第一篇：數(shù)值分析總結(jié)

一：1.數(shù)值分析的特點(diǎn)：1）首先要有可靠的理論分析，以確保算法在理論上的收斂性和數(shù)值上的穩(wěn)定性。2）其次要對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行誤差估計(jì)，以確定其是否滿(mǎn)足精度。3）還要考慮算法的運(yùn)行效率即算法的運(yùn)算量和存儲(chǔ)量。

2.數(shù)值分析的誤差種類(lèi)：1）截?cái)嗾`差：模型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法準(zhǔn)確解之間的誤差。

2）舍入誤差：實(shí)數(shù)形式的原始數(shù)據(jù)與有限字長(zhǎng)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)間的誤差。

3.算法的數(shù)值穩(wěn)定性與病態(tài)問(wèn)題：1）若某算法受初始誤差或運(yùn)算過(guò)程中的舍入誤差影響較小，則稱(chēng)為數(shù)值穩(wěn)定。2）若微小的初始誤差都會(huì)對(duì)最終結(jié)果產(chǎn)生極大的影響，則稱(chēng)之為病態(tài)問(wèn)題。

二：1.Runge現(xiàn)象及其解決方法

Runge現(xiàn)象即高次插值的振蕩現(xiàn)象，指增加節(jié)點(diǎn)固然能使插值函數(shù) p(x)與被插值函數(shù)f（x）在更多的地方相等，但在兩點(diǎn)之間p(x)不一定能很好地近似f（x），有時(shí)候誤差非常大。

解決方法：分段低次插值（將插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在小區(qū)間內(nèi)用低次插值）

2.樣條插值思想：插值函數(shù)p(x)在插值區(qū)間[a,b]上有二階光滑度，在分段的小區(qū)間

[xk,xk+1]上是低次多項(xiàng)式，同時(shí)滿(mǎn)足p(xi)=yi.三：理解逼近問(wèn)題與擬合問(wèn)題：1）逼近問(wèn)題：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]具有一階光滑度，求多項(xiàng)式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量標(biāo)準(zhǔn)下最小的問(wèn)題。2）擬合問(wèn)題：從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實(shí)際中，僅僅從一些離散的數(shù)據(jù)（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的準(zhǔn)確表達(dá)式，只能求出其近似表達(dá)式φ（x）。

插值問(wèn)題與逼近問(wèn)題的特點(diǎn)和區(qū)別：1）相同點(diǎn)：它們都是求某點(diǎn)值的算法。

2）不同點(diǎn)：A，被插值函數(shù)是未知的，而被逼近函數(shù)是已知的。B，插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處與被插值函數(shù)相等。而逼近函數(shù)的值只要滿(mǎn)足很好的均勻逼近即可。C，求p(x)的方法不同。

四：Romberg求積法和Gauss求積法的基本思想：

1）復(fù)化求積公式精度較高，但需要事先確定步長(zhǎng)，欠靈活性，在計(jì)算過(guò)程中將步長(zhǎng)逐次減半得到一個(gè)新的序列，用此新序列逼近I的算法為Romberg求積法。

2）對(duì)插值型求積公式，若能選取適當(dāng)?shù)膞k.Ak使其具有2n+1階代數(shù)精度，則稱(chēng)此類(lèi)求積公式為Gauss型。

五.Runge-Kutta方法的基本思想：

借助于Taylor級(jí)數(shù)法的思想，將yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示為f在若干點(diǎn)處值的線(xiàn)性組合，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)使公式達(dá)到一定的階。

第二篇：數(shù)值分析學(xué)習(xí)總結(jié)感想

數(shù)值分析學(xué)習(xí)感想

一個(gè)學(xué)期的數(shù)值分析，在老師的帶領(lǐng)下，讓我對(duì)這門(mén)課程有了深刻的理解和感悟。這門(mén)課程是一個(gè)十分重視算法和原理的學(xué)科，同時(shí)它能夠?qū)⑷说乃季S引入數(shù)學(xué)思考的模式，在處理問(wèn)題的時(shí)候，可以合理適當(dāng)?shù)奶岢龇桨负图僭O(shè)。他的內(nèi)容貼近實(shí)際，像數(shù)值分析，數(shù)值微分，求解線(xiàn)性方程組的解等，使數(shù)學(xué)理論更加有實(shí)際意義。

數(shù)值分析在給我們的知識(shí)上，有很大一部分都對(duì)我有很大的幫助，讓我的生活和學(xué)習(xí)有了更加方便以及科學(xué)的方法。像第一章就講的誤差，在現(xiàn)實(shí)生活中，也許沒(méi)有太過(guò)于注意誤差，所以對(duì)誤差的看法有些輕視，但在學(xué)習(xí)了這一章之后，在老師的講解下，了解到這些誤差看似小，實(shí)則影響很大，更如后面所講的余項(xiàng)，那些差別總是讓人很容易就出錯(cuò)，也許在別的地方?jīng)]有什么，但是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)小的誤差，就很容易有不好的后果，而學(xué)習(xí)了數(shù)值分析的內(nèi)容，很容易就可以將誤差鎖定在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，在這一范圍內(nèi)再逼近，得出的近似值要準(zhǔn)確的多，而在最開(kāi)始的計(jì)算中，誤差越小，對(duì)后面的影響越小，這無(wú)疑是好的。

數(shù)值分析不只在知識(shí)上傳授了我很多，在思想上也對(duì)我有很大的影響，他給了我很多數(shù)學(xué)思想，很多思考的角度，在看待問(wèn)題的方面上，多方位的去思考，并從別的例子上舉一反三。像其中所講的插值法，在先學(xué)習(xí)了拉格朗日插值法后，對(duì)其理解透徹，了解了其中的原理和思想，再學(xué)習(xí)之后的牛頓插值以及三次樣條插值等等，都很容易的融會(huì)貫通，很容易的就理解了其中所想，他們的中心思想并沒(méi)有多大的變化，但是使用的方式卻是不同的，這不僅可以學(xué)習(xí)到其中心內(nèi)容，還可以去學(xué)習(xí)他們的思考方式，每個(gè)不同的思考方式帶來(lái)的都是不同的算法。而在看待問(wèn)題上，不同的思考方式總是可以快速的全方位的去看透徹問(wèn)題，從而知道如何去解決。

在不斷的學(xué)習(xí)中，知識(shí)在不斷的獲取，能力在不斷的提升，同時(shí)在老師的不懈講解下，我逐漸的發(fā)現(xiàn)數(shù)值分析所涵蓋的知識(shí)面特別的廣泛，而我所需要學(xué)習(xí)的地方也更加的多，自己的不足也在不斷的體現(xiàn)，我知道這只是我剛剛接觸到了數(shù)學(xué)的那一角，在以后我還會(huì)接觸到更多，而這求知的欲望也在不停的驅(qū)趕我，學(xué)習(xí)的越多，對(duì)今后的生活才會(huì)有更大的幫助。

計(jì)算132

2013014923

張霖

第三篇：數(shù)值分析學(xué)習(xí)心得體會(huì)

數(shù)值分析學(xué)習(xí)感想

一個(gè)學(xué)期的數(shù)值分析，在老師的帶領(lǐng)下，讓我對(duì)這門(mén)課程有了深刻的理解和感悟。這門(mén)課程是一個(gè)十分重視算法和原理的學(xué)科，同時(shí)它能夠?qū)⑷说乃季S引入數(shù)學(xué)思考的模式，在處理問(wèn)題的時(shí)候，可以合理適當(dāng)?shù)奶岢龇桨负图僭O(shè)。他的內(nèi)容貼近實(shí)際，像數(shù)值分析，數(shù)值微分，求解線(xiàn)性方程組的解等，使數(shù)學(xué)理論更加有實(shí)際意義。

數(shù)值分析在給我們的知識(shí)上，有很大一部分都對(duì)我有很大的幫助，讓我的生活和學(xué)習(xí)有了更加方便以及科學(xué)的方法。像第一章就講的誤差，在現(xiàn)實(shí)生活中，也許沒(méi)有太過(guò)于注意誤差，所以對(duì)誤差的看法有些輕視，但在學(xué)習(xí)了這一章之后，在老師的講解下，了解到這些誤差看似小，實(shí)則影響很大，更如后面所講的余項(xiàng)，那些差別總是讓人很容易就出錯(cuò)，也許在別的地方?jīng)]有什么，但是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)小的誤差，就很容易有不好的后果，而學(xué)習(xí)了數(shù)值分析的內(nèi)容，很容易就可以將誤差鎖定在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，在這一范圍內(nèi)再逼近，得出的近似值要準(zhǔn)確的多，而在最開(kāi)始的計(jì)算中，誤差越小，對(duì)后面的影響越小，這無(wú)疑是好的。

數(shù)值分析不只在知識(shí)上傳授了我很多，在思想上也對(duì)我有很大的影響，他給了我很多數(shù)學(xué)思想，很多思考的角度，在看待問(wèn)題的方面上，多方位的去思考，并從別的例子上舉一反

三。像其中所講的插值法，在先學(xué)習(xí)了拉格朗日插值法后，對(duì)其理解透徹，了解了其中的原理和思想，再學(xué)習(xí)之后的牛頓插值以及三次樣條插值等等，都很容易的融會(huì)貫通，很容易的就理解了其中所想，他們的中心思想并沒(méi)有多大的變化，但是使用的方式卻是不同的，這不僅可以學(xué)習(xí)到其中心內(nèi)容，還可以去學(xué)習(xí)他們的思考方式，每個(gè)不同的思考方式帶來(lái)的都是不同的算法。而在看待問(wèn)題上，不同的思考方式總是可以快速的全方位的去看透徹問(wèn)題，從而知道如何去解決。

在不斷的學(xué)習(xí)中，知識(shí)在不斷的獲取，能力在不斷的提升，同時(shí)在老師的不懈講解下，我逐漸的發(fā)現(xiàn)數(shù)值分析所涵蓋的知識(shí)面特別的廣泛，而我所需要學(xué)習(xí)的地方也更加的多，自己的不足也在不斷的體現(xiàn)，我知道這只是我剛剛接觸到了數(shù)學(xué)的那一角，在以后我還會(huì)接觸到更多，而這求知的欲望也在不停的驅(qū)趕我，學(xué)習(xí)的越多，對(duì)今后的生活才會(huì)有更大的幫助。

計(jì)算132 2013014923 張霖篇二：數(shù)值分析學(xué)習(xí)報(bào)告

數(shù)值分析學(xué)習(xí)心得報(bào)告

班級(jí)：11級(jí)軟工一班

姓名： * * * 學(xué)號(hào): 20117610*** 指導(dǎo)老師：* * * 學(xué)習(xí)數(shù)值分析的心得體會(huì)

無(wú)意中的一次選擇，讓我接觸了數(shù)值分析。

作為這學(xué)期的選修課，我從內(nèi)心深處來(lái)講，數(shù)值分析真的有點(diǎn)難。感覺(jué)它是在高等數(shù)學(xué)和線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)上，又加深了探討。雖然這節(jié)課很難，我學(xué)的不是很好，但我依然對(duì)它比較感興趣。下面就具體說(shuō)說(shuō)我的學(xué)習(xí)體會(huì)，讓那些感興趣的同學(xué)有個(gè)參考。學(xué)習(xí)數(shù)值分析，我們首先得知道一個(gè)軟件——matlab。matrix laboratory，即矩陣實(shí)驗(yàn)室，是math work公司推出的一套高效率的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件。它是當(dāng)今科學(xué)界最具影響力、也是最具活力的軟件，它起源于矩陣運(yùn)算，并高速發(fā)展成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。它的優(yōu)點(diǎn)是強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面、便捷的與其他程序和語(yǔ)言接口。

