第一篇：第四講直線植樹(shù)問(wèn)題

第四講直線植樹(shù)問(wèn)題

【例題求解】

例一五一班同學(xué)參加春季植樹(shù)的活動(dòng)，要在一條長(zhǎng)100米的馬路一邊植上樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)之間的間隔都是4米。請(qǐng)你幫五一班同學(xué)算一算他們一共要植樹(shù)多少棵？

例

二、學(xué)校要在兩幢教學(xué)樓之間栽楊樹(shù)，每隔5米栽一棵楊樹(shù)，兩端不栽樹(shù)，一共栽了32棵楊樹(shù)。兩幢教學(xué)樓相距多少米？

例三、一條小路，同學(xué)在路的兩邊植樹(shù)，每個(gè)五米種一棵樹(shù)（兩端都要種）一共種了20棵樹(shù)苗，小路全長(zhǎng)多少米？

例四 將一根圓木鋸成5分米長(zhǎng)的小段共需10分。已知每鋸下一小段需要2分，問(wèn)：這根圓木長(zhǎng)多少分米？

例五 大人上樓的速度是小孩上樓的3倍，小孩從一樓到四樓要9分鐘。問(wèn)：大人從一樓到八樓要多少分鐘？

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、有一段江堤全長(zhǎng)600米，從頭到尾每隔6米栽一棵水杉樹(shù)，可栽多少棵水杉樹(shù)？

2、鶴壁市新修的一段路，路長(zhǎng)720米，每隔3米種1棵樹(shù)，兩端都種。兩邊一共可種多少棵樹(shù)？

3、王大爺要在兩棵樹(shù)相距5米的玉米苗之間每隔2分米補(bǔ)一棵玉米苗，一共要補(bǔ)多少棵玉米

苗？

4、一條路的路邊每隔25米有1根電線桿，連兩端共有20根。算一算，這條路有多長(zhǎng)？

5、在一條公路的兩側(cè)栽樹(shù)，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共栽了22棵，已知相鄰兩棵樹(shù)之間的距離是3米，你能求出這條路長(zhǎng)多少密嗎？

6、木工師傅要把一根長(zhǎng)10米的圓木鋸成6段，每鋸一段要用5分，木工師傅鋸?fù)赀@根圓木需

要幾分？

7、甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到5層時(shí)，乙恰好跑到3層，照這樣計(jì)算，甲跑到17層時(shí)，乙跑到多少層？

8、有兩名同學(xué)比賽爬樓梯，甲同學(xué)爬到第六層時(shí)，乙同學(xué)爬到第九層，當(dāng)甲同學(xué)爬到第十一層時(shí)，一同學(xué)應(yīng)爬到第幾層？

9、解放軍一個(gè)連244人，排成四路縱隊(duì)，已知隊(duì)伍前后前后每排相距2米。求這支隊(duì)伍長(zhǎng)多少

米？

10、在旅游節(jié)的開(kāi)幕式上，參加表演的彩車(chē)車(chē)隊(duì)共有80輛車(chē)人，每輛車(chē)長(zhǎng)6米，兩輛車(chē)前后相隔5米，這個(gè)彩車(chē)車(chē)隊(duì)全長(zhǎng)多少米？

【課后作業(yè)】

1、在一條長(zhǎng)30米的走廊兩邊，每隔5米放1盆花，兩端都放。一共需要放多少盆花？

2、兩棵楊樹(shù)相隔600米，計(jì)劃在這兩棵樹(shù)之間栽59棵小樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)間隔相等。問(wèn)：栽完后，每?jī)煽脴?shù)之間的間隔是多少米？

3、在一段公路的一旁栽了98棵樹(shù)，兩端都栽，每?jī)煽脴?shù)之間相距15米。問(wèn)：這段公路長(zhǎng)多少

米？

4、木工師傅要把一段木料鋸成5小段，每鋸下一小段需要15分，他從上午8時(shí)10分開(kāi)始工作，鋸?fù)陼r(shí)是幾時(shí)幾分？

5、豆豆爬樓梯，豆豆跑到4層時(shí)，用了60秒，照這樣計(jì)算，當(dāng)豆豆跑到第16層時(shí)，一共用了

多少秒？

第二篇：第四講平均數(shù)問(wèn)題(教案)

平均數(shù)問(wèn)題

一、知識(shí)要點(diǎn)

平均數(shù)在我們的生活中經(jīng)常被用到，比如我們經(jīng)常用各科成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)來(lái)比較同學(xué)之間、班級(jí)之間成績(jī)的好壞。求各科成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)就是求平均數(shù)。平均數(shù)問(wèn)題不僅用在求平均分?jǐn)?shù)上，還應(yīng)用在很多方面。比如由同年齡不同地區(qū)兒童的平均身高、平均體重來(lái)分析兒童生長(zhǎng)發(fā)育的情況等。

在求平均數(shù)時(shí)，必須知道兩個(gè)條件：（1）被均分事物的總數(shù)量；（2）要均分的總份數(shù)。它們之間的關(guān)系是：

總數(shù)量 =平均數(shù)×總份數(shù)

