第一篇：高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)立體幾何復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)立體幾何復(fù)習(xí)(1)

一、基本知識回顧

(1)重要的幾何位置關(guān)系；平行與垂直。主要包括線線、線面、面面三種情況。證明的基本思路：一般情況下，利用判定定理。而構(gòu)造滿足判定定理的條件時(shí)一般采用性質(zhì)定理，即利用性質(zhì)定理逆推來尋找滿足判定定理的條件(關(guān)鍵圖形)。一般的思路是：線線←→線面←→面面，即高維的位置關(guān)系借助低維的位置關(guān)系來證明(判定)，低維位置關(guān)系作為高維位置關(guān)系的性質(zhì)。下面列表說明證明的一般方法。(需要說明的是，表中的性質(zhì)定理并不是該表格所判定的位置關(guān)系的性質(zhì)定理。如表1中的性質(zhì)定理并不僅限于線線平行的性質(zhì)。)

①線線平行的判定：

平行公理

性質(zhì)定理

②線面平行的判定：

判定定理

性質(zhì)定理

③面面平行的判定；

判定定理

性質(zhì)定理

線面平行

面面平行

④線線垂直的判定：

判定定理

性質(zhì)定理

⑤線面垂直的判定：

判定定理

性質(zhì)定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

總結(jié)：從中可以看出，一般情況下，往往借助一些“性質(zhì)定理”來構(gòu)造滿足“判定定理”的條件。

(2)還會(huì)考查到的位置關(guān)系：異面直線的判定。

判定方法：定義(排除法與反證法)、判定定理。

二、基本例題

例1 已知：

分析：利用線面平行的性質(zhì)與平行公理。注意嚴(yán)格的公理化體系的推理演繹。

說明：過l分別作平面

∴l(xiāng)∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：AB是異面直線a、b的公垂線段，P是AB的中點(diǎn)，平面AB垂直，設(shè)M是a上任意一點(diǎn)，N是b上任意一點(diǎn)。

經(jīng)過點(diǎn)P且與

求證：線段MN與平面的交點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)。

分析：利用線線平行、線面平行的性質(zhì)。

證明：連結(jié)BM，設(shè)，連結(jié)PR，QR

在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM

∴AM∥PR，同理可證

∵BNì平面BMN且平面

且R為BM中點(diǎn)

∴BN∥RQ

△BMN中，由R為BM中點(diǎn)可知Q為MN中點(diǎn)。

例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD

分析：利用性質(zhì)定理來構(gòu)造滿足判定定理的條件。

(1)法一：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，AE

∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE

∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE

∴MN∥平面PAD

法二：連結(jié)CM并延長與DA延長線交于F，連結(jié)PF

∴M為CF中點(diǎn)，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD

法三：取CD中點(diǎn)G，連結(jié)NG，MG

∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG

∴MN∥平面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN

[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]

例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一點(diǎn)，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中點(diǎn)，P是A1A的中點(diǎn)，求證：平面AMC1∥平面B1NP

證明：在平面AMC1中作MD⊥AC1

∴MD⊥平面ACC1A1

由正三棱柱的性質(zhì)，B1N⊥平面ACC1A1

∴MD∥B1N

又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N

∴平面AMC1∥B1NP

例5 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD。過A且垂直于PC的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G。求證：AE⊥PB，AG⊥PD

分析：利用線面垂直的性質(zhì)。

證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE

∴AE⊥平面PBC

∴AE⊥PB，同理AG⊥PD

例6.已知：三棱錐A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1為垂足，且O1是△BCD的垂心。求證：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。

分析：利用線面垂直的性質(zhì)。

證明：連結(jié)DO1，AO1設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為O2，連結(jié)DO2，AO2，∵AO1⊥平面BCD，∴DO1為AD在平面BCD內(nèi)射影

同理AO2為AD在平面ABC內(nèi)射影

∵O1為BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO

2∴O2為△ABC的垂心

例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥AB1

分析：三垂線定理的逆定理的應(yīng)用(線面垂直的性質(zhì))

證明：取AB、A1B1中點(diǎn)DD1，連結(jié)A1D，CD，C1D1

由正三棱柱的性質(zhì)C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，∴A1D、BD1分別為A1C與BC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影

∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。

在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C

例8 如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。

求證：平面MND⊥平面PCD。

證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD

第二篇：第九章_立體幾何總復(fù)習(xí)教案

第九章 直線、平面、簡單幾何體

學(xué)法指導(dǎo)：

1．必須明確本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）準(zhǔn)確理解和系統(tǒng)掌握空間直線和平面的各種位置關(guān)系（特別是平行與垂直的位置關(guān)系），能夠運(yùn)用概念、公理、定理等進(jìn)行嚴(yán)密的推理判斷和邏輯論證；

（2）正確理解空間的各種角和距離的概念，能將其轉(zhuǎn)化為平面角和線段的長度，并能熟練地運(yùn)用平面幾何及三角知識來計(jì)算；（3）通過圖形能迅速判斷幾何元素的位置關(guān)系，能熟練繪制符合要求的空間圖形的直觀圖、截面圖，熟練地處理折疊、截面的問題.但要注意立體幾何中的示意圖不反映元素關(guān)系的真實(shí)結(jié)構(gòu)，邏輯論證仍是關(guān)鍵；

（4）理解用反證法證明命題的思路，會(huì)證一些簡單的問題.2．要掌握解題的通法，推理嚴(yán)謹(jǐn)，書寫規(guī)范

（1）轉(zhuǎn)化法是空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷與證明的常用方法，線線關(guān)系（主要指平行和垂直）、線面關(guān)系、面面關(guān)系三者中，每兩者都存在著依存關(guān)系，充分、合理地運(yùn)用這些關(guān)系是解題的關(guān)鍵；另外，轉(zhuǎn)化法還常常運(yùn)用在求距離時(shí)點(diǎn)的位置的變化，以及線面距、面面距間的轉(zhuǎn)化；