根據(jù)上網(wǎng)搜集到的資料，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)matlab有許多優(yōu)點(diǎn)：

首先，編程簡(jiǎn)單使用方便。到目前為止，我已經(jīng)學(xué)過(guò)c語(yǔ)言，機(jī)器語(yǔ)言，java語(yǔ)言，這三個(gè)語(yǔ)言相比，我感覺(jué)c語(yǔ)言還是很簡(jiǎn)單的一種編程語(yǔ)言。只要入門(mén)就很好掌握，但是想學(xué)精一門(mén)語(yǔ)言可不是那么容易的。慚愧的說(shuō)，到目前為止，我依然處于入門(mén)階段，只會(huì)編寫(xiě)小的簡(jiǎn)單的程序，但是班里依然還是有學(xué)習(xí)好的。c語(yǔ)言是簡(jiǎn)單且容易掌握的，但是，matlab的矩陣和向量操作功能是其他語(yǔ)言無(wú)法比擬的。在matlab環(huán)境下，數(shù)組的操作與數(shù)的操作一樣簡(jiǎn)單，基本數(shù)據(jù)單元是不需要指定維數(shù)的，不需要說(shuō)明數(shù)據(jù)類(lèi)型的矩陣，而其數(shù)學(xué)表達(dá)式和運(yùn)算規(guī)則與通常的習(xí)慣相同。

其次，函數(shù)庫(kù)可任意擴(kuò)充。眾所周知，c語(yǔ)音有著豐富的函數(shù)庫(kù)，我們可以隨時(shí)調(diào)用，大大方便了程序員的操作?？墒亲鳛閕t人士的你知道嗎，由于matlab語(yǔ)言庫(kù)函數(shù)與用戶(hù)文件的形式相同，用戶(hù)文件可以像庫(kù)函數(shù)一樣隨意調(diào)用，所以用戶(hù)可任意擴(kuò)充庫(kù)函數(shù)。這是不是很方便呢？

接著，語(yǔ)言簡(jiǎn)單內(nèi)涵豐富。數(shù)值分析所用的語(yǔ)言中，最重要的成分是函數(shù)，其一般形式為：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也發(fā)現(xiàn)了吧，這樣的語(yǔ)音是不是很容易掌握呢！fun是自定義的函數(shù)名，只要不與庫(kù)函數(shù)想重，并且符合字符串書(shū)寫(xiě)規(guī)則即可。

然后是豐富的工具箱。由于matlab 的開(kāi)放性，許多領(lǐng)域的專(zhuān)家都為matlab 編寫(xiě)了各種程序工具箱。這些工具箱提供了用戶(hù)在特別應(yīng)用領(lǐng)域所需的許多函數(shù)，這使得用戶(hù)不必花大量的時(shí)間編寫(xiě)程序就可以直接調(diào)用這些函數(shù)，達(dá)到事半功倍的效果。不過(guò)你得提前知道這些工具箱，并且會(huì)使用。

最后，我們來(lái)說(shuō)一下matlab的運(yùn)算。利用matlab可以做向量與矩陣的運(yùn)算，與普通加減運(yùn)算幾乎相似。

矩陣乘法用 “ * ” 符號(hào)表示，當(dāng)a矩陣列數(shù)與b矩陣的行數(shù)相等時(shí)，二者可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，否則是錯(cuò)誤的。如果a或b是標(biāo)量，則a*b返回標(biāo)量a（或b）乘上矩陣b（或a）的每一個(gè)元素所得的矩陣。

對(duì)n×m階矩陣a和p×q階矩陣b，a和b的kronecher乘法運(yùn)算可定義為： kronecker乘法的matlab命令為c=kron(a,b)：例如，在matlab中輸入： a=[1 2;3 4];b=[1 3 2;2 4 6];c=kron(a,b)則程序會(huì)給出相應(yīng)的答案 c = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 這就充分的考驗(yàn)了我們的實(shí)際動(dòng)手能力，當(dāng)然運(yùn)用一般的計(jì)算方法能算出結(jié)果，但相對(duì)來(lái)說(shuō)沒(méi)有用它來(lái)運(yùn)算節(jié)省時(shí)間，其他算法又很不方便。上面介紹了matlab的特點(diǎn)與使用方法，接著我們要說(shuō)它的程序設(shè)計(jì)，其實(shí)跟c語(yǔ)言相比，它們的程序設(shè)計(jì)都差不多。

大家都知道，matlab與其它計(jì)算機(jī)語(yǔ)言一樣，也有控制流語(yǔ)句。而控制流語(yǔ)句本身，可使原本簡(jiǎn)單地在命令行中運(yùn)行的一系列命令或函數(shù)，組合成為一個(gè)整體—程序，從而提高效率。以下是具體的幾個(gè)例子，看過(guò)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，matlab的控制流語(yǔ)句跟其他計(jì)算機(jī)真的很相似：

（1）for 循環(huán)for循環(huán)的通用形式為：for v=expressionstatementsend其中expression 表達(dá)式是一個(gè)矩陣，因?yàn)閙atlab中都是矩陣，矩陣的列被一個(gè)接一個(gè)的賦值到變量v，然后statements語(yǔ)句運(yùn)行。

（2）while 循環(huán)while循環(huán)的通用形式為：while v=expressionstatementsend當(dāng)expression的所有運(yùn)算為非零值時(shí)，statements 語(yǔ)句組將被執(zhí)行。如果判斷條件是向量或矩陣的話(huà)，可能需要all 或any函數(shù)作為判斷條件。（3）if和break語(yǔ)句通用形式為：if 條件1，命令組1；elesif條件2，命令組2；??；else命令組k；endbreak%中斷執(zhí)行，用在循環(huán)語(yǔ)句內(nèi)表示跳出循環(huán)。對(duì)于數(shù)值分析這節(jié)課，我的理解是：只要學(xué)習(xí)并掌握好matlab，你就已經(jīng)成功了。因此說(shuō)，matlab是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。另外，自我感覺(jué)這是一個(gè)很好的軟件，其語(yǔ)言簡(jiǎn)便，實(shí)用性強(qiáng)。但是作為一個(gè)做新手，想要學(xué)習(xí)好這門(mén)語(yǔ)言，還是比較困難的。在平常的上機(jī)課中，雖然我沒(méi)有問(wèn)過(guò)老師，但是我向那些學(xué)習(xí)不錯(cuò)的學(xué)生還是交流了許多，比如說(shuō)，張**，賈**，還有那個(gè)皮膚白白的女生。跟他們交流，我確實(shí)學(xué)到不少有用的東西。但是，畢竟沒(méi)有他們學(xué)得好，總之，在我接觸這門(mén)語(yǔ)言的這些天，除了會(huì)畫(huà)幾個(gè)簡(jiǎn)單的三維圖形，其他的還是有待提高。在這個(gè)軟件中，雖然有help，但大家不要以為有了這個(gè)就萬(wàn)事大吉了，反而，從另一個(gè)方面也對(duì)我們大學(xué)生提出了兩個(gè)要求——充實(shí)的課外基礎(chǔ)和良好的英語(yǔ)基礎(chǔ)。在現(xiàn)代，幾乎所有好的軟件都是來(lái)自國(guó)外，假如你不會(huì)外語(yǔ)，想學(xué)好是非常難的，即使高考中的英語(yǔ)比重降低了，但我們依舊得學(xué)好。這樣我們才能走得更遠(yuǎn)。

其實(shí)想要學(xué)習(xí)好一們語(yǔ)言，不能只靠老師，靠朋友，關(guān)鍵是自己。每個(gè)人內(nèi)心深處都是有抵觸意識(shí)的，不可能把老師的所有都學(xué)到。其實(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)值分析這門(mén)課，不光是學(xué)習(xí)一種語(yǔ)言，一些知識(shí)，更重要的是學(xué)習(xí)一種方法，一種學(xué)習(xí)軟件的方法，還有學(xué)習(xí)的態(tài)度。

在最后，我想說(shuō)的是，謝謝郭老師的辛勤付出，我們每個(gè)學(xué)生都會(huì)看在眼里記在心里的，謝謝您。篇三：數(shù)值分析學(xué)習(xí)總結(jié)感想

數(shù)值分析學(xué)習(xí)感想 摘要:數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法及其基本原理，研究并解決數(shù)值問(wèn)題的近似解，是數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)和實(shí)際問(wèn)題的有機(jī)結(jié)合。隨著科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決工程技術(shù)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題，已經(jīng)得到普遍重視。

作為這學(xué)期的考試課，在我最初接觸這門(mén)課時(shí)，我感到了很困難，因?yàn)闊o(wú)論是高數(shù)還是線(xiàn)性代數(shù)我都放下了很久，而我感覺(jué)數(shù)值分析是在高等數(shù)學(xué)和線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)上，又加深了探討。雖然這節(jié)課很難，但是在老師不斷地引導(dǎo)和講授下，我逐漸對(duì)其產(chǎn)生了興趣。在老師的反復(fù)講解下，我發(fā)現(xiàn)我被它吸引了，因?yàn)樗粌H是單純的學(xué)科，還教會(huì)了我許多做人生活的道理。

首先，數(shù)值分析這門(mén)課程是一個(gè)十分重視算法和原理的學(xué)科，同時(shí)它能夠?qū)⑷说乃季S引入數(shù)學(xué)思考的模式，在處理問(wèn)題的時(shí)候，可以合理適當(dāng)?shù)奶岢龇桨负图僭O(shè)。他的內(nèi)容貼近實(shí)際，像數(shù)值分析，數(shù)值微分，求解線(xiàn)性方程組的解等，使數(shù)學(xué)理論更加有實(shí)際意義。

數(shù)值分析在給我們的知識(shí)上，有很大一部分都對(duì)我有很大的幫助，讓我的生活和學(xué)習(xí)有了更加方便以及科學(xué)的方法。像第一章就講的誤差，在現(xiàn)實(shí)生活中，也許沒(méi)有太過(guò)于注意誤差，所以對(duì)誤差的看法有些輕視，但在學(xué)習(xí)了這一章之后，在老師的講解下，了解到這些誤差看似小，實(shí)則影響很大，更如后面所講的余項(xiàng)，那些差別總是讓人很容易就出錯(cuò)，也許在別的地方?jīng)]有什么，但是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)小的誤差，就會(huì)有很大的差別，而學(xué)習(xí)了數(shù)值分析的內(nèi)容，很容易就可以將誤差鎖定在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，在這一范圍內(nèi)再逼近，得出的近似值要準(zhǔn)確的多，而在最開(kāi)始的計(jì)算中，誤差越小，對(duì)后面的影響越小，這無(wú)疑是好的。數(shù)值分析中，“以點(diǎn)帶面”的思想也深深影響了我。這里的“點(diǎn)”是根本，是主線(xiàn)。在第二章學(xué)習(xí)插值法的時(shí)候是以拉格朗日插值、牛頓插值為主線(xiàn)，然后逐漸展開(kāi)介紹艾爾米特插值、分段低次插值和三次樣條插值。在學(xué)習(xí)中只要將研究拉格朗日插值和牛頓插值的基本原理、基本方法理解透徹，其他的插值方法就基本掌握了。第四章處理數(shù)值積分和數(shù)值微分的基本方法是逼近法，只要將函數(shù)逼近的基本思想理解好，掌握起來(lái)就會(huì)得心應(yīng)手；第六第七章是以迭代法為主線(xiàn)來(lái)求解線(xiàn)性方程組和非線(xiàn)性方程組的。在學(xué)習(xí)過(guò)程組只要將迭代法的相關(guān)原理掌

