第一篇：線性代數(shù)試卷6

線代參考六

線性代數(shù)參考六

一.填空題(每小題3分,滿分30分)

??????????A?2r,B?1.設(shè)A,B是3階矩陣,且?2??r2?,其中?,?,r2,r3均為3維行向量，?3r??r??3??3? A?15,B?3,則行列式A?B?

2.已知方陣A滿足aA2?bA?cE?0(a,b,c為常數(shù)c?0),則A?1? 113.設(shè)00102?0,則k應(yīng)滿足_______________.1k00k002k4.設(shè)?,?1,?2線性相關(guān), ?,?2,?3線性無關(guān),則?,?1,?2,?3線性_______關(guān).25.設(shè)?1??1,1,1?,?2??a,0,b?,?3??1,3,2?線性相關(guān),則a,b滿足關(guān)系式___________ 6.設(shè)A滿足A?2A?E?0,則A有特征值_____________ 7.設(shè)A為n階方陣,R?A??n?3,且?1,?2,?3是Ax?0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量, 則Ax?0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為______________.8.二次型f?x1,x2,x3??5x1?x2?ax3?4x1x2?2x1x3?2x2x3正定,則a滿足條件 222 _____________.?1?2?4??5?????t9.設(shè)方陣A???24?2?相似于對角矩陣??,則t?__________.??4?21???4?????2?1??0??12?,則R?BA??________ 10.設(shè)A是3?4矩陣,R?A??2,B??1??1?1?1???二.(8分)計(jì)算n階行列式

a?b1Dn?aba?bab1????1aba?b

?1?10??213?????B?01?1,C?021三(8分)設(shè)???? , 求矩陣X,使?jié)M足下面的關(guān)系式: ?00?002?1????? XE?CBC?E

四.(10分)設(shè)向量組 ??1?TT?1??1,3,0,5?,?2??1,2,1,4?，?3??1,1,2,3?,?4??1,?3,6,?1?,?5??1,a,3,b? 確定a,b的值,使向量組?1,?2,?3,?4,?5的秩為2,并求一個(gè)極大線性無關(guān)組.線代參考六

?x1?2x2?2x3?0?五.(8分)設(shè)線性方程組?2x1?x2?kx3?0

?3x?x?x?023?1 的系數(shù)矩陣為A,設(shè)B為3階方陣,已知B?0,且AB?0,求k的值.六.(14分)設(shè)實(shí)二次型

f?x1,x2,x3??x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3 2221.求正交變換X?QY,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.2.確定該二次型的正定性.七.(8分)設(shè)列向量?是一個(gè)n維實(shí)向量,已知?是單位向量.令矩陣T?E?2??

證明:T是一個(gè)對稱的正交矩陣.八.(14分)已知?1,?2,?3和?1,?2,?3是線性空間R3的兩組基,其中

?1??1,1,1?,?2?(0,1,1),?3??0,0,1? TTTT ?1??1,0,1?,?2??0,1,?1?,?3??1,2,0? TTT1.求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的過渡矩陣A.2.設(shè)向量?在基?1,?2,?3下的坐標(biāo)為?1,?2,?1?,求?在基?1,?2,?3下的坐標(biāo).T 2

第二篇：線性代數(shù)試卷

廈門理工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院20 第 學(xué)期期末試卷

線性代數(shù)（考試時(shí)間：120分鐘）

專業(yè) 姓名 層次形式 成績

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對.2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關(guān)，則().?1,?2,???,?n線性相關(guān);(B)

?1,?2,???,?n線性相關(guān)；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設(shè)A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無法判斷． ???A??2?2?3??34.設(shè)三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設(shè)A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數(shù)余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個(gè)特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無關(guān)的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計(jì)算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計(jì)算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經(jīng)正交變換所得的標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出相應(yīng)的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設(shè)?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎(chǔ)解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無關(guān).16.已知A是n階方陣且可對角化，問B?A?A?E可否對角化？證明你的結(jié)論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第三篇：線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試題

請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無分。1．設(shè)行列式A.－3 C.1 2．設(shè)4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設(shè)A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時(shí)，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設(shè)A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時(shí)，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項(xiàng)：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設(shè)A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設(shè)矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設(shè)向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設(shè)向量α=(3，－4)T，則α的長度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無關(guān)，則數(shù)k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對角矩陣D=?0?10?相似，則數(shù)a=______ ?221??00a?????14．設(shè)3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計(jì)算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數(shù)k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設(shè)線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時(shí)，方程組無解？