（2）求角或距離的方法：① “一作、二證、三計(jì)算”，即先作出所求角或表示距離的線段，再證明它就是所要求的角或距離，然后再進(jìn)行計(jì)算，尤其不能忽視第二步的證明.②向量法

9-1 立體幾何中的平行問題 教學(xué)目標(biāo)：

1.了解空間中兩條直線的位置關(guān)系（相交、平行、異面）；了解直線和平面的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平面平行)；了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系（相交、平行）。2.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能靈活運(yùn)用它們解題.3.掌握兩平面平行的判定和性質(zhì)，并用以解決有關(guān)問題.教學(xué)重點(diǎn)：利用兩條直線平行、直線與平面平行和面面平行的判定定理解決相關(guān)的證明問題。教學(xué)難點(diǎn)：線//線、線//面、面//面之間的相互聯(lián)系。教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

一、要點(diǎn)回顧：

1.空間中兩條直線的位置關(guān)系：（1）相交：

（2）平行：公理4：

平行于同一直線的兩條直線平行

（3）異面：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。

判定定理：

2.空間中直線和平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)：

公理1：

符號語言：

（2）直線與平面平行：定義

記作：

判定定理： 如果不在平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和平面平行

符號語言：

圖形語言：

（3）直線和平面相交：

符號語言：

3.空間中平面和平面的位置關(guān)系：

（1）平面和平面相交：公理2：

符號語言： 圖形語言：

（2）平面和平面平行：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。判定定理：

性質(zhì)定理：

一個(gè)重要結(jié)論：

二、基礎(chǔ)回顧：

1.如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1、BC1上分別有兩點(diǎn)E、F，且B1E=C1F.求證：EF∥平面ABCD.方法一：

方法二：

說明：欲證線面平行，先證線線平行，欲證線線平行，可先證線面平行，反復(fù)用直線與平面的判定、性質(zhì)，在同一題中也經(jīng)常用到。

2.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為正方形，側(cè)面PDC為正三角形且平面，E為PC的中點(diǎn)，求證：PA//EBD。

三、考題訓(xùn)練：

例1.（2007全國）如圖，在四棱錐 中，底面 為正方形，側(cè)棱 底面

分別為 的中點(diǎn)．（1）證明平面 ；

（2）設(shè)，求二面角 的大?。?解法一：

（1）作 交 于點(diǎn)，則 為 的中點(diǎn)． 連結(jié)，又，故 為平行四邊形．，又平面平面 ． 所以平面 ．

（2）不妨設(shè)，則 為等腰直角三角形．取 中點(diǎn)，連結(jié)，則 ． 又平面，所以，而，所以 面 ．

取 中點(diǎn)，連結(jié)，則 ．

連結(jié)，則 ．故 為二面角 的平面角

．

所以二面角 的大小為 ．

解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 ． 設(shè)，則

，．

取 的中點(diǎn)，則 ．

平面平面，所以平面 ．

（2）不妨設(shè)，則 ．

中點(diǎn)

又，所以向量 和 的夾角等于二面角 的平面角．

．所以二面角 的大小為 ．

（其中第2問放在后面求二面角部分講解）

例2.（08安徽）如圖，在四棱錐 中，底面 四邊長為1的菱形，, , , 為 的中點(diǎn)，為 的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：直線

；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。方法一（綜合法）

（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

又

（2）

為異面直線 與 所成的角（或其補(bǔ)角），作 連接，所以

與 所成角的大小為

（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn)A作

于點(diǎn)Q，又,線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離

，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)作 于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為 軸建立坐標(biāo)系 ,(1)

設(shè)平面OCD的法向量為 ,則

即

取 ,解得

(2)設(shè) 與 所成的角為 ，, 與 所成角的大小為

(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為 ,則 為 在向量 上的投影的絕對值，由, 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

四、能力提升

1.（08四川卷19）．如圖，平面平面，四邊形 與 都是直角梯形，（Ⅰ）證明： 四點(diǎn)共面；

（Ⅱ）設(shè)，求二面角 的大??； 【解1】：（Ⅰ）延長 交 的延長線于點(diǎn)，由

得

，延長 交 的延長線于

同理可得 故，即 與 重合，因此直線 相交于點(diǎn)，即 四點(diǎn)共面。

（Ⅱ）設(shè)，則，取 中點(diǎn)，則，又由已知得，平面，故，與平面 內(nèi)兩相交直線 都垂直。

所以平面，作，垂足為，連結(jié) 由三垂線定理知 為二面角 的平面角。

故

所以二面角 的大小

【解2】：由平面平面，得平面，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 為 軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

（Ⅰ）設(shè)，則

故，從而由點(diǎn)，得

故 四點(diǎn)共面

（Ⅱ）設(shè)，則，在 上取點(diǎn)，使，則，從而

又，在 上取點(diǎn)，使，則

從而

故 與 的夾角等于二面角 的平面角，所以二面角 的大小

五、課堂小結(jié)：

1.“線//線”的證明方法 序號 文字語言 圖形語言 符號語言 感悟 1 公理4：平行于同一直線的兩直線平行線//面的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行面//面的性質(zhì)定理平行四邊形的對邊分別平行三角形的中位線與它對應(yīng)的底邊平行

2.線//面的證明方法： 序號 文字語言 圖形語言 符號語言 感悟 1 線//面的判定定理：如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面平行

3.面//面的證明方法： 序號 文字語言 圖形語言 符號語言 感悟 1 判定定理

推論垂直于同一直線的兩直線平行

六、課外作業(yè)： 1.（2004天津）

如圖，在四棱錐 中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱 底面ABCD，是PC的中點(diǎn)。（1）證明平面EDB；（2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值。

