第一篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題七 立體幾何教案 文

專題七 立體幾何

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核心背記

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（一）多面體

1．棱柱可以看成是一個多邊形（包含圖形所圍成的平面部分）上各點(diǎn)都沿同一個方向移動____所形成的幾何體．

2．主要結(jié)構(gòu)特征：棱柱有兩個面互相平行，而其余 的交線都互相平行，其余的這些面都是四邊形．

3．側(cè)棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面為 的直棱柱叫做正棱柱． 4．有一個面是多邊形，而其余各面都 的三角形的多面體叫做棱錐．

5．如果棱錐的底面是 一，它的頂點(diǎn)又在過 且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐，正棱錐各側(cè)面都是 一的等腰三角形，這些等腰三角形____都相等，叫做棱錐的斜高．

6.棱錐被 一的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．一—— 7.由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些 一叫做棱臺的斜高．正棱臺中兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和 ．組成一個直角梯形；兩底面中心連線，和兩底面相應(yīng)的外接圓半徑組成一個直角梯形．

（二）旋轉(zhuǎn)體

1．分別以

一、直角梯形中——、——____所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺．旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊叫做這個幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的 叫做這個幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的 叫做這個幾何體的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線，’ 2．-個半圓繞著____所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的幾何體稱為 1

球．球面也可以看做空間中到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合．

3．球的截面性質(zhì)：球的截面是 ；球心和截面（不過球心）圓心的連線 于截面；設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離d就是球心0到截面圓心0i的距離，它們的關(guān)系是 一．

4．球的大圓、小圓：球面被 的平面截得的圓叫做球的大圓；球面被 的平面截得的圓叫做球的小圓．

（三）投影

1．當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影具有如下性質(zhì)：①直線或線段的平行投影是____；②平行直線的平行投影是 ；③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段 ；④與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形 ；⑤在同一直線或平行線上，兩條線段的平行投影的比等于____． 2.-個． 把一個圖形照射在一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投影．空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但是平行線可能變成____．

3．在物體的平行投影中，如果投射線與投射面____，則稱這樣的平行投影為正投影． 4．除了平行投影的性質(zhì)正投影還具備如下性質(zhì)：

直于投射面的直線或線段的正投影是 ．②于投射霹的平面圖形的正投影是

（四）斜二測畫法與三視圖

1．斜二測畫法的作圖規(guī)則可以簡記為：水平方向方向長度 豎直方向線，變?yōu)?方線，長度

2.投射面與視圖：通常，總是選取三個____的平面作為投射面，來得到三個投影圖．一個投射面水平放 置，叫做水平投射面，投射到水平投射面內(nèi)的圖形叫做，一個投射面放置在正前方，這個投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面內(nèi)的圓形叫做 和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射l面．投射到側(cè)立投射面內(nèi)的圓形叫做

3.三視圖定義：將空間圖形向水平投射面，直立投射 面、側(cè)立投射面作正投影．然后把這個投影按一定的布局放 在一個平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空悶圖形的三視圖．

4．三視圖的畫法要求；三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的 看到的物體的正投影圍成的平面圖形．

5.一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在 的下面，長度與 一樣；左視圖放在主視圖的，高度與____一樣，寬度與——的寬度—樣為了便于記憶．通常說：“長對正 高平齊、寬相等”或“主左一樣高、主俯—樣長、左俯—樣寬

6．畫三視圖時應(yīng)注意：被擋住的輪廓要畫成瘦線，尺寸線用細(xì)實(shí)線標(biāo)出；φ表示直徑，R表示半徑；單位不注明按mm計(jì)，二、空間幾何體的表面積與體積

（一）柱、錐、臺的表面積公式

1．設(shè)直棱柱的高為b，底面多邊形的周長為c，則直棱柱側(cè)面面積計(jì)算公式為——．設(shè)圓柱的底面半徑為r 周長為C，側(cè)面母線長為l，則圓柱的側(cè)面積是____． 2.設(shè)正棱錐的底面邊長為a，底面周長為C，斜高為h，則正n梭錐的側(cè)面積計(jì)算公式為一·如果圓錐底面半徑為r，周長為C，側(cè)面母線長為l，那么圓錐的側(cè)面積是一．

3.如果設(shè)正棱臺下底面邊長為a、周長為C，上底面邊長為a'、周長為C'斜高為h'，則正竹棱臺的側(cè)面積公式為____ ．如果圓臺的上下底面半徑分為r'，r，周長為C，C，側(cè)面母線長為l，那么圓臺的側(cè)面積是

（二）柱、錐、臺的體積公式

1.棱柱的底面面積為S，高為h，則體積為——’

底面半徑為r，高是h的圓柱體的體積計(jì)算公式是—一．

2.若一個棱錐的底面面積為S．高為h，那么它的體積公式為____．若圓錐的底面圓的半徑為r，高為h,則體積為____．

3.若臺體（棱臺、圓臺）上、下底面面積分別為S，S，高為h，則臺體的體積公式為一，若圓臺的上、下底面半徑分別為r，r，高為h．則圓臺的體積公式為

（三）球的表面積與體積公式設(shè)球的半徑為R．則球的表面積計(jì)算公式為-.即球面面積等于它的大圓面積的____．球的體積公 式為

三、平面的基本性質(zhì)與推論

（一）平面的定義平面是一個不加定義，只需理解的最基本的原始概 念．在生活中平靜的水面、鏡面、書桌面都給我們平面的印 象，立體幾何中的平面就是由此抽象出來的．平面是處處平直的面，它是向四面八方 一的．無大小、厚薄之 分，它是不可度量的．

（二）平面的基本性質(zhì)及推論 1．平面的基本性質(zhì) 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的 都在這個平面內(nèi)，這 時我們說：直線在平面內(nèi)或平面____直線．

2.平面的基本性質(zhì)2：經(jīng)過____的三點(diǎn)，有且只 有一個平面，即：____的三點(diǎn)確定一個平面．

3.推論1：經(jīng)過一條直線和____一點(diǎn)，有且只 有一個平面． 4.推論2：經(jīng)過兩條 直線有且只有一個平面． 5.推論3：經(jīng)過兩條 直線有且只有一個平面．

6．面面相交：如果兩個平面有一條公共直線，則稱之 為兩平面相交，這條公共直線也叫做兩個平面的交線．平面口與p相交，交線是Z，符號表示為 ．

7．平面的基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們 一條經(jīng)過 一的公共直線．

（三）異面直線

1．_ ___的直線叫做異面直線．

2．異面直線的判定：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)一 的直線是異面直線，用符號表示為：若ABn口-B，B垂z，Zc口，則直線AB與直線z是異面直線．

