第一篇：第15講 解析幾何

第15講 解析幾何（3）

1、A、B、C是不共線(xiàn)的三點(diǎn)，滿(mǎn)足S?PAB?S?PBC的點(diǎn)P的軌跡是（）

（A）兩條平行直線(xiàn)（B）過(guò)B點(diǎn)的兩條直線(xiàn)（不包括B點(diǎn)）

（C）?ABC的平分線(xiàn)（D）AC邊的中垂線(xiàn)

2、已知兩點(diǎn)A(x,y)，B(r,s)，其中x?rs，y?(r?s)，當(dāng)點(diǎn)B在直線(xiàn)x?y?1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r2?s2r2?s

2動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是（）

（A）x?y?1（B）x?y?1（C）x2?y2?1（D）x2?y2?

13、已知x?1，那么動(dòng)點(diǎn)P(sin(arcsinx),cos(arcsinx))的軌跡是（）

4、已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三點(diǎn)。若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為C，且過(guò)A、B兩點(diǎn)，此橢圓的另一焦點(diǎn)的軌跡為（）

（A）雙曲線(xiàn)（B）橢圓（C）橢圓的一部分（D）雙曲線(xiàn)的一支

5、在?ABC中，AB?a(a為正常數(shù))，tanA?tanB是定值b(b?0)，則頂點(diǎn)C的軌跡 是（）（A）橢圓（B）雙曲線(xiàn)

（C）橢圓或圓或雙曲線(xiàn)（D）橢圓或雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)

6、關(guān)于x 的方程x2?xlogmn?2lognm?0有兩個(gè)相等的實(shí)根，點(diǎn)的集合是（）

7、過(guò)點(diǎn)A(m，0)(m?0)且與圓x2?2mx?y2?8m2內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程是______________。

8、直線(xiàn)x??2為準(zhǔn)線(xiàn)，原點(diǎn)為相應(yīng)焦點(diǎn)的動(dòng)橢圓的短袖端點(diǎn)的軌跡方程是_______________。

9、已知圓O:x2?y2?16，A(2，0)，B、C是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且BAC=90°，BC中點(diǎn)M的軌跡為_(kāi)________________。

0)為它的一個(gè)焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6的橢圓中心的軌跡是_______________。

10、經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且以F(2，11、已知O1:x2?(y?4)2?4，O2:(x?4)2?y2?1，動(dòng)點(diǎn)M到O1所引切線(xiàn)長(zhǎng)是M到O2所引

切線(xiàn)長(zhǎng)的2倍，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是______________。

12、?AOB?2a(0?a?

?)，M為角內(nèi)一點(diǎn)，以O(shè)、M為相對(duì)兩點(diǎn)的平行四邊形OKMH交OA于K，交OB于H。若平行四邊形ORMH面積為a2，點(diǎn)M軌跡是_________________。

13、過(guò)點(diǎn)P?7)作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)m，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在，任作直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P2(2，1(15)

線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足AC:CB，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程。

14、已知?ABC的三內(nèi)角A、B、C分別為?,?,?，一頂點(diǎn)A為定點(diǎn)，頂點(diǎn)B在一定直線(xiàn)L上滑動(dòng)，三角形形狀不變，而大小可以改變。求第三頂點(diǎn)C的軌跡。

15、已知圓x2?y2?4上有定點(diǎn)A（2，0）和兩動(dòng)點(diǎn)B、C，當(dāng)B、C兩點(diǎn)保持?BAC?

重心G的軌跡方程。

16、已知直線(xiàn)l:y?x?b和圓C:x2?y2?2y?0相交于不同兩點(diǎn)A、B、P點(diǎn)在直線(xiàn)l上，且滿(mǎn)足

?

時(shí)，求?ABC

PA?PB?2，當(dāng)b變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形。

第二篇：解析幾何

清華大學(xué)校長(zhǎng)畢業(yè)致辭

字號(hào): 小 中 大 發(fā)布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 評(píng)分(6 / 0)/ 我要評(píng)論(3)個(gè)人分類(lèi): 心意小語(yǔ)

清華校長(zhǎng)送給畢業(yè)生5句話(huà)——未來(lái)的世界：方向比努力重要，能力比知識(shí)重要，健康比成績(jī)重要，生活比文憑重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

現(xiàn)在是講究績(jī)效的時(shí)代，公司、企業(yè)、政府，需要的是有能力且能與企業(yè)方向共同發(fā)展的人，而不是一味努力但卻南轅北轍的人。自己適合哪些行業(yè)，哪些職業(yè)，有很多東西是先天決定的，只有充分地發(fā)掘自己的潛力，而不是總與自己的弱點(diǎn)對(duì)抗，一個(gè)人才能出人頭地，就像現(xiàn)在很多企業(yè)招聘的時(shí)候，他們相信通過(guò)培訓(xùn)和教育可以讓火雞學(xué)會(huì)爬樹(shù)，但是還是覺(jué)得選只松鼠方便一些。方向不對(duì)，再努力、再辛苦，你也很難成為你想成為的那種人。

能力比知識(shí)重要

知識(shí)在一個(gè)人的構(gòu)架里只是表象的東西，就相當(dāng)于有些人可以在答卷上回答如何管理企業(yè)、如何解決棘手的問(wèn)題、如何當(dāng)好市長(zhǎng)等等，但是在現(xiàn)實(shí)面前，他們卻顯得毫無(wú)頭緒、不知所措，他們總是在問(wèn)為什么會(huì)是這種情況，應(yīng)該是哪種情況等等。他們的知識(shí)只是知識(shí)，而不能演化為能力，更不能通過(guò)能力來(lái)發(fā)掘他們的潛力?，F(xiàn)在很多企業(yè)都在研究能力模型，從能力的角度來(lái)觀察應(yīng)聘者能否勝任崗位。當(dāng)然，高能力不能和高績(jī)效直接掛鉤，能力的發(fā)揮也是在一定的機(jī)制、環(huán)境、工作內(nèi)容與職責(zé)之內(nèi)的，沒(méi)有這些平臺(tái)和環(huán)境，再高的能力也只能被塵封。

健康比成績(jī)重要

成績(jī)只能代表過(guò)去，這是很多人已經(jīng)認(rèn)同的一句話(huà)。對(duì)于畢業(yè)后走入工作崗位的畢業(yè)生，學(xué)生階段的成績(jī)將成為永久的獎(jiǎng)狀貼在墻上，進(jìn)入一個(gè)工作單位，就預(yù)示著新的競(jìng)賽，新的起跑線(xiàn)。沒(méi)有健康的身心，如何應(yīng)對(duì)變幻莫測(cè)的市場(chǎng)環(huán)境和人生變革，如何應(yīng)對(duì)工作壓力和個(gè)人成就欲的矛盾？而且在現(xiàn)代社會(huì)，擁有強(qiáng)健的身體已經(jīng)不是最重要的，健康的心理越來(lái)越被提上日程，處理復(fù)雜的人際關(guān)系、承受挫折與痛苦、緩解壓力與抑郁，這些都將成為工薪族乃至學(xué)生們常常面對(duì)的問(wèn)題。為了防止英年早逝、過(guò)勞死，還是多注意一下身體和心理的健康投資吧。

生活比文憑重要

曾經(jīng)有一個(gè)故事，說(shuō)有個(gè)記者問(wèn)放羊的小孩，為什么放羊？答：為了掙錢(qián)，掙錢(qián)干啥？答：蓋房子，蓋房子干啥？答：娶媳婦，娶媳婦干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

記得去年在人大聽(tīng)一個(gè)教授講管理學(xué)基礎(chǔ)課，他說(shuō)你們雖然都是研究生，但很多人本質(zhì)上還是農(nóng)民！大家驚愕，竊竊私語(yǔ)。他說(shuō)你們?yōu)槭裁醋x研究生，很多人是不是想找個(gè)好工作，找好工作為了什么，為了找個(gè)好老婆，吃喝住行都不錯(cuò)，然后生孩子，為了孩子的前途更光明，這些不就是農(nóng)民的樸素想法嗎？哪個(gè)農(nóng)民父母不希望自己的子女比自己更好？說(shuō)說(shuō)你們很多人是不是農(nóng)民思想，什么時(shí)候，你能突破這種思維模式，你就超脫了。當(dāng)這個(gè)社會(huì)看重文憑的時(shí)候，假文憑就成為一種產(chǎn)業(yè)，即使是很有能力的人，也不得不弄個(gè)文憑，給自己臉上貼點(diǎn)金。比起生活，文憑還重要嗎？很多人找女朋友或者男朋友，把學(xué)歷當(dāng)作指標(biāo)之一，既希望對(duì)方能夠給他/她伴侶的溫暖與浪漫，又希望他/她知識(shí)豐富、學(xué)歷相當(dāng)或更高，在事業(yè)上能蒸蒸日上；我想說(shuō)，你找的是伴侶，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，這個(gè)人適合你，即使你是博士他/她斗大字不識(shí)一個(gè)，那也無(wú)所謂，適合就會(huì)和諧融洽，人比文憑更重要。很多成功的人在回頭的時(shí)候都說(shuō)自己太關(guān)注工作和事業(yè)了，最遺憾的是沒(méi)有好好陪陪父母、愛(ài)人、孩子，往往還傷心落淚，何必呢，早意識(shí)到這些，多給生活一些空間和時(shí)間就可以了。我們沒(méi)有必要活得那么累。

情商比智商重要

這個(gè)就很有意思了。大家忽然一下子對(duì)情商重視了起來(lái)，因?yàn)樵谛碌氖兰o(jì)，情商將成為成功領(lǐng)導(dǎo)中最重要的因素之一。比如在許多員工和自己的親人因恐怖襲擊喪生的時(shí)刻，某公司CEO Mark Loehr讓自己鎮(zhèn)定下來(lái)，把遭受痛苦的員工們召集到一起，說(shuō)：我們今天不用上班，就在這里一起緬懷我們的親人，并一一慰問(wèn)他們和親屬。在那一個(gè)充滿(mǎn)陰云的星期，他用自己的實(shí)際行動(dòng)幫助了自己和他的員工，讓他們承受了悲痛，并把悲痛轉(zhuǎn)化為努力工作的熱情，在許多企業(yè)經(jīng)營(yíng)虧損的情況下，他們公司的營(yíng)業(yè)額卻成倍上漲，這就是情商領(lǐng)導(dǎo)的力量，是融合了自我情緒控制、高度忍耐、高度人際責(zé)任感的藝術(shù)。曾經(jīng)有個(gè)記者刁難一位企業(yè)家：聽(tīng)說(shuō)您大學(xué)時(shí)某門(mén)課重考了很多次還沒(méi)有通過(guò)。這位企業(yè)家平靜地回答：我羨慕聰明的人，那些聰明的人可以成為科學(xué)家、工程師、律師等等，而我們這些愚笨的可憐蟲(chóng)只能管理他們。要成為卓越的成功者，不一定智商高才可以獲得成功的機(jī)會(huì)，如果你情商高，懂得如何去發(fā)掘自己身邊的資源，甚至利用有限的資源拓展新的天地，滾雪球似得積累自己的資源，那你也將走向卓越。在世界上出人頭地的人，都能夠主動(dòng)尋找他們要的時(shí)勢(shì)；若找不到，他們就自己創(chuàng)造出來(lái)！

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? ? ? ? ? ? ? 彭艷：美女校長(zhǎng)演繹的精彩（原創(chuàng)）（未經(jīng)許可，請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載）(gong7266, 2009-3-03)轉(zhuǎn)載：清華大學(xué)孫立平教授的《對(duì)中國(guó)最大的威脅不是社會(huì)動(dòng)蕩而是社會(huì)潰敗（更新中）》(馬津龍, 2009-3-06)校長(zhǎng)的喟嘆(谷園春草, 2009-3-16)又見(jiàn)老校長(zhǎng)(lhuihui, 2009-3-18)[轉(zhuǎn)發(fā)]校長(zhǎng)校長(zhǎng)，是誰(shuí)束縛了你的翅膀(李玲瓏, 2009-4-01)關(guān)于中國(guó)普通高等學(xué)校的校長(zhǎng)問(wèn)題(大慶商江, 2009-4-03)高二學(xué)生被清華大學(xué)“預(yù)定”(hubert888, 2009-4-06)

第三篇：《解析幾何》教案

《解析幾何》教案

第一章 向量與坐標(biāo)

本章教學(xué)目的：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握向量及其運(yùn)算的概念，熟練掌握線(xiàn)性運(yùn)算和非線(xiàn)性運(yùn)算的基本性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律和分量表示，會(huì)利用向量及其運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問(wèn)題，為以下各章利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)打下基礎(chǔ).本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）向量的基本概念和向量間關(guān)系的各種刻劃。（2）向量的線(xiàn)性運(yùn)算、積運(yùn)算的定義、運(yùn)算規(guī)律及分量表示.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）向量及其運(yùn)算與空間坐標(biāo)系的聯(lián)系；（2）向量的數(shù)量積與向量積的區(qū)別與聯(lián)系；（3）向量及其運(yùn)算在平面、立體幾何中的應(yīng)用.本章教學(xué)內(nèi)容：

§1.1 向量的基本概念

一、定義：既有大小又有方向的量稱(chēng)為向量，如力、速度、位移等.二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線(xiàn)段表示向量，箭頭表示向量的方向，線(xiàn)段長(zhǎng)度代表向量的大??；向量的大小又叫向量的模（長(zhǎng)度）.始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的向量，記作，其模記做.注：為方便起見(jiàn)，今后除少數(shù)情形用向量的始、終點(diǎn)字母標(biāo)記向量外，我們一般用小寫(xiě)黑體字母a、b、c??標(biāo)記向量，而用希臘字母λ、μ、ν??標(biāo)記數(shù)量.三、兩種特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡(jiǎn)稱(chēng)零向量，以0記之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、單位向量：模等于1的向量稱(chēng)為單位向量.特別地，與非0向量同向的單位向量稱(chēng)為的單位向量，記作.四、向量間的幾種特殊關(guān)系：

1、平行（共線(xiàn)）：向量a平行于向量b，意即a所在直線(xiàn)平行于b所在直線(xiàn)，記作a∥b，規(guī)定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b.注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無(wú)關(guān)，這種與位置無(wú)關(guān)的向量稱(chēng)為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱(chēng)為a的反向量，記作-a，顯然，零向量的反向量還是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱(chēng)為共面向量.易見(jiàn)，任兩個(gè)向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線(xiàn)，則三向量一定共面，零向量與任何共面向量組共面.注意：應(yīng)把向量與數(shù)量嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)來(lái)：

①向量不能比較大小，如

沒(méi)有意義； ②向量沒(méi)有運(yùn)算，如類(lèi)似的式子沒(méi)有意義.§1.2 向量的加法

一 向量的加法： 定義1 設(shè)、為，以與

與

為鄰邊作一平行四邊形，取對(duì)角線(xiàn)向量，記，如圖1-1，稱(chēng)之和，并記作（圖1-1）

這種用平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)向量來(lái)規(guī)定兩個(gè)向量之和的方法稱(chēng)作向量加法的平行四邊形法則.如果向量若與與向量在同一直線(xiàn)上，那么，規(guī)定它們的和是這樣一個(gè)向量： 的指向相同時(shí)，和向量的方向與原來(lái)兩向量相同，其模等于兩向量的模之和.若與的指向相反時(shí)，和向量的模等于兩向量的模之差的絕對(duì)值，其方向與模值大的向量方向一致.由于平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，可以這樣來(lái)作出兩向量的和向量： 定義2 作，以的終點(diǎn)為起點(diǎn)作，聯(lián)接

（圖1-2）得

（1-2）

該方法稱(chēng)作向量加法的三角形法則.（圖1-2）向量加法的三角形法則的實(shí)質(zhì)是：

將兩向量的首尾相聯(lián)，則一向量的首與另一向量的尾的連線(xiàn)就是兩向量的和向量.據(jù)向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運(yùn)算規(guī)律： 定理1 向量的加法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律：

1、交換律 ,（1.2-2）

2、結(jié)合律.（1.2-3）證 交換律的證明從向量的加法定義即可得證.下證結(jié)合律.自空間任一點(diǎn)O開(kāi)始依次作

所以

由定理1知，對(duì)三向量.二 向量的減法 定義3 若，則我們把叫做與的差，記為，.，只要把與、長(zhǎng)度相同而方向相反的向量，以

與

加到向量上去.由平行，則

.相加，不論其先后順序和結(jié)合順序如何，結(jié)果總是相同的，可以簡(jiǎn)單的寫(xiě)作

，則有

顯然，特別地，由三角形法則可看出：要從減去四邊形法可如下作出向量對(duì)角線(xiàn)向量..設(shè)

為鄰邊作一平行四邊形例1 設(shè)互不共線(xiàn)的三向量、與，試證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是它們的和是零向量.證 必要性 設(shè)三向量、、可以構(gòu)成三角形

（圖1-3），（圖1-3），那么, 即 充分性 設(shè)

.，作

那么，所以，從而，所以、、可以構(gòu)成三角形.例2 用向量法證明：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形.證 設(shè)四邊形因此從圖可看出：所以，∥，且，即四邊形的對(duì)角線(xiàn)、交于

點(diǎn)且互相平分（圖1-4），為平行四邊形.（圖1-4）

定義1.3.1 設(shè)是一個(gè)數(shù)量，向量與

§1.3 數(shù)量乘向量 的乘積是一向量，記作時(shí)，向量的方向與，其模等于的方向相同；當(dāng)?shù)谋?，即時(shí)，向量

是.；且方向規(guī)定如下：當(dāng)零向量，當(dāng)時(shí)，向量的方向與的方向相反.特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負(fù)向量的定義知： 據(jù)向量與數(shù)量乘積的定義，可導(dǎo)出數(shù)乘向量運(yùn)算符合下列運(yùn)算規(guī)律： 定理1.3.1.數(shù)量與向量的乘法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律： 1)122)結(jié)合律 3)分配律 =,(1.3-1),(1.3-2)

4)證 1)據(jù)定義顯然成立.2)顯然，向量且 = 或、=、=

.(1.3-3)的方向是一致，.3）分配律 如果反之 ⅰ)若 ,中至少有一個(gè)為0，等式顯然成立；

顯然同向，且

所以ⅱ）若若所以不妨設(shè)則有

由ⅰ)可得，對(duì)的情形可類(lèi)似證明.一個(gè)常用的結(jié)論： 定理3.若行且設(shè)由于即，則是非零向量，用與(為數(shù)量)，則向量(是數(shù)量).同方向的單位向量.與

亦同方向，而且，與向量

平行，記作

；反之，若向量

與向量

平表示與同方向，從而.我們規(guī)定：若，.于是.這表明：一個(gè)非零向量除以它的模是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.請(qǐng)注意：向量之間并沒(méi)有定義除法運(yùn)算，因此決不能將式子十分顯然，這種錯(cuò)誤是受實(shí)數(shù)運(yùn)算法則的“慣性作用”所造成.例1 設(shè)AM是三角形ABC的中線(xiàn)，求證

.改寫(xiě)成形式.（圖1-5）

證 如圖1-5，因?yàn)椋?/p>

但 因而，即.例2 用向量法證明：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證 設(shè)△ABC兩邊AB,AC中點(diǎn)分別為M，N，則所以，且.§1.4 向量的線(xiàn)性關(guān)系與向量的分解

定義1.4.1 由向量

與數(shù)量

所組成的向量

線(xiàn)性表示,或稱(chēng)可以分解成向量

叫做向量的的線(xiàn)性組合,或稱(chēng)可以用向量線(xiàn)性組合.定理1.4.1 如果向量使得 并且系數(shù)證 若存在實(shí)數(shù)再證，那么向量與向量共線(xiàn)的充要條件是可用向量線(xiàn)性表示，即存在實(shí)數(shù)，(1.4-1)被，唯一確定.成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線(xiàn).反之，如果向量與向量共線(xiàn)，那么一定使得（見(jiàn)1.3節(jié)中1.3.5的證明）.，那么不共線(xiàn)，那么向量與，而，所以，.線(xiàn)性表示，即 的唯一性：如果定理1.4.2 如果向量 并且系數(shù)證： 被

共面的充要條件是可用向量，(1.4-2)，唯一確定.（圖1-6）因與不共線(xiàn)，由定義1.1.4知，其中，并設(shè)

.設(shè)與都不共線(xiàn)，中之一共線(xiàn)，那么由定理1.4.1有中有一個(gè)為零；如果與，于，把它們歸結(jié)共同的始點(diǎn)別作設(shè)反之，設(shè)如果共面.最后證，那么，那么經(jīng)過(guò)的終點(diǎn)分，由定理 1.4.1，可.的平行線(xiàn)依次交直線(xiàn)（圖1-6），因，即，那么

與，所以由平行四邊形法則得，如果

中有一個(gè)為零，如

共線(xiàn)，因此與共面.，從向量加法的平行四邊形法則知與

=，，將有，這與假設(shè)矛盾，所以

都共面，因此與的唯一性.因?yàn)槟敲?如果，那么，這就證明了唯一性.定理1.4.3 如果向量數(shù)

.同理

不共面，那么空間任意向量可以由向量線(xiàn)性表示，即存在一組實(shí)使得，(1.4-3)

并且系數(shù)x,y,z被，唯一確定.證明方法與定理1.4.2類(lèi)似.定義1.4.2 對(duì)于個(gè)向量，若存在不全為零的實(shí)數(shù)，(1.4-4)

則稱(chēng)向量線(xiàn)性相關(guān).線(xiàn)性無(wú)關(guān)：.定理1.4.4 在組合.證 設(shè)向量時(shí)，向量

線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線(xiàn)性，使得

不是線(xiàn)性相關(guān)的向量叫做線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即向量線(xiàn)性相關(guān)，則存在不全為零的實(shí)數(shù)，且

使得，中至少有一個(gè)不等于0，不妨設(shè)則 反過(guò)來(lái)，設(shè)向量 即 中有一個(gè)向量，不妨設(shè)為

；，它是其余向量的線(xiàn)性組合，即，.因?yàn)閿?shù)，-1不全為0，所以向量線(xiàn)性相關(guān).定理1.4.5 如果一組向量中的部分向量線(xiàn)性相關(guān)，那么這一組向量就線(xiàn)性相關(guān).證 設(shè)使得中有一部分，不妨設(shè)前r個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，即存在不全為零的實(shí)數(shù)

.則有，因?yàn)?，不全為零，所以線(xiàn)性相關(guān).推論 如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線(xiàn)性相關(guān) 類(lèi)似地可證明下面的定理： 定理1.4.6 兩向量與共線(xiàn)

線(xiàn)性相關(guān).定理1.4.7 三向量與共面線(xiàn)性相關(guān).定理1.4.8 空間任意四個(gè)或四個(gè)以上的向量總是線(xiàn)性相關(guān)的.例1 試證明：點(diǎn)，其中在線(xiàn)段

上的充要條件是：存在非負(fù)實(shí)數(shù)，使得，且是任意取定的一點(diǎn).在線(xiàn)段.，證（先證必要性）設(shè)所以 任取一點(diǎn)所以，取，所以，上，則與同向，且，.，則，，使得