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力，方法一：

（1）證明：連結(jié)AC、AC交BD于O。連結(jié)EO

∵ 底面ABCD是正方形

∴ 點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)。在 中，EO是中位線

∴

而平面EDB且平面，所以，平面EDB。

（2）解：作 交CD于F。連結(jié)BF，設(shè)正方形ABCD的邊長為。

∵

底面ABCD

∴

∴

F為DC的中點(diǎn)

∴

底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故 為直線EB與底面ABCD所成的角。在 中，∵

∴ 在 中

所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為

方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)

（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G。連結(jié)EG。依題意得，∵ 底面ABCD是正方形

∴ G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為

∴

∴

這表明 而平面 且平面EDB

∴

平面EDB（2）解：依題意得，取DC的中點(diǎn)

連結(jié)EF，BF ∵，∴，∴，∴

底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故 為直線EB與底面ABCD所成的角。

在 中，∴，所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為。

七、板書設(shè)計(jì)：

八、教學(xué)反思：

9-2立體幾何中的垂直問題 教學(xué)目標(biāo)：

1.了解空間兩條直線垂直的概念；

2.掌握空間中直線和平面垂直的判定和性質(zhì)； 3.了解空間中兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn)： 教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

一、要點(diǎn)回顧

1.線線垂直的判定：

（1）利用線線平行：一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則垂直于另一條（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性質(zhì)（4）利用平面圖形性質(zhì)

(5)線面垂直的性質(zhì)：

(6)利用線面垂直、線面平行：

(7)利用三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。（反之也成立—逆定理）2.線面垂直判定

（1）判定定理1——如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面。

（2）判定定理2——如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。

（3）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面

（4）面面垂直推論:如果兩個(gè)相交平面都與另一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的交線 l 垂直于另一個(gè)平面

（5）面面平行性質(zhì)：一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它也垂直于另一個(gè)平面 線面垂直性質(zhì)

（1）定義——如果一條直線和一個(gè)平面垂直則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線（2）性質(zhì)定理——如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行。（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它也垂直于另一個(gè)平面（6）如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直（7）如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，則這兩個(gè)平面互相垂直 3.（1）面面垂直判定

如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直 推論:如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，則這兩個(gè)平面互相垂直（2）面面垂直性質(zhì)

推論:如果兩個(gè)相交平面都與另一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的交線 l 垂直于另一個(gè)平面 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：

（1）平行轉(zhuǎn)化：

(2)垂直轉(zhuǎn)化：

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的.例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.二、基礎(chǔ)體驗(yàn)：

1、(06安徽文6)設(shè) 均為直線,其中 在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“ ”的（A）(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件 2．（07四川卷）如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）（A）平面

（B）

（C）平面

（D）異面直線 與 所成的角為60° 解：異面直線 與 所成的角為45°，選Ｄ． 3.（08上海卷13）給定空間中的直線l及平面?，條件“直線l與平面?內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面?垂直”的（C）條件

A．充要

B．充分非必要

C．必要非充分

D．既非充分又非必要

三、考題訓(xùn)練：

例1.（07全國2）如圖，正三棱柱 的所有棱長都為，為 中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大?。?/p>

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力． 解法一：（Ⅰ）取 中點(diǎn)，連結(jié) ． 為正三角形，．

正三棱柱 中，平面平面，平面 ． 連結(jié)，在正方形 中，分別為 的中點(diǎn)，．

在正方形 中，平面 ．

（Ⅱ）設(shè) 與 交于點(diǎn)，在平面 中，作 于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面 ．，為二面角 的平面角． 在 中，由等面積法可求得，又，．

所以二面角 的大小為 ． 解法二：（Ⅰ）取 中點(diǎn)，連結(jié) ．

為正三角形，．

在正三棱柱 中，平面平面，平面 ．

取 中點(diǎn)，以 為原點(diǎn)，，的方向?yàn)?軸的正方向建立 空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，，．平面 ．

（Ⅱ）設(shè)平面 的法向量為 ．，．，令 得 為平面 的一個(gè)法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面 的法向量．，． 二面角 的大小為 ．

例2.如圖,在底面為直角梯形的四棱錐

,BC=6.(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求二面角 的大小.解法一：（Ⅰ）平面，平面 ． ． 又，．，，即 ．

又 ．平面 ．（Ⅱ）連接 ．

平面 ．，．

為二面角 的平面角． 在 中，，二面角 的大小為 ． 解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，則，，，，，．，又，面 ．

（Ⅱ）設(shè)平面 的法向量為，設(shè)平面 的法向量為，則，解得

．

，． 二面角 的大小為 ．

四、能力提升：

1.（08全國二19）如圖，正四棱柱 中，點(diǎn) 在 上且 ．（Ⅰ）證明：平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大?。?/p>

解：以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 為 軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系 ． 依題設(shè)，．，．

（Ⅰ）因?yàn)?，故，?/p>

又，所以平面 ．

（Ⅱ）設(shè)向量 是平面 的法向量，則，． 故，．

令，則，．

等于二面角 的平面角，．

所以二面角 的大小為 ．

五、課堂小結(jié)：

六、課外作業(yè)：

1.（08山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），所以

設(shè)平面AEF的一法向量為

則

因此 取

因?yàn)?/p>

BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故 為平面AFC的一法向量.又 =（-），所以

cos＜m, ＞=

因?yàn)槎娼荅-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為

2.（08陜西卷19）三棱錐被平行于底面 的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，，，．（Ⅰ）證明：平面平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大?。?解：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，．

點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

，．，，又，平面，又平面，平面平面 ．（Ⅱ）平面，取 為平面 的法向量，設(shè)平面 的法向量為，則 ．

，如圖，可取，則，即二面角 為 ． 補(bǔ)充資料：

1.（07湖南）如圖，在三棱錐 中，，是 的中點(diǎn)，且，．（I）求證：平面平面 ；

（II）試確定角 的值，使得直線 與平面 所成的角為 ． 本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力． 解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又 是 的中點(diǎn)，又 底面 ． ．于是平面 ． 又平面，平面平面 ．

