第一篇：07-08線性代數(shù)B試卷答案

河北科技大學(xué)2007——2008 學(xué)年第一學(xué)期

《 線性代數(shù)》試卷（B）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

學(xué)院

班級(jí)

一．填空題（每題3分，共18分）

1．1

2．???2?17?? 3??

3．2 4．1

5．1

6．1

二．單項(xiàng)選擇題：（每題3分，共18分）

1．C

2．B 3．D

4．C 5．D 三． 計(jì)算題（每題10分，共30分）1．解一

按第一行展開，12400013026．C

原式?300?20434 …………………………………………5分 0

?4…………………………………………………………………5分

101300240000?2003解二

原式? …………………………………………………3分

12400………………………………………………………4分

?300?2

?4…………………………3分 2．構(gòu)造矩陣A???1?2?3?4??1???0??2?320?2?112??3?…………………………25??分

求得R(A)?2，即R(A)?2…………………………3分 矩陣A中位于1,2行1,2列的二階子式

1032?2?0…………………………3分

B卷試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（共4頁）第1頁 故?1,?2是T的一個(gè)最大無關(guān)組．…………………………………………………2分 注：（用行初等變換求出最大無關(guān)組可相應(yīng)給分）。

?1??5??0?0??07?3?0???2? 1???3．解一

因?yàn)锳?1 ………………………………………………4分

所以?1??5?1X?AB??0?0??07?3?0??10???2??01??1???20??2?1??………………………………………………2分

?2????2?1?4??12? ?5??013027………………………………………………………………4分

解二 ?5?因?yàn)?0?0?10014??12??5??20??1??2?~?0?1???00100012?214??12??5?? …………………………6分

所以?2??1X?AB???2?1?

………………………………………………………4分

四． 證明題（10分）

證一

由于R??1,?2??2, …………………………………………………………4分 而向量組?1,?2,?3可由向量組?1,?2線性表出，故R??1,?2,?3??R??1,?2??2，…………………………………………………4分 所以?1,?2,?3線性相關(guān)． …………………………………………………………2分 證二

由已知條件設(shè)?1?a11?1?a21?2,?2?a12?1?a22?2,?2?a12?1?a22?2,……2分

?2?k??0設(shè)有常數(shù)k1,k2,k3，使得

k1?1?k233．

（1）

代入整理得?a11k1?a12k2?a13k3??1??a21k1?a22k2?a23k3??2?0．………………2分

B卷試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（共4頁）第2頁 ?a11k1?a12k2?a13k3?0作齊次線性方程組 ?

（2）……………………2分

ak?ak?ak?0222233?211由于方程組（2）的未知量的個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，故必有非零解．…………2分 于是存在不全為0的數(shù)k1,k2,k3，使（1）成立．所以?1,?2,?3線性相關(guān)．…2分 五.計(jì)算題（12分）

對(duì)增廣矩陣作初等行變換，得行階梯形矩陣

??1?~A??1???1????1?1?110???1?1?31?~0???1?2?13????02?~?110??1?110???1??~?00?2?2??000??0??010?100?1?201??2?1??2分 2?0???因?yàn)镽(A)?R(A)?2?4，故方程組有無窮多解，且其對(duì)應(yīng)的同解方程組為

1?x?x?x?34?12 , ……………………………2分 ?1?x2?2x4?2??1??x1????x3??0?令?????，得????2?，故?01?x2????x4??0??2??1??2??1????為原方程組的一個(gè)特解.…………2分 ?2??0??0????x1?x3?x4在對(duì)應(yīng)的齊次方程組

?

x?2x24?中，取??x3??1??0??x1??1??1??,，得出??????????,??

