第一篇：《線性代數(shù)》考試大綱

課程名稱：《線性代數(shù)》考試對象：09級(jí)本科

使用教材：《線性代數(shù)教程》，科學(xué)出版社，陸建華主編

一、課程要求：

二、課程考試內(nèi)容及所占比重：

1、掌握行列式的相關(guān)概念、性質(zhì)，熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式，掌握化三角形法和

降價(jià)法這兩種基本的計(jì)算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代數(shù)余子式的性質(zhì)，了解克拉默法則。

2、掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算律，特別是方陣、行列式混合運(yùn)算律，能熟

練運(yùn)用；掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法，利用逆矩陣的性質(zhì)進(jìn)行矩陣運(yùn)算和證明；理解初等矩陣的概念及它們與矩陣初等變換的關(guān)系。能熟練運(yùn)用逆矩陣的球閥解矩陣方程，熟練求出矩陣的秩，掌握求線性方程組的通解的方法。

3、理解n維向量的概念；掌握向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩等概念，并能熟練運(yùn)用相關(guān)

性質(zhì)定理判斷和證明向量的相關(guān)性；熟練求向量組的極大無關(guān)組；掌握齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)；掌握非齊次線性方程組有解的條件及解的結(jié)構(gòu)；能熟練地用初等變換方法求線性方程組的解及基礎(chǔ)解系。

4、理解向量內(nèi)積的定義，掌握線性無關(guān)向量組的正交化方法，理解正交矩陣的定義，掌握

其主要性質(zhì)。

5、理解矩陣的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟練運(yùn)用其性質(zhì)；理解相似矩陣的概念，掌握其基本性質(zhì)，掌握矩陣可對角化的條件，熟練求得正交變換矩陣將是對稱矩陣對角化。

6、理解二次型的定義，掌握二次型的兩種表示方法并能互相轉(zhuǎn)化；理解正定二次型和正定

矩陣的概念，能夠判別二次型的正定性，了解有定性判別法。

各部分所占比重：

1、基本理論：70%

2、綜合運(yùn)用：30%

三、考試方法：閉卷、筆試

四、試題類型：選擇題20%填空題24%計(jì)算題30%解答題20%證明題6%

五、成績評(píng)定方式：成績評(píng)定采取百分制：平時(shí)成績占40%，筆試成績占60%

第二篇：2012線性代數(shù)考試大綱

2012-2013學(xué)年《線性代數(shù)》教學(xué)及考試大綱

第一章行列式（9學(xué)時(shí)）

熟練掌握行列式按行（列）展開法則，并利用這一法則并結(jié)合行列式的六個(gè)性質(zhì)會(huì)計(jì)算一般難度的行列式，熟悉范德蒙行列式，會(huì)用克拉默法則解含n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組。

注：性質(zhì)2證明不講,對換中只介紹概念、定理及推論，證明不講。

第二章矩陣及其運(yùn)算（9學(xué)時(shí)）

掌握矩陣的定義、線性變換與矩陣的關(guān)系及一些特殊的矩陣，熟練掌握矩陣 的運(yùn)算規(guī)律，特別是矩陣的乘法。掌握方陣行列式的定義及運(yùn)算規(guī)律，方陣的伴隨陣的構(gòu)造及其性質(zhì)；熟練掌握方陣的逆陣的概念、逆陣存在的充要條件及求法；了解矩陣分塊法及分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。

第三章 矩陣的初等變換與線性方程組（9學(xué)時(shí)）

熟練掌握矩陣的秩的定義、性質(zhì)及求法，掌握矩陣的初等變換及其與初等方陣的關(guān)系，會(huì)利用初等行變換求行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、逆陣以及矩陣 方程；熟練掌握n元齊次線性方程組和n元非齊性線性方程組有解的充要條件，會(huì)求方程組的通解。