（Ⅱ）過點(diǎn) 在平面 內(nèi)作 于，則由（Ⅰ）知平面 ． 連接，于是 就是直線 與平面 所成的角． 依題意，所以 ：在 中，； 在 中，．，．

故當(dāng) 時(shí)，直線 與平面 所成的角為 ． 解法2：（Ⅰ）以 所在的直線分別為 軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，． 從而，即 ． 同理，即 ．又，平面 ．

又平面 ．平面平面 ．

（Ⅱ）設(shè)平面 的一個(gè)法向量為，則由 ．

得 可取，又，于是，即，．

故交 時(shí)，直線 與平面 所成的角為 ．

（07全國1）四棱錐 中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面 底面ABCD，已知，。（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小。（1）解法一：作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面 底面，得 底面 ．因?yàn)?，所以，又，?為等腰直角三角形，由三垂線定理，得 ． 解法二：

作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面 底面，得平面 ．因?yàn)?，所?． 又，為等腰直角三角形，．

如圖，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為 軸正向，建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，又，所以，．，，所?．（2），.與 的夾角記為，與平面 所成的角記為，因?yàn)?為平面 的法向量，所以 與 互余．，所以，直線 與平面 所成的角為 ．

七、板書設(shè)計(jì)：

八、教學(xué)反思：

9-3空間中直線、平面的位置關(guān)系 教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握空間中直線與直線、直線和平面、平面與平面的各種位置關(guān)系；

2.掌握立體幾何中文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換，并且能利用定理進(jìn)行命題真假的判斷。教學(xué)重點(diǎn)：

1.直線和平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理 2.平面和平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理.教學(xué)難點(diǎn)：利用定理和一般結(jié)論判斷所給命題的真假 教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

一、要點(diǎn)回顧：（1）平行轉(zhuǎn)化：

(2)垂直轉(zhuǎn)化：

二、基礎(chǔ)體驗(yàn)：

1.（06北京卷）設(shè)A、B、C、D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是(C)（A）若AC與BD共面，則AD與BC共面

（B）若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線

(C)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC

(D)若AB=AC，DB=DC，則AD BC 解：A顯然正確；B也正確，因?yàn)槿鬉D與BC共面，則必有AC與BD共面與條件矛盾；C不正確，D正確，用平面幾何與立體幾何的知識都可證明。選C 2．（06天津卷）若 為一條直線，為三個(gè)互不重合的平面，給出下面三個(gè)命題： ① ；② ；③ ．其中正確的命題有（C）Ａ．0個(gè)

Ｂ．1個(gè)

Ｃ．2個(gè)

Ｄ．3個(gè)

解：若 為一條直線，、、為三個(gè)互不重合的平面，下面三個(gè)命題：

① 不正確； ② 正確；

③ 正確，所以正確的命題有2個(gè)，選C.3．(06上海卷)若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的（A）

（A）充分非必要條件

（B）必要非充分條件

（C）充分必要條件

（D）既非充分又非必要條件 4．（06重慶卷）若 是平面 外一點(diǎn)，則下列命題正確的是(D)（A）過 只能作一條直線與平面 相交

（B）過 可作無數(shù)條直線與平面 垂直（C）過 只能作一條直線與平面平行

（D）過 可作無數(shù)條直線與平面平行

三、考題訓(xùn)練 1．（06遼寧卷）給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行；③若直線 與同一平面所成的角相等，則 互相平行；④若直線 是異面直線，則與 都相交的兩條直線是異面直線。其中假命題的個(gè)數(shù)是（D）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4 2．(06廣東卷)給出以下四個(gè)命題: ① 如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交, 那么這條直線和交線平行;②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面;③如果兩條直線都平行于一個(gè)平面,那么這兩條直線相互平行;④如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么些兩個(gè)平面互相垂直.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.4

B.3

C.2

D.1 解：①②④正確，故選B.3.(06福建卷)對于平面 和共面的直線、下列命題中真命題是(C)（A）若 則

（B）若 則

（C）若 則

（D）若、與 所成的角相等，則

4．（06湖北卷）

6、關(guān)于直線m、n與平面、，有下列四個(gè)命題： ①若 且，則 ；

②若 且，則 ； ③若 且，則 ；

④若 且，則 ； 其中真命題的序號是(D)A．①②

B．③④

C．①④

D．②③ 解：用排除法可得選D 5.（06福建）是空間兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題： ①

②

③

④

其中，真命題的編號是_______①，④ _________;（寫出所有真命題的編號）解： 是空間兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：

① ,為真命題；②，為ie假命題；③ 為假命題； ④ 為真命題，所以真命題的編號是①、④.6．（07北京卷）平面平面 的一個(gè)充分條件是（）Ａ．存在一條直線

Ｂ．存在一條直線

Ｃ．存在兩條平行直線

Ｄ．存在兩條異面直線

解：平面平面 的一個(gè)充分條件是存在兩條異面直線，選Ｄ．

四、能力提升 1．（07天津卷）設(shè) 為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A．若 與 所成的角相等，則

B．若，，則

C．若，，則

D．若，，則

解：Ａ項(xiàng)中若 與 所成的角相等，則 可以平行、相交、異面故錯(cuò)；Ｂ項(xiàng)中若，則 可以平行、異面故錯(cuò)；Ｃ項(xiàng)中若

則 可以平行、相交；而D項(xiàng)是對，因?yàn)榇藭r(shí) 所成的角與 所成的角是相等或是互補(bǔ)的，則 ．

【分析】對于A當(dāng) 與 均成 時(shí)就不一定；對于B只需找個(gè)，且

即可滿足題設(shè)但 不一定平行；對于C可參考直三棱柱模型排除，故選D.2．（07重慶卷）垂直于同一平面的兩條直線（A）平行

（B）垂直

（C）相交

（D）異面 解：垂直于同一平面的兩條直線平行.選A.3．（07遼寧卷）若 是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若，則 B．若，則