四、空間中的平行關(guān)系

（一）平面的基本性質(zhì)4與等角定理

1．平面的基本性質(zhì)4：平行子同一直線的兩條直線____．符號表示為：若直線?！?．c∥6，那么——．

2.等角定理：如果一個角的p邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且一，那么這兩個角相等．

（二）空間四邊形順次連接____ 的四點(diǎn)A．B，C．D所梅成的圖形叫做空聞四邊形．其中，四個點(diǎn)A，B，C．D，每個點(diǎn)都Ⅱq它的____ ．所連接的相鄰頂點(diǎn)fa-的線段叫做它的____．連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的____．

（三）直線與平面平行

1.直線a和平面口只有一個公共點(diǎn)A，叫做 直線與平面____．這個公共點(diǎn)A叫做直線與平面的交點(diǎn)．記作____．

2．直線a與平面a沒有公共點(diǎn)，叫做直線與平面平行．記作一 一．

3.判定定理：如果____的一條直線和——的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行． 4．性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，____ 的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．

（四）平面與平面平行

1．兩不重合平面有公共點(diǎn)就叫兩平面相交，記作口n盧2 Z．若兩個平面 一，則稱這兩個平面為平行平面，“平面口平行于平面p"可以記作“口∥∥．

2．平面與平面平行的判定定理；如果一個平面內(nèi)有兩條 一直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．3．推論：如果—個平面內(nèi)有兩條____直線分別平行于另—個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行．

4．性質(zhì)定理：如果兩個____平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．符號語言表示為：口//p，a(l y=a，pffy=b凈_，．。__．_一．

5．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的 一直線平行于另一個平面． 五，空間中的垂直關(guān)系

（一）直線與平面垂直

1．如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為 一，則稱這兩條直線互相垂直．

2．直線與平面垂直的定義：如果一條直線Z和一個平面口相交于點(diǎn)O，并且Z和這個平面內(nèi)過點(diǎn)0的直線都垂直，則該直線垂直于這個平面．這條直線叫做平面的——，這個平面叫做直線的____，交點(diǎn)叫做__-。_．。．-。-．．-．。_一．

3.點(diǎn)到平面的距離：垂線上任意一點(diǎn)到____間的線段，叫做這個點(diǎn)到這個平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到平面的距離．

4．判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 5．推論：如果在兩條__— 直線中，有一條直線垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。‘

6.性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直予同一個平面，那么這兩條直線—__-7.如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的—一直線．

（二）平面與平面垂直

1*如果兩個相交平面的一與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條直線互相____．就稱這p個平面互相垂直．

2.如果-個平面過另一個平面的一，則這兩個平面互相垂直．

3．如果兩個平面互相垂直，那么在—一垂直予它們____

二、的直線垂直于另一個平面． 4.如果p個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的 一點(diǎn)垂直于第二AI平面的直線在——平面內(nèi)．

參考答案

一、（一）1．相同的距離 2．每相鄰兩個面 3.垂直正多邊形 4．有一個公共頂點(diǎn)

5．正多邊形底面中心全等底邊上的高 6．平行于底面

7．等腰梯形的高斜高側(cè)援

(=)1．矩形的一條邊 直焦三角形的一條直角邊垂直于底邊的腰圓面曲面

(=)1．所有點(diǎn)經(jīng)過

2．不在同一直線上不共線 3．直線外． ． 4．相交 5．平行 6．a(chǎn) 7．有且只有這個點(diǎn) ’

（三）1．既不平行也不相交 2．不經(jīng)過該點(diǎn)

四、（一）1．互相平行a//c2．方向相同

（二）不共面頂點(diǎn)邊對角線

（三）1．相交ana=A 2.a//a3．不在一個平面內(nèi)平面內(nèi)4．經(jīng)過這條直線

（四）1．沒有公共點(diǎn)2．相交3．相交4．平行a//b 5．任意

五、（一）1-直角2．任何垂線垂面垂足3．垂足4．相交5．平行6．平行7．任意條

（二）1．交線垂直2．一條垂線3．_AI平面內(nèi)交線4．第一個

規(guī)律探究

1．在正棱錐中，要利用四個直角三角形（高、斜高及底 面邊心距組成一個直角三角形，高、側(cè)棱與底面外接圓的 半徑組成一個直角三角形，底面的邊心距、外接圓半徑及 底邊一半組成一個直角三角形，側(cè)棱、斜高與底邊一半組 成一個直角三角形）進(jìn)行有關(guān)計(jì)算． 2.在正棱臺中，要充分利用三個直角梯形（高、斜高及上 下底面的邊心距組成一個直角梯形，側(cè)棱、斜高及上下底邊 的一半組成—個直角梯形，側(cè)梭、高及上下底面外接圓半徑組成—個直角梯形）、兩個直角三角形（上下底面的邊心距，外接圓半徑和邊的一半）進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．

3．解與直觀圖有關(guān)的問題時，應(yīng)熟練掌握斜二測畫法的規(guī)則，關(guān)鍵是確定宣觀圖的頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)．因此，盡量把頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)放在軸上或與軸平行的直線上．

4．學(xué)習(xí)三視圖應(yīng)會選取投射面，正確放置三視圖中三個圖的位置，掌握三視圖之間的聯(lián)系和規(guī)律：正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相同．

5．棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積可以分別求各面面積，再求和．對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式，6．圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積就是其側(cè)面展開圖的面積，要熟記公式．

7．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問題或球與多面體的切、接問題，特別要注意應(yīng)用軸截面． 8．有關(guān)體積的問題，要注意“等積變換”“分割求和” “拼補(bǔ)求差”等解題思路．

9．結(jié)合模型，在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺的表面積公式和體積公式．

10.球的體積公式和表面積公式是用無限分割的極限思想推導(dǎo)出來的．主要是記憶、掌握公式．

11.求柱、錐、臺體的表面積就是求它們的側(cè)面積和底面積之和，對于圓柱、圓錐、圓臺，已知上、下底面半徑和母線長可以用表面積公式直接求出；對于棱柱、棱錐、棱臺沒有一般計(jì)算公式，可以直接根據(jù)條件求各個面的面積．

12.求柱、錐、臺體的體積時，根據(jù)體積公式，需要具備已知底面積和高兩個重要條件，底面積一般可由底 面邊長或半徑求出，但當(dāng)高不知道時，求高比較困難，一般要轉(zhuǎn)化勾平面幾何知識求出高．

