第一篇：《高等數(shù)學一》第二章 極限與連續(xù) 歷年試題模擬試題課后習題(匯總)(含答案解析)

第二章 極限與連續(xù)

[單選題]

1、若x0時，函數(shù)f(x)為x2的高階無窮小量，則

=（）

A、0 B、C、1 D、∞

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【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

本題考察高階無窮小.根據(jù)高階無窮小的定義，有[單選題]

2、與A、必要條件 B、充分條件 C、充要條件 D、無關條件 都存在是

函數(shù)在點處有極限的（）..【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

時，數(shù)在極限存在的充分必要條件為左、右極限都存在并且相等，所以若

與

函點處有極限，則必有都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有極限.[單選題]

3、（）.A、B、1 C、D、0

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【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

4、如果A、0 B、1 C、2 D、5 則（）.【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

根據(jù)重要極限,[單選題]

5、（）.A、0 B、∞

C、2 D、-2

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

分子分母同除以[單選題]

6、，即

（）.A、0 B、∞ C、2 D、-2 【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題

【答案解析】

[單選題]

7、設，則（）.A、B、2 C、D、0

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題

【答案解析】

[單選題]

8、當A、B、C、D、時，與等價的無窮小量是（）.【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

由于推廣，當[單選題]

9、時，與A、故時，與等價，等價的無窮小量是（）.B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

由于推廣，當[單選題]

10、，故時，與等價，函數(shù)A、x=

6、x=-1 的間斷點是（）.B、x=0、x=6

C、x=0、x=

6、x=-1

D、x=-

1、x=0

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

由于所以[單選題]

11、的間斷點是x=0，x=6，x=-1., 設,則是的（）.A、可去間斷點

B、跳躍間斷點

C、無窮間斷點

D、連續(xù)點

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【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】，即的左右極限存在且相等，但極限值不等于函數(shù)值，故為可去型間斷點.[單選題]

12、計算A、（）.B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

13、計算（）.A、B、C、D、1

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

14、（）.A、1

B、﹣1

C、2

D、﹣2

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【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

15、下列各式中正確的是（）.A、B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

A，當時，極限為，錯誤；

B，錯誤；

C，[單選題]

16、，錯誤，D正確.函數(shù)A、0 的間斷點個數(shù)為（）.B、1

C、2

D、3

【從題庫收藏夾刪除】 【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

17、下列變量在的變化過程中為無窮小量的是（）

在x=0和x=1處，無定義，故間斷點為2個.A、B、C、D、arctanx

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】，[單選題]

18、.（）

A、0 B、1

C、不存在，但不是∞

D、∞

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

19、函數(shù)，則x=0是f(x)的()A、可去間斷點

B、跳躍間斷點

C、無窮間斷點

D、連續(xù)點

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

故為可去間斷點.[單選題] 20、（）.A、-1 B、2 C、1 D、0

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

為有界函數(shù)，故原式=[單選題]

21、.（）.A、B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題

【答案解析】

[單選題]

22、下列極限存在的是（）.A、B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

當x趨近于0時，[單選題]

23、下列變量在為有界函數(shù)，故極限存在.的變化過程中為無窮小量的是（）.A、B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】，[單選題]

24、，不存在, 極限=()A、0 B、2/3 C、3/2 D、9/2

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[單選題]

25、函數(shù)f(x)=的所有間斷點是()A、x=0 B、x=1 C、x=0，x=-1 D、x=0，x=1

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題

【答案解析】 x=1時，分母為0，無意義。x=0時，分子的指數(shù)分母為0，無意義。[單選題]

26、極限A、－∞

B、0

C、1D、＋∞（）．

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

參見教材P48～50．（2015年4月真題）[單選題]

27、函數(shù)A、x＝0，x＝

1B、x＝0，x＝

2C、x＝1，x＝

2D、x＝0，x＝1，x＝2 的所有間斷點為（）．

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題

【答案解析】 本題考查間斷點，由定義可知答案為D。參見教材P64．（2015年4月真題）[單選題]

