定義新運算
教學目標
定義新運算這類題目是在考驗我們的適應能力，我們大家都習慣四則運算，定義新運算就打破了運算規(guī)則，要求我們要嚴格按照題目的規(guī)定做題．新定義的運算符號，常見的如△、◎、※等等，這些特殊的運算符號，表示特定的意義，是人為設定的．解答這類題目的關鍵是理解新定義，嚴格按照新定義的式子代入數(shù)值，把定義的新運算轉化成我們所熟悉的四則運算。
知識點撥
一
定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
我們學過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5
2×3＝6
都是2和3，為什么運算結果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應.只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運算不相同.二
定義新運算分類
1.直接運算型
2.反解未知數(shù)型
3.觀察規(guī)律型
4.其他類型綜合例題精講
模塊一、直接運算型
【例
1】
若表示，求的值。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
A*B是這樣結果這樣計算出來：先計算A＋3B的結果，再計算A＋B的結果，最后兩個結果求乘積。
由
A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：
5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝
26×12
＝
312
【答案】
【鞏固】
定義新運算為a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
所求算式是兩重運算，先計算括號，所得結果再計算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
【鞏固】
設△，那么，5△______，(5△2)
△_____.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】,【答案】
【鞏固】、表示數(shù)，表示，求3(68)
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
已知a,b是任意自然數(shù),我們規(guī)定:
a⊕b=
a+b-1，那么
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
表示
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
規(guī)定運算“☆”為：若a>b，則a☆b=a＋b；若a=b，則a☆b=a－b＋1；若a
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
【答案】
【例
2】
“△”是一種新運算，規(guī)定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d為常數(shù))，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的計算結果是________。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，六年級，二試
【解析】
1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=2
6△1000＝6×c＋1000×d=2006
【答案】
【鞏固】
對于非零自然數(shù)a和b，規(guī)定符號的含義是：ab＝（m是一個確定的整數(shù)）。如果14＝23，那么34等于________。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，六年級，二試
【解析】
根據(jù)14=23，得到，解出m=6。所以。
【答案】
【例
3】
對于任意的整數(shù)x與y定義新運算“△”：,求2△9。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】北京市，迎春杯
【解析】
根據(jù)定義
于是有
【答案】
【鞏固】
“*”表示一種運算符號，它的含義是：，已知，求。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
根據(jù)題意得，所以
【答案】
【例
4】
[A]表示自然數(shù)A的約數(shù)的個數(shù).例如4有1,2,4三個約數(shù),可以表示成[4]=3.計算:
=
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
因為有個約數(shù),所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】
【鞏固】
x為正數(shù),
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
<19>為不超過19的質數(shù),有2,3,5,7,11,13,17,19共8個.<93>為不超過的質數(shù),共24個,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】
【鞏固】
定義運算“△”如下:對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運算,18△12=
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】
【例
5】
我們規(guī)定：符號表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：53=35=5，符號△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：5△3=3△5=3，計算：的結果是多少？
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
規(guī)定：符號“&”為選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，“◎”為選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算。計算下式：[（7◎3）&
5]×[
5◎（3
&
7）]
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
新定義運算進行計算時如果遇到有括號的，要先計算小括號里的，再計算中括號里的。
[（7◎6）&
5]×[
5◎（3
&
9）]＝[
&
5]
×[
5◎9
]＝6×5＝30
【答案】
【鞏固】
我們規(guī)定：AB表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)。則
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽
【解析】
根據(jù)題目要求計算如下：
【答案】
【例
6】
如果規(guī)定a※b
=13×a-b
÷8，那么17※24的最后結果是______。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，4年級，1試
【解析】
17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【答案】
【鞏固】
若用G（a）表示自然數(shù)a的約數(shù)的個數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、2、3、6，共4個，記作G（6）=4，則G(36)+G(42)=。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，4年級，1試
【解析】
36的約數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的約數(shù)有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。
【答案】
【鞏固】
如果,那么。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，4年級，1試
【解析】
2&5=2+5÷10=2.5
【答案】
【例
7】