握好，便能掌握第六第七章。總的來(lái)數(shù)，數(shù)值分析所涉及到數(shù)學(xué)中很多學(xué)科的知識(shí)，內(nèi)容比較復(fù)雜，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要將基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推廣。同樣在生活中每件事情都有它的主線(xiàn)，只要抓住這條主線(xiàn)再難的事情也會(huì)迎刃而解。

還比如“等價(jià)轉(zhuǎn)化”的思想，這里的“等價(jià)”不是完全意義上的“等價(jià)”，是指在轉(zhuǎn)化前后轉(zhuǎn)化的主體主要特征值沒(méi)有變。插值法的思想就是抓住已知函數(shù)或者已知點(diǎn)的幾個(gè)主要特征，用另一個(gè)具備主要特征的簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)代替原函數(shù)或擬合已知數(shù)據(jù)點(diǎn)。實(shí)際生活中也有很多類(lèi)似情況，已知事件或者面臨的情況往往是復(fù)雜的，常常不能直接用數(shù)學(xué)方法直接研究，我們可以做的就是抓住已經(jīng)事件的主要特征轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來(lái)建立。

在不斷的學(xué)習(xí)中，知識(shí)在不斷的獲取，能力在不斷的提升，同時(shí)在老師的耐心講解下，我逐漸的發(fā)現(xiàn)數(shù)值分析所涵蓋的知識(shí)面特別的廣泛，而我所需要學(xué)習(xí)的地方也更加的多，自己的不足也在不斷的體現(xiàn)，我知道這只是我剛剛接觸到了數(shù)學(xué)的那一角，在以后我還會(huì)接觸到更多，而這求知的欲望也在不停的驅(qū)趕我，學(xué)習(xí)的越多，對(duì)今后的生活才會(huì)有更大的幫助。

希望在將來(lái)，通過(guò)反復(fù)的實(shí)踐能加深我的理解，在明年的這個(gè)時(shí)候我能有更多的感悟。同時(shí)，因?yàn)槭逯艿膶W(xué)習(xí)時(shí)間太短加上我的基礎(chǔ)薄弱，我決定明年繼續(xù)來(lái)旁聽(tīng)老師的課程，達(dá)到進(jìn)一步學(xué)習(xí)，加深理解的目的。

數(shù)值分析課程論文：

數(shù)值分析學(xué)習(xí)心得感悟

姓名：崔俊毅

學(xué)號(hào)：2015210211 專(zhuān)業(yè)：防災(zāi)減災(zāi)專(zhuān)碩

院系：土木工程學(xué)院篇四：數(shù)值分析學(xué)習(xí)報(bào)告

數(shù)值分析學(xué)習(xí)心得報(bào)告

班級(jí)：姓名：

學(xué)號(hào): ************ *** *********** 學(xué)習(xí)數(shù)值分析的心得體會(huì)

數(shù)值分析是一門(mén)利用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)值解的課程,有很強(qiáng)的理論性和實(shí)踐性,無(wú)意中的一次選擇，讓我接觸了數(shù)值分析。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，提出了大量復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，在建立電子計(jì)算機(jī)成為數(shù)值計(jì)算的主要工具以后，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和方法為研究對(duì)象。有可靠的理論分析，要有數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行誤差分析。數(shù)值分析的主要內(nèi)容包括插值法，函數(shù)逼近，曲線(xiàn)擬和，數(shù)值積分，數(shù)值微分，解線(xiàn)性方程組的直接方法，解線(xiàn)性方程組的迭代法，非線(xiàn)性方程求根，常微分方程的數(shù)值解法。

作為這學(xué)期的選修課，我從內(nèi)心深處來(lái)講，數(shù)值分析真的有點(diǎn)難。感覺(jué)它是在高等數(shù)學(xué)和線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)上，又加深了探討。雖然這節(jié)課很難，我學(xué)的不是很好，但我依然對(duì)它比較感興趣。下面就具體說(shuō)說(shuō)我的學(xué)習(xí)體會(huì)，讓那些感興趣的同學(xué)有個(gè)參考。學(xué)習(xí)數(shù)值分析，我們首先得知道一個(gè)軟件——matlab。matrix laboratory，即矩陣實(shí)驗(yàn)室，是math work公司推出的一套高效率的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件。它是當(dāng)今科學(xué)界最具影響力、也是最具活力的軟件，它起源于矩陣運(yùn)算，并高速發(fā)展成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。它的優(yōu)點(diǎn)是強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面、便捷的與其他程序和語(yǔ)言接口。

根據(jù)上網(wǎng)搜集到的資料，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)matlab有許多優(yōu)點(diǎn)： 首先，編程簡(jiǎn)單使用方便。到目前為止，我已經(jīng)學(xué)過(guò)c語(yǔ)言，機(jī)器語(yǔ)言，java語(yǔ)言，這三個(gè)語(yǔ)言相比，我感覺(jué)c語(yǔ)言還是很簡(jiǎn)單的一種編程語(yǔ)言。只要入門(mén)就很好掌握，但是想學(xué)精一門(mén)語(yǔ)言可不是那么容易的。慚愧的說(shuō)，到目前為止，我依然處于入門(mén)階段，只會(huì)編寫(xiě)小的簡(jiǎn)單的程序，但是班里依然還是有學(xué)習(xí)好的。c語(yǔ)言是簡(jiǎn)單且容易掌握的，但是，matlab的矩陣和向量操作功能是其他語(yǔ)言無(wú)法比擬的。在matlab環(huán)境下，數(shù)組的操作與數(shù)的操作一樣簡(jiǎn)單，基本數(shù)據(jù)單元是不需要指定維數(shù)的，不需要說(shuō)明數(shù)據(jù)類(lèi)型的矩陣，而其數(shù)學(xué)表達(dá)式和運(yùn)

算規(guī)則與通常的習(xí)慣相同。

其次，函數(shù)庫(kù)可任意擴(kuò)充。眾所周知，c語(yǔ)音有著豐富的函數(shù)庫(kù)，我們可以隨時(shí)調(diào)用，大大方便了程序員的操作。可是作為it人士的你知道嗎，由于matlab語(yǔ)言庫(kù)函數(shù)與用戶(hù)文件的形式相同，用戶(hù)文件可以像庫(kù)函數(shù)一樣隨意調(diào)用，所以用戶(hù)可任意擴(kuò)充庫(kù)函數(shù)。這是不是很方便呢？

接著，語(yǔ)言簡(jiǎn)單內(nèi)涵豐富。數(shù)值分析所用的語(yǔ)言中，最重要的成分是函數(shù)，其一般形式為：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也發(fā)現(xiàn)了吧，這樣的語(yǔ)音是不是很容易掌握呢！fun是自定義的函數(shù)名，只要不與庫(kù)函數(shù)想重，并且符合字符串書(shū)寫(xiě)規(guī)則即可。

然后是豐富的工具箱。由于matlab 的開(kāi)放性，許多領(lǐng)域的專(zhuān)家都為matlab 編寫(xiě)了各種程序工具箱。這些工具箱提供了用戶(hù)在特別應(yīng)用領(lǐng)域所需的許多函數(shù)，這使得用戶(hù)不必花大量的時(shí)間編寫(xiě)程序就可以直接調(diào)用這些函數(shù)，達(dá)到事半功倍的效果。不過(guò)你得提前知道這些工具箱，并且會(huì)使用。

最后，我們來(lái)說(shuō)一下matlab的運(yùn)算。利用matlab可以做向量與矩陣的運(yùn)算，與普通加減運(yùn)算幾乎相似。

矩陣乘法用 “ * ” 符號(hào)表示，當(dāng)a矩陣列數(shù)與b矩陣的行數(shù)相等時(shí)，二者可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，否則是錯(cuò)誤的。如果a或b是標(biāo)量，則a*b返回標(biāo)量a（或b）乘上矩陣b（或a）的每一個(gè)元素所得的矩陣。

對(duì)n×m階矩陣a和p×q階矩陣b，a和b的kronecher乘法運(yùn)算可定義為： kronecker乘法的matlab命令為c=kron(a,b)：例如，在matlab中輸入： a=[1 2;3 4];b=[1 3 2;2 4 6];c=kron(a,b)則程序會(huì)給出相應(yīng)的答案 c = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 這就充分的考驗(yàn)了我們的實(shí)際動(dòng)手能力，當(dāng)然運(yùn)用一般的計(jì)算方法能算出結(jié)果，但相對(duì)來(lái)說(shuō)沒(méi)有用它來(lái)運(yùn)算節(jié)省時(shí)間，其他算法又很不方便。上面介紹了matlab的特點(diǎn)與使用方法，接著我們要說(shuō)它的程序設(shè)計(jì)，其實(shí)跟c語(yǔ)言相比，它們的程序設(shè)計(jì)都差不多。

大家都知道，matlab與其它計(jì)算機(jī)語(yǔ)言一樣，也有控制流語(yǔ)句。而控制流語(yǔ)句本身，可使原本簡(jiǎn)單地在命令行中運(yùn)行的一系列命令或函數(shù)，組合成為一個(gè)整體—程序，從而提高效率。以下是具體的幾個(gè)例子，看過(guò)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，matlab的控制流語(yǔ)句跟其他計(jì)算機(jī)真的很相似：

（1）for 循環(huán)for循環(huán)的通用形式為：for v=expressionstatementsend其中expression 表達(dá)式是一個(gè)矩陣，因?yàn)閙atlab中都是矩陣，矩陣的列被一個(gè)接一個(gè)的賦值到變量v，然后statements語(yǔ)句運(yùn)行。

（2）while 循環(huán)while循環(huán)的通用形式為：while v=expressionstatementsend當(dāng)expression的所有運(yùn)算為非零值時(shí)，statements 語(yǔ)句組將被執(zhí)行。如果判斷條件是向量或矩陣的話(huà)，可能需要all 或any函數(shù)作為判斷條件。