(2)λ取何值時(shí)，方程組有解？此時(shí)求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設(shè)向量組α1，α2線性無關(guān)，且β=clα1+c2α2，證明：當(dāng)cl+c2≠1時(shí)，向量組β－α1,β－α2線性無關(guān)．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第四篇：線性代數(shù) 試卷

浙江大學(xué)2008-2009學(xué)年秋冬學(xué)期 《線性代數(shù)I》課程期末考試試卷及參考答案

?2x1?1．解線性方程組?x1?x?1?5x2?2x2?4x2?4x3?x3?6x3?x4?x4?2x4?x5?x5?x5??3?5。?10解：略。

2．線性變換T:?2??2的定義是

T(x,y)?(3x?y,x?3y).設(shè)B?{(1,1),(1,?1)},B??{(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B?是?2的兩組基。

（b）給出T關(guān)于基B的矩陣表示A和T關(guān)于基B?的矩陣表示A?。（c）求矩陣Q使A??Q?1AQ。

（a）證明：先證明B線性無關(guān)（略）。因?yàn)锽所含的向量個(gè)數(shù)?2?dim?2，所以B是?2的一組基。B?類似可證。

（b）解：由定義即可（略）。

（c）解：矩陣Q是基B到基B?的過渡矩陣，由定義求之即可。

?00???103．設(shè)矩陣A??0?1?????00?n?2。解：

0?a1??0?0a2?0?0a3?。求行列式A?tI，其中I是n階單位陣，?????0??1an??0t?1A?tI?0?0000t?0000?0??0?000?ta1a2a3??1t?an?10??1t?an0?000?tn?antn?1???a2t?a1tn?1?antn?2???a3t?a2tn?2?antn?3???a4t?a3?t2?ant?an?1t?anRn?1?tRn?100?Rn?2?tRn?10?10???R1?tR2?00?00?

0?00??1?tn?antn?1???a2t?a14．令V為由全部在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)的實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合，即

V?{f:[0,1]??|f連續(xù)}（a）給出V的向量加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。

01（a）解：對?f,g?V,????，定義

f?g:[0,1]??f(x)?g(x)，??f:x?[0,1]?x??(f(x))驗(yàn)證上面定義的加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明：對?f,g,h?V,????，有

(f,g)??f(x)g(x)dx??g(x)f(x)dx?(g,f);0011(?f,g)???f(x)g(x)dx???f(x)g(x)dx??(f,g);0011(f?g,h)??(f(x)?g(x))h(x)dx??f(x)h(x)dx??g(x)h(x)dx?(f,h)?(g,h);000111(f,f)??f2(x)dx?001所以(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。

015．設(shè)映射D:?[x]5??[x]5用D(f)?f?來定義，其中f?是f的導(dǎo)數(shù)。（a）證明D是線性變換。

（b）給出D的核，他的一組基和維數(shù)。（c）給出D的像，他的一組基和維數(shù)。（a）證明：對

?f?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,g?b0?b1x?b2x2?b3x3?b4x4??[x]5,????，有

D(f?g)?D((a0?b0)?(a1?b1)x?(a2?b2)x2?(a3?b3)x3?(a4?b4)x4)?(a1?b1)?2(a2?b2)x?3(a3?b3)x2?4(a4?b4)x3?D(f)?D(g),D(?f)?D(?a0??a1x??a2x??a3x??a4x)??a1?2?a2x?3?a3x2?4?a4x3??D(f)所以D是線性變換。

234

（b）D的核kerD??，f?1是他的一組基，他的維數(shù)dimkerD?1。（c）D的像ImD??[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數(shù)dimImD?4。

?112???6．判斷實(shí)矩陣A???121?是否可對角化。若A可對角化，求矩陣Q使Q?1AQ?013???是對角矩陣D，并給出矩陣Q?1和D。解：略。

27．實(shí)二次型f:?2??的定義是f(x1,x2)?2x12?5x2?4x1x2。

（a）給出對應(yīng)于f的實(shí)對稱矩陣A。

（b）給出A在相合（即合同）意義下的標(biāo)準(zhǔn)形（或規(guī)范形）。

（c）給出f的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，并判斷f是否正定或者負(fù)定。解：略。

8．設(shè)?,?是線性變換T:V?V的兩個(gè)互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量。如果av?bw是T的特征向量，證明a?0或者b?0。證明：因?yàn)閍v?bw是T的特征向量，所以存在T的特征值?使得T(av?bw)??(av?bw)。因?yàn)関和w分別是屬于?和?的特征向量，所以?av??bw?T(av?bw)?aT(v)?bT(w)?a?v?b?w，即a(???)v?b(???)w?0。因?yàn)?,?是線性變換T:V?V的兩個(gè)互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以v,w線性無關(guān)。所以a(???)?0,b(???)?0。

