第一篇：線性代數(shù)2011年試卷

線性代數(shù)2011年試卷

一、填空題

1、n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是_____________________________________。

2、設(shè)A是3階可逆矩陣，若A的特征值是1,2,3，則|A|=______________________.3、含有n個(gè)未知量的線性方程組德 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是r，則r ______________

時(shí)，方程組有唯一解；則r_____________________ 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；

3?521110?

54、設(shè)D?，其aij元素的代數(shù)余子式記做Aij，則?13132?4?1?3-2A11+6A12+2A13+6A14=__________________________

5、二次型

二、選擇題

1設(shè)A,B為n階方陣，滿足等式AB=0，則必有（）

A、A=0，或B=0;

B、A+B=0;

C、|A|=0或|B|=0;

D、|A|+|B|=0

2、設(shè)A,B為n階方陣，A與B等價(jià)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A、若|A|>0,則|B|>0;B、若|A|≠0,則B也可逆;C、若A與E等價(jià)，則B與E也等價(jià)；D、存在可逆矩陣P,Q，使得PAQ=B.?1?1203???

3、齊次線性方程組系數(shù)矩陣的行階梯型矩陣是?0013?2?，則自由未知量不能

?00006???取為（）

A、x4,x5;

B、x2,x3;

C、x2,x4;

D、x1,x3.4若R(?1,?2,?,?s)=r，則（）

A、向量 組中任意r-1個(gè)向量均線性無(wú)關(guān)；B、向量組中任意r個(gè)向量均線性無(wú)關(guān)； C、向量組中向量個(gè)數(shù)必大于r；D、向量組中任意r+1個(gè)向量均線性相關(guān)。

5、設(shè)A為3階方陣，1，-1，2是它的三個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為

?012???TTT ?1?(1,1,0),?2?(2,0,2),?3?(0,3,3),令P??310?，則P-1AP等于（）

?302????1???1???1?;

B、??;

2A、??????2?1??????1??2??2?;

D、?1?;C、???????1??1?????

三、計(jì)算題

a10?1b11、計(jì)算行列式0?1c00?100 1d02??31??

2、求矩陣?1?12?1?的秩

?13?44????10?1???

3、求A=?052?的逆

?00?1????1??1??1??3??????????1???1??1??1?

4、求向量組?1???，?2????3????4???的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用此極大2135?????????3??1??5??7?????????無(wú)關(guān)組線性表示其余向量。

5、求非齊次線性方程組??2x1?x2?2x3?3的通解

?3x1?2x2?4x3?1?123???

6、求?213?的特征值和特征向量

?336???

四、設(shè) A為n階矩陣，?1和?2是A 的2個(gè)不同的特征值，?1,?2是分別屬于?1和?2的特征向量，證明：?1??2不是A的特征向量。

第二篇：線性代數(shù)試卷

廈門理工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院20 第 學(xué)期期末試卷

線性代數(shù)（考試時(shí)間：120分鐘）

專業(yè) 姓名 層次形式 成績(jī)

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對(duì).2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關(guān)，則().?1,?2,???,?n線性相關(guān);(B)

?1,?2,???,?n線性相關(guān)；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設(shè)A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無(wú)法判斷． ???A??2?2?3??34.設(shè)三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設(shè)A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數(shù)余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個(gè)特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無(wú)關(guān)的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計(jì)算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計(jì)算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經(jīng)正交變換所得的標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出相應(yīng)的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設(shè)?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎(chǔ)解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無(wú)關(guān).16.已知A是n階方陣且可對(duì)角化，問(wèn)B?A?A?E可否對(duì)角化？證明你的結(jié)論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第三篇：線性代數(shù)試卷

線性代數(shù)試題

請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說(shuō)明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無(wú)分。1．設(shè)行列式A.－3 C.1 2．設(shè)4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設(shè)A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時(shí)，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設(shè)A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時(shí)，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項(xiàng)：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設(shè)A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設(shè)矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設(shè)向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設(shè)向量α=(3，－4)T，則α的長(zhǎng)度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無(wú)關(guān)，則數(shù)k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對(duì)角矩陣D=?0?10?相似，則數(shù)a=______ ?221??00a?????14．設(shè)3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計(jì)算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數(shù)k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設(shè)線性方程組?2x?y?z?1，問(wèn)：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時(shí)，方程組無(wú)解？

(2)λ取何值時(shí)，方程組有解？此時(shí)求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設(shè)向量組α1，α2線性無(wú)關(guān)，且β=clα1+c2α2，證明：當(dāng)cl+c2≠1時(shí)，向量組β－α1,β－α2線性無(wú)關(guān)．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第四篇：線性代數(shù) 試卷

浙江大學(xué)2008-2009學(xué)年秋冬學(xué)期 《線性代數(shù)I》課程期末考試試卷及參考答案

?2x1?1．解線性方程組?x1?x?1?5x2?2x2?4x2?4x3?x3?6x3?x4?x4?2x4?x5?x5?x5??3?5。?10解：略。

2．線性變換T:?2??2的定義是

T(x,y)?(3x?y,x?3y).設(shè)B?{(1,1),(1,?1)},B??{(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B?是?2的兩組基。

（b）給出T關(guān)于基B的矩陣表示A和T關(guān)于基B?的矩陣表示A?。（c）求矩陣Q使A??Q?1AQ。

（a）證明：先證明B線性無(wú)關(guān)（略）。因?yàn)锽所含的向量個(gè)數(shù)?2?dim?2，所以B是?2的一組基。B?類似可證。

（b）解：由定義即可（略）。

（c）解：矩陣Q是基B到基B?的過(guò)渡矩陣，由定義求之即可。

?00???103．設(shè)矩陣A??0?1?????00?n?2。解：

0?a1??0?0a2?0?0a3?。求行列式A?tI，其中I是n階單位陣，?????0??1an??0t?1A?tI?0?0000t?0000?0??0?000?ta1a2a3??1t?an?10??1t?an0?000?tn?antn?1???a2t?a1tn?1?antn?2???a3t?a2tn?2?antn?3???a4t?a3?t2?ant?an?1t?anRn?1?tRn?100?Rn?2?tRn?10?10???R1?tR2?00?00?

