第一篇：2．2 直接證明與間接證明 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

（1）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法．（2）了解綜合法和分析法的思維過(guò)程和特點(diǎn)． 2.過(guò)程與方法

（1）通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析、歸納與總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力．

（2）通過(guò)實(shí)際演練，使學(xué)生體會(huì)證明的必要性，并增強(qiáng)他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

3.情感、態(tài)度及價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解直接證明的兩種基本方法，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論之有據(jù)的好習(xí)慣，提高學(xué)生的思維能力．

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

重點(diǎn)：綜合法和分析法的思維過(guò)程及特點(diǎn)。難點(diǎn)：綜合法和分析法的應(yīng)用。

3.教學(xué)用具

多媒體、板書(shū)

4.標(biāo)簽

教學(xué)過(guò)程

1．和

是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式．

2．綜合法是從

出發(fā)，經(jīng)過(guò)

，最后達(dá)到待證結(jié)論．

3．分析法是從

出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的________，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件，或已被證明的事實(shí).答案：綜合法分析法 已知條件 逐步的推理 待證結(jié)論 充分條件

【復(fù)習(xí)引入】

【師】證明對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得的結(jié)論的正確性就是要證明的，并且我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過(guò)熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，對(duì)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法形成較完整的認(rèn)識(shí)。合情推理分為歸納推理和類(lèi)比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法——直接證明與間接證明。今天我們先學(xué)習(xí)直接證明。

新知探究

一、綜合法

1、引例探究

證明下列問(wèn)題：已知a,b>0,求證： 問(wèn)題1：其左右兩邊的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？

【生】右邊是3個(gè)數(shù)a，b，c的乘積的4倍，左邊為兩項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與另兩個(gè)數(shù)的平方和之積.問(wèn)題2：利用哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以溝通兩個(gè)數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)的積的不等關(guān)系？ 【生】基本不等式 問(wèn)題3：步驟上應(yīng)該怎么處理？ 【解答過(guò)程】 證明 因?yàn)椋核砸驗(yàn)樗砸虼?/p>

問(wèn)題4：討論上述證明形式有什么特點(diǎn)？

【生】充分討論，思考，找出以上問(wèn)題的證明方法的特點(diǎn)

2、形成概念

1.定義：從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.2.思維特點(diǎn)：由因?qū)Ч?，即由知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。

3.框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論)

3、應(yīng)用舉例

例1在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a, b，c,且A,B,C成等差數(shù)列, a, b，c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.【問(wèn)題啟發(fā)】

1、本題中涉及到哪幾塊知識(shí)？

2、從這些已知條件，可以得到什么結(jié)論？

3、怎樣把它們轉(zhuǎn)化為三角形中邊角關(guān)系？

【分析】本題注意三個(gè)問(wèn)題：首先將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；同時(shí)注意邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；同時(shí)注意挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和為）【規(guī)范解答】

證明：由 A,B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ．

因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=

．

由①②，得B=.由a, b，c成等比數(shù)列，有由余弦定理及③，可得

.再由④，得，因此...從而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=

所以△ABC為等邊三角形． 【小結(jié)】綜合法的證明步驟如下：

(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；

(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過(guò)程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書(shū)寫(xiě)出嚴(yán)密的證明過(guò)程．

二、分析法

1、引例探究 證明下列問(wèn)題：求證:

問(wèn)題1：討論：能用綜合法證明嗎？ 【生】不好處理

問(wèn)題2：如果從結(jié)論出發(fā)，是否能尋找結(jié)論成立的充分條件？ 【生】可以

問(wèn)題3：步驟上應(yīng)該怎么處理？ 【解答過(guò)程】 證明：因?yàn)樗砸C只需證展開(kāi)得 只需證 只需證因?yàn)?顯然成立

都是正數(shù)，所以

問(wèn)題4：討論上述證明形式有什么特點(diǎn)？

【生】（讓充分討論，思考，找出以上問(wèn)題的證明方法的特點(diǎn)。）

【師】在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論.但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。此時(shí)我們就可采用分析法。