13．證明直線共面可通過先證明其中的兩條直線確定一個平面，再證明其余的直線都在這個平面內(nèi)；也可以利用共面向量定理來證明．證明空間幾點(diǎn)共面，可先取不共線的三點(diǎn)確定—個平面，再證明其他的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)’ 14.理解“有且只有一個”的含義，它強(qiáng)調(diào)存在性和唯一性兩個方面，也稱為“確定”平面． 15．求證三點(diǎn)及三點(diǎn)以上的點(diǎn)共線，主要是依據(jù)平面的基本性質(zhì)3，只要證明這些點(diǎn)都是兩個平面的公共點(diǎn)' 那么它們都在這兩個平面的交線上；求證三條直線或三條以上的直線共點(diǎn)的一般方法是：首先證明其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明其余各直線都經(jīng)過這點(diǎn)-16．平面的基本性質(zhì)2及其推論是空間中確定平面的依據(jù)，也是證明兩個平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法．

17．直線和平面平行時，注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系，直線 6

和平面平行的性質(zhì)定理在應(yīng)用時，要特別注意“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面的一切直線”的錯誤結(jié)論．

18.以求角為背景考查兩個平行平面間的性質(zhì)，也可以是已知角利用轉(zhuǎn)化和降維的思想方法求鏘其他幾何參量．19.線面平行和面面平行的判定和性質(zhì) 20．轉(zhuǎn)化思想方法：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)就是線線平行與線面平行的轉(zhuǎn)化．

21.要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題．對 此需強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)；第一，輔助線、輔助面不能隨意作，要有理 論根據(jù)；第二，輔助線或輔助面有什么性質(zhì)，一定要以某一 性質(zhì)定理為依據(jù)，決不能憑主觀臆斷，否則謬誤難免．

22.直線與平面垂直，只需這條直線垂直于這個平面 內(nèi)的兩條相交直線，至于這兩條相交直線是否和已知直線 有公共點(diǎn)，這無關(guān)緊要．

23.三垂線定理及其逆定理是立體幾何中的重要定 理，復(fù)習(xí)運(yùn)用時要注意：

①弄清定理中所指明的三種垂線，②定理中的直線a-定在某直線的射影所在的平面a內(nèi)，因此要熟練地掌握直線n在不同位置時的情況．

24.在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有直線的平面 中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中沒有明確給出，則 可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)，并 有利于證明，不能隨意添加，如有平面垂直時，一般要用性 質(zhì)定理，在一個面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 25．線面垂直的判定和性質(zhì)：①依定義，所成角為90。，②判定定理；③性質(zhì)定理；④其他結(jié)論，如，如果兩條平行 線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．

26.應(yīng)用三垂線定理的難點(diǎn)主要是對非水平放置的圖 形的辨認(rèn)，在解證中可按照“一定平面，二定垂線，三找斜 線，射影可見，直線隨便”的原則去認(rèn)定圖形．其關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即把已知的線線垂直轉(zhuǎn)化為所需的線線垂直’也就是斜線和它在平面內(nèi)的射影的轉(zhuǎn)化，因此，尋找斜線、射影非常重要．

實(shí)際應(yīng)用

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AClBD，垂足為H，PH是四棱錐的高．(I)證明．平面PAC_1_平面PBD：，(Ⅱ)若AB-廂，/APB一/ADB= 60。，求四棱錐 P-ABCD的體積．

參考答案 1．【答案lD【命題立意】本題考查幾何體的直觀圖和三視圖的有關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力．【解題思路】由已知條件和直觀圖（斜二測）可知D正確． 2．【答案】D【命題立意】本題考查空間想象能力及平行與垂直關(guān)系的推理與論證．【解題思路】A錯，平行直線的平行投影仍可平行；B錯'平行于同～直線的兩平面可平行或相交；c錯，垂直于同一平面的兩平面可平行或相交；D正確，空間想象易知垂直于同一平面的兩直線平行，

第二篇：XX屆高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)教案

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立體幾何總復(fù)習(xí)

一、基本符號表示..點(diǎn)A在線m上：Am；

2.點(diǎn)A在面上：A

；

3.直線m在面內(nèi)：m

；

4.直線m與面交于點(diǎn)A：m

=A；

5.面與面相交于直線m：=m；

二、點(diǎn)A到面的距離.（第一步：作面的垂線）

①作法：過點(diǎn)A作Ao

于o，連結(jié)線段Ao,即所求。

②求法：

（一）直接法；

（二）等體法（等積法包括：等體積法和等面積法）；

（三）換點(diǎn)法。

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點(diǎn)。

（II）求點(diǎn)A到平面PBc的距離.（例2）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（III）求點(diǎn)B到平面PcD的距離。

（例3）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點(diǎn)。（I）求點(diǎn)B到平面的距離.三、兩條異面直線m與n所成角.①作法：平移，讓它們相交.（若mn,則可證出mn所在的平面）

②求法：常用到余弦定理.③兩條異面直線所成角的范圍：

；任意兩

條異面直線所成角的范圍：

.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)的斜邊上．（II）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的大小；

四、線m與面所成角.（第一步：作面的垂線）

①作法：在線m上任取一點(diǎn)P（異于A），作Po

于o,連結(jié)Ao，則Ao為斜線PA在面內(nèi)的攝影，m與面所成的角。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③線面角的范圍：

.已知正四棱柱中，AB＝2。（II）求直線與側(cè)面所成的角的正切值.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)的斜邊上．（III）求與平面所成角的最大值． 五、二面角（注：若所求的二面角為直二面角，一般轉(zhuǎn)化為求它的補(bǔ)角—銳角）.（一）定義法：

①作法：在棱c上取一“好”點(diǎn)P，在兩個半平面內(nèi)分別作c的垂線（射線）m、n,則角即二面角—c—的平面角。

②求法：一般根據(jù)余弦定理。

（二）三垂線法：（第一步：作面的垂線）

①作法：在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)A,作Ao

于o，過A作ABc于B，則Bo為斜線AB在面內(nèi)的射影，為二面角—c—的平面角。

三垂線法的步驟：

1、作面的垂線；

2、作棱的垂線，并連結(jié)另一邊（平面角的頂點(diǎn)在棱上）；

3、計(jì)算。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③二面角的取值范圍：

.如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點(diǎn)。

（III）求二面角的正切值。

（例2）已知正四棱柱中，AB＝2。（III）求二面角的正切值。

（例3）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（II）求二面角D—Pc—A的大?。?/p>

（例4）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（III）求二面角B—PA—c的余弦值.（例5）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點(diǎn)。（II）求二面角的大小。

