第一篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 簡(jiǎn)便運(yùn)算專題

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)

簡(jiǎn)便運(yùn)算專題

（一）一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧

根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)和特征，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)和某些公式，可以把比較復(fù)雜的四則混合運(yùn)算化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

四則混合運(yùn)算法則：先算括號(hào)，再乘除后加減，同級(jí)間依次計(jì)算

加法交換律：a?b?b?a 加法結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)

乘法交換律：ab?ba 乘法結(jié)合律：(ab)c?a(bc)

乘法分配律：a(b?c)?ab?bc 乘法結(jié)合律:ab?bc?a(b?c)除法分配律：(a?b)?c?a?c?b?c a?c?b?c?(a?b)?c

※沒有a?(b?c)=a?b?a?c和a?b?a?c=a?(b?c)減法性質(zhì)：從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以減去這兩個(gè)數(shù)的和，也可以先減去第二個(gè)數(shù)，再減去第一個(gè)數(shù)。

a?b?c?a?(b?c)?a?c?

二、典型例題

例1：計(jì)算4.75?9.63?(8.25?1.37)7.48?3.17?(2.48?6.38)

練習(xí)1：計(jì)算7

例2：計(jì)算333387

12?79?790?666611451?(3.8?1)?1 9955

練習(xí)2 計(jì)算 0.9999?0.7?0.1111?2.7

例3：計(jì)算36?1.09?1.2?67.3練習(xí)3：計(jì)算48?1.08?1.2?56.8

例4：計(jì)算 3

練習(xí)4：計(jì)算6.8?16.8?19.3?3.2例5：計(jì)算81.5?15.8?81.5?51.8?67.6?18.35?2525?37.9?625

練習(xí)5：計(jì)算235?12.1?235?42.2?135?54.3

例6：計(jì)算1234?2341?3412?4123

練習(xí)6：計(jì)算12468?24681?46812?68124?81246

例7：計(jì)算

練習(xí)7：

例8：有一串?dāng)?shù)1, 4, 9, 16，25，36……它們是按一定規(guī)律排列的，那么其中第2000個(gè)數(shù)與第2001個(gè)數(shù)相差多少？

2011?2012?20102011?2012?11993?1994?11993?1992?1994

練習(xí)8：計(jì)算20129999

?1999922?201

1※ 2012

例9：計(jì)算(9

練習(xí)9：計(jì)算(89?137?611)?(311?57?49)27?729)?57?592?20102

例10：計(jì)算①44?37

②27?15

練習(xí)10：計(jì)算①2010?1212012

例11：計(jì)算73115?18

練習(xí)11：計(jì)算4113?34?5114?45

三、習(xí)題練習(xí)

①975?0.25?934?76?9.75

26②

20102011?2012

②

18?5?58?18?10

③3.75?735?

④69135?91356?13569?35691?56913

⑤

⑥

17?34?37?16?67?112362?548?361362?548?18638?5730?16.2?62.5

第二篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：行程問題

第一講 行程問題

走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量： 距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等;速度在單位時(shí)間內(nèi)(例如1小時(shí)內(nèi))行走或移動(dòng)的距離;時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×?xí)r間

很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如

總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度-乙的速度)×?xí)r間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此

所用時(shí)間=9÷6=1.5(小時(shí)).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時(shí)).城門離學(xué)校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上;如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時(shí)走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差

1小時(shí)與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請(qǐng)看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時(shí)).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分? 解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度+乙的速度)×?xí)r間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時(shí)多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是 2÷(5-4)=2(小時(shí)).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡(jiǎn)單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)

(或E點(diǎn))相遇所用時(shí)間是 28÷5= 5.6(小時(shí)).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6=0.4(小時(shí)).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時(shí)).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時(shí)).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡(jiǎn)單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問：(1)小張和小王分別從A，D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時(shí)間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走

小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題

人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長)，因此需要的時(shí)間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長;第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個(gè)圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是 40×3÷60=2(小時(shí)).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時(shí))，小王 8÷2=4(千米/小時(shí)).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回)，他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘;小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了

此時(shí)兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是 5÷(4+6)=0.5(小時(shí)).2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.例14 一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6，24，42，78，96，…

對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請(qǐng)思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求

解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出

分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們?cè)贏B中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間 =DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =18-12 =6.而(PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間)是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得 PC上所需時(shí)間是(24+6)÷2=15，PD上所需時(shí)間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時(shí)間相等，就有 BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間 =P→D→A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間 =16.立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出，對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單些.三、稍復(fù)雜的問題

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn);(2)靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時(shí)間是 130+65=195(分鐘)=3小時(shí)15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.上面的問題有3個(gè)人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡(jiǎn)明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時(shí)，回家取車才合算.”請(qǐng)推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成： 騎車從家開始，步行從B點(diǎn)開始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計(jì)算如下：