2、形成概念

1.定義：一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法。

2.思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因,步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法。

3.框圖表示：(用Q表示要證明的結(jié)論,Pn表示充分條件)

4.分析法的書(shū)寫(xiě)格式：

3、應(yīng)用舉例 例2在銳角【問(wèn)題啟發(fā)】

1、有直接可以化簡(jiǎn)的公式嗎？ 中,求證:

2、可以運(yùn)用什么思想處理正切？（切弦互化）

3、最終可以用哪個(gè)公式來(lái)處理此題？

【分析】本題中如果只站在切的角度很難處理，所以我們用到了切化弦，畢竟弦的公式涉及的也多一些，我們平常也跟熟悉一些。然后運(yùn)用分析法結(jié)合我們所需要證的目標(biāo)來(lái)達(dá)成?！疽?guī)范解答】 證明:要證明只需證

為鈍角

恒成立

因?yàn)锳、B為銳角,所以只需證只需證因?yàn)镃為銳角,所以所以【小結(jié)】分析法要注意怎樣處理好書(shū)寫(xiě)的格式，一般是從結(jié)論入手“要證—只需證—而某某結(jié)論顯然成立”這種格式。

三、綜合法與分析法的綜合應(yīng)用

【師】問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下綜合法的特點(diǎn)？ 【生】

1、綜合法證明是證明題中常用的方法。從條件入手，根據(jù)公理、定義、定理等推出要證的結(jié)論。

2、綜合法證明題時(shí)要注意，要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言等。還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)。

3、綜合法可用于證明與函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關(guān)的問(wèn)題。

【師】問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下分析法的特點(diǎn)？ 【生】

1、分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知p1p2，直到所有的已知P都成立；

2、分析證明題時(shí)要同樣注意，要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言等。

3、分析法也常用于證明與函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關(guān)的問(wèn)題

【師】問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們思考如果既要對(duì)一個(gè)題目做到既要好分析，又要好寫(xiě)步驟應(yīng)該怎樣處理？ 【生】比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（可以用在草紙用分析法，在卷面上用綜合法）例3.已知

【小結(jié)】 用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法和分析法的綜合應(yīng)用可用框圖表示為：

課堂小結(jié)

1．綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?；分析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因． 2．分析法證題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語(yǔ)． 3．在解題時(shí)，往往把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用.課后習(xí)題 1．下列表述：

①綜合法是由因?qū)Чǎ?②綜合法是順推法； ③分析法是執(zhí)果索因法； ④分析法是間接證明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正確的語(yǔ)句有

()A．2個(gè)

B．3個(gè)C．4個(gè)

D．5個(gè)

板書(shū)

第二篇：2.2 直接證明與間接證明 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案（定稿）

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

一．知識(shí)與技能目標(biāo)

（1）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法．（2）了解綜合法和分析法的思維過(guò)程和特點(diǎn)． 二．過(guò)程與方法目標(biāo)

（1）通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析、歸納與總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力．

（2）通過(guò)實(shí)際演練，使學(xué)生體會(huì)證明的必要性，并增強(qiáng)他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

三．情感、態(tài)度及價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解直接證明的兩種基本方法，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論之有據(jù)的好習(xí)慣，提高學(xué)生的思維能力．

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：綜合法和分析法的思維過(guò)程及特點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)：綜合法和分析法的應(yīng)用。

3.教學(xué)用具

多媒體、板書(shū)

4.標(biāo)簽

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

【師】證明對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得的結(jié)論的正確性就是要證明的，并且我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過(guò)熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，對(duì)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法形成較完整的認(rèn)識(shí)。合情推理分為歸納推理和類(lèi)比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法——直接證明與間接證明。今天我們先學(xué)習(xí)直接證明。

二、新知探究

（一）知識(shí)點(diǎn)一:綜合法

1、引例探究

證明下列問(wèn)題：已知a,b>0,求證：?jiǎn)栴}1：其左右兩邊的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？