“華”、“杯”、“賽”三個字的四角號碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為244041993088，如果這個編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P于9的補碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是________.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】華杯賽，六年級，決賽
【解析】
偶數(shù)位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關于9的補碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：254948903981
【答案】
【例
8】
羊和狼在一起時，狼要吃掉羊.所以關于羊及狼，我們規(guī)定一種運算，用符號△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼.所以我們規(guī)定另一種運算，用符號☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，這個運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當狼與羊在一起時，它便被羊趕走而只剩下羊了。對羊或狼，可以用上面規(guī)定的運算作混合運算，混合運算的法規(guī)是從左到右，括號內先算.運算的結果或是羊，或是狼．求下式的結果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】華杯賽，復賽
【解析】
因為狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼無論前面結果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼總等于狼，所以
原式=狼
【答案】狼
【例
9】
一般我們都認為手槍指向誰，誰好像是有危險的，下面的規(guī)則同學們能看懂嗎
規(guī)定：警察小偷警察，警察小偷小偷．
那么：（獵人小兔）（山羊白菜）
．
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】學而思杯，4年級
【解析】
誰握著槍就留下誰，結果應該是
白菜
【答案】白菜
模塊二、反解未知數(shù)型
【例
10】
如果a△b表示,例如3△4,那么,當a△5=30時,a=
.【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
依題意,得,解得.【答案】
【鞏固】
規(guī)定新運算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x=
.【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
因為4※1=,所以x※(4※1)=
x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】
【鞏固】
如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當x⊙5比5⊙x大5時,x=
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
根據(jù)題意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】
【鞏固】
對于數(shù)a、b、c、d，規(guī)定，<
a、b、c、d
>＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x
>＝7，求x的值。
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
根據(jù)新定義的算式，列出關于x的等式，解出x即可。
將1、3、5、x代入新定義的運算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根據(jù)已知<1、3、5、x
>＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】
【例
11】
定義新運算為，⑴求的值；⑵若則x的值為多少？
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
⑴因為，所以
⑵，所以x的值為4.4.【答案】⑴
⑵
【鞏固】
對于任意的兩個自然數(shù)和，規(guī)定新運算：，其中、表示自然數(shù).如果，那么等于幾？
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
方法一：由題中所給定義可知，為多少，則就有多少個乘數(shù)．，即：602，則；，即33,所以．
方法二：可以先將（x3）看作一個整體，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以．
【答案】
【例
12】
定義為與之間（包含、）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，．在算術的方格中填入恰當?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】4星
【題型】計算
【解析】，所以方格中填的數(shù)一定大于80．如果填的是個奇數(shù)，那么只能是；如果填的是個偶數(shù)，那么這個數(shù)與60的平均數(shù)應該是80，所以只能是．因此所填的數(shù)可能是100和101．
【答案】和
【鞏固】
如有#新運算，#表示、中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，則可以是________（小于50）
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】4星
【題型】計算
【關鍵詞】101中學，入學測試
【解析】
這是一道把數(shù)論、定義新運算、倒推法、解方程等知識結合在一起的綜合題.可采用枚舉與篩選的方法.第一步先把（21#）看成一個整體.對于21#5，這個式子，一方面可把21作被除數(shù)，則等
于（21-5）16的大于5的約數(shù)，有兩個解8與16；另一方面可把21作除數(shù)，這樣滿足要求的數(shù)為26，47…，即形如21N+5這樣的數(shù)有無數(shù)個.但必須得考慮，這些解都是由所
代表的式子（21#）運算得來，而這個運算的結果是必須小于其中的每一個數(shù)的，也就是余數(shù)必須
比被除數(shù)與除數(shù)都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.現(xiàn)在只剩下8，與16.第二步求：（21#）8與（21#）16.對于（21#）8可分別解得，把21作被除數(shù)時：13，把21作除數(shù)時為：29，50，…形如21N+8的整數(shù)（N是正整數(shù)）.對于（21#）16，把21作被除數(shù)無解，21作除數(shù)時同理可得：37，58……所有形如21N+16
這樣的整數(shù).（N是正整數(shù)）.所以符合條件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．
【例
13】
已知、滿足，；其中表示不大于的最大整數(shù)，表示的小數(shù)部分，即，那么。
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】學而思杯，6年級，第3題
【解析】
根據(jù)題意，是整數(shù)，所以也是整數(shù)，那么，由此可得，所以。
【答案】
【例
14】
規(guī)定：A○B(yǎng)表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)．若（A○5＋B△3）×（B○5+
A△3）＝96，且A、B均為大于0的自然數(shù)，A×B的所有取值為
．（8級）
【考點】定義新運算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽
【解析】
分類討論，由于題目中所要求的定義新運算的符號是較大的數(shù)與較大的數(shù)，則對于A或者B有3類不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。對于B也有類似，兩者合起來共有3×3=9種不同的組合，我們分別討論。