六、三垂線定理.（第一步：作面的垂線）

.定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，AomPAm.2.逆定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，PAm

Aom.已知正四棱柱中，AB＝2。（I）求證：.七、線面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

（例1）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（I）求證：Bc//平面PAD.八、線面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

（例1）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（I）求證：Bc⊥平面PAc；

（例2）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（II）若E、F分別為PB、AD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBc.九、面面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

十、面面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點(diǎn)。

（I）求證：平面PcB⊥平面mAB.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)的斜邊上．（I）求證：平面平面；

十一、有關(guān)對角線..平行四邊形：

對角線平分.2.菱形：

對角線垂直且平分.3.矩形：

對角線相等且平分.4.正方形：

對角線相等且垂直且平分.十二、平移的方法..三角形（或梯形）的中位線：

且等于底邊（上下兩底之和）的一半.2.平行四邊形：對邊

且相等.3.等比例線段：

十三、重要輔助線的添加方法..見到中點(diǎn)，考慮：①中位線；②

；③

.2.見到平行四邊形（菱形、矩形、正方形同理），考慮：①連結(jié)對角線；②對邊平行且相等.十四、求三角形面積的通用方法.十五、三棱錐的任何一個面都可以作為底面，方便使用等體法.十六、立體幾何解題策略（附加：在做立體幾何大題時，后以文經(jīng)常用到前一問的結(jié)論，平時注意）..由已知想性質(zhì)；

2.由結(jié)論想判定；

3.由需要做輔助線或輔助平面.十七、有關(guān)棱柱.棱柱——————————直棱柱—————————正棱柱..兩底面平行；

+1.側(cè)棱垂直于底面

+1.底面是正多邊形

2.側(cè)棱平行

十八、有關(guān)棱錐.棱錐——————————正棱錐..一面一點(diǎn)一連；

+1.底面是正多邊形；

2.頂點(diǎn)在底面的射影正好是底面正多邊形的中心.

第三篇：2013屆高考數(shù)學(xué)第一輪立體幾何初步專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案

§3 三視圖

【課時目標(biāo)】 1．初步認(rèn)識簡單幾何體的三視圖．2．會畫出空間幾何體的三視圖并會由空間幾何體的三視圖畫出空間幾何體．

1．空間幾何體的三視圖是指__________、__________、__________．

2．三視圖的排列規(guī)則是__________放在主視圖的下方，長度與主視圖一樣，__________放在主視圖的右面，高度與主視圖一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．

3．三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從________、__________、________觀察同一個幾何體，畫出空間幾何體的圖形．

一、選擇題

1．下列說法正確的是（）A．任何幾何體的三視圖都與其擺放的位置有關(guān) B．任何幾何體的三視圖都與其擺放的位置無關(guān) C．有的幾何體的三視圖與其擺放的位置無關(guān) D．正方體的三視圖一定是三個全等的正方形

2．如圖所示的一個幾何體，哪一個是該幾何體的俯視圖()

3．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()

A．①②

B．①③

C．①④

D．②④ 4．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()

5．實(shí)物圖如圖所示．無論怎樣擺放物體，如圖所示中不可能為其主視圖的是()

6．一個長方體去掉一角的直觀圖如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是()

二、填空題

7．根據(jù)如圖所示俯視圖，找出對應(yīng)的物體．

(1)對應(yīng)________；(2)對應(yīng)________；(3)對應(yīng)________；(4)對應(yīng)________；(5)對應(yīng)________．

8．若一個三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長分別是________和________．

9．用小正方體搭成一個幾何體，如圖是它的主視圖和左視圖，搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多為________個．

三、解答題

10．在下面圖形中，圖(b)是圖(a)中實(shí)物畫出的主視圖和俯視圖，你認(rèn)為正確嗎？如果不正確，請找出錯誤并改正，然后畫出左視圖(尺寸不作嚴(yán)格要求)．

11．如圖是截去一角的長方體，畫出它的三視圖．

能力提升

12．如圖，螺栓是棱柱和圓柱的組合體，畫出它的三視圖．

13．用小立方體搭成一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個小立方體？最少要幾個小立方體？

在繪制三視圖時，要注意以下三點(diǎn)：

1．若兩相鄰物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓都用實(shí)線畫出，不可見輪廓用虛線畫出．

2．一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長度和主視圖一樣．左視圖放在主視圖的右面，高度和主視圖一樣，寬度和俯視圖一樣，簡記為“長對正，高平齊，寬相等”．

3．在畫物體的三視圖時應(yīng)注意觀察角度，角度不同，往往畫出的三視圖不同．

§3 三視圖

答案

知識梳理

1．主視圖 左視圖 俯視圖 2．俯視圖 左視圖

3．正前方 正上方 左側(cè) 作業(yè)設(shè)計(jì)

1．C [球的三視圖與其擺放位置無關(guān)．] 2．C

3．D [在各自的三視圖中，①正方體的三個視圖都相同；②圓錐有兩個視圖相同；③三棱臺的三個視圖都不同；④正四棱錐有兩個視圖相同．] 4．C

[由三視圖中的正、左視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C．] 5．D [A圖可看做該物體槽向前時的主視圖，B圖可看做槽向下時的主視圖，C圖可看做槽向后時的主視圖．] 6．A

7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B 8．2 4 解析 三棱柱的高同左視圖的高，左視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底邊長為4．

9．7 10．解 圖(a)是由兩個長方體組合而成的，主視圖正確，俯視圖錯誤，俯視圖應(yīng)該畫出不可見輪廓線(用虛線表示)，左視圖輪廓是一個矩形，有一條可視的交線(用實(shí)線表示)，正確畫法如圖所示．

11．解 該圖形的三視圖如圖所示．

12．解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的，主視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面，左視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合)．它的三視圖如圖所示．

13．解 由于主視圖中每列的層數(shù)即是俯視圖中該列的最大數(shù)字，因此，用的立方塊數(shù)最多的情況是每個方框都用該列的最大數(shù)字，即如圖①所示，此種情況共用小立方塊17塊．

而搭建這樣的幾何體用方塊數(shù)最少的情況是每列只要有一個最大的數(shù)字，其他方框內(nèi)的數(shù)字可減少到最少的1，即如圖②所示，這樣的擺法只需小立方塊11塊．

第四篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題二 不等式教案 文

2013年高考數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)

專題二不等式

自查網(wǎng)絡(luò)

