第一篇：復(fù)習(xí)講義—二面角復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)講義（4）

二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過(guò)程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說(shuō)來(lái)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益．

看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD

β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題的條件背景互相溝通，給計(jì)算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大小．

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而

且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過(guò)A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過(guò)對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過(guò)垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如

圖6），由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶

FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長(zhǎng)EF，HA1交于G，過(guò)G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大小．我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與 到的一個(gè)二面角．

因?yàn)?AB∥平面CPD，AB

平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過(guò)P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問(wèn)題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第二篇：復(fù)習(xí)講義—二面角復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)講義（4）二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過(guò)程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說(shuō)來(lái)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益． 看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題的條件背景互相溝通，給計(jì)算提供方便． 例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”． 例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過(guò)A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角． 另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過(guò)對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過(guò)垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如圖6），由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”． 課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長(zhǎng)EF，HA1交于G，過(guò)G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大?。覀兛梢允褂闷揭品ǎ蓛善矫嫫叫械男再|(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置，以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．

略解：過(guò)F作A′B′的平行線交BB′于G，過(guò)G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH． 顯見(jiàn)平面FGH∥平面A′B′C′D′．則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．過(guò)G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的交線． 解：因?yàn)?AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角． 因?yàn)?AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過(guò)P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問(wèn)題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第三篇：高中數(shù)學(xué)教案：二面角復(fù)習(xí)課

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二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過(guò)程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于做好：定性分

析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在

面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說(shuō)來(lái)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)

致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益．

看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任 意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l． 這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面 角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：（1）過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題的條件背景互相溝通，給計(jì)算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給 進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l 垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β 的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。004km.cn

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A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體 圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞 清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過(guò)A作 AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān) 系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交

兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過(guò)對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過(guò)垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連 結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就 是二面角α-l-β的平面角．（如圖6），由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E

與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特

征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小

必定互補(bǔ)．

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為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背

景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交

B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面

D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何

體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解

題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維

的廣闊性和批判性．

如圖9，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足

P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為

BC的中點(diǎn)．OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R，考

慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角

A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR

為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同

理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該

是5個(gè)面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長(zhǎng)EF，HA1交于G，過(guò)G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

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在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH．

又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大小．我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置，以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．

略解：過(guò)F作A′B′的平行線交BB′于G，過(guò)G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH．

顯見(jiàn)平面FGH∥平面A′B′C′D′． 則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于

所求二面角的度數(shù)．

過(guò)G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角 B′-FH-G的平面角，其大小等于所求 二面角平面角的大?。?/p>

例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在

平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值． 分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出

兩個(gè)平面的交線． 解：因?yàn)?AB∥CD，CD

平面CPD，AB

平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角． 因?yàn)?AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過(guò)P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。004km.cn

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小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問(wèn)題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距

離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

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第四篇：二面角練習(xí)課

二面角練習(xí)課

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；

難點(diǎn)：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角． 教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

重溫二面角的平面角的定義．

（本節(jié)課設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)：空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說(shuō)來(lái)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益．這正是本節(jié)課要解決的問(wèn)題．）

教師：二面角是怎樣定義的？

學(xué)生：從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角． 教師：二面角的平面角是怎樣定義的？

學(xué)生：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：請(qǐng)同學(xué)們看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背影．

由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線”的問(wèn)題．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題背影互相溝通，給計(jì)算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，考生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．

OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．

（這一階段的教學(xué)主要是通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的一組例題與練習(xí)題，或邊練邊評(píng)，或由學(xué)生一鼓作氣練完后再逐題講評(píng)，達(dá)到練習(xí)的目的．其間要以學(xué)生“練”為主，教師“評(píng)”為輔）

由例

1、例2和課堂練習(xí)，我們已經(jīng)看到二面角的平面角有三個(gè)特征，這三個(gè)特征互相聯(lián)系，客觀存在，但在許多問(wèn)題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠，三個(gè)特征均藏而不露，在這種形勢(shì)下，需認(rèn)真探索．探索體現(xiàn)出一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，有了“垂線段”，便可以定位．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．

在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1． 延長(zhǎng)EF，HA1交于G，過(guò)G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教師：有時(shí)我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大小．