C．若，則

D．若，，則

解：由有關(guān)性質(zhì)排除A、C、D，選B.4．（07江蘇卷）已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題： ①

②

③

④

其中正確命題的序號是（）

A．①、③

B．②、④

C．①、④

D．②、③ 解：②中，有可能是異面直線；③中，有可能在 上，都不對，故選（C）。

五、課堂小結(jié)：

六、課外作業(yè)：

1．(07廣東卷)若l、m、n是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是

A．若，則

B．若，則

C.若，則

D．若，則

解：對A，當(dāng)

∥，時(shí)，只是平行于

中某一直線而非所有，因而 未必能平行于n；對B，只有在 垂直與兩面的交線才有結(jié)論 ⊥

成立；對C，直線 和m可以是異面，立方體的棱就能體現(xiàn)這種關(guān)系。選D.2.已知 為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）Ａ．，，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，解：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個(gè)平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在 內(nèi)，不正確，選D.3.（08安徽卷3）已知 是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（B）A．

B．

C．

D．

4.（08湖南卷5）已知直線m,n和平面 滿足 ,則（D)

或

或

5.（08上海卷13）給定空間中的直線l及平面 ．條件“直線l與平面 內(nèi)兩條相交直線都垂直”是“直線l與平面 垂直”的（C）

Ａ．充分非必要條件

Ｂ．必要非充分條件

C．充要條件

Ｄ．既非充分又非必要條件

6.（08天津卷5）設(shè) 是兩條直線，是兩個(gè)平面，則 的一個(gè)充分條件是（C）A．

B．

C．

D．

7、（05江蘇4）已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：（）①

②

③

④

其中正確命題的序號是

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

七、板書設(shè)計(jì)：

八、教學(xué)反思：

9-4空間角 教學(xué)目標(biāo)：

1.理解兩異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角的平面角的概念；

2.會(huì)利用幾何法、向量法求角（兩異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角的平面角）教學(xué)重點(diǎn)：利用向量法求空間角

教學(xué)難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法求解立體幾何綜合問題。教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

一、基礎(chǔ)回顧： 1.異面直線所成的角

（1）定義：

（2）范圍：

.（3）基本求法：

2.直線和平面所成的角：（1）定義：

（2）范圍：

（3）基本求法：

3.二面角（1）相關(guān)定義：①從一條直線出發(fā)的兩個(gè)

組成的圖形叫做二面角。②以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作

的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小是用它的 的大小來度量的。（2）二面角的范圍 ：。

（3）常見求法：

、、、、.①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角.用定義時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特征.②三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)到另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：在棱上取一點(diǎn)（通常是特殊點(diǎn)）作棱的垂面.④射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小.此方法不必在圖中畫出平面角來（此法僅能在小題中使用）.⑤向量法：

二、基礎(chǔ)體驗(yàn)： 1．（06四川卷）已知二面角 的大小為，為異面直線，且，則 所成的角為(B)（A）

（B）

（C）

（D）

解：已知二面角 的大小為，為異面直線，且，則 所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.2.直三棱柱 中，點(diǎn) 分別是 的中點(diǎn)，則BD與AF所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.三、考題訓(xùn)練：

例1（04廣東18）如右下圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=BF=1。求直線EC1與FD1所成的角的余弦值。思路一：本題易于建立空間直角坐標(biāo)系，把 與 所成角 看作向量 的夾角，用向量法求解。

思路二：平移線段C1E讓C1與D1重合。

轉(zhuǎn)化為平面角，放到三角形中，用幾何法求解。（圖1）解法一：以A為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有

D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是

設(shè)EC1與FD1所成的角為，則:

∴直線 與 所成的角的余弦值為

解法二：延長BA至點(diǎn)E1,使AE1=1,連結(jié)E1F、DE1、D1E1、DF，有 D1C1//E1E, D1C1=E1E,則四邊形D1E1EC1是平行四邊形。則E1D1//EC1.于是∠E1D1F為直線 與 所成的角。在Rt△BE1F中，.在Rt△D1DE1中，在Rt△D1DF中，在△E1FD1中,由余弦定理得：

∴直線 與 所成的角的余弦值為.[說明]“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵。平移線段法，或化為向量的夾角。一般地，異面直線 l1、l2的夾角的余弦為：.練習(xí)1．(07全國Ⅰ)如圖，正四棱柱 中，則異面直線 與 所成角的余弦值為（）A．

B．

C．

D．

解：如圖，連接BC1，A1C1，∠A1BC1是異面直線 與

所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B= a，A1C1= a，∠A1BC1的余弦值為，選D。

2.（08全國二10）已知正四棱錐 的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是 的中點(diǎn)，則 所成的角的余弦值為（C）A．

B．

C．

D．

例2.（1）(07全國II)已知正三棱柱 的側(cè)棱長與底面邊長相等，則 與側(cè)面 所成角的正弦值等于（）A．

B．

C．

D．

解：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，取A1C1的中點(diǎn)D1，連接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，選A。

（2）如圖，在體積為1的直三棱柱 中，． 求直線 與平面 所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）． 解：法一： 由題意，可得體積，．連接 ．，平面，是直線 與平面 所成的角．

，則

＝ ．即直線 與平面 所成角的大小為 ． 法二： 由題意，可得

體積，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 得點(diǎn)，． 則，平面 的法向量為 ．

設(shè)直線 與平面 所成的角為，與 的夾角為，則。

練習(xí)：如圖,在正三棱柱 中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則 與側(cè)面

所成的角是____________ 解：，點(diǎn) 到平面 的距離為，∴，．

例3.如圖，在三棱錐 中，側(cè)面 與側(cè)面 均為等邊三角形，為 中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的余弦值． 證明：（Ⅰ）由題設(shè)