28、設函數(shù)f（x）＝2x2，g（x）＝sinx，則當x→0時（）．

A、f（x）是比g（x）高階的無窮小量

B、f（x）是比g（x）低階的無窮小量

C、f（x）與g（x）是同階但非等價的無窮小量

D、f（x）與g（x）是等價無窮小量

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 A 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

當x→0時，sinx和x是等價無窮小量，2x2是x的高階無窮小量． 所以選擇A．

參見教材P59～61。（2014年4月真題）[單選題]

29、設函數(shù)A、a＝1，b＝

4B、a＝0，b＝

4C、a＝1，b＝

5D、a＝0，b＝5

在x＝2處連續(xù)，則（）．

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

在x＝2點連續(xù)，那么在這一點左右極限相等，且等于該點函數(shù)值． 所以有3x2－4＋a＝b＝x＋2，解得a＝0，b＝4，選B．

參見教材P63～64。（2014年4月真題）[單選題]

30、若函數(shù)

A、1B、2C、3D、4

在x＝0處連續(xù)，則常數(shù)k＝（）．

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

在x＝0點連續(xù)，因此因此選擇D．

參見教材P63～64。（2014年10月真題）[單選題]

31、函數(shù)A、1B、2 的間斷點的個數(shù)為（）． C、3D、4

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

解得 x＝±1． 因此選擇B．

參見教材P64。（2014年10月真題）[單選題]

32、設函數(shù)，則為（）。

A、不存在B、0 C、1 D、2

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】 [單選題]

33、當

。參見教材P48。

時，下列變量為無窮小量的是（）。

A、B、C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】 當時，。參見教材P59。

[單選題]

34、極限=（）.A、-2 B、0 C、2 D、﹢∞

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

參見教材P48。[單選題]

35、函數(shù)的所有間斷點是（）.A、0 B、-1 C、D、【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

根據(jù)間斷點的定義可知，[單選題]

均是函數(shù)的間斷點。參見教材P64。

36、極限=（）.A、0 B、1 C、2 D、3

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 B 【您的答案】 您未答題

【答案解析】 等于最高次項的系數(shù)之比。故選B。[單選題]

37、極限的所有間斷點為（）.A、x=-1 B、x=2 C、x=2 D、x=2，x=3

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 D 【您的答案】 您未答題

【答案解析】 當x=2，x=3時，f(x)沒有意義，所以極限 的所有間斷點為2，3。故選D。[單選題]

38、極限（）.A、0 B、C、D、∞

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題

【答案解析】 等于最高次項的系數(shù)之比。故選C。參見教材P52。[單選題]

39、函數(shù)的全部間斷點為（）.A、x=－1及x=4 B、x=－1及x=－4 C、x=1及x=－4 D、x=1及x=4

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 C 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

當x=1，x=－4時，f(x)沒有意義，所以函數(shù)的全部間斷點為x=1，x=－4。故選C。參見教材P64。[解答題] 40、極限=_________． 【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

[解答題]

41、極限【從題庫收藏夾刪除】

_________.【正確答案】 1 【您的答案】 您未答題 【答案解析】。

[解答題]

42、討論函數(shù)【從題庫收藏夾刪除】

在x=0處的連續(xù)性．

【正確答案】，所以在x=0處連續(xù)。

【您的答案】 您未答題 [解答題]

43、設求.【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

故

【您的答案】 您未答題 [解答題]

44、計算

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 [解答題]

45、證明方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)必有根.【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

設當即時，則

在[0,1]上連續(xù)，當

時，根據(jù)零點定理：存在即，使得

在區(qū)間(0,1)內(nèi)必有根.【您的答案】 您未答題 [解答題]

46、設【從題庫收藏夾刪除】，在內(nèi)連續(xù)，求的值.【正確答案】

要使在在處，內(nèi)連續(xù)，則保證

在和

點連續(xù)，所以在處，所以

.【您的答案】 您未答題 [解答題]

47、計算極限【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 [解答題]

48、計算

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 此題是0/0型，所以用洛必達法則上下求導得到

此題還可以用等價替換來做

【您的答案】 您未答題 [解答題]