（3）if和break語(yǔ)句通用形式為：if 條件1，命令組1；elesif條件2，命令組2；??；else命令組k；endbreak%中斷執(zhí)行，用在循環(huán)語(yǔ)句內(nèi)表示跳出循環(huán)。對(duì)于數(shù)值分析這節(jié)課，我的理解是：只要學(xué)習(xí)并掌握好matlab，你就已經(jīng)成功了。因此說(shuō)，matlab是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。另外，自我感覺(jué)這是一個(gè)很好的軟件，其語(yǔ)言簡(jiǎn)便，實(shí)用性強(qiáng)。但是作為一個(gè)做新手，想要學(xué)習(xí)好這門(mén)語(yǔ)言，還是比較困難的。在平常的上機(jī)課中，雖然我沒(méi)有問(wèn)過(guò)老師，但是我向那些學(xué)習(xí)不錯(cuò)的學(xué)生還是交流了許多，跟他們交流，我確實(shí)學(xué)到不少有用的東西。但是，畢竟沒(méi)有他們學(xué)得好，總之，在我接觸這門(mén)語(yǔ)言的這些天，除了會(huì)畫(huà)幾個(gè)簡(jiǎn)單的三維圖形，其他的還是有待提高。在這個(gè)軟件中，雖然有help，但大家不要以為有了這個(gè)就萬(wàn)事大吉了，反而，從另一個(gè)方面也對(duì)我們大學(xué)生提出了兩個(gè)要求——充實(shí)的課外基礎(chǔ)和良好的英語(yǔ)基礎(chǔ)。在現(xiàn)代，幾乎所有好的軟件都是來(lái)自國(guó)外，假如你不會(huì)外語(yǔ)，想學(xué)好是非常難的，即使高考中的英語(yǔ)比重降低了，但我們依舊得學(xué)好。這樣我們才能走得更遠(yuǎn)。其實(shí)想要學(xué)習(xí)好一們語(yǔ)言，不能只靠老師，靠朋友，關(guān)鍵是自己。每個(gè)人內(nèi)心深處都是有抵觸意識(shí)的，不可能把老師的所有都學(xué)到。其實(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)值分析這門(mén)課，不光是學(xué)習(xí)一種語(yǔ)言，一些知識(shí)，更重要的是學(xué)習(xí)一種方法，一種學(xué)習(xí)軟件的方法，還有學(xué)習(xí)的態(tài)度。

數(shù)值分析是研究分析用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和方法為研究對(duì)象。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中有許多問(wèn)題可歸結(jié)為求解方程組的問(wèn)題。本文主要討論了插值法求函數(shù)，解線(xiàn)性方程組的求解方法，非線(xiàn)性方程組的解法及微分方程的解法，并通過(guò)在電流回路和單晶硅提拉過(guò)程中分析應(yīng)用。進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)值分析的廣泛應(yīng)用，實(shí)際上由于誤差的存在，一些問(wèn)題只能求得近似解。對(duì)于良態(tài)方程組，只要求解方法穩(wěn)定，即可得到比較滿(mǎn)意的計(jì)算結(jié)果。但對(duì)于病態(tài)方程組，即使使用穩(wěn)定性好的算法求解也未必理想，還需進(jìn)一步的研究?？傊瑪?shù)值分析可以通過(guò)計(jì)算方法進(jìn)行一種比較完善的構(gòu)造，使之更普遍化，能夠有舉一反三的思想，能夠解決一些實(shí)際中難解的問(wèn)題，應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。

在最后，我想說(shuō)的是，謝謝老師的辛勤付出，我們每個(gè)學(xué)生都會(huì)看在眼里記在心里的，謝謝您。篇五：數(shù)值分析期末總結(jié)論文,程序界面 數(shù)值計(jì)算方法論文

論文名稱(chēng)：數(shù)值計(jì)算方法期末總結(jié)

學(xué) 號(hào)：

姓 名：完成時(shí)間：

摘要：數(shù)值計(jì)算方法是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，以用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和方法為研究對(duì)象。本文是我對(duì)本學(xué)期數(shù)值分析這門(mén)課程中所學(xué)到的內(nèi)容以及所作的工作的總結(jié)。通過(guò)一學(xué)期的學(xué)習(xí)，我深入學(xué)習(xí)了線(xiàn)性方程組的解法，非線(xiàn)性方程的求根方法，矩陣特征值與特征向量的計(jì)算，函數(shù)的插值方法，最佳平方逼近，數(shù)值積分與數(shù)值微分，常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法。通過(guò)陶老師課堂上的講解和課下的上機(jī)訓(xùn)練，對(duì)以上各個(gè)章節(jié)的算法有了更深刻的體會(huì)。最后做了程序的演示界面，使得程序看起來(lái)清晰明了，便于查看與修改。通過(guò)本學(xué)期的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)值計(jì)算方法、演示界面

第一章 前言

隨著電子計(jì)算機(jī)的普及與發(fā)展，科學(xué)計(jì)算已成為現(xiàn)代科學(xué)的重要組成部分，因而數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容也愈來(lái)愈廣泛和豐富。通過(guò)本學(xué)期的學(xué)習(xí)，主要掌握了一些數(shù)值方法的基本原理、具體算法，并通過(guò)編程在計(jì)算機(jī)上來(lái)實(shí)現(xiàn)這些算法。

第二章 基本概念 2.1算法

算法是指由基本算術(shù)運(yùn)算及運(yùn)算順序的規(guī)定構(gòu)成的完整的解題步驟。算法可以使用框圖、算法語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、自然語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述。具有的特征：正確性、有窮性、適用范圍廣、運(yùn)算工作量少、使用資源少、邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算結(jié)果可靠。2.2 誤差

計(jì)算機(jī)的計(jì)算結(jié)果通常是近似的，因此算法必有誤差，并且應(yīng)能估計(jì)誤差。誤差是指近似值與真正值之差。絕對(duì)誤差是指近似值與真正值之差或差的絕對(duì)值；相對(duì)誤差：是指近似值與真正值之比或比的絕對(duì)值。誤差來(lái)源見(jiàn)表2.1 表

第三章 泛函分析 2.1泛函分析概要

泛函分析（functional analysis）是研究“函數(shù)的函數(shù)”、函數(shù)空間和它們之間變換（映射）的一門(mén)較新的數(shù)學(xué)分支，隸屬分析數(shù)學(xué)。它以各種學(xué)科為具體背景，在集合的基礎(chǔ)上，把客觀世界中的研究對(duì)象抽象為元素和空間。如：距離空間，賦范線(xiàn)性空間，內(nèi)積空間。2.2 范數(shù)

范數(shù)，是具有“長(zhǎng)度”概念的函數(shù)。在線(xiàn)性代數(shù)、泛函分析及相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)

域，泛函是一個(gè)函數(shù)，其為矢量空間內(nèi)的所有矢量賦予非零的正長(zhǎng)度或大小。

這里以cn空間為例，rn空間類(lèi)似。最常用的范數(shù)就是p-范數(shù)。若，那么

當(dāng)p取1，2，∞的時(shí)候分別是以下幾種最簡(jiǎn)單的情形： 1-范數(shù)：║x║1=│x1│+│x2│+?+│xn│ 2-范數(shù)：║x║2=（│x1│2+│x2│2+?+│xn│2）1/2 ∞-范數(shù)：║x║∞=max（│x1│，│x2│，?，│xn│）

其中2-范數(shù)就是通常意義下的距離。

對(duì)于這些范數(shù)有以下不等式：║x║∞ ≤ ║x║2 ≤ ║x║1 ≤ n1/2║x║2 ≤ n║x║∞

另外，若p和q是赫德?tīng)枺╤ölder）共軛指標(biāo)，即1/p+1/q=1，那么有赫德?tīng)柌坏仁剑?/p>

|| = ||xh*y| ≤ ║x║p║y║q 當(dāng)p=q=2時(shí)就是柯西-許瓦茲（cauchy-schwarz）不等式

一般來(lái)講矩陣范數(shù)除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規(guī)定其必須滿(mǎn)足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣范數(shù)通常也稱(chēng)為相容范數(shù)。

如果║·║α是相容范數(shù)，且任何滿(mǎn)足║·║β≤║·║α的范數(shù)║·║β都不是相容范數(shù)，那么║·║α稱(chēng)為極小范數(shù)。對(duì)于n階實(shí)方陣（或復(fù)方陣）全體上的任何一個(gè)范數(shù)║·║，總存在唯一的實(shí)數(shù)k>0，使得k║·║是極小范數(shù)。

注：如果不考慮相容性，那么矩陣范數(shù)和向量范數(shù)就沒(méi)有區(qū)別，因?yàn)閙xn矩陣全體和mn維向量空間同構(gòu)。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線(xiàn)性算子的特征，這一點(diǎn)和算子范數(shù)的相容性一致，并且可以得到mincowski定理以外的信息。

第四章 算法總結(jié)

本學(xué)期講解過(guò)的主要算法列舉如下：線(xiàn)性方程組的解法（高斯消元法，列主消元法，doolittle分解法，追趕法，ldl分解法，jacobi分解法，seidel迭代法）；非線(xiàn)性方程的求根方法（二分法，簡(jiǎn)單迭代法，newton迭代法，newton+下山因子，newton迭代法2，newton非線(xiàn)性方程）；矩陣特征值與特征向量的計(jì)算（householder矩陣，反冪法，冪法，qr分解）；函數(shù)的插值方法（三次樣條插值，lagrange插值法，newton差商插值法）；最佳平方逼近（chebyshev最小二乘法，曲線(xiàn)擬合最小二乘法）；數(shù)值積分與數(shù)值微分（simpson求積分式算法，romberg算法，外推法）；常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法（歐拉改進(jìn)法、龍格庫(kù)塔法和修正的adams法）。下面對(duì)主要算法進(jìn)行分析。4.1線(xiàn)性方程組的解法 本章學(xué)習(xí)了一些求解線(xiàn)性方程組的常用方法，其中g(shù)auss消元法，列主元消元法，lu分解法，追趕法和ldl’分解法都是解線(xiàn)性方程組的直接方法；而jacobi迭代法和sor法則是解線(xiàn)性方程組的基本迭代法。求解線(xiàn)性方程組時(shí)，應(yīng)該注意方程組的性態(tài)，對(duì)病態(tài)方程組使用通常求解方程組的方法將導(dǎo)致錯(cuò)誤。迭代求精法可用于求解某些病態(tài)方程。4.1.1高斯列主元lu分解法求解線(xiàn)性方程組

高斯消元法和lu分解法是直接法求解線(xiàn)性方程組中的兩種方法。其中高斯消元法的基本思想是將線(xiàn)性方程組(1.1)通過(guò)消元，逐步化為同解的三角形方程組，然后用回代法解出n個(gè)解。高斯列主元消元法則是在高斯消元法的基礎(chǔ)上提(k?1)(k?1)a?0akkkk出的先選主元再消元的方法，避免了時(shí)消元無(wú)法進(jìn)行或者是當(dāng)?shù)慕^(k?1)a(i?k?1,k?2,ik對(duì)值與其下方的元素,n)的絕對(duì)值之比很小時(shí)，引起計(jì)算機(jī)

上溢或產(chǎn)生很大的舍入誤差而導(dǎo)致所求出的解失真的問(wèn)題。lu分解法是將矩陣a用一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣之積來(lái)表示，即a?lu，然后由a?lu，ax?b，得lux?b，將線(xiàn)性方程組的求解化為對(duì)兩個(gè)三角形方程組ly?b和ux?y的求解，由此可解出線(xiàn)性方程組（1.1）的n個(gè)解x1,x2，xn。這兩種求解線(xiàn)性方程組的方法在處理單個(gè)線(xiàn)性方程組時(shí)沒(méi)有差別，只是方法的不同，但在處理系數(shù)矩陣a相同，而右端項(xiàng)不同的一組線(xiàn)性方程組時(shí)，lu分解法就有明顯的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗菍⑾禂?shù)矩陣a和右端項(xiàng)b分開(kāi)處理的，這樣就可以只進(jìn)行一次分解。例如，求解線(xiàn)性方程組ax?bi,i?1,2，m，用高斯消元法求解的計(jì)算量 1313mnn?mn2 大約為3，而用lu分解求解的計(jì)算量約為3，后者計(jì)算量顯然小很多。但是lu分解法同樣有可能由于ujj的絕對(duì)值很小而引起計(jì)算機(jī)上溢或產(chǎn)生很大的舍入誤差而導(dǎo)致所求出的解失真。因此提出了結(jié)合高斯列主元消元的lu分解法。