.，且，（充分性）若對(duì)任一點(diǎn)則 所以 有非負(fù)實(shí)數(shù)

與共線(xiàn)，即在直線(xiàn)上.又，所以在線(xiàn)段上.例2設(shè)證 為兩不共線(xiàn)向量，證明共線(xiàn),線(xiàn)性相關(guān)，使，共線(xiàn)的充要條件是.即存在不全為0的實(shí)數(shù)即，(1.4-5)

.又因?yàn)椴还簿€(xiàn) 即線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故方程有非零解

.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

一 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo):

平面直角坐標(biāo)系使我們建立了平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序數(shù)組之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通了平面圖形與數(shù)的研究.為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們用類(lèi)似于平面解析幾何的方法，通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).1、空間直角坐標(biāo)系

過(guò)空間一定點(diǎn)，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們以為原點(diǎn)，且一般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.通常把軸，軸配置在水平面上，而

軸則是鉛垂線(xiàn)，它們的正方向要符合右手規(guī)則：

(圖1-7)右手握住軸，當(dāng)右手的四個(gè)指頭從三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)

角度轉(zhuǎn)向軸與

軸正向時(shí)，大拇指的指向就是軸正向.左右.當(dāng)然，它們的實(shí)

軸的正向以

叫做坐標(biāo)原點(diǎn).軸間的夾角畫(huà)成注：為使空間直角坐標(biāo)系畫(huà)得更富于立體感，通常把際夾角還是.2、坐標(biāo)面與卦限

三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)面.由軸與軸所決定的坐標(biāo)面稱(chēng)為面，另外還有面與三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八個(gè)部分，這八個(gè)部分稱(chēng)為卦限.面.(圖1-8)

3、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)

取定空間直角坐標(biāo)系之后，我們就可以建立起空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.7 設(shè)為空間的一已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作垂直于

點(diǎn)的坐標(biāo).軸、軸、軸的三個(gè)平面，它們與軸、軸、軸的交點(diǎn)依次為了一個(gè)有序數(shù)組依次稱(chēng)，，這三點(diǎn)在軸、，這組數(shù)叫為點(diǎn)

軸、軸的坐標(biāo)依次為

.的點(diǎn)，于是：空間點(diǎn)就唯一地確定的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，記為，我們可以在、、軸上取坐標(biāo)為

軸、反過(guò)來(lái)，若已知一有序數(shù)組在軸取坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn)，然后過(guò)分別作軸、軸的垂直平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是以有序數(shù)組為坐標(biāo)的空間點(diǎn).和有序數(shù)組

之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系..這樣，通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，我們建立了空間點(diǎn)定義1 我們把上面有序數(shù)組

二 空間兩點(diǎn)間的距離公式 定理1 設(shè)、叫點(diǎn)

在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為

為空間的兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為

(1.5-1)

證 過(guò)、體，如圖所示 各作三個(gè)分別垂直于三坐標(biāo)軸的平面，這六個(gè)平面圍成一個(gè)以為對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)方

(圖1-9)

是直角三角形，故因?yàn)槭侵苯侨切危?/p>

；，，故 特別地，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.三 空間向量的坐標(biāo)

.，從而 而

定義2 設(shè)使得標(biāo)，記為定理

2設(shè)向量是與坐標(biāo)軸，同向的單位向量，對(duì)空間任意向量都存在唯一的一組實(shí)數(shù)，，那么我們把這組有序的實(shí)數(shù)或

.、叫做向量在此坐標(biāo)系下的坐的始終點(diǎn)坐標(biāo)分別為，那么向量

.(1.5-2)的坐標(biāo)為

證 由點(diǎn)及向量坐標(biāo)的定義知所以

=由定義知

定理3 兩向量和的分量等于兩向量對(duì)應(yīng)的分量的和.證 設(shè)，==所以

類(lèi)似地可證下面的兩定理： 定理

4設(shè)定理5 設(shè)，則，則+，.(1.5-3)，那么

..，.共線(xiàn)的充要條件是

定理6

三非零向量，.(1.5-4)，共面的充要條件是 證 因?yàn)?(1.5-5)

不共面，所以存在不全為0的實(shí)數(shù)

使得，由此可得

因?yàn)椴蝗珵?，所以.§1.6 向量在軸上的射影

一、空間點(diǎn)在軸上的投影：

設(shè)已知點(diǎn)及軸，過(guò)點(diǎn)作軸的垂直平面，則平面

與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)

在軸

上的投影.(圖1-10)

二、向量在軸上的投影： 定義1 設(shè)向量叫做向量的始點(diǎn)在軸與終點(diǎn)

在軸的投影分別為、，那么軸稱(chēng)為投影軸.上的有向線(xiàn)段的值上的投影，記作，軸(圖1-11)這里，(1)的值是這樣的一個(gè)數(shù)： 即，數(shù)的絕對(duì)值等于向量

；當(dāng)?shù)哪?的方向與

(2)當(dāng)?shù)姆较蚺c軸的正向一致時(shí)，三、空間兩向量的夾角：

軸的正向相反時(shí)，.設(shè)有兩向量、交于點(diǎn)(若、不相交，可將其中一個(gè)向量平移使之相交)，將其中一向量繞點(diǎn)在兩向量所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度(限定)稱(chēng)為、間的夾角，記作

.(圖1-12)

若、平行，當(dāng)它們指向相同時(shí)，規(guī)定它們之間的夾角為；當(dāng)它們的指向相反時(shí)，規(guī)定它們的夾角為.類(lèi)似地，可規(guī)定向量與數(shù)軸間的夾角.將向量平行移動(dòng)到與數(shù)軸相交，然后將向量繞交點(diǎn)在向量與數(shù)軸所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使向量的正方向與數(shù)軸的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度四 投影定理： 定理1.6.1 向量在軸上的投影等于向量的模

稱(chēng)為向量與數(shù)軸的夾角.乘以軸與向量的夾角的余弦.即 ,(1.6-1)

(圖1-13)證 過(guò)向量等于軸的始點(diǎn)引軸，且軸

與軸

平行且具有相同的正方向，那未軸

與向量的夾角與向量的夾角，而且有

故 由上式可知：向量當(dāng)非零向量在軸

上的投影是一個(gè)數(shù)值，而不是向量.成銳角時(shí)，向量

都有，設(shè)，.分別是的投影為正..(1.6-2)

在軸上的投影，那么顯然與投影軸定理1.6.2 對(duì)于任何向量證 取有 因?yàn)?所以 即 類(lèi)似地可證下面的定理：，那么定理1.6.3 對(duì)于任何向量與任何實(shí)數(shù)

有.(1.6-3)

§1.7 兩向量的數(shù)性積

定義1.7.1 對(duì)于兩個(gè)向量a和b?把它們的模|a|,|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱(chēng)為向量和的數(shù)量積?記作ab,即 ab=|a||b|cos.由此定義和投影的關(guān)系可得?ab|b|Prjb a=|a|Prjab?.數(shù)量積的性質(zhì)?

2(1)a2a=|a|,記a2aa，則a|a|.(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b?如果 a2?b=0?則 ab? 反之?如果ab?則a2?b?0.定理1.7.1 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直?則a?b?a2?b?0.定理1.7.2 數(shù)量積滿(mǎn)足下面運(yùn)算律：?(1)交換律? a2?b= b2a?(2)分配律(??ab)cacbc

(?(3)a)2?b a2(b?)(a2b)?(a)2(b?)(a2b)??

證（1）由定義知顯然.(2)的證明

因?yàn)楫?dāng)c0時(shí) 上式顯然成立

當(dāng)c0時(shí) 有

(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcb acbc

（3）可類(lèi)似地證明.例1 試用向量證明三角形的余弦定理

證 設(shè)在ΔABC中?∠BCA c 記2|c| 2

2||=a ||=b |?

|=c 要證

a 2+b 22 a b cos a?b?=c??則有 cc

c(ab)(ab)a2-2 2 2

ab 從而???

2ab+b|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

即 ca+b2 a b cos ?

數(shù)量積的坐標(biāo)表示?:

定理1.7.3 設(shè)a{ax ay az }?b{bx by bz } 則

a2baxbxaybyazbz

證 a2?b(ax ?i ay j az k)2(bx i by j bz k)ax bx i2i ax by i2j ax bz i2k

ay bx j 2i ay by j 2j ay bz j2k

az bx k2i az by k2j az bz k2k ax bx ay by az bz ?

定理1.7.4 設(shè)a={ |a|=證 由定理1.7.2知

|a|=a=2

},則向量a的模

.，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量與坐標(biāo)軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 設(shè)a={

}，則a的方向余弦為

cos =, cos，cos且 其中

；，分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角.證 因?yàn)? ai=|a|cos

且ai==，所以 |a|cos從而 cos=.同理可證 cos

cos且顯然

兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示?

定理1.7.6

設(shè)(a ^ b)則當(dāng)a

0、b0時(shí)?有

.證 ?因?yàn)?a2b|a||b|cos

，所以

.例2 已知三點(diǎn)M(11?1)?、A(22?1)?和B(21?2)??求AMB ?

解 從M到A的向量記為a 從M到B的向量記為b 則AMB 就是向量a與b的夾角?.a{11?0}??b{10?1}??

因?yàn)?/p>

ab1110011?

所以 從而.? ?

?

§1.8 兩向量的向量積

定義1.8.1 兩個(gè)向量a與b的向量積(也稱(chēng)外積)是一個(gè)向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝.從定義知向量積有下列性質(zhì)：(1)aa0

(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a，b如果ab0則a//b；反之如果a//b則ab 0.定理1.8.1 兩不共線(xiàn)向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.定理1.8.2 兩向量a與b共線(xiàn)的充要條件是ab0.證 當(dāng)a與b共線(xiàn)時(shí)，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b| sin(a、b)=0，從而ab0；反之，當(dāng)ab0時(shí)，由定義知，a =0，或b =0，或a//b，因零向可看成與任向量都共線(xiàn)，所以總有a//b，即a與b共線(xiàn).定理1.8.3 向量積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律

(1)反交換律 abba，(2)分配律(ab)cacbc，(3)數(shù)因子的結(jié)合律(a)ba(b)(ab)().證（略）.推論: c(ab)c a c b

定理1.8.4 設(shè)a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

證 由向量積的運(yùn)算律可得

ab(ax iay jaz k)(bx iby j bz k)axbx iiaxby ij axbz ik

aybx jiayby jjaybz jkazbx kiazby k azbz kk

由于 iijjkk0ijkjkikij 所以 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k.為了幫助記憶利用三階行列式符號(hào)上式可寫(xiě)成

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k

例1 設(shè)a(2 1 1)b(11 2)計(jì)算ab

解 =2ij2kk4ji i5j 3k

例2 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面積

解 根據(jù)向量積的定義可知三角形ABC的面積

由于(222)(124)因此

4i6j2k

于是

例3 設(shè)剛體以等角速度 繞l 軸旋轉(zhuǎn)計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線(xiàn)速度

解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)我們可以用在l 軸上的一個(gè)向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它即以右手握住l 軸當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí)大姆指的指向就是n的方向

設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r并以 表示n與r的夾角那么

a|r| sin

設(shè)線(xiàn)速度為v那么由物理學(xué)上線(xiàn)速度與角速度間的關(guān)系可知v的大小為

|v||n|a |n||r| sin

v的方向垂直于通過(guò)M點(diǎn)與l軸的平面即v垂直于n與r又v的指向是使n、r、v符合右手規(guī)則因此有

vnr

§1.9 三向量的混合積

定義1.9.1 給定空間的三個(gè)向量或.定理1.9.1 三個(gè)不共面向量且當(dāng)右手系時(shí)構(gòu)成右手系時(shí)混合積為正；當(dāng),當(dāng)構(gòu)成左手系時(shí)的混合積的絕對(duì)值等于以

為棱的平行六面體的體積

=

當(dāng)，并構(gòu)成，我們把

叫做三向量的混合積，記做

構(gòu)成左手系時(shí)混合積為負(fù),也就是.可構(gòu)成以證 由于向量的底面是以不共面，所以把它們歸結(jié)到共同的試始點(diǎn)，它的高為，為棱的平行六面體，它

.為邊的平行四邊形，面積為，體積是根據(jù)數(shù)性積的定義其中是當(dāng)與的夾角.構(gòu)成右手系時(shí)，.，.共面的充要條件是共面，由定理1.9.1知，因而可得

當(dāng)構(gòu)成左手系時(shí)，因而可得

定理1.9.2 三向量證 若三向量.反過(guò)來(lái)，如果，即

.，所以，從而，那么根據(jù)定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面.定理1.9.3輪換混合積的三個(gè)因子，并不改變它的值；對(duì)調(diào)任何倆因子要改變混合積符號(hào)，即

.證 當(dāng)共面時(shí)，定理顯然成立；當(dāng)

不共面時(shí)，混合積的絕對(duì)值等于以

為棱的平行六面體的體積，又因輪換的順序時(shí)，不改變左右手系，因而混合積不變，而對(duì)調(diào)任意兩個(gè)之間的順序時(shí)，將右手系變?yōu)樽?，而左變右，所以混合積變號(hào).推論: 定理1.9.4設(shè)

.，，那么

證 由向量的向性積的計(jì)算知

.再根據(jù)向量的數(shù)性積得，==

=推論: 三向量

.共面的充要條件是

例1 設(shè)三向量證明：由

且所以例2 已知四面體，求它的體積。，即

滿(mǎn)足

.，證明：

兩邊與做數(shù)量積，得：，共面。

共面。，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)解：

，，所以，§1.10三向量的雙重外積

定義1.10.1 給定空間三向量，先做其中兩個(gè)的向量積，再把所得的向量與第三個(gè)向量做向量積，那么，最后的結(jié)果仍然是一個(gè)向量，叫做三個(gè)向量的雙重向量積。

就是三向量也垂直，所以定理1.10.1 證 若中有一個(gè)是零向量，或定理顯然成立。

現(xiàn)設(shè)都為非零向量，且的一個(gè)雙重向量積。且和

共面。

（1.10.1）

共線(xiàn)，或與

都垂直，則（1.10.1）兩邊都是零向量，與

都垂直，與

不共線(xiàn)，為了證明（1.10.1）成立，先證

（1）

由于（2）式兩邊分別與，解得，即（1）式成立。共面，而

不共線(xiàn)，故可設(shè)，（2）

作數(shù)量積可得

下證（1.10.1）成立。由于則有利用（1）式可得例1.試證: 證明：

三式相加得例2． 證明： 證明：設(shè)，則

不共面，對(duì)任意，可設(shè)。

。，小 結(jié)

知識(shí)點(diǎn)回顧：

解析幾何的基本思想就是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，為了把代數(shù)運(yùn)算引到幾何中來(lái)，最根本的做法就是把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)化，數(shù)量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運(yùn)算，并通過(guò)向量了坐標(biāo)系，從而使得空間中的點(diǎn)都和三元有序數(shù)組建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化打好了基礎(chǔ)。

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握向量及其各種運(yùn)算的概念，熟練掌握線(xiàn)性運(yùn)算和非線(xiàn)性運(yùn)算的基本性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律和分量表示，會(huì)利用向量及其運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問(wèn)題，如利用兩向量的數(shù)量積為零來(lái)判斷各種垂直關(guān)系，兩向量的向量積為零向量來(lái)判斷各種平行問(wèn)題，三向量的混合積為零來(lái)判斷共面問(wèn)題，以及在空間直角坐標(biāo)系下，利用向量積的模求面積，混合積來(lái)求體積等問(wèn)題。

1.向量加法的運(yùn)算規(guī)律：

（1）

（2）（3）

（4）

2.數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律：

（1）12（2）

（3）（4），.=，.3.兩向量的數(shù)量積

（1）ab=|a||b|cos.（2）a?b?a2?b?0.（3）在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)a a2b 4．兩向量的向量積

{ax ay az }?baxbxaybyazbz

{bx by bz } 則

（1）兩個(gè)向量a與b的向量積(也稱(chēng)外積)是一個(gè)向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝

（2）兩向量a與b共線(xiàn)的充要條件是ab0..（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

（4）兩不共線(xiàn)向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積

5.三向量的混合積

（1）三個(gè)不共面向量并且當(dāng)也就是

.（2）三向量

共面的充要條件是，.，的混合積的絕對(duì)值等于以構(gòu)成右手系時(shí)混合積為正；當(dāng)=

當(dāng)

構(gòu)成右手系時(shí)

為棱的平行六面體的體積，構(gòu)成左手系時(shí)混合積為負(fù)，當(dāng)

構(gòu)成左手系時(shí)（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)那么

.典型習(xí)題

1.已知四面體ＡＢＣＤ的頂點(diǎn)坐標(biāo)Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。

求（１）△ＢＣＤ的面積。

（２）四面體ＡＢＣＤ的體積。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距離。解：（1）

所以 △BCD的面積，-------2分

（2）四面體ABCD的體積為

（3）設(shè)C到BCD平面的距離為h,則

從而有。

．，即

2.用向量法證明：P是ΔABC重心的充要條件為證明：設(shè)P為△ABC的重心，D為BC邊中點(diǎn)，則 又因?yàn)镻D為△PBC的中線(xiàn)，所以 所以有 設(shè)D為BC邊中點(diǎn)，則，即。

又因?yàn)椋c共線(xiàn)，即P在BC邊的中線(xiàn)上，同理可得P也在AB，AC邊的中線(xiàn)上，從而有P為△ABC的重心。

3.證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線(xiàn)段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái).[證明]：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對(duì)面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(diǎn)(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點(diǎn)Pi，使＝3, 從而設(shè)Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，則

＝，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(P1(同理得P24.在四面體，,)

P3P

4,).P1，所以AiGi交于一點(diǎn)P，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對(duì)面重心距離的三倍.是的重心（三中線(xiàn)之交點(diǎn)），求矢量

對(duì)于矢量 中，設(shè)點(diǎn)的分解式。

解：是的重心。連接并延長(zhǎng)與BC交于P 同理

（1）

由（1）（2）（3）得

（2）

（3）

即

第二章 軌跡與方程

本章教學(xué)目的：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線(xiàn)方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線(xiàn)的方程.本章教學(xué)重點(diǎn)：空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線(xiàn)方程的定義.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）空間坐標(biāo)系下母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程與平面坐標(biāo)系下有關(guān)平面曲線(xiàn)方程的區(qū)別；（2）空間坐標(biāo)系下，空間曲線(xiàn)一般方程的規(guī)范表示.本章教學(xué)內(nèi)容：

§2.1平面曲線(xiàn)的方程

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系之后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序數(shù)組(坐標(biāo)):或建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.曲線(xiàn)、曲面(軌跡)就與 方程

或建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.1.平面上的曲線(xiàn): 具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合(軌跡).曲線(xiàn)的方程:1 曲線(xiàn)上的點(diǎn)都具有這些性質(zhì).2具有這些性質(zhì)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上.2.曲線(xiàn)的方程, 方程的圖形

定義2.1.1 當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后,如果一個(gè)方程與一條曲線(xiàn)有著關(guān)系:1滿(mǎn)足方程的線(xiàn)上某一點(diǎn)的坐標(biāo);2曲線(xiàn)上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)這條曲線(xiàn)叫做這個(gè)方程的圖形.例1.求圓心在原點(diǎn),半徑為R的圓的方程.必是曲

滿(mǎn)足這個(gè)方程,那么這個(gè)方程叫做這條曲線(xiàn)的方程,而解: 任意點(diǎn)類(lèi)似地, 圓心在 例2.已知兩點(diǎn)解: 動(dòng)點(diǎn)在圓上,半徑為R的圓的方程為和在軌跡上,求滿(mǎn)足條件

..的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.即

平方整理得

再平方整理得

.為所求軌跡方程.注: 在求曲線(xiàn)的方程時(shí),化簡(jiǎn)過(guò)程中可能造成范圍 的變化,得到的方程所代表曲線(xiàn)上的點(diǎn)與條件并不

完全相符,必須補(bǔ)上或除去.3.曲線(xiàn)的參數(shù)方程 變向量: 隨的變化而變化的向量.:對(duì)每一個(gè)

都唯一確定的一個(gè).（）叫做曲線(xiàn)的向量式 向量函數(shù)= 定義2.1.2 在坐標(biāo)系上,向量函數(shù)==參數(shù)方程.曲線(xiàn)的坐標(biāo)式參數(shù)方程: 曲線(xiàn)的普通方程:.21

例3.一個(gè)圓在一直線(xiàn)上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),求圓周上一點(diǎn)的軌跡.(圖2-3)

解:取直角坐標(biāo)系,設(shè)半徑為的圓在軸上滾動(dòng),開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P恰好在原點(diǎn)O(圖2-3),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的滾動(dòng),圓與直線(xiàn)軸的切點(diǎn)移到A點(diǎn),圓心移到C點(diǎn),這時(shí)有

.設(shè)為到的有向角,則到的角為,則

.又

, ,這即是P點(diǎn)軌跡的向量式參數(shù)方程.其坐標(biāo)式參數(shù)方程為:取時(shí),消去參數(shù),得其在的一段的普通方程: 這種曲線(xiàn)叫做旋輪線(xiàn)或稱(chēng)為擺線(xiàn).例4.已知大圓半徑為,小圓半徑為,設(shè)大圓不動(dòng),而小圓在大圓內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),動(dòng)圓周上某一點(diǎn)P的軌跡叫做內(nèi)旋輪線(xiàn)(或稱(chēng)內(nèi)擺線(xiàn)),求內(nèi)旋輪線(xiàn)的方程.解:

設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)動(dòng)點(diǎn)P與大圓周上的A點(diǎn)重合，并取大圓中心O為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O與OA垂直的直線(xiàn)為y軸建立坐標(biāo)系，經(jīng)過(guò)某一過(guò)程后，小圓與大圓的接觸點(diǎn)為B，小圓中心為C，則C一定在OB上，且有，設(shè)為到則有又由弧AB等于弧BP可得所以

.的有向角，為

到的有向角，從而有到的有向角為，23 即為P點(diǎn)的向量式參數(shù)方程，其坐標(biāo)式參數(shù)方程為

（-∞﹤<+∞）

例5 把線(xiàn)繞在一個(gè)固定的圓周上，將線(xiàn)頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線(xiàn)從圓周上解放出來(lái)，使放出來(lái)的部分成為圓的切線(xiàn)，求線(xiàn)頭的軌跡.解 設(shè)圓的半徑為是圓周上的點(diǎn)，如右圖，建立坐標(biāo)系，那么 設(shè) 且矢量 所以 =從而得，，那么，對(duì)軸所成的有向角為，線(xiàn)頭的最初位置

，這就是所求點(diǎn)軌跡的矢量式參數(shù)方程.由上式可得該軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

該曲線(xiàn)叫漸伸線(xiàn)或切展線(xiàn).一、曲面的方程：

§2.2 曲面的方程

定義2.2.1 設(shè)Σ為一曲面，F(xiàn)（x，y，z）=0或以后，若Σ上任一點(diǎn)P（x,y,z）的坐標(biāo)都滿(mǎn)足F（x，y，z）=0或都在曲面Σ上，則稱(chēng)F（x，y，z）=0或