核心背記

一，不等關(guān)系與不等式的證明 1-_________叫做不等式．

2．對于任意兩個實(shí)數(shù)a和6，在a=6，a>b，a

(1)性質(zhì)1：________，稱為不等式的對稱性，(2)性質(zhì)2． 一，稱為不等式的傳遞性．(3)性質(zhì)3：________________ ①推論1:____，稱為不等式的移項(xiàng)法則． ②推論2:____（同向不等式可以相加）．

(4)性質(zhì)4；________（不等式兩邊同乘非零數(shù)值）． ①推論1．____ ②推論2:____ ③推論3:____ 二，基本不等式與不等式的證明

（一）實(shí)數(shù)大小比較與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系

四、不等式的應(yīng)用

1．應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題

用基本不等式知識解決實(shí)際問題是不等式應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，常出現(xiàn)在選擇與填空題中，屬中檔題．

(1)理解題意，確定量與量之間的關(guān)系；

(2)建立相應(yīng)的不等式關(guān)系，把實(shí)際問題抽象（或轉(zhuǎn)化）為不等式問題；(3)回歸到實(shí)際問題，得出滿足實(shí)際要求的結(jié)論． 2．不等式與函數(shù)交匯的命題

用不等式知識解決函數(shù)問題是不等式應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，也是高考的—個熱點(diǎn)和難點(diǎn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn)

3．不等式與解析幾何、數(shù)列等知識交匯的命題 不等式與解析幾何、數(shù)列的綜合問題在近年的高考中時有出現(xiàn)，近兩年更是以壓軸題形式出現(xiàn)，因此不等式與數(shù)列的綜合問題是高考的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)． 五、二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

（一）二元一次不等式表示平面區(qū)域 1．-般地，二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=O的某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（半平面）____邊界直線，不等式Ax+By+C≥O所表示的平面區(qū)域（半平面）邊界直線．

2．對于直線Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點(diǎn)o，y），使得Ax+By+C的值符號相同，也就是同一半平面的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合____；而位于另一個半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合____3．可在直線Az-+B y+C—O的某一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)(x。，y。)，從Ax。+By。+C的____來判斷Az-+By+C>O(或Ax+By+C

4．由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的____．

（二）基本概念

1．線性約束條件：由z，y的____（或方程）組成的不等式組，是對z與y的____． 2．目標(biāo)函數(shù)：____，如z-2x十y，z=≯+，等 3．線性目標(biāo)函數(shù)；關(guān)于x,y的____．．

4．可行解：滿足____的解(x，y)叫做可行解． 5．可行域：____組成的集合叫可行域． 6．最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到____的可行解．

7．線性規(guī)劃問題：求____在____的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱線性規(guī)劃問題． 參考答案

(二)1．一次不等式限制

2．求最大值或最小值的函數(shù) 3．一次函數(shù) 4．線性約束條件 5．所有可行解 6．最大值或最小值

7．線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件 規(guī)律探究

1．不等式的性質(zhì)是證明不等式、解不等式、求函數(shù)的定義域等問題的依據(jù)，必須牢固掌握并會進(jìn)行推導(dǎo)．

2．應(yīng)用基本不等式求最值時必須注意“一正、二定、三相等”，一正即必須各項(xiàng)均為正數(shù)；二定就是積定則和有最小值，和定則積有最大值；三相等就是必須驗(yàn)證等號成立的條件，這是最容易出錯的地方．

4．要學(xué)會構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最值的方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤．

5．加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí)，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練． 實(shí)際應(yīng)用

參考答案 1．【答案lC 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃，利用線性規(guī)劃的一般方法求目標(biāo)函數(shù)的最值． 【解題思路】畫出可行域如圖所示，根據(jù)圖形，顯然蘭 P一一z平移到點(diǎn)A(6，o)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，此時大值z-6．所以選擇c 【易錯點(diǎn)】解決本題需要注意三條直線斜率之間的關(guān)系，否則容易出現(xiàn)錯誤．

2．【答案】3 【命題立意】本題考查利用基本不等式求解最值

【舉一反三】在利用基本不等式求解最值時，要注意其三個條件缺一不可，即一正（各項(xiàng)為正值）、二定（和或積為定值）、三相等（即取得等號時變量是否在定義域限制范圍之內(nèi)）． 3.【答案】27 【命題立意】本題考查了不等式之間的關(guān)系及代數(shù)式的最值探究問題，考查了整體思想的應(yīng)用

第五篇：高考數(shù)學(xué)回歸課本教案：立體幾何

高考數(shù)學(xué)回歸課本教案

立體幾何

一、基礎(chǔ)知識

公理1 一條直線。上如果有兩個不同的點(diǎn)在平面。內(nèi)．則這條直線在這個平面內(nèi)，記作：a?a．

公理2 兩個平面如果有一個公共點(diǎn)，則有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線，即若P∈α∩β，則存在唯一的直線m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 過不在同一條直線上的三個點(diǎn)有且只有一個平面。即不共線的三點(diǎn)確定一個平面． 推論l 直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面． 推論2 兩條相交直線確定一個平面． 推論3 兩條平行直線確定一個平面．

公理4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行．

定義1 異面直線及成角：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．過空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過900的角叫做兩條異面直線成角．與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長度叫做兩條異面直線之間的距離．

定義2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外．直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行)統(tǒng)稱直線在平面外．

定義3 直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個平面垂直． 定理1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直．

定理2 兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行．

定理3 若兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也和這個平面垂直．

定理4 平面外一點(diǎn)到平面的垂線段的長度叫做點(diǎn)到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這個距離叫做直線與平面的距離．

定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線．由斜線上每一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這個點(diǎn)在平面上的射影．所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角． 結(jié)論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角．

定理4(三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內(nèi)的射影，c為平面a內(nèi)的一條直線，若c?b，則c?a．逆定理：若c?a，則c?b．

定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線b平行，則它與平面a平行 定理6 若直線。與平面α平行，平面β經(jīng)過直線a且與平面a交于直線6，則a//b． 結(jié)論2 若直線。與平面α和平面β都平行，且平面α與平面β相交于b，則a//b．

定理7(等角定理)如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個角相等．

定義6 平面與平面的位置關(guān)系有兩種：平行或相交．沒有公共點(diǎn)即平行，否則即相交． 定理8 平面a內(nèi)有兩條相交直線a，b都與平面β平行，則α//β.定理9 平面α與平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，則a//b．

定義7(二面角)，經(jīng)過同一條直線m的兩個半平面α,β(包括直線m，稱為二面角的棱)所組成的圖形叫二面角，記作α—m—β，也可記為A—m一B，α—AB—β等．過棱上任意一點(diǎn)P在兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP，BP，則∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范圍是[0，π]． 特別地，若∠APB＝900，則稱為直二面角，此時平面與平面的位置關(guān)系稱為垂直，即α?β.定理10 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．