我們采用的計(jì)算方法是先將a矩陣進(jìn)行高斯列主元消元，然后再計(jì)算相應(yīng)的l矩陣和u矩陣（u矩陣就是經(jīng)過(guò)n-1步消元后的a矩陣）。但要注意，第k步消元時(shí)會(huì)產(chǎn)生mik(i?k?1,k?2，n)，從而可以得到l矩陣的第k列元素，但在下一步消元前選取列主元時(shí)可能會(huì)交換方程的位置，因此與方程位置對(duì)應(yīng)的l矩陣中的元素也要交換位置。4.2非線(xiàn)性方程組的求根方法

本章學(xué)習(xí)的二分法簡(jiǎn)單迭代法、newton迭代法等方法，代表著求解非線(xiàn)性方程所采用的兩類(lèi)方法。大范圍收斂方法的初值x0選取沒(méi)有多少限制，只要在含根區(qū)間任選其一即可，二分法就是這類(lèi)方法。局部收斂法要求x0要充分靠近根x*才能保證收斂，以簡(jiǎn)單迭代法為基礎(chǔ)，newton迭代法為代表的各類(lèi)迭代法都屬這類(lèi)方法。4.2.1newton迭代法

牛頓迭代法的構(gòu)造過(guò)程是這樣的：設(shè)x0是f(x)?0的一個(gè)近似根，將f(x)在 f(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0處作taylor展開(kāi)得2!，若取其

x?x?f(x)/f(x0)，然后再對(duì)x1做f(x)100前兩項(xiàng)來(lái)近似代替，得近似方程的根 f上述同樣處理，繼續(xù)下去，一般若(xk)?0，則可以構(gòu)造出迭代格式 xk?1?xk?f(xk)f(xk)此格式稱(chēng)為牛頓迭代格式，用它來(lái)求解f(x)?0的方法稱(chēng)為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義是用f(x)在xk處的切線(xiàn)與x軸得交點(diǎn)作為下一個(gè)迭代點(diǎn)xk?1的。由于這一特點(diǎn)，牛頓迭代法也常稱(chēng)為切線(xiàn)法。

牛頓迭代法雖然收斂很快，但它通常過(guò)于依賴(lài)初值x0的選取，如果x0選擇不當(dāng)，將導(dǎo)致迭代發(fā)散或產(chǎn)生無(wú)限循環(huán)。

第四篇：清華大學(xué)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

一、實(shí)驗(yàn)3.1

題目：

考慮線(xiàn)性方程組，，編制一個(gè)能自動(dòng)選取主元，又能手動(dòng)選取主元的求解線(xiàn)性代數(shù)方程組的Gauss消去過(guò)程。

（1）取矩陣，則方程有解。取計(jì)算矩陣的條件數(shù)。分別用順序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全選主元Gauss消元方法求解，結(jié)果如何？

（2）現(xiàn)選擇程序中手動(dòng)選取主元的功能，每步消去過(guò)程都選取模最小或按模盡可能小的元素作為主元進(jìn)行消元，觀察并記錄計(jì)算結(jié)果，若每步消去過(guò)程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

（3）取矩陣階數(shù)n=20或者更大，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程，觀察記錄并分析不同的問(wèn)題及消去過(guò)程中選擇不同的主元時(shí)計(jì)算結(jié)果的差異，說(shuō)明主元素的選取在消去過(guò)程中的作用。

（4）選取其他你感興趣的問(wèn)題或者隨機(jī)生成的矩陣，計(jì)算其條件數(shù)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，觀察記錄并分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

1.算法介紹

首先，分析各種算法消去過(guò)程的計(jì)算公式，順序高斯消去法：

第k步消去中，設(shè)增廣矩陣中的元素（若等于零則可以判定系數(shù)矩陣為奇異矩陣，停止計(jì)算），則對(duì)k行以下各行計(jì)算，分別用乘以增廣矩陣的第行并加到第行，則可將增廣矩陣中第列中以下的元素消為零；重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行到第n-1步，則可以得到最終的增廣矩陣，即；

列主元高斯消去法：

第k步消去中，在增廣矩陣中的子方陣中，選取使得，當(dāng)時(shí)，對(duì)中第行與第行交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進(jìn)行。重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；

完全主元高斯消去法：

第k步消去中，在增廣矩陣中對(duì)應(yīng)的子方陣中，選取使得，若或，則對(duì)中第行與第行、第列與第列交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進(jìn)行即可。重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行到第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；

接下來(lái)，分析回代過(guò)程求解的公式，容易看出，對(duì)上述任一種消元法，均有以下計(jì)算公式：

2.實(shí)驗(yàn)程序的設(shè)計(jì)

一、輸入實(shí)驗(yàn)要求及初始條件；

二、計(jì)算系數(shù)矩陣A的條件數(shù)及方程組的理論解；

三、對(duì)各不同方法編程計(jì)算，并輸出最終計(jì)算結(jié)果。

3.計(jì)算結(jié)果及分析

（1）

先計(jì)算系數(shù)矩陣的條件數(shù)，結(jié)果如下，可知系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大，故此問(wèn)題屬于病態(tài)問(wèn)題，b或A的擾動(dòng)都可能引起解的較大誤差；

采用順序高斯消去法，計(jì)算結(jié)果為：

最終解為x=(1.***,1.***,1.***,1.***,0.***,1.***,0.***,1.***,0.***,1.***)T

使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，得到=2.842***1e-14，可以發(fā)現(xiàn)，采用順序高斯消元法求得的解與精確解之間誤差較小。通過(guò)進(jìn)一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)，按照順序高斯消去法計(jì)算時(shí)，其選取的主元值和矩陣中其他元素大小相近，因此順序高斯消去法方式并沒(méi)有對(duì)結(jié)果造成特別大的影響。

若采用列主元高斯消元法，則結(jié)果為：

最終解為x=(1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***)T

同樣使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，有=0；

若使用完全主元高斯消元法，則結(jié)果為

最終解x=(1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***)T

同樣使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，有=0；

（2）

若每步都選取模最小或盡可能小的元素為主元，則計(jì)算結(jié)果為

最終解x=(1.***

1.***

1.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***)T

使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，有為2.842***1e-14；而完全主元消去法的誤差為=0。

從（1）和（2）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，列主元消去法和完全主元消去法都得到了精確解，而順序高斯消去法和以模盡量小的元素為主元的消去法沒(méi)有得到精確解。在后兩種消去法中，由于程序計(jì)算時(shí)的舍入誤差，對(duì)最終結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響，但由于方程組的維度較低，并且元素之間相差不大，所以誤差仍比較小。

為進(jìn)一步分析，計(jì)算上述4種方法每步選取的主元數(shù)值，并列表進(jìn)行比較，結(jié)果如下：

第n次消元

順序

列主元

完全主元

模最小

6.***

6.***

4.***

4.***

4.***

4.***

4.***3333

4.***3333

4.***

4.***

4.***

4.***

4.0***063

4.0***063

4.***

4.***

4.0039***

4.0039***

4.***

0.0***469

0.0***469

4.***

從上表可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)這個(gè)方程組而言，順序高斯消去選取的主元恰好事模盡量小的元素，而由于列主元和完全主元選取的元素為8，與4在數(shù)量級(jí)上差別小，所以計(jì)算過(guò)程中的累積誤差也較小，最終4種方法的輸出結(jié)果均較為精確。

在這里，具體解釋一下順序法與模最小法的計(jì)算結(jié)果完全一致的原因。該矩陣在消元過(guò)程中，每次選取主元的一列只有兩個(gè)非零元素，對(duì)角線(xiàn)上的元素為4左右，而其正下方的元素為8，該列其余位置的元素均為0。在這樣的情況下，默認(rèn)的主元也就是該列最小的主元，因此兩種方法所得到的計(jì)算結(jié)果是一致的。

理論上說(shuō)，完全高斯消去法的誤差最小，其次是列主元高斯消去法，而選取模最小的元素作為主元時(shí)的誤差最大，但是由于方程組的特殊性（元素相差不大并且維度不高），這個(gè)理論現(xiàn)象在這里并沒(méi)有充分體現(xiàn)出來(lái)。

（3）

時(shí)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程，各種方法的計(jì)算結(jié)果如下所示，在這里，仍采用無(wú)窮范數(shù)衡量絕對(duì)誤差。

順序高斯消去法

列主元高斯消去

完全主元高斯消去

選取模最小或盡可能小元素作為主元消去

X

1.***

1.***

1.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

1.***

1.***

1.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

2.***e-11

0

0

2.***e-11

可以看出，此時(shí)列主元和完全主元的計(jì)算結(jié)果仍為精確值，而順序高斯消去和模盡可能小方法仍然產(chǎn)生了一定的誤差，并且兩者的誤差一致。與n=10時(shí)候的誤差比相比，n=20時(shí)的誤差增長(zhǎng)了大約1000倍，這是由于計(jì)算過(guò)程中舍入誤差的不斷累積所致。所以，如果進(jìn)一步增加矩陣的維數(shù)，應(yīng)該可以看出更明顯的現(xiàn)象。

（4）

不同矩陣維度下的誤差如下，在這里，為方便起見(jiàn)，選取2-條件數(shù)對(duì)不同維度的系數(shù)矩陣進(jìn)行比較。

維度

條件數(shù)

順序消去

列主元

完全主元

模盡量小

1.7e+3

2.84e-14

0

0

2.84e-14

1.8e+6

2.91e-11

0

0

2.91e-11

5.7e+7

9.31e-10

0

0

9.31e-10

1.8e+9

2.98e-08

0

0

2.98e-08

1.9e+12

3.05e-05

0

0

3.05e-05

3.8e+16

3.28e+04

3.88e-12

3.88e-12

3.28e+04

8.5e+16

3.52e+13

4.2e-3

4.2e-3

3.52e+13

從上表可以看出，隨著維度的增加，不同方法對(duì)計(jì)算誤差的影響逐漸體現(xiàn)，并且增長(zhǎng)較快，這是由于舍入誤差逐步累計(jì)而造成的。不過(guò)，方法二與方法三在維度小于40的情況下都得到了精確解，這兩種方法的累計(jì)誤差遠(yuǎn)比方法一和方法四慢；同樣地，出于與前面相同的原因，方法一與方法四的計(jì)算結(jié)果保持一致，方法二與方法三的計(jì)算結(jié)果保持一致。

4.結(jié)論

本文矩陣中的元素差別不大，模最大和模最小的元素并沒(méi)有數(shù)量級(jí)上的差異，因此，不同的主元選取方式對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響在維度較低的情況下并不明顯，四種方法都足夠精確。

對(duì)比四種方法，可以發(fā)現(xiàn)采用列主元高斯消去或者完全主元高斯消去法，可以盡量抑制誤差，算法最為精確。不過(guò)，對(duì)于低階的矩陣來(lái)說(shuō)，四種方法求解出來(lái)的結(jié)果誤差均較小。