為一三元方程，空間中建立了坐標(biāo)系，而且凡坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的點(diǎn)

為曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的圖形.不難看出，一點(diǎn)在曲面Σ上〈═〉該點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足Σ的方程，即曲面上的點(diǎn)與其方程的解之間是一一對(duì)應(yīng)的 ∴Σ的方程的代數(shù)性質(zhì)必能反映出Σ的幾何性質(zhì).三元方程的表示的幾種特殊圖形：

空間中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空間中的一個(gè)曲面呢？一般而言這是成立的，但也有如下特殊情況

1° 若F（x，y，z）=0的左端可分解成兩個(gè)（或多個(gè)）因式F1（x，y，z）與F2（x，y，z）的乘積，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），則

F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此時(shí) F（x，y，z）=0表示兩葉曲面與，它們分別以F1（x，y，z）=0，F(xiàn)2（x，y，z）=0為其方程，此時(shí)稱(chēng)F（x，y，z）=0表示的圖形為變態(tài)曲面.如

即為三坐標(biāo)面.2方程 僅表示坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（1，2，3）3°方程可能表示若干條曲線(xiàn)，如

0

即表示z軸和x軸 4°方程 不表示任何實(shí)圖形，如，此時(shí)，稱(chēng)所表示的圖形為虛曲面 3 求法：

例1：求平行于坐標(biāo)面的平面的方程.解：設(shè)平行于 面的平面為π，π與z軸的交點(diǎn)為∈π〈═〉

共面，則

=0 即

同理，平行于其他兩坐標(biāo)面的平面的方程為

例2：求作兩定點(diǎn)A（1，-2，1），B（0，1，3）等距離的點(diǎn)的軌跡.解：

（圖2.1）

設(shè)所求軌跡為Σ，則

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求軌跡為x-3y-2z+2=0

例3：求半徑為R的球面的方程

解：建立直角坐標(biāo)系{O；i,j,k}，并設(shè)球心 P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣

（a,b,c），則

∣=R〈═〉

特別地，若M.（a,b,c）為坐標(biāo)原點(diǎn)，則球面Σ的方程為 x2+y2+z2=R2

綜合上述條例，可歸納出求曲面方程的一般步驟如下： 1°建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（方程易求且求出的方程簡(jiǎn)單）

2°設(shè)動(dòng)點(diǎn)Σ坐標(biāo)為P（x,y,z），并根據(jù)已知條件，推出曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的方程； 3°對(duì)方程作同解化簡(jiǎn).二、曲面的參數(shù)方程：

定義2.2.2 設(shè)DR2為有序數(shù)對(duì)集，若對(duì)任意（u，v）∈D，按照某對(duì)應(yīng)規(guī)則，有唯一確定的向量r與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為D上的一個(gè)二元向量函數(shù)，記作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定義2.2.3 設(shè)Σ為一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D為一二元向量函數(shù)，在空間坐標(biāo)系下，若對(duì)任意（u，v）∈D，徑向

=r（u，v）的終點(diǎn)P總在曲面Σ上，而且對(duì)任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），則 稱(chēng)r=r（u，v）為Σ的向量式參數(shù)方程，記作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令 r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，則 稱(chēng)

（u，v）∈D

為Σ的坐標(biāo)式參數(shù)方程，記作Σ：（u，v）∈D

(圖2.2)(圖2.3)例：建立球面的參數(shù)方程：

解：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于球心，球面半徑為R，如圖

對(duì)任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P為M 在x.y面上投影，并令=∠（r= =，），則

∣cos

i+∣

∣sin

j+∣∣sin sinj +Rcos

∣cos

j+∣

∣cos =∣ =∣∣sin cos i+ ∣ =Rsin cos i+Rsin sin ∴球面的參數(shù)方程 為： 0π 0<2π

三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

定義2.2.4 空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對(duì)空間中任一點(diǎn)M（x,y,z），設(shè)∣OM∣=ρ 則M在以O(shè)為中心，以ρ為半徑的球面上，從而存在φ，θ，使

（*）

反之，對(duì)任意ρ（ρ?0），φ（0π），θ（0<2π），通過(guò)（*）也能確定空間中一點(diǎn)M（x,y,z），我們稱(chēng)有序三數(shù)組ρ，φ，θ為M點(diǎn) 的球坐標(biāo)（空間極坐標(biāo)），記作M（ρ，φ，θ）

注：1°空間中的點(diǎn)與其球坐標(biāo)間并非一一對(duì)應(yīng).2°已知M點(diǎn)的球坐標(biāo)，通過(guò)（*）可求其直角坐標(biāo)，而若已知M的直角坐 標(biāo)，則

（**）

便可求其球坐標(biāo).定義2.2.5 空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對(duì)

M（x,y,z），設(shè)其到z軸的距離為ρ，則 M落在以z軸為中心軸，以ρ為半徑的圓柱面上，從而θ，u，使

（*）

反之，對(duì)給的ρ（ρ?0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依據(jù)（*）式

也可確定空間中一點(diǎn)M（x,y,z），稱(chēng)有序三數(shù)組ρ，θ，u為M點(diǎn)的柱坐標(biāo)，記作M（ρ，θ，u）.注：1°空間中的點(diǎn)與其柱坐標(biāo)并非一一對(duì)應(yīng).2°由柱面坐標(biāo)求直角坐標(biāo),利用(*)即可,而由直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo),則需按下式進(jìn)行.例：在直角坐標(biāo)系下，圓柱面的圖形如下：，雙曲柱面，平面

和拋物柱面 27

(圖2.4)

(圖2.5)

(圖2.6)(圖2.7)

§2.3 空間曲線(xiàn)的方程

一、空間曲線(xiàn)的一般方程

1.定義2.3.1 設(shè)L為空間曲線(xiàn),為一三元方程組,空間中建立了坐標(biāo)系之后,若L上任一點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程組,而且凡坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組的點(diǎn)都在曲線(xiàn)L上,則稱(chēng)

為曲線(xiàn)L的一般方程,又稱(chēng)普通方程,記作L:

28(圖2.8)

注: 1°在空間坐標(biāo)系下,任一曲線(xiàn)的方程定是兩方程聯(lián)立而成的方程組;

2°用方程組去表達(dá)曲線(xiàn),其幾何意義是將曲線(xiàn)看成了二曲面的交線(xiàn)（如圖2.8）;3°空間曲線(xiàn)的方程不唯一(但它們同解),如

與 均表示z軸

2.用曲線(xiàn)的射影柱面的方程來(lái)表達(dá)曲線(xiàn)

以曲線(xiàn)L為準(zhǔn)線(xiàn),母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面稱(chēng)為L(zhǎng)的射影柱面,若記L的三射影柱面的方程為

(x,y)=0，(y,z)=0，(z,x)=0,則

，便是L的用射影柱面表達(dá)的方程

若已知曲線(xiàn)L:的方程(y,z)=0, ,只需從L的方程中,分別消去x,y,z便三射影柱面(z,x)=0，(x,y)=0

例:設(shè)有曲線(xiàn)L: ,試求L的射影柱面,并用射影柱面方程表達(dá)曲線(xiàn).解:從L的方程中分別消去x,y,z得到 z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0 它們即為L(zhǎng)的射影柱面,而

(1),便均是L的用射影柱面表達(dá)的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草圖 二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程:

(2),(3)

1.定義2.3.2 設(shè)L為一空間曲線(xiàn)，r=r(t),t∈A為一元向函數(shù),在空間坐標(biāo)系下，若對(duì)P∈L，t∈A，使 =r（t），而且對(duì)t∈A，必有P∈L，使r（t）=，則稱(chēng)r=r（t），t∈A為曲線(xiàn)L的向量式參數(shù)方程，記作L=r=r（t），t∈A，t ——參數(shù)

若點(diǎn)r（t）={x（t），y（t），z（t）}

則稱(chēng) t∈A

為L(zhǎng)的坐標(biāo)式參數(shù)方程

注：空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程中，僅有一個(gè)參數(shù)，而曲面的參數(shù)方程中，有兩個(gè)參數(shù)，所以習(xí)慣上，稱(chēng)曲線(xiàn)是單參數(shù)的，而曲面是雙參數(shù)的。

2.求法： 例：一質(zhì)點(diǎn)，在半徑=a的圓柱面上，一方面繞圓柱面的軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一方面沿圓柱面的母線(xiàn)方向作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

解：以圓柱面的軸作為z軸，建立直角坐標(biāo)系{O；i，j，k}，如圖，不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)的起始點(diǎn)在x軸上，質(zhì)點(diǎn)的角速率與線(xiàn)速率分別為ω。，ν。，質(zhì)點(diǎn)的軌跡為L(zhǎng)，則對(duì)∈L，在x。y面上的投影為′，(圖2.9)r= = +，=acos=b，則

i+asin

j+

k

若令 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式參數(shù)方程

而

小結(jié)

知識(shí)點(diǎn)回顧：

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，把平面上的曲線(xiàn)或空間的曲面都看成具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合，而其特征性質(zhì)在坐標(biāo)系中反映為它的坐標(biāo)之間的某種特定關(guān)系，把這種關(guān)系找出來(lái)，就是它的方程，而圖形的方程和圖形間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣就把研究曲線(xiàn)與曲面的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問(wèn)題。如曲面的方程為F（x，y，z）=0，要研究空間中三曲面是否有公共點(diǎn)的問(wèn)題就可歸結(jié)為求三曲面方程的公共解，也就是解三元聯(lián)立方程組的問(wèn)題。例如方程組

如果有實(shí)數(shù)解，則三曲面點(diǎn)的坐標(biāo)。若方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，三曲面就沒(méi)有公共點(diǎn)。

平面曲線(xiàn)的普通方程為

就有公共點(diǎn)，方程組的解就是公共，參數(shù)，參數(shù)方程為單參數(shù)的；曲面的普通方程為方程為雙參數(shù)的；空間曲線(xiàn)的普通方程為，參數(shù)方程為單參數(shù)的。

參數(shù)方程若能消去參數(shù)可得到普通方程，普通方程化為參數(shù)方程時(shí)形式卻是不唯一的，但一定要保證與原方程等價(jià)。典型習(xí)題：

1.有一長(zhǎng)度為段中點(diǎn)的軌跡。解：設(shè) ＞0）的線(xiàn)段，它的兩端點(diǎn)分別在軸正半軸與，為兩端點(diǎn)，為此線(xiàn)段的中點(diǎn)。

.在中有

軸的正半軸上移動(dòng)，是求此線(xiàn)

:.則即.∴此線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡為.2.有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線(xiàn)自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，另一方面這一條母線(xiàn)在圓錐面上，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線(xiàn)，試建立圓錐螺線(xiàn)的方程.解：取圓錐面的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓錐的軸為z軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)圓錐頂角為，旋轉(zhuǎn)角速度為，直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度為V，動(dòng)點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn)，而且動(dòng)點(diǎn)所在直母線(xiàn)的初始位置在xoz面上，t秒后質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)，P點(diǎn)在xoy面上的射影為N，N在x軸上的射影為M，則有

而

所以，圓錐螺旋線(xiàn)的向量式參數(shù)方程為

坐標(biāo)式參數(shù)方程為

（﹣∞

本章教學(xué)目的： 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線(xiàn)方程的各種形式，掌握確定平面與直線(xiàn)的條件，熟練掌握點(diǎn)、平面與空間直線(xiàn)間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點(diǎn)位式和點(diǎn)法式、直線(xiàn)方程點(diǎn)向式與標(biāo)準(zhǔn)式；（2）點(diǎn)、平面與空間直線(xiàn)間各種位置關(guān)系的解析條件；（3）平面與空間直線(xiàn)各種度量關(guān)系的量化公式.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)方程；（2）綜合運(yùn)用位置關(guān)系的解析條件求平面、空間直線(xiàn)方程.本章教學(xué)內(nèi)容：

§3.1平面的方程

1．平面的點(diǎn)位式方程

在空間給定了一點(diǎn)M0與兩個(gè)不共線(xiàn)的向量a，b后，通過(guò)點(diǎn)M0且與a，b平行的平面? 就惟一被確定.向量a，b叫平面? 的方位向量.任意兩個(gè)與?平行的不共線(xiàn)的向量都可作為平面? 的方位向量.取標(biāo)架==，設(shè)點(diǎn)M0的向徑，平面? 上任意一點(diǎn)M的向 = {x，y，z}（如圖）.點(diǎn)M在徑為r =平面?上的充要條件為向量與向量a，b共面.由于a，b不共線(xiàn)，這個(gè)共面的條件可以寫(xiě)成

= ua＋vb

而= r －r0，所以上式可寫(xiě)成

r = r0＋ua＋vb(3.1－1)

此方程叫做平面? 的點(diǎn)位式向量參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).31 若令a = {，}，b = {，}，則由(3.1－1)可得

(3.1－2)

此方程叫做平面? 的點(diǎn)位式坐標(biāo)參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).(3.1－1)式兩邊與a3b作內(nèi)積，消去參數(shù)u，v得

(r －r0，a，b)=

0(3.1-3)

此即

=0(3.1－4)

這是? 的點(diǎn)位式普通方程.例1：已知平面?上三非共線(xiàn)點(diǎn)

（i = 1，2，3）.求通過(guò)

={，（i = 1，2，3）的平面方程。}，i = 1，2，3.對(duì)動(dòng)點(diǎn)M，設(shè)r =

={x，解： 建立坐標(biāo)系{O；e1, e2, e3}，設(shè)ri = y，z}，取次為 和為方位向量，M1為定點(diǎn)，則平面?的向量參數(shù)方程，坐標(biāo)參數(shù)方程和一般方程依r = ＋u(－)＋v(－r1)(3.1－5)

(3.1－6)

= 0(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)統(tǒng)稱(chēng)為平面的三點(diǎn)式方程.特別地，若是? 與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即≠0，則平面? 的方程就是

(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc=0(3.1－8)

即

(3.1－9)

此方程叫平面?的截距式方程，其中a，b，c稱(chēng)為? 在三坐標(biāo)軸上的截距.2．平面的一般方程

在空間，任一平面都可用其上一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)和兩個(gè)方位向量a = {，}，b = {，}確定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.將(3.1－4)展開(kāi)就可寫(xiě)成

Ax＋By＋Cz＋D =

0(3.1－10)其中 A =，B =，C =

由于a = {，}與b = {，}不共線(xiàn)，所以A，B，C不全為零，這說(shuō)明空間任一平面都可用關(guān)于a，b，c的一三元一次方程來(lái)表示.32 反之，任給一三元一次方程(3.1－10)，不妨設(shè)A≠0，則(3.1－10)可改寫(xiě)成

即

它顯然表示由點(diǎn)M0(－D / A，0，0)和兩個(gè)不共線(xiàn)的向量{B，－A，0}和{C，0，－A }所決定的平面.于是有

定理3.1.1 空間中任一平面的方程都可表為一個(gè)關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程；反過(guò)來(lái)，任一關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程都表示一個(gè)平面.方程(3.1－10)稱(chēng)為平面? 的一般方程.現(xiàn)在先來(lái)討論幾種特殊的平面方程（平面對(duì)于坐標(biāo)系來(lái)講具有某種特殊位置）： 1.D=0的平面都通過(guò)原點(diǎn)。

2.A、B、C中有一個(gè)為0，例如C=0，則平面通過(guò)Z軸。

3.A、B、C中有兩個(gè)為0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐標(biāo)面。.其余情況同學(xué)們自己討論。

3．平面的法式方程。

若給定一點(diǎn)M0和一個(gè)非零向量n，則過(guò)M0且與n垂直的平面?也被惟一地確定.稱(chēng)n為?的法向量.在空間坐標(biāo)系{O；i，j，k}下，設(shè)={x，y，z}，則因總有

=

={x0，y0，z0}，n = {A，B，C}，且平面上任一點(diǎn)M的向徑r =⊥n，有

n(r－r0)=

0(3.1－11)也就是 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面? 的點(diǎn)法式方程.(3.1－12)中的系數(shù)A，B，C有簡(jiǎn)明的幾何意義，它們就是平面? 的一個(gè)法向量的分量.特別地，取M0為自O(shè)向? 所作垂線(xiàn)的垂足，而n為單位向量.當(dāng)平面不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，取n為與00的單位向量n，當(dāng)平面過(guò)原點(diǎn)時(shí)取n的正向?yàn)榇怪迸c平面的兩個(gè)方向中的任一個(gè).設(shè)|| = p，則0n(r－p n0)= 0 = p n，由點(diǎn)P和n確定的平面的方程為，上式可寫(xiě)成 n0r－p =

0(3.1－13)

0

0

同向式中r是平面的動(dòng)向徑.由于此方程叫平面的向量式法式方程.0若設(shè)r = {x，y，z}，n = {cos?，cos?，cos?}，則由(3.1－13)得

x cos?＋y cos?＋z cos?－p = 0(3.1－14)

此為平面的坐標(biāo)法式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)法式方程.平面的坐標(biāo)法式方程有如下特征：

1°一次項(xiàng)系數(shù)是單位向量的分量，其平方和等于1； 2°常數(shù)項(xiàng)－p?0（意味著p ? 0）.3°p是原點(diǎn)到平面的距離.例3: 求通過(guò)點(diǎn)

且平行于z軸的平面方程。，所以有2A 解：設(shè)平行于z軸的平面方程為Ax＋By＋D = 0，因?yàn)樗忠ㄟ^(guò)－B＋D = 0，3A－2B＋D = 0，由上兩式得A:B:C= 所以所求平面方程為x＋y－1= 0

4．化一般方程為法式方程

在直角坐標(biāo)系下，若已知?的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D = 0，則n = {A，B，C}是?的法向量，Ax＋By＋Cz＋D = 0可寫(xiě)為

nr＋D =

0(3.1－15)

與(3.1－13)比較可知，只要以

去乘(3.1－15)就可得法式方程

?Ax＋?By＋?Cz＋?D = 0(3.1－16)

其中正負(fù)號(hào)的選取，當(dāng)D≠0時(shí)應(yīng)使(3.1－16)的常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，D＝0時(shí)可任意選.以上過(guò)程稱(chēng)為平面方程的法式化，而將例2：已知兩點(diǎn)解： 中點(diǎn)坐標(biāo)為：

化為法式方程，并求出原點(diǎn)指向平面的單位法向量。，，求線(xiàn)段

叫做法化因子.垂直平分面的方程。

平面的點(diǎn)法式方程為： 整理后得：例3：把平面 解： ：所以

法式方程為：

§3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置

平面與點(diǎn)的位置關(guān)系，有兩種情形，就是點(diǎn)在平面上和點(diǎn)不在平面上.前者的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足平面方程.點(diǎn)不在平面上時(shí)，一般要求點(diǎn)到平面的距離，并用離差反映點(diǎn)在平面的哪一側(cè).1．點(diǎn)到平面的距離 定義3.2.1 自點(diǎn)M0向平面? 引垂線(xiàn)，垂足為Q.向量面?之間的離差，記作

? = 射影

n0

在平面?的單位法向量n0上的射影叫做M0與平

(3.2－1)

顯然 ? = 射影n0當(dāng)0.0

= 2n =∣

0

0

∣cos∠(，n)=±∣

0

∣

與n同向時(shí)，離差? > 0；當(dāng)與n反向時(shí)，離差? < 0.當(dāng)且僅當(dāng)M0在平面上時(shí)，離差? =

顯然，離差的絕對(duì)值就是點(diǎn)M0到平面? 的距離.定理3.2.1 點(diǎn)M0與平面（3.1－13）之間的離差為 ? = n0r0－p(3.2－2)證：根據(jù)定義3.2.2和上圖得? = 射影n0 其中q== n（0

0

-）= n（r0－q）= nr0－n q

0

000，而Q在平面（3.1-13）上，因此n q= p，所以? = nr0－p。，則

與?間的離差 推論1 若平面? 的法式方程為

3)

推論2 點(diǎn)與平面Ax＋By＋Cz＋D = 0間的距離為

(3.2－

(3.2－4)

2．平面劃分空間問(wèn)題 三元一次不等式的幾何意義 設(shè)平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D = 0 則空間中任一點(diǎn)M（x，y，z）與間的離差為

= ?(Ax＋By＋Cz＋D)式中?為平面的法化因子，由此有

Ax＋By＋Cz＋D

=(3.2－5)

對(duì)于平面同側(cè)的點(diǎn)，? 的符號(hào)相同；對(duì)于在平面的異側(cè)的點(diǎn)，? 有不同的符號(hào)，而?一經(jīng)取定，符號(hào)就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0把空間劃分為兩部分，對(duì)于某一部分的點(diǎn)M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D > 0；而對(duì)于另一部分的點(diǎn)，則有Ax＋By＋Cz＋D < 0，在平面上的點(diǎn)有Ax＋By＋Cz＋D = 0.§3.3 兩平面的相關(guān)位置

空間兩平面的相關(guān)位置有3種情形，即相交、平行和重合.設(shè)兩平面?1與?2的方程分別是

?1：(1)

?2：(2)

則兩平面?1與?2相交、平行或是重合，就決定于由方程（1）與（2）構(gòu)成的方程組是有解還是無(wú)解，或無(wú)數(shù)個(gè)解，從而我們可得下面的定理.定理3.3.1兩平面（1）與（2）相交的充要條件是

(3.3－1)

平行的充要條件是

(3.3－2)

重合的充要條件是

(3.3－3)

由于兩平面?1與?2的法向量分別為，當(dāng)且僅當(dāng)n1不平行于n2時(shí)?1與?2相交，當(dāng)且僅當(dāng)n1∥n2時(shí)?1與?2平行或重合，由此我們同樣能得到上面3個(gè)條件.下面定義兩平面間的夾角.設(shè)兩平面的法向量間的夾角為?，稱(chēng)?1與?2的二面角∠(?1，?2)=? 或?－?為兩平面間的夾角.顯然有

=±cos? =±定理3.3.2兩平面（1）與（2）垂直的充要條件是

(3.3－5)

例 一平面過(guò)兩點(diǎn) 和且垂直于平面x＋y＋z = 0，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法向量為n = {A，B，C}，(3.3－4)

由于在所求平面上，有，即.又n垂直于平面x＋y＋z = 0的法線(xiàn)向量{1，1，1}，故有A＋B＋C = 0 解方程組 得

所求平面的方程為，約去非零因子C得，即 2x－y－z =0，§3.4 空間直線(xiàn)的方程

1．直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程 在空間給定了一點(diǎn)與一個(gè)非零向量v = {X，Y，Z}，則過(guò)點(diǎn)M0且平行于向量v的直線(xiàn)l就惟一地被確定.向量v叫直線(xiàn)l的方向向量.顯然，任一與直線(xiàn)l上平行的飛零向量均可作為直線(xiàn)l的方向向量.下面建立直線(xiàn)l的方程.如圖，設(shè)M(x，y，z)是直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的向徑是r = { x，y，z }，而對(duì)應(yīng)的向徑是r0，則因有 //v，有t∈R，= t v.即r－r0= t v

所以得直線(xiàn)l的點(diǎn)向式向量參數(shù)方程

r = r0＋t v(3.4－1)