定理11 如果兩個平面垂直，過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個平面的垂線在第一個平面內(nèi)． 定理12 如果兩個平面垂直，過第一個子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另一個平面垂直． 定義8 有兩個面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊(稱為側(cè)棱)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做長方體．棱長都相等的正四棱柱叫正方體．

定義9 有一個面是多邊形(這個面稱為底面)，其余各面是一個有公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐．底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐． 定理13(凸多面體的歐拉定理)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則 V+F-E=2．

定義10 空間中到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是一個球面．球面所圍成的幾何體叫做球．定長叫做球的半徑，定點(diǎn)叫做球心．

定理14 如果球心到平面的距離d小于半徑R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直．設(shè)截面半徑為r，則d2+r2＝R2．過球心的截面圓周叫做球大圓．經(jīng)過球面兩點(diǎn)的球大圓夾在兩點(diǎn)間劣弧的長度叫兩點(diǎn)間球面距離．

定義11(經(jīng)度和緯度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線．緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度．用經(jīng)過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點(diǎn))叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)． 定理15(祖

原理)夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.定理16(三面角定理)從空間一點(diǎn)出發(fā)的不在同一個平面內(nèi)的三條射線共組成三個角．其中任意兩個角之和大于另一個，三個角之和小于3600．

定理17（面積公式）若一個球的半徑為R，則它的表面積為S球面=4πR2。若一個圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則它的側(cè)面積S側(cè)=πrl.4定理18（體積公式）半徑為R的球的體積為V球=3?R3；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高h(yuǎn)，則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為1sh.V=3

定理19 如圖12-1所示，四面體ABCD中，記∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH?平面ABC于H。

（1）射影定理：SΔABD?cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H為Ф。

sin??sin?sinB?sin?.（2）正弦定理：sinAsinC（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.V?13DH?SΔABC

2（4）四面體的體積公式1abc1?cos??cos22=6???cos??2cos?cos?cos?

aa1dsin?162（其中d是a1, a之間的距離，?是它們的夾角）

?3aSΔABD?SΔACD?sinθ(其中θ為二面角B—AD—C的平面角)。

二、方法與例題 1．公理的應(yīng)用。

例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a//b,c//b，求證：a,b,c,d共面。

[證明] 設(shè)d與a,b,c分別交于A,B,C,因?yàn)閎與d相交，兩者確定一個平面，設(shè)為a.又因?yàn)閍//b，所以兩者也確定一個平面，記為β。因?yàn)锳∈α，所以A∈β，因?yàn)锽∈b，所以B∈β，所以d?β.又過b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一個平面，所以a?α.同理c?α.即a,b,c,d共面。

例2 長方體有一個截面是正六邊形是它為正方體的什么條件？

[解] 充要條件。先證充分性，設(shè)圖12-2中PQRSTK是長方體ABCD-A1B1C1D1的正六邊形截面，延長PQ，SR設(shè)交點(diǎn)為O，因?yàn)橹本€SR?平面CC1D1D，又O∈直線SR，所以O(shè)∈平面CC1D1D，又因?yàn)橹本€PQ?平面A1B1C1D1，又O∈直線PQ，所以O(shè)∈平面A1B1C1D1。所以O(shè)∈直線C1D1，由正六邊形性質(zhì)知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ

CR?SRRO為正三角形，因?yàn)镃D//C1D1，所以

C1R=1。所以R是CC1中點(diǎn)，同理Q是B1C1的中點(diǎn)，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以該長方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證明。2．異面直線的相關(guān)問題。

例3 正方體的12條棱互為異面直線的有多少對？

[解] 每條棱與另外的四條棱成異面直線，重復(fù)計(jì)數(shù)一共有異面直線12×4=48對，而每一

48?對異面直線被計(jì)算兩次，因此一共有224對。

例4 見圖12-3，正方體，ABCD—A1B1C1D1棱長為1，求面對角線A1C1與AB1所成的角。

[解] 連結(jié)AC，B1C，因?yàn)锳1A邊形，所以A1C1//?//?B1B

//?C1C，所以A1A

//?C1C，所以A1ACC1為平行四AC。

所以AC與AB1所成的角即為A1C1與AB1所成的角，由正方體的性質(zhì)AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1與AB1所成角為600。

3．平行與垂直的論證。

例5 A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且四邊形ABCD四個角都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形。

[證明] 若ABCD是平行四邊形，則它是矩形；若ABCD不共面，設(shè)過A，B，C的平面為α，過D作DD1?α于D1，見圖12-4，連結(jié)AD1，CD1，因?yàn)锳B?AD1，又因?yàn)镈D1?平面α，又AB?α，所以DD1?AB，所以AB?平面ADD1，所以AB?AD1。同理BC?CD1，所以ABCD1為矩形，所以∠AD1C=900，但AD1

例6 一個四面體有兩個底面上的高線相交。證明：它的另兩條高線也相交。

[證明] 見圖12-5，設(shè)四面體ABCD的高線AE與BF相交于O，因?yàn)锳E?平面BCD，所以AE?CD，BF?平面ACD，所以BF?CD，所以CD?平面ABO，所以CD?AB。設(shè)四面體另兩條高分別為CM，DN，連結(jié)CN，因?yàn)镈N?平面ABC，所以DN?AB，又AB?CD，所以AB?平面CDN，所以AB?CN。設(shè)CN交AB于P，連結(jié)PD，作CM'?PD于M'，因?yàn)锳B?平面CDN，所以AB?CM'，所以CM'?平面ABD，即CM'為四面體的高，所以CM'與CM重合，所以CM，DN為ΔPCD的兩條高，所以兩者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中點(diǎn)，沿BE將ΔABE折起，并使AC=AD，見圖12-6。求證：平面ABE?平面BCDE。

[證明] 取BE中點(diǎn)O，CD中點(diǎn)M，連結(jié)AO，OM，OD，OC，則OM//BC，又CD?BC，所以O(shè)M?CD。又因?yàn)锳C=AD，所以AM?CD，所以CD?平面AOM，所以AO?CD。又因?yàn)锳B=AE，所以AO?BE。因?yàn)镋D≠BC，所以BE與CD不平行，所以BE與CD是兩條相交直線。所以AO?平面BC-DE。又直線AO?平面ABE。所以平面ABE?平面BCDE。