……………………………………2分

?x2??0??1??x4??0??1??1??1?????01則?1???,?2??? 為對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，………………………… 2分

?1??0?????0???1?從而原方程組的通解為x?k1?1?k2?2??0,k1,k2為任意實(shí)數(shù)。………………2分

B卷試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（共4頁）第3頁 六． 計(jì)算題（12分）（1）?E?A???11?4?????3?…………………………………………2??4分

所以A的特征值為?1?0,?2?3, …………………………………………………2分

A的屬于?1?0及?2?3的特征向量分別為

TTk1?4,1?,k2?1,1?,k1,k2為非零常數(shù)．

…………………………………………2分

（2）因A無重特征值，故A可對(duì)角化． ………………………………………2分

?4令P???11??0?,???1????，………………………………………………………23?分

則有P?1AP??．…………………………………………………………………2分

B卷試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（共4頁）第4頁

第二篇：中國計(jì)量線性代數(shù)B(B)試卷及答案

一、選擇題：（3×5=15分）

2xxx2111x12?11?x1311、行列式

中含有x4項(xiàng)的系數(shù)是（）

（A）（B）

（C）（D）-1

2、已知A、B、C均為n階可逆矩陣，且ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是（）.(A)ACB=E

(B)

BAC=E

(C)BCA=E

(D)CBA=E

3、三元齊次線性方程組??x1?x2?0? x3 ?0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為（）

（A）（1，1，0）T

（B）（1，2，0）T

（C）（-1，1，0）T

（D）

不存在

? ax1 +x4?0?? x1?2x2-x4?04、齊次線性方程組?有非零解的充分必要條件是a=（）

(a?2)x?x ?4x?0124?? 2x?x?3x?ax?01234?（A）-1/6

（B）-1（C）1/6

（D）1

5、設(shè)A、B均為n階方陣，則必有（）

(A)A?B?A?B(B)(AB)?AB(C)AB ?AB(D)(AB)?1TTT?AB?1?1

二、填空題（3×5=15分）

1、五級(jí)排列51324的逆序數(shù)為__________.?a?

2、已知矩陣A??0??00b00??0, 則A 5=_____________.?c??

3、若矩陣A???31?12?1???3?, 則A的標(biāo)準(zhǔn)形式為_________.4、如果向量組?1?(1,2,?2)T, ?2?(4,t,3)T, ?3?(3,?1,1)T線性無關(guān), 則t______.5、設(shè)矩陣的行列式A?3, 則A?1?__________.三、計(jì)算題（10×6=60分）

xaxaaaaxaaaax1、計(jì)算行列式D?aaa

2、求向量組?1?(2,3,5)T, ?2?(1,?1,2)T, ?3?(?1,2,?3)T,?4?(2,3,?1)T的秩，并求該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組.?

23、求矩陣A???1?1??的特征值與特征向量.2??

4、解矩陣方程

??1?1已知AX=B，求X.其中A??????11000???1??1 , B??2????2????51??0 ?3??

5、用基礎(chǔ)解系表示下列線性方程組的全部解

?x1?2x2?x3?2x4?0?

? 2x1x?1234?1

6、設(shè)二次型 f?2x1x2?2x1x3?4x2x

3求： 1）與f對(duì)應(yīng)的矩陣

2）化f為標(biāo)準(zhǔn)型

四、證明題（5×2=10分）

1、設(shè)n階矩陣A 滿足 A2?2A?4E?0，證明 A?E可逆, 并求其逆矩陣.2、已知向量組?1,?2,?,?s線性無關(guān), 而向量組?1,?2,?,?s,? 線性相關(guān)，證明向量?可由向量組?1,?2,?,?s線性表示。

一、1、B

2、C

3、C

4、D

5、C ?a?

二、1、5

2、?????1??

3、?0?5c??010??

4、t?35、1/3 0?b

5三、1?(x?3a)111axaa3aaxaaaax????71、原式

?(x?3a)(x?a)?????102、??1,?2,?3,?4??1??0???0010?1?21?5???3…………………………………………7 ?5??故秩為3，?1,?2,?3為最大線性無關(guān)組?！?0

3、由 A??E?0得

得?1?1,?2?

3…………………………………………………………4

??1?矩陣A的與?1?1對(duì)應(yīng)的全部特征向量為c1??(c1?0)

………………7

?1?矩陣A的與?2?3對(duì)應(yīng)的全部特征向量為c2??(c2?0)

……………10

?1??1?

4、A?1?01????33???01??

