第一篇：線性代數(shù)(經(jīng)管類)考試試卷及答案(一)

高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)優(yōu)化試卷

（一）說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩

陣，|A|表示方陣A的行列式．

一、單項選擇題(本大題共10小題。每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)．錯選、多選或未選均無分．

1．設A為3階方陣，且|A|=2，則 | 2A-l |

（）

A．-4

B．-1

C．1

D．4 2．設矩陣A=(1,2),B=，C=,下列矩陣運算中有意義的是

A．ACB

B．ABC

C．BAC

D．CBA 3．設A為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是

（A．A+AT

B．A-AT

C．A AT

D．AT A 4．設2階矩陣A=，則A*=

（）

5．矩陣的逆矩陣是

（）

（）)

6．設矩陣A=，則A中

（）

A．所有2階子式都不為零

B．所有2階子式都為零

C．所有3階子式都不為零

D．存在一個3階子式不為零

7．設A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是

（）

A．A的列向量組線性相關

B．A的列向量組線性無關

C．A的行向量組線性相關

D．A的行向量組線性無關

8．設3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個解為，且系數(shù)

矩陣A的秩r(A)=2，則對于任意常數(shù)k,k1,k2，方程組的通解可表為

（）

9．矩陣

A．4

B．3

C．2

D．l 的非零特征值為

（）

10．4元二次型

A．4

B．3

C．2

D．l 的秩為

（）

二、填空題(本大題共10小題．每小題2分．共20分)請在每小題的空格中填上正確答案．錯填、不填均無分．

11．若i=1，2，3，則行列式=_________________。

12．設矩陣A=，則行列式|ATA|=_______________。

13．若齊次線性方程組

__________________。

有非零解，則其系數(shù)行列式的值為

14．設矩陣A=

15．向量空間

16．設向量,矩陣B=A – E，則矩陣B的秩r（B）=______________。的維數(shù)為_______________。，則向量的內(nèi)積

=_______________。

17．設A是4×3矩陣，若齊次線性方程組Ax=0只有零解，則矩陣A的秩r（A）=____________。18．已知某個3元非齊次線性方程組Ax=b 的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則a的取值為___________。

19．設3元實二次型f(x1 , x2 , x3)的秩為3，正慣性指數(shù)為2，則此二次型的規(guī)范形式_____________。

20．設矩陣A= 為正定矩陣，則a的取值范圍是_______________。

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分．共54分)

21．計算3階行列式。

22．設A= 23．設向量組，求A-1

(1)求向量組的—個極大線性無關組：

(2)將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合．

24．求齊次線性方程組的基礎解系及通解。

25．設矩陣A=，求正交矩陣P，使P-1AP為對角矩陣。

26．利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組：

四、證明題(本題6分)27．證明：若A為3階可逆的上三角矩陣．則A-1也是上三角矩陣．

第二篇：2010年7月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試卷及答案

全國2010年7月高等教育自學考試 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題 課程代碼：04184 說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.＊

一、單項選擇題

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.設3階方陣A=（α1，α2，α3），其中α（為A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，則| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6

B.-6

D.12 解析: αi（i=1,2,3）為A的列向量，3行1列

0 ?2 0 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 32.計算行列式=（A)

A.-180 C.120

B.-120 D.180 解析: =3*-2*10*3=-180

3.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=（C)1A.B.2 2C.4 解析:=2

3D.8 | A |=8*1/2=4

4.設α1，α2，α3，α4都是3維向量，則必有（B)n+1個n維向量線性相關 A.α1，α2，α3，α4線性無關 C.α1可由α2，α3，α4線性表示

B.α1，α2，α3，α4線性相關 D.α1不可由α2，α3，α4線性表示

B.3

n-r(A)=解向量的個數(shù)=2,n=6 D.5 5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎解系中解向量的個數(shù)為2，則r(A)=（C)A.2 C.4 6.設A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則（C)A與B合同? r(A)=r(B)?PTAP=B, P可逆 A.A與B相似 C.A與B等價

B.| A |=| B | D.A與B合同

7.設A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的積=0 A.0 C.3

B.2

A+2E的特征值為2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.24 8.若A、B相似，則下列說法錯誤的是（B)．．A.A與B等價 C.| A |=| B |

B.A與B合同

D.A與B有相同特征值

A、B相似?A、B特征值相同?| A |=| B |? r(A)=r(B)；若A～B，B～C，則A～C（～代表等價）9.若向量α=（1，-2,1）與β=(2，3，t)正交，則t=（D)

A.-2 C.2

B.0 D.4

??T?0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4

10.設3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定

B.A半正定

所有特征值都小于0，負定；

C.A負定

D.A半負定

所有特征值都大于等于0，半正定；同理半負定；其他情況不定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。?3 ?2???11.設A=?0 1?,B=?2 4????2 1 ?1??0 ?1 0?，則AB=（A??的每一行與B的每一列對應相乘相加）

a12a?13?a22a?如a21表示第二2下標依次為行列，3a32a?33??3*2?2*03*1?2*?13*?1??2*0??65?3??a11?????0*1?1*00*?1?1*0?=?0?10?