我們看到，對(duì)于平均數(shù)、總數(shù)量、總份數(shù)這三個(gè)量，只要知道其中的任意兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量。

二、例題

例

1、樂(lè)樂(lè)參加數(shù)學(xué)考試，前兩次的平均分?jǐn)?shù)是85分，后三次的平均分?jǐn)?shù)是90分，問(wèn)樂(lè)樂(lè)前后幾次考試的平均分?jǐn)?shù)是多少？

分析：利用前兩次考試的平均分?jǐn)?shù)可以求出前兩次考試的總分?jǐn)?shù)，同理，也可以求出后三次考試的總分?jǐn)?shù)，然后用前后幾次考試的總分?jǐn)?shù)除以總次數(shù)就是所求的平均分?jǐn)?shù)。

解：（85×2+90×3）÷（2+3）

=440÷5

=88（分）

答：樂(lè)樂(lè)前后幾次考試的平均分?jǐn)?shù)是88分。

練一練：萍姐姐去爬山，上山時(shí)的速度是每小時(shí)2千米，下山時(shí)的速度是每小時(shí)6千米，那么，她在上下山全過(guò)程中的平均速度是每小時(shí)多少千米？

分析：平均速度=總路程÷總時(shí)間。顯然，萍姐姐上下山的平均速度，等于萍姐姐上下山的總路程除以上下山所用時(shí)間的總和。而題目中沒(méi)有給出爬山的路程，也無(wú)法求出爬山路程。為此，我們可以假設(shè)山路為12千米，則上下山的路程為2×12千米。

解：2×12÷（12÷2+12÷6）

=24÷（6+2）

=24÷8

=3（千米/時(shí)）

答：萍姐姐上下山的平均速度是每小時(shí)3千米。

問(wèn)：萍姐姐上下山的平均速度，像下面這樣計(jì)算可以嗎？為什么？

（2+6）÷2=4（千米/時(shí)）

（變式練習(xí)）：小明從甲地到乙地一半時(shí)間騎自行車(chē)，一半時(shí)間步行。步行速度為每小時(shí)8千米；騎車(chē)速度為每小時(shí)24千米。求此人從甲地到乙地的平均速度。

分析：題目中沒(méi)有給出總共行了多少時(shí)間，也沒(méi)有給出甲地到乙地的距離。不妨假設(shè)總共行了2小時(shí)，那么所行路程就可以簡(jiǎn)單地計(jì)算出，相應(yīng)的平均速度也可以求出來(lái)了。要是設(shè)共行

內(nèi)部資料 小時(shí)，6小時(shí)等，也同樣方便地算得同一結(jié)果。

解：（8×1+24×1）÷（1+1）=16（千米/時(shí)）答：此人從甲地到乙地的平均速度為16千米/時(shí).問(wèn)：此題的平均速度可以像下面這樣計(jì)算嗎？為什么？

（8+24）÷2=16（千米/時(shí)）

例

2、已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

分析：八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的特點(diǎn)就是第一個(gè)和第八個(gè)的和、第二個(gè)和第七個(gè)的和、第三個(gè)和第六個(gè)的和、第四個(gè)和第五個(gè)的和都是相等的，也就是說(shuō)，144是4個(gè)相同數(shù)的和。

解：每組數(shù)的和是：144÷4=36

中間兩個(gè)數(shù)是：（36－2）÷2=17

17+2=19

因此，這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是：11、13、15、17、19、21、23、25.答：這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是：11、13、15、17、19、21、23、25.練一練：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是102，如果把這5個(gè)數(shù)從小到大排列，那么前3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是70，后3個(gè)數(shù)的和是390。問(wèn)：中間的那個(gè)數(shù)是多少？

解：前3個(gè)數(shù)與后3個(gè)數(shù)的總和是：70×3+390=600；

5個(gè)數(shù)的和是：102×5=510；

中間那個(gè)數(shù)是：600－510=90

答：中間那個(gè)數(shù)是90.（變式練習(xí)）把自然數(shù)1，2，3，4，??，998，999分成三組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等，那么這三個(gè)平均數(shù)的和是多少？

分析：1，2，3，4，??，998，999是連續(xù)的自然數(shù)。從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是什么特點(diǎn)呢？我們把上述問(wèn)題先化小到“把1，2，3，4，??，9這九個(gè)自然數(shù)分成三組，如果每一組的數(shù)平均數(shù)恰好相等，那么每一組的平均數(shù)是多少？”因?yàn)槊恳唤M的平均數(shù)都相等，所以這個(gè)平均數(shù)應(yīng)該和總平均數(shù)相等。