21……………………………………7 ??11???1??0

……………………………………10 ??1??2?3??1X?AB?2???15、對(duì)增廣矩陣B施以初等行變換得 ?1?B?0???0?3?500103501??

1…………………………3 ?0??

?1??3???3???????010?……………………………………10 全部解為u????c1???c2??1??5???5????????0??0??1??0?

6、解：二次型的矩陣A?1101???…………………………………3 ????1?20?? 二次型f對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形為f?2y2?1212y2?4y23

四、1）由已知得?A?E?(A?3E)?E

故A?E可逆，且(A?E)?1?A?3E

2）由已知得存在不全為零的數(shù)k1,k2,?,ks,k

使得

k1?1?k?2?2??ks?s?k??0

顯然k?0（反證）

故

?????k1??k???k2??ks??1???????k??2???k???s 證畢！

………………………………10

………………………………1

……………………………………5

…………………………1

……………………3

……………………5

第三篇：線性代數(shù)4試卷及答案

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題B 試卷滿分100分

考試時(shí)間120分鐘

(出卷人：廖磊)試卷說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1．若行列式|A|=0，則A中（）A．必有一行全為0 C．有兩列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量組線性相關(guān) D．所有元素全為0

a11a315a11?2a125a21?2a225a31?2a32a13a23，則D1的值為（）a33a23=3，D1=a212．設(shè)行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．設(shè)A，B，C，D均為n階矩陣，E為n階單位方陣，下列命題正確的是（）A．若A2?0，則A?0

B．若A2?A，則A?0或A?E C．若AB?AC，且A?0，則B?C

D．若AB?BA，則(A?B)?A?2AB?B

2224．設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有（）A．A=B C．|A|=|B| ?1?A．?0?0?1001201??0? 0??1??2? 0??B．A=-B D．|A|2=|B|2

?1?B．?0?0??1?D．?2?3?1101231??1? 0??1??2?3??5．設(shè)3階方陣A的秩為2，則與A等價(jià)的矩陣為（）

?1?C．?2?0? 6.設(shè)A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．設(shè)2階矩陣A＝，則A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．?a?cb??，則d??

8．設(shè)2階矩陣A＝??A．??C．???d??c?b?? a??b???a??A＝（）

??d?b?d??bc???a???c??a??＊

B．??

??d?c

D．??

9．設(shè)矩陣A＝，則A中()A．所有2階子式都不為零

B．所有2階子式都為零 C．所有3階子式都不為零

D．存在一個(gè)3階子式不為零

10．設(shè)?1,?2是??x1?x2?x3?1?2x1?x2?0，的兩個(gè)解，則（）

1A．?1??2是??2x1B．?1??2是??2x1C．2?1是??2xx?x2?x3?0?1?x2?0，的解，的解 x?x2?x3?0?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0，的解，的解 1D．2?2是??2x11．設(shè)?1,?2,?3,?均為n維向量，又?1,?2,?線性相關(guān)，?2,?3,?線性無關(guān)，則下列正確的是（）

A．?1,?2,?3線性相關(guān) B．?1,?2,?3線性無關(guān) C．?1可由?2,?3,?線性表示 D．?可由?1,?2線性表示

12．設(shè)向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2),?1?(a1,b1,c1,d1),?2?(a2,b2,c2,d2)，則下列命題中正確的是（）

A．若?1,?2線性相關(guān)，則必有?1,?2線性相關(guān)

B．若?1,?2線性無關(guān)，則必有?1,?2線性無關(guān) C．若?1,?2線性相關(guān)，則必有?1,?2線性無關(guān) D．若?1,?2線性無關(guān)，則必有?1,?2線性相關(guān)

13．設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是()A．A的列向量組線性相關(guān)

B．A的列向量組線性無關(guān) C．A的行向量組線性相關(guān)

D．A的行向量組線性無關(guān)

14．設(shè)α1，α2，α3，α4為向量空間V的一個(gè)基，則V的維數(shù)=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤．．的是（）A.A?B

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆陣P，使P-1AP=B

D.?E-A=?E-B

16．正交矩陣的行列式為（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩陣A＝的非零特征值為()A．

