第一篇：高三一輪復(fù)習(xí)教案26直接證明與間接證明學(xué)生版

直接證明與間接證明

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．

(2)分析法

①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個(gè)明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]

1． 綜合法證明問(wèn)題是由因?qū)Ч治龇ㄗC明問(wèn)題是執(zhí)果索因．

2． 分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用．

基礎(chǔ)題 1． 要證明“3＋5”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________．(填序號(hào))

①反證法，②分析法，③綜合法．

ba2． 下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使≥2成立的條件ab的個(gè)數(shù)是________．

3． 已知函數(shù)f(x)＝lg

4． 下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分

析法是逆推法；⑤反證法是間接證法．其中正確的有

A．2個(gè)/ 6

1－x，若f(a)＝b，則f(－a)＝______(用b表示)． 1＋x()B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

5． 用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)

A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60° B．三個(gè)內(nèi)角都大于60° C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° 題型分類(lèi)

題型一 綜合法的應(yīng)用

()

111?2例1 已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋??abc?≥63，并確定a，b，c為何

值時(shí)，等號(hào)成立．

21思維啟迪：利用a2＋b2≥2ab，再利用ab2，根據(jù)這個(gè)解題思路去解

ababab答本題即可．

已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝1.求證：(1)a2＋b2＋c2≥；

3(2)3a＋23b＋23c＋2≤6.題型二 分析法的應(yīng)用

?a＋mb?2≤a＋mb.例2 已知m>0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m?

思維啟迪：本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法．

已知a>0，求證：

題型三 反證法的應(yīng)用

例3 已知a≥－1，求證三個(gè)方程：

211a2－2≥a＋－2.aa

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

思維啟迪：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，即“三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根”．

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝12，S3＝9＋32.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；

S(2)設(shè)bn(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

n

隨堂練

A組 專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1． 若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a

A．a(chǎn)c2

B．a(chǎn)2>ab>b2 baD.ab

()

()

2． 設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，則a與b大小關(guān)系為

A．a(chǎn)>b

B．a(chǎn)

C．a(chǎn)＝b

D．a(chǎn)≤b

3． 分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，b－ac<

3a”索的因應(yīng)是 A．a(chǎn)－b>0

()

B．a(chǎn)－c>0 D．(a－b)(a－c)<0

C．(a－b)(a－c)>0

4． 用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為

()

A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

二、填空題(每小題5分，共15分)

5． 設(shè)a>b>0，mab，n＝a－b，則m，n的大小關(guān)系是__________．

6． 用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d

中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是_____． 7． 設(shè)x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若

x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________(填寫(xiě)所有正確條件的代號(hào))．

①x為直線，y，z為平面；②x，y，z為平面；③x，y為直線，z為平面；④x，y為平面，z為直線；⑤x，y，z為直線．

三、解答題(共22分)

ππ

10，?，若x1，x2∈?0，且x1≠x2，求證：[f(x1)＋8．(10分)已知函數(shù)f(x)＝tan x，x∈??2??2

2f(x2)]>f?

9．(12分)已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，又SB＝SD2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

x1＋x2?

?2?.B組 專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿(mǎn)分：43分)

一、選擇題(每小題5分，共15分)

1． 若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是

A．lg(1＋a2)>0C．a(chǎn)2＋3ab>2b

2()

B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)aa＋1D.bb＋

1()

2． 設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋c

bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－2

3． 已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對(duì)任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．給出以下三個(gè)結(jié)論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 A．

3()

B．2C．1D．0

二、填空題(每小題5分，共15分)

4． 關(guān)于x的方程ax＋a－1＝0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 5． 若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，那么當(dāng)n>2，n∈N*時(shí)，an＋bn與cn的大小關(guān)系為_(kāi)___________．

6． 凸函數(shù)的性質(zhì)定理為如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，f?x1?＋f?x2?＋?＋f?xn??x1＋x2＋?＋xn?，xn，有f

nn??，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上 是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為_(kāi)_______．

三、解答題

a?x－1?