【生】右邊是3個(gè)數(shù)a，b，c的乘積的4倍，左邊為兩項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與另兩個(gè)數(shù)的平方和之積.問(wèn)題2：利用哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以溝通兩個(gè)數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)的積的不等關(guān)系？ 【生】基本不等式問(wèn)題3：步驟上應(yīng)該怎么處理？ 【解答過(guò)程】

問(wèn)題4：討論上述證明形式有什么特點(diǎn)？

【生】充分討論，思考，找出以上問(wèn)題的證明方法的特點(diǎn)

2、形成概念

第三篇：9直接證明與間接證明教學(xué)設(shè)計(jì)

博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)學(xué)案

姓名：班級(jí)：使用時(shí)間：

課題：§9直接證明與間接證明主備人：審核人：

二、間接證明

反證法：假設(shè)原命題即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法．

6、(2011·全國(guó)高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0且(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

1an＋11

1－1.1－an＋11－an

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法．了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn)．

——反證法．了解反證法的思想過(guò)程及特點(diǎn).1.綜合法、反證法證明問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)．注重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論思想以及學(xué)生的邏輯推理能力．

.1．用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°

C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°

2．若函數(shù)F(x)＝f(x)＋f(－x)與G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)不恒為零，則()A．F(x)、G(x)均為偶函數(shù)B．F(x)為奇函數(shù)，G(x)為偶函數(shù) C．F(x)與G(x)均為奇函數(shù)D．F(x)為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù) 3．命題“對(duì)于任意角θ，cos4?－sin4?＝cos2?”的證明：

“cos4?－sin4?＝(cos2?－sinn2?)(cos2?+sinn2?)＝cos2?－sinn

2?＝cos2?”過(guò)程應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用D．間接證明法 4．用反證法證明命題“如果a＞b，那么3a＞

3b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是________． 5．如果a＋bb＞ab＋ba，則a、b

應(yīng)滿足的條件是________．

一、博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)學(xué)案

(2)設(shè)bn＝

n，記Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<1.7、用分析法證明：若a>0，則

a2＋1a

2≥ a＋

1a2.8、求證：2,3,5不可能成等差數(shù)列。

博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)學(xué)案

9、已知tan??sin??a，tan??sin??b，求證(a2?b2)2?16ab

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

10．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex

(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為()

A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≤b

11．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為(A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) 12.用分析法證明6?7?22?

5)

博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

姓名：班級(jí)：使用時(shí)間：

課題：§9直接證明與間接證明修訂人：

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法．了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn)．

——反證法．了解反證法的思想過(guò)程及特點(diǎn).1.綜合法、反證法證明問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)．注重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論思想以及學(xué)生的邏輯推理能力．

.1．用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(B)A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°

C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°

2．若函數(shù)F(x)＝f(x)＋f(－x)與G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)不恒為零，則(D)A．F(x)、G(x)均為偶函數(shù)B．F(x)為奇函數(shù)，G(x)為偶函數(shù) C．F(x)與G(x)均為奇函數(shù)D．F(x)為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù) 3．命題“對(duì)于任意角θ，cos4?－sin4?＝cos2?”的證明：

“cos4?－sin

4?＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”過(guò)程應(yīng)用了(B)A．分析法B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用D．間接證明法 4．用反證法證明命題“如果a＞b，那么3a＞

3b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是

a?．

5．如果a＋bb＞ab＋ba，則a、b應(yīng)滿足的條件是a?0,b?0

且a?b．

二、博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)學(xué)案

二、間接證明

反證法：假設(shè)原命題即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法．

6、(2011·全國(guó)高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0且11－a－

11.n＋11－an

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b1an＋1n＝n，記Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<1.解：(1)由題設(shè)

11－an－1

n

＝1，＋11－a得{11－an}是公差為1的等差數(shù)列． 又

1111－a1＝1，故1－an

＝n.所以an＝1－n(2)證明：由(1)得 b1－an＋1n＝

nn＋1－n11

n＋n＝nn＋1，n

n

Sn＝?bk＝?（1k－1k＋1)＝1－1

n＋1

k＝1

k＝17、用分析法證明：若a>0，則

a2＋1a

2≥ a＋

1a2.證明：要證 a

2＋11

a

－2≥a＋a2，只要證

a2＋1a

＋2≥a＋1

a2.∵a>0，故只要證?