4B．

3C．

2D．1

18．當(dāng)矩陣A滿足A2=A時(shí)，則A的特征值為（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)?x?y2.2的正慣性指數(shù)p為（）

B．1 D．3

22220.設(shè)有二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3,則f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.負(fù)定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a3b112322．三階行列式D?222，則A11?A12?A13?__________.451?3?A=?0?1?2??1?4??23.設(shè),B=??1?0012??,則AB=__________.0?1114中元素9的代數(shù)余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k112?0,則k=___________.26．設(shè)A，B均為n階矩陣，(AB)?E，則(BA)=__________.?a11x1?a12x2?a13x3?0?27．若齊次線性方程組?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，則其系數(shù)行列式的值為

?ax?ax?ax?0322333?31122______________.?1?28.設(shè)矩陣A=?2?3?2t42??3?，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數(shù)t=____________.5???1?29．設(shè)矩陣A=?0?0?0201??0?，矩陣B=A-E，則矩陣B的秩r(B)=______________.1??30.已知A有一個(gè)特征值-2,則B=A2+2E必有一個(gè)特征值___________.31.方程組x1?x2?x3?0的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α與β的內(nèi)積為2，則數(shù)k=____________.33.設(shè)向量α=（b,12,12）T為單位向量，則數(shù)b=______________.34．設(shè)AX?0為一個(gè)4元齊次線性方程組，若?1,?2,?3為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則秩（A）=_________.35．已知某個(gè)3元非齊次線性方程組Ax＝b的增廣矩陣A經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則a的取值為

．

36．已知3維向量??(1,3,?1)T,??(?1,2,4)T，則內(nèi)積(?,?)=____________.37.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.38.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.?1??2?1?2?101??0?3??39.矩陣A=所對(duì)應(yīng)的二次型是___________.T40．設(shè)3元實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?XAX經(jīng)正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形為f?3y1，則矩陣

2A的特征值為_________.三、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）

***241.計(jì)算四階行列式的值.42．設(shè)A=?3??0?1?2??1?4??,B=??1?0012??,求矩陣0?AB.?1?43.已知矩陣A=?1?0?0?111??3??0?，B=?1?02???0111??0?，4??（1）求A的逆矩陣A-1；（2）解矩陣方程AX=B.44．設(shè)A=?3??1?1?1002101??1?1??0??2?2??,求A?1.45.設(shè)??1?A=?0?0??1?,B=?0?0?1200??2?3??,且A,B,X滿足(E-B?1A)TBTX?E.求X,X?1.46．求向量組?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一個(gè)極大線性無關(guān)組.47．設(shè)向量組?1?(1,?1,0)，?2?(2,4,1)，?3?(1,5,1)，?4?(0,0,1)，求該向量組的秩，并判斷其線性相關(guān)性。

?x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?348．求線性方程組??2x?2x?6x?323?1?8?17??，2??的通解.49.設(shè)矩陣A=??（1）求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量.（2）判定A是否可以與對(duì)角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對(duì)角矩陣?，使得P-1AP=?.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、證明題（本大題10分）

51.設(shè)?1,?2,?3是齊次方程組A x =0的基礎(chǔ)解系.證明：

?1??1,?2??1??2，?3??1??2??3一定是Ax =0的基礎(chǔ)解系．

52．設(shè)A，B均為正交矩陣，且A??B，試證A?B?0.?

321、AB??0??12??11????04?21001111012?32????00????***02146??0

?2???

322、（A,E）=?1???1?

1??1???30??0………………………..3分 ?1??1??0……….………………….1分 ?0??01001?21???1………………………2分 ??3??1???1………………………..1分 ??1??1?100?2??0100??001?1?2??1111?2??1??1?2???1010

??0100???02?21?1010??0100???00?21??1010??0100??001?1?2??1?2??0?1????2?111011

?1??1??1?2??……2分

所以A?11?2??1?1??2??…………………………………………1分

?1?2?