4．直線與平面成角問題。

例8 見圖12-7，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。

//?22221[解]設(shè)邊長AB=2，因?yàn)镋F

AD，又AD?AB。所以EF?AB，所以BG=2BF?125，又AE?EF，BE?EF，所以∠AEB=1200。過A作AM?BE于M，則∠AEM=600，112，AM=AEsin600=2ME=2AE?232.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BM?BGcos∠?5?351953?3????2??????????2?234425?2???MBG= =2，所以MG=

2.因?yàn)镋F?AE，EF?BE，所以EF?平面AEB，所以EF?AM，又AM?BE，所以AM?平面BCE。所以

32?64。所以AG與平面EBCF∠AGM為AG與平面EBCF所成的角。而tan∠AGM=2arctan64.所成的角為例9 見圖12-8，OA是平面α的一條斜角，AB?α于B，C在α內(nèi)，且AC?OC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。證明：cosα=cosβ?cosγ.[證明] 因?yàn)锳B?α，AC?OC，所以由三垂線定理，BC?OC，所以O(shè)Acosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以O(shè)Acosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ?cosγ.5．二面角問題。

例10 見圖12-9，設(shè)S為平面ABC外一點(diǎn)，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C為直角二面角，求∠ASC的余弦值。

[解] 作CM?SB于M，MN?AS于N，連結(jié)CN，因?yàn)槎娼茿—SB—C為直二面角，所以平面ASB?平面BSC。又CM?SB，所以CM?平面ASB，又MN?AS，所以由三垂線定理的逆定理有CN?AS，所以SC?cos∠CSN=SN=SC?cos∠CSM?cos∠ASB，所以cos

2∠ASC=cos450cos600=4。

例11 見圖12-10，已知直角ΔABC的兩條直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊AB上一點(diǎn)，沿CP將此三角形折成直二面角A—CP—B，當(dāng)AB=

7時，求二面角P—AC—B的大小。

[解] 過P作PD?AC于D，作PE?CP交BC于E，連結(jié)DE，因?yàn)锳—CP—B為直二面角，即平面ACP?平面CPB，所以PE?平面ACP，又PD?CA，所以由三垂線定理知DE?AC，所以∠PDE為二面角P—AC—B的平面角。設(shè)∠BCP=θ，則cos∠ECD=cosθ

2?3?2272?cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB=

?2?2?3?112，所以sinθcosθ=2，2所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ=4，設(shè)CP=a，則PD=2a,PE=a.所以tan∠PE?2.PDE=PD

2。所以二面角P—AC—B的大小為arctan6．距離問題。

例12 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，求對角線AC與BC1的距離。

[解] 以B為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖12-11所示。設(shè)P，Q分別是BC1，CA上的點(diǎn)，BP?13BC1,CQ?13CA且，各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)分別為A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，13CA?13BC1?BC?13BA?13BC?13BC?13BB1?13BC?13BA?13BB1PQ?BQ?BP?BC?1111113?(a,a,?a)PQ?BC1??PQ?CA?|PQ|?a3333a×a+3a×a=0, 3a3,所以，所以1×a-3a×a=0.所以PQ?BC1,PQ?CA。所以PQ為AC與BC1的公垂線段，所以兩者3a.距離為3

例13 如圖12-12所示，在三棱維S—ABC中，底面是邊長為42的正三角形，棱SC的長為2，且垂直于底面，E，D分別是BC，AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離。

[分析] 取BD中點(diǎn)F，則EF//CD，從而CD//平面SEF，要求CD與SE間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到平面SEF間的距離。

[解] 設(shè)此距離為h，則由體積公式

13?SC?S?CEF?VS?CEF?13h?S?SEF.h?233.計(jì)算可得SΔSEF=3，S?CEF?3.所以

7．凸多面體的歐拉公式。

例14 一個凸多面體有32個面，每個面或是三角形或是五邊形，對于V個頂點(diǎn)每個頂點(diǎn)均有T個三角形面和P個五邊形面相交，求100P+10T+V。

[解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因?yàn)門+P個面相交于每個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)出發(fā)有T+P條棱，所以2E=V(T+P).由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60.由于每個三

VTVP角形面有三條棱，故三角形面有3個，類似地，五邊形有5個，又因?yàn)槊總€面或者是三

P??TV???5?=32，角形或者是五邊形，所以?3由此可得3T+5P=16，它的唯一正整數(shù)解為T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。

8．與球有關(guān)的問題。

例15 圓柱直徑為4R，高為22R，問圓柱內(nèi)最多能裝半徑為R的球多少個？

[解] 最底層恰好能放兩個球，設(shè)為球O1和球O2，兩者相切，同時與圓柱相切，在球O1與球O2上放球O3與球O4，使O1O2與O3O4相垂直，且這4個球任兩個相外切，同樣在球O3與球O4上放球O5與球O6，……直到不能再放為止。先計(jì)算過O3O4與過O1O2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為

(3R)?R22?2R。設(shè)共裝K層，則(22-2)R<2R(K-1)+2R≤22R，解得K=15，因此最多裝30個。9．四面體中的問題。

例16 已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱錐S—ABC的體積。[解] 由題設(shè)，AH?平面SBC，作BH?SC于E，由三垂線定理可知SC?AE，SC?AB，故SC?平面ABE。設(shè)S在平面ABC內(nèi)射影為O，則SO?平面ABC，由三垂線定理的逆定理知，CO?AB于F。同理，BO?AC，所以O(shè)為ΔABC垂心。又因?yàn)棣BC是等邊三角形，故O為ΔABC的中心，從而SA=SB=SC=23，因?yàn)镃F?AB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂線定理知，EF?AB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，1223??33故∠EFC=300，所以O(shè)C=SCcos600=

1?3,SO=3tan600=3，又OC=3AB，所

93以AB=3OC=3。所以VS—ABC=34×32×3=4。

例17 設(shè)d是任意四面體的相對棱間距離的最小值，h是四面體的最小高的長，求證：2d>h.[證明] 不妨設(shè)A到面BCD的高線長AH=h，AC與BD間的距離為d，作AF?BD于點(diǎn)F，CN?BD于點(diǎn)N，則CN//HF，在面BCD內(nèi)作矩形CNFE，連AE，因?yàn)锽D//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距離為BD與AC間的距離d。在ΔAEF中，AH為邊EF上的高，AE邊上的高FG=d，作EM?AF于M，則由EC//平面ABD知，EM為點(diǎn)C到面ABD的距離（因EM?面ABD），于是EM≥AH=h。在RtΔEMF與RtΔAHF中，由EM

h?AHFG?AEEF?AF?EFEF≥AH得EF≥AF。又因?yàn)棣EH∽ΔFEG，所以d≤2。所以2d>h.注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法，請讀者在解題中認(rèn)真總結(jié)。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．正三角形ABC的邊長為4，到A，B，C的距離都是1的平面有__________個.2．空間中有四個點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，命題甲：E，F(xiàn)，G，H不共面；命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的__________條件。