以諸相關(guān)向量的分量代入上式，得

根據(jù)向量加法的性質(zhì)就得直線(xiàn)l的點(diǎn)向式坐標(biāo)參數(shù)方程為

－∞ < t < ＋∞(3.4－2)

消去參數(shù)t，就得直線(xiàn)l的點(diǎn)向式對(duì)稱(chēng)方程為

(3.4－3)

此方程也叫直線(xiàn)l的標(biāo)準(zhǔn)方程.今后如無(wú)特別說(shuō)明，在作業(yè)和考試時(shí)所求得的直線(xiàn)方程的結(jié)果都應(yīng)寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)式.例1 設(shè)直線(xiàn)L通過(guò)空間兩點(diǎn)M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，則取M1為定點(diǎn)，就得到直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為

(3.4－4)

根據(jù)前面的分析和直線(xiàn)的方程(3.4－1)，可得到

為方位向量，這個(gè)式子清楚地給出了直線(xiàn)的參數(shù)方程(3.4－1)或(3.4－2)中參數(shù)的幾何意義：參數(shù)t的絕對(duì)值等于定點(diǎn)M0到動(dòng)點(diǎn)M之間的距離與方向向量的模的比值，表明線(xiàn)段M0M的長(zhǎng)度是方向向量v的長(zhǎng)度的 |t| 倍.0特別地，若取方向向量為單位向量v = {cos?，cos?，cos?} 則(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次變?yōu)?/p>

0 r = r0＋t v(3.4－5)

－∞ < t < ＋∞(3.4－6)

和

(3.4－7)

此時(shí)因 |v| = 1，t的絕對(duì)值恰好等于l上兩點(diǎn)M0與M之間的距離.直線(xiàn)l的方向向量的方向角?，?，? cos?，cos?，cos? 分別叫做直線(xiàn)l的方向角和方向余弦.由于任意一個(gè)與v平行的非零向量v'都可作為直線(xiàn)l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我們一般稱(chēng)X ：Y ：Z為直線(xiàn)l的方向數(shù)，用來(lái)表示直線(xiàn)l的方向.2．直線(xiàn)的一般方程

空間直線(xiàn)l可看成兩平面?1和?2的交線(xiàn).事實(shí)上，若兩個(gè)相交的平面?1和?2的方程分別為

?1：

那么空間直線(xiàn)l上的任何一點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)平面方程，即應(yīng)滿(mǎn)足方程組 ?2：

(3.4－8)

反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)不在直線(xiàn)l上，那么它不可能同時(shí)在平面?1和?2上，所以它的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程組(3.4－8).因此，l可用方程組(3.4－8)表示，方程組(3.4－8)叫做空間直線(xiàn)的一般方程.一般說(shuō)來(lái)，過(guò)空間一直線(xiàn)的平面有無(wú)限多個(gè)，所以只要在無(wú)限多個(gè)平面中任選其中的兩個(gè)，將它們的方程聯(lián)立起來(lái)，就可得到空間直線(xiàn)的方程.直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.將標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般式，得到的是直線(xiàn)的射影式方程.將直線(xiàn)的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，只需在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，然后取構(gòu)成直線(xiàn)的兩個(gè)平面的兩個(gè)法向量的向量積為直線(xiàn)的方向向量即可.例 將直線(xiàn)的一般方程

化為對(duì)稱(chēng)式和參數(shù)方程.解 令y = 0，得這直線(xiàn)上的一點(diǎn)（1，0，－2）.兩平面的法向量為

a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}

因a3b = {4，－1，－3}，取為直線(xiàn)的法向量，即得直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為

令，則得所求的參數(shù)方程為

§3.5 直線(xiàn)與平面的相關(guān)位置

直線(xiàn)與平面的相關(guān)位置有直線(xiàn)與平面相交，直線(xiàn)與平面平行和直線(xiàn)在平面上3種情形.設(shè)直線(xiàn)l與平面? 的方程分別為

l：(1）

? ：Ax＋By＋Cz＋D = 0(2)

（1）也就是

.將（2）代入（1），整理可得

(AX＋BY＋CZ)t = －(Ax0＋By0＋Cz0＋D)(3)

當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ≠0時(shí)，（3）有惟一解

這時(shí)直線(xiàn)l與平面? 有惟一公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時(shí)，（3）無(wú)解，直線(xiàn)l與平面? 沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0時(shí)，（3）有無(wú)數(shù)多解，直線(xiàn)l在平面? 上.于是有

定理3.5.1 關(guān)于直線(xiàn)（1）與平面（2）的相互位置，有下面的充要條件： 1）相交： AX＋BY＋CZ≠0

2）平行： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0 3）直線(xiàn)在平面上： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0

以上條件的幾何解釋?zhuān)壕褪侵本€(xiàn)l的方向向量v與平面? 的法向量n之間關(guān)系.1）表示v與n不垂直；

2）表示v與n垂直且直線(xiàn)l上的點(diǎn)（x0，y0，z0）不在平面? 上； 3）表示v與n垂直且直線(xiàn)l上的點(diǎn)（x0，y0，z0）在平面? 上.當(dāng)直線(xiàn)l與平面? 相交時(shí)，可求它們的交角.當(dāng)直線(xiàn)不與平面垂直時(shí)，直線(xiàn)與平面的交角? 是指直線(xiàn)和它在平面上的射影所構(gòu)成的銳角；垂直時(shí)規(guī)定是直角.設(shè)v = {X，Y，Z}是直線(xiàn)l的方向向量，n = {A，B，C}是平面? 的法向量，則

令 ∠(l，?)=，∠(v，n)= ?，就有 =? 或= ?－（? 為銳角）

(3.5－1)因而,sin =∣cos?∣==從這個(gè)公式也可直接得到定理3.5.1中的條件.§3.6 空間直線(xiàn)與點(diǎn)的相關(guān)位置

任給一條直線(xiàn)l的方程和一點(diǎn)M0，則l和M0的位置關(guān)系只有兩種：點(diǎn)在直線(xiàn)上和點(diǎn)不在直線(xiàn)上。從代數(shù)上，這兩種情況對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程和點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程.當(dāng)點(diǎn)不在直線(xiàn)上時(shí)，可求此點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.設(shè)空間中有一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，和一條直線(xiàn)l：

l：

此處M1(x1，y1，z1)是l上的一點(diǎn)，v = {X，Y，Z}是l的方向向量.以v和

為鄰邊作一平行四變形，則其面積為 | v3|，點(diǎn)M0到直線(xiàn)l的距離d就是此平行四變形的對(duì)應(yīng)于底 | v | 的高，所以

=(3.7－1)

在實(shí)際計(jì)算中，記憶上式的第二個(gè)等號(hào)后面的部分是沒(méi)有實(shí)際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計(jì)算即可.§3.7空間兩直線(xiàn)的相關(guān)位置 1．空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：

空間兩直線(xiàn)的相關(guān)位置有異面與共面，共面時(shí)又有相交、平行和重合3種情形.設(shè)二直線(xiàn)的方程為

：

i = 1，2

此處直線(xiàn)l1是由點(diǎn)和方向向量v1 = {X1，Y1，Z1}決定的，而直線(xiàn)l2是由點(diǎn)和方向向量v2 = {X2，Y2，Z2}決定的.由圖容易看出，兩直線(xiàn)的相關(guān)位置決定于三向量，v1，v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量異面時(shí)，兩直線(xiàn)異面；當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量共面時(shí)，兩直線(xiàn)共面.共面時(shí)，若v1，v2不平行，則l1和l2相交，若v1∥v2但不與平行，則l1和l2平行，v1∥v2∥則l1和l2重合.因此有

定理3.6.1 空間兩直線(xiàn)l1和l2的相關(guān)位置有下面的充要條件 1）異面：

(3.6－1)

2）相交：(3.6－2)3）平行：(3.6－3)4）重合：(3.6－4)2．空間兩直線(xiàn)的夾角

平行于空間兩直線(xiàn)的兩向量間的夾角，叫空間兩直線(xiàn)的夾角.顯然，若兩直線(xiàn)間的夾角是?，則也可認(rèn)為它們之間的夾角是?－?.定理3.6.2 空間兩直線(xiàn)l1和l2的夾角的余弦為

(3.6－5)，推論 兩直線(xiàn)l1與l2垂直的充要條件是

X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 =

0(3.6－6)

3．二異面直線(xiàn)間的距離與公垂線(xiàn)的方程

空間兩直線(xiàn)的點(diǎn)之間的最短距離叫這兩條直線(xiàn)之間的距離.兩相交或兩重合直線(xiàn)間的距離為零；兩平行直線(xiàn)間的距離等于其中一直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一直線(xiàn)的距離.與兩條異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)叫兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn).兩異面直線(xiàn)間的距離就等于它們的公垂線(xiàn)夾在兩異面直線(xiàn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng).39 設(shè)兩異面直線(xiàn)l1和l2的方程如前，l1和l2與它們的公垂線(xiàn)的交點(diǎn)分別為N1和N2，則l1和l2之間的距離

也就是

(3.6－6)

現(xiàn)在求兩異面直線(xiàn)l1和l2的公垂線(xiàn)的方程.如上圖，公垂線(xiàn)l0的方向向量可取作= {X，Y，Z}，而公垂線(xiàn)l0可看作兩個(gè)平面的交線(xiàn)，這兩個(gè)平面一個(gè)通過(guò)點(diǎn)M1，以v1和

和為方向向量，另一個(gè)平面通過(guò)點(diǎn)M2，以v2和

和為方向向量.因此公垂線(xiàn)l0的一般方程可寫(xiě)為(3.6－7).例1求通過(guò)點(diǎn)方程。

解：設(shè)直線(xiàn)方程為：由條件可得： 而與平面平行，且與直線(xiàn)相交的直線(xiàn)的即

從而，且所以，直線(xiàn)方程為：例2 已知兩直線(xiàn)：

與

⑴ 證明它們?yōu)楫惷嬷本€(xiàn)；

⑵ 求它們公垂線(xiàn)的方程

解： ⑴ ⑵ 公垂線(xiàn)方向?yàn)椋海?，兩直線(xiàn)異面。

公垂線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)得： 即：

§3.8平面束

1．平面束

定義3.8.1 空間中過(guò)同一直線(xiàn)l的所有平面的集合稱(chēng)為有軸平面束，l稱(chēng)為這平面束的軸.定義3.8.2 空間中平行于一定平面?的所有平面的集合稱(chēng)為平行平面束.有軸和平行平面束統(tǒng)稱(chēng)為平面束.定理3.8.1 如果兩個(gè)平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

交于一條直線(xiàn)L，那么以直線(xiàn)L為軸的有軸平面束的方程是

?(x＋y＋z＋)＋?(x＋y＋其中? 和 ? 是不全為零的任意實(shí)數(shù).證 先證(3.8－1)表示過(guò)L的平面.z＋)= 0(3.8－1)

(3.8－1)即為(?+?)x＋(?+?)y＋(?+? 上式中x，y，z的系數(shù)必不全為零，若不然，則有

－?：? =

：

=

：)z＋?=

：

＋? = 0

這與與相交矛盾.故表示(3.8－1)一平面?，?顯然通過(guò)與的交線(xiàn)L.再證明對(duì)于過(guò)L的任一平面?，必存在不全為零的實(shí)數(shù)?，?，使?的方程為(3.8－1).首先，若?是一般地，若?≠件是，取? = 1，? = 0；若?是，取? = 0，? =1即可.，i = 1，2，取?上一點(diǎn)A(a，b，c)L，則由于(3.8－1)表示的平面要通過(guò)L的條?(a+b+c+)＋?(a+b+

b+c+

c+)= 0

即 ?：? =－(a+)：(a+b+c+)

不妨取 ? =－(a+b+c+)，? =a+b+c+

則由于A不在L上，? 和 ? 不全為零，因而過(guò)L且過(guò)A的平面? 的方程必可寫(xiě)成(3.8－1)的形式.例 求過(guò)二平面4x－y＋3z－1 = 0與x＋5y－z＋2 = 0的交線(xiàn)，且過(guò)原點(diǎn)的平面的方程.解 略（講解時(shí)實(shí)推）.定理3.8.2 如果兩個(gè)平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

為平行平面，那么方程

41)＋?(x＋y＋z＋)= 0(3.8－1)

為平行平面束，平面束中任一平面都和?1或?2平行.式中? 和 ? 是不全為零的任意實(shí)數(shù)，且

－? ：?≠A1 ：A2 = B1 ：B2 = C1 ：C2

定理3.8.3平行于平面?：Ax＋By＋Cz＋D = 0的所有平面的方程可表為

Ax＋By＋Cz＋? = 0(3.8－2)

例 求與平面3x＋y－z＋4 = 0平行，且在z軸的截距等于－6的平面的方程.解 設(shè)所求的平面是3x＋y－z＋t = 0，則由于點(diǎn)(0，0，－6)在平面上，有

t＋6 = 0, t =－6

所求的平面方程為 3x＋y－z－6 = 0

2．平面把

定義3.8.3 空間中過(guò)一定點(diǎn)的所有平面的集合稱(chēng)為平面把，稱(chēng)為把心.?(x＋y＋z＋定理3.8.4 過(guò)定點(diǎn)(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－3)

其中A，B，C是任意不全為零的實(shí)數(shù).更一般地，我們有

定義3.8.3 空間中過(guò)一定點(diǎn)的所有平面的集合稱(chēng)為平面把，稱(chēng)為把心.定理3.8.5 過(guò)定點(diǎn)(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－4)

其中A，B，C是任意不全為零的實(shí)數(shù).定理3.8.6 對(duì)任意不全為0的? , ?，?，方程

(3.8－5)

表示過(guò)三平面

：的（惟一）交點(diǎn)(，?，使? 的方程為(3.8－4).)的一個(gè)平面?；反之，對(duì)任意過(guò), 3 的平面?，必存在不全為零的? , ?，小結(jié)

知識(shí)點(diǎn)回顧：

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線(xiàn)方程的各種形式，掌握確定平面與直線(xiàn)的條件，熟練掌握點(diǎn)、平面與空間直線(xiàn)間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點(diǎn)位式和點(diǎn)法式.在空間取仿射坐標(biāo)系則平面設(shè)點(diǎn)的向量式參數(shù)方程為的坐標(biāo)分別為，并設(shè)點(diǎn)的向徑其中，那么，平面

為參數(shù)。

；并設(shè)

上任意一點(diǎn)的向徑為

則平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為，為參數(shù)。

平面的點(diǎn)位式方程為

空間中任一平面的方程都可以表示成一個(gè)關(guān)于變量 x,y,z 的一次方程；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)關(guān)于變量 x,y,z 的一次方程都表示一個(gè)平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的向徑為

，平面上的任意一點(diǎn)的向徑為，則平面的點(diǎn)法式方程.（2）空間直線(xiàn)的各種方程.42 在空間取仿射坐標(biāo)系則其向量式參數(shù)方程為，已知直線(xiàn)上一點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)，方向向量.坐標(biāo)式參數(shù)方程為：對(duì)稱(chēng)式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程為：

.。

設(shè)有兩個(gè)平面的方程為中的系數(shù)行列式

（＊）如果，即方程組（＊）

不全為零，那么相交，它們的交線(xiàn)設(shè)為，因?yàn)?上的任意一點(diǎn)同在這兩平面上，所以它的坐標(biāo)必滿(mǎn)足方程組（＊）；反過(guò)來(lái)，坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組（＊）的點(diǎn)同在兩平面上，因而一定在這兩平面的交線(xiàn)即直線(xiàn) 上，因此方程組（＊）表示直線(xiàn)的方程，把它叫做直線(xiàn)的一般方程（3）點(diǎn)的離差和點(diǎn)到平面的距離； 如果自點(diǎn)與平面到平面引垂線(xiàn)，其垂足為，那么向量

在平面的單位法向量

上的射影叫做點(diǎn)之間的離差，記做點(diǎn)到平面距離公式：（4）點(diǎn)到直線(xiàn)的的距離：.（5）異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)方程

兩異面直線(xiàn) 典型習(xí)題：

1、一平面過(guò)兩點(diǎn) 和，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法線(xiàn)向量為 顯然，故 即 又垂直于平面故有

；

且垂直于平面，在所求平面上，，.的法線(xiàn)向量，43

解方程組

得 據(jù)點(diǎn)法式方程有，約去非零因子

得，故所求方程為

2、用對(duì)稱(chēng)式方程及其參數(shù)方程硎局畢?/span>

解 先找出這直線(xiàn)上的一點(diǎn)，如：取

代入方程組得

解此二元一次方程組得 于是，得到直線(xiàn)上的一點(diǎn) 再找該直線(xiàn)的一個(gè)方向向量都垂直，可取

.，由于兩平面的交線(xiàn)與兩平面的法線(xiàn)向量，因此，所給直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為

；

直線(xiàn)的參數(shù)方程為

3分別在下列條件下確定（1）使（2）使與的值：

和

表示二平行平面；

表示同一平面；

（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：

即：

從而：。

（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：

所以：。

所以：

：

。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：4.試驗(yàn)證直線(xiàn)：解：

直線(xiàn)與平面相交。

與平面

相交，并求出它的交點(diǎn)和交角。

又直線(xiàn)的坐標(biāo)式參數(shù)方程為： 設(shè)交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，從而交點(diǎn)為（1，0，-1）。又設(shè)直線(xiàn)與平面的交角為，則：，5.給定兩異面直線(xiàn)：解：因?yàn)楣咕€(xiàn)方程為：，與，試求它們的公垂線(xiàn)方程。

即，亦即

第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面及常見(jiàn)二次曲面

本章教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面的定義、方程求法和方程特征；熟練掌握五種常見(jiàn)二次曲面的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何特征，了解它們的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)它們的草圖.本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）常見(jiàn)二次曲面的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及圖形的特征；（2）坐標(biāo)面上的曲線(xiàn)繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法.（3）通過(guò)求柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程，理解動(dòng)曲線(xiàn)產(chǎn)生曲面的思想方法.本章教學(xué)難點(diǎn) ：（1）柱面及錐面方程的求法中消去參數(shù)的幾何意義的理解；（2）雙曲拋物面的幾何性質(zhì)的分析；（3）二次曲面直紋性的證明.本章教學(xué)內(nèi)容：

§4.1 柱面

一 柱面

定義4.1.1 在空間，由平行于定方向且與一條定曲線(xiàn)相交的一族平行直線(xiàn)所產(chǎn)生的曲面叫做柱面.其中定方向叫柱面的方向，定曲囈兄條都叫柱面的母線(xiàn).注：1°一個(gè)柱面的準(zhǔn)線(xiàn)不惟一（舉例）.2°平面和直線(xiàn)也是柱面.以下建立柱面的方程.設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，柱面S的準(zhǔn)線(xiàn)為

(1)

母線(xiàn)的方向數(shù)為X，Y，Z.若M1(x1，y1，z1)為準(zhǔn)線(xiàn)上任一點(diǎn)，則過(guò)M1的母線(xiàn)方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個(gè)等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個(gè)三元方程

F(x，y，z)= 0

就是以（1）為準(zhǔn)線(xiàn)，以{X，Y，Z}為方向的柱面的方程.這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，消去參數(shù)的幾何意義，就是讓點(diǎn)M1遍歷準(zhǔn)線(xiàn)上的所有位置，就是讓動(dòng)直線(xiàn)（1）“掃”出符合要求的柱面.例1 已知一個(gè)柱面的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，其母線(xiàn)的方向數(shù)是－1，0，1，求該柱面的方程.解 設(shè)M1(x1，y1，z1)是準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)M1(x1，y1，z1)的母線(xiàn)為

(1)

且有

(2)(3)

由(1)得

將(4)代入(2)和(3)得

(4)

(5)

(6)

由（5）和（6）得

(7)

將（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程為即.例2 已知圓柱面的軸為，點(diǎn)M1(1，－2，1)在此柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程.解法一 記所求的圓柱面為S.因S的母線(xiàn)平行于其軸，母線(xiàn)的方向數(shù)為1，－2，－2，若能求得圓柱面的準(zhǔn)線(xiàn)圓，則用例1的方法即可解題.空間的圓總可看成某一球面與某一平面的交線(xiàn)，故圓柱面的準(zhǔn)線(xiàn)圓可看成以軸上的點(diǎn).M0(0，1，－1)為中心，為半徑的球面的交線(xiàn)，即準(zhǔn)線(xiàn)圓 是

設(shè)為 上的任意點(diǎn)，則

（1）（2）

與過(guò)已知點(diǎn)M1(1，－2，1)且垂直于軸的平面S的過(guò)的母線(xiàn)為

（3）

由（1）、（2）、（3）消去參數(shù)x1，y1，z1，得S的方程為.將圓柱面看成動(dòng)點(diǎn)到軸線(xiàn)等距離點(diǎn)的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 因軸的方向向量為v = {1，－2，－2}，軸上的定點(diǎn)為M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定點(diǎn)，點(diǎn)M1到l的距離

.設(shè)M(x，y，z)是圓柱面上任意一點(diǎn)，則M到軸l的距離為，即

化簡(jiǎn)整理就得S的方程為

二、柱面的判定定理 定理4.1.1

在空間直角坐標(biāo)系中，只含有兩個(gè)元（坐標(biāo)）的三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面，它的母線(xiàn)平行于所缺元（坐標(biāo)）的同名坐標(biāo)軸。

在空間直角坐標(biāo)系里，因?yàn)檫@些柱面與 xoy坐標(biāo)面的交線(xiàn)分別是橢圓，雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)，所以它們依次叫做橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，統(tǒng)稱(chēng)為二次柱面.三、空間曲線(xiàn)的射影柱面

空間曲線(xiàn)L:(15),如果我們從（15）中依次消去一個(gè)元，可得，任取其中兩個(gè)方程組，比如（16）那么方成這樣（16）和（15）是兩個(gè)等價(jià)的 方程組，也就是（16）表示的曲線(xiàn)和（15）是同一條，從而曲面都通過(guò)已知曲線(xiàn)(15)；同理方程知，曲面

表示的曲面也通過(guò)已知曲線(xiàn)(15)。有定理4.1.1表示一個(gè)母線(xiàn)平行于z軸的柱面，在直角坐標(biāo)系下，起母線(xiàn)垂直于xoy坐標(biāo)面，我們把曲面叫做空間曲線(xiàn)（15）對(duì)xoy坐標(biāo)面射影的射影柱面，而曲線(xiàn)曲線(xiàn)（15）在xoy坐標(biāo)面上的射影曲線(xiàn)。同理，與

叫做空間

分別叫做曲線(xiàn)（15）對(duì)xoz坐標(biāo)面與yoz坐標(biāo)面射影的射影柱面，而曲線(xiàn)和叫做空間曲線(xiàn)（15）在xoz坐標(biāo)面與yoz坐標(biāo)面上的射影曲線(xiàn)。

§4.2 錐面

定義4.2.1 在空間，通過(guò)一定點(diǎn)且與一條定曲線(xiàn)相交的一族直線(xiàn)所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.這里定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)，定曲線(xiàn)叫錐面的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)族中的每一條都叫錐面的母線(xiàn).注：1°一個(gè)錐面的準(zhǔn)線(xiàn)不惟一（舉例）.2°平面既是柱面也是錐面.3°一條直線(xiàn)也是錐面.4°若將柱面的母線(xiàn)看成在無(wú)窮遠(yuǎn)處相交的話(huà)，則柱面是一個(gè)頂點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的錐面.以下建立錐面的方程.設(shè)錐面S的準(zhǔn)線(xiàn)為

