第一篇：第6章大數(shù)定理和中心極限定理 習題答案

1n

6-1設Yn??Xi,再對Yn利用契比雪夫不等式: ni?1

?n?D??Xi?DY?i?1??2n???n???0P?Yn?EYn????2n?2222?n?n?

故?Xn?服從大數(shù)定理.6-2設出現(xiàn)7的次數(shù)為X,則有

X~B?10000,0.1?,由棣莫佛-拉普拉斯定理可得

P?X?968??P?

6-3EXi?EX?np?1000,DX?900 ?X?1000968?1000??16????1?????0.1430?30??15? 1,2DXi?1 12

?Xi?10?

由中心極限定理可知, 101,所以

?10??10?P??Xi?6??1?P??Xi?6??1???1???i?1??i?1?,6-4設報各人數(shù)為X,則EX?100

由棣莫佛-拉普拉斯定理可得 ?0.136 DX?100..?X?EX120?100?P{X?120}?P?????DX

?1???2??0.0228

6-5設Xi??第i個人死亡?1

?0第i個人沒有死亡?i?1,2,?,10000?,則

P?Xi?0??0.994 P?Xi?1??0.006,總保險費為12?10000?1.2?10(萬元)5

(1)當死亡人數(shù)在達到1.2?105/1000?120人時,保險公司無收入.np?104?0.006?60,所以保險公司賺錢概率為

?0.1295

??PX1?X2??X10000?np??0.1295??120?60???

??

???7.77??1

因而虧本的概率為P??1?P?0.(2)若利潤不少于40000，即死亡人數(shù)少于80人時,??PX1?X2??X10000?np??0.1295??80?60???

??

???2.59??0.9952

若利潤不少于60000，即死亡人數(shù)少于60人時,??PX1?X2??X10000?np??0.1295??60?60???

??

???0??0.5

若利潤不少于80000，即死亡人數(shù)少于40人時,??PX1?X2??X10000?np??0.1295??40?60???

??

????2.592??0.0048

6-6設總機需備Y條外線才能有95%的把握保證每個分機外線不必等候,設隨機變量Xi???1第i架電話分機用外線

?0第i架電話分機不用外線,?i?1,2?,則,2?60

P?X?1??0.04,EXi?0.04,由中心極限定理可得 P?X?0??0.96 DXi?0.04?0.0016?0.0384

?260??Y?260?0.04?P??Xi?Y??????95% ?260?0.0384??i?1?

Y?16

6-7密度函數(shù)為f?x????1當?0.5?x?0.5 其他?0

故數(shù)學期望為EX??0.5

?0.5xdx?0

20.5

?0.5DX?EX2??EX???

(1)設Xi為第i個數(shù)的誤差,則 x2dx?1 12

???300??P??Xi?15??P??i?1??????Xi?15?i?1???2?(3)?1?0.9973 3005?DX?i?i?1?300

?300??300?P??Xi?15??1?P??Xi?15??0.0027

?i?1??i?1?

?n?(2)P??Xi?10??2??1?0.9?n?440.77 ?i?1?

?300??Y?(3)P??Xi?Y??2????1?0.997?Y?14.85 ?5??i?1?

6-8EX?5?10?2kg,??5?10?3kg

(1)設Xi 為第i個螺釘?shù)闹亓?則

nEX?100?5?10?2,5?10?3?0.05

?100?X?nEX?i??100?5.1?5??i?1?P??Xi?5.1??P????1??(2)?0.02280.05?n?i?1?? ????

?1第i個螺釘?shù)闹亓砍^5.1kg(2)設Yi???0第i個螺釘?shù)闹亓坎怀^5.1kg?i?1,2,?,500?,則

np?11.4np(1?p)?3.33

?500?Y?np?i??500?20?11.4??i?1?P??Yi?500?4％??P?????(2.58)?0.9951 3.33?i?1??np(1?p)?????

6-9設隨機變量Xi???1第i個人按時進入掩體

其他?0

n

i?i?1,2,?,1000?,按時進入掩體的人數(shù)為Y,則Y??X,Y~B?10000,0.9?,所以有 i?1

EY?1000?0.9?900,設有k人按時進入掩體，則 DY?900?0.1?90

?k?900?????0.95????

k?900?1.645 90

k?884或k?916

第二篇：ch5大數(shù)定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發(fā)生

1.設Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨立,令

1,事件A發(fā)生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設X1，X2，……，Xn是來自總體N（μ,σ2）的樣本，對任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設隨機變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設隨機變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率

近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對任意實數(shù)x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設隨機變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設隨機變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計P（|X－_____1/4___________．

5．設隨機變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設Xi=??1,事件A不發(fā)生事件A發(fā)生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態(tài)分布，其方差為___16________。

7．設隨機變量X ~ B（100，0.2），應用中心極限定理計算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設?n為n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設隨機變量X～B(100，0.5)，應用中心極限定理可算得P{40

10.設X1,X2,?,Xn是獨立同分布隨機變量序列，具有相同的數(shù)學期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當n充分大的時候，隨機變量Zn?