不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個(gè)單位，從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個(gè)單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請(qǐng)?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時(shí)開出，相向而行.經(jīng)過5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：

設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí)，從C到A用了12.5-5=7.5(小時(shí)).我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位，C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位，快車每小時(shí)走3個(gè)單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了.慢車從C到A，再加停留半小時(shí)，共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢?去掉它在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí)，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1=14(單位).現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時(shí)出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時(shí)間是 14÷(2+3)=2.8(小時(shí)).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時(shí)).答：從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來時(shí)順?biāo)热r(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了B地.我們?cè)贐之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖

第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭?，與C至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此 順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時(shí)20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.第一段所用時(shí)間∶第三段所用時(shí)間=5∶2.時(shí)間一樣.第一段所用時(shí)間∶第二段所用時(shí)間=5∶9.因此，三段路程所用時(shí)間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時(shí)間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá);如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設(shè)原速度是1.%后，所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的

這是具體地反映：距離固定，時(shí)間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時(shí)間縮短到原來的

如果一開始就加速25%，可少時(shí)間

現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個(gè)32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有 x∶120=72∶32

第三篇：六年級(jí)簡(jiǎn)便運(yùn)算整理復(fù)習(xí)教案

《簡(jiǎn)便運(yùn)算整理和復(fù)習(xí)》

一、教學(xué)目標(biāo)

1．通過復(fù)習(xí)，牢記所有公式。

2．通過復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生以前知識(shí)中的問題，及時(shí)改正。3．通過復(fù)習(xí)，建立知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

通過復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生以前知識(shí)中的問題，及時(shí)幫助學(xué)生糾正，加深記憶。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）導(dǎo)入：現(xiàn)在我們做個(gè)小游戲，考考大家對(duì)數(shù)的感覺。137×25×（），括號(hào)里填幾，快速的計(jì)算。打開平板的留言功能，把你想到所有答案都寫下來。

預(yù)設(shè)1：填4、0.4、400 1/25比較多，為什么能快速計(jì)算。對(duì)，這是應(yīng)用了乘法結(jié)合律。

預(yù)設(shè)2：有個(gè)別同學(xué)填的1/125，可以吧。得多少？我們應(yīng)用的交換結(jié)合律。

小結(jié)：大家能想出這么多答案，說明對(duì)數(shù)的感覺還不錯(cuò)，不管我們應(yīng)用什么運(yùn)算定律，都是將數(shù)字進(jìn)行湊整，計(jì)算就大大的簡(jiǎn)便了。

這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算。【設(shè)計(jì)說明：直接指明方法，喚醒學(xué)生的記憶。】

（二）分層復(fù)習(xí)

1．那到底我們學(xué)過哪些運(yùn)算定律？昨天同學(xué)們都整理了，誰想展示給大家，好對(duì)照某某的，看 看你整理的對(duì)不對(duì)，并且思考我們運(yùn)用這些運(yùn)算定律做題時(shí)，有沒有好的經(jīng)驗(yàn)或者要提醒大家的地方？

【設(shè)計(jì)說明：學(xué)生自己歸納、填寫表格告，利用舉例的方法找出簡(jiǎn)算所有類型，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)概括的能力，及辨析的能力】

2.我們應(yīng)用這些運(yùn)算定律是不是可以出了好多題，我們以小組的形式來整理一下，我們可以這樣分類，加法交換律和加法結(jié)合律，我們合稱為加法交換結(jié)合律，乘法交換律和乘法結(jié)合律合稱為乘法交換結(jié)合律，我們把它歸為一類，交換結(jié)合律。第二類，乘法分配律簡(jiǎn)稱為分配律，第三類簡(jiǎn)稱為連乘連減或者有補(bǔ)充頁放這一類，我給大家讀一下小組合作要求：按分類要求收集小組內(nèi)的好題，組長找組員把題抄到白紙上，組員輔助組長拍照上傳到指定區(qū)域,并討論為什么出這些題。交換、結(jié)合律題上傳到第一區(qū)。分配律題上傳到第二區(qū)。連減法、連除法性質(zhì)及其他題上傳到第三區(qū)。

小組匯報(bào)：

第一類：7×25×4×5 32×0.25×0.125 37.28×1.25×8×100 9/4—5/8-5/4-3/8 14/3-4/3+1/3—5/4 第二類：1/8×7/5+1/8×3/5 0.78×99+0.78 6/13÷4/9+7/13×9/4 12×（3/4—5/6+1/2-7/3）101×7/100 89×57/88 第三類：28.26-3.14-6.86 165-（72+65）0.4÷0.125÷8 17/10-（7/10+3/4））