23、令A(yù)=（?1,?2,?3)=?1?3???1?0???0?0??4?9?9?184?1?5?61???3??4?………………………….2分 ?7???1???5??5?………………………………………………….2分 ?10????1?0???0?0??49001??5?0?………………………………………………………….2分 0???所以向量組?1,?2,?3的秩為2………………………………………….2分 極大線性無關(guān)組為??1,?2?或??1,?3?或??2,?3?……………………….2分

?124、(A,b)??0???2?12?02???0?242?22224263??3………………………………………………..2分 ?3???13????3?0???3???02104103?3??……………………………………2分 2?0??1???0??00102100?3??………………………………………………………….1分 2?0?所以非齊次方程的一般解為

?x1??2x3??3x??x?3?22?……………………………………………

1分

所以齊次方程組的一個(gè)特解為?*?0???3????2??0???…………………………..1分

??2?x??2x?13?對(duì)應(yīng)的齊次方程組為?得基礎(chǔ)解系為?1???1…………….2分 ???x2??x3??1??所以原方程組的通解為???*?k1?1,其中k1為任意常數(shù)………………….1分

25、（1）項(xiàng)式A??E?8??172??=（??1)(??9)

所以特征值?1?1,?2?9…………………………………………………..1分

?7當(dāng)?1?1時(shí)，A?E???17??1???1??01??0?

即x1??x2，所以特征向量為?1???………………………………..1分

?1?對(duì)應(yīng)特征值?1?1全部特征向量為k1?1，k為任意非零常數(shù)………..1分

當(dāng)?2?9時(shí)，A?9E???1??17??1????7??0??1??7?? 0??7?即x1?7x2，所以得到對(duì)應(yīng)的特征向量?2???………………………..1分 ?1?對(duì)應(yīng)特征值?2?9的全部特征向量為k2?2，k2為任意非零常數(shù)……….1分（2）因?yàn)榫仃嘇有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量

?1,?2),所以矩陣A可以對(duì)角化……………………………………………..2分

可逆矩陣P=(?1,?2),即?10??9???1P=??17??1?,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

?10?．．．．．．．．．．．．．．．１分 ?．9?且有P?1AP???0

2６、，所以對(duì)角矩陣為????0證明：首先，?1,?2,?3 的個(gè)數(shù)與所給的基礎(chǔ)解系?1,?2,?3個(gè)數(shù)相同，都為３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A?1?A?1?0,A?2?A(?1??2)?0,A?3?A(?1??2??3)?0

所以，?1,?2,?3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據(jù)提設(shè)條件可以寫出矩陣等式

?1?(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)0???01101??1………………………………………2分 ?1??1110111把它記為B?AP.因?yàn)闃?biāo)出矩陣的行列式P?00=1?0…….1分

P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)?r(A)?3，這說明?1,?2,?3線性無關(guān)………………………

2分

所以，?1,?2,?3必是Ax =0的基礎(chǔ)解系……………………………………….1分

***10?402100021??3分 21、解：D=002=

00012100210002***02?15??15??4分

??3分 =0001=00022、解：(1)?A?1?E??1???00?100100011?1122?10?111?1?1102011?1?211000100??1??0?0???1???00?100010?112?2?1?1?21?11?12?1211?100100??0??1分 ?1???1? ?0???0?1? ?0???00??1??0?0???1???0?1??1??2分 ?1???1??2???1?1?A?2???1????1A?1?1???1??2分 ?1??B?X?A?1(2）AX?B?方程兩邊同時(shí)左乘?2??X?2????1?1?21?1,得 A?1AX?AB??2分

?1??3???11??1????00111??5??0?4??4?????2?2?32?1?2???2??3分 ?3??

23、解： E?B?A?TBX?E?B(E?BT?A)?TX?E??B?A?X?E??3分

T??2???X??0????0???1?2???0??0??0200??0?1??T???????1?2??0???00200??0?1???1?1?2???0??0??0120?0??0???3分 ?1???0120X?1?0??0??1????1?2??0???00200??0??4分 ?1???1210??1210?????

24、解：令A(yù)???1450???0660???3分

?0111??0111??????121?