7．(13分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－.x＋1

(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍； m－nm＋n＋

(2)設(shè)m，n∈R，且m>n，求證：.ln m－ln n2

第二篇：直接證明和間接證明復(fù)習(xí)教案

高三數(shù)學(xué)教案

【課題】直接證明和間接證明能力要求:A

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：了解直接證明的方法——綜合法和分析法；了解間接證明的方法——反證法 過(guò)程與方法：通過(guò)師生互動(dòng)，讓學(xué)生掌握三種證明方法。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

能應(yīng)用綜合法和分析法解決一些簡(jiǎn)單的證明題。

一、知識(shí)回顧

1、綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的方法。其特點(diǎn)是由因?qū)Ч?/p>

2、分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推理過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）的方法。其特點(diǎn)是執(zhí)果索因

3、反證法：其證明步驟是

（1）提出假設(shè)——假設(shè)命題的 結(jié)論不成立。

（2）推出矛盾——從 已知條件和事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理。得出 矛盾的結(jié)果。

（3）得出結(jié)論——由 矛盾結(jié)果，斷定 假設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。

二、預(yù)習(xí)作業(yè)

1、比較大?。?/p>

2??

2、下列表述：（1）綜合法是執(zhí)因?qū)Ч?。?）綜合法是順推法。（3）分析法是執(zhí)因?qū)Чā＃?）分析法是間接證明法。（5）反證法是逆推法。正確的語(yǔ)句有 3個(gè)。

3、在用反證法證明命題時(shí)，“若x?0,y?0且x?y?2，則1?y1?x和中至少有一個(gè)xy

小于2”時(shí)，假設(shè)則1?y1?x和都不小于2xy4、已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5，-2），（1，2），（10，3），則?ABC的形狀是直角三角形

5、若a?b?0，則下列不等式中總成立的是

11bb?1?b?（2）?baaa?

1112a?ba?（3）a??b?（4）aba?2bb（1）a?

6、方程lnx－6+2x=0的解x0，則滿(mǎn)足x?x0的最大整數(shù)解是

三、例題

例

1、在數(shù)列?an?中，a1?2,an?1?4an?3n?1,n?N*.(1)證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列。

(2)求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和sn

(3)證明不等式

例

2、?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊。求證：

sn?1?4sn對(duì)任意n?N*都成立。113?? a?bb?ca?b?c

例

3、若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?

證明：a,b,c中至少有一個(gè)大于0.2?3，b?y?2z?2?3,c?z2?2x??3，22變題：若下列三個(gè)方程：x?4ax?4a?3?0，x?(a?1)x?a?0，2x2?2ax?2a?0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、學(xué)教小結(jié)

五、當(dāng)堂反饋

1、“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是多有一個(gè)鈍角。

?ABC的外接圓的圓心為O，2、兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH?m(OA?OB?OC), 則實(shí)數(shù)m的值是

1直接證明和間接證明作業(yè)卷

1、函數(shù)y?f(x)是R上的偶函數(shù)，周期為2，當(dāng)2

22、若函數(shù)f(x)的圖像可由函數(shù)y?lg(1?x)的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到，則 0

f(x)x3、在Rt?ABC中，?A?90，AB=1,則??0

b?1（2）a?b?0?a?2?b?2 a

ab（3）a?b,c?d,abcd?0??cd（1）a?b?0?

4、給出下列命題：

（4）a?b?0,c?d?0?a?db其中真命題的序號(hào)是d5、若a,b,c,d,x,y是正實(shí)數(shù)，且P?的大小關(guān)系為ab?cd，Q?ax?cy?bd?，則P、Qxy6、p?2x4?1,q?2x3?x2,x?R，則p和q得大小關(guān)系是p?q7、設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為2，前n項(xiàng)的和為sn,sn?1,sn,sn?2成等差數(shù)列，則q的值為-

28、若a?b?0，求證：a??

9、已知為a非零常數(shù)，f(x?a)?a?b1?f(x)(x?R,f(x)?1)，試判斷f(x)是否1?f(x)