0?00??1?tn?antn?1???a2t?a14．令V為由全部在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)的實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合，即

V?{f:[0,1]??|f連續(xù)}（a）給出V的向量加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。

01（a）解：對(duì)?f,g?V,????，定義

f?g:[0,1]??f(x)?g(x)，??f:x?[0,1]?x??(f(x))驗(yàn)證上面定義的加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明：對(duì)?f,g,h?V,????，有

(f,g)??f(x)g(x)dx??g(x)f(x)dx?(g,f);0011(?f,g)???f(x)g(x)dx???f(x)g(x)dx??(f,g);0011(f?g,h)??(f(x)?g(x))h(x)dx??f(x)h(x)dx??g(x)h(x)dx?(f,h)?(g,h);000111(f,f)??f2(x)dx?001所以(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。

015．設(shè)映射D:?[x]5??[x]5用D(f)?f?來(lái)定義，其中f?是f的導(dǎo)數(shù)。（a）證明D是線性變換。

（b）給出D的核，他的一組基和維數(shù)。（c）給出D的像，他的一組基和維數(shù)。（a）證明：對(duì)

?f?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,g?b0?b1x?b2x2?b3x3?b4x4??[x]5,????，有

D(f?g)?D((a0?b0)?(a1?b1)x?(a2?b2)x2?(a3?b3)x3?(a4?b4)x4)?(a1?b1)?2(a2?b2)x?3(a3?b3)x2?4(a4?b4)x3?D(f)?D(g),D(?f)?D(?a0??a1x??a2x??a3x??a4x)??a1?2?a2x?3?a3x2?4?a4x3??D(f)所以D是線性變換。

234

（b）D的核kerD??，f?1是他的一組基，他的維數(shù)dimkerD?1。（c）D的像ImD??[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數(shù)dimImD?4。

?112???6．判斷實(shí)矩陣A???121?是否可對(duì)角化。若A可對(duì)角化，求矩陣Q使Q?1AQ?013???是對(duì)角矩陣D，并給出矩陣Q?1和D。解：略。

27．實(shí)二次型f:?2??的定義是f(x1,x2)?2x12?5x2?4x1x2。

（a）給出對(duì)應(yīng)于f的實(shí)對(duì)稱矩陣A。

（b）給出A在相合（即合同）意義下的標(biāo)準(zhǔn)形（或規(guī)范形）。

（c）給出f的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，并判斷f是否正定或者負(fù)定。解：略。

8．設(shè)?,?是線性變換T:V?V的兩個(gè)互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量。如果av?bw是T的特征向量，證明a?0或者b?0。證明：因?yàn)閍v?bw是T的特征向量，所以存在T的特征值?使得T(av?bw)??(av?bw)。因?yàn)関和w分別是屬于?和?的特征向量，所以?av??bw?T(av?bw)?aT(v)?bT(w)?a?v?b?w，即a(???)v?b(???)w?0。因?yàn)?,?是線性變換T:V?V的兩個(gè)互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以v,w線性無(wú)關(guān)。所以a(???)?0,b(???)?0。

如果a?0，則有???。因?yàn)?,?互異，所以????0，進(jìn)而b?0。所以有a?0或者b?0。

9．證明或舉反例否定下面命題。

V)?dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V?W都不是同構(gòu)。

答：正確。因?yàn)門:V?W是同構(gòu)?dim(V)?dim(W)。

（b）若方陣A,B有相同的特征多項(xiàng)式，則A和B是相似的。

?10?答：錯(cuò)誤。例如A???,B?E2，則他們的特征多項(xiàng)式相同，均為

11??f(?)?(??1)2，但A和B不相似，因?yàn)锳不可對(duì)角化。

（c）若可逆方陣A相合于方陣B，則他們的逆矩陣A?1,B?1也是相合的。

答：正確。這是因?yàn)椋喝艨赡娣疥嘇相合于方陣B，則存在可逆矩陣CT?1使得B?CTAC，進(jìn)而B?1?(CTAC)?1?C?1A?1(C)?C?1A?1(C?1)T，即A?1,B?1相合。

（d）實(shí)正交矩陣一定可對(duì)角化。

?cos?答：錯(cuò)誤。比如A???sin??sin???的特征多項(xiàng)式為cos??f(?)??2?2?cos??1，所以沒(méi)有實(shí)特征根，當(dāng)然也不能對(duì)角化。

第五篇：復(fù)旦大學(xué)線性代數(shù)試卷

ｎ+1階行列式計(jì)算：（共20分，每小題10分）（1）

（2）

二、假設(shè)為階矩陣，且可逆，其中為階單位陣，證明：也可逆，并求(14分)

三、設(shè)，（1）求正交陣使得是對(duì)角陣；（2）計(jì)算。（共14分）

四、設(shè)有兩個(gè)方程組：（I）

(II)

(1)求出方程組（I）導(dǎo)出的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，并求出方程組（I）的通解；（2）假設(shè)方程組（I）與方程組（II）同解，求出。（20分）

五、設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是空間上的線性變換，在數(shù)域上有個(gè)不同的特征值，證明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要條件是；（2）若，則是的線性表示，其中表示上的恒等變換。（20分）

六、設(shè)實(shí)二次型，其中是的一次齊次式，證明：的正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)。(12分)