另外，由于完全選主元方法在選主元的過(guò)程中計(jì)算量較大，而且可以發(fā)現(xiàn)列主元法已經(jīng)可以達(dá)到很高的精確程度，因而在實(shí)際計(jì)算中可以選用列主元法進(jìn)行計(jì)算。

附錄：程序代碼

clear

clc;

format

long;

%方法選擇

n=input(＇矩陣A階數(shù):n=＇);

disp(＇選取求解方式＇);

disp(＇1

順序Gauss消元法，2

列主元Gauss消元法，3

完全選主元Gauss消元法，4

模最小或近可能小的元素作為主元＇);

a=input(＇求解方式序號(hào)：＇);

%賦值A(chǔ)和b

A=zeros(n,n);

b=zeros(n,1);

for

i=1:n

A(i,i)=6;

if

i>1

A(i,i-1)=8;

end

if

i

A(i,i+1)=1;

end

end

for

i=1:n

for

j=1:n

b(i)=b(i)+A(i,j);

end

end

disp(＇給定系數(shù)矩陣為：＇);

A

disp(＇右端向量為：＇);

b

%求條件數(shù)及理論解

disp(＇線(xiàn)性方程組的精確解：＇);

X=(A＼b)＇

fprintf(＇矩陣A的1-條件數(shù):

%f

＼n＇,cond(A,1));

fprintf(＇矩陣A的2-條件數(shù):

%f

＼n＇,cond(A));

fprintf(＇矩陣A的無(wú)窮-條件數(shù):

%f

＼n＇,cond(A,inf));

%順序Gauss消元法

if

a==1

A1=A;b1=b;

for

k=1:n

if

A1(k,k)==0

disp(＇主元為零，順序Gauss消元法無(wú)法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A1(k,k))

%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);

%A1

for

p=k+1:n

l=A1(p,k)/A1(k,k);

A1(p,k:n)=A1(p,k:n)-l*A1(k,k:n);

b1(p)=b1(p)-l*b1(k);

end

end

x1(n)=b1(n)/A1(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b1(k)=b1(k)-A1(k,w)*x1(w);

end

x1(k)=b1(k)/A1(k,k);

end

disp(＇順序Gauss消元法解為:＇);

disp(x1);

disp(＇所求解與精確解之差的無(wú)窮-范數(shù)為＇);

norm(x1-X,inf)

end

%列主元Gauss消元法

if

a==2

A2=A;b2=b;

for

k=1:n

[max_i,max_j]=find(A2(:,k)==max(abs(A2(k:n,k))));

if

max_i~=k

A2_change=A2(k,:);

A2(k,:)=A2(max_i,:);

A2(max_i,:)=A2_change;

b2_change=b2(k);

b2(k)=b2(max_i);

b2(max_i)=b2_change;

end

if

A2(k,k)==0

disp(＇主元為零，列主元Gauss消元法無(wú)法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A2(k,k))

%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);

%A2

for

p=k+1:n

l=A2(p,k)/A2(k,k);

A2(p,k:n)=A2(p,k:n)-l*A2(k,k:n);

b2(p)=b2(p)-l*b2(k);

end

end

x2(n)=b2(n)/A2(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b2(k)=b2(k)-A2(k,w)*x2(w);

end

x2(k)=b2(k)/A2(k,k);

end

disp(＇列主元Gauss消元法解為:＇);

disp(x2);

disp(＇所求解與精確解之差的無(wú)窮-范數(shù)為＇);

norm(x2-X,inf)

end

%完全選主元Gauss消元法

if

a==3

A3=A;b3=b;

for

k=1:n

VV=eye(n);

[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));

if

numel(max_i)==0

[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==-max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));

end

W=eye(n);

W(max_i(1)+k-1,max_i(1)+k-1)=0;

W(k,k)=0;

W(max_i(1)+k-1,k)=1;

W(k,max_i(1)+k-1)=1;

V=eye(n);

V(k,k)=0;

V(max_j(1)+k-1,max_j(1)+k-1)=0;

V(k,max_j(1)+k-1)=1;

V(max_j(1)+k-1,k)=1;

A3=W*A3*V;

b3=W*b3;

VV=VV*V;

if

A3(k,k)==0

disp(＇主元為零，完全選主元Gauss消元法無(wú)法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A3(k,k))

%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);

%A3

for

p=k+1:n

l=A3(p,k)/A3(k,k);

A3(p,k:n)=A3(p,k:n)-l*A3(k,k:n);

b3(p)=b3(p)-l*b3(k);

end

end

x3(n)=b3(n)/A3(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b3(k)=b3(k)-A3(k,w)*x3(w);

end

x3(k)=b3(k)/A3(k,k);

end

disp(＇完全選主元Gauss消元法解為:＇);

disp(x3);

disp(＇所求解與精確解之差的無(wú)窮-范數(shù)為＇);

norm(x3-X,inf)

end

%模最小或近可能小的元素作為主元

if

a==4

A4=A;b4=b;

for

k=1:n

AA=A4;

AA(AA==0)=NaN;

[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==min(abs(AA(k:n,k))));

if

numel(min_i)==0

[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==-min(abs(AA(k:n,k:n))));

end

W=eye(n);

W(min_i(1)+k-1,min_i(1)+k-1)=0;

W(k,k)=0;

W(min_i(1)+k-1,k)=1;

W(k,min_i(1)+k-1)=1;

A4=W*A4;

b4=W*b4;

if

A4(k,k)==0

disp(＇主元為零，模最小Gauss消元法無(wú)法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A4(k,k))

%A4

for

p=k+1:n

l=A4(p,k)/A4(k,k);

A4(p,k:n)=A4(p,k:n)-l*A4(k,k:n);

b4(p)=b4(p)-l*b4(k);

end

end

x4(n)=b4(n)/A4(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b4(k)=b4(k)-A4(k,w)*x4(w);

end

x4(k)=b4(k)/A4(k,k);

end

disp(＇模最小Gauss消元法解為:＇);

disp(x4);

disp(＇所求解與精確解之差的無(wú)窮-范數(shù)為＇);

norm(x4-X,inf)

end

二、實(shí)驗(yàn)3.3

題目：

考慮方程組的解，其中系數(shù)矩陣H為Hilbert矩陣：

這是一個(gè)著名的病態(tài)問(wèn)題。通過(guò)首先給定解（例如取為各個(gè)分量均為1）再計(jì)算出右端的辦法給出確定的問(wèn)題。

（1）選擇問(wèn)題的維數(shù)為6，分別用Gauss消去法（即LU分解）、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程組，其各自的結(jié)果如何？將計(jì)算結(jié)果與問(wèn)題的解比較，結(jié)論如何。

（2）逐步增大問(wèn)題的維數(shù)，仍用上述的方法來(lái)解它們，計(jì)算的結(jié)果如何？計(jì)算的結(jié)果說(shuō)明的什么？

（3）討論病態(tài)問(wèn)題求解的算法。

1.算法設(shè)計(jì)

對(duì)任意線(xiàn)性方程組，分析各種方法的計(jì)算公式如下，（1）Gauss消去法：

首先對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行LU分解，有，則原方程轉(zhuǎn)化為，令，則原方程可以分為兩步回代求解：

具體方法這里不再贅述。

（2）J迭代法：

首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到誤差滿(mǎn)足要求。

（3）GS迭代法：

首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到誤差滿(mǎn)足要求。

（4）SOR迭代法：

首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到誤差滿(mǎn)足要求。

2.實(shí)驗(yàn)過(guò)程

一、根據(jù)維度n確定矩陣H的各個(gè)元素和b的各個(gè)分量值；

二、選擇計(jì)算方法（Gauss消去法，J迭代法，GS迭代法，SOR迭代法），對(duì)迭代法設(shè)定初值，此外SOR方法還需要設(shè)定松弛因子；

三、進(jìn)行計(jì)算，直至滿(mǎn)足誤差要求（對(duì)迭代法，設(shè)定相鄰兩次迭代結(jié)果之差的無(wú)窮范數(shù)小于0.0001；

3.計(jì)算結(jié)果及分析

（1）時(shí)，問(wèn)題可以具體定義為

計(jì)算結(jié)果如下，Gauss消去法

第1次消元所選取的主元是：1

第2次消元所選取的主元是：0.0833333

第3次消元所選取的主元是：0.00555556

第4次消元所選取的主元是：0.000357143

第5次消元所選取的主元是：2.26757e-05

第6次消元所選取的主元是：1.43155e-06

解得X=(0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***)T

使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，可得=4.***e-10；

J迭代法

設(shè)定迭代初值為零，計(jì)算得到

J法的迭代矩陣B的譜半徑為4.30853＞1，所以J法不收斂；

GS迭代法

設(shè)定迭代初值為零，計(jì)算得到GS法的迭代矩陣G的譜半徑為：0.999998＜1，故GS法收斂，經(jīng)過(guò)541次迭代計(jì)算后，結(jié)果為X=(1.001***6

0.***

0.***

1.***

1.***

0.***)T

使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，有=0.***；

SOR迭代法

設(shè)定迭代初值為零向量，并設(shè)定，計(jì)算得到SOR法迭代矩陣譜半徑為0.***，經(jīng)過(guò)100次迭代后的計(jì)算結(jié)果為

X=(1.***

0.***

1.03***59

1.06***81

1.***

0.9***527)T；

使用無(wú)窮范數(shù)衡量誤差，有=0.***；

對(duì)SOR方法，可變，改變值，計(jì)算結(jié)果可以列表如下

迭代次數(shù)

迭代矩陣的譜半徑

0.***

0.***

0.***

0.***

X

1.***

0.***

1.01***40

1.***

1.0***681

0.***

1.***

0.***

1.***

1.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

1.***

0.***

0.***

1.05***66

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

0.***

0.***

0.***

0.***

可以發(fā)現(xiàn)，松弛因子的取值對(duì)迭代速度造成了不同的影響，上述四種方法中，松弛因子=0.5時(shí)，收斂相對(duì)較快。

綜上，四種算法的結(jié)果列表如下：

算法

Gauss消去法

Jacobi法

GS法

SOR法（取）

迭代次數(shù)

--

不收斂

541

迭代矩陣的譜半徑

--

4.30853

0.999998

0.***

X

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

--

1.001***6

0.***

0.***

1.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.03***59

1.06***81

1.***

0.9***527

4.***e-10

--

0.***

0.***

計(jì)算可得，矩陣H的條件數(shù)為>>1，所以這是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題。由上表可以看出，四種方法的求解都存在一定的誤差。下面分析誤差的來(lái)源：

LU分解方法的誤差存在主要是由于Hilbert矩陣各元素由分?jǐn)?shù)形式轉(zhuǎn)換為小數(shù)形式時(shí)，不能除盡情況下會(huì)出現(xiàn)舍入誤差，在進(jìn)行LU分解時(shí)也存在這個(gè)問(wèn)題，所以最后得到的結(jié)果不是方程的精確解，但結(jié)果顯示該方法的誤差非常小；

Jacobi迭代矩陣的譜半徑為4.30853，故此迭代法不收斂；

GS迭代法在迭代次數(shù)為541次時(shí)得到了方程的近似解，其誤差約為0.05，比較大。GS迭代矩陣的譜半徑為0.999998，很接近1，所以GS迭代法收斂速度較慢；