這九個(gè)數(shù)的總平均數(shù)是：（1+2+3+4+?+9）÷9=45÷9=5，正好是這列數(shù)中間的一個(gè)數(shù)，可以用（1+9）÷2=5得到。由此可以推斷：從1開(kāi)始的連續(xù)個(gè)自然數(shù)的平均數(shù)可以用（第一個(gè)數(shù)+最后一個(gè)數(shù)）÷2得到。如果是連續(xù)奇數(shù)個(gè)自然數(shù)，那么平均數(shù)就是這列數(shù)中間的那個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)槊恳唤M的數(shù)平均數(shù)恰好相等，所以這個(gè)平均數(shù)應(yīng)該和總平均數(shù)相等，并且這個(gè)平均數(shù)應(yīng)該是：（1+999）÷2=500 三個(gè)平均數(shù)的和是500×3=1500 答：三個(gè)平均數(shù)的和是500×3=1500.例

3、有六個(gè)數(shù)排成一列，它們的平均數(shù)是27，前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是23，后三個(gè)數(shù)是34，求第四個(gè)數(shù)是多少？

分析：前四個(gè)數(shù)與后三個(gè)數(shù)中，第四個(gè)數(shù)重復(fù)計(jì)算，所以這七個(gè)數(shù)的總和比六個(gè)數(shù)的和多的數(shù)就是第四個(gè)數(shù)。

解：23×4+34×3－27×6

=92＋102－162 內(nèi)部資料

=32 答：第四個(gè)數(shù)是32.練一練：阿呆、樂(lè)樂(lè)和丫丫3人，阿呆、樂(lè)樂(lè)的年齡之和是24歲，阿呆、丫丫的年齡和是20歲，樂(lè)樂(lè)、丫丫的年齡和是16歲。問(wèn)：阿呆、樂(lè)樂(lè)和丫丫3人的平均年齡是多少歲？

解：由題目可知，24+20+16得到的數(shù)是2個(gè)阿呆、2個(gè)樂(lè)樂(lè)和2個(gè)丫丫的年齡之和，因此將該數(shù)除以2就得到阿呆、樂(lè)樂(lè)和丫丫三人的年齡之和。

（24+20+16）÷2÷3=10（歲）

答：阿呆、樂(lè)樂(lè)和丫丫3人的平均年齡是10歲。

（變式練習(xí)）丫丫期末考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、常識(shí)平均成績(jī)是85分，外語(yǔ)成績(jī)公布后，她的平均成績(jī)提高了2分。問(wèn)：丫丫外語(yǔ)考了多少分？

分析：要求出外語(yǔ)考了多少分，必須先分別求出3門(mén)功課和4門(mén)功課的總分?jǐn)?shù)。由三門(mén)功課平均分?jǐn)?shù)85分，可以求出三門(mén)功課的總分?jǐn)?shù)85×3=225（分），又由外語(yǔ)成績(jī)公布后，他的平均分提高了2分，可得他四門(mén)功課的總分?jǐn)?shù)是：（82+2）×4=348（分），因此，總分之差就是外語(yǔ)成績(jī)了。

解：（82+2）×4－85×3

=348－255

=93（分）

答：丫丫外語(yǔ)考了93分。

例

4、為了支援西部，1班班長(zhǎng)小明和2班班長(zhǎng)小紅帶了同樣多的錢(qián)買(mǎi)了同一種書(shū)44本，錢(qián)全部用完。小明要了26本書(shū)，小紅要了18本書(shū)?；匦：?，小明補(bǔ)給小紅28元。問(wèn)：小明、小紅各帶了多少元？每本書(shū)的價(jià)格是多少？

分析：因?yàn)閮扇藥Я送瑯佣嗟腻X(qián)，剛好買(mǎi)了同一種書(shū)44本，因此，每人的錢(qián)恰好能買(mǎi)這種書(shū)的數(shù)目是：44÷2=22（本）。小明補(bǔ)為小紅的28元錢(qián)，是小明多買(mǎi)的書(shū)的價(jià)錢(qián)，也就是4本書(shū)的價(jià)錢(qián)。

解：每本書(shū)的價(jià)格為：28÷（26－44÷2）=7（元）

小明、小紅各帶的錢(qián)數(shù)：44×7÷2=154（元）

答：小明、小紅各帶了154元，每本書(shū)的價(jià)格為7元。

練一練：一個(gè)旅游團(tuán)租車(chē)出游，平均每人應(yīng)付車(chē)費(fèi)40元。后來(lái)又增加了8人，這樣每人應(yīng)付的車(chē)費(fèi)是35，問(wèn)：租車(chē)費(fèi)是多少元？

解：后來(lái)增加的8人所付的總費(fèi)用為：35×8=280（元）

增加8人后，每人應(yīng)付的車(chē)費(fèi)減少了：40－35=5（元）

后來(lái)增加的8人所付的總費(fèi)用應(yīng)與原人數(shù)所少付的總費(fèi)用相等，因此：

原有人數(shù)為：280÷5=56（人）

租車(chē)費(fèi)為：40×56=2240（元）答：租車(chē)費(fèi)為2240元。

（變式練習(xí)）今年前5個(gè)月，小明共存錢(qián)21元，從6月起，他每月儲(chǔ)蓄6元錢(qián)，那么從哪個(gè)月起小明的平均儲(chǔ)蓄超過(guò)5元？ 內(nèi)部資料 解：前5個(gè)月，小明每月平均存錢(qián)：21÷5=4.2（元）