(1)

頂點(diǎn)為A(x0，y0，z0).若M1(x1，y1，z1)為準(zhǔn)線(xiàn)上任一點(diǎn)，則過(guò)M1的錐面的母線(xiàn)方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個(gè)等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個(gè)三元方程F(x，y，z)= 0 就是以（1）為準(zhǔn)線(xiàn)，以A為頂點(diǎn)的錐面的方程.這里消去參數(shù)的幾何意義與柱面的情形類(lèi)似，就是讓點(diǎn)M1跑遍準(zhǔn)線(xiàn)上的所有點(diǎn)，從而讓動(dòng)直線(xiàn)（2）“掃”出符合要求的錐面.下面的定理給出了錐面方程的特征.先介紹齊次函數(shù)的概念.設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)于函數(shù)，若

此處t的取值應(yīng)使有確定的意義，則稱(chēng)為n元次齊次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的方程= 0為次齊次方程.22例 u = xy＋2yz＋xyz為三次齊次函數(shù).定理4.2.1 一個(gè)關(guān)于x，y，z的齊次方程總表示一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面.48 證： 由齊次方程的定義有當(dāng)設(shè)直線(xiàn)的方程為 時(shí)有，故曲面S：為S上非原點(diǎn)的任意點(diǎn)，則

.過(guò)原點(diǎn).滿(mǎn)足，即有

.而

代入= 0，得，即直線(xiàn)

上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲面S的方程.因此直線(xiàn)在曲面S：上，故曲面S：是由這種通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)組成，因而是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面.推論 一個(gè)關(guān)于x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程總表示一個(gè)頂點(diǎn)在(x0，y0，z0)的錐面.證 設(shè)有x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程

F(x－x0，y－y0，z－z0)=0(*)

作坐標(biāo)變換(**)為齊次方程，故表示頂點(diǎn)在點(diǎn)的錐面.的齊次方程可能只表示原點(diǎn).例如

.這樣的曲面，表示以，則(*)化為(**)

為頂點(diǎn)的錐面.從而

注 在特殊情況下，一個(gè)關(guān)于一般稱(chēng)為有實(shí)頂點(diǎn)的虛錐面.例1 錐面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為解 設(shè)，求錐面的方程.為準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則過(guò)M1的母線(xiàn)為：

(4)

且有(5)

(6)

將(6)代入(4)得(7)

將(7)代入(3)得(4.2－1)這就是所求的錐面，稱(chēng)為為二次錐面.二次錐面的方程(4.2－1)所表示的圖形，當(dāng)a = b時(shí)就是我們熟悉的圓錐面.例2 已知一圓錐面的頂點(diǎn)為A(1，2，3)，軸l垂直于平面30°的角，試求該圓錐面的方程.解 設(shè)，母線(xiàn)與軸l組成為所求曲面S的任一母線(xiàn)上的任一點(diǎn)，則過(guò)M的母線(xiàn)的方向向量為

n = {2，2，－1}.由題，圓錐的軸線(xiàn)的方向向量即為平面根據(jù)題意v和n的夾角是30°或150°，故有

即 化簡(jiǎn)整理得圓錐面的方程是

這是一個(gè)關(guān)于x－1，y－2，z－3的二次齊次方程.此結(jié)果也是對(duì)定理4.2.1的推論的一個(gè)直接驗(yàn)證.因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種適合于圓錐面的特殊方法.我們當(dāng)然可以先求出圓錐面的準(zhǔn)線(xiàn)，再利用頂點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)求出該圓錐面的方程.§4.3 旋轉(zhuǎn)曲面

1．一般的旋轉(zhuǎn)曲面方程 定義4.3.1 在空間，一條曲線(xiàn) 繞一定直線(xiàn)l旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面S叫做旋轉(zhuǎn)曲面（或回轉(zhuǎn)曲面）.叫做S的母線(xiàn)，l稱(chēng)為S的的旋轉(zhuǎn)軸，簡(jiǎn)稱(chēng)為軸.設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面S的母線(xiàn)上的任一點(diǎn)，在 繞軸l旋轉(zhuǎn)時(shí)，也繞l旋轉(zhuǎn)而形成一個(gè)圓，稱(chēng)其為S的緯圓、緯線(xiàn)或平行圓.以l為邊界的半平面與S的交線(xiàn)稱(chēng)為S的經(jīng)線(xiàn).S的緯圓實(shí)際上是過(guò)母線(xiàn) 上的點(diǎn)且垂直于軸l的平面與S的交線(xiàn).S的所有緯圓構(gòu)成整個(gè)S.S的所有經(jīng)線(xiàn)的形狀相同，且都可以作為S的母線(xiàn)，而母線(xiàn)不一定是經(jīng)線(xiàn).這里因?yàn)槟妇€(xiàn)不一定為平面曲線(xiàn)，而經(jīng)線(xiàn)為平面曲線(xiàn).在直角坐標(biāo)系下，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S的母線(xiàn)為

：旋轉(zhuǎn)軸為

(1)

l這里為l上一點(diǎn)，X，Y，Z為l的方向數(shù).(2)

設(shè)M1(x1，y1，z1)為母線(xiàn) 上的任意點(diǎn)，過(guò)M1的緯圓總可看成過(guò)中心，(3)

為半徑的球面的交線(xiàn).故過(guò)M1的緯圓的方程為

且垂直于軸l的平面與以P0為

(4)

當(dāng)M1跑遍整個(gè)母線(xiàn)時(shí)，就得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，所求的旋轉(zhuǎn)曲面就可以看成是由這些緯圓構(gòu)成的.由于M1(x1，y1，z1)在母線(xiàn) 上，有

(5)

從（3）、（4）、（5）4個(gè)等式消去參數(shù)x1，y1，z1得一個(gè)方程

F(x，y，z)= 0

即為S的方程.例1 求直線(xiàn) ：繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程.解 設(shè)M1(x1，y1，z1)為母線(xiàn) 上的任一點(diǎn)，因旋轉(zhuǎn)軸過(guò)原點(diǎn)，過(guò)M1的緯圓方程為

(7)

第四篇：平面解析幾何

? 《“平面解析幾何”復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)與設(shè)計(jì)》的學(xué)習(xí)心得體會(huì)

本人學(xué)習(xí)了《“平面解析幾何”復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)與設(shè)計(jì)》的視頻，感觸很深。授課老師能深入淺出的分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高三復(fù)習(xí)的方法及注意點(diǎn)，并對(duì)相關(guān)知識(shí)的專(zhuān)題內(nèi)容進(jìn)行分析，并對(duì)體系進(jìn)行很好整理。在培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)意識(shí)、掌握函數(shù)的思維方法、學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想解決問(wèn)題方面提出見(jiàn)解。對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題蘊(yùn)含的核心觀點(diǎn)、思想和方法進(jìn)行剖析。通過(guò)學(xué)習(xí)，我認(rèn)為在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要努力做好如下幾方面的工作。

? ?

一、《解析幾何》的教育價(jià)值

隨著時(shí)代的發(fā)展，人們對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的認(rèn)識(shí)在不斷地發(fā)展、變化與更新，數(shù)學(xué)已經(jīng)從單純的工具演變提升為所有公民所必備的一種精神、一種文化、一種觀念、一種思維方式，因此數(shù)學(xué)教育純粹向?qū)W生傳授知識(shí)和解題方法的單一化目標(biāo)正在被包含“文理融合，德智兼顧，完善人格，提高素養(yǎng)”在內(nèi)的多元化、立體化目標(biāo)所取代.《解析幾何》正是在這些方面顯示出非凡的教育價(jià)值.? 美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家M·克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學(xué)》中指出：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神.正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類(lèi)的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類(lèi)的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；試圖回答人類(lèi)自身存在提出的問(wèn)題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻和最完美的內(nèi)涵.”

? 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》[1]在開(kāi)頭也明確指出：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分”，“高中數(shù)學(xué)課程對(duì)于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類(lèi)社會(huì)的關(guān)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識(shí)具有基礎(chǔ)性的作用.”

? 提到數(shù)學(xué)的理性精神，不能不說(shuō)說(shuō)愛(ài)因斯坦震撼人心的論述：“為什么數(shù)學(xué)比其它一切科學(xué)更受到特殊的重視？一個(gè)理由是，它的命題是絕對(duì)可靠和無(wú)可爭(zhēng)議的，而其它一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險(xiǎn)之中.”《解析幾何》的所有命題就具有“連上帝”都認(rèn)為“絕對(duì)可靠”與“無(wú)可爭(zhēng)議”的理性特征.? 世界文明全方位的進(jìn)步越來(lái)越離不開(kāi)數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)思維.不僅自然科學(xué)與技術(shù)依靠著數(shù)學(xué)，就是社會(huì)人文科學(xué)也大量應(yīng)用著數(shù)學(xué)的理念、方法與思維方式.正如日本著名學(xué)者、數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中接受的?shù)學(xué)知識(shí)因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這些作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常是出校門(mén)不到

一、兩年就很快忘掉了.然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻于腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法和著眼點(diǎn)等，都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”精辟深邃的見(jiàn)解在《解析幾何》中得到淋漓盡致的體現(xiàn).? 文[2]說(shuō)：“數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明史中一直是一種主要的文化力量.?人類(lèi)歷史上每一個(gè)重大事件的背后都有數(shù)學(xué)的身影：哥白尼的日心說(shuō)，牛頓的萬(wàn)有引力定律，無(wú)線(xiàn)電波的發(fā)現(xiàn)，三權(quán)分立的政治結(jié)構(gòu)，?等都與數(shù)學(xué)思想有密切的聯(lián)系.” ? 十六、七世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家在思考，能否找到一種可以解決所有數(shù)學(xué)問(wèn)題的統(tǒng)一方法.雖然許多數(shù)學(xué)家沒(méi)有獲得成功，但在長(zhǎng)期思索、探尋的過(guò)程中孕育著一項(xiàng)超越前人的，數(shù)學(xué)發(fā)展史，乃至科學(xué)發(fā)展史上劃時(shí)代、里程碑式的偉大成果，這就是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立的《解析幾何》.? 笛卡兒長(zhǎng)期思考用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察蜘蛛在墻角結(jié)網(wǎng)，那縱橫交錯(cuò)的蛛絲網(wǎng)絡(luò)引發(fā)了他的靈感，那不正是“用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題”的絕佳工具嗎？基于此種構(gòu)想，平面直角坐標(biāo)系以及解決幾何圖形問(wèn)題的坐標(biāo)法、解析法應(yīng)運(yùn)而生，“數(shù)”和“形”神奇地結(jié)合了起來(lái)，函數(shù)、方程實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)化、形象化；曲線(xiàn)與幾何圖形實(shí)現(xiàn)了數(shù)量化.點(diǎn)、線(xiàn)和曲線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)與數(shù)量變化融為一體，并達(dá)到完美的境界，“動(dòng)”與“靜”的辨證關(guān)系被刻畫(huà)得惟妙惟肖.對(duì)此，恩格斯給予了極高的評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了.”[3]

? 有了平面直角坐標(biāo)系，在函數(shù)的研究中可充分發(fā)揮其圖像的優(yōu)勢(shì)，在方程的研究中又可發(fā)揮對(duì)應(yīng)圖形的優(yōu)勢(shì)，真是數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐標(biāo)系，可以將復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)表示在平面內(nèi)，構(gòu)建出復(fù)平面，使復(fù)數(shù)的研究逐步提升能到一個(gè)前所未有的高度.有了平面直角坐標(biāo)系，隨著函數(shù)研究的逐步深入，發(fā)明了導(dǎo)數(shù)，于是推動(dòng)現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)發(fā)展的微、積分誕生了.有了平面直角坐標(biāo)系，人們又將平面向量表示成坐標(biāo)(x，y)，那么平面向量的所有運(yùn)算都可以實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)化，使有關(guān)問(wèn)題的解決變得更加簡(jiǎn)捷流暢，這是向量研究的重大突破.平面直角坐標(biāo)系又發(fā)展到空間直角坐標(biāo)系，于是誕生了空間向量、空間解析幾何.完全可以說(shuō)，對(duì)大到宇宙天體中各種星球的運(yùn)行，小到物質(zhì)的分子原子的結(jié)構(gòu)以及電子運(yùn)動(dòng)的研究，都可以歸結(jié)為對(duì)函數(shù)及其圖像、曲線(xiàn)及其方程的研究，都是以坐標(biāo)系為重要工具，都與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣.下面的框圖以濃縮的方式揭示的就是源于坐標(biāo)系而發(fā)展成的“一棵參天大樹(shù)”.? ? ? ?

? 進(jìn)入高中的學(xué)生，隨著知識(shí)、技能、思想和閱歷的逐漸豐富，思維水平的長(zhǎng)足提升，審美意識(shí)的開(kāi)始樹(shù)立，辨證唯物主義世界觀的逐步形成，將實(shí)現(xiàn)從幼稚蒙昧的少年“破繭化蛹成蝶”的巨變，在學(xué)生整個(gè)人生發(fā)展的這個(gè)非常關(guān)鍵的時(shí)期，《解析幾何》的教學(xué)正是促進(jìn)學(xué)生這種巨變的重要推動(dòng)力.? 數(shù)學(xué)思維是人的綜合素質(zhì)中最重要的組成部分，廣闊性、深刻性、敏捷性、縝密性、創(chuàng)造性、批判性等數(shù)學(xué)思維的各種特性在《解析幾何》中都有極為豐富的背景內(nèi)容.從《解析幾何》中提煉出的各種數(shù)學(xué)思想可在極大的程度上豐富學(xué)生的大腦.從《解析幾何》中反映出的數(shù)學(xué)美是隨處可見(jiàn)的，問(wèn)題是要能去發(fā)現(xiàn)、揭示和欣賞，并用這種美激發(fā)興趣，引發(fā)思維的創(chuàng)造.數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)辨證法，對(duì)立統(tǒng)一的法則、矛盾的普遍性與特殊性、偶然性與必然性、矛盾雙方在一定條件可以互相轉(zhuǎn)化、量變到質(zhì)變等哲學(xué)基本原理，在《解析幾何》中都可以找到大量生動(dòng)鮮活的實(shí)例.教師高瞻遠(yuǎn)矚、縱橫捭闔，巧妙地將這些內(nèi)容編織進(jìn)課堂教學(xué)之中，學(xué)生在感到賞心悅目、情趣盎然的同時(shí)，更會(huì)覺(jué)得自己的“思維得以運(yùn)用到最完善的程度”，這是思維與各種能力趨于成熟的標(biāo)志.? ?

二、《解析幾何》的教學(xué)建議

對(duì)《解析幾何》教育、教學(xué)價(jià)值的深刻理解，可使教師形成一種高屋建瓴的磅礴氣勢(shì)，能高瞻遠(yuǎn)矚地洞悉整個(gè)教材的體系，以便將《解析幾何》當(dāng)作一部“長(zhǎng)篇巨著”，然后再將它創(chuàng)編為一集集既相互獨(dú)立，又有內(nèi)在聯(lián)系的“電視連續(xù)劇”，設(shè)計(jì)并實(shí)施科學(xué)性與藝術(shù)性雙具的一節(jié)節(jié)教學(xué)精品，以取得最大限度的教育、教學(xué)效益.為此，提出《解析幾何》教學(xué)的一些建議.? ? 1 突出主線(xiàn) 副線(xiàn)交叉 和諧統(tǒng)一

《解析幾何》的靈魂是“解析”，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的坐標(biāo)法，這是貫穿于《解析幾何》教學(xué)的一條主線(xiàn).但這條主線(xiàn)又與多條副線(xiàn)交叉組合，構(gòu)成了和諧統(tǒng)一的有機(jī)系統(tǒng).?(1)認(rèn)識(shí)并處理好函數(shù)及其圖像與曲線(xiàn)及其方程的聯(lián)系與區(qū)別.雖然這兩者都是以坐標(biāo)系為紐帶，但函數(shù)y=f(x)與二元方程F(x，y)=0有著本質(zhì)的區(qū)別.直線(xiàn)x=a與函數(shù)y=f(x)的圖像最多只能有一個(gè)公共點(diǎn)，而直線(xiàn)x=a與方程F(x，y)=0的曲線(xiàn)的公共點(diǎn)卻可以超過(guò)一個(gè).在一定條件下，曲線(xiàn)方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù).如由方程x2+y2=R2可解得，但這卻不能稱(chēng)為函數(shù)，只有

與

? 才能稱(chēng)為函數(shù).在這里，函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與方程的曲線(xiàn)實(shí)現(xiàn)了溝通.在解決有關(guān)弦長(zhǎng)、圖形的面積、直線(xiàn)的斜率、離心率的問(wèn)題中，常轉(zhuǎn)化為對(duì)目標(biāo)函數(shù)的求解與研究.可見(jiàn)函數(shù)與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣，函數(shù)堪稱(chēng)《解析幾何》中的一號(hào)副線(xiàn).?(2)一般方程堪稱(chēng)《解析幾何》中的二號(hào)副線(xiàn).在研究曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題中，常轉(zhuǎn)化為對(duì)一元二次方程的討論，判別式△的幾種情況、根與系數(shù)的關(guān)系就成了解決《解析幾何》中的“?？汀??(3)不等式堪稱(chēng)《解析幾何》中的三號(hào)副線(xiàn).不等式的性質(zhì)、不等式的求解、不等式的證明、均值不等式的應(yīng)用與《解析幾何》的綜合問(wèn)題常處于各級(jí)各類(lèi)考試試卷的把關(guān)位置.?(4)三角函數(shù)堪稱(chēng)《解析幾何》中的四號(hào)副線(xiàn).直線(xiàn)傾斜角、直線(xiàn)方程中x、y的系數(shù)中常含三角函數(shù)、圓的方程x2+y2=R2與橢圓方程? ?

a＞b＞0)的參數(shù)形式 等

都與三角函數(shù)有著密切的親緣關(guān)系.(5)平幾知識(shí)的頻繁介入.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡、解決有關(guān)圖形的問(wèn)題，常與平幾圖形聯(lián)袂，“小小的”平幾知識(shí)常成為解決大問(wèn)題的杠桿.直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、線(xiàn)段的中點(diǎn)常在《解析幾何》問(wèn)題中扮演著重要“角色”.?(6)《解析幾何》的問(wèn)題常與平面向量的運(yùn)算、平行、垂直、夾角等攜手組成絢麗多姿的綜合題.(7)《立體幾何》與《解析幾何》的綜合.近年來(lái)發(fā)現(xiàn)一些與《立體幾何》有關(guān)的軌跡問(wèn)題，是“立體”與“解析”兩大幾何的聯(lián)手，值得關(guān)注.在高中數(shù)學(xué)的選修部分，更進(jìn)一步揭示了圓錐曲線(xiàn)與圓錐的淵源關(guān)系，是拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野、豐富數(shù)學(xué)手段、發(fā)展思維的良機(jī).?

? ?(8)數(shù)列知識(shí)的介入.雖然這類(lèi)問(wèn)題不是太多，但也應(yīng)值得重視.2 重研究對(duì)象，更重?cái)?shù)學(xué)方法

? 從對(duì)象看，《解析幾何》研究的無(wú)非是直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，但在研究它們的各種性質(zhì)與解決有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程更要重

? ? ? ? ? 視數(shù)學(xué)方法的構(gòu)建與應(yīng)用.最重要的、處于核心位置的 數(shù)學(xué)方法當(dāng)屬坐標(biāo)法，如右面的 框圖所示.以直角坐標(biāo)系為工具，實(shí)現(xiàn)幾何條件的代數(shù)化，得到曲線(xiàn)(動(dòng)點(diǎn)的軌跡)的方程，又在直角坐標(biāo)系中結(jié)合方程研究曲線(xiàn)的性質(zhì)，深入理解這個(gè)方法的精髓，所有研究對(duì)象的性質(zhì)將成為顯然的幾何事實(shí)，記憶、掌握與運(yùn)用就變得十分自然、順暢.? 以坐標(biāo)法為樞紐，還要輔以若干重要的支線(xiàn)，總結(jié)一些另外的典型方法也是十分必要的.?(1)設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+b與曲線(xiàn) C：F(x，y)=0，常消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么研究直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系就轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)方程的解的研究.當(dāng)△＞0時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有不同的兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|=

.特別地，當(dāng)k=1時(shí)，|AB|=，? =圖形中出現(xiàn)了等腰直角三角形.? 這就是著名的弦長(zhǎng)公式，給長(zhǎng)度、面積、最值，特別是求范圍等問(wèn)題的解決提供了方便.但思維不可僵化，有時(shí)直線(xiàn)l的方程也可設(shè)為x=my+a，則可巧妙地避免對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在的繁瑣討論，當(dāng)然這時(shí)的弦長(zhǎng)公式就變?yōu)閨AB|=

.?

? 類(lèi)似的結(jié)論固然須牢固掌握，但更重要的是要帶領(lǐng)學(xué)生一起來(lái)追尋它們形成的“歷史足跡”，重視與突出其推導(dǎo)過(guò)程.(2)增強(qiáng)應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)定義的意識(shí).現(xiàn)以橢圓為例.在坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)F1(-c，0)、F2(c，0)，若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿(mǎn)足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)① ? ?

? 經(jīng)代數(shù)化，得 ②

? 則可化得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.? ? 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又可變形為在將②式化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，有一個(gè)過(guò)度式

③，?

? ? 進(jìn)而可化為 ④

結(jié)合圖1，那么①②兩式以不同的形式展示了橢圓的第一定義，④ ? 式展示的是橢圓的第二定義，③式即，展示的是橢圓

? 的另一定義，不妨稱(chēng)之為橢圓的第三定義.由④式還可得|MF2|=a-ex，其中

? 的就是橢圓的離心率.這樣就將橢圓的三個(gè)定義與橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)、離心

? 率、橢圓的焦半徑公式融為一體，組成一個(gè)完整的知識(shí)體系.不過(guò)，在③式中，由于x≠±a，所以必須增補(bǔ)點(diǎn)(a，0)與(-a，0)，才能得到一個(gè)完整的橢圓.?(3)“將幾何條件代數(shù)化”當(dāng)然是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的最重要的基本方法，但此外還要總結(jié)另外一些典型的方法，如定義法、參數(shù)法、反代法.現(xiàn)僅以反代法為例，闡述其基本形式.? 設(shè)已知曲線(xiàn)C：F(x，y)=0上的一動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)，Q(x，y)是與P相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)，則求點(diǎn)Q的軌跡方程按以下步驟進(jìn)行：

? 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

?o

求相關(guān)

條件方程組：由P與Q的相關(guān)條件得

?

?

? 3o求反代式：由上述方程組解得用x、y表示x0、y0的反代式 ?