?a21=?0*2?1*0?2*2?4*02*1?4*?12*?1?4*0??4?2?2??a??31???行第一列的元素。

A為三行兩列的矩陣即3×2的矩陣，B為2×3的矩陣，則AB為3×3的矩陣，對應相乘放在對應位置

12.設A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A

-|= 33| A-1 |=27*

1=9 Ax1?x2?x3?113.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.擴充為0?x2?0?0，再看答案

0?0?x3?014.設α=（-1，2，2），則與α反方向的單位向量是_____跟高中單位向量相同____________.15.設A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.116.設A為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=____同12題__________.217.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_________________.若矩陣A的行列式| A |?0，則A可逆，即A A-1=E，E為單位矩陣。Ax=0只有零解?| A |?0，故A可逆 若A可逆，則r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，則r(ABC)= r(B)? 2 ?1 0???2218.實對稱矩陣A=??1 0 1 ?所對應的二次型f(x1, x2, x3)=2x1?x3?2x1x2?2x2x3

? 0 1 1????x12?實對稱矩陣A 對應于?x1x2?x1x3?x1x22x2x2x3x1x3??x2x3?各項的系數(shù) 2?x3??1???1?????19.設3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，則Ax=b的通解是_______________.?3?? 3??????1???20.設α=?2?，則A=ααT的非零特征值是_______________.?3???

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 221.計算5階行列式D=

22.設矩陣X滿足方程

?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3???????

?0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1? ?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0???????求X.23.求非齊次線性方程組

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4的?x?5x?9x?8x?0234?1.24.求向量組α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個極大無關組.? 2 ?1 2???25.已知A=? 5 a 3?的一個特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所對應的特征值，并寫出對應于這個特征值??1 b ?2???的全部特征向量.??2 1 1 ?2???26.設A=? 1 ?2 1 a?，試確定a使r(A)=2.? 1 1 ?2 2???

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的線性無關解，證明α2-αl，α3-αl是對應齊次線性方程組Ax=0的線性無關解.

第三篇：2015年10月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試卷及答案

2015年10月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試卷

(課程代碼04184)說明：在本卷中。A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，︱A ︱表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。T

*

7．已知矩陣，則A+2A+E=___________．

28．設矩陣9．設向量，若矩陣A滿足AP=B，則A=________．，線性表出的表示式為=____________．，則

由向量組10．設向量組a1=(1，2,1)，a2=(-1，1，0)，a3=(0，2，k)線性無關，則數(shù)k的取值應 滿足__________．

11．設3元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣(A，b)經(jīng)初等行變換可化為

TTT

若該方程組無解，則數(shù)k=_________． 12．設=-2是n階矩陣A的一個特征值，則矩陣A—3E必有一個特征值是________．

13．設2階矩陣A與B相似，其中，則數(shù)a=___________．

14．設向量a1=(1，-l，0)，a2=(4，0，1)，則15．二次型f(x1，x2)=-2x1+x2+4x1x2的規(guī)范形為__________．

三、計算題(本大題共7小題，每小題9分，共63分)請在答題卡上作答。

2TT

=__________．

16.計算行列式的值．

17.已知矩陣，若矩陣x滿足等式AX=B+X，求X．

線性代數(shù)試卷

18.已知矩陣A,B滿足關系式B=E-A，其中2

3，計算

(1)E+A+A與A;2(2)B(E+A+A)．

TTTT19.求向量組a1=(1，-l，2，1)，a2=(1，0,2，2)，a3=(0，2，1，1)，a4=-(1，0，3，1)的秩和一個極大線性無關組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關組線性表出．

20.設3元線性方程組，問數(shù)a，b分別為何值時，方程組有無窮

多解?并求出其通解(要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示)．

線性代數(shù)試卷

21.設矩陣，求A的全部特征值和特征向量．

222.用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x1-x1x2+x2x3為標準形，并寫出所作的可逆線性