_N(0,1)_______(標明參數(shù)).1X?i?1ni的概率分布近似服從

第三篇：第5章大數(shù)定律與中心極限定理習題答案

5.1—5.2 大數(shù)定律與中心極限定理習題答案

1解:由切比雪夫不等式得:

P(|X?E(X)|<ε)?1?D(X)

?2=1?0.009

?2?0.9.即?2?0.09,??0.3故?min?0.3

2解:由 EX=?2,EY=2,則E(X+Y)=0,Cov(X,Y)= ?XYDXDY=?0.5?1?2＝?1,D(X?Y)1 = 3612D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=1＋4＋2?（?1）＝3 由切比雪夫不等式得:P(|X+Y|?6)?

3解:設Xi表示第i個麥穗粒數(shù)，i=1,……100, 則X1,?,X100相互獨立且服從相同分布.E(Xi)?20,D(Xi)?15,i?1,...,100.，E(2?X)=2000 ,D(?Xi

i?1i?1100100i)=22500.設X表示100個麥穗的麥粒總數(shù)，則由中心極限定理知

X=?Xi?N(2000,1502)（近似服從）

i?1100

故所求概率為：P(1800?X?2200)=P(|X-2000|?200)=?()??(?)=2?()?1?2?0.9082?1?0.8164.4解：(1)由題意可知被盜的概率P=0.2，則 X?B(100,0.2)，其分布律為

kP(X?k)?C1000.2k0.8100?k,k?0,1,.......100 434343

(2)?E(X)?np?20,D(X)?npq?16,由中心極限定理知X?N(20,4)（近似服從）.所求概率為

P(14?X?30)? ?(2.5)??(?1.5)=0.9938-1+0.9332=0.927.解：設X表示這1000粒種子的發(fā)芽粒數(shù)，則X?B(1000,0.9)

從而E(X)?np?900,D(X)?npq?90.由中心極限定理知X?N(900,90)（近似服從）.故所求概率為2

P(|X?0.9|?0.02)?P(|X?900|?20)1000

??20)???()2?(2.108??)?1900..96

第四篇：第5章大數(shù)定律及中心極限定理習題及答案0518

第 5 章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、填空題：

2.設?1,?2,?,?n是n個相互獨立同分布的隨機變量，n

E(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)對于??

?

i?

1?in，寫出所滿足的切彼雪夫不等式

P{|???|??}?

D(?)?

2?

8n?

2，并估計P{|???|?4}?1?

12n

n

D(?)?

?

i?1

D(?i)n

?

?

n

?

8n

3.設隨機變量X1,X2,?,X9相互獨立且同分布, 而且有EXi?1,9DXi?1(i?1,2,?,9), 令X?

?

i?1

Xi, 則對任意給定的??0, 由切比雪夫不等式

直接可得PX?9????1?

9?

解：切比雪夫不等式指出：如果隨機變量X滿足：E(X)??與D(X)??2都存在, 則對任意給定的??0, 有

P{|X??|??}?

??

22, 或者P{|X??|??}?1?

??

.由于隨機變量X1,X2,?,X9相互獨立且同分布, 而且有EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以

?9?

??E(X)?E??Xi??

?i?1?

i

?E(X

i?19)?

?1?9,i?19

?

?9?

?D(X)?D??Xi??

?i?1?

?D(X

i?1

i)?

?1?9.i?1

p是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，7、設?n表示n次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則由中心極限定理（D－L）

P{a??n?

b}＝P?

?

41b?np

?

np(1?p)a?npnp(1?p)

12?

e

?

t

dt

8.設隨機變量?n,服從二項分布B(n,p), 其中0?p?1,n?1,2,?, 那么, 對于任一實數(shù)x, 有l(wèi)imP{|?n?np|?x}?n???

由中心極限定理（D－L）

limP{|?n?np|?x}?limPn???

n???

?

?limPn???

|??np|

?

?lim[?n???

??(?

?limPn???

??lim[2?n???

?1]?2?(0)?1?0

二．計算題：

3、某微機系統(tǒng)有120個終端, 每個終端有5%的時間在使用, 若各終端使用與否是相互獨立的, 試求有不少于10個終端在使用的概率.解：某時刻所使用的終端數(shù)?~b(120,0.05),np?6,npq?5.7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

10?6P{??10}?1?P{??10}?1???1??(1.67)?0.0475.5．隨機地擲六顆骰子，試利用切比雪夫不等式估計：六顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和不小于9且

不超過33點的概率。

解：設?表示六顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和。?i表示第i顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，6i = 1，2，…，6。?1，?2，…，?6 相互獨立，顯然??