?1?

a2＋??a2?2?≥??

a＋1a2?

?2?，即a2＋1

a2＋1a

a

≥a2＋2＋1a＋22??1?

?a＋a??＋2，從而只要證2

a2

＋1a≥ 2???a＋1a?

??，只要證4???a2＋1a?≥2?

??a2＋2＋1a???，即a2＋1

a

2.而不等式a2＋1

a

2顯然成立，故原不等式成立．

8、求證：2,3,5不可能成等差數(shù)列。

博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)學(xué)案

9、已知tan??sin??a，tan??sin??b，求證(a2?b2)2?16ab

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

10．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex

(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為(A)

A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≤b

11．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為(B A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) 12.用分析法證明6?7?22?)

博興二中2010級(jí)高三文科數(shù)學(xué)作業(yè)紙

班級(jí)：姓名：訓(xùn)練內(nèi)容：第9節(jié)直接證明與間接證明

預(yù)計(jì)用時(shí)30分鐘實(shí)際用時(shí)_________分鐘

審題仔細(xì)全面，計(jì)算簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確，解法多中擇優(yōu)，過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)完善，字跡清晰條理，作圖工整規(guī)范。

1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（）

A、充分條件B、必要條件C、充要條件D、等價(jià)條件 2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0b2－ac<3a”索的因應(yīng)是()

A．a(chǎn)－b>0B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0 3．若a

1a?a?1

4．設(shè)a?3?2，b?6?5，c?7?6，則a,b,c的大小關(guān)系是（）A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、a>c>b

5．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax

2＋bx＋c＝0(a≠0)有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是()

A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù) 6．設(shè)x、y、z>0，a＝x＋

1，b＝y(tǒng)＋1，c＝z＋1

yzx，則a、b、c三數(shù)()

博興二中2013屆高三一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)學(xué)案

第四篇：第2講 直接證明與間接證明

第2講 直接證明與間接證明

【2013年高考會(huì)這樣考】

1．在歷年的高考中，證明方法是?？純?nèi)容，考查的主要方式是對(duì)它們?cè)淼睦斫夂陀梅ǎy度多為中檔題，也有高檔題．

2．從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識(shí)為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

在備考中，對(duì)本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點(diǎn)，把握三種方法在解決問(wèn)題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問(wèn)題的類(lèi)型，同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧，有效運(yùn)用它們的目的．

基礎(chǔ)梳理

1．直接證明

(1)綜合法

①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q

(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)．

(2)分析法

①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→

得到一個(gè)明顯成立的條件.2．間接證明

一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：綈q?r???t

.t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾．從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法．

一個(gè)關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系

分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基

礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用．

兩個(gè)防范

題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的．

證?”“就要證?”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立．

雙基自測(cè)

1．(人教A版教材習(xí)題改編)p＝＋，q＝ma＋nc正數(shù))，則p、q的大小為()．

A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不確定

解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為mn

madabc＝ab＋cd＝p，當(dāng)且僅當(dāng)＝ nm

答案 B

2．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為()．

A．a(chǎn)＞b

C．a(chǎn)＝b

解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當(dāng)x＜0時(shí)，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A

3．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為()．

A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)

B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)

解析 ∵a，b，c恰有一個(gè)偶數(shù)，即a，b，c中只有一個(gè)偶數(shù)，其反面是有兩個(gè)或兩個(gè)以上偶數(shù)或沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有D正確．

答案 D

4．(2012·廣州調(diào)研)設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()．

A．b－a＞0B．a(chǎn)3＋b3＜0C．a(chǎn)2－b2＜0D．b＋a＞0

解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)≤b

5．在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，如果原命題的否定事項(xiàng)不止一個(gè)時(shí)，必須將結(jié)論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確．