如果a?0，則有???。因?yàn)?,?互異，所以????0，進(jìn)而b?0。所以有a?0或者b?0。

9．證明或舉反例否定下面命題。

V)?dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V?W都不是同構(gòu)。

答：正確。因?yàn)門:V?W是同構(gòu)?dim(V)?dim(W)。

（b）若方陣A,B有相同的特征多項(xiàng)式，則A和B是相似的。

?10?答：錯(cuò)誤。例如A???,B?E2，則他們的特征多項(xiàng)式相同，均為

11??f(?)?(??1)2，但A和B不相似，因?yàn)锳不可對角化。

（c）若可逆方陣A相合于方陣B，則他們的逆矩陣A?1,B?1也是相合的。

答：正確。這是因?yàn)椋喝艨赡娣疥嘇相合于方陣B，則存在可逆矩陣CT?1使得B?CTAC，進(jìn)而B?1?(CTAC)?1?C?1A?1(C)?C?1A?1(C?1)T，即A?1,B?1相合。

（d）實(shí)正交矩陣一定可對角化。

?cos?答：錯(cuò)誤。比如A???sin??sin???的特征多項(xiàng)式為cos??f(?)??2?2?cos??1，所以沒有實(shí)特征根，當(dāng)然也不能對角化。

第五篇：線性代數(shù)模擬試卷6

線性代數(shù)模擬試卷（6）

一.填空題(每小題3分,滿分30分)

?12??2y?1.設(shè)矩陣A??，B?，且AB?BA，則x?________，y?______。????x?1??10?

?a1b1a1b2a1b3??，a?0，b?0，?i?1，2.設(shè)矩陣A??ababab2，3?，則r?A??________。2223?ii?21??a3b1a3b2a3b3??

3.設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A*，且A?a?0，則A*?_______。

4.設(shè)向量?1??1,?2,3?，?2??0,2,?5?，?3???1,0,2?，?4??4,5,8?，則?1,?2,?3,?4線性_______?關(guān)。5.設(shè)A是3階矩陣，A有特征值?1?0，?2??1，?3?1，其對應(yīng)的特征向量分別為?1，?2，?3，設(shè)P???1,?2,?3?，則P?1AP?_________。6.設(shè)A為m?n矩陣，齊次線性方程組Ax?0僅有零解充分必要條件是________。

227.已知：f?x1,x2,x3??x12?4x3??x2?2x1x3是正定二次型，則?的取值范圍

??為_______。8.設(shè)3階方陣A的列分塊矩陣為A???1,?2,?3? ,a,b是數(shù),若?3?a?1?b?2,則A?______。9.設(shè)不含零向量的n元向量組?1,?2,?,?m是正交向量組,則m與n的

大小關(guān)系為_________。10.設(shè)有一個(gè)四元非齊次線性方程組Ax?b，r?A??3，?1,?2,?3為其解向量，且?1??1??????9??9??1???，?2??3???，則此方程組的一般解為_____________。99?????7??8?????

二.(8分)計(jì)算n階行列式

?a1a1?a2a2?a3a3D????an?1an?1111?11

三．(8分)已知矩陣X滿足關(guān)系式：

T

XA?B?3X

k?4?3??230?A??,B???0?14?21????，其中

求X。

四．(10分)設(shè)向量組

?1??0,0,1,k?T,?2??0,k,1,0?T,?3??1,1,0,0?T,?4??k,0,0,1?T問(1)k為何值時(shí)，向量組線性無關(guān)。

（2）為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)，并求其秩及一個(gè)極大無關(guān)組。

??x1?x2?x3????x1??x2?x3?1?x?x??x??23?五．(14分)對參數(shù)討論方程組?1 的解,有解時(shí),求出其無窮多解。

?1?2?2??A??2?3?2???1???22? 六．(16分)設(shè)

求可逆矩陣P使得??P?1AP為對角矩陣，并求Ak。

七.(8分)設(shè)?1,?2,?3為3維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，1???1?2?2?2?3?,?2?1?2?1?2?2??3?,?3?1??2?1??2?2?3?333

.。證明：?1,?2,?3也是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

?1?

八.(6分)已知矩陣A與B相似，其中

?200??200??,B??0y1?A??001???????01x???00?1??

求x和y。

設(shè)?,?21,?3為線性空間V的一個(gè)基,?1??1??2,?2?2?1?3?2?2?3,?3??1?3?2?2?3證明 :?1,?2,?3也是線性空間V的基.并求??2?1??2?3?3在基?1,?2,?3下的坐標(biāo)向量.