? 4o反代置換：將反代式代入①式，即得Q點(diǎn)的軌跡方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.?(4)曲線(xiàn)的切線(xiàn)越來(lái)越受到重視.圓的切線(xiàn)自不必說(shuō)，其他曲線(xiàn)的切線(xiàn)，一方面可用上面(1)所說(shuō)的△=0來(lái)解決，但更值得關(guān)注的是有關(guān)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的切線(xiàn)的問(wèn)題，常用導(dǎo)數(shù)方法來(lái)解決.?(5)一個(gè)典型奇特的方法，即同構(gòu)式的應(yīng)用.限于篇幅，這里僅舉一例.? A、B是拋物線(xiàn)y=x2的上的兩個(gè)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，O是原點(diǎn)，若OA⊥OB，過(guò)O作OH⊥AB于H，求H點(diǎn)的軌跡方程.? ? ? ? ? 設(shè)A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以O(shè)A為直徑的圓的方程是化為

同理，由以O(shè)B為直徑的圓的方程，得②③兩式中，只是t的下標(biāo)數(shù)字不同，其余的結(jié)構(gòu)完全相同，兩式一“碰撞”，下標(biāo)消失，得

? ?

④

則t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，所以t1t2=-(x2+y2)，結(jié)合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).這就是欲求的H點(diǎn)的軌跡方程.②③兩式叫做同構(gòu)式，從初中到高中，無(wú)數(shù)問(wèn)題的解答都可以仰仗同構(gòu)式的奇特功能.這里展示的是同構(gòu)式的最單純的形式，當(dāng)然還有許多變化，但再?gòu)?fù)雜的相關(guān)問(wèn)題其基本原理與之是一致的.? ?

? ? 3 體現(xiàn)學(xué)生的“四個(gè)主體”

“四個(gè)主體”指的是樹(shù)立學(xué)生的主體精神，強(qiáng)化學(xué)生的主體意識(shí)，確立學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.弘揚(yáng)學(xué)生的“四個(gè)主體”，但決不意味著削弱教師的主導(dǎo)作用，反而對(duì)教師的主導(dǎo)作用提出了更高層次的要求.僅舉一個(gè)課例：《直線(xiàn)的傾斜角和斜率》.? 在講授選擇傾斜角的什么三角函數(shù)值為直線(xiàn)的斜率時(shí)，學(xué)生會(huì)質(zhì)疑，為什么不選正弦或余弦，而偏要選正切？教師不可用“這是規(guī)定”來(lái)搪塞，而要發(fā)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行深入的討論、爭(zhēng)辯，教師以平等的身份參與其中，用詼諧幽默的語(yǔ)言進(jìn)行點(diǎn)撥、啟發(fā)、誘導(dǎo)和評(píng)析.? 直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是，現(xiàn)在分別畫(huà)出y=sinx、y=cosx、y=tanx在區(qū)間上的圖像(如圖2、3、4)，讓它們來(lái)個(gè)“公開(kāi)、公平、公正、透明的競(jìng)聘”，看到底哪個(gè)函數(shù)能“勝出”.? ? y=sinx在區(qū)間上的值都是非負(fù)的，且對(duì)于不同的角，可能有相同的函數(shù)值，它失去了“當(dāng)選”的資格；y=cosx在區(qū)間上的值域?yàn)?1，1]，且=0，而當(dāng)傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)垂直于x軸，此時(shí)說(shuō)“直線(xiàn)的斜率為0”，不合情理，它也不具備“勝出”的條件；可是y=tan在與上分別是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)于直線(xiàn)斜率從負(fù)無(wú)窮逐漸增大到0；從0逐漸增大到正無(wú)窮，而當(dāng)垂直于x軸，tan情合理地認(rèn)定tan? ?

時(shí)，直線(xiàn)

不存在，即直線(xiàn)的斜率不存在，直線(xiàn)就一點(diǎn)也不傾斜了，多么自為直線(xiàn)的斜率.然與和諧！學(xué)生哈哈大笑，在笑聲中領(lǐng)悟了多方面知識(shí)的實(shí)質(zhì)，并達(dá)成了共識(shí)，合4 優(yōu)化思維品質(zhì)是教學(xué)的核心內(nèi)容

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，所有知識(shí)、技能、思想的理解、接受、掌握與運(yùn)用都有著思維活動(dòng)的深刻與豐富的背景，所以在《解析幾何》教學(xué)的始終都要將這個(gè)重要目標(biāo)放在首位.? 前文中的所有框圖雖然不必向?qū)W生講述，但只有當(dāng)教師深刻理解后才能做到“底氣足”、理直氣壯.選擇傾斜角的正切函數(shù)作為直線(xiàn)的斜率涉及覆蓋了眾多的知識(shí)與技能.體現(xiàn)的是思維廣闊性.? 關(guān)于橢圓的三個(gè)定義的討論，將原本似乎彼此無(wú)關(guān)的內(nèi)容納入到一個(gè)體系之中，反映的是思維的深刻性.在不同的問(wèn)情境中迅速識(shí)別、判斷與檢索，如應(yīng)用反代法、同構(gòu)式，是思維敏捷性的體現(xiàn).在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)，需要去掉那些點(diǎn)，補(bǔ)上哪些點(diǎn)，以保證軌跡與方程的完備性與純粹性，反映的是思維的縝密性.直線(xiàn)方程設(shè)為x=my+a、由方程②③判斷t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，不拘一格、別出心裁，顯示的是思維的創(chuàng)造性.檢驗(yàn)軌跡和方程是否保證完備性與純粹性、拋物線(xiàn)等圓錐曲線(xiàn)的定義中的“定點(diǎn)”必須在“定直線(xiàn)外”、橢圓定義中的“定長(zhǎng)”必須“大于|F1F1|”等，顯示的都是思維的批判性.?

?

?

?

? ? 5 用數(shù)學(xué)的人文精神關(guān)懷學(xué)生的人文發(fā)展

數(shù)學(xué)雖然是理科，但其中飽含的人文精神對(duì)于學(xué)生綜合素養(yǎng)的提高起著舉足輕重的作用.關(guān)鍵是要做到有機(jī)結(jié)合、潛移默化、潤(rùn)物無(wú)聲.前文談到笛卡兒創(chuàng)立了《解析幾何》，竟將時(shí)間精確到年、月、日與“傍晚”時(shí)刻，使這個(gè)故事更具震撼力與穿透力.教師還可“借題發(fā)揮”：笛卡兒的創(chuàng)造看似偶然，? 但必然性包含在偶然性之中，偶然的創(chuàng)造發(fā)明是長(zhǎng)期殫精竭慮、思索探尋的必然結(jié)果.請(qǐng)問(wèn)笛卡兒是在多大歲數(shù)時(shí)作出了這項(xiàng)創(chuàng)造？學(xué)生會(huì)回應(yīng)：23歲！那么“有志不在年高，無(wú)志空長(zhǎng)百歲”的箴言則躍然紙上.? 恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)辨證法.”又說(shuō)：“數(shù)學(xué)：辨證的輔助工具和表現(xiàn)形式.”[4]，所以文[1]規(guī)定了高中數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要目標(biāo)，那就是樹(shù)立學(xué)生的“辯證唯物主義的世界觀.”

? “學(xué)生聽(tīng)不懂所講解的辯證法”，這種擔(dān)心是多余的，只要你理解透徹了，結(jié)合具體鮮活形象的事例，運(yùn)用通俗淺顯的語(yǔ)言，學(xué)生是能領(lǐng)會(huì)的.如直線(xiàn)l：y=kx+b，若k是變量，b是常量，則直線(xiàn)l就在平面內(nèi)圍繞點(diǎn)(0，1)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；若b是變量，k是常量，則直線(xiàn)l就在平面內(nèi)作斜率為定值的平行移動(dòng).這種“動(dòng)中寓靜，變中求定”的特征就是對(duì)立統(tǒng)一法則的生動(dòng)體現(xiàn).? 再如“量變到質(zhì)變”的基本原理，在《解析幾何》中可找到無(wú)數(shù)生動(dòng)的事例.點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系、曲線(xiàn)與曲

? ? 線(xiàn)的位置關(guān)系，都能深入淺出地揭示這一原理.再如圖5，設(shè)平面內(nèi)的一 條定直線(xiàn)l以及l(fā)外的一個(gè)定點(diǎn)F，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P、Q、R到直線(xiàn)l的距

? 離分別為PN、QN、RN，若，則P點(diǎn)的軌跡是橢圓；若1，? ? 則Q點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)；若，則R點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn).量的不斷

積累，超越一定的界值，就會(huì)發(fā)生質(zhì)的變化，或說(shuō)飛躍，淺顯之中反映的是深刻的道理，且能引發(fā)諸多聯(lián)想.另外，數(shù)學(xué)美對(duì)于情操的熏陶、數(shù)學(xué)美對(duì)于創(chuàng)造思維的誘發(fā)、優(yōu)良的意志品質(zhì)在解決問(wèn)題過(guò)程的巨大作用、對(duì)科學(xué)真理不懈的追求與舍命的堅(jiān)持、為全球人類(lèi)造福的獻(xiàn)身精神，都可以巧妙地融入《解析幾何》的教學(xué)之中.?

? 行文至此，深深地感到，通過(guò)《解析幾何》的教學(xué)，可實(shí)現(xiàn)師生的互惠雙贏。

第五篇：《解析幾何》講稿

第一章 矢量與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念，掌握矢量線(xiàn)性運(yùn)算的法則及其運(yùn)算性質(zhì);

2、理解矢量的乘法運(yùn)算的意義，熟悉它們的幾何性質(zhì)，并掌握它們的運(yùn)算規(guī)律;

3、利用矢量建立坐標(biāo)系概念，并給出矢量線(xiàn)性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表示;

4、能熟練地進(jìn)行矢量的各種運(yùn)算，并能利用矢量來(lái)解決一些幾何問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量的概念和矢量的數(shù)性積，矢性積，混合積。教學(xué)難點(diǎn) 矢量數(shù)性積，矢性積與混合積的幾何意義。

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 10

§1.1

矢量的概念

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念;

2、掌握矢量間的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn) 矢量的兩個(gè)要素：摸與方向。教學(xué)難點(diǎn) 矢量的相等 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§1.1 矢量的概念

一、有關(guān)概念

1.矢量

既有大小又有方向的量叫做矢量，或稱(chēng)為向量，簡(jiǎn)稱(chēng)矢.而只有大小的量叫做數(shù)量，或稱(chēng)為標(biāo)量.2.矢量的表示

用有向線(xiàn)段來(lái)表示矢量，有向線(xiàn)段的始點(diǎn)與終點(diǎn)分別叫做矢量的始點(diǎn)與終點(diǎn)，有向線(xiàn)段的方向表示矢量的方向，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度代表矢量的大小.用3.矢量的模

矢量的大小稱(chēng)為矢量的模，亦稱(chēng)長(zhǎng)度.用|

二、特殊矢量

1.零矢：模為零，方向不定.2.單位矢 ：模為1，與矢量方向相同.， ,? 或黑體字a, x,? 來(lái)記矢量.|，||，||，|a|，|x| , ? 來(lái)表示.三、矢量間的關(guān)系

1.平行矢：,所在直線(xiàn)平行,記作 //.2.相等矢：模相等，方向相同.3.自由矢：始點(diǎn)任意，只由模與方向確定的矢量.4.相反矢：模相等，方向相反.5.共線(xiàn)矢：平行于同一直線(xiàn)的一組矢量.6.共面矢：平行于同一平面的一組矢量.7.固定矢量: 在解析幾何的大多數(shù)問(wèn)題里，只有矢量的長(zhǎng)度和方向發(fā)揮主要作用，而與它的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即為自由矢量.在個(gè)別情形下，有時(shí)我們只把有同一起點(diǎn)且相等的矢量才看作相等矢量，亦即兩矢量完全重合時(shí)才看作相等，這樣規(guī)定的矢量叫做固定矢量.需要注意，在應(yīng)用科學(xué)中起點(diǎn)位置不同，所產(chǎn)生的作用也會(huì)不同，如圖1-1，同樣的力由于

作用點(diǎn)M1和M2的不同，效果也會(huì)不同.例1.設(shè)在平面上給了一個(gè)四邊形ABCD，點(diǎn)K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點(diǎn)，求證：＝.當(dāng)ABCD是空間四邊形時(shí)，這等式是否也成立？

證明：如圖1-2，連結(jié)AC, 則在?BAC中，KL向相同；在?DAC中，NM且

AC.與方

AC.與方向相同，從而KL＝NM與方向相同，所以＝.由于上述證明不受ABCD是平面四邊形或空間四邊形的影響，即證明過(guò)程中并未用到ABCD必須是平面四邊形的限制，故等式對(duì)空間情形也成立.例2.回答下列問(wèn)題：

(1)若矢量//，//,則是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，則，是否也共面？

(3)若矢量，中//，則，是否共面？(4)若矢量，共線(xiàn)，在什么條件下，也共線(xiàn)？

解：(1)由//可知，,所在直線(xiàn)相互平行，同理,所在直線(xiàn)相互平行，從而,所在直線(xiàn)相互平行，從而有//；

(2)，不一定共面.只有當(dāng)，，,不共面； ,五矢量全部在同一平面上時(shí)，共面，否則(3)//，二矢量必共面，從而，必共面；(4)只有當(dāng)ABDC組成平行四邊形，即

作業(yè)題：

＝

時(shí),才共線(xiàn).1.設(shè)點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個(gè)平行六面體，在下列各對(duì)矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3);

(4)、.;

(5)矢量的線(xiàn)性運(yùn)算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的數(shù)乘)教學(xué)目的

1、掌握矢量加法的兩個(gè)法則、數(shù)量與矢量的乘法概念及運(yùn)算律;

2、能用矢量法證明有關(guān)幾何命題。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量加法的平行四邊形法則、數(shù)量與矢量的乘法概念 教學(xué)難點(diǎn) 運(yùn)算律的證明、幾何命題轉(zhuǎn)化為矢量間的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§1.2 矢量的加法

一、概念

1.兩個(gè)例子

物理學(xué)中的力與位移都是矢量.兩個(gè)不共線(xiàn)的力作用于一點(diǎn)的合力，可用“平行四邊形法則”求得，如圖1-4, 兩個(gè)力、的合力，就是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線(xiàn)矢量

.兩個(gè)位移的合成可以用“三角形法則”求出，如圖1-5, 連續(xù)兩次位移位移.2.矢量的加法法則

(1)三角形法則

設(shè)已知矢量、，以空間任意一點(diǎn)O為始點(diǎn)接連作矢量一折線(xiàn)OAB，從折線(xiàn)的端點(diǎn)O到另一端點(diǎn)B的矢量(2)平行四邊形法則

如果以?xún)蓚€(gè)矢量量＝+叫做矢量與的和.、＝,＝得

與的結(jié)果, 相當(dāng)于

＝，叫做兩矢量與的和，記做＝+.為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形OACB，那么對(duì)角線(xiàn)矢

二、性質(zhì)

1.運(yùn)算規(guī)律

(1)交換律 +＝+;

(2)結(jié)合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多邊形法則 有限個(gè)矢量，?,相加，自任意點(diǎn)O開(kāi)始，依次作

＝就是n個(gè)矢量

＝即

＝特別地, 當(dāng)An與O重合時(shí)，＝3.矢量減法

＝.+

+?+

.＝, ＝,?,＝，得一折線(xiàn)OA1A2?An，于是矢量，?， 的和

++?+(1)設(shè)矢量與的和等于矢量，即+＝，那么矢量叫做矢量與的差，記做＝－，由矢量與求它們的差－的運(yùn)算叫做矢量減法.(2)減去一個(gè)矢量等于加上它的相反矢量，即有

－＝+(－)

4.三角不等式

(1)|+|?||+||, |-|?||-||;

證明：如圖1-4, |+|=||，||+|| ＝|| +||，|-|=|根據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即得.第一個(gè)不等式還可以推廣到任意有限多個(gè)矢量的情況：

(2)|++?+|?|

|+|

|+?+|

|..|；

例1.從矢量方程組中解出矢量解：類(lèi)似于二元一次方程組的解法有

例2.用矢量法證明平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分.證明：如圖1-6，在平行四邊形ABCD中，取BD的中點(diǎn)O，則 ＝＋＝＋

＝

＋|＝|

＝，所以A, O, C三點(diǎn)共線(xiàn)，且|作業(yè)題：

|，從而平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分.1.設(shè)兩矢量與共線(xiàn)，試證+＝+.2.證明：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是對(duì)任一點(diǎn)O有+＝＋.§1.3 數(shù)量乘矢量

一、概念

1.數(shù)乘的例子

位移、力、速度與加速度等都是矢量，而時(shí)間、質(zhì)量、面積等都是數(shù)量，這些矢量與數(shù)量之間經(jīng)常會(huì)發(fā)生某些結(jié)合的關(guān)系，如公式

＝m

其中表示力，表示加速度，m表示質(zhì)量；再如公式

＝t

其中表示位移，表示速度，t表示時(shí)間.2.數(shù)乘的定義

實(shí)數(shù)?與矢量的乘積是一個(gè)矢量，記做?，它的模|?|＝|?|||；?的方向，當(dāng)?>0時(shí)與相同，當(dāng)?<0時(shí)與相反.?＝的充要條件是?＝0或＝

.設(shè)≠，則＝||

二、性質(zhì) 1.運(yùn)算規(guī)律(1)

1?＝.或＝

.(2)結(jié)合律

?(?)＝(??).(3)第一分配律(?+?)＝?+?.(4)第二分配律

?(+)＝?+?.證明：（1）由數(shù)乘定義，顯然成立.（2）當(dāng)＝或?，?中至少有一個(gè)為0時(shí)，顯然成立；當(dāng)≠，??≠0時(shí)，(?+?)與?+?的模都等于|?|||||，而它們的方向，當(dāng)?與?同號(hào)時(shí)，都與同方向，當(dāng)?與?異號(hào)時(shí)，都與反方向，即(?+?)與?+?的方向相同，所以有

(?+?)＝?+?.（3）如果＝或?，?及?+?中至少有一個(gè)為0，等式顯然成立.因此只須證明當(dāng)≠，??≠0，(?+?)≠0的情形：（?。┤绻??＞0，顯然(?+?)與?+?同向，且

∣(?+?)|＝| ?+? | ||=（| ? |+| ? |）||=|? | ||+|? | ||=| ? |+| ? |=|?+?|，所以(?+?)＝?+?.（ⅱ）如果??＜0，不妨設(shè)?＞0，?＜0；再看 ?+?＞0，?+?＜0 的兩種情形.下面只證明前一種情形，后一種情形同理可證.現(xiàn)假定?＞0，?＜0，?+?＞0.這時(shí)有（－?）（?+?）＞0，根據(jù)（?。┑?/p>

(?+?)+(－?)＝﹝(?+?)+(－?)﹞＝?，所以

(?+?)＝－(－?)＝?+?.（4）當(dāng)?=0或，中至少有一個(gè)為時(shí)，顯然成立；因此只須證明當(dāng)≠，≠，?≠0的情形：（?。┤绻?，共線(xiàn)，取m=此有

（，同向）或m=－

（，反向），則=m,因

?(+)＝?(m+)＝?﹝(m+1)﹞=(?m+?)=(?m)+ ?=?(m)+?=?+?.（ⅱ）如果，不共線(xiàn)，根據(jù)矢量加法的三角形法則即可證明?(+)＝?+?.2.由矢量的加法與數(shù)乘矢量的運(yùn)算規(guī)律可知，對(duì)于矢量也可以像實(shí)數(shù)及多項(xiàng)式那樣去運(yùn)算，例如

5(+2)－2(2－)＝5+10－4+2＝+1

2.3.由前節(jié)和本節(jié)，我們對(duì)矢量定義了兩種運(yùn)算：+和m(m?R)，這兩種運(yùn)算滿(mǎn)足： I-1.+＝+，I-2.(+)+＝+(+)，I-3.存在一個(gè)零矢量，滿(mǎn)足+＝，I-4.每一個(gè)矢量都有相反矢量(－)，使+(－)＝;II-1.1＝, II-2.m(n)＝(mn), II-3.(m+n)＝m+n, II-4.m(+)＝m+m.如果僅從運(yùn)算法則著眼，而不考慮矢量的具體含義，則凡是具有兩種運(yùn)算加法和數(shù)乘，并滿(mǎn)足上述一系列運(yùn)算規(guī)律的元素的集合，叫做實(shí)數(shù)域上的線(xiàn)性空間（亦稱(chēng)矢量空間或向量空間）.例1.如圖1-7，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點(diǎn)，證明

+分析：將證明：因?yàn)?

+

＝

4.分別看作△OAC與△OBD的中線(xiàn).＝(＝+（）, +

+＝

(+

+))，所以

2所以

+++＝4.例2.設(shè)點(diǎn)O是平面上正多邊形A1A2?An的中心，證明:

+分析：如圖1-8，每一矢量從而求解.證明：因?yàn)?/p>

＋＋

+?+

＝.倍數(shù)，都是其相鄰兩矢量的和矢量的某一

＝?＝?, , ??

+＋

＝?＝?, ，所以

2(＝?(+++?++?+))，所以

(?－2)(++?+)＝.顯然

?≠2, 即 ?－2≠0.所以

作業(yè)題： ++?+

＝.可以構(gòu)1.設(shè)L、M、N分別是ΔABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，證明：三中線(xiàn)矢量成一個(gè)三角形.2.設(shè)L、M、N是△ABC的三邊的中點(diǎn)，O是任意一點(diǎn)，證明

+=++.3.用矢量法證明，四面體對(duì)棱中點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)且互相平分., , §1.4 矢量的線(xiàn)性關(guān)系與矢量的分解

教學(xué)目的

1、理解矢量在直線(xiàn)和平面及空間的分解定理；

2、掌握矢量間的線(xiàn)性相關(guān)性及判斷方法。教學(xué)重點(diǎn) 矢量的三個(gè)分解定理及線(xiàn)性相關(guān)的判斷。教學(xué)難點(diǎn) 分解定理的證明 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 2

§1.4 矢量的線(xiàn)性關(guān)系與矢量的分解

一、矢量的分解

1.線(xiàn)性運(yùn)算: 矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法統(tǒng)稱(chēng)為矢量的線(xiàn)性運(yùn)算.2.線(xiàn)性組合: 由矢量做矢量，?，,?,與數(shù)量?1，?2，?，?n所組成的矢量＝?

1，?,+?