49、求a的值，使得函數(shù)f(x)=【從題庫收藏夾刪除】

在x=0處連續(xù).【正確答案】，所以當

時函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù).【您的答案】 您未答題 [解答題]

50、求極限【從題庫收藏夾刪除】

．

【正確答案】 e6

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

參見教材P55～58．（2015年4月真題）[解答題]

51、求常數(shù)a的值，使函數(shù)在x＝0處連續(xù)． 【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 a＝1 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

當x≠0時，當x＝0時，f(x)＝a．

由于函數(shù)在x＝0處連續(xù)，所以a＝1． 參見教材P63～64．（2015年4月真題）[解答題]

52、求極限．

【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 －3

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

參見教材P59～61．（2015年4月真題）[解答題]

53、求極限【從題庫收藏夾刪除】

．

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

參見教材P48～50。（2014年4月真題）[解答題]

54、已知極限【從題庫收藏夾刪除】，求常數(shù)a的值．

【正確答案】 2 【您的答案】 您未答題 【答案解析】，則有a＝2． 由題意得參見教材P48～50。（2014年10月真題）[解答題]

55、判斷方程sinx＋x－1＝0在區(qū)間（0，【從題庫收藏夾刪除】）內(nèi)是否有實根，并說明理由．

【正確答案】 有

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

令f（x）＝sinx＋x－1，則f（x）是連續(xù)函數(shù)

f（0）＝sin0＋0－1＝－1＜0

所以

． 由零點存在定理可知：

至少存在介于0，使得，即之間的一個點，則方程sinx＋x－1＝0在區(qū)間（0，）上至少有一個實根．

參見教材P65～67。（2014年10月真題）[解答題]

56、求極限【從題庫收藏夾刪除】。

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 【答案解析】 P55。

[解答題]

。參見教材

57、已知函數(shù)【從題庫收藏夾刪除】

在點連續(xù)，試確定常數(shù)的值。

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

由函數(shù)在，而

點連續(xù)，可得，因此[解答題]

58、，故可得。參見教材P63。

求極限.【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】 5 【您的答案】 您未答題 【答案解析】

這個分式的極限等于最高次項前面的系數(shù)比。

參見教材P52。[解答題]

59、確定常數(shù)的值，使得函數(shù)【從題庫收藏夾刪除】

在處連續(xù).【正確答案】

【您的答案】 您未答題 【答案解析】

欲使函數(shù)則有在處連續(xù)，又所以[解答題]

.參見教材P63。

60、求極限.【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 [解答題]

61、求極限【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

.【您的答案】 您未答題 [解答題]

62、求常數(shù)a的值，使函數(shù)【從題庫收藏夾刪除】

在x=0處連續(xù).【正確答案】

f(0)=1+0=1

要在x=0處連續(xù) 所以故求出a=1

【您的答案】 您未答題 [解答題]

63、求極限【從題庫收藏夾刪除】

.【正確答案】

【您的答案】 您未答題

【答案解析】 參見教材P61。[解答題]

64、求極限【從題庫收藏夾刪除】

【正確答案】

【您的答案】 您未答題 【答案解析】 參見教材P56。

第二篇：函數(shù)極限與連續(xù)習題(含答案)

1、已知四個命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點連續(xù)，則f(x)在x?x0點必有極限 f(x)在x?x0點有極限，則f(x)在x0點必連續(xù) f(x)在x?x0點無極限，則f(x)在x?x0點一定不連續(xù)f(x)在x?x0點不連續(xù)，則f(x)在x?x0點一定無極限。其中正確的命題個數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）

第三篇：成人專升本高等數(shù)學一模擬試題之二

模擬試題

一、選擇題（每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，把所選項前的字母填寫在題后的括號中）

sin2mx1． lim等于

x?0x2A：0

B：? D：m

2C：m

2．設f(x)在x0處連續(xù)，則：下列命題正確的是 A：limf(x)可能不存在

x?x0

B：limf(x)存在，但不一定等于f(x0)

x?x0C：limf(x)必定存在，且等于f(x0)

x?x0D：f(x0)在點x0必定可導

3．設y?2?x，則：y?等于 A：2C：2?x

B：?2D：?2?x

?xln2

?xln2

4．下列關系中正確的是

dbf(x)dx?f(x)