若要平均儲(chǔ)蓄超過(guò)5元，則需要從后幾個(gè)月的儲(chǔ)蓄中挪出一部分給前5個(gè)月，且需要挪（5－4.2）×5=4（元）；而從5月起，每個(gè)月儲(chǔ)蓄6元錢(qián)，6－5=1（元），即每個(gè)月可以拿出1元補(bǔ)給前5個(gè)月，4÷1=4（個(gè)），所以從5+4+1=10月起，小明的平均儲(chǔ)蓄超過(guò)5元。

例

5、某商場(chǎng)食品部將10千克巧克力糖，12千克奶糖，8千克水果糖合成一種混合糖。已知巧克力糖每千克18元，奶糖每千克12元，水果糖每千克6元，求混合糖平均每千克多少元？

解：混合糖的總價(jià)錢(qián)是：10×18+12×12+8×6=372（元）

混合糖重：10+12+8=30（千克）

混合糖平均每千克的價(jià)錢(qián)是：327÷30=12.4（元）答：混合糖每千克的價(jià)錢(qián)是12.4千克。

練一練：牛奶糖每千克17.8元，巧克力糖每千克21元，牛奶糖5千克與巧克力糖多少千克混合后，平均每千克19元？

解：每千克牛奶糖的價(jià)錢(qián)比混合后每千克的價(jià)錢(qián)少：19－17.8=1.2（元）

5千克牛奶糖的價(jià)錢(qián)比混合后5千克的價(jià)錢(qián)少：1.2×5=6（元）

每千克巧克力糖的價(jià)錢(qián)比混合后每千克的價(jià)錢(qián)多：21－19=2（元）

要想混合后平均每千克19元，則需要巧克力糖：6÷2=3（千克）答：需要巧克力糖3千克。

（變式練習(xí)）商店用相同的費(fèi)用，買(mǎi)進(jìn)甲、乙兩袋不同的糖果，已知甲袋糖果每千克需要6元，乙袋糖果每千克需要4元，如果把兩袋糖果混合在一起，那么這種混合糖每千克的成本是多少元？

解：假設(shè)商店分別用了12元買(mǎi)來(lái)甲、乙兩袋糖果，則

甲袋糖果有：12÷6=2（千克）

乙袋糖果有：12÷4=3（千克）

混合糖每千克的成本：12×2÷（2＋3）=4.8（元）答：這種混合糖每千克的成本是4.8元。

內(nèi)部資料

第三篇：第四講四點(diǎn)共圓問(wèn)題

第四講四點(diǎn)共圓問(wèn)題

“四點(diǎn)共圓”問(wèn)題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題一般有兩種形式：一是以“四點(diǎn)共圓”作為證題的目的，二是以“四點(diǎn)共圓”作為解題的手段，為解決其他問(wèn)題鋪平道路.判定“四點(diǎn)共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材《幾何》二冊(cè)所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導(dǎo)出來(lái)的其他判別方法也可相機(jī)采用.“四點(diǎn)共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長(zhǎng)線交于M，N.以AC為直徑的圓與

AC邊的高BB′及其延長(zhǎng)線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)

分析：設(shè)PQ，MN交于K點(diǎn)，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點(diǎn)共圓，須證 AMK·KN＝PK·KQ，Q即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)C′＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

2222或MC′-KC′=PB′-KB′.不難證明 AP=AM，從而有 B2222AB′+PB′=AC′+MC′.2222故 MC′-PB′=AB′-AC′

2222=(AK-KB′)-(AK-KC′)

22=KC′-KB′.②

由②即得①，命題得證.O例2．A、B、C三點(diǎn)共線，O點(diǎn)在直線外，O1O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O2O3四點(diǎn)共圓.3(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)

A分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠BC

OO2O1=11∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.22

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圓.利用對(duì)角互補(bǔ)，也可證明O，O1，O2，O3四點(diǎn)共圓，請(qǐng)同學(xué)自證.以“四點(diǎn)共圓”作為解題手段

這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測(cè)，可大體上歸納為如下幾個(gè)方面.(1)證角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.CD（第二屆袓沖之杯初中競(jìng)賽）

分析：易知A，B，M，K四點(diǎn)共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC KM

＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.AB故C，D，K，M四點(diǎn)共圓?∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直 例4．⊙O過(guò)△ABC頂點(diǎn)A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和

BM.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，曾使許多選手望而卻步.共圓”，問(wèn)題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長(zhǎng)BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四點(diǎn)共圓.在這個(gè)圓中，由

OC=OK? OC∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀

例5．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)選拔試題)

分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11∠ADB=90°+ 22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四點(diǎn) ∠AICB=90°+

共圓.同理，A，D，IB，IC四點(diǎn)共圓.此時(shí) IBAC1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，2

∴∠AICID+∠AICIB A1(∠ABC+∠ADC)2

1=360°-×180°=270°.2=360°-故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個(gè)內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計(jì)算

2例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝.P為正方形內(nèi)