2+?+?n叫的線(xiàn)性組合.我們也說(shuō)矢量可以用矢量線(xiàn)性表示，或者說(shuō)，矢量可以分解成矢量，?,的線(xiàn)性組合.3.矢量在直線(xiàn)上的分解：

定理1 如果矢量?，那么矢量與矢量共線(xiàn)的充要條件是可以用矢量線(xiàn)性表示，或者說(shuō)是的線(xiàn)性組合，即＝x，且系數(shù)x被，唯一確定.稱(chēng)為用線(xiàn)性組合來(lái)表示共線(xiàn)矢量的基底.證明 如果 ＝x成立，那么由數(shù)乘矢量的定義立刻知與共線(xiàn).反過(guò)來(lái)，如果與非零矢量共線(xiàn)，那么一定存在實(shí)數(shù)x，使得＝x.顯然，如果＝，那么＝0，即x=0.x的唯一性：如果＝x＝，而?，所以 x＝.4.矢量在平面上的分解： 定理2 如果矢量,，那么（x－＝

不共線(xiàn)，那么矢量與, ，共面的充要條件是可以用矢量

+y，且系數(shù)x, y被, ，線(xiàn)性唯一表示，或者說(shuō)矢量可以分解成矢量確定., 的線(xiàn)性組合，即＝x, 稱(chēng)為平面上矢量的基底., 證明 因?yàn)槭噶棵锤鶕?jù)定理1有＝x始點(diǎn)O，并設(shè)交于A，B.因?yàn)閯t得

=+不共線(xiàn)，所以+y?，?.設(shè)與，共面，如果與(或)共線(xiàn)，那，其中y =0(或x=0)；如果與＝，都不共線(xiàn)，則把它們歸結(jié)到共同的=，∥,（i=1，2），那么過(guò)的終點(diǎn)分別作OE2，OE1的平行線(xiàn)依次與OE1，OE2∥,那么根據(jù)定理1可設(shè)

= x，＝y(tǒng)，根據(jù)平行四邊形法，即

＝x 反過(guò)來(lái)，設(shè)＝x如果xy≠0，那么x面.最后證明x, y被∥+y, y+y.(或，y)共線(xiàn)，則與,，如果x, y 有一個(gè)是零，那么與∥,根據(jù)平行四邊形法則得與 x共面.，共面，因此與共, ，唯一確定.假設(shè)

＝x+y=

+ ，)

＝（y－）

＝, 那么

(x－如果x≠，那么

=－,即 ∥, 這與定理?xiàng)l件矛盾，所以x=

5.矢量在空間的分解： 定理3 如果矢量, ，.同理y =,因此x, y被唯一確定.不共面，那么空間任意矢量可以由矢量的線(xiàn)性組合，即＝x+y+z, ，線(xiàn)性表示，或者, , 說(shuō)矢量可以分解成矢量唯一確定., , , ,，且系數(shù)x, y, z被, 稱(chēng)為空間矢量的基底., , 證明

因?yàn)槭噶咳绻c,，不共面，所以，≠（i=1，2，3），且被此不共線(xiàn).(，之中的兩個(gè)矢量

+y或

+0，)共面，那么根據(jù)定理2有

+z或＝0

+y+z).=，＝x如果與＝,，+0(＝x之中的任意兩個(gè)矢量都不共面，則把它們歸結(jié)到共同的始點(diǎn)O，并設(shè)（i=1，2，3），那么過(guò)的終點(diǎn)分別作三個(gè)平面分別與平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分別與直、+、，為三棱，=為對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn)OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三點(diǎn)，從而作成了以六面體，于是得到：

=由定理1可設(shè)= x，= y，= z＝x下面證明x, y, z被, ，+，所以 +y+z., 唯一確定.假設(shè) ＝x+y+z＝

+

+)

，＝（y－）＝(z－)那么

(x－＝，如果

x≠，那么

，＝－＝－有定理2可知因此x, y, z被

1.定義 , , 共面，這與定理?xiàng)l件矛盾，所以x=，.同理，y=，z=., , 唯一確定.二、矢量的線(xiàn)性關(guān)系

對(duì)于n(n?1)個(gè)矢量, , ?,，如果存在不全為零的n個(gè)數(shù)?1, ?2，?, ?n, 使得 ?

1+?2+?+?n，=, , ?，線(xiàn)性無(wú)關(guān)是指，只有當(dāng)?1＝?2＝?那么n個(gè)矢量, , ?, ＝?n＝0時(shí)，上式才成立.2.判斷方法

叫做線(xiàn)性相關(guān).矢量推論1 一個(gè)矢量線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是=.證明：由矢量線(xiàn)性相關(guān)的定義即得.定理4 矢量組合.證明：設(shè), , , ?，(n?2)線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)矢量是其余矢量的線(xiàn)性

+?

2+?+?n，即

=,且?1, ?2，?, ?n 不全為零，不, ?, =－

線(xiàn)性相關(guān)，則?1－，－?－, ?, 妨設(shè)?n ≠0，那么是其余矢量的線(xiàn)性組合.是其余矢量的線(xiàn)性組合，即 , , ?, 反過(guò)來(lái)，設(shè)n個(gè)矢量=?1+?2+?+?n-1，即?1

中有一個(gè)矢量，不妨設(shè)

+?2+?+(－1)=,且?1, ?2，?,(－1)不全為零,因此線(xiàn)性相關(guān).定理5 如果一組矢量中的一部分矢量線(xiàn)性相關(guān)，那么這一組矢量就線(xiàn)性相關(guān).證明：設(shè)一組矢量, , ?,，?,(s?r)中，有一部分矢量那么存在不全為零的n個(gè)數(shù)?1, ?2，?, ?s, 使得

?1, , ?, 線(xiàn)性相關(guān)，+?2+0

+?+?s+?+?r=，=,且?1, ?2，?, ?s不全為零.即

?1+?2+?+?s所以這一組矢量, , ?,，?, 線(xiàn)性相關(guān).推論2 一組矢量中如果含有零矢量，那么這組矢量必線(xiàn)性相關(guān).證明：由推論1和定理5即得.根據(jù)矢量的分解定理和線(xiàn)性相關(guān)概念，可得如下定理： 定理6 兩矢量共線(xiàn)的充要條件是它們線(xiàn)性相關(guān).定理7 三矢量共面的充要條件是它們線(xiàn)性相關(guān).定理8 空間任何四個(gè)矢量總是線(xiàn)性相關(guān).推論3 空間四個(gè)以上矢量總是線(xiàn)性相關(guān).證明：由定理5和定理8即得.例1.設(shè)一直線(xiàn)上三點(diǎn)A, B, P滿(mǎn)足＝

證明：如圖1-11，因?yàn)?/p>

＝?(??－1),O是空間任意一點(diǎn)，求證： ＝＝所以

(1+?)所以 －－－＝＝, , ＝?(+?.＝，＝，AT是角A的平分線(xiàn)（它與BC交于T點(diǎn)），試將

分－), ，例2.在△ABC中，設(shè)解為,的線(xiàn)性組合.分析：如圖1-12，利用三角形的角平分線(xiàn)定理.解：因?yàn)? 且 與＝，方向相同，所以 ＝由上題結(jié)論有.＝＝.+

+

＝

.例3.用矢量法證明：P是△ABC重心的充要條件是分析：如圖1-13，利用三角形重心的性質(zhì).證明：)若P為△ABC的重心，則

＝2+＋＝+，從而

+

－

=,即

=.)若+＋=, 則

＝－

＝，+取E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CA之中點(diǎn)，則有

＝，(＝2

+)..故P為△ABC的重心.+2，＝－

3+12

＋11

共面，其從而 ＝2.同理可證

+3

＝2+2例4.證明三個(gè)矢量＝－, ＝4－6中能否用,線(xiàn)性表示？如能表示，寫(xiě)出線(xiàn)性表示關(guān)系式.證明：題中的矢量?(－或(－?+4?－3v)由于, , , +3, +2

不共面，即它們線(xiàn)性無(wú)關(guān).考慮表達(dá)式

?+?+v＝，即)+?（4－6

+2)+v(－3

＝.+12

＋11)＝，+(3?－6?＋12v)+(2?+2?＋11v)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故有 解得

?＝－10，?＝－1，v＝2.由于

?＝－10?0，所以能用,線(xiàn)性表示

＝－例5.如圖1-14，, 三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是?+?＝1.證明：有m?－1, 使－(1+m)＝但已知＝??＝

＋.＝?+?，試證A, B, C是三個(gè)兩兩不共線(xiàn)的矢量，且

//,)因?yàn)?/p>

A，B，C共線(xiàn)，從而有＝m＝m(＝＋m＋＋?.由, －，.對(duì)，＝1.)，分解的唯一性可得 ，?＝從而

?+?＝+)設(shè)?+?＝1.則有

＝?=－所以 ＋?+?(＝?(＝?＝?－－,),), ＋(1－?)從而 //.所以

A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn).例6.梅尼勞(MeneLaus)定理：如圖1-15，A?，B?，C?分別是△ABC三邊BC，CA，AB上的定比分點(diǎn)，如果它們把△ABC的邊分成定比

?＝, ?＝, v＝，那么A?，B?，C?三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是??v＝－1.證明：由 ?＝可知 ＝?由第1題有 , , ?＝＝?, v＝，＝v, ，＝, ＝

＋

=?, 從而

＝v所以

＝

＝(1+?)＝v(, +, +)，＝由上題結(jié)論知三點(diǎn)A?，B?，C?共線(xiàn)的充要條件是

+化簡(jiǎn)即得

??v＝－1.作業(yè)題：

1.在平行四邊形ABCD中，(1)設(shè)對(duì)角線(xiàn)＝,＝，求, ＝

.＝1，, , ,;，.，分解為,(2)設(shè)邊BC和CD的中點(diǎn)為M和N，且2.在△ABC中，設(shè)＝，＝

＝,求, D、E是邊BC的三等分點(diǎn)，將矢量的線(xiàn)性組合.3.用矢量法證明: 三角形三中線(xiàn)共點(diǎn).4.設(shè)G是△ABC的重心，O是空間任意一點(diǎn)，試證

＝

（+).5．設(shè)＝(i＝1, 2, 3, 4)，試證P1, P2, P3, P4四點(diǎn)共面的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)?i(i＝1, 2, 3, 4)使

?1+?2+?3+?4=, 且.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、能利用矢量建立坐標(biāo)系概念；

2、理解點(diǎn)的坐標(biāo)及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量線(xiàn)性運(yùn)算及線(xiàn)段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法。

教學(xué)重點(diǎn) 標(biāo)架概念及點(diǎn)和矢量的坐標(biāo)表示方法 教學(xué)難點(diǎn) 矢量的分量 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

一、空間坐標(biāo)系

1.空間中的一個(gè)定點(diǎn)O，連同三個(gè)不共面的有序矢量記做{O;,}.如果, , , ， ,的全體，叫做空間中的一個(gè)標(biāo)架，}叫做笛卡爾標(biāo)架；, ，, }叫做

都是單位矢量，那么{O;兩兩相互垂直的笛卡爾標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡(jiǎn)稱(chēng)直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;仿射標(biāo)架.2.對(duì)于標(biāo)架{O;，}，如果, ，間的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，那么這個(gè)標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱(chēng)右手標(biāo)架；如果, , 間的相互關(guān)系和左手的拇指、食指、中指相同，那么這個(gè)標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱(chēng)左手標(biāo)架.如圖1-16.3.表達(dá)式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;記做{x, y, z}或{x, y, z}.4.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;架{O;z).，，}的空間中任意點(diǎn)P，矢量，，}的分量或稱(chēng)為坐標(biāo)，關(guān)于標(biāo)

叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢}的分量x, y, z叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y, z)或(x, y, 5.當(dāng)空間取定標(biāo)架{ O;, , }之后，空間全體矢量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序三數(shù)組x, y, z的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做空間矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.空間坐標(biāo)系也常用{O;，}來(lái)表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，, , 都叫做坐標(biāo)矢量.6.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.二、平面坐標(biāo)系

1.約定用{O;手直角坐標(biāo)系.}表示直角坐標(biāo)系，以后在討論空間問(wèn)題時(shí)所采用的坐標(biāo)系，一般都是空間右2.過(guò)點(diǎn)O沿著三坐標(biāo)矢量, , 的方向引三軸Ox, Oy, Oz,可以用這三條具有公共點(diǎn)O的不共面的軸Ox, Oy, Oz來(lái)表示空間坐標(biāo)系，記做O—x y z，此時(shí)點(diǎn)O叫做空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，三條軸Ox, Oy, Oz都叫做坐標(biāo)軸，且依次叫做x軸，y軸和z軸，每?jī)蓷l坐標(biāo) 軸所決定的平面叫做坐標(biāo)面，分別叫做xOy平面，yOz平面與

xOz平面.三坐標(biāo)平面把空間劃分為八個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都叫做卦限.3.平面上一個(gè)定點(diǎn)O, 連同兩個(gè)不共線(xiàn)的有序矢量{O;,}，如果, 都是單位矢量，那么{O;， 的全體，叫做平面上的一個(gè)標(biāo)架，記做

與

相互垂直的笛卡爾

}叫做笛卡爾標(biāo)架；, 標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡(jiǎn)稱(chēng)直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.4.對(duì)于標(biāo)架{O;,}，將繞O旋轉(zhuǎn)，使的方向以最近的路徑旋轉(zhuǎn)到與果旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，則這種標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱(chēng)右手標(biāo)架；如果旋轉(zhuǎn)方 的方向相合時(shí)，如

向是順時(shí)針的，則這種標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱(chēng)左手標(biāo)架.如圖1-17.5.表達(dá)式＝x或{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,}的平面上的任意點(diǎn)P，矢量，}的分量或稱(chēng)為坐標(biāo)，記做{x, y}

關(guān)于標(biāo)架6.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;{O;,叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢}的分量x, y叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y)或(x, y).7.當(dāng)平面上取定標(biāo)架{O;,}之后，平面上全體矢量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序數(shù)對(duì)x, y的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做平面上矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.平面坐標(biāo)系也常用{O;,}來(lái)表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，, 都叫做坐標(biāo)矢量.8.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.15.約定用{O;,}表示直角坐標(biāo)系, 在討論平面問(wèn)題時(shí)所采用的坐標(biāo)系，一般都是平面右手直角坐標(biāo)系.9.過(guò)點(diǎn)O沿著坐標(biāo)矢量, 的方向引二軸Ox, Oy,可以用這二條具有公共點(diǎn)O的不共線(xiàn)的軸Ox，Oy來(lái)表示平面坐標(biāo)系，記做O－x y，此時(shí)點(diǎn)O叫做平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)，Ox叫做x軸，Oy叫做y軸.兩坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都叫做象限.三、直線(xiàn)坐標(biāo)系 1.直線(xiàn)上一個(gè)定點(diǎn)O，連同直線(xiàn)上一個(gè)非零矢量的全體，叫做直線(xiàn)上的一個(gè)標(biāo)架，記做{O;}，如果為單位矢量，那么{O;}叫做笛卡爾標(biāo)架，在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.2.表達(dá)式＝x中的x叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;}的分量或稱(chēng)為坐標(biāo)，記做{x}或{x}.3.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;}的直線(xiàn)上任意點(diǎn)P，矢量x叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x)或(x).叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢

關(guān)于標(biāo)架的分量4.當(dāng)直線(xiàn)上取定標(biāo)架{O;}之后，直線(xiàn)上全體矢量的集合或全體點(diǎn)的集合與全體實(shí)數(shù)x的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做直線(xiàn)上矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.直線(xiàn)上的坐標(biāo)系也常用{O;}來(lái)表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，叫做坐標(biāo)矢量.5.由仿射標(biāo)架與笛卡爾標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系.6.取定標(biāo)架{O;}的直線(xiàn)，叫做坐標(biāo)軸或簡(jiǎn)稱(chēng)為軸，原點(diǎn)為O，坐標(biāo)寫(xiě)成x的軸記做Ox.例1.在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).解：可按照“關(guān)于哪軸對(duì)稱(chēng)，哪軸不動(dòng)，其余變號(hào)”的方法去考慮，有 M(a, b, c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, －c)，M(a, b, c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(－a, b, c)，M(a, b, c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,－b, c)，M(a, b, c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,－b,－c)，M(a, b, c)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a, b,－c)，M(a, b, c)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b, c).類(lèi)似考慮P(2,－3，－1)即可.例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.試判別它們是否共面？能否將表成，的線(xiàn)性組合？若能表示，寫(xiě)出表示式.解:(1)因?yàn)?//，但

＝0,所以 , , 三矢量共面, 由于, 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即，故不能將表成, 的線(xiàn)性組合.(2)因?yàn)?＝0,所以 , , 三矢量共面.，故可以將表成, 的線(xiàn)性組合.由于 , 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即設(shè) ＝?+?, 即

{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0} 從而

由此解得

?＝2，?＝－1，所以

＝2－.例3.證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線(xiàn)段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái).證明：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對(duì)面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(diǎn)(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點(diǎn)Pi，使則

＝

3, 從而

＝，設(shè)Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(，)

?P1(，).同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一點(diǎn)P，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對(duì)面重心距離的三倍.作業(yè)題：

1.指出坐標(biāo)滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)(x, y, z)在空間的位置.(1)

x＝y(tǒng)；

(2)

y z<0;

(3)

x y z<0.2.平行于z軸的矢量有什么特點(diǎn)？平行于x軸和y軸的矢量又分別有什么特點(diǎn)？

3.已知線(xiàn)段AB被點(diǎn)C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，試求這個(gè)線(xiàn)段兩端點(diǎn)A與B的坐標(biāo).§1.6 矢量在軸上的射影

教學(xué)目的

1、掌握射影與射影矢量的概念及矢量線(xiàn)性運(yùn)算的射影表示；

2、理解矢量在軸上的的射影與坐標(biāo)的關(guān)系。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量在軸上的射影與射影矢量的概念 教學(xué)難點(diǎn) 射影與射影矢量的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§1.6 矢量在軸上的射影

一、概念

1.已知空間的一點(diǎn)A與一軸l，通過(guò)A作垂直于軸l的平面?，平面?與軸l的交點(diǎn)A叫做點(diǎn)A在軸l上的射影.2.設(shè)矢量的始點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸l上的射影

叫做矢量

在軸l上分別為A?和B?，那么矢量的射影矢量，記作射影矢量l.如圖1-18.3.如果在軸上取與軸方向相同的單位矢量，則有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量，即 ＝x.與射影l(fā)分別寫(xiě)成射影矢量

與射影，且分別叫做矢量

在在軸l上的射影，記作：射影l(fā)射影l(fā)4.可以把射影矢量l矢量上的射影矢量與在上的射影，兩者之間的關(guān)系是

射影矢量

＝(射影

＝,).＝, 把射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的在0與5.設(shè)是兩個(gè)非零矢量，自空間任意點(diǎn)O作?之間的角，叫做矢量與的夾角，記做?(,).按規(guī)定，若,同向，則?(,)＝0；若,反向，則?(,)＝?；若，則0＜?(,)＜?.時(shí)，以矢6．在平面上，可以引進(jìn)從矢量到矢量的有向角的概念，并記作(,)，當(dāng)量掃過(guò)矢量,之間的夾角?(,)旋轉(zhuǎn)到與矢量同方向的位置時(shí)，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，則(,)＝?(,)；如果旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針的，則(,)＝－?(,).當(dāng)//

時(shí)，(,)＝?(,).有向角的值，?？赏茝V到 ?－π 或 >π，這時(shí)我們認(rèn)為相差2π整數(shù)倍的值代表同一角，對(duì)于有向角還有下面的等式(,)＝－(,)，(,)+(,)＝().二、性質(zhì)

1．矢量在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦：

射影i＝|

|cos?, ?＝?(l,).證明：如圖，射影i=||=||cos?.由矢量在軸l上的射影概念容易證得如下性質(zhì)：

2．相等矢量在同一軸上的射影相等.3．對(duì)于任何矢量有

射影l(fā)(+)＝射影l(fā)+射影l(fā).4．對(duì)于任何矢量與任意實(shí)數(shù)?有

射影l(fā)(?)＝?射影l(fā).例題：試證明：射影l(fā)(?+?+?n射影l(fā).證明：用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證.當(dāng)n＝2時(shí)，有

射影l(fā)(?1?2)＝射影l(fā)()+射影l(fā)(假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即有 射影l(fā)(射影l(fā)(＝射影l(fā)[(＝射影l(fā)（）+)+射影l(fā)()＝?1射影l(fā))

]))＝?1射影l(fā)+?2射影l(fā).?+?+?n)＝?1射影l(fā)+射影l(fā)

+?+?k射影l(fā).欲證當(dāng)n＝k+1時(shí)亦然.事實(shí)上

＝?1射影l(fā)+?+?k射影l(fā)+?k+1射影l(fā) 故等式對(duì)自然數(shù)n成立.作業(yè)題：

1.兩非零矢量的夾角在空間和平面上分別是怎樣定義的？取值范圍如何？ 2.在射影的關(guān)系如何？，射影矢量

與射影, 射影矢量

中，若?，＝－, 則它們相互間3.射影相等的兩個(gè)矢量是否必相等？射影為0的矢量，是否必為？

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的數(shù)性積概念及幾何意義；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及數(shù)性積的坐標(biāo)表示；

3、能證明有關(guān)的幾何命題。

教學(xué)重點(diǎn) 兩矢量的數(shù)性積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)數(shù)性積理論證明有關(guān)的命題 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

一、概念

1.數(shù)性積的例子.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力的作用下，經(jīng)過(guò)位移

＝，則這個(gè)力所作的功為

W＝|其中?＝?(,)，功W是由矢量

|||cos?

與按上式確定的一個(gè)數(shù)量.如圖1-19.2.兩個(gè)矢量與的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量和的數(shù)性積(也稱(chēng)數(shù)積，內(nèi)積，點(diǎn)積)，記做?或，即

?＝||||cos?(,).二、性質(zhì)

1.?＝||射影＝||射影

..2.當(dāng)為單位矢量時(shí) ?＝射影3.?＝||＝22.4.兩矢量和相互垂直的充要條件是?＝0.5.矢量的數(shù)性積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律 ?＝?.(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律(?)?＝?(?)＝?(?).(3)分配律(+)?＝?+?.三、坐標(biāo)運(yùn)算 1.設(shè)＝{}, ＝{

}, 則 ?＝

.?＝, ?＝，?＝.2.設(shè)＝{X, Y, Z}，則

||＝3.空間兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)間的距離是

..4.矢量與坐標(biāo)軸(或坐標(biāo)矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos?＝cos?＝cos?＝且

cos?+cos?+cos?＝1，（其中的?, ?, ?分別為矢量與x軸，y軸，z軸的交角，即的三個(gè)方向角.）并有

6.設(shè)空間中兩個(gè)非零矢量為{

}，＝{

＝{cos?, cos?, cos?}.},那么它們夾角的余弦是

d＝

＝＝＝, ,.cos?(,)＝7.矢量{}和＝{

＝

}相互垂直的充要條件是

.例1.在實(shí)數(shù)乘法中消去律成立，即ab＝ac時(shí)，則a=0或b＝c.這對(duì)矢量的數(shù)性積并不成立，舉反例如下：

如圖1-20，設(shè)有非零矢量及與其共面的兩矢量和，使得其終點(diǎn)連線(xiàn)BC與OA垂直且交于M，則

?＝||||cos?(,)＝||OM, ?＝||||cos?(,)＝||OM，于是 ?＝?, 但顯然?.例2.在平面上如果證明: 因?yàn)?，＋?),，且

＝?