為周期函數(shù),證明你的結(jié)論。

（0，1）（1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能同時(shí)大于

10、已知a,b,c?,求證1。4

第三篇：人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練38：直接證明與間接證明

人教版2013屆高三一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練38

直接證明與間接證明

x－y1．若|x|<1，|y|<1，試用分析法證明：|1－xy

x－y證明：要證1－xy

x－y2只需證：|<1?|x－y|2<|1－xy|2 1－xy

22?x＋y－2xy<1－2xy＋x2y

2?x2＋y2－1－x2y2<0

?(y2－1)(1－x2)<0

?(1－y2)(1－x2)>0.因?yàn)閨x|<1，|y|<1，所以x2<1，y2<1，x－y從而(1－y2)(1－x2)>0成立，故|1－xy

sinB＋sinC2．在△ABC中，sinA＝，試判斷△ABC的形狀并證明． cosB＋cosC

解：△ABC是直角三角形，證明如下：

sinB＋sinC∵sinA＝A＋B＋C＝π，cosB＋cosC

∴sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(B＋A)．

∴sinCcosA＋sinBcosA＝0，即(sinC＋sinB)cosA＝0.π又∵sinC＋sinB≠0，∴cosA＝0，∴A＝ 2

∴△ABC是直角三角形．

一、選擇題

1．(2012·洛陽(yáng)調(diào)研)用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()

A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)

C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)

D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

解析：選B.自然數(shù)a，b，c中為偶數(shù)的情況為：a，b，c全為偶數(shù)；a，b，c中有兩個(gè)數(shù)為偶數(shù)；a，b，c全為奇數(shù)；a，b，c中恰有一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以反設(shè)為：a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)．

2．若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a

A．a(chǎn)c2ab>b

211baC. abab

2解析：選B.a－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.①

又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.1113．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則ab＋c)bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－2

111解析：選C.因?yàn)閍＋＋b＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.bca

4．若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()

A．lg(1＋a2)>0B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)

aa＋1C．a(chǎn)2＋3ab>2b2D.

1解析：選B.在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．

5．若a、b、c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b與a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．

其中判斷正確的個(gè)數(shù)是()

A．0B．

1C．2D．

3解析：選C.①②正確，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3.二、填空題

6．用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：________.解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒(méi)有一個(gè)非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”．

答案：a，b，c，d全是負(fù)數(shù)

7．(2012·黃岡質(zhì)檢)在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿(mǎn)足________．

b2＋c2－a

2解析：由余弦定理cosA＝<0，2bc

所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2

8．設(shè)a3＋2，b＝27，則a，b的大小關(guān)系為_(kāi)_______．

解析：a3＋2，b＝27兩式的兩邊分別平方，可得

a2＝11＋46，b2＝11＋47，顯然7.∴a

三、解答題

9．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac3a.b－ac3a，只需證b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)<3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.因?yàn)閍>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，顯然成立．

故原不等式成立．

10．已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：

(1)證明：由已知得SA＋AD＝SD，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC?平面SAD，∴BC∥平面SAD.而B(niǎo)C∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，∴假設(shè)不成立．故不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.11．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．若f(c)＝0，且00.1(1)證明：f(x)的一個(gè)零點(diǎn)； a

1(2)試比較c的大?。?a

解：(1)證明：∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c又x1x2 a

11∴x2＝c)，aa

1∴f(x)＝0的一個(gè)根． a

1即f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． a

11(2)c>0，aa

1由00，知f()>0，a

11這與f＝0c，aa

11又∵≠c，∴>c.aa

222

第四篇：2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航：20.2直接證明與間接證明

20.2直接證明與間接證明

【考綱要求】

1、了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).3、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.2.綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法.3.反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.[來(lái)源:Z。xx。k.Com]

應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；⑶由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；⑷間接證明命題為真.4.數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)｛pn｝是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設(shè)pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以斷定，｛pn｝對(duì)一切正整數(shù)成立.5.直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法──反證法.6.數(shù)學(xué)歸納法的步驟：（1）證明當(dāng)n=1時(shí)，命題成立。（2）證明假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。由（1）（2）得原命題成立

【例題精講】

例1已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)．

求證：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a和y＝cx＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

證明：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(即任何一條拋物線與x軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn))，由y＝ax＋2bx＋c，222

2y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)－4ac≤0，Δ2＝(2c)－4ab≤0，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

Δ3＝(2a)－4bc≤0.上述三個(gè)同向不等式相加得，4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≤0，∴a＝b＝c，這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證．