??011?000?0??1???3分 ?1??所以向量組的秩為3。因?yàn)槲粗獢?shù)的個(gè)數(shù)大于向量組的秩，所以向量組線性相關(guān)?！?分 ?200???

25、解：f的矩陣為A??03a?

……2分

?0a3???2??03??a0a3???(2??)3??aa3??先求A的特征值，A??E?00

?(2??)(??6??9?a)?0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。

……2分

將λ1=1代入（1）式，得

(2?1)(1?6*1?9?a)?0?a??2.??4分

四、證明題

26、證：由已知可知

AAT?E

BBT?E

……2分

AT2222A?B?AA?AB?E?AB?BB?AB TTTTT

?BT?AT?B?BT?ATB?A?BB

……4分 再由A??B，又正交陣的行列式為?1

……1分 不妨設(shè)A?1，則B??1

則 A?B??A?B，故A?B?0

……3分

第四篇：線性代數(shù)試卷及答案1

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）

31（1）三階行列式

111311113111?______________________.1

3?12??121???（2）設(shè)A???,B??11?，則AB?______________________.?101??11???（3）已知??(1,2,3)T,??(1,1,1)T，則???T?_____.?500????1（4）設(shè)A??031?，則A?________.?021???

?12?13??1?????3?,???5?，且線性方程組Ax??無解，則a?_____.（5）設(shè)A??21

4?0a2?1???6?????

二、計(jì)算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．計(jì)算n級(jí)行列式10

1111011?????1110111110。111?????

?202???2．設(shè)三階方陣A和B滿足關(guān)系式AB?2A?B,且A?040,求(A?E)?1。????202??

3．求下面線性方程組的通解

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?2x?3x?0.534?1

2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．設(shè)?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)。

（1）問當(dāng)t為何值時(shí)，向量組?1,?2,?3線性無關(guān)？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，向量組?1,?2,?3線性相關(guān)？

（3）當(dāng)向量組?1,?2,?3線性相關(guān)時(shí)，將?3表示為?1和?2的線性組合。

??x1?x2?x3?1?

2．?為何值時(shí)，線性方程組?x1??x2?x3??

?x?x??x??

23?12

（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個(gè)解。

四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

1．設(shè)b1?3a1?2a2,b2?a2?a3,b3?4a3?5a1，且a1,a2,a3線性無關(guān)，證明：向量組

b1,b2,b3也線性無關(guān)。

2．設(shè)A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A?A

填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）

**

n?

1?111??0.500?

????

22201?1????

?333??0?23?

??；??；2（1）48(2)；（3）（4）（5）?1

二、計(jì)算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1.解：

0111

11011111111

1101110111

?????11011

11101?????

1111011101

n?1n?1n?1?n?1n?11?

1?1111110

…………………………………………………….（6分）

01?11

10?11

?????

11?01

11?10

………….（3分）

??????

?(n?1)

?????

?(n?1)

000

1?1000

??

1000?1

……………………………………………..…….（9分）

?1?00

??????

??1?

?(?1)n?1(n?1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

?(A?E)(B?2E)?2E……….（5分）

?001?

1?(A?E)?1?(B?2E)??010??

2??100??…………………………………（5分）

3．解

對(duì)方程組的系數(shù)矩陣

A作初等行變換, 有

1??1?10?1?2???

???1?1?110?1?001?2???

2??1?11?31???

???00000?1????1?1?23??????2?

由此得基礎(chǔ)解系為

………（5分）

T

??(1,1,0,0)??(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

??(,0，0)T

特解為

（8分）

于是所求方程組的通解為

1212

x?k1?1?k2?2??, 其中1

k,k2,k

3為任意常數(shù)………….（10分）

三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．解：設(shè)有數(shù)組

k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0，k1(1,1,1)?k2(1,2,3)?k3(1,3,t)?(0,0,0)?！?分）

于是有方程組

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,?k?3k?tk?0

23?

1其系數(shù)行列式

……………………………………（3分）

D?23?t?

53t………………………………………………………….（4分）

（1）當(dāng)

t?5

時(shí)，D?0，方程組只有零解：

k1?k2?k3?0

。此時(shí)，向量組

?1,?2,?

