//AD.D(I)求二面角B?AD?F的大?。?/p>

(II)求直線BD與EF所成的角.AF圖

5解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD

—F的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小為450；

(Ⅱ)以O為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，?2，0），B（32，0，0）,D（0，?32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）所以，?(?2,?32,8),?(0,?2,8)

cos?BD,EF??BD與?0?18?64?EF? 10設異面直線所成角為?，則

cos??|cos?BD,EF?|? 10

10直線BD與EF所成的角為

2．（本題滿分13分）

如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長是2，D是側棱CC1的中點，直線AD與側面BB1C1C所成的角為45?．

（Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；

（Ⅱ）求二面角A?BD?C的大??；

（Ⅲ）求點C到平面ABD的距離．

A1B

1C

1解：（Ⅰ）設正三棱柱ABC—A1B1C1的側棱長為x．取BC中點E，連AE．

A1

??ABC是正三角形，?AE?BC． 又底面ABC?側面BB1C1C，且交線為BC

．1?AE?側面BB1C1C．

B

C1

連ED，則直線AD與側面BB1C1C所成的角為?ADE?45．……………2分 在Rt?AED中，tan45??

?

AE

?ED，解得x?…………3分

?此正三棱柱的側棱長為……………………4分

注：也可用向量法求側棱長．

（Ⅱ）解法1：過E作EF?BD于F，連AF，?AE?側面BB1C1C,?AF?BD．

??AFE為二面角A?BD?C的平面角．……………………………6分 在Rt?BEF中，EF?BEsin?EBF，又

BE?1,sin?EBF?

又AE

CD???EF?．

BD?在Rt?AEF中，tan?AFE?

AE

?3．…………………………8分 EF

故二面角A?BD?C的大小為arctan3．…………………………9分

解法2：（向量法，見后）

BD?平面AEF,?平面AEF?平面ABD，（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，且交線為AF，?過E作EG?AF于G，則EG?平面ABD．…………10分

在Rt?AEF中，EG?

AE?EF

?AF

?

．…………12分 ?E為BC中點，?點C到平面ABD的距離為2EG?AC?B解法2：（思路）取AB中點H，連CH和DH，由C

．…………13分 10

A?DB,D，易得平面ABD?

平面CHD，且交線為DH．過點C作CI?DH于I，則CI的長為點C到平面ABD的距離．

解法3：（思路）等體積變換:由VC?ABD?VA?BCD可求． 解法4：（向量法，見后）題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角坐標系

則AB(0,?1,0),C(0,1,0),D(?

設n1?(x,y,z)為平面ABD的法向量．

???y???n1??0,由?? 得?y?0?n??02???

取n1?().…………6分

???

又平面BCD的一個法向量n2?(0,0,1).…………7分

??n1?n2??(?6,?3,1)?(0,0,1)?．…………8分 ?cos?n1,n2???

n1n21?(?6)2?(?)2?1210

．…………9分 ??????

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1?(),CA?(0,?1…………10分

結合圖形可知，二面角A?BD?C的大小為??點C到平面ABD的距離d?來源：（深圳家教）

(0,?1,)?(?6,?,1)(?6)2?(?3)2?12

＝

2．13分 10

第四篇：高中幾何證明題

高中幾何證明題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E在棱CC1的延長線上，且CC1=C1E=BC=1/2AB=1.(1)求證，D1E//平面ACB1

(2)求證，平面D1B1E垂直平面DCB1

證明：

1)：連接AD1，AD12=AD2+DD12=B1C12+C1E2=B1E2

所以AD1=B1E

同理可證AB1=D1E

所以四邊形AB1ED1為平行四邊形，AB1//A1E

因為AB1在平面ACB1上

所以D1E//平面ACB1

2)：連接A1D,A1B1//CD,面A1B1CD與面CDB1為同一個平面

由(1)可知面D1B1E與面AD1B1E為同一平面

正方形ADD1A1的對角線AD1⊥A1D

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥面ADD1A1,所以CD⊥AD1

AD1與A1D相交，所以AD1⊥AB1ED1

所以面A1B1CD⊥AD1B1E

即：面D1B1E⊥面DCB1

我現在高二，以前老師教幾何證明沒學好，現在想亡羊補牢.但不知道這類型題應抓什么學，找什么記，哪些是基礎，證明的步驟....只有多練，真的，幾何證明題有很多固定的結題模式，但是參考書不會給你列出來，老師也不講，你隨便買一本幾何專題的練習書來做，或者，如果你定力不好的話，可以去報一個補習班，專門補習幾何專題的。