SOR迭代法在迭代次數(shù)為100次時(shí)誤差約為0.08，誤差較大。SOR迭代矩陣的譜半徑為0.999999，也很接近1，所以時(shí)SOR迭代法收斂速度不是很快，但是相比于GS法，在迭代速度方面已經(jīng)有了明顯的提高；另外，對(duì)不同的，SOR方法的迭代速度會(huì)相應(yīng)有變化，如果選用最佳松弛因子，可以實(shí)現(xiàn)更快的收斂；

（2）

考慮不同維度的情況，時(shí)，算法

Gauss消去

J法

GS法

SOR法（w=0.5）

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

--

0.***

1.***

0.***

1.***

1.***

1.***

0.9968***

0.***

1.***

0.9397***

0.***

1.***

1.***

1.***

0.***

0.***

迭代次數(shù)

--

--

356

譜半徑

--

6.04213

0.***

--

時(shí)，算法

Gauss消去法

Jacobi法

GS法

SOR法（w=0.5）

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

1.000***1

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

1.***

0.***

--

0.***

1.***

0.***

0.***

0.***

1.02***91

1.***

1.***

1.***

0.***

0.947***7

1.0***572

0.***

0.***

0.***

1.***

1.***

1.***

1.***

0.***

0.***

0.***

迭代次數(shù)

--

--

1019

譜半徑

--

8.64964

0.***

--

時(shí)

算法

Gauss消去法

Jacobi法

GS法

SOR法（w=0.5）

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

0.***

1.***

0.***

2.***

-2.***

7.***

-7.***

7.***

-1.***

0.***

1.***

0.***

--

不收斂

1.***

1.***

0.907***9

0.***

0.***

1.***

1.09***64

1.***

1.***

1.***

1.0385***

0.***

0.942***3

0.***

0.***

迭代次數(shù)

--

--

262

譜半徑

--

6.04213

＞1

1.***

8.***

--

--

0.***

分析以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著n值的增加，Gauss消去法誤差逐漸增大，而且誤差增大的速度很快，在維數(shù)小于等于10情況下，Gauss消去法得到的結(jié)果誤差較??；但當(dāng)維數(shù)達(dá)到15時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差已經(jīng)達(dá)到精確解的很多倍；

J法迭代不收斂，無(wú)論n如何取值，其譜半徑始終大于1，因而J法不收斂，所以J迭代法不能用于Hilbert矩陣的求解；

對(duì)于GS迭代法和SOR迭代法，兩種方法均收斂，GS迭代法是SOR迭代法松弛因子取值為1的特例，SOR方法受到取值的影響，會(huì)有不同的收斂情況。可以得出GS迭代矩陣的譜半徑小于1但是很接近1，收斂速度很慢。雖然隨著維數(shù)的增大，所需迭代的次數(shù)逐漸減少，但是當(dāng)維數(shù)達(dá)到15的時(shí)候，GS法已經(jīng)不再收斂。因此可以得出結(jié)論，GS迭代方法在Hilbert矩陣維數(shù)較低時(shí)，能夠在一定程度上滿(mǎn)足迭代求解的需求，不過(guò)迭代的速度很慢。另外，隨著矩陣維數(shù)的增加，SOR法的誤差水平基本穩(wěn)定，而且誤差在可以接受的范圍之內(nèi)。

經(jīng)過(guò)比較可以得出結(jié)論，如果求解較低維度的Hibert矩陣問(wèn)題，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且Gauss消去法的結(jié)果精確度較高；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問(wèn)題，只有采用SOR迭代法。

（3）

系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大時(shí)，為病態(tài)方程。由實(shí)驗(yàn)可知，Gauss法在解上述方程時(shí)，結(jié)果存在很大的誤差。而對(duì)于收斂的迭代法，可以通過(guò)選取最優(yōu)松弛因子的方法來(lái)求解，雖然迭代次數(shù)相對(duì)較多，但是結(jié)果較為精確。

總體來(lái)看，對(duì)于一般病態(tài)方程組的求解，可以采用以下方式：

1.低維度下采用Gauss消去法直接求解是可行的；

Jacobi迭代方法不適宜于求解病態(tài)問(wèn)題；

GS迭代方法可以解決維數(shù)較低的病態(tài)問(wèn)題，但其譜半徑非常趨近于1，導(dǎo)致迭代算法收斂速度很慢，維數(shù)較大的時(shí)候，GS法也不再收斂；

SOR方法較適合于求解病態(tài)問(wèn)題，特別是矩陣維數(shù)較高的時(shí)候，其優(yōu)勢(shì)更為明顯。

2.采用高精度的運(yùn)算，如選用雙倍或更多倍字長(zhǎng)的運(yùn)算，可以提高收斂速度；

3.可以對(duì)原方程組作某些預(yù)處理，從而有效降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)。

4.實(shí)驗(yàn)結(jié)論

（1）對(duì)Hibert矩陣問(wèn)題，其條件數(shù)會(huì)隨著維度的增加迅速增加，病態(tài)性會(huì)越來(lái)越明顯；在維度較低的時(shí)候，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且可以?xún)?yōu)先使用Gauss消去法；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問(wèn)題，只有SOR迭代法能夠求解。

（2）SOR方法比較適合于求解病態(tài)問(wèn)題，特別是矩陣維數(shù)較高的時(shí)候，其優(yōu)點(diǎn)更為明顯。從本次實(shí)驗(yàn)可以看出，隨著矩陣維數(shù)的增大，SOR方法所需的迭代次數(shù)減少，而且誤差基本穩(wěn)定，是解決病態(tài)問(wèn)題的適宜方法。

附錄：程序代碼

clear

all

clc;

format

long;

%矩陣賦值

n=input(＇矩陣H的階數(shù):n=＇);

for

i=1:n

for

j=1:n

H(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

b=H*ones(n,1);

disp(＇H矩陣為：＇);

H

disp(＇向量b：＇);

b

%方法選擇

disp(＇選取求解方式＇);

disp(＇1

Gauss消去法，2

J迭代法，3

GS迭代法，4

SOR迭代法＇);

a=input(＇求解方式序號(hào)：＇);

%Gauss消去法

if

a==1;

H1=H;b1=b;

for

k=1:n

if

H1(k,k)==0

disp(＇主元為零，Gauss消去法無(wú)法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元是：%g＼n＇,k,H1(k,k))

for

p=k+1:n

m5=-H1(p,k)/H1(k,k);

H1(p,k:n)=H1(p,k:n)+m5*H1(k,k:n);

b1(p)=b1(p)+m5*b1(k);

end

end

x1(n)=b1(n)/H1(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

v=k+1:n

b1(k)=b1(k)-H1(k,v)*x1(v);

end

x1(k)=b1(k)/H1(k,k);

end

disp(＇Gauss消去法解為:＇);

disp(x1);

disp(＇解與精確解之差的無(wú)窮范數(shù)＇);

norm((x1-a),inf)

end

D=diag(diag(H));

L=-tril(H,-1);

U=-triu(H,1);

%J迭代法

if

a==2;

%給定初始x0

ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);

x0(:,1)=ini*diag(ones(n));

disp(＇初始解向量為:＇);

x0

xj(:,1)=x0(:,1);

B=(D^(-1))*(L+U);

f=(D^(-1))*b;

fprintf(＇(J法B矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(B));

if

vrho(B)<1;

for

m2=1:5000

xj(:,m2+1)=B*xj(:,m2)+fj;

if

norm((xj(:,m2+1)-xj(:,m2)),inf)<0.0001

break

end

end

disp(＇J法計(jì)算結(jié)果為:＇);

xj(:,m2+1)

disp(＇解與精確解之差的無(wú)窮范數(shù)＇);

norm((xj(:,m2+1)-diag(ones(n))),inf)

disp(＇J迭代法迭代次數(shù):＇);

m2

else

disp(＇由于B矩陣譜半徑大于1，因而J法不收斂＇);

end

end

%GS迭代法

if

a==3;

%給定初始x0

ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);

x0(:,1)=ini*diag(ones(n));

disp(＇初始解向量為:＇);

x0

xG(:,1)=x0(:,1);

G=inv(D-L)*U;

fG=inv(D-L)*b;

fprintf(＇GS法G矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(G));

if

vrho(G)<1

for

m3=1:5000

xG(:,m3+1)=G*xG(:,m3)+fG;

if

norm((xG(:,m3+1)-xG(:,m3)),inf)<0.0001

break;

end

end

disp(＇GS迭代法計(jì)算結(jié)果:＇);

xG(:,m3+1)

disp(＇解與精確解之差的無(wú)窮范數(shù)＇);

norm((xG(:,m3+1)-diag(ones(n))),inf)

disp(＇GS迭代法迭代次數(shù):＇);

m3

else

disp(＇由于G矩陣譜半徑大于1，因而GS法不收斂＇);

end

end

%SOR迭代法

if

a==4;

%給定初始x0

ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);

x0(:,1)=ini*diag(ones(n));

disp(＇初始解向量為:＇);

x0

A=H;

for

i=1:n

b(i)=sum(A(i,:));

end

x_star=ones(n,1);

format

long

w=input(＇松弛因子:w=＇);

Lw=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);

f=w*inv(D-w*L)*b;

disp(＇迭代矩陣的譜半徑：＇)

p=vrho(Lw)

time_max=100;%迭代次數(shù)

x=zeros(n,1);%迭代初值

for

i=1:time_max

x=Lw*x+f;

end

disp(＇SOR迭代法得到的解為＇);

x

disp(＇解與精確解之差的無(wú)窮范數(shù)＇);

norm((x_star-x),inf)

end

pause

三、實(shí)驗(yàn)4.1

題目：

對(duì)牛頓法和擬牛頓法。進(jìn)行非線(xiàn)性方程組的數(shù)值求解

（1）用上述兩種方法，分別計(jì)算下面的兩個(gè)例子。在達(dá)到精度相同的前提下，比較其迭代次數(shù)、CPU時(shí)間等。

（2）取其他初值，結(jié)果又如何？反復(fù)選取不同的初值，比較其結(jié)果。

（3）總結(jié)歸納你的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，試說(shuō)明各種方法適用的問(wèn)題。

1.算法設(shè)計(jì)

對(duì)需要求解的非線(xiàn)性方程組而言，牛頓法和擬牛頓法的迭代公式如下，（1）牛頓法：

牛頓法為單步迭代法，需要取一個(gè)初值。

（2）擬牛頓法：（Broyden秩1法）

其中，擬牛頓法不需要求解的導(dǎo)數(shù)，因此節(jié)省了大量的運(yùn)算時(shí)間，但需要給定矩陣的初值，取為。

2.實(shí)驗(yàn)過(guò)程

一、輸入初值；

二、根據(jù)誤差要求，按公式進(jìn)行迭代計(jì)算；

三、輸出數(shù)據(jù)；

3.計(jì)算結(jié)果及分析

（1）首先求解方程組（1），在這里，設(shè)定精度要求為，方法

牛頓法

擬牛頓法

初始值

計(jì)算結(jié)果X

x1

0.***

0.***

x2

1.***

1.0852***

x3

0.***

0.***

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.777815

2.739349

可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達(dá)到同樣計(jì)算精度情況下得到的結(jié)果基本相同，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少一些，但是，由于每次迭代都需要求解矩陣的逆，所以牛頓法每次迭代的CPU計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)。