3.總結(jié)解題思路：

解題后小結(jié)解題方法和注意事項(xiàng)： 解題方法：

（1）審題：看清題目有什么特征,是否可以用簡(jiǎn)便方法計(jì)算；（2）轉(zhuǎn)化：合理地把一個(gè)因數(shù)分成兩個(gè)數(shù)的積、和或差；（3）運(yùn)算：正確應(yīng)用乘法的運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；（4）檢查：解題方法和結(jié)果是否正確。

【設(shè)計(jì)意圖：通過層層復(fù)習(xí)，學(xué)生出題，小組分類觀察數(shù)字特征和式題結(jié)構(gòu)特征，以正確判斷是否能運(yùn)用運(yùn)算定律。通過計(jì)算，回顧了簡(jiǎn)便運(yùn)算都是觀察數(shù)的特征，運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行湊整，通過口算使計(jì)算簡(jiǎn)便。】

（三）練習(xí)

1.用兩種方法計(jì)算： 8.8×125 8.8×125 教師傳送，學(xué)生作答后集體更正。2.能簡(jiǎn)算的簡(jiǎn)算

25×4÷25×4 25×4+25×4 教師上傳給學(xué)生，學(xué)生獨(dú)立完成，并小結(jié)。

【設(shè)計(jì)說明：通過這一題的練習(xí)，順勢(shì)利導(dǎo)的進(jìn)行說明，在簡(jiǎn)便計(jì)算的時(shí)候，要根據(jù)題目是否符合其中的某個(gè)運(yùn)算律或運(yùn)算規(guī)律的特征，靈活運(yùn)用這些知識(shí)，在結(jié)果不變的前提下，讓計(jì)算變得簡(jiǎn)便。不能為了湊整，而不顧運(yùn)算順序?！?/p>

3.簡(jiǎn)算：

1.25+1.25+1.25+1.25）×25×8 【設(shè)計(jì)說明：通過有層次、有針對(duì)性的練習(xí)，既使學(xué)生加深了對(duì)運(yùn)算律的掌握，又使他們進(jìn)一步體會(huì)不同的運(yùn)算律在解決問題中不同的實(shí)際作用，同時(shí)也突出靈活、合理地運(yùn)用運(yùn)算定律這一重點(diǎn)。】

（四）課堂小結(jié)：這節(jié)課你有哪些收獲？

四、板書設(shè)計(jì)

簡(jiǎn)便運(yùn)算

湊整 靈活 合理

第四篇：小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)典型性簡(jiǎn)便運(yùn)算練習(xí)

小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算歸類練習(xí)

×3÷×31.25×8834÷4÷1.71.25÷×0.8

102×7.3÷5.117+

3417

-77－3+8+2-

3233455

11+7+3700÷14÷518.6÷2.5÷0.41.06×2.5×4

217

223

13×19÷1929÷27×2719.68－（2.97＋9.68）7+（518

217)

5-(-)1.25×（8 ÷0.5）1.25×（213×0.8）9.3÷7

63110093)

0.74÷(7174

100)24×（1112

--+)(12+)×7（7-8

311231920）538

0.92×1.41＋0.92×8.59

165

×

713

-×

3713

13×1.16－1.6×1.34821-998

×11.6＋18.4×9999+999+99+93.2×12.5×253.6×0.25

7.6÷0.253.5÷0.1251.8×99＋1.83.8×9.9＋0.38

725

×103-

725

×2-

725

1.01×9.6102×0.872.6×9.9

732

×31+

732

1217

×+

22173337

×36

3337

×38

5.3×+2.7×25%0.67×10.1－6.713.5×27+13.5×72+13.5

1.5×7.4+0.6×150%+228×21.6－2.8×165.6×1.7＋0.56×83

第五篇：小學(xué)_六年級(jí)_數(shù)學(xué)奧數(shù)_分?jǐn)?shù)運(yùn)算_練習(xí)題_帶答案

六年級(jí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算

1．湊整法

與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律(如交換律、結(jié)合律、分配律)，使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)??從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化．

例1(314＋623＋134＋813)×(2－720)．解：原式＝[(314＋134)＋(623＋813)]×(2－7

20)＝(5＋15)×(2－720)＝20×2－20×720

＝40－7＝33．例2 4145×25＋327÷4＋0.25×124．解：原式＝4×25＋15×25＋32÷4+47÷4＋0.25×4×31 ＝100＋5＋8＋117＋31＝1447．2．約分法

例3 1×2×3?2×4×6?7×14×211×3×5?2×6×10?7×21×35．33

解：原式＝1×2×3?2×(1×2×3)?7×(1×2×3)1×3×5?23×(1×3×5)?73×(1×3×5)(1×2×3)×(1?23?73?)(1×3×5)×(1?23?73)?1×2×321×3×5?5．