注：定理2證明不講。

第四章向量組的線性相關(guān)性（12學(xué)時(shí)）

掌握n維向量的定義及向量組的線性運(yùn)算；熟練掌握向量組的線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、等價(jià)的概念、性質(zhì)及判定定理；熟練掌握矩陣的秩和向量組的秩兩者之間的關(guān)系；掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的定義；熟練掌握齊次線性方程組的求解；掌握非齊次線性方程組解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu)；熟練掌握求解非齊次線性方程組。了解向量空間的定義、維數(shù)及基的概念和有關(guān)性質(zhì)；注：§5中只介紹向量空間的基本概念，基、r維向量空間、基變換公式、坐標(biāo)變換公式和過渡矩陣不講。

第五章 相似矩陣及二次型（9學(xué)時(shí)）

掌握向量的內(nèi)積、長度、夾角的概念；熟練掌握正交向量組，向量空間的正交規(guī)范基的定義、性質(zhì)及把基化為正交規(guī)范基的施密特正交化過程；熟練掌握方陣的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的定義、性質(zhì)和求法；掌握矩陣相似的定義及n階方陣A與對角陣相似的充要條件；會(huì)用正交陣將n 階實(shí)對稱陣對角化。

注：舉一用正交變化化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的例題

考題題型：填空題、選擇題、計(jì)算題、證明題。

期中考試成績占總成績的20%，期未成績占總成績的70%，平時(shí)成績占10%。

第三篇：線性代數(shù)考試要點(diǎn)

線性代數(shù)考試要點(diǎn)：

1、行列式（要求只要是4階的行列式會(huì)求）

（1）會(huì)利用行列式的定義來計(jì)算行列式（包括逆序數(shù)的求法）；

（2）會(huì)利用行列式的性質(zhì)來計(jì)算行列式；

（3）利用按行、列展開公式來求解行列式，包括按行、列展開公式的應(yīng)用。

（4）會(huì)利用克拉默法則的推論討論齊次線性方程組解的情況。

2、向量

（1）向量的基本運(yùn)算；

（2）會(huì)判別向量組的線性相關(guān)性，掌握向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)；（證明題與選擇題）

（3）會(huì)求出給定的一組向量組的極大線性無關(guān)組及其秩，并會(huì)應(yīng)用相應(yīng)的性質(zhì)；（計(jì)算題）

（4）利用施密特正交化把一組線性無關(guān)的向量組化成標(biāo)準(zhǔn)正交組；

（5）會(huì)判別一個(gè)集合是否會(huì)向量空間。

3、矩陣

（1）會(huì)矩陣的基本運(yùn)算，掌握矩陣運(yùn)算中的性質(zhì)；

（2）會(huì)求給定矩陣（3階）的逆矩陣；

（3）給定一個(gè)等式，會(huì)用逆矩陣的定義來判別一個(gè)矩陣是否可逆，并會(huì)求出其逆矩陣；

（4）掌握逆矩陣的性質(zhì)；

（5）掌握矩陣的初等變換，初等矩陣及其應(yīng)用；

（6）會(huì)利用逆矩陣或矩陣的初等變換方法求解矩陣方程。

4、線性方程組

（1）會(huì)求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次線性方程組（不帶末知參數(shù)的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的應(yīng)用。（選擇題或判斷題）

（3）齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的性質(zhì)（主要是選擇題與判斷題）。

5、相似矩陣及二次型

（1）給定一個(gè)3階矩陣，會(huì)求出它的特征值與特征向量；

（2）給定一個(gè)3階矩陣，會(huì)求出它的相似矩陣P，使得PAP?B(對角陣)；

（3）掌握特征值的性質(zhì)；

（4）掌握相似矩陣的性質(zhì)；

（5）掌握正交矩陣的性質(zhì)；

（6）掌握矩陣可以對角化的幾個(gè)性質(zhì)；

（7）給定一個(gè)二次型，會(huì)寫出它所對應(yīng)的對稱矩陣；或者給定一個(gè)二次型，會(huì)寫出它所對應(yīng)的二次型；（填空題）