之后求解方程組（2），同樣設(shè)定精度要求為

方法

牛頓法

擬牛頓法

初始值

計(jì)算結(jié)果X

x1

0.***

0.***

x2

0.***

0.***

x3

-0.***

-0.***

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.722437

3.920195

同樣地，可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達(dá)到同樣計(jì)算精度情況下得到的結(jié)果是基本相同的，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少，但同樣的，由于每次迭代中有求解矩陣的逆的運(yùn)算，牛頓法每次迭代的CPU計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

（2）對(duì)方程組（1），取其他初值，計(jì)算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為

初始值

方法

牛頓法

擬牛頓法

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

9.21***94

-5.***

18.1***205

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.907164

4.818019

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

9.21***91

-5.***

18.1***807

迭代次數(shù)

2735

CPU計(jì)算時(shí)間/s

8.127286

5.626023

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

0.***

1.0852***

0.***

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.777815

2.739349

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

0.***

1.***

0.***

迭代次數(shù)

188

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.835697

2.879070

計(jì)算結(jié)果

9.21***22

-5.***

18.1***605

Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進(jìn)入長(zhǎng)期循環(huán)計(jì)算中

迭代次數(shù)

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

4.033868

--

計(jì)算結(jié)果

0.***

1.***

0.***

Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進(jìn)入長(zhǎng)期循環(huán)計(jì)算中

迭代次數(shù)

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

12.243263

--

從上表可以發(fā)現(xiàn)，方程組（1）存在另一個(gè)在(9.2,-5.6,18.1)T附近的不動(dòng)點(diǎn)，初值的選取會(huì)直接影響到牛頓法和擬牛頓法最后的收斂點(diǎn)。

總的來(lái)說(shuō)，設(shè)定的初值離不動(dòng)點(diǎn)越遠(yuǎn)，需要的迭代次數(shù)越多，因而初始值的選取非常重要，合適的初值可以更快地收斂，如果初始值偏離精確解較遠(yuǎn)，會(huì)出現(xiàn)迭代次數(shù)增加直至無(wú)法收斂的情況；

由于擬牛頓法是一種近似方法，擬牛頓法需要的的迭代次數(shù)明顯更多，而且收斂情況不如牛頓法好（初值不夠接近時(shí)，甚至?xí)霈F(xiàn)奇異矩陣的情況），但由于牛頓法的求解比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；

同樣的，對(duì)方程組（2），取其他初值，計(jì)算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為

初始值

方法

牛頓法

擬牛頓法

計(jì)算結(jié)果

0.***

0.***

-0.***

0.***

0.***

-0.***

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.722437

3.920195

計(jì)算結(jié)果

0.***

0.***

-0.***

0.***

-0.***

76.***

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

5.047111

5.619752

計(jì)算結(jié)果

0.***

0.***

-0.***

1.0e+02

*

-0.***

-0.000***6

1.754***3

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.540668

3.387829

計(jì)算結(jié)果

0.***

0.***

-0.***

1.0e+04

*

0.***

-0.***

1.***

迭代次數(shù)

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.200571

2.640901

計(jì)算結(jié)果

0.***

0.***

-0.***

矩陣為奇異值，無(wú)法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

迭代次數(shù)

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

1.719072

--

計(jì)算結(jié)果

0.***

0.***

-0.***

矩陣為奇異值，無(wú)法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

迭代次數(shù)

149

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.797116

--

計(jì)算結(jié)果

矩陣為奇異值，無(wú)法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

矩陣為奇異值，無(wú)法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

迭代次數(shù)

--

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

--

--

在這里，與前文類(lèi)似的發(fā)現(xiàn)不再贅述。

從這里看出，牛頓法可以在更大的區(qū)間上實(shí)現(xiàn)壓縮映射原理，可以在更大的范圍上選取初值并最終收斂到精確解附近；

在初始值較接近于不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，牛頓法和擬牛頓法計(jì)算所得到的結(jié)果是基本相同的，雖然迭代次數(shù)有所差別，但計(jì)算總的所需時(shí)間相近。

（3）

牛頓法在迭代過(guò)程中用到了矩陣的求逆，其迭代收斂的充分條件是迭代滿(mǎn)足區(qū)間上的映內(nèi)性，對(duì)于矩陣的求逆過(guò)程比較簡(jiǎn)單，所以在較大區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足映內(nèi)性的問(wèn)題適合應(yīng)用牛頓法進(jìn)行計(jì)算。一般而言，對(duì)于函數(shù)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對(duì)初始值敏感程度較低，算法具有很好的收斂性。

另外，需要說(shuō)明的是，每次計(jì)算給出的CPU時(shí)間與計(jì)算機(jī)當(dāng)時(shí)的運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)，同時(shí)，不同代碼的運(yùn)行時(shí)間也不一定一致，所以這個(gè)數(shù)據(jù)并不具有很大的參考價(jià)值。

4.實(shí)驗(yàn)結(jié)論

對(duì)牛頓法和擬牛頓法，都存在初始值越接近精確解，所需的迭代次數(shù)越小的現(xiàn)象；

在應(yīng)用上，牛頓法和擬牛頓法各有優(yōu)勢(shì)。就迭代次數(shù)來(lái)說(shuō)，牛頓法由于更加精確，所需的迭代次數(shù)更少；但就單次迭代來(lái)說(shuō)，牛頓法由于計(jì)算步驟更多，且計(jì)算更加復(fù)雜，因而每次迭代所需的時(shí)間更長(zhǎng)，而擬牛頓法由于采用了簡(jiǎn)化的近似公式，其每次迭代更加迅速。當(dāng)非線(xiàn)性方程組求逆過(guò)程比較簡(jiǎn)單時(shí)，如方程組1的情況時(shí)，擬牛頓法不具有明顯的優(yōu)勢(shì)；而當(dāng)非線(xiàn)性方程組求逆過(guò)程比較復(fù)雜時(shí)，如方程組2的情況，擬牛頓法就可以體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)，雖然循環(huán)次數(shù)有所增加，但是CPU耗時(shí)反而更少。

另外，就方程組壓縮映射區(qū)間來(lái)說(shuō)，一般而言，對(duì)于在區(qū)間內(nèi)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對(duì)初始值敏感程度較低，使算法具有很好的收斂性；而擬牛頓法由于不需要在迭代過(guò)程中對(duì)矩陣求逆，而是利用差商替代了對(duì)矩陣的求導(dǎo)，所以即使初始誤差較大時(shí)，其倒數(shù)矩陣與差商偏差也較小，所以對(duì)初始值的敏感程度較小。

附錄：程序代碼

%方程1，牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

disp(＇請(qǐng)輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

while

e>E

F=[12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;x(1)^2+10*x(2)-x(3)-11;x(2)^3+10*x(3)-8];

f=[12,-2*x(2),-4;2*x(1),10,-1;0,3*x(2)^2,10];

det_x=((f)^(-1))*(-F);

x=x+det_x;

e=max(norm(det_x));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x

toc;

%方程1，擬牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

%%初值

disp(＇請(qǐng)輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x0=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

A0=eye(3);

while

e>E

F0=[12*x0(1)-x0(2)^2-4*x0(3)-7;x0(1)^2+10*x0(2)-x0(3)-11;x0(2)^3+10*x0(3)-8];

x1=x0-A0^(-1)*F0;

s=x1-x0;

F1=[12*x1(1)-x1(2)^2-4*x1(3)-7;x1(1)^2+10*x1(2)-x1(3)-11;x1(2)^3+10*x1(3)-8];

y=F1-F0;

A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);

x0=x1;

A0=A1;

e=max(norm(s));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x0

toc;

%方程2，牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

disp(＇請(qǐng)輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

while

e>E

F=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(1)^(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3];

f=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1),-162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),20];

det_x=((f)^(-1))*(-F);

x=x+det_x;

e=max(norm(det_x));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x

toc;

%方程2，擬牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

%%初值

disp(＇請(qǐng)輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x0=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

A0=eye(3);

while

e>E

F0=[3*x0(1)-cos(x0(2)*x0(3))-0.5;x0(1)^2-81*(x0(2)+0.1)^2+sin(x0(3))+1.06;exp(1)^(-x0(1)*x0(2))+20*x0(3)+(10*pi-3)/3];

x1=x0-A0^(-1)*F0;

s=x1-x0;

F1=[3*x1(1)-cos(x1(2)*x1(3))-0.5;x1(1)^2-81*(x1(2)+0.1)^2+sin(x1(3))+1.06;exp(1)^(-x1(1)*x1(2))+20*x1(3)+(10*pi-3)/3];

y=F1-F0;

A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);

x0=x1;

A0=A1;

e=max(norm(s));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x0

toc;

第五篇：復(fù)數(shù)值分析習(xí)題

2011級(jí)葫蘆島校區(qū)研究生數(shù)值分析復(fù)習(xí)參考提綱（注意例題未必出原題，給出的是題型）

一、例2-4，例2-6，例2-11，二、86頁(yè)：1，2，3，5，6，7，8

三、1、n階線(xiàn)性方程組的雅可比迭代法：迭代公式、矩陣表示

2、n階線(xiàn)性方程組的高斯-賽德?tīng)柕ǎ旱?、矩陣表?/p>

3、逐次超松弛迭代法：迭代公式、矩陣表示

4、迭代法的收斂性：（1）迭代法收斂的充要條件；（2）迭代法收斂的充分條件；（3）迭代法收斂的基本定理

5、例4-3，例4-4，例4-5，例4-8，6、110頁(yè)：1，2，5

四、1、n次拉格朗日插值：插值公式、插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)

2、牛頓插值：差商、牛頓插值公式、插值余項(xiàng)與誤差估記

3、等距節(jié)點(diǎn)插值：差分、等距節(jié)點(diǎn)插值公式、誤差估計(jì)

4、厄米特插值：插值公式、插值余項(xiàng)

5、分段低次插值：插值方法，分段低次線(xiàn)性插值余項(xiàng)、分段三次厄米特插值余項(xiàng)

6、三次樣條插值：?jiǎn)栴}的提法、邊界條件類(lèi)型

7、例5-

1、例5-

2、例5-

4、例5-

6、例5-

7、例5-

8、例5-10

五、1、最佳一致逼近的概念、最佳一致逼近多項(xiàng)式的解法、2、切比雪夫多項(xiàng)式及其性質(zhì)

3、例6-24、最佳平方逼近的概念、最佳平方逼近的計(jì)算

5、例6-56、正交多項(xiàng)式序列的構(gòu)造方法

7、勒讓德多項(xiàng)式及其性質(zhì)

8、例6-69、離散數(shù)據(jù)的最小二乘法

10、例6-8

六、1、牛頓-柯特斯求積公式、梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式及其階段誤差

2、證明：梯形公式和矩形公式具有一次代數(shù)精度、辛普森公式具有三次代數(shù)精度 3、181頁(yè)定理1及其證明

4、復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式，復(fù)化柯特斯公式及其截?cái)嗾`差

5、例7-

2、例7-36、龍貝格求積公式

7、例7-

5、例7-68、插值型求導(dǎo)方法

9、例7-12

七、例8-

1、例8-2

八、10頁(yè)1、3、7、9