1)
當A＜3，B＜3，則（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，無解；
2)
當3≤A＜5，B＜3時，則有（5+B）×（5+3）=96，顯然無解；
3)
當A≥5，B＜3時，則有（A+B）×（5+3）=96，則A+B=12.所以有A=10，B=2，此時乘積為20或者A=11,B=1,此時乘積為11。
4)
當A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，無解；
5)
當3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，無解；
6)
當A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，則A=9.此時B=3后者B=4。則他們乘積有27與36兩種；
7)
當A＜3，B≥5時，有（5+3）×（B+A）=96。此時A+B=12。A與B的乘積有11與20兩種；
8)
當3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此時有B=9.不符；
9)
當A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。則A=5,B=9，乘積為45。
所以A與B的乘積有11,20,27，36,45共五種
【答案】11,20,27,36,45
模塊三、觀察規(guī)律型
【例
15】
如果
1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
計算
（3※2）×5。
【考點】定義新運算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
通過觀察發(fā)現(xiàn)：a※b中的b表示加數(shù)的個數(shù)，每個加數(shù)數(shù)位上的數(shù)字都由a組成，都由一個數(shù)位，依次增加到b個數(shù)位。（5※3）×5
＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】
【鞏固】
規(guī)定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
【考點】定義新運算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】
【例
16】
有一個數(shù)學運算符號，使下列算式成立：，，求
【考點】定義新運算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
通過對，，這幾個算式的觀察，找到規(guī)律：，因此
【答案】
【鞏固】
規(guī)定△,計算：（2△1）（11△10）______.【考點】定義新運算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
這個題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和．但是我們注意到要求的10項值有一個共同的特點就是在要我們求得這個式子中b＝a－1，所以，我們不妨把b＝a－1代入原定義．
a△b就變成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，則原式＋＋＋…＋．
這里需要補充一個公式：．
【答案】
【例
17】
一個數(shù)n的數(shù)字中為奇數(shù)的那些數(shù)字的和記為，為偶數(shù)的那些數(shù)字的和記為，例如，．
；＝
．
【考點】定義新運算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽
【解析】
可以換個方向考慮。數(shù)字1在個位出現(xiàn)10次，在十位出現(xiàn)10次，在百位出現(xiàn)1次，共21次。數(shù)字2到9中的每一個在個位出現(xiàn)10次，在十位也出現(xiàn)10次，共20次。
所以，1到100中所有奇數(shù)數(shù)字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶數(shù)數(shù)字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】
模塊四、綜合型題目
【例
18】
已知：10△3=14，8△7=2，△，根據(jù)這幾個算式找規(guī)律，如果
△=1，那么=
.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】華杯賽，五年級，決賽
【解析】
規(guī)律是
a△b=(a－b)×2,所以
△x=，即
【答案】
【例
19】
如果、、是3個整數(shù)，則它們滿足加法交換律和結合律，即
⑴；⑵。
現(xiàn)在規(guī)定一種運算“*“，它對于整數(shù)
a、b、c、d
滿足：。
例：
請你舉例說明，“*“運算是否滿足交換律、結合律。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”滿足交換律
[(2,1)*
(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*
(4,3)=
(89,47)
(2,1)*[
(6,5)*(4,3)]=(2,1)
*
(39,9)=
(87,69)
所以“*”不滿足結合律
【答案】
“*”滿足交換律
“*”不滿足結合律
【例
20】
用表示的小數(shù)部分，表示不超過的最大整數(shù)。例如：記，請計算的值。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
代入計算結果分別為：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1
【例
21】
在計算機中，對于圖中的數(shù)據(jù)(或運算)的讀法規(guī)則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說，對于每一個圓圈中的數(shù)據(jù)(或運算)都是按“中→左→右“的順序。如：圖A表示：2+3，B表示2+3×2－1。圖C中表示的式子的運算結果是________。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
“教研龍”認為第2個圖最上面的圓圈應該有個2，原題卻沒有。第3個圖從上到下第3行第3個圈為2，第四個圈為42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】
【例
22】
表示成;表示成.試求下列的值:
(1)
(2)
(3);
(4)如果x,y分別表示若干個2的數(shù)的乘積,試證明:.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1);
(2);
(3)因為,所以;
(4)略
【答案】(1)
(2)81
(3)
(4)
令則..【例
23】
對于任意有理數(shù)x,y,定義一種運算“※”，規(guī)定:x※y=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數(shù)值是
_________。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
由題設的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得
解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】
【鞏固】
x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中
m、n、k均為自然數(shù)，已知
1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中
m、n、k均為自然數(shù)，已知
1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析
我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求（1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根
據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義：