（8）會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

以上給的要點(diǎn)是A、B兩份卷子的。此次題型分為判斷題（10分）、選擇題（15分）、填空題（15分）、簡答題（60分），其中簡答題中包括證明題。

此次的試卷出的題目很多來自書上和練習(xí)冊，建議大定讓學(xué)生要多做一下練習(xí)題（包括例題）。?1

第四篇：線性代數(shù)考試要求09年

線性代數(shù)考試要求

第一章行列式

本章考查重點(diǎn)：行列式的定義、行列式的性質(zhì)，解線性方程組的克萊姆法則，掌握行列式的常用計(jì)算方法。

本章試題類型：

（1）n階行列式的定義、性質(zhì)的運(yùn)用；

（2）二階、三階、四階行列式的計(jì)算或證明。

第二章矩陣及運(yùn)算

本章考查重點(diǎn)：矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、冪和方陣的行列式等運(yùn)算及其規(guī)律，逆

矩陣的概念與性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件。

本章試題類型：

（1）利用矩陣的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算；

（2）利用逆矩陣解矩陣方程。

（3）會(huì)證明矩陣可逆。

第三章矩陣的初等變換與線性方程組

本章考查重點(diǎn)：矩陣的初等變換，矩陣的秩，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，用初等變換解線性方程組。

本章試題類型：

（1）利用矩陣的初等行變換求矩陣的秩；

（2）利用矩陣的初等行變換求逆矩陣；

（3）利用矩陣的初等行變換解線性方程組。

（4）線性方程組解的判定。

第四章向量組的線性相關(guān)性

本章考查重點(diǎn)：向量的線性組合和線性表示，向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)及有關(guān)的性質(zhì)，向量組的最大線性無關(guān)組與向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，等價(jià)向量

組，線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，非齊次

線性方程組的通解。

本章試題類型：

（1）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定或證明；

（2）求向量組的最大線性無關(guān)組與向量組的秩；

（3）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；

（4）求非齊次線性方程組的通解（參數(shù)不同取值與解的各種情況）。

第五章相似矩陣

本章考查重點(diǎn)：向量的內(nèi)積和性質(zhì)，線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法，規(guī)范正交基，正

交矩陣及其性質(zhì)，方陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)和求法，相似矩陣的概念及

性質(zhì)，矩陣可對角化的充分必要條件及相似對角矩陣，實(shí)對稱矩陣的特征值、特征

向量及相似對角矩陣。了解二次型的概念并掌握其矩陣表示及正定性的概念與性質(zhì)。

本章試題類型：

（1）會(huì)求向量的內(nèi)積、長度，判別正交向量、正交矩陣；

（2）求方陣的特征值和特征向量；

（3）能將對稱矩陣對角化。

（4）會(huì)判定二次型及實(shí)對稱矩陣的正定性。

第五篇：線性代數(shù)歷年考試試題

東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷（A卷）2006-2007學(xué)年第2學(xué)期課程名稱：線性代數(shù)

一單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）

1.設(shè)?1,?2,?3,?1,?2都是四維列向量，且四階行列式|?1,?2,?3,?1|?m，|?1,?2,?2,?3|?n，則四階行列式|?3,?2,?1，(?1??2)|等于 [ ].(A)m?n(B)?(m?n)(C)n?m(D)m?n

2.設(shè)n階矩陣A，B，C滿足ABC?E，則下列一定正確的是 [ ].(A)ACB?E(B)BAC?E(C)CBA?E(D)CAB?E

3.向量組?1,?2,?,?r線性相關(guān)的充分必要條件是 [ ].(A)向量組中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表示；(B)向量組中任一向量都可由其它向量線性表示；(C)向量組中任一向量都不能由其它向量線性表示；(D)向量組中至少有一個(gè)向量不能由其它向量線性表示；