A：dx?aC：

dxf(t)dt?f(x)B：

dx?aD：?baf?(x)dx?f(x)

?baf?(x)dx?f(x)?C

5．設f(x)為連續(xù)的奇函數(shù)，則：A：2af(x)

C：0

?a?af(x)dx等于

B：2

?a0f(x)dx

D：f(a)?f(?a)

6．設f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)?f(1)，則：在(0,1)內(nèi)曲線y?f(x)的所有切線中

A：至少有一條平行于x軸 C：沒有一條平行于x軸

7．B：至少有一條平行于y軸 D：可能有一條平行于y軸

?10f?(2x)dx等于

B：A：1?f(1)?f(0)?

1?f(2)?f(0)? 2C：2?f(1)?f(0)? D：2?f(2)?f(0)?

?2z8．設z?ysinx，則：等于

?x?yA：?cosx

C：cosx

B：?ycosx D：ycosx

9．方程y???3y??2y?xe2x的待定特解應取 A：Axe

22x2x

B：(Ax?B)e2x D：x(Ax?B)e2x C：Axe

10．如果?ui?1?n收斂，則：下列命題正確的是

B：limun必定不存在

n??A：limun可能不存在

n??C：limun存在，但limun?0

n??n??D：limun?0

n??

二、填空題（每小題4分，共40分）11．設當x?0時，f(x)?sinx，F(xiàn)(x)在點x?0處連續(xù)，當x?0時，F(xiàn)(x)?f(x)，則：xF(0)?

12．設y?f(x)在點x?0處可導，且x?0為f(x)的極值點，則：f?(0)?13．cosx為f(x)的一個原函數(shù)，則：f(x)?14．設15．設

??x0f(t)dt?e2x?1，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，則：f(x)?k1dx?，且k為常數(shù)，則：k?21?x2

??016．微分方程y???0的通解為17．設z?ln(x2?y)，則：dz?18．過M0(1,?1,2)且垂直于平面2x?y?3z?1?0的直線方程為

xn19．級數(shù)?的收斂區(qū)間是3nn?1?(不包含端點)20．?dx?0120dy?

三、解答題

21．（本題滿分8分）設y?x?tanx，求：y? 22．（本題滿分8分）

x2?2求曲線y?的漸近線 3(x?2)23．（本題滿分8分）計算不定積分1?x(2x?1)dx

24．（本題滿分8分）

設z?z(x,y)由x2?y3?3xyz2?2z?1確定，求：25．（本題滿分8分）計算

22D，其中區(qū)域滿足x?y?

1、x?0、y?0 xdxdy???z?z、?x?yD26．（本題滿分10分）

求微分方程y???y??2y?3e2x的通解 27．（本題滿分10分）

設f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)?x?3x28．（本題滿分10分）

設F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，且f(x)?xlnx，求：F(x)

3?10f(x)dx，求：f(x)

第四篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)習題

多元函數(shù)的極限與連續(xù)習題

1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1

2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。

（1）f(x,y)?x?y； x?y

(2)f(x,y)?(x?y)sisi； 1

x1y

x3?y3

(3)f(x,y)?2； x?y

1(4)f(x,y)?ysi。x

3.求極限（1）lim(x?y)x?0y?022x2y2；

（2）limx2?y2

?x?y?122x?0y?0；

（3）lim(x?y)sinx?0y?01； 22x?y

sin(x2?y2)（4）lim。22x?0x?yy?0

ln(1?xy)??4.試證明函數(shù)f(x,y)??x?y?

x?0x?0在其定義域上是連續(xù)的。

1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。

x?2y?1

因為x?2,y?1，不妨設|x?2|?0,|y?1|?0，有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5，|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2|

?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|]

???0，要使不等式

|3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{

?