例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時(shí)應(yīng)分：假設(shè)________和________兩類(lèi)．

答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP

考向一 綜合法的應(yīng)用

a2b2c2【例1】?設(shè)a，b，c＞0，證明：a＋b＋c.bca

[審題視點(diǎn)] 用綜合法證明，可考慮運(yùn)用基本不等式．

證明 ∵a，b，c＞0，根據(jù)均值不等式，a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca

a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．

a2b2c2即＋a＋b＋c

.bca

綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性．

11【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b為互不相等的正數(shù)，且a＋b＝1，證明：＞4.ab

1111?ba·證明 ?(a＋b)＝2＋2＋2＝4.ab?ab?ab

11又a與b不相等．故＞4.ab

考向二 分析法的應(yīng)用

?a＋mb?2≤a＋mb.【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m?

[審題視點(diǎn)] 先去分母，合并同類(lèi)項(xiàng)，化成積式．

證明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要證原不等式成立，只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，2

2故原不等式得證．

逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵．

【訓(xùn)練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且a＜b.a＋ma求證：b＋mb

a＋ma證明 要證明，由于a，b，m都是正數(shù)，b＋mb

只需證a(b＋m)＜b(a＋m)，只需證am＜bm，由于m＞0，所以，只需證a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立．

(說(shuō)明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)

考向三 反證法的應(yīng)用

【例3】?已知函數(shù)f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋

1(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．

(2)用反證法證明f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根．

[審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問(wèn)假設(shè)存在x0＜0后，應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x0＜0矛盾即可．

證明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因?yàn)閤1＋1＞0，x2＋1＞0，所以

?x2－2??x1＋1?－?x1－2??x2＋1?3?x2－x1?＝0，?x2＋1??x1＋1??x2＋1??x1＋1?

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0，x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1

故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．

法二 f′(x)＝axln a＋30，?x＋1?∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．

x0－2x0－2(2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1

11，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設(shè)矛盾．故f(x0)＝0沒(méi)有負(fù)根．

當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜

用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．

【訓(xùn)練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行． 證明 假設(shè)向量a＋b與a－b平行，即存在實(shí)數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)成立，則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，???1－λ＝0，?λ＝1，∴?得? ??1＋λ＝0，λ＝－1，??

所以方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故原命題成立．

規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問(wèn)題

【問(wèn)題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點(diǎn)是反設(shè)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，當(dāng)問(wèn)題從正面證明無(wú)法入手時(shí)，就可以考慮使用反證法進(jìn)行證明.在高考中，對(duì)反證法的考查往往是在試題中某個(gè)重要的步驟進(jìn)行.【解決方案】 首先反設(shè)，且反設(shè)必須恰當(dāng)，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】?(本題滿分12分)(2011·安徽)設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.(1)證明l1與l2相交；

(2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上．

第(1)問(wèn)采用反證法，第(2)問(wèn)解l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證．

[解答示范] 證明(1)假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1＝k2，(2分)

代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分)

這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．(6分)

??y＝k1x＋1，(2)由方程組? ?y＝k2x－1，?

??解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為?k＋ky＝??k－k.21

212x＝，k2－k1(9分)

2?2?k2＋k1?2?從而2x＋y＝2k－k＋? ?21??k2－k1??22

2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4

此即表明交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．(12分)

用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)

必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．

【試一試】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求證數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列．

[嘗試解答](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an，2

11所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為an＝－.22

(2)反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，111－－則，所以2·2rq＝2rp＋1.① 222又因?yàn)閜＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證．

第五篇：直接證明與間接證明

鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測(cè)”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會(huì)用直接法證明一般的數(shù)

學(xué)問(wèn)題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；會(huì)用反證

法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題 3.求證?7?25

自學(xué)導(dǎo)讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問(wèn)題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問(wèn)題反饋：

思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點(diǎn)：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實(shí)數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測(cè)：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個(gè)不小于12.