3線性無

關(guān)?！?分）

（2）當(dāng)

t?5時(shí)，D?0，方程組有非零解，即存在不全為0的常數(shù)k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0。此時(shí)，向量組

?1,?2,?3線性相關(guān)?！?（5分）

（3）當(dāng)

t?5時(shí)，方程組的系數(shù)矩陣的秩小于3。由左上角2階子式不為零可知，系數(shù)矩陣的秩等于2。因此，取方程組①的前2個(gè)方程

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,令

k3?1，解得k1?1,k2??2，即?1?2?2??3?0，從而?3???1?2?2。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

?11

1?1?0,11???1,?2時(shí)，方程組有唯一解?！?分）（1）即

?1???2??11?1??1

????

??1?1?????0??11????(1??)?

2??11???2??00(1??)(2??)?(1??)(1??)????，（2）

則當(dāng)

???2時(shí)，方程組無解?！?（5分）

??1???1??1?

??????x?k1?1??k2?0???0?

?0??1??0???????。??1（3）當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解，通解為

…………………………………….（5分）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

?30?5?

?

210?b1,b2,b3???a1,a2,a3?????0?14???…………………….（4分）

1．證明：因?yàn)?/p>

且a1,a2,a3線性無關(guān)…………………………………………………………（6分）

?5210?22?0

又0?1

……………………………………………….（8分）

故向量組b1,b2,b3也線性無關(guān)………………………………………………….（10分）

*?1

2．證明：因?yàn)?/p>

A?AA…………………………………………….（4分）

|A*|?|A?1|?n

1?

所以

……………………… ……….（8 分）

?A

n?1

…

…………………………….10分）（

第五篇：線性代數(shù) 復(fù)習(xí)題B包含答案

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

a11a12a22a32a13a333a113a213a123a323a223a133a333a231．設(shè)行列式a21a31a23?4，則3a31 等于

(B)A．102 B．-108 C．36 D．-144

?0?0?2．若三階方陣A等價(jià)于矩陣??02000??0?，則A的秩是1??（C）A．0 C．2

3．設(shè)A為n階方陣，且A=E，則以下結(jié)論一定正確的是（D）A．A=E

C．A可逆，且A=A

4．A是n階方陣，且A的第一行可由其余n-1個(gè)行向量線性表示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（D）．．

13B．1 D．3

B．A不可逆 D．A可逆，且A=A-1A．r(A)≤n-1

B．A有一個(gè)列向量可由其余列向量線性表示

C．|A|=0

D．A的n-1階余子式全為零

5．若α1，α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同解，則Ax=b必有一個(gè)解是（D）A．α1＋α2

B．α1－α2 C．α1－2α

D．2α1－α6．設(shè)齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，當(dāng)A是3階方陣時(shí)，（C）

A．r(A)=0

B．r(A)=1 C．r(A)=2

D．r(A)=3

7．設(shè)3階矩陣A的特征值為1，3，5，則A的行列式|A|等于（D）A．3 C．9

B．4 D．15

0?200??0?相似，則A2=?2??

??2?08．已知方陣A與對(duì)角陣B=???0（C）A．-64E C．4E

B．-E D．64E 9．二次型f(x1, x2)=是（B）

x21?6x1x2?4x?1B．?3??1D．?1?3?

? 4?5?? 4?22的矩陣?1A．?4?2?? 4??1?C．?0 6??4?

?aA??10．已知矩陣

?b?k12aB??矩陣?k2k1bb??c?正定，k1和k2都是正常數(shù)，則

k1k2b??(D)。2k2c?A.不是對(duì)稱矩陣

B.是正定矩陣 C.必是正交矩陣

D.是奇異矩陣

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。a1b111．行列式

a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3=___0_______.a2b1a3b112．排列12453的逆序數(shù)為_____-2________.?5???013．???0?10320???1???1???1?1?5?0??0?= ?01?2?0??1??3???.14．設(shè)?=（1，2，4），?=(-1,-2,y)且?與?線性相關(guān)，212則y=____-4 ______。15．二次型f(x1,x2)?2x1?2x2?2x1x2經(jīng)正交

y1?3y22222變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形是__

三、計(jì)算題

__.ab16．（6分）計(jì)算行列式

ba?baa?bab的值.a?b?a?解：b???a?bba?ba2a?b??1??a?2(a?b)0???b???0baa?ba?b???b??a???2(a?b)[?a?b(a?b)]?2(a?b)[?a2?b2?ab]??2(a3?b3)??0?1．（6分）設(shè)A=???133?10??23??且AB=A+2B，求B。