4.設(shè)?1,?2是非齊次線性方程組Ax?b的兩個(gè)不同的解，?1,?2是其導(dǎo)出組Ax?0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則線性方程組Ax?b的通解可表示為 [ ].11(?1??2)?k1?1?k2(?1?2?2)(?1??2)?k1?1?k2(?1??2)22(A)(B)

(C)(?1??2)?k1?1?k2?2(D)(?1??2)?k1?1?k2?2

5.設(shè)n階矩陣A與B相似，則下列不正確的是 [ ].22(A)A?B(B)A??E?B??E(C)A?E?B?E(D)A與B相似

二填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分；將正確答案填在題中括號(hào)內(nèi)。）

2AB1.設(shè)A,B都是n階矩陣，且|A|=2,|B|??3，則

?1=()。

10??1?a??A??11?a0??002???的秩R(A)?2,則a?()。2.設(shè)矩陣?1???1???0???2????1???2???1???2??2??????的過渡矩陣 ??R3.從向量空間的基，到基，?1??1??1??1?為()。

4.設(shè)R(A)?2，且線性方程組Ax?b無解，則R(A?b)?()。

222f(x,x,x)?x?2x?3x123?2tx1x2是正定的，則t滿足條件()。5.設(shè)二次型1231

2三、計(jì)算行列式（10分）D?342341341241 23?230????

1四、設(shè)A??120?，且ABA?6A?BA，求矩陣B（10分）.?003???TTTT??(1,0,?1,1)??(1,1,1,1)??(1,2,3,1)??(1,3,5,1)312

4五、討論向量組，,的線性相關(guān)性，并求其秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組(10分)。六?為何值時(shí)線性方程組：

?x1?x2?x3?x4?1?2x?x?3x?2x?2?1234??x1?4x2?5x4????3x1?3x2?5x3?5x4?3

有解？在有解時(shí)求該方程組的通解（10分）。設(shè)V是RV2?2上所有對稱矩陣組成的線性空間，試求出V的一組基，并求

?12??12???A??21??在此組基下的矩陣(10分)。21????22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x2x3化成標(biāo)準(zhǔn)形，并說明上線性變換?(A)???

八、求一正交變換，將二次型f(x1,x2,x3)?1表示何種二次曲面(10分)。

線性代數(shù)試題 2008.5

一、計(jì)算下列各題(每小題5分, 共30分)

1、設(shè)?1,?2,?,?都是3維列向量，且行列式|A|?|?1,2?2,?|?a，|B|?|?2,?1,?|?b，求行列式C?|?1,2?2,???|.?100???*?1A2、設(shè)的逆矩陣A??220?, 求A的伴隨矩陣A.?333???TTTT??(1,?1,3,2)??(1,1,1,1)??(1,2,?1,1)??(1,0,1,2)31243、設(shè)，，求向量組?1,?2,?3,?4的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)向量組。

?11?1??x1??1???????

4、已知線性方程組?211??x2???2?有解，但解不唯一，求a,b的值。

?1a1??x??b????3???T?10??01?2?2?(A)?AR??

5、求線性空間的線性變換在基E11??,E?12?00??00??，?????00??00?TA???,下的矩陣，其中是A的轉(zhuǎn)置矩陣。E21??E?22?10??01?????222f?x?x?5x?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型。123t6、問為何值時(shí)，二次型1?a23412?a34123?a4234?a

二、(10分)計(jì)算行列式

1三、(10分)求解下面矩陣方程中的矩陣X

?010??100??12?1????????100?X?011???102??001??001??134???????

?x1?x3?x4?2?x?x?2x?x?1?3

4四、(10分)求線性方程組?12的通解，并用對應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)?2x1?x2?x3?2x4?3??3x1?x2?3x4?5解系表示通解。

?1a1??300?????