，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又 為等腰三角形，故，且，從而 ．

所以 為直角三角形，． 又 ．所以平面 ．（Ⅱ）解法一： 取 中點(diǎn)，連結(jié)，由（Ⅰ）知，得 ．

為二面角 的平面角． 由 得平面 ． 所以，又，故 ．

所以二面角 的余弦值為 ．

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系 ．設(shè)，則 ．的中點(diǎn)，．

． 故 等于

二面角 的平面角．，所以二面角 的余弦值為 ．

總結(jié)：二面角的求法：

1.幾何法：二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法： ①直接利用定義，圖(1)②利用三垂線定理及其逆定理，圖(2)最常用。③作棱的垂面，圖(3)圖4

另外，特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角； 2.向量法：①從平面的法向量考慮，設(shè)

分別為平面 的法向量，二面角 的大小為，向量的夾角為，則有 或

（圖5）

圖5

②如果AB、CD分別是二面角 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

[說明]在處理二面角問題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取 時(shí)，會(huì)算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。

四、能力提升：

1.（2003京春文11，理8）如圖9—1，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（B）A.90°

B.60° C.45°

D.0°

解析：將三角形折成三棱錐如圖9—43所示.HG與IJ為一對異面直線.過點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以∠ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°.評述：本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵.通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.2.（2002全國理，8）正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是（）A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

解析：連結(jié)FE1、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE1∥BC1.在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，∴FD=.在Rt△EFE1和Rt△EE1D中，易得E1F=E1D=.∴△E1FD是等邊三角形.∴∠FE1D=60°.∴BC1與DE1所成的角為60°.評述：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法.3.（2001全國，11）一間民房的屋頂有如圖9—4三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則（）A.P3＞P2＞P1

B.P3＞P2＝P1 C.P3＝P2＞P1

D.P3＝P2＝P1 解析：由S底＝S側(cè)cosθ可得P1＝P2而P3＝

又∵2（S1＋S2）＝S底

∴P1＝P 2＝P 3

五、課堂小結(jié)： 1.2.向量法通過空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡單化。主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算。

六、課外作業(yè)：

1.（08全國一11）已知三棱柱 的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面 內(nèi)的射影為 的中心，則 與底面 所成角的正弦值等于（C）A．

B．

C．

D．

2.（08福建卷6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（D）A.B.C.D.3.（2009年云南省第一次統(tǒng)測）在四棱錐 中，底面 是正方形，側(cè)棱 底面，是 中點(diǎn)，作 交 于 ．

（1）證明平面 ：

（2）證明平面 ；

（3）求二面角 的大小．

4．(06福建卷)如圖，在正方體 中，分別為，，的中點(diǎn)，則異面直線 與 所成的角等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解：連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角 等于.60°，選B.9-5距離 教學(xué)目標(biāo)： 1.理解點(diǎn)到平面的距離、兩異面直線間的距離、直線到與它平行平面的距離的概念。2.會(huì)用等體積法、向量法求點(diǎn)到平面的距離。

3.將直線到與它平行的平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解。教學(xué)重點(diǎn)：用等體積法、向量法求點(diǎn)到平面的距離。教學(xué)難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求解點(diǎn)到平面的距離。教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

一、要點(diǎn)回顧：

1.點(diǎn)與它在平面上的射影間的距離叫做該點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.2.直線與平面平行，那么直線上任一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線與平面的距離.3.兩個(gè)平面平行，它們的公垂線段的長度叫做這兩個(gè)平面的距離.4.兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離.5.借助向量求距離：

（1）求點(diǎn)面距離的向量公式

平面α的法向量為n，點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離d就是 在向量n方向射影的絕對值，即d=.（2）異面直線的距離的向量公式

設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是 在向量n方向射影的絕對值，即d=.二、基礎(chǔ)體驗(yàn)：

1.（06天津）如圖，在正三棱柱 中，．若二面角 的大小為，則點(diǎn) 到直線 的距離為

．

2.（07）正三棱錐 的高為2，側(cè)棱與底面ABC所成角為，則點(diǎn) 到側(cè)面 的距離是

.解：如圖，∠PBO＝45°，PO＝OB＝2，OD＝1，BD＝，PB＝2，PD＝，AD＝3，得AE＝.3.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是____ ____． 解：顯然正六棱錐 的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，于是可求得底面邊長為2，又正六棱錐 的高依題意可得為2，依此可求得

三、考題訓(xùn)練：

例1.如圖，在正三棱柱 中，所有棱長均為1，則點(diǎn) 到平面 的距離為.解：連結(jié) 則點(diǎn) 到平面 的距離轉(zhuǎn)化為C點(diǎn)到平面 的距離，易得，則由

，求得h=。

例2.如圖，在三棱錐S-ABC中，（1）求二面角N-CM-B的大??；（2）求點(diǎn)B到平面CMN的距離。

四、課堂小結(jié)：

求空間距離的方法可分為直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法.1.直接法是直接作出垂線，再通過解三角形求出距離.2.轉(zhuǎn)化法則是把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為線面距離，或把線面距離轉(zhuǎn)化為面面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.3.向量法是把距離求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.9-6簡單多面體和球 教學(xué)目標(biāo)：

1.理解球和球面的概念，理解球面距離的概念； 2.注意多面體與球的關(guān)系；

3.掌握球半徑、截面小圓半徑與球心到截面圓距離三者間的關(guān)系； 4.了解地球儀上經(jīng)度、緯度的概念，并用球的相關(guān)知識解決問題。教學(xué)重點(diǎn)：多面體與球的相關(guān)計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：理解球面上兩點(diǎn)間距離的概念, 了解與球的有的內(nèi)切、外接幾何問題的解法。教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