??

i?1

2i

43512

E?i?

?1?2?3?4?5?6??

2

72,D?i?

?1?2???6

2??

?

E??21,D??

應用切必雪夫不等式

p?9???33??p??12???21?12?＝p??E??12?

?1?

D???169

?1?

35338

?0.9

答：六顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和不小于9且不超過33點的概率不小于0.9。

6.設隨機變量?1,?2,?,?n 相互獨立，且均服從指數(shù)分布

?1??e??xx?0

???0?為 使P?f(x)??

?0x?0?n

問： n的最小值應如何 ？

n

?

k?

1?k?

1?

?

1?9

5，??10??

解: E?k?

?1

E??n

n

1?,D?k?

1?

n

n

1??1

??,D??k??nk?1??1?

????kn2k?1?

??D?k??

k?1

1n?

由 切 比 雪 夫 不 等 式得

?1

P??n?

?11???????P??k?10??

?k?1??n

n

?1

??E?k?nk?1?

n

1?

????k

10?k?1?

n

2?95??1??, ?2

100??1??

???10??

即1?

100n

?

95100,從而n ? 2000，故n的最小值是2000.7．抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設某批產(chǎn)品次品率為10%，問至少應抽取多少個產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達到0.9? 解：? 設n為至少應取的產(chǎn)品數(shù)，X是其中的次品數(shù)，則X~b(n,0.1)，X?n?0.1n?0.1?0.9

10?n?0.1n?0.1?0.9

P{X?10}?0.9，而P{?}?0.9

所以P{

X?n?0.1n?0.1?0.9

?

10?0.1n0.09n

?0.1

由中心極限定理知，當n充分大時，有P{

X?0.1nn?0.1?0.910?0.1n0.3n

?

10?0.1n0.09n

??（10?0.1n0.3n)?0.1，?由?(,查表得)?0.1

10?0.1n0.3n

??1.28 ?n?147

8．(1)一個復雜系統(tǒng)由100個相互獨立的元件組成，在系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為

0.1，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少必需要有85個元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假設有n個相互獨立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運行，問n至少為多大時才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95? 解：(1)設X表示正常工作的元件數(shù)，則X~b(100,0.9)，85?90

9X?100?0.9?0.1?0.9

100?90

P{X?85}?P{100?X?85}?P{

3X?903

??

?P{???}

由中心極限定理可知

P{X?85}??(??（10

103)??(?

53)??（10)?(1??())33

55)??()?1??()?0.95 333

(2)設X表示正常工作的元件數(shù)，則X~b(n,0.9)

?0.1n0.3n

n3

P(X?0.8n)?P(0.8n?X?n)?P{?

X?0.9nn?0.9?0.1

?

0.2n0.3n

?P{?

n3

?

X?0.9n0.3n

?

n}?P{??

X?0.9n0.3n

?1??(?

n3)??（n3)?0.95?

n3

?

?n?25

9．一部件包括10部分，每部分的長度是一隨機變量，相互獨立且具有同一分布，其數(shù)學期望為2 mm，均方差為0.05 mm，規(guī)定總長度為20 ? 0.1 mm 時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。已 知 ：?(0.6)= 0.7257；?(0.63)= 0.7357。

解：設每個部分的長度為Xi(i = 1, 2, …, 10)E(Xi)= 2 = ?, D(Xi)= ? =(0.05)

2,依題意，得合格品的概率為

?

P??0.1??

0.63

?X

i?1

i

???1

?20?0.1??P??0.63?(?Xi?10?2)?0.63?

3.18?0.05i?1???

?

??0.63

???

12?

?

t

e12?

dt?2?

?t

0.63

12?

?

t

e

dt

?2?

0.63

e

dt?1?2?0.7357?1?0.4714

13.保險公司新增一個保險品種：每被保險人年交納保費為100元, 每被保險人出事賠付金額為2萬元.根據(jù)統(tǒng)計, 這類被保險人年出事概率為0.000 5.這個新保險品種預計需投入100萬元的廣告宣傳費用.在忽略其他費用的情況下, 一年內(nèi)至少需要多少人參保, 才能使保險公司在該獲利超過100萬元的概率大于95%？

(?(x)?

?

x??

?

t

dt,?(1.29)?0.9015,?(1.65)?0.9505,?(3.09)?0.9990,?(3.72)?0.9999,?(4.27)?0.99999)

解：設參保人數(shù)為N人(X是出事人數(shù)，X?B(N,0.0005), 則

?1,?0,?0

i?1,2,?,N,?i~?