一點(diǎn)，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________

(1989，全國(guó)初中聯(lián)賽)CD分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？

連接OA，OB.易知O，P，A，B

四點(diǎn)共圓，有∠APB=∠AOB=90°.222故PA+PB=AB=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.BA(5)其他

例7．設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并

求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷).(1978，全國(guó)高中聯(lián)賽)

分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD 的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)至少必落在正方形的三EA條邊上，所以不妨令F，GD·作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點(diǎn)共圓?∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個(gè)正 FGK三角形，K必為一個(gè)定點(diǎn).CB

又正三角形面積取決于它的邊長(zhǎng)，當(dāng)KF丄AB時(shí)，邊長(zhǎng)為1，這時(shí)邊長(zhǎng)最小，而面積S=

也最4

小.當(dāng)KF通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，邊長(zhǎng)為2·2?3，這時(shí)邊長(zhǎng)最大，面積S=23-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點(diǎn)，PS交AB于R，PM的延長(zhǎng)線

交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競(jìng)賽)

分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長(zhǎng)線交⊙O于Q′.連接

MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點(diǎn)共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知Q與Q′關(guān)于NS成軸對(duì)稱(chēng)?MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點(diǎn)共圓，且RS是這個(gè)圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習(xí)題

1.⊙O1交⊙O2 于A，B兩點(diǎn)，射線O1A交⊙O2 于C點(diǎn)，射線O2A

交⊙O1 于D點(diǎn).求證：點(diǎn)A是△BCD的內(nèi)心.(提示：設(shè)法證明C，D，O1，B四點(diǎn)共圓，再證C，D，B，O2

四點(diǎn)共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點(diǎn)共圓.)

2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對(duì)邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設(shè)法證∠ABA1與∠ACA1互補(bǔ)造成A，B，A1，C四點(diǎn)共圓；再證A，A2，B，C四點(diǎn)共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.設(shè)點(diǎn)M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作PC的垂線交過(guò)B所作AB的垂線于Q點(diǎn).求證：PD丄QD.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)

5.AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點(diǎn).(提示：過(guò)B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點(diǎn)共圓)

第四篇：第四講盈虧問(wèn)題教案

第四講：盈虧問(wèn)題

第一課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例1 教學(xué)目標(biāo)：初步感知盈虧問(wèn)題，了解解決盈虧問(wèn)題的一般方法。重點(diǎn)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程：

一、導(dǎo)入，初步感知盈虧問(wèn)題。

在日常生活中，我們常常要分配東西。已知兩種分配方法，按一種方法分配，東西有余（稱(chēng)作“盈”），而按另一種方法分配，東西不足（稱(chēng)作“虧”），求參加分配的人數(shù)及被分配的總量。我們稱(chēng)這樣的算術(shù)應(yīng)用題為盈虧問(wèn)題。解盈虧問(wèn)題，常常通過(guò)比較法。

例如：學(xué)校春游，租了幾條船讓學(xué)生劃，每條船坐3人，有16人沒(méi)船劃，如果每條船坐5人，則有一條船上差4人，問(wèn)共有學(xué)生多少人？共租了多少條船？

在題目中，無(wú)論如何分配，學(xué)生的人數(shù)與船的條數(shù)是不變的。比較兩種分配方法，第一種和第二種分配方法中人數(shù)一多一少相差4＋16=20（人）。相差的原因在于兩種方法的分配數(shù)不同，兩次分配每條船相差 5－3=2（人）。每條船相差2人，那么多少條船會(huì)相差20人？ 由此可求出船的條數(shù)，20÷2=10（條），所以學(xué)生總?cè)藬?shù)可列式計(jì)算：3×10＋16=46（人）

或列式5×10-4=46（人）算出。

列綜合算式：

（4＋16）÷（5－3）=10（條）

3×10＋16=46（人）

答：共有學(xué)生46人，共租了10條船。

二、通過(guò)分析，我們知道解盈虧問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)的差與盈虧的總額（盈數(shù)＋虧數(shù)）。解題時(shí)要注意：（1）要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析，確定用盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差得到的是題目中的哪個(gè)量，不能張冠李戴。

（2）兩種分配方法不一定總是一“盈”一“虧”，還可能是兩個(gè)都“盈”，兩個(gè)都“虧”，或者是一個(gè)“不盈不虧”，另一個(gè)“盈”或“虧”等情況。

二、教學(xué)例1

1、出示例題

例1：學(xué)校春游，租了幾條船讓學(xué)生劃，每條船坐3人，則有20人沒(méi)船劃，如果每條船坐5人，恰恰安排好，問(wèn)共有學(xué)生多少人？共租了多少條船？

2、學(xué)生嘗試解答。

3、說(shuō)一說(shuō)題中的兩種分配方法 第一種分配“盈”20人 第二種分配“不盈虧”

4、分析與解

盈虧總額為20＋0=20，又可知每條船相差5－3=2（人），所以： 有船：20÷（5－3）=10（條）有學(xué)生：5×10=50（人）

答：共有學(xué)生50人，共租了10條船。

三、及時(shí)練習(xí)