五、(10分)已知矩陣A??ab0?與B??030?相似，求a,b的值.?411??00?1?????222f(x,x,x)?2x?x?x?2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形 x?Qy12312

3六、12分)求出正交變換，使化二次型

七、(8分)記R是R上所有2?3矩陣，按矩陣加法、數(shù)與矩陣乘法構(gòu)成的R上的線???0V??????x3性空間，集合2?32?3x10x2???x?x?x?0,x,x,x,x?R??1241234x4???，證明：V是R的線性子空間，并求V的一組基和維數(shù)。

八、（10分）證明題：

（1）設(shè)向量組?1,?2,?,?s線性無關(guān)，向量組?1,?2,?,?s,?線性相關(guān)，證明向量?可由向量組?1,?2,?,?s線性表示且表示式唯一。（2）設(shè)A?(aij)Ta?1b?(1,0,0)3?311是實(shí)正交矩陣，且，向量，證明線性方程組Ax?b有唯一解x?b。

東 北 大 學(xué) 期 末 考 試 試 卷2008-2009學(xué)年第1學(xué)期：線性代數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題（本題4小題，每小題3分，共12分；在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題中括號(hào)內(nèi)）

1、設(shè)A,B都是n階非零矩陣，且AB?O，則必有（）.(A)A?O或B?O；(B)A?B?O；(C)A?0或B?0 ；(D)A?B?0.2、設(shè)A是n階矩陣，A?0An?1，A是A的伴隨矩陣，則

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值，是A與對角矩陣相似的（）

A 充分必要條件B充分但非必要條件C 必要但非充分條件D既非充分也非必要條件.4、設(shè)A是m?n階矩陣，B是n?m階矩陣，則齊次線性方程組(AB)x?0（）A當(dāng)n?m時(shí)僅有零解B當(dāng)n?m時(shí)必有非零解C當(dāng)m?n時(shí)僅有零解D當(dāng)m?n時(shí)必有非零解

二、填空（本題6個(gè)小題，每小題3分，共18分；將正確的答案填在題中括號(hào)內(nèi)）

1、設(shè)4階矩陣A?(?,?2,?3,?4)，B?(?,?2,?3,?4)，其中?,?,?2,?3,?4,均為 4維列向量，已知A?4，B?1，則A?B?（）.??111?1????1?1?11??A??A5????1?1?11?????111?1??，則 ?

2、設(shè)

??????

3、設(shè)P[i?j(k)]表示把n階單位矩陣的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩陣，則(P[i?j(k)])?1=（）..222f(x,x,x)?3x?3x?9x?10x1x2?12x1x3?12x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型?0?0B???0??05、設(shè)矩陣00300?1020??0?2??2?，矩陣A與B相似，則R(A?E)?R(A?3E)?（）

1(A2)?

16、設(shè)??2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣3有一個(gè)特征值等于（）.?423???A??110???123???，求矩陣B n

三、（10）設(shè)階矩陣A與B滿足條件AB?A?2B，已知矩陣

1333?33233?3Dn?3333?33334?3?????3333?n?x1?x2?kx3?4,?2??x1?kx2?x3?k,?x?x?2x??43?1

2四、（10分）計(jì)算行列式

五、（12分）已知線性方程組

問k為何值時(shí)，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？ 并求出有無窮多解時(shí)的通解.???1??2??3，六、（12分）（1）設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，證明向量組???1,???2,???3TTTT??(1,2,1,3),??(4,?1,?5,?6),??(1,?3,?4,?7),?,?1,0)，234?(2,1也線性無關(guān).（2）設(shè)1試判斷該向量組的線性相關(guān)性，并給出其一個(gè)極大線性無關(guān)組。

七、（10分）設(shè)A?R，記(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)??B:B?Rn×n，AB?0?，證明： 的一個(gè)子空間；(2)設(shè)秩(A)?r，求S(A)的一組基和維數(shù).222f?3x?3x?6x?8x1x2?4x1x3?4x2x3 12

3八、（16分）用正交變換化二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形，給出所用的正交變換，并判斷該二次型的正定性，給出判別的理由.