第i人不出事，?q第i人出事，1?

?,E?i?p,D?i?pq.p?

?i??

N

P(20000??i?1000000?100N?1000000)?0.95.i?1

（P(20000X?1000000?100N?1000000)?0.95.）

N

P(??i?N/200?20000)?0.95.（P{X?N/200?20000}?0.95）

i?1

??P????

N

??i?Np

100N?2000000?

??Np?

?0.95.?

10N0?

由

2000000

?Np

?1.65,N?20000?200Np?p?0.0005,q?

0.9995,0.9N?20000?2

9N?2?10?310

81N?(36?10?3300pq)N?4?10

?0,N?45068.03N?493827160.49?

0,?63296.41,N?54182.22.14、證明題 :設隨機變量X的密度函數(shù)為

?xn?x

e,?

f(x)??n!

?0,?

x?0,x?0.求證

P(0?X?2(n?1))?

nn?1

.?0

證：由分部積分或遞推公式，F(xiàn)(n)?

?

x

n

n!

dx?1

?x

E(X)?

?

????

xf(x)dx?

?

??0

x

n?1

n!

edx?(n?1)?

??0

?x

??0

x

n?1

(n?1)!

n?2

?x

edx?n?1,?x

E(X)?

?

??0

x

n?2

n!

edx?(n?1)(n?2)?

?x

x

(n?2)!

edx?(n?1)(n?2),D(X)?E(X)?[E(X)]?(n?1)(n?2)?(n?1)?n?1.由切比雪夫不等式得

P(0?X?2(n?1))?P(|X?(n?1)|?n?1)

?P(|X?E(X)|?n?1)

?1?

D(X)(n?1)

?1?

n?1(n?1)

?

nn?1.

第五篇：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理

概率統(tǒng)計是研究隨機變量統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科，而隨機現(xiàn)象的規(guī)律只有在對大量隨機現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來。研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導致對極限定理進行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個隨機變量離差平方的數(shù)學期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機變量的離差與方差之間的關系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數(shù)ε>0，有:

或：

［例5-1］設X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，若給定ε=2,2.5，實際計算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當ε=2時，當ε=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6 800～7 200的概率。

解：設X表示在夜晚同時開著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000,p=0.7的二項分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應7 000盞燈的電力就能夠以相當大的概率保證夠用。

[例5-3補充] 用切比雪夫不等式估計

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機變量X取值與期望EX的差的絕對值大于其均方差小。

5.2 大數(shù)定律

在第一章中曾經(jīng)提到過，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個確定的常數(shù)值附近。另外，人們在實踐中還認識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，即平均結(jié)果的穩(wěn)定性。大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表示證明了在一定的條件下，大量重復出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。

5.2.1 貝努利大數(shù)定律

定理5-2 設m是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對任意正數(shù)ε，有

貝努利大數(shù)定律說明，在大量試驗同一事件A時，事件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。

5.2.2 獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

先介紹獨立同分布隨機變量序列的概念。

稱隨機變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨立的，若對任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列。

定理5-3 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對于任意ε>0有

這一定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機變量在統(tǒng)計上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計穩(wěn)定性的深刻描述；同時，也是數(shù)理統(tǒng)計的重要理論基礎。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數(shù)學期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機變量 的分布函數(shù)為Fn（x），則對于任意實數(shù)x，有

（不證）

其中φ（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)。

由這一定理知道下列結(jié)論：

（1）當n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態(tài)分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個獨立同分布的正態(tài)隨機變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當n充分大時，其和Zn近似服從正態(tài)分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標準化隨機變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值 的分布近似于正態(tài)分布

[例5-3]對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊時命中目標的炮彈數(shù)是一個隨機變量，其數(shù)學期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的概率。解 設Xi為第i次射擊時命中目標的炮彈數(shù)（i=1,2,…,100），則中命中目標的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機變量近似服從標準正態(tài)分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數(shù)分布。現(xiàn)隨機抽出16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量Zn是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對于任意實數(shù)x

其中q=1-p,φ（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：

（1）在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設Zn為n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當n充分大時，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的頻率，則當n充分大時，近似服從正態(tài)分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設同時開著的燈數(shù)為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨立重復試驗中事件A

【例5-6】設某單位內(nèi)部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設X為1000臺分機中同時使用外線的分機數(shù)，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據(jù)題意，設N為滿足條件的最小正整數(shù)

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標準正態(tài)分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。

小結(jié) 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說明試驗次數(shù)很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

取值穩(wěn)定在期望附近。

它說明在大量試驗中，隨機變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應用問題。