111例2已知a＞0，－1, 1＋a＞.ba1－b 222222222222

1【證明】 證法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，ba

要證1＋a＞

1－b可證1＋a·1－b＞1，a－b11

即證1＋a－b－ab＞1，這只需證a－b－ab＞01，即1，abba

而這正是已知條件，以上各步均可逆推，所以原不等式得證．

1及a＞0，可知1＞b＞0，ba11

∵－＞1，ba

∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得1＋a1－b＞1，即1＋a＞.1－b

[來(lái)源:學(xué)_科_網(wǎng)]20.2【基礎(chǔ)精練】

1．用反證法證明命題“如果a>b，那么a>b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

3A.a＝b

33B.a<

3333D.a＝b或a

直接證明與間接證明強(qiáng)化訓(xùn)練

3333

C.a＝b且a

2．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件

有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

3．設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合．在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng))．若對(duì)任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()

A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b

4．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()

A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|C．|a－b|＋

a－b

2B．a(chǎn)＋≥a＋baab

aa

D.a＋3a＋1a＋2－a

5．已知函數(shù)f(x)＝ax＋2a＋1，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為_(kāi)_______． 6．如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)

是不小于5的正整數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.那么具有這種性質(zhì)的函數(shù)f(x)＝________.(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)函數(shù)即可)

7．如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(n∈N)行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是

________________．11 121 1331 14641 ??[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)]

8．試證：當(dāng)n∈N時(shí)，f(n)＝

39．如右圖所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥

平面BDE.10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn滿(mǎn)足Sn＝2an－3n(n∈N)．

(1)求證{an＋3}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{an}是否存在三項(xiàng)使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【拓展提高】

1.如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M、N分別為AB、DF的中點(diǎn)．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

*

*

2n＋

2

－8n－9能被64整除．

【基礎(chǔ)精練參考答案】

5.－1

f(1)·f(－1)<0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－11時(shí)，f(x)<0，∴a<0且f(1)＝a＋6≤0.∴a≤－6(a∈Z)．∴a＝－6，－7，－8?都符合要求． 7.2－2n解析：所有數(shù)字之和Sn＝2＋2＋2＋?＋2

n

－1)＝2－2n.n

n－

1＝2－1，除掉1的和2－1－(2n

nn

8.證明：證法一：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝64，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N，k≥1)時(shí)，f(k)＝3當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由于

32(k＋1)＋2*

2k＋2

－8k－9能被64整除．

－8(k＋1)－

9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1時(shí)命題也成立． 根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)于任意n∈N，命題都成立． 證法二：(1)當(dāng)n＝1時(shí)f(1)＝64 命題顯然成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N，k≥1)時(shí)，f(k)＝3由歸納假設(shè)，設(shè)3將

32k＋

22k＋2

*

2k＋2

*

－8k－9能被64整除．

－8k－9＝64m(m為大于1的自然數(shù))，＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得

f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1時(shí)命題也成立．

根據(jù)(1)(2)知，對(duì)于任意n∈N，命題都成立． 9.證明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.又∵O是正方形的中心，∴BD⊥AC.∵PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.10.證明：(1)∵Sn＝2an－3n(n∈N)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由?

?Sn＝2an－3n，?

*

*

??Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)

n

得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，[來(lái)源:學(xué)§科§網(wǎng)

Z§X§X§K]

∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首項(xiàng)為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列．[來(lái)源:Zxxk.Com] ∴an＋3＝6×2

n－

1，即an＝3(2－1)．

(2)解答：假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar，as，at(r

s

r

t

s＋1

＝2＋2，∴2

rts＋1－r

＝1＋2

t－r

(*)

∵r、s、t均為正整數(shù)且r

列。[來(lái)源:Zxxk.Com][來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] 【拓展提高參考答案】

解：(1)取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG、NG.設(shè)正方形ABCD、DCEF的邊長(zhǎng)為2，則MG⊥CD，MG＝2，NG2.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．

因?yàn)镸N6，所以sin∠MNG＝MN與平面DCEF所成角的正弦值．

(2)證明：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于

EN.由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立．[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K][來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

所以ME與BN不共面，它們是異面直線．

第五篇：直接證明與間接證明

鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測(cè)”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會(huì)用直接法證明一般的數(shù)

學(xué)問(wèn)題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；會(huì)用反證

法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題 3.求證?7?25

自學(xué)導(dǎo)讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問(wèn)題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問(wèn)題反饋：

思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點(diǎn)：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實(shí)數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測(cè)：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個(gè)不小于12.