3．動點(diǎn)P從棱長為a的正方體的一個頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱運(yùn)動，每條棱至多經(jīng)過一次，則點(diǎn)P運(yùn)動的最大距離為__________。

4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面ADD1A1、面ABCD的中心，G為棱CC1中點(diǎn)，直線C1E，GF與AB所成的角分別是α，β。則α+β=__________。

5．若a,b為兩條異面直線，過空間一點(diǎn)O與a,b都平行的平面有__________個。

6．CD是直角ΔABC斜邊AB上的高，BD=2AD，將ΔACD繞CD旋轉(zhuǎn)使二面角A—CD—B為600，則異面直線AC與BD所成的角為__________。

17．已知PA?平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)且AC=2AB，則二面角A—PC—B的大小為__________。

8．平面α上有一個ΔABC，∠ABC=1050，AC=2(6?使得SA=SB=SC=

2)，平面α兩側(cè)各有一點(diǎn)S，T，41，TA=TB=TC=5，則ST=_____________.9．在三棱錐S—ABC中，SA?底面ABC，二面角A—SB—C為直二面角，若∠BSC=450，SB=a，則經(jīng)過A，B，C，S的球的半徑為_____________.10．空間某點(diǎn)到棱長為1的正四面體頂點(diǎn)距離之和的最小值為_____________.11．異面直線a,b滿足a//α,b//β,b//α,a//β，求證：α//β。

12．四面體SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，S0，S1，S2，S3分別表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面積，求證：

S0?S1?S2?S3.2222

13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC?側(cè)面AA1C1C，（1）求證：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1B1的中點(diǎn)，N為B1C與BC1的交點(diǎn)，平面AMN交B1PB1C1于P，則PC1=_____________.1332.空間四邊形ABCD中，AD=1，BC=3，且AD?BC，BD=2BD所成的角為_____________.，AC=2，則AC與3．平面α?平面β，α?β=直線AB，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD?AB，則直線AB與平面ACD所成的角為_____________.4．單位正方體ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小為_____________.5．如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在二面角α—MN—β的棱MN上，點(diǎn)B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影為為菜，則二面角α—MN—β=_____________.6．已知異面直線a,b成角為θ，點(diǎn)M，A在a上，點(diǎn)N，B在b上，MN為公垂線，且MN=d，MA=m，NB=n。則AB的長度為_____________.7．已知正三棱錐S—ABC側(cè)棱長為4，∠ASB=450，過點(diǎn)A作截面與側(cè)棱SB，SC分別交于M，N，則截面ΔAMN周長的最小值為_____________.8．l1與l2為兩條異面直線，l1上兩點(diǎn)A，B到l2的距離分別為a,b，二面角A—l2—B大小為θ，則l1與l2之間的距離為_____________.9．在半徑為R的球O上一點(diǎn)P引三條兩兩垂直的弦PA，PB，PC，則PA2+PB2+PC2=_____________.10．過ΔABC的頂點(diǎn)向平面α引垂線AA1，BB1，CC1，點(diǎn)A1，B1，C1∈α，則∠BAC與∠B1A1C1的大小關(guān)系是_____________.11．三棱錐A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B為直角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角；（2）若M為BC中點(diǎn)，E為BD中點(diǎn)，求AM與CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12．四棱錐P—ABCD底面是邊長為4的正方形，PD?底面ABCD，PD=6，M，N分別是PB，AB的中點(diǎn)，（1）求二面角M—DN—C的大??；（2）求異面直線CD與MN的距離。13．三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，M為ΔABC的重心，D為AB中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP，證明：（1）DP與SM相交；（2）設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D'，則D'為三棱錐S—ABC外接球球心。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．現(xiàn)有邊長分別為3，4，5的三角形兩個，邊長分別為4，5，41的三角形四個，邊長分52別為6，4，5的三角形六個，用上述三角形為面，可以拼成_________個四面體。

2．一個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這兩個多面體

m的內(nèi)切球的半徑之比是一個既約分?jǐn)?shù)n，那么mn=_________。

??0???????3．已知三個平面α，β，γ每兩個平面之間的夾角都是

????2?，且???=a,????b,????c，命題甲：的_________條件。

3；命題乙：a,b,c相交于一點(diǎn)。則甲是乙4．棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA?AB，如果ΔAMD的面積為1，則能放入這個棱錐的最大球的半徑為_________.5．將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長為2，則最遠(yuǎn)兩個頂點(diǎn)間距離為_________。

6．空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有_________條。7．一個球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長為a，這個球的體積為_________。8．由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的V1?體積為V2，則V2_________。

9．頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓圍上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB?OB，垂足為B，OH?PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐C—HPC體積最大時，OB=_________。

10．OA,OB,OC是三個互相垂直的單位向量，π是過點(diǎn)O的一個平面，A',B',C'分別是A，B，C在π上的射影，對任意的平面π，由OA'?OB'?OC'構(gòu)成的集合為_________。11．設(shè)空間被分為5個不交的非空集合，證明：一定有一個平面，它至少與其中的四個集合有公共點(diǎn)。

12．在四面體ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂線的垂足S是ΔABC的垂心，試證：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并說明等號成立時是一個什么四面體？

13．過正四面體ABCD的高AH作一平面，與四面體的三個側(cè)面交于三條直線，這三條直線與四面體的底面夾角為α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．能否在棱長為1的正方體形狀的盒子里放入三個彼此至多有一個公共點(diǎn)的棱長為1的正四面體？

cos?PAQ?1.2

2222．P，Q是正四面體A—BCD內(nèi)任意兩點(diǎn)，求證：已知銳角，試確定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。3．P，A，B，C，D是空間五個不同的點(diǎn)，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，這里θ為4．空間是否存在有限點(diǎn)集M，使得對M中的任意兩點(diǎn)A，B，可以在M中另取兩點(diǎn)C，D，使直線AB和CD互相平行但不重合。

5．四面體ABCD的四條高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H點(diǎn)（A1，B1，C1，D1分別為垂足）。三條高上的內(nèi)點(diǎn)A2，B2，C2滿足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。證明：H，A2，B2，C2，D1在同一個球面上。

6．設(shè)平面α，β，γ，δ與四面體ABCD的外接球面分別切于點(diǎn)A，B，C，D。證明：如果平面α與β的交線與直線CD共面，則γ與δ的交線與直線AB共面。