變換．

四、證明題(本大題共l小題，共7分)請在答題卡上作答。

23·設向量組a1，a2，a3的秩為2，且a3可由a1，a2線性表出，證明a1，a2是向量組 a1，a2，a3的一個極大線性無關組．

線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試卷

第四篇：自學考試專題：線性代數(shù)（經(jīng)管類）復習材料

04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)

√

關于：

①稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；

②線性無關；

③；

④；

⑤任意一個維向量都可以用線性表示.√

行列式的計算：

①

若都是方陣（不必同階）,則

②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關于副對角線：

√

逆矩陣的求法:

①

②

③

④

⑤

√

方陣的冪的性質(zhì)：

√

設，對階矩陣規(guī)定：為的一個多項式.√

設的列向量為,的列向量為，的列向量為,√

用對角矩陣左乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；

用對角矩陣右乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√

兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘,與分塊對角陣相乘類似,即：

√

矩陣方程的解法：設法化成當時,√

和同解（列向量個數(shù)相同）,則：

①

它們的極大無關組相對應,從而秩相等；

②

它們對應的部分組有一樣的線性相關性；

③

它們有相同的內(nèi)在線性關系.√

判斷是的基礎解系的條件：

①

線性無關；

②

是的解；

③

.①

零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②

單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.③

部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關.④

原向量組無關,接長向量組無關；接長向量組相關,原向量組相關.⑤

兩個向量線性相關對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.⑥

向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.⑦

向量組線性相關向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示.⑧

維列向量組線性相關；

維列向量組線性無關.⑨

.⑩

若線性無關，而線性相關,則可由線性表示,且表示法惟一.?

矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).?

矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關系.向量組等價

和可以相互線性表示.記作：

矩陣等價

經(jīng)過有限次初等變換化為.記作：

?

矩陣與等價作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價

矩陣與等價.?

向量組可由向量組線性表示≤.?

向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關.向量組線性無關,且可由線性表示,則≤.?

向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；

?

任一向量組和它的極大無關組等價.?

向量組的任意兩個極大無關組等價,且這兩個組所含向量的個數(shù)相等.?

若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.?

若是矩陣,則,若，的行向量線性無關；

若，的列向量線性無關,即：

線性無關.線性方程組的矩陣式

向量式

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣可逆的性質(zhì)：

伴隨矩陣的性質(zhì)：

線性方程組解的性質(zhì)：

√

設為矩陣,若,則,從而一定有解.當時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關.是的上限.√

矩陣的秩的性質(zhì)：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥≥

⑦

≤

⑧

⑨

⑩

且在矩陣乘法中有左消去律:

標準正交基

個維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1..是單位向量

.√

內(nèi)積的性質(zhì)：

①

正定性：

②

對稱性：

③

雙線性：

施密特

線性無關,單位化：

正交矩陣

.√

是正交矩陣的充要條件：的個行（列）向量構成的一組標準正交基.√

正交矩陣的性質(zhì)：①；

②；

③

是正交陣,則（或）也是正交陣；

④

兩個正交陣之積仍是正交陣；

⑤

正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣

.的特征多項式

.的特征方程

.√

上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.√

若,則為的特征值,且的基礎解系即為屬于的線性無關的特征向量.√

√

若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：,.√

若的全部特征值，是多項式,則:

①的全部特征值為；

②

當可逆時,的全部特征值為,的全部特征值為.√

√

與相似

（為可逆陣）

記為：

√

相似于對角陣的充要條件：恰有個線性無關的特征向量.這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.√

可對角化的充要條件：

為的重數(shù).√

若階矩陣有個互異的特征值,則與對角陣相似.與正交相似

（為正交矩陣）

√

相似矩陣的性質(zhì)：①

若均可逆

②

③

（為整數(shù)）

④,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關于的特征向量,是關于的特征向量.⑤

從而同時可逆或不可逆

⑥

⑦

√

數(shù)量矩陣只與自己相似.√

對稱矩陣的性質(zhì)：

①

特征值全是實數(shù),特征向量是實向量；

②

與對角矩陣合同；

③

不同特征值的特征向量必定正交；

④

重特征值必定有個線性無關的特征向量；

⑤

必可用正交矩陣相似對角化（一定有個線性無關的特征向量,可能有重的特征值,重數(shù)=）.可以相似對角化

與對角陣相似.記為：

（稱是的相似標準型）

√

若為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數(shù)（重數(shù)重復計算）.√

設為對應于的線性無關的特征向量,則有：

.√

若，則：.√

若,則,.二次型

為對稱矩陣

與合同

.記作：

（）

√

兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負慣性指數(shù).√

兩個矩陣合同的充分條件是：

√

兩個矩陣合同的必要條件是：

√

經(jīng)過化為標準型.√

二次型的標準型不是惟一的,與所作的正交變換有關,但系數(shù)不為零的個數(shù)是由

惟一確定的.√

當標準型中的系數(shù)為1，-1或0時,則為規(guī)范形

.√

實對稱矩陣的正（負）慣性指數(shù)等于它的正（負）特征值的個數(shù).√

任一實對稱矩陣與惟一對角陣合同.√

用正交變換法化二次型為標準形:

①

求出的特征值、特征向量；

②

對個特征向量單位化、正交化；

③

構造（正交矩陣）,；

④

作變換,新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.正定二次型

不全為零，.正定矩陣

正定二次型對應的矩陣.√

合同變換不改變二次型的正定性.√

成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：

①

正慣性指數(shù)為；

②的特征值全大于；

③的所有順序主子式全大于；

④

合同于，即存在可逆矩陣使；

⑤

存在可逆矩陣，使

（從而）；

⑥

存在正交矩陣，使

（大于）.√

成為正定矩陣的必要條件：；.

第五篇：2011年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題及答案

2011年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

a11a31a12a32a13a332a112a12a222a13a233a331.設行列式a21a22a23=4，則行列式a21=（）

3a313a32A.12

B.24

C.36 D.48 2.設矩陣A，B，C，X為同階方陣，且A，B可逆，AXB=C，則矩陣X=（）A.A-1CB-1

B.CA-1B-1

C.B-1A-1C D.CB-1A-1 3.已知A2+A-E=0，則矩陣A-1=（）A.A-E

B.-A-E

C.A+E

D.-A+E

4.設?1,?2,?3,?4,?5是四維向量，則（）A.?1,?2,?3,?4,?5一定線性無關

B.?1,?2,?3,?4,?5一定線性相關

C.?5一定可以由?1,?2,?3,?4線性表示 D.?1一定可以由?2,?3,?4,?5線性表出 5.設A是n階方陣，若對任意的n維向量x均滿足Ax=0,則（）A.A=0

B.A=E

C.r(A)=n（）A.Ax=0只有零解

B.Ax=0的基礎解系含r(A)個解向量

C.Ax=0的基礎解系含n-r(A)個解向量 D.Ax=0沒有解

7.設?1,?2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，則（）A.?1??2是Ax=b的解 C.3?1?2?2是Ax=b的解

B.?1??2是Ax=b的解 D.2?1?3?2是Ax=b的解 D.0

?390??的三個特征值，則A=?045?1?2?3=（????002??）

A.20

B.24

C.28 D.30 9.設P為正交矩陣，向量?,?的內(nèi)積為（?,?）=2，則（P?,P?）=（）A.B.1

C.1232D.2

2210.二次型f(x1,x2,x3)=x12?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩為（）

A.1

B.2

C.3 D.4

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11.行列式12.設A=?13.設1?k2?2k?1=0，則k=_________________________.Ak=_________________________.A的逆矩陣

A-1=??，則矩陣34???12??10??，k為正整數(shù)，則11??2階可逆矩陣A=_________________________.14.設向量?=（6，-2，0，4），?=（-3，1，5，7），向量?滿足2????3?，則?=_____.15.設A是m×n矩陣，Ax=0,只有零解，則r(A)=_________________________.16.設?1,?2是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，則A（3?1?7?2）=________.17.實數(shù)向量空間V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的維數(shù)是______________________.18.設方陣A有一個特征值為0，則|A3|=________________________.19.設向量?1?（-1，1，-3），?2?（2，-1，?）正交，則?=__________________.2220.設f(x1,x2,x3)=x12?4x2?2x3?2tx1x2?2x1x3是正定二次型，則t滿足_________.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

a?b?c2ab?a?c2c2a2bc?a?b21.計算行列式2b2c

22.設矩陣?1??12??，對參數(shù)討論矩陣A=?2?1?5?????110?61??A的秩.?131???14???? 23.求解矩陣方程?251?X=?25??????001??1?3???1??2??3???1??2??5??1??2?24.求向量組：?1???，?2???，?3???，?4???的一個極大線性無關組，??1???6??1???7???????????2???5??1???3?并將其余向量通過該極大線性無關組表示出來.?2x1?3x2?x3?5x4?025.求齊次線性方程組???3x1?x2?2x3?4x4?0的一個基礎解系及其通解.??x?2x?3x?x?0234?132??2?26.求矩陣?182??的特征值和特征向量.???2?14?3??

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.設向量?1，?2，….,?k線性無關，1

三、計算題