例4 99×(1－1)×(1－123)×(1－114)×?×(1－99)．解：原式＝99×1×3×?×982×23499＝1．

3．裂項(xiàng)法

根據(jù)d1n×(n?d)＝n－1n?d(其中n，d是自然數(shù))，在計(jì)算若干個(gè)分

數(shù)之和時(shí)，若能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算． 例5 1112＋16＋12＋20＋130＋142．解：原式＝1＋1＋1＋11

1×22×33×44×5＋15×6＋6×7．＝1－111112＋2－13＋3－14＋4－15?5?116?6?17

＝1－17＝67．例6 1111×3＋3×5＋5×7＋?＋197×99．＝122×(2＋2＋? ＋2

解：原式1×33×55×7＋ 97×99)＝12×(1－1111? ＋13＋3－5＋5－17＋ 97－199)1

＝2×(1－112×984999)＝99＝99．例7 在自然數(shù)1～100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1．分析與解：這道題看上去比較復(fù)雜，要求10個(gè)分子為1，而分母不

同的分?jǐn)?shù)的和等于1，似乎無從下手．但是如果巧用“11n－1n?1＝n(n?1)”

來做，就非常簡(jiǎn)單了．

因?yàn)?＝1－1112＋12－3＋13－4＋114－5＋15－ ?，所以可根據(jù)

題中所求，添上括號(hào)．此題要求的是10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：

1＝(1－111111112)＋(2－3)＋(3－4)＋(4－5)＋(15－6)＋(11

6－17)＋(17－18)＋(11118－9)＋(9－10)＋10＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋116×7?17?1×8?8×99×10?110

＝1112?6?12?120?1?13042?156?172?190?110．所求的10個(gè)數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10．

本題的解不是唯一的，例如由1＋11030＝1＋1945推知，用9和45

替換答案中的10和30，仍是符合題意的解．

4．代數(shù)法

例8(1＋＋＋＋)－23451111(1＋＋＋＋)×(＋＋)．23452342131411＋1＋1)×(1111

分析與解：通分計(jì)算太麻煩，不可?。⒁獾矫總€(gè)括號(hào)中都有

12＋13＋14，不妨設(shè)12＋13＋14＝A，則

原式＝(1＋A)×(A＋)×A55111122＝A＋＋A＋A－A－A－A＝．55551)－(1＋A＋1

例2 計(jì)算：

分析與解 題中的每一項(xiàng)的分子都是1，分母不是連續(xù)相鄰兩個(gè)自然數(shù)之積，而是連續(xù)三個(gè)自然數(shù)的乘積.下面我們?cè)囍鴱那皫醉?xiàng)開始拆分，探討解這類問題的一般方法.因?yàn)?/p>

這里n是任意一個(gè)自然數(shù).利用這一等式，采用裂項(xiàng)法便能較快地求出例2的結(jié)果.例3 計(jì)算：

分析與解 仿上面例

1、例2的解題思路，我們也先通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的特例試圖找出其規(guī)律，再用裂項(xiàng)法求解.這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是2，分母是兩個(gè)自然數(shù)的積，其中較小的那個(gè)自然數(shù)正好等于分母中自然數(shù)的個(gè)數(shù)，另一個(gè)自然數(shù)比這個(gè)自然數(shù)大3.把這個(gè)想法推廣到一般就得到下面的等式：

連續(xù)使用上面兩個(gè)等式，便可求出結(jié)果來.因?yàn)榈谝粋€(gè)小括號(hào)內(nèi)所有分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母依次為2，3，4，?，199，所以共有198個(gè)分?jǐn)?shù).第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)所有分?jǐn)?shù)的分子也都是1，分母依次為5，6，7，?，202，所以也一共有198個(gè)分?jǐn)?shù).這樣分母分別為5，6，7，?，199的分?jǐn)?shù)正好抵消，例4 求下列所有分?jǐn)?shù)的和：

分析與解這是分?jǐn)?shù)求和題，如按異分母分?jǐn)?shù)加法法則算，必須先求1，2，3，?，1991這1991個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，單是這一點(diǎn)就已十分麻煩，為此我們只好另找其他的方法.先計(jì)算分母分別為1，2，3，4的所有分?jǐn)?shù)和各等于多少.這四個(gè)結(jié)果說明，分母分別為1，2，3，4的上述所有分?jǐn)?shù)和分別為1，2，3，4.如果這一結(jié)論具有一般性，上面所有分?jǐn)?shù)的求和問題便能很快解決.下面我們來討論一般的情況.假定分?jǐn)?shù)的分母是某一自然數(shù)k，那么分母為k的按題目要求的所有分

這說明，此題中分母為k的所有分?jǐn)?shù)的和為k，利用這一結(jié)論，便可得到下面的解答.6