學(xué)雷鋒小組參加植樹(shù)活動(dòng)，如果每人栽5棵，還剩12棵樹(shù)；如果每人栽7棵，就缺4棵樹(shù)。問(wèn)這個(gè)小組有多少人？一共要栽多少棵樹(shù)？

四、質(zhì)疑

說(shuō)一說(shuō)你在本節(jié)課遇到的困難，師生共同解惑。

五、課堂小結(jié)

1、提問(wèn)：這節(jié)課你學(xué)到了什么？

2、引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)解決盈虧問(wèn)題的關(guān)鍵和方法。

第二課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例2 教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，熟練的解決盈虧問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)：弄清盈虧。

教學(xué)過(guò)程：

一、說(shuō)一說(shuō)，你知道盈虧問(wèn)題有多少。

二、提問(wèn)：盈虧問(wèn)題里的兩種分配方法一定是一盈一虧嗎？

三、出示例2 例

2、學(xué)校春游，租了幾條船讓學(xué)生劃，每條船坐3人，則空2人的位置，如果每條船坐5人，則空出16人的位置，問(wèn)共有學(xué)生多少人？共租了多少條船？

1、學(xué)生讀題，說(shuō)一說(shuō)兩種分配方法有什么不一樣。

2、學(xué)生獨(dú)立完成解決問(wèn)題?？凑l(shuí)做得又對(duì)又快。

3、請(qǐng)學(xué)生說(shuō)解題過(guò)程，教師板書(shū)

有船：

（16－2）÷（5－3）=7（條）有學(xué)生： 3×7-2=19（人）

答：共有學(xué)生19人，共租了7條船。

四、鞏固練習(xí)

1、學(xué)校用一批書(shū)獎(jiǎng)勵(lì)“三好學(xué)生”，若每人獎(jiǎng)5本，則多80本；若每人獎(jiǎng)7本，則多20本。共有多少名“三好學(xué)生”？多少本書(shū)？

2、四

（一）班學(xué)生參加植樹(shù)，分成若干組，如果10人一組，正好分完，如果12人一組，差10人。參加植樹(shù)的有多少人？

3、一幼兒園給小朋友分糖果，如果每個(gè)小朋友分10顆，則有兩個(gè)小朋友沒(méi)有分到，如果每個(gè)小朋友分8顆，則剛好分完，有多少顆糖果？多少個(gè)小朋友？

五、課堂小結(jié)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己有哪些進(jìn)步。

第三課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例3 教學(xué)目標(biāo)：較復(fù)雜盈虧問(wèn)題的求解。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

1、學(xué)會(huì)分析這一類(lèi)型題的數(shù)量間的關(guān)系。

2、能靈活運(yùn)用盈虧問(wèn)題的解題方法來(lái)解決問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程：

一、教學(xué)例3 例

3、用繩子測(cè)池水深，繩子兩折時(shí)，多余60厘米，繩子三折時(shí)，還差40厘米，求繩長(zhǎng)和池水深。

1、學(xué)生讀題，教師用實(shí)物演示兩折、三折。

2、小組討論交流

3、小組匯報(bào)想法

4、分析與解

繩子二折時(shí)，繩子多余的長(zhǎng)度是

60×2=120（厘米）

繩子三折時(shí)，繩子不夠的長(zhǎng)度是

40×3=120（厘米）所以“盈虧總額”為120＋120=240（厘米）。根據(jù)盈虧問(wèn)題計(jì)算公式： 池水深：（120＋120）÷（3－2）=240（厘米）繩長(zhǎng)：（240＋60）×2=600（厘米）

5、你知道還可以怎樣求繩長(zhǎng)嗎？

6、小組交流

解決這道題要注意什么？

7、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法

二、及時(shí)練習(xí)

1、用一根繩子測(cè)量橋的高度，如果繩子兩折時(shí)，多5米；如果繩子3折時(shí)，差4米，求繩子長(zhǎng)和橋高？

3、一根繩吊一重物測(cè)水深，水面上還留6米，如果把這根繩子對(duì)折起來(lái)，再接上3米的繩子，可達(dá)水底。問(wèn)繩子和水深各是多少米？

三、自編一道這一類(lèi)型的題，同桌之間相互解答。

第四課時(shí)

教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)例

4、例5 教學(xué)目標(biāo)：較復(fù)雜盈虧問(wèn)題的求解。

重點(diǎn)難點(diǎn)：在題目沒(méi)有直接清楚的告訴盈虧的情況下弄清盈虧。并準(zhǔn)確熟練的解答。教學(xué)過(guò)程：

一、教學(xué)例4 學(xué)校組織乘汽車(chē)外出旅游，如果每車(chē)坐65人，則有15人乘不上車(chē)。如果每車(chē)多坐5人，恰好多余了一輛車(chē)。問(wèn)一共有幾輛汽車(chē)，有多少學(xué)生？ 分析與解