a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此
要計算（1△2）*
3的值，我們就要先求出
k、m、n的值.通過1*2
=5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出
k的值.因為1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出：，（舍去）
①當m=1，n=2時：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.②當m=3，n=1時：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64，解出，這與k
是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n=1，這組值應舍去。
所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.【答案】
【例
24】
對于任意的兩個自然數(shù)和，規(guī)定新運算：，其中、表示自然數(shù).⑴求1100的值；⑵已知1075，求為多少？⑶如果（3）2121，那么等于幾？
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
⑴1100
⑵x1075,解得x3
⑶方法一：由題中所給定義可知，b為多少，則就有多少個加數(shù)．，即：602121，則x360；，即19360,所以x19．
方法二：可以先將（x3）看作一個整體y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19．
【答案】
【鞏固】
兩個不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8級）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我們不知道11和x哪個大(注意,x≠11),即哪個作除數(shù),哪個作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.1)
x<11,這時x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因為x應大于余數(shù)2),所以x=3或9.2)
x>11,這時11除x余2,這說明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解為x=3,9,13.(3)這個方程比(2)又要復雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.用y表示19☉x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19☉x都比19小,所以y應小于19.方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.當y=7時,分兩種情況解19☉x=7.1)
x<19,此時x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)
x>19,此時19除x余7,x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.當y=14時,分兩種情況解19☉x=14.1)
x<19,這時x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.2)x>19,此時19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因為x<50,所以x=19+14=33.總之,方程(19☉x)☉19=5有四個解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；；
(2)
x=3,9,13.(3)
x=12,26,33,45.【例
25】
設a,b是兩個非零的數(shù),定義a※b.(1)計算(2※3)※4與2※(3※4).(2)如果已知a是一個自然數(shù),且a※3=2,試求出a的值.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1)按照定義有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①
若a≥6,則≥2,從而與①矛盾.因此a≤5,對a=1,2,3,4,5這5個可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.【答案】(1)
(2※3)※4；2※(3※4).(2)
a=3
【鞏固】
定義運算“⊙”如下:
對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b.比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.(2)略
(3)由于運算“⊙”沒有直接的表達式,解這個方程有一些困難,我們設法逐步縮小探索范圍.因為
6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數(shù),可見
6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3.由“兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個數(shù)的積”,得到.所以.【答案】(1)；
(2)
如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小
公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公約數(shù),而這個最大公約數(shù)整除b,所以
c整除b.(3)
【鞏固】
“⊙”表示一種新的運算符號，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此規(guī)則，如果n⊙868，那么，n
____.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
因為從已知條件可歸納出的運算規(guī)則：⊙表示幾個連續(xù)自然數(shù)之和，⊙前面的數(shù)表示第一個加數(shù)，⊙后面的數(shù)表示加數(shù)的個數(shù)，于是，即
.【答案】
【例
26】
喜羊羊喜歡研究數(shù)學，它用計算器求個正整數(shù)的值。當它依次按了得到數(shù)字。而當它依次按時，驚訝地發(fā)現(xiàn)得到的數(shù)值卻是。這時喜羊羊才明白計算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正確的結果為
。（填出所有可能情況）
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第14題
【解析】，則，則，則，或，或
【答案】或
【例
27】
國際統(tǒng)一書號ISBN由10個數(shù)字組成，前面9個數(shù)字分成3組，分別用來表示區(qū)域、出版社和書名，最后一個數(shù)字則作為核檢之用。核檢碼可以根據(jù)前9個數(shù)字按照一定的順序算得。如：某書的書號是ISBN
7-107-17543-2，它的核檢碼的計算順序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。這里的2就是該書號的核檢碼。
依照上面的順序，求書號ISBN-7-303-07618-□的核檢碼。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，六年級，二試
【解析】
7×10＋3×9＋0×
8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
。
所以該書號的核檢碼是2.【答案】
【例
28】
如圖2一只甲蟲從畫有方格的木板上的A點出發(fā)，沿著一段一段的橫線、豎線爬行到B，圖1中的路線對應下面的算式：.請在圖2中用粗線畫出對應于算式：的路線．
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】2003年，希望杯
【解析】
如圖3所示，通過圖1分析知道向上前進一格要加上1，向下前進一格要減1，向左前進一格要減去2，向右前進一格要加上2.【答案】
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