一、要點(diǎn)回顧：(一)正多面體

1.概念: 每一個(gè)面都有相同邊數(shù)的,且以每個(gè)頂點(diǎn)為一端點(diǎn)有相同數(shù)目的棱的凸多面體.2.五種正多面體: 正

面體、正

面體、正

面體、正

面體、正

面體.(二)球

1.概念: 球面, 球

1.到定點(diǎn)的距離小于或等于定長的點(diǎn)的集合叫做球，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面.過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間劣弧的長叫做兩點(diǎn)的球面距離.2.球的體積與表面積:、3.球的截面與性質(zhì)：

球心到截面圓的距離d =

.4.球面距離及其計(jì)算

(1)小圓, 大圓 , 經(jīng)度角 , 緯度角

(2)球面距離=

×

(緯度圓半徑r =)(三)外接球、內(nèi)切球與組合體

1.棱長為a 的正方體的外接球半徑：

內(nèi)切球半徑：

（長方體的外接球半徑：）2.棱長為a 的正四面體的外接球半徑：

內(nèi)切球半徑：

二、基礎(chǔ)體驗(yàn)：

1．地球半徑為R，則南緯600的緯線圈長為（）A．

B．

C．

D．R 2．一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（）A．

B．

C．

D．

3．設(shè)地球半徑為R，若甲地位于北緯450東經(jīng)1200，乙地位于南緯750東經(jīng)1200，則甲，乙兩地的球面距離為（）A．

B．

C．

D．

4．地球表面上從A地(北緯45°,東經(jīng)120°)到B地(北緯45°,東經(jīng)30°)的最短距離為(球的半徑為R)

（）A．

B．πR

C．

D．

5.正四面體的中心到底面的距離與這四面體的高的比是（）

A．

B．

C．

D．

6．一個(gè)四面體的所有棱長都為 , 四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上, 則此球的表面積是

（）A．3π

B．4π

C．3 π

D．6π

三、考題訓(xùn)練： 例1．（1）(06全國Ⅰ)已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(C)A．

B．

C．

D．

解：正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為2，∴ 球的半徑為，球的表面積是，選C.（2）(06福建卷)已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于(D)（A）

（B）

（C）

（D）

解：正方體外接球的體積是，則外接球的半徑R=2, 正方體的對角線的長為4，棱長等于，選D（3）(06安徽卷)表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為

A．

B．

C．

D．

解：此正八面體是每個(gè)面的邊長均為 的正三角形，所以由 知，則此球的直徑為，故選A。

例2.（06山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(C)（A）

（B）3

（C）3

（D）1∶9 解：設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為1∶3，選C 例3.如圖,正四面體ABCD的外接球的體積為 ,求此四面體的體積.四、能力提升：

1.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于____π3 ________。

解：正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側(cè)面與底面所成的二面角的正切tanα= , ∴ 二面角等于60°。2.已知圓 是半徑為 的球 的一個(gè)小圓，且圓 的面積 和球 的表面積 的比 為，則圓心 到球心 的距離與球半徑的比 ＿ ＿＿。解：設(shè)圓 的半徑為r，則 ＝，＝，由

得r ? R＝ ? 3，又，可得 1 ? 3

3．(06湖南卷)過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是(A)

A．π

B.2π

C.3π

D.解：過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是 R=1，該截面的面積是π，選A.4.如圖，正四棱錐 底面的四個(gè)頂點(diǎn) 在球 的同一

個(gè)大圓上，點(diǎn) 在球面上，如果，則球 的表面積是(D)（A）

（B）

（C）

（D）

解：如圖，正四棱錐 底面的四個(gè)頂點(diǎn) 在球 的同

一個(gè)大圓上，點(diǎn) 在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，所以，R=2，球 的表面積是，選D.五、課堂小結(jié)：

六、課外作業(yè)： 1.（08全國二8）正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)棱與底面所成的角為，則該棱錐的體積為（B）A．3

B．6

C．9

D．18 2.（08全國二12）．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（C）A．1

B．

C．

D．2 3.（08湖北卷4）用與球心距離為1的平面去截面面積為，則球的體積為（D）

A.B.C.D.4.（08湖南卷9）長方體 的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（B)A．

B．

C．

D．2 5.（08福建卷15）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.9

6.（海南卷14）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為 _________

7.（福建15）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.9

8.（海南卷14）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為 _________ 10．(07全國II)已知三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于 A．

B．

C．

D．

解：已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍，設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為2，連接頂點(diǎn)與底面中心，則側(cè)棱在底面上的射影長為，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于，選A。

11.一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為

cm ．

解：一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。正四棱柱的對角線的長為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長為1cm，設(shè)正四棱柱的高為h，∴ 2R=2=，解得h=，那么該棱柱的表面積為2+4 cm2.12.一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為，，則此球的表面積為

． 解：長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上則長方體的體對角線長為球的直徑，設(shè)球的直徑為 則：，由于球的表面積為:.13把邊長為 的正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角, 折成直二面角后, 在A,B,C,D四點(diǎn)所在的球面上,B與D兩點(diǎn)之間的球面距離為(A)(B)(C)(D)

解：球的半徑為1，B與D兩點(diǎn)恰好是兩條垂直的半徑的端點(diǎn)，它們之間的球面距離為 個(gè)大圓周長，即，選C。

14．(07陜西卷)Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為13的球面上，兩直角邊的長分別為6和8，則球心到平面ABC的距離是（A）5

（B）6

（C）10（D）12 解：Rt△ABC的斜邊長為10，且斜邊是Rt△ABC所在截面的直徑，球心到平面ABC的距離是d=，選D.七、板書設(shè)計(jì)：

八、教學(xué)反思：

第三篇：立體幾何復(fù)習(xí)