每車(chē)多坐5人，也就是每車(chē)坐5＋65=70（人），恰好多余一輛車(chē)，說(shuō)明還差一輛車(chē)的人，即70人。

因而，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 如果每車(chē)坐65人，則有15人乘不上車(chē)，如果每車(chē)坐70人，則還差70人。求有多少輛汽車(chē)？有多少學(xué)生？

轉(zhuǎn)化成了典型的盈虧問(wèn)題

（15＋70）÷（70－65）=17（輛）65×17＋15=1120（人）

答：一共有17輛汽車(chē)，1120名學(xué)生。

二、及時(shí)練習(xí)

1、某校有若干個(gè)學(xué)生寄宿學(xué)校，若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問(wèn)宿舍有多少間？寄宿學(xué)生有多少人？

2、學(xué)校分配學(xué)生宿舍。如果每個(gè)房間住6人，則少2間宿舍；如果每個(gè)宿舍住9人，則空出2個(gè)房間。問(wèn)學(xué)生宿舍有多少間？住宿學(xué)生有多少人？

三、學(xué)生聽(tīng)故事，解決問(wèn)題。例5 解放軍某部調(diào)動(dòng)一批戰(zhàn)士分乘一批車(chē)輛趕往汛地抗洪。原計(jì)劃每輛汽車(chē)乘32人，則多出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車(chē)上，行進(jìn)中由于緊急任務(wù)調(diào)走一輛車(chē)，這時(shí)只好重新只能派每輛車(chē)乘35人，這樣多出7人，他們被安排在其中某輛車(chē)上。問(wèn)原來(lái)有多少輛車(chē)？共派出多少名戰(zhàn)士？

1、組討論交流

2、學(xué)生列式解答

3、說(shuō)一說(shuō)解題過(guò)程。汽車(chē)數(shù)：（35－7＋5）÷（35－32）=11（輛）戰(zhàn)士數(shù)：32×11＋5=357（人）

答：原來(lái)有11輛車(chē)，有戰(zhàn)士357人。

四、課堂小結(jié)

談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

第五篇：第一講__植樹(shù)問(wèn)題講義

植樹(shù)問(wèn)題 講義

植樹(shù)問(wèn)題

知識(shí)概要

解答植樹(shù)問(wèn)題要考慮植樹(shù)的方式，通常有兩種情況：

1、在不封閉的路線上植樹(shù)，①兩端都植樹(shù)，那么植樹(shù)的棵樹(shù)=間隔數(shù)+1；②一端植樹(shù)，一端不植樹(shù)，棵樹(shù)=間隔數(shù)；③兩端都不植樹(shù)，棵樹(shù)=間隔數(shù)?1。

2、在封閉的路線上植樹(shù)，棵樹(shù)=間隔數(shù)。

植樹(shù)問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系式：

總長(zhǎng)=間距×間隔數(shù)間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距間距=總長(zhǎng)÷間隔數(shù)

例題講解

例

1、植樹(shù)節(jié)快到了，三（1）班的同學(xué)在一條長(zhǎng)30米的小路的一邊栽樹(shù)，每隔5米栽一棵。如果兩端都栽樹(shù)，需要栽多少棵？

例

2、學(xué)校鼓號(hào)隊(duì)參加區(qū)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式，打大鼓的和打小鼓的有64人，打叉的有24人，吹號(hào)的有32人。他們每8人站成一行，前后兩行間隔2米，他們以每分鐘20米的速度通過(guò)長(zhǎng)30米的主席臺(tái)需要多少分鐘？

例

3、一個(gè)池塘的周長(zhǎng)為900米，村民準(zhǔn)備在它的周?chē)扛?米栽一棵柳樹(shù)，應(yīng)該準(zhǔn)備多少棵柳樹(shù)才夠栽？

例

4、王師傅把一根木頭鋸成3段用了8分鐘，如果這根木頭鋸成8段，需要多少分鐘？

例

5、小紅從一樓爬到四樓要6分鐘，小軍爬樓的速度是小紅的2倍，請(qǐng)問(wèn)小軍從一樓爬到五樓要幾分鐘？

拓展訓(xùn)練

1、學(xué)校舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，要在跑道的一側(cè)從頭到尾每隔4米插一面彩旗，已知學(xué)校跑道長(zhǎng)100米，需要插多少面小旗？

2、人民南路兩邊從頭到尾共有路燈184盞，每相鄰的兩盞燈之間相距20米，人民南路長(zhǎng)多少米？

3、一個(gè)圓形的花壇，周長(zhǎng)為160米，每隔8米種一株月季，每相鄰的兩株月季之間均勻的栽三株牡丹。可以栽多少株牡丹？

4、一根鋼管，鋸成5段要用12分鐘，把另外同樣的一根鋼管以同樣的速度鋸成10段，共要幾分鐘？

5、爸爸和小芳一同上樓。小芳從一樓到五樓花了8分鐘，爸爸上樓的速度是小芳的3倍，那么爸爸從一樓到七樓要多少分鐘？

能力檢測(cè)