30,1}，于是

???0，???min{

?

30,1}?0，?(x,y)：|x?2|??,|y?1|??

且(x,y)?(2,1)，有|3x?2y?14|??，即證。

2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)?

x?y

； x?y

x?yx?y

limli??1，limlim?1

y?0x?0x?yx?0y?0x?y

二重極限不存在。

x?yx?y1

或lim?0，li??。

x?0x?yx?0x?y3

y?x

y?2x

(2)f(x,y)?(x?y)sin

11sin； xy

0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|

xy

可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。

x?0y?0

x?0y?0

當x?

111，y?0時，f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在，k?xy

因此limlim(x?y)sisi不存在，x?0y?0xy

lim(x?y)sisi不存在。同理lim

y?0x?0

x1y

x3?y3

(3)f(x,y)?2；

x?y

2x3

limf(x,y)?lim?0，x?0x?0x?x

y?x

當 P(x, y)沿著y??x?x趨于（0,0）時有

y??x?x

x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1，x?0x?0x?x3?x223

x?0y?0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)?0，limlimf(x,y)?0。

x?0y?0

y?0x?0

(4)f(x,y)?ysinx

0?|ysin|?|y|

x

∴l(xiāng)imf(x,y)?0，x?0y?0

limlimysi?0，limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx

3.求極限（1）lim(x?y)

x?0

y?0

2x2y2；

(x2?y2)2

0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|，22

(x2?y2)2t

ln(x2?y2)?limlnt?0，又 lim

x?0t?0?44

y?0

∴l(xiāng)im(x?y)

x?0

y?0

2x2y2

?e

limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0)

?1。

（2）lim

x2?y2?x?y?1

x?0y?0；

(x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x

y?0y?0

x2?y2

（3）lim(x?y)sin

x?0y?0

；22

x?y

|?|x?y|，|(x?y)sin2

x?y

而lim(x?y)?0

x?0

y?0

故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0

sin(x2?y2)

（4）lim。22x?0x?yy?0

令x?rcos?，y?rsin?，(x,y)?(0,0)時，r?0，sin(x2?y2)sinr2

lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0

ln(1?xy)??

4.試證明函數(shù)f(x,y)??x

?y?

x?0x?0

在其定義域上是連續(xù)的。

證明：顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當x?0時，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點上連續(xù)。以下分兩種情況討論。（1）在原點（0,0）處

f(0, 0)=0,當x?0時

0ln(1?xy)??1f(x,y)???

xyx??yln(1?xy)

由于limln1(?xy)

x?0

y?0

1xy

y?0,y?0

?1

1xy

不妨設|ln1(?xy)從而???0，取??

xy

?1|?1，|ln1(?xy)|?2，當0?|x|??,0?|y|??時，?

ln(1?xy)

?0|?|yln(1?xy)xy||

x

?|y||ln(1?xy)|?2|y|??，于是，無論x?0,x?0，當|x|??,|y|??時，都有l(wèi)imf(x,y)?0?f(0,0)

x?0y?0

1xy

（2）在(0,)處。（?0)

xy

當x?0時，|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy)

1xy

?|

1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?|

?|y||ln(1?xy)

xy

當x=0時,|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy

注意到，當?0時limln1(?xy)

x?0

y??1，于是，無論x?0,x?0，當?0時lim|f(x,y)?f(0,)|?0，x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù)，綜上，f(x, y)在其定義域上連續(xù)。

第五篇：函數(shù)極限習題與解析

函數(shù)與極限習題與解析（同濟大學第六版高等數(shù)學）

一、填空題

1、設f(x)?2?x?lglgx，其定義域為。

2、設f(x)?ln(x?1)，其定義域為。

3、設f(x)?arcsin(x?3)，其定義域為。

4、設f(x)的定義域是[0，1]，則f(sinx)的定義域為。

5、設y?f(x)的定義域是[0，2]，則y?f(x2)的定義域為。

x2?2x?k?4，則k=。

6、limx?3x?3x有間斷點，其中為其可去間斷點。sinxsin2x8、若當x?0時，f(x)?，且f(x)在x?0處連續(xù)，則f(0)?。

xnnn?2???2)?。

9、lim(2n??n?1n?2n?n7、函數(shù)y?