例如我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與

顯見(jiàn)平面FGH∥平面A′B′C′D′．

則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．

過(guò)G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的交線． 解：因?yàn)?AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角．

因?yàn)?AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 過(guò)P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景．

我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問(wèn)題化歸是十分重要的．

作業(yè)

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第五篇：三角函數(shù)專(zhuān)題第二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典講義

三角函數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)

1、三角恒等變換

典型例題

1、已知函數(shù)f?x??2sinxxxcos?2sin2? 44

4（1）求函數(shù)f?x?的最小正周期和最值。（2）令g?x??f?x?

2、已知?為第二象限角，sin??

?????，判斷并證明g?x?的奇偶性。3?34，?為第二象限角，tan???。求tan(???)，cos?2????

533、設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且a?2bsinA，求cosA?sinc的取值范圍。

4、已知0????

4，?為f?x??cos?2x??

?????1??tan????,?1??的最小正周期，?????，??cos?,2?且8?4????

2cos2??sin2?????的值。??m，求cos??sin?

2、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

典型例題

1、已知函數(shù)f?x??Asin?x???,?A?0,0?????的最大值是1.其圖像過(guò)點(diǎn)M???1?,?。?32?

（1）求f?x?；（2）已知?,???0,312????且f????,f????，求f?????的值。513?2?

2、已知a??sinwx,coswx,b?sinwx,2sinwx?3coswx,w?0。若f?x??a?b，并且f?x?的最小正周期為?。（1）求f?x?的最大值及取得最大值時(shí)x的集合。（2）將函數(shù)f?x?圖像按向量????

?????m,0?,m?0平移后的函數(shù)g?x??2sin?2x??的圖像，求m的最小值。3??

3、已知函數(shù)f?x??3sin?wx????cos?wx????0????,w?0?為偶函數(shù)，且函數(shù)y?f?x?圖像的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間距離為

?。（1）求

2????

（2）將函數(shù)y?f?x?的圖像向右平移個(gè)單位后，再將得到的f??。

6?8?

圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y?g?x?的圖像，求y?g?x?的單調(diào)區(qū)間。

三、解三角形 典型例題

1、在?ABC中，已知AC?2,BC?3,cosA??

4???

.求sin?2B??的值。56??

2、在?ABC中，a?23,tan

A?BcA

?tan?4,sinB?sinC?cos2。求A,B及b,c。22

2????????????????

?ABC3、設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且滿足(2a?c)BC?BA?cCA?CB?0.????????

（1）求角B的大??；（2）若b?AB?CB的最小值.四、?？键c(diǎn)訓(xùn)練

?？键c(diǎn)一：三角函數(shù)的概念 1.已知函數(shù)f(x)?cos(2x?

?)?2sin(x?)sin(x?)

4??

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?,]上的值域

2??

2．已知函數(shù)f(x)?2x?2sin2x.（1）若x?[?

??,]，求f(x)的值域.6

3?2

?？键c(diǎn)二：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3.函數(shù)f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及解析式；（Ⅱ）設(shè)g(x)?f(x)?cos2x，求函數(shù)g(x)在區(qū)間x?[0,]上的最大值和最小值．

?

?？键c(diǎn)三、四、五：同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換 4．已知函數(shù)f(x)?sin(2x?

?

6)?cos2x.（1）若f(?)?1，求sin??cos?的值；（2）求函數(shù)f(x)的單

調(diào)增區(qū)間.（3）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程和對(duì)稱(chēng)中心

5.已知函數(shù)f(x)?2sin?xcos?x?2cos2?x（x?R，??0），相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于

??

．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）當(dāng)

42???

x??0?時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x值．

?2?

6、已知函數(shù)f(x)?2sinx?sin（?

?x)?2sin2x?1(x?R).2（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若f（ππx0x?(?,)，求cos2x0的值.)?04427、已知sin(A?

πππ)?A?(,)．

424

5sinAsinx的值域．

2（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)?cos2x?

考點(diǎn)六：解三角形

8．已知△ABC中，2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB.（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）設(shè)向量m?(cosA, cos2A)，n?(?小值時(shí)，tan(A?