一、線線平行的證明方法

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線。

3、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。

4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

5、如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

7、夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點(diǎn)。

2、反證法。

3、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

4、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面

三、面面平行的證明方法

1、定義法：兩平面沒有公共點(diǎn)。

2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

3、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。

4、經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。

四、線線垂直的證明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點(diǎn)在線上的射影

6、如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)任意的直線都垂直

7、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

8、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面。

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則必垂直于另一個(gè)平面。

7、兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩平面交線垂直于第三個(gè)平面。

8、過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個(gè)平面的二面角是直二面角。

2、如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

3、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直

4、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直

第四篇：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)複習(xí)--複數(shù)姓名班級學(xué)號日期

1.若a?R，複數(shù)(2a2?3a?2)?(a2?3a?2)i表示純虛數(shù)，則a的條件是 ________________。

2.已知z1?(x?y?4)?(x2?xy?2y)i,z2?(2x?y?2)?(xy?y)i,(x,y?R)，(1)若z1與z2都是純虛數(shù)，求x、y的值(2)若z1與z2對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)於實(shí)軸對稱 求x、y的值。

3.設(shè)a,b為共軛複數(shù)且(a?b)2?3abi?4?12i,求a,b的值。4.已知f(z)?2z?z?3,f(z?i)?6?3i,求z。

5.若z?(log23,log32),則z在複平面所對應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)在第______象限。

?2?

6.設(shè)?,?都是虛數(shù),且它們互為共軛複數(shù)。已知是實(shí)數(shù),求的值。

??

7.求複數(shù)的輻角主值:(1)?3(cos

4413

??isin?)(2)(1?i)(cos??isin?)(3)??i(4)3322

?6i(5)1?2?(6)?2?2i(7)cos

?

?isin

?

6(2?2i)4??3?i?(4)(1?i)6 2020

8.計(jì)算:(1)(1?i)?(1?i)(2)(3)??

2(1?3i)5?1?2i?

?1?i?

?(5)(6)?

?2?2(cos?isin)66

(1?i)

2001

?

(7)

?i

?

?13?

???i?22??

5?5???

cos?isin???1212?

9.若z?1?i,則z?z2???z5?____________。

10.計(jì)算﹕i?2i2?3i3???100i100=________________。11.已知arg(?2?i)??,arg(3?i)??,求???。

12.在△ABC中，?cosA?isinA??cosB?isinB??cosC?isinC??

13.試求(1?i)(cos??isin?)(????)的輻角主值。

23?

14.若複數(shù)z?(a?i)2的輻角是,試求實(shí)數(shù)a的值。

25i

15.若複數(shù)z?a?3i的輻角主值與的輻角主值相同，求實(shí)數(shù)a的值。

16.求複數(shù)4?4i的四次方根;?i的立方根。17.在複數(shù)集C中解方程:18x2?42x?29?0。

??z4

18.若z?2(cos?isin),則=_______________

5519.若|z?3?4i|?2時(shí),複數(shù)|z|的最大值是 ____________

20.已知實(shí)數(shù)m滿足不等式|log2m?4i|?5,求m的取值範(fàn)圍____________。

??

?1?i?

21.設(shè)zn??。??n?N?,則數(shù)列前50的項(xiàng)和為?2?

22.已知p、q?R,關(guān)於x的方程x2?2(p?q)x?2(p2?q2)?0有兩個(gè)虛根,且它們

p的立方均為實(shí)數(shù),求的值。

q

23.求1????2?...??13的值。24.求證:(1????2)(1????2)?4。25.若z?2?,z?3?4,求z。

26.複數(shù)z1 = 3 + 2i, z2 = 3－i, 若f(z)?1?z, 則f(z1－z2)的值為___________。

27.若複數(shù)z滿足z?z??1?2i,則求z的值。

n

第五篇：六年級數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

填空

1、十八億四千零五十九萬九千八百改寫成以億為單位寫作（），保留兩位小數(shù)寫作（）億，改寫成以萬為單位寫作（），保留一位小數(shù)寫作（）萬。

2、五個(gè)個(gè)大小相等的正方形，拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的周長是48厘米，每個(gè)正方形邊長是（），這個(gè)長方形的面積是（）。

3、一根長2米3分米的木料，把它截成三段，表面積增加24平方厘米，這木料的體積是（）

4、在一個(gè)盛滿水的底面半徑是20厘米的圓柱形容器里，有一個(gè)底面半徑是10厘米的圓錐體浸沒在水中，取出圓錐后，容器水面下降5厘米，這個(gè)圓錐高（）。

5、一個(gè)等腰三角形的頂角是銳角，那么這個(gè)三角形一定是（）三角形。

6、三位小數(shù)a精確到百分位是8.60，這個(gè)三位數(shù)最大是（），最小是（）。

7、一根鐵絲長480厘米，焊成一個(gè)長方體框架，長寬高比例是3：2：1，這個(gè)長方體的表面積是（）平方厘米，體積是（）立方分米。

8、側(cè)面積相等的兩個(gè)圓柱，表面積（一定/不一定）相等。

9、圓的半徑與周長成（）關(guān)系。

10、如果5/x=y/3，那么x與y成（）關(guān)系。

列式計(jì)算

1、七除二又四分之三的商減去四點(diǎn)五乘以三分之一的積，差是多少？

2、一個(gè)數(shù)的五分之四比270的百分之三十多75，求這個(gè)數(shù)。（列方程）

應(yīng)用題

1、某工廠去年總產(chǎn)值2300萬元，比前年增加15%，這個(gè)工廠前年的總產(chǎn)值是多少萬元？

2、甲乙兩車同時(shí)從兩地沿公路相對開出，甲平均每小時(shí)行48千米，乙車平均每小時(shí)行54千米，相遇時(shí)兩車距兩地中點(diǎn)36千米，兩地相距多少千米？

3、在含鹽40%的鹽水中加入80千克水，鹽水含鹽30%，再加入多少千克鹽，鹽水含鹽50%？