10、函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0連續(xù)的條件。

(x3?1)(x2?3x?2)?。

11、limx??2x5?5x312、lim(1?)n??2nkn?e?3，則k=。

x2?113、函數(shù)y?2的間斷點是。

x?3x?

214、當x???時，1是比x?3?x?1的無窮小。x15、當x?0時，無窮小1?1?x與x相比較是無窮小。

16、函數(shù)y?e在x=0處是第類間斷點。

31x17、設y?x?1，則x=1為y的間斷點。x?118、已知f?1??????3，則當a為時，函數(shù)f(x)?asinx?sin3x在x?處連續(xù)。

33?3??sinxx?0?2x19、設f(x)??若limf(x)存在，則a=。

1x?0?(1?ax)xx?0?x?sinx?2水平漸近線方程是。20、曲線y?x221、f(x)?4?x2?1x?12的連續(xù)區(qū)間為。

?x?a,x?022、設f(x)?? 在x?0連續(xù)，則常數(shù)

cosx,x?0?a=。

二、計算題

1、求下列函數(shù)定義域（1）y?

（3）y?e ；

2、函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？（1）f(x)?lnx

（2）f(x)?x

（3）f(x)?1, 21 ；（2）y?sinx ； 1?x21x,g(x)?2lnx ； ,g(x)?x2 ；

g(x)?sec2x?tan2x ；

3、判定函數(shù)的奇偶性

（1）y?x2(1?x2)；

（2）y?3x2?x3 ；

（3）y?x(x?1)(x?1)；

4、求由所給函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)（1）y?u

2（2）y?u

（3）y?u2,u?sinv,v?x2 ； ,u?1?x2 ； ,u?ev,v?sinx ；

5、計算下列極限（1）lim(1?n??1111?2?3???(n?1)????n)；

（2）lim ；

n??242n2

x2?5x2?2x?1（3）lim ；

（4）lim ； 2x?1x?2x?3x?

111x3?2x2（5）lim(1?)(2?2)；

（6）lim ； 2x??x?2xx(x?2)

1x2?1（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x?0x

（9）2xlim???x(x?1?x)；

6、計算下列極限（1）limsinwxx?0x ；

（3）limx?0xcotx ；

（5）limx?1x??(x?1)x?1 ；

7、比較無窮小的階

（1）x?0時，2x?x2與x2?x3 ；

（2）x?1時，1?x與1(1?x22)；

x?13?x?1?x2）limsin2xx?0sin5x ；

4）lim(xx??1?x)x ； 16）lim(1?x)xx?0 ；

（（（8、利用等價無窮小性質(zhì)求極限

tanx?sinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx?0x?0(sinx)msinx39、討論函數(shù)的連續(xù)性

(n,m是正整數(shù))；

?x?1,x?1 f(x)??在x?1。?3?x,x?

110、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(x?x?x?2?x???x2?x)；

6（3）limlnx?0sinx12x ；

（4）lim(1?)；

x??xx

（5）設f(x)?lim(1?)n??xnn,求limf(?t?11)； t?

1（6）limxln(x??x?1)； x?1

?ex,x?011、設函數(shù)f(x)??

?a?x,x?0應當怎樣選擇a，使得f(x)成為在(??，??)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

12、證明方程x?3x?1至少有一個根介于1和2之間。

5（B）

1、設f(x)的定義域是[0，1]，求下列函數(shù)定義域（1）y?f(ex)

（2）y?f(lnx)

?0,x?o2、設f(x)???x,x?0求

?0,x?0 g(x)??2?x,x?0?f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用極限準則證明：（1）lim1?n??11?（2）lim?x[]?1 ；

x?0xn

（3）數(shù)列2,4、試比較當x?0時，無窮小2?3?2與x的階。

5、求極限

（1）limx(x?1?x)；

（2）lim(x???x??2?2,2?2?2,?的極限存在 ；

xx22x?3x?1)； 2x?