我從你想知道的這些知識覺得你有點急于求成，但是學好幾何不是一天兩天的事，其實高考的幾何也不會很難的。

做得多，有了感覺，考試的時候自然得心應手，這是實話。

已知pA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,M,N分別是AB,pC的中點.(1)證MN⊥CD.(2)若∠pDA=45度,求證MN⊥平面pCD

第一問,我證出來了.麻煩能講下解這類題的思路

滿意答案好評率：100%

對于這種空間幾何題，用向量解決是一種通法，不知你學過沒。但對于這一題，立體幾何的知識足夠解決了，記住面線垂直判定的方法，本質為證明線線垂直，找到平面內的兩條相交直線與那條直線垂直，即可得證。此題(2)問，只要找pD和CD即可，注意∠pDA=45度這個條件即可證pD⊥MN。不懂追問。

繼續(xù)追問：

∠pDA=45度這個條件即可證pD⊥MN?

補充回答：∠pDA=45度，可知△pAD為等腰直角△，取pD中點E，連接AE和AN，可以知道四邊形AMNE為平行四邊形，可知MN∥AE，而AE⊥pD(△pAD為等腰直角△，E為中點)，則pD⊥MN。

第五篇：高中幾何證明

高中幾何證明

一、已知平行四邊形ABCD，過ABC三點的圓O1，分別交AD.BD于E.F、過CDF三點的圓O2交AD于G。設圓O1.O2半徑分別為R,r。

1.求證AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^

2連接AC、GC。利用兩個圓轉化角的關系，∠AGC=180-∠DGC=180-∠DFC=∠BFC=∠BAC=∠ACD

于是兩個三角形ACG和ADC相似。第一問由此立得。

同樣利用上述相似，∠GCA=∠ADC=∠ABC。于是由“弦切角等于圓周角”，說明GC與圓O1相切。于是GC^2=GE*GA。

在兩個圓中利用正弦定理，不難發(fā)現R/r=BC/CD=AD/CD。此時

AD/EG=AG*AD/AG*EG=AC^2/GC^2=(AC/GC)^2=(AD/CD)^

2最后一個等式仍然源于前述相似

二、因為不能上傳圖片，所以口敘述一下，高手們都可以想象出來吧

在一個圓的圓上選不重合的四點，，連接成一個非平行四邊形非梯形的四邊形，也就是內切四邊形吧，然后延長其中兩條邊，交于點A，再延長另外兩條邊交于點B，然后過A點做圓的兩條切線，切線交圓于點C和D，怎樣證明B,C,D共線?

用調和點列的方法較為容易但方法的掌握不在高中的要求內

下面采用簡單的定理來證明比較麻煩

首先，設圓內接四邊形為四邊形ABCD,AB與DC交于點p，AD與BC交于點Q，過點Q做圓O的兩條切線,切點分別為點E和點F.再設AC與BD交于點R,下面來證明一個更強的結論：p、F、R、E共線.設OQ交EF于L,pR交AQ于M,EF交AQ于點M',連結OF、OE、AL、OA、OD，并延長AL到S.由Menelaus定理，AB/Bp×pC/CD×DQ/QA=1-----------------

1由Ceva定理，AB/Bp×pC/CD×DM/MA=1-----------------

2由1、2，DM/MA=DQ/QA------------------*

另一方面，由射影定理，QE^2=QL×QO-3

由切割線定理，QE^2=QD×QA-4

由3，4，QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四點共圓