1、在一條長(zhǎng)300米的街道上，如果每隔6米栽一棵樹(shù)，兩端都不栽、兩端都栽，各需要多少棵樹(shù)？

2、為了慶祝國(guó)慶節(jié)，學(xué)校在校門(mén)口的大道兩邊從頭到尾一共掛了50個(gè)紅燈籠，每?jī)蓚€(gè)燈籠之間相距5米，這條大道長(zhǎng)多少米？

3、有一臺(tái)掛鐘，在3點(diǎn)整時(shí)敲了3下，6秒鐘敲完，那么這臺(tái)掛鐘在12點(diǎn)整時(shí)敲12下，需要幾秒鐘敲完？

4、蓉蓉和明明比賽爬樓梯，明明爬到4樓時(shí)，蓉蓉恰好爬到3樓。照這樣計(jì)算，當(dāng)明明爬到16樓時(shí)，蓉蓉爬到幾樓？

5、園林管理處在一個(gè)湖泊的周?chē)伭艘粭l長(zhǎng)1800米的小路，小路邊每隔6米栽一棵樟樹(shù)，然后每隔5棵樟樹(shù)安放一張長(zhǎng)椅，湖邊一共載了多少棵樟樹(shù)？一共安放了幾張長(zhǎng)椅？

6、學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，三年級(jí)的同學(xué)參加隊(duì)列表演，有60人參加，每4人一行，前后兩行間隔3米，主席臺(tái)長(zhǎng)8米。他們以每分鐘10米的速度通過(guò)主席臺(tái)，需要多少分鐘？

7、一根300厘米長(zhǎng)的小棒，如果每鋸一次要2分鐘，那么把這根木棒鋸成15厘米的小棒，共需要多少分鐘？

8、一個(gè)時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，9秒鐘敲完，那么8點(diǎn)鐘敲8下，幾秒鐘敲完？

9、物業(yè)公司計(jì)劃在小區(qū)里的一條道路的一旁栽175棵桂花樹(shù)。相鄰的兩棵樹(shù)相隔8米，后來(lái)決定只栽117棵。問(wèn)：現(xiàn)在相鄰的兩棵桂花樹(shù)應(yīng)相距多少米？

10、有一根180厘米長(zhǎng)的繩子，從一端開(kāi)始每3厘米做一個(gè)記號(hào)，每隔5厘米也做一個(gè)記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？

練習(xí)

一、填空題

1.一塊三角形地,三邊之長(zhǎng)分別為156米、234米、186米,要在三邊上植樹(shù),株距6米,三個(gè)角上各有一棵,共植樹(shù)棵.2.一條馬路長(zhǎng)440米,在路的兩旁每隔8米種一棵樹(shù),兩端都種,共種棵樹(shù).3.兩棵柳樹(shù)相距408米,計(jì)劃在這兩棵柳樹(shù)之間補(bǔ)栽小樹(shù)23棵,每?jī)煽脴?shù)間隔相等,則樹(shù)的間隔米.4.公路的每邊相隔7米有一棵槐樹(shù),芳芳乘電車(chē)3分鐘看到公路的一邊有槐樹(shù)151棵,電車(chē)的速度是每分鐘米.5.國(guó)慶節(jié)接受檢閱的一列車(chē)隊(duì)共52輛,每輛車(chē)長(zhǎng)4米,前后每輛車(chē)相隔6米,車(chē)隊(duì)每分鐘行駛105米.這列車(chē)隊(duì)要通過(guò)536米長(zhǎng)的檢閱場(chǎng)地,要分鐘.6.在相距100米的兩樓之間栽樹(shù),每隔10米栽1棵,共栽了棵樹(shù).7.圓形滑冰場(chǎng)周長(zhǎng)400米,每隔20米裝一盞燈,共要裝盞燈.8.一段公路長(zhǎng)3600米,在公路兩旁每隔9米栽一棵梧桐樹(shù),兩端都栽,共栽梧桐樹(shù)棵.9.一個(gè)湖泊周長(zhǎng)1800米,沿湖泊周?chē)扛?米栽一棵柳樹(shù),每?jī)煽昧鴺?shù)中間栽一棵桃樹(shù),湖泊周?chē)粤鴺?shù)棵,栽桃樹(shù)棵.二、解答題

11.一人以相等的速度在小路上散步,從第一棵樹(shù)走到第12棵樹(shù)用了11分鐘,如果這個(gè)人走了25分鐘,應(yīng)走到的第幾棵樹(shù).12.在一個(gè)正方形的場(chǎng)地四周種樹(shù),四個(gè)頂點(diǎn)都有一棵,這樣每邊都種有24棵,四周共種多少棵樹(shù).13.參加閱兵的戰(zhàn)士有1200人,平均分成5個(gè)大隊(duì),隊(duì)距是7.5米.每隊(duì)6人為一排,排距是2米.整個(gè)隊(duì)伍的總長(zhǎng)有多少米.14.鋸一條4米長(zhǎng)的圓柱形的鋼條,鋸5段耗時(shí)1小時(shí)20分.如果把這樣的鋼條鋸成半米長(zhǎng)的小段,需要多少分鐘.