解：?AB?A?2BA3?123??0?1??（A?2E)B??A?2E??2??1????1且det(A?2E)?2?(A?2E)的逆存在??1?求的(A?2E)??1???1?B?(A?2E)??1?得B??1???1?0?得B??2???2311642-311??3??1??3A??3??1??6??6?0??3?0?1????13123??0?3??

18．（8分）已知a1?(?2求一個(gè)與a1

10)a2?(201)，a2都正交的單位向量a3。解：令a3?(x1 x2 x3)根據(jù)題意（a1,a3)??2x1?x2?0（a2,a3)?2x2?x3?0求??2x1?x2?0??2x1?x3?0得x?k(1 2-2), k?R令k?1得Ca3?(1 2-3)單位化得a3?13(1 2-2）

19．（10）求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并以此寫出其結(jié)構(gòu)式通解.?x1?x2?5x3?x4?0??x1?x2?2x3?3x4?0? ?3x1?x2?8x3?x4?0

??x1?3x2?9x3?7x4?0

解：系系矩陣?1?1?A??3??1?11?13A為5?28?9?1?r4?r1?r3?3r132?r1??r???1??7??1?0??0??0?12245?7?7?141??4?4??8??1?15?1???1021??3?????02?74?????0000?????01?722???0000????0000????0000???x1 x2為約束變量，x4為自由變量得x71??32x3?x4 x2?2x3?2x4令（xTTT3,x4)分別為(2 0）和（0 1）得?1?（?3 7 2 0）T ?T2?（?1-2 0）?x?k1?1?k2?2 , k1、k2?R

20．（10分）已知向量組

a1?(135?1),a2?(2?1?3a3?(51?17),a4?(?3?31

（1）判斷向量組a1,a2,a3,a4是否線性相關(guān)?（2）求此向量組a1,a2,a3,a4的一個(gè)極大無關(guān)組.4),1)解：令向量組?1?3?即A??5???12?1A?（a1 a2 a3 a4)51?172?706514012?3??1r?r?r54?51r1??302?3r1??r?????01???1??00??1??00??????01???0??001002?7?13612000??0?1??0?5?14?2612?3??6?16???2?TTTT?34?1?0r3?r2?r4???????0??0?r(A)?3?4?a1 a2 a3 a4線性相關(guān)，且a1 a2 a4為一個(gè)極大線性無關(guān)組

?2?5?21．（10分）已知A=

???1?

?1ab2??3?的一個(gè)特征向量是??2?=(1，1，-1)T（1）確定a,b以及?的特征值。（2）求r(A)。

??1??1?????解：?A??2?a??1???????1?b????1??????1,且2?b??1 1?b?1?a??3 b?0?2??A?5????1?r(A)?3

?1?302??3??2??

22．(10

22分

2)設(shè)二次型f?x1,x2,x3??2x1?3x2?3x3?2ax1x2?2bx2x3x?Qy經(jīng)正交變換

222化為標(biāo)準(zhǔn)形f?y1?2y2?5y3，求a，b的值.解：f的矩陣A和標(biāo)準(zhǔn)型矩陣?2?A?a???0a3bD為???5??0??1??b D????3???QAQ?Q-T2根據(jù)題意為AQ?D?A相似于D，切?1?1，?2?2，?3?5為A的特征值將??1帶入det(?E?A)?0??1?det?a???0?a?2?b0??22?b??4?2a?b?0??2??將??2帶入det(?E?A)?0?0?det?a???0?a?1?b0??2?b??a?0??1???a?0 b??2易證??5時(shí),det(?E?A)?0