1（3）limx?0tanx?sinx ； 3x

ax?bx?cxx（4）lim()x?0

31(a?0,b?0,c?0)；

1?,x?0?xsin6、設f(x)??

要使f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù)，x2??a?x,x?0應當怎樣選擇數(shù)a ？

?x1??1,x?0

求f(x)的間斷點，并說明間斷點類型。

7、設f(x)??e??ln(1?x),?1?x?0

（C）

1、已知f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x，且?(x)?0，求?(x)并寫出它的定義域。

2、求下列極限：

1?x)?coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milx???x?01?xnisx?cosx ；

xx?ax3x2?52)?9，求常數(shù)a。?sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x??5x?3x??x?ax（5）、設f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)?a,f(b)?b，證明：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點?，使f(?)??。

第一章 函數(shù)與極限習題 解 析

（A）

一、填空題（1）(1,2]

（2）(?1,??)

（3）[2，4]

（4）x2k??x?(2k?1)?（6）-3

（7）x?k?,k?z（10）充分

（11）?,k?z?

（5）[?2,;x?0

（8）2（9）1

2]

3（12）?

（13）x=1 , x=2（14）高階 22（15）同階

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[?2,1]?(1,2]

（22）1

二、計算題

1、（1）

(??,?1)?(?1,1)?(1,??)

（2）

[0,??)

（3）(??,0)?(0,??)

2、（1）不同，定義域不同

（2）不同，定義域、函數(shù)關系不同

（3）不同，定義域、函數(shù)關系不同

3、（1）偶函數(shù)

（2）非奇非偶函數(shù)

（3）奇函數(shù)

24、（1）y?(sinx2)

2（2）[y?1?x]

（3）[y?e2sinx] ??

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）?

（7）0

（8）?2（9）

6、（1）w

（2）2121 22?12?

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2x?x是x?x的低階無窮小

（2）是同階無窮小

?0,m?n1?

8、（1）

（2）?1,m?n

2??,m?n?

9、不連續(xù)

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0?e?1 解得：x?(??,0]

（2）提示：由0?lnx?1解得：x?[1,e]

2、提示：分成x?o和x?0兩段求。f[f(x)]?f(x)，g[g(x)]?0，xf[g(x)]?0 , g[f(x)]?g(x)

4、（1）提示：1?1?11111?1?

（2）提示：x(?1)?x[]?x?

xxxnn

（3）提示：用數(shù)學歸納法證明：an?2?2?2

2x?3x?22x?13x?1x??

5、提示：

令2?1?t（同階）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等階無窮小代換 ；

26、（1）提示：乘以x2?1?x ；ax?bx?cxx（4）提示：()

33??xxxxxxa?1?b?1?c?1????a?1?b?1?c?1????????1????3????????ax?1?bx?1?cx?13x1（3abc）

7、提示：limf(x)?limf(x)?f(0)

（a?0）

x?0?x?0?

8、x?1是第二類間斷點，x?0是第一類間斷點

（C）

1、解：因為f???x???e?2(x)?1?x，故?(x)?ln(1?x)，再由ln(1?x)?0，x?0。得：1?x?1，即x?0。所以：?(x)?ln(1?x)1xsinx?sin2x1?xsinx?cos2x2、解：原式=lim=lim?

x?0x?0x(1?xsinx?cosx)2xsinx(x?sinx)=0 x?0x223、解：因為當x??時，sin~，xx=?lim123x2?523x2?526x2?106?sin=lim?=lim2則lim=

x??5x?3x??x??x5x?3x5x?3x5a??1???x?axeax?=?a=e2a)=lim?

4、解：因為：9=lim(a?ex??x?ax???1???x??所以e2ax?9，a?ln3

5、證明：令F(x)?f(x)?x，F(xiàn)(x)在?a,b?上連續(xù)，且

F(a)?f(a)?a?0，F(xiàn)(b)?f(b)?b?0。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點??(a,b)，使F(?)?0，即f(?)??。