12, 1)，求當(dāng)m?n取最 5

?)值.9．已知函數(shù)f(x)?

sin2x?sinxcosx?

?x?R?． 2

（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x?(0,??)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在?ABC中，若A?B，f(A)?f(B)?

BC

1，求的值．

AB210、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c分，且滿足大??；

（Ⅱ）若a?ABC面積的最大值．

2c?bcosB

?．（Ⅰ）求角A的acosA11、在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)?△ABC的形狀．

12、.在?ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA；

(Ⅱ)求?ABC的面積.3xxx

sincos?cos2，當(dāng)f(B)取最大值時(shí)，判斷

222

1，tanC?，且c?1.23A?B7

?cos2C?． 22

13在?ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且4sin（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┣髎inA?sinB的最大值．

重點(diǎn)題型強(qiáng)化

1、在?ABC中，邊b?2，角B?

2、函數(shù)f(x)?sin(2x?

?，sin2A?2sin(A?C)?2sinB?0，則邊c?

3?

?2x的最小正周期是__________________.3、已知函數(shù)f(x)=3sin(?x-

?

6)(?>0)和g(x)=2cos(2x+?)+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同。若x?[0,?

]，則f(x)的取值范圍是。

4、設(shè)?>0,函數(shù)y=sin(?x+

4??)+2的圖像向右平移個(gè)單位后與原圖像重合，則?的最小值是_________

2125、已知x?y?4?2cos2?,x?y?4sin2?，則x?y?_____________

2sin2x?3sinx6、函數(shù)f?x??的值域?yàn)開(kāi)____________

22sinx?

37、若動(dòng)直線x?a與函數(shù)f?x??sin?x?的最大值為_(kāi)____________

?

?

??

???

則MN?和g?x??cos?x??的圖像分別交于M,N兩點(diǎn)，4?4??

三角函數(shù)高考真題練習(xí)

一、選擇題：

????????

?????????ABAC???

1.已知非零向量AB與AC滿足(?)?BC?0且

ABAC????????ABAC1??, 則△ABC為()ABAC

2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形 2.已知sin??（A）?

4,則sin??cos?的值為（）

5（B）?51 5

（C）

（D）5D

．

3.sin330?等于（）A

．?

B．?

C．2

?

4.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cb?B?120，則a等于（）A

B．2

C

D

352sin??cos?的值為()（A）0(B)(C)1(D)

44sin??2cos?

52110

6.若3sin??cos??0,則的值為()（A）（B）（C）(D)?2 2

33cos??sin2?

3?????????????????????

7.在?ABC中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足PA?2PM,則PA?(PB?PC)等于()

5.若tan??2,則

4444（B）（C）?(D)? 9339

?????????????????????

8.在?ABC中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足AP?2PM,則PA?(PB?PC)等于()（A）（A）?

4444

（B）?（C）(D)

3993

9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為()．A．銳

角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定

二、填空題

1.cos43cos77?sin43cos167的值為

2.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30

＝

1＝2.若＝???(?,??R),則???的值為.3.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cb?B?120，則a?_______.?

4.設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的_______條件．

三、解答題

x?R，·b，cos2x)，1、設(shè)函數(shù)f(x)?a其中向量a?(m，且y?f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?，b?(1?sin2x，1)，2?．

?π

?

4??

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x值的集合．、已知函數(shù)f(x)?2sin

xxx

cos?2?． 44

4（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)?f?x?

?

?

π?

?，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性 3?

3、已知函數(shù)f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???

?）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰

?2?,?2).，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M（2

3??

(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）當(dāng)x?[,]，求f(x)的值域.12

2兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

4、如圖，A，B

是海面上位于東西方向相距53海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B

點(diǎn)相距C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

5、敘述并證明余弦定理。

6、函數(shù)f(x)?Asin(?x?對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為

7、已知向量a＝?cosx,??，b＝

x，cos 2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在?0,?上的最大值和最小值．

??

?1（A?0,??0）的最大值為3，其圖像相鄰兩條

???，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）設(shè)??(0,)，則f()?2，求?的值． 222

1?

2?

??

?π???