(i=1,2)，則有＝.所以，對(duì)該平面上任意矢量＝?(－)?＝(－)(?＝?＝?((－)+?－

＋?(－)

－)＝0,)+?(故(－)?.由的任意性知 －＝.從而 ＝.例3.用矢量法證明以下各題：

222(1)三角形的余弦定理 a＝b＋c－2bccosA;

(2)三角形各邊的垂直平分線(xiàn)共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.證明：（1）如圖1-21，△ABC中，設(shè)且||＝a，||＝b,||＝c.則＝－，＝(－)＝+－2?＝+－2||||cosA.222此即

a＝b+c－2bccosA.(2)如圖1-22，設(shè)AB, BC邊的垂直平分線(xiàn)PD, PE相交于P, 2222

＝,＝,＝，D, E, F為AB, BC, CA的中點(diǎn), 設(shè)＝－＝因?yàn)? , ＝－，＝, ＝

－，＝，＝

（＝, 則+)，(＋).?, ?，所以(+)(－)＝（2

－

2)＝0，(+)(－)＝從而有 所以 2

（2

－

2)＝0，2

2＝2＝2

,即 ||＝||＝||,（2(＋)(－)＝－

2)＝0，所以 ?，且 ||＝||＝||.故三角形各邊的垂直平分線(xiàn)共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.作業(yè)題：

1.用矢量法證明對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.2.證明 －||||??

?|||

|.＝，=, ＝，求?

＋

?＋?.3.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，且4.(1)求兩個(gè)共線(xiàn)矢量的數(shù)性積；(2)求兩個(gè)單位矢量的數(shù)性積.§1.8 兩矢量的矢性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的矢性積概念及幾何意義；

2、理解矢量矢性積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示；

3、會(huì)用頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算三角形的面積。

教學(xué)重點(diǎn) 兩矢量矢性積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 矢性積的幾何意義 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§1.8 兩矢量的矢性積

一、概念

1.矢性積的例子

物理學(xué)中的力矩是一個(gè)矢量，它是兩個(gè)矢量的矢性積，如圖1-23，如果力則力矩

＝

.的作用點(diǎn)是A,，2.兩矢量與的矢性積（也稱(chēng)矢積，外積，叉積）是一個(gè)矢量，記做?或[]，它的模是

|?|＝||||sin?(,)，它的方向與,都垂直，并且按，?這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O;，?}.二、性質(zhì)

定理1.兩不共線(xiàn)矢量與的矢性積的模，在數(shù)值上等于以與為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.證明：如圖1-24，平行四邊形的面積S=|| h =||||sin?(,)=|?|.定理2.兩矢量與共線(xiàn)的充要條件是 ?＝.證明：當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，sin?(,)=0，從而|?|=0，即?＝；反過(guò)來(lái)，當(dāng)?＝時(shí)＝或＝或∥，而可以看成與任何矢量共線(xiàn)，所以總有∥.定理3.矢量的矢性積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算規(guī)律：

(1)反交換律

?＝－(?).(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

?(?)＝(?)?＝?(?).(3)分配律

(+)?＝?＋?.證明：只給出反交換律?＝－(?)的證明，其余類(lèi)似可證：

如果與共線(xiàn)，那么（?）與(?)都是，顯然成立.如果與不共線(xiàn)，那么

|?|＝||||sin?(,)=||||sin?(，)=|?|，而根據(jù)矢性積的定義（?）與(?)共線(xiàn)且方向相反，從而?＝－(?).推論.設(shè)?, ?為任意實(shí)數(shù)，有

(?)?(?)＝(??)(?)，?(+)＝?+?.三、坐標(biāo)運(yùn)算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

?＝++.或

?＝.2.與中學(xué)代數(shù)里的方程一樣，我們將含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如?＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常數(shù)，這就是一個(gè)矢量方程.解矢量方程常用兩種方法：其一是對(duì)方程實(shí)行各種向量運(yùn)算來(lái)求出未知向量；其二是利用坐標(biāo)化成代數(shù)方程再去求解.例1.證明(?)?222?

2，并說(shuō)明在什么情形下等號(hào)成立.22

2證明：(?)＝|?|＝||||sin?(,)

?||||＝22

?

.，即當(dāng)?時(shí)，等號(hào)要使等號(hào)成立, 必須sin?(,)＝1, 從而sin?(,)＝1, 故?(,)＝成立.例2.證明如果++＝，那么?＝?＝?，并說(shuō)明它的幾何意義.證明：由++＝, 有(++)?＝?＝, 但 ?＝，于是

?+?＝，所以 ?＝?.同理

由(++)?＝, 有 ?＝?，從而 ?＝?＝?.其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等.例3.如果非零矢量(i＝1,2,3)滿(mǎn)足垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明：由矢性積的定義易知,因?yàn)? ＝?，||＝?，|＝|

|||, ,，＝

?，＝?，那么，是彼此

彼此垂直，且構(gòu)成右手系.下證它們均為單位矢量.所以 ||＝||，|所以 ||＝||||.|＝1，|22由于 ||?0，從而 |同理可證 |

|＝1.|＝1，||＝1.從而，都是單位矢量.例4.用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：

?＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周長(zhǎng)，?為三角形的面積.＝，＝，＝，且||＝a，||＝b, ||證明(1)如圖1-25，在△ABC中，設(shè)＝c, 則

++＝, 從而有 ?＝?＝?，所以

|?|＝|?|＝|?|，bcsinA＝casinB＝absinC, 于是

＝＝.(2)同上題圖，△ABC的面積為

?＝所以

?＝2

|?|，(?).22

22因?yàn)?/p>

(?)+(?)＝所以

?＝2，[22－(?)].2由于

++＝，從而

+＝－，(＋)＝所以

2，(c－a－b)，2

2＝(222－2

－

2)＝故有

?＝＝＝＝[ab－222(c－a－b)]

222[2ab－(c－a－b)][2ab+(c－a－b)] [(a+b)－c][222－(a－b)]

2(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)＝?2p?(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).2所以

?=p(p?a)(p?b)(p?c), 或

?=例5.試解方程組

., //，其中 ?，l是已知數(shù).解法一：化成坐標(biāo)式得

a1x1+a2x2+a3x3=l，其中, , x2=，k?0, 解得 , x3=, ，x1=再化成矢量式得解法二：由.得，代入

得，于是

k＝, 從而有作業(yè)題：.1.設(shè), , 為三個(gè)兩兩不共線(xiàn)的矢量，且?=?= ?，則++=.2.設(shè)兩非零矢量3.已知兩非零矢量4.已知積.,，求k值，使兩個(gè)向量k，求

與, 其中

和

＋k共線(xiàn).共線(xiàn)的充要條件.＝5, , ?, 求平行四邊形ABCD的面

第二章 軌跡與方程

教學(xué)目的

1、理解曲面與空間曲線(xiàn)方程的意義；

2、掌握求軌跡方程（矢量式與坐標(biāo)式參數(shù)方程及普通方程）的方法；

3、會(huì)判斷已知方程所表示的軌跡名稱(chēng)。

教學(xué)重點(diǎn) 曲面和空間曲線(xiàn)的方程求法

教學(xué)難點(diǎn) 判斷已知的參數(shù)方程或普通方程所表示的圖形 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第三章）

授課課時(shí) 4第二章

軌跡與方程

本章的目的是建立軌跡與其方程的對(duì)應(yīng)，在空間或平面上取定標(biāo)架之后，空間或平面上的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)或(x, y)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立作為點(diǎn)的軌跡的曲線(xiàn)、曲面與其方程之間的聯(lián)系，把研究曲線(xiàn)與曲面的幾何問(wèn)題，歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而為用代數(shù)的方法研究曲線(xiàn)和曲面創(chuàng)造了條件，奠定了基礎(chǔ).空間軌跡與平面軌跡相比要復(fù)雜得多，但它的方程的建立，以及對(duì)某些問(wèn)題的處理，兩者卻非常相似.本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)為：

軌跡

方程

→ 方程

→ 軌跡

§2.1 平面曲線(xiàn)的方程

一、普通方程

1.平面上的曲線(xiàn)（包括直線(xiàn)），都可以看成具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合.曲線(xiàn)上點(diǎn)的特征性質(zhì)，包含兩方面的意思：(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)都具有這些性質(zhì)；(2)具有這些性質(zhì)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上.因此曲線(xiàn)上點(diǎn)的特征性質(zhì)，也可以說(shuō)成是點(diǎn)在曲線(xiàn)上的充要條件.2.當(dāng)平面上取定了標(biāo)架之后，如果一個(gè)方程F(x, y)= 0或 y =f(x)與一條曲線(xiàn)有著關(guān)系：(1)滿(mǎn)足方程的(x, y)必是曲線(xiàn)上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)曲線(xiàn)上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)滿(mǎn)足這個(gè)方程，那么這個(gè)方程F(x, y)= 0就叫做這條曲線(xiàn)的普通方程，而這條曲線(xiàn)叫做這個(gè)方程的圖形.3.對(duì)于一條給定的曲線(xiàn)，要求出它的方程，實(shí)際上就是在給定的坐標(biāo)系下，將這條曲線(xiàn)上的點(diǎn)的特征性質(zhì)，用關(guān)于曲線(xiàn)上的點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)x, y的方程來(lái)表示.二、參數(shù)方程

1．曲線(xiàn)常可表現(xiàn)為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，但是運(yùn)動(dòng)的規(guī)律往往不是直接反映為動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系，而是直接表現(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)的位置隨著時(shí)間改變的規(guī)律.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，與它對(duì)應(yīng)的徑矢也將隨著時(shí)間t的不同而改變（模與方向的改變），這樣的徑矢，我們稱(chēng)它為變矢，記做

.，那么2.如果變數(shù)t(a?t?b)的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于變矢的一個(gè)完全確定的值（模與方向）我們就說(shuō)是變數(shù)t的矢性函數(shù)，記做

=,(a?t?b)

顯然當(dāng)t變化時(shí)，矢量的模與方向一般也隨著改變.3.設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;,寫(xiě)為

其中x(t)，y(t)是

}，矢量就可用它的分量表示，這樣矢性函數(shù)== x(t)+y(t),(a?t?b)，就可以的分量，它們分別是變數(shù)t的函數(shù).4.若取t(a?t?b)的一切可能取的值，徑矢的終點(diǎn)總在一條曲線(xiàn)上；反過(guò)來(lái)，在這條曲線(xiàn)上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的徑矢，而這徑矢可由t 的某一值t0(a?t0?b)完全決定，則把 = x(t)+y(t),(a?t?b)

叫做曲線(xiàn)的矢量式參數(shù)方程，其中t為參數(shù).如圖2-1.5.因?yàn)榍€(xiàn)上點(diǎn)的徑矢的分量為x(t), y(t)，所以曲線(xiàn)的參數(shù)方程也常寫(xiě)成下列形式

(a?t?b)

把這個(gè)表達(dá)式叫做曲線(xiàn)的坐標(biāo)式參數(shù)方程.如能從上式中消去參數(shù)t（如果可能的話(huà)），那么就能得出曲線(xiàn)的普通方程F(x, y)=0.6.曲線(xiàn)的參數(shù)方程的表達(dá)形式不唯一.例1.有一長(zhǎng)度為2a(a>0)的線(xiàn)段，它的兩端點(diǎn)分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng)，求此線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡.解法一：如圖2-2，取? 為參數(shù)，設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)為M(x, y)，于是A(2acos?, 0)，B(0, 2asin?,), 所以

(0

x2+y2 = a2(x>0, y>0).)

解法二：如圖2-3, 設(shè)線(xiàn)段為AB，其中點(diǎn)為P(x, y)，且設(shè)(,====(|(+|+|)|))=?，則

[2acos(???)+2asin(???)]

= ?acos?+asin?，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

(消去參數(shù)? 得所求軌跡的一般方程為

x2+y2 = a2(x>0, y>0).例2.三角形ABC底邊的兩個(gè)端點(diǎn)為B(?3, 0)，C(3, 0), 頂點(diǎn)A在直線(xiàn)7x?5y?35=0上移動(dòng)，求這三角形重心的軌跡.解：設(shè)△ABC的重心為G(x, y)，頂點(diǎn)A為(x0, y0)，則有

x==x0, y==y0，從而

x0=3x , y0 =3y.而A(x0, y0)在直線(xiàn)7x?5y?35=0上, 故有

7x0?5y0?35=0 或 21x?15y?35=0.這是一條平行于已知直線(xiàn)7x?5y?35=0的直線(xiàn).例3.一動(dòng)點(diǎn)M到A(3, 0)的距離恒等于它到點(diǎn)B(?6, 0)的距離的一半，求此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？

解：設(shè)M(x, y)，依題意有

2=，2222兩邊平方得：4((x?3)+y)=(x+6)+y，2224(x?6x+9)+3y?(x+12x+36)=0, 223x+3y?36x=0，22(x?6)+y=36.此即為中心在(6, 0)，半徑為6的圓.2例4.一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的乘積等于定值m，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡(此軌跡叫做卡西尼卵形線(xiàn)).解：設(shè)兩定點(diǎn)為F1, F2，且|F1F2|=2c(c>0)，動(dòng)點(diǎn)為M(x, y)，取直線(xiàn)F1F2為x軸，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則F1=(?c, 0), F2=(c, 0)，依題意有

2|MF1| ? |MF2| =m，=m，化簡(jiǎn)得

(x+y)? 2c(x?y)= m ?c.222

442

作業(yè)題：

1． 將下面平面曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程：

（1）

－∞＜t＜+∞;

（2）

0?t＜2;

（3）0?t＜2.2.把下面平面曲線(xiàn)的普通方程化為參數(shù)方程： 2

（1）y= x

(2)

(3),（）;

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一個(gè)方程F(x, y, z)= 0或z=f(x, y)與一個(gè)曲面?有著關(guān)系：(1)滿(mǎn)足方程的(x, y, z)是曲面?上點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)曲面?上的任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y, z)滿(mǎn)足方程，則方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F(x, y, z)＝0的圖形.二、參數(shù)方程

1．設(shè)在兩個(gè)變數(shù)u, v的變動(dòng)區(qū)域內(nèi)定義了雙參數(shù)矢函數(shù)

=(u, v)或

(u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)，其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是變矢(u, v)的分量，它們都是變數(shù)u, v的函數(shù)，當(dāng)u, v取遍變動(dòng)區(qū)域的一切值時(shí)，徑矢

=(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)的終點(diǎn)M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所畫(huà)成的軌跡，一般為一張曲面.2.如果取u, v(a?u?b, c?v?d)的一切可能取的值，徑矢

(u, v)的終點(diǎn)M總在一個(gè)曲面上；反過(guò)來(lái)，在這個(gè)曲面上的任意點(diǎn)M總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的徑矢, 而這徑矢可由u, v的值(a?u?b, c?v?d)通過(guò)

(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

完全決定，那么我們就把上式叫做曲面的矢量式參數(shù)方程，其中u, v為參數(shù).3.徑矢(u, v)的分量為{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，從而曲面的參數(shù)方程也常寫(xiě)成

該表達(dá)式叫做曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程.4.空間曲面參數(shù)方程的表達(dá)形式不唯一.例1.一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，與A(4, 0, 0)及xOy平面等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)，依題意有

=|z|，兩邊平方化簡(jiǎn)得(x?4)+y=0.例2.在空間，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列點(diǎn)的軌跡方程：(1)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；(2)到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；(3)到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；

(4)到一定點(diǎn)和一定平面距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.解：(1)取兩定點(diǎn)連線(xiàn)為x軸，兩定點(diǎn)連線(xiàn)段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)兩定點(diǎn)為A(?a, 0, 0)，B(a, 0, 0), 常數(shù)為m>0，再設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)，則依題意有

=m，2222222222222平方得

x + 2ax+a +y+z = mx ?2amx +ma +my +mz，222222

2(m?1)(x+y+z)?2a(m+1)x+a(m?1)=0.此即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.222(2)設(shè)坐標(biāo)系選取同(1)，兩定點(diǎn)間距離為2c(c>0), 常數(shù)為2a(a>0)，且b=a?c>0，從而兩定點(diǎn)為A(?c, 0, 0), B(c, 0, 0), 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)，依題意有 22

＋m移項(xiàng)

222 2

=2a, , =2a ?

2平方(x+c)+y+z=4a+(x?c)+y+z?4a化簡(jiǎn)

再平方 化簡(jiǎn)

即

a=a?cx, 2222224222 a(x?c)+ay+az=a+cx?2acx，2222222222(a?c)x+ay+az=a(a?c)，22222222

bx+ay+az=ab，2，從而

++=1.222(3)假設(shè)同(2)，但b=c?a >0，依題意有

?移項(xiàng)

=2a+，2

=2a，平方化簡(jiǎn)

a=cx?a，2222222222再平方化簡(jiǎn)

(c?a)x－ay－az=a(c?a)，22222222即

bx?ay?az=ab，從而

??=1.(4)取定點(diǎn)為(0, 0, c)，定平面為xOy面，常數(shù)為m>0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)，依題意有

＝m |z|, 22平方

x+y+z?2cz+c = mz, 即有

22222 x+y+(1?m)z?2cz+c =0.例3.求中心在原點(diǎn), 半徑為r的球面的參數(shù)方程.解：如圖2-4, 設(shè)M是球面上的任意一點(diǎn)，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為 P，設(shè)?xOP =?(0?? <2?)，?zOM =?(0????), P在x軸上的射影為Q，那么 2

=則

=(r)+（=++)+r，.這就是圓柱面的矢量式參數(shù)方程，它的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

其中0????, ??? <2?.消去參數(shù)得普通方程為

x2 + y2 + z2 = r2.例4.求以z軸為對(duì)稱(chēng)軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程.解：如圖2-5, 設(shè)M是圓柱面上的任意一點(diǎn)，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為 P，設(shè)?xOP =?(0?? <2?)，P在x軸上的射影為Q，那么 =

=++，則

=(R)+（）+u.這就是圓柱面的矢量式參數(shù)方程，它的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

其中的 ? 與u是參數(shù)，取值范圍分別是0?? <2?，?? < u < ??.消去參數(shù)得普通方程為

x2+y2=R2.作業(yè)題：

1.求下列各球面的方程：

（1）中心（2，—1，3），半徑為R=6；

（2）中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，—2，3）；

（3）一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是（2，—3，5）與（4，1，—3）；（4）通過(guò)原點(diǎn)與（4，0，0），（1，3，0），（0，0，—4）.2.求下列球面的中心與半徑：

（1）；

（2）；

（3）

.§2.3 母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x, y, z)的坐標(biāo)間的關(guān)系是不含變數(shù)z的方程F(x, y)=0,在空間坐標(biāo)系中表示一個(gè)曲面，它所表示的曲面是由平行于z軸的直線(xiàn)沿xOy平面上一條曲線(xiàn)

L: F(x, y)＝0

移動(dòng)而成，這樣的曲面叫做柱面，曲線(xiàn)L叫做它的準(zhǔn)線(xiàn)，形成柱面的動(dòng)直線(xiàn)叫做它的母線(xiàn)，即方程F(x, y)=0決定一個(gè)母線(xiàn)平行于z軸的柱面.同理，方程F(y,z)=0與F(x, z)=0都表示柱面，它們的母線(xiàn)分別平行于x 軸和y軸.如上一節(jié)的例4，方程 x 2 + y 2= R 2 表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面，準(zhǔn)線(xiàn)L為xOy坐標(biāo)面上的圓.例題

說(shuō)出下列方程表示的圖形名稱(chēng)：

（1），（2），（3）y=2p x.2解：（1）表示一個(gè)柱面，母線(xiàn)平行于z軸，準(zhǔn)線(xiàn)為xOy坐標(biāo)面上的橢圓，所以叫做橢圓柱面.（2）表示一個(gè)柱面，母線(xiàn)平行于z軸，準(zhǔn)線(xiàn)為xOy坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)，所以叫做雙曲柱面.（3）表示一個(gè)柱面，母線(xiàn)平行于z軸，準(zhǔn)線(xiàn)為xOy坐標(biāo)面上的拋物線(xiàn).所以叫做拋物柱面.作業(yè)題：

指出下列方程表示的軌跡名稱(chēng)，并畫(huà)出圖形：

（1）（2）（3）（4）；

.；

；

§2.4 空間曲線(xiàn)的方程

一、普通方程

1.空間曲線(xiàn)，可以看成兩個(gè)曲面的交線(xiàn).設(shè)方程組

是這樣的兩個(gè)曲面方程，它們相交于曲線(xiàn)L.上述方程組表示一條空間曲線(xiàn)L的方程，我們稱(chēng)它為空間曲線(xiàn)的普通方程（一般方程）.2.由代數(shù)知識(shí)知道，任何方程組的解，也一定是與它等價(jià)的方程組的解，所以空間曲線(xiàn)L可以用不同形式的方程組表示.二、參數(shù)方程

1.在空間建立了坐標(biāo)系后, 設(shè)矢函數(shù)內(nèi)變動(dòng)時(shí)，的徑矢都可由t的某個(gè)值通過(guò)?b)為參數(shù).2.因?yàn)榭臻g曲線(xiàn)上點(diǎn)的徑矢

或

=x(t)+y(t)

+z(t)，當(dāng)t在區(qū)間a?t?b的終點(diǎn)M(x(t), y(t), z(t))全部都在空間曲線(xiàn)L上；反過(guò)來(lái)，空間曲線(xiàn)L上的任意點(diǎn)

來(lái)表示, 則把它叫做空間曲線(xiàn)L的矢量式參數(shù)方程，其中t(a?t的分量為{x(t), y(t), z(t)}，所以空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程常寫(xiě)成

(a?t?b)

此表達(dá)式叫做空間曲線(xiàn)的坐標(biāo)式參數(shù)方程，其中t為參數(shù).三、射影柱面

通過(guò)空間曲線(xiàn)L作柱面，使其母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸Ox, Oy或Oz軸，設(shè)它們的方程分別為

F1(y, z)=0, F2(x, z)=0, F3(x, y)=0

這三個(gè)柱面分別叫做曲線(xiàn)L對(duì)yOz, xOz與xOy坐標(biāo)面的射影柱面，因此由所表示的曲線(xiàn)L，可以用它對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的任意兩個(gè)射影柱面來(lái)表示.代數(shù)上從兩個(gè)三元方程中消去一個(gè)元，其幾何意義就是求空間曲線(xiàn)的射影柱面.例1.有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線(xiàn), 自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，另一方面這一條母線(xiàn)在圓錐面上，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線(xiàn).試建立圓錐螺線(xiàn)的方程.解：如圖2-6，取圓錐頂點(diǎn)為原點(diǎn)，軸線(xiàn)為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)圓錐角為2?，從而?=?，旋轉(zhuǎn)角速度為?，直線(xiàn)速度為v，動(dòng)點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn).設(shè)經(jīng))＝? t, |

|＝v t，時(shí)間t后動(dòng)點(diǎn)到P點(diǎn)，過(guò)P作xOy面上的射影Q，則(從而有

(0?t <+?)

例2.有兩條互相直交的直線(xiàn)l1與l2，其中l(wèi)1繞l2作螺旋運(yùn)動(dòng)，即l1一方面繞l2作等速轉(zhuǎn)動(dòng)，另一方面又沿著l2作等速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)中l(wèi)1永遠(yuǎn)保持與l2直交，這樣由l1所畫(huà)出的曲面叫做螺旋面，試建立螺旋面的方程.解：如圖2-7，取l2為z軸建立坐標(biāo)系，并設(shè)l1在運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻t0時(shí)與x軸重合，令角速度為?，直線(xiàn)速度為v，時(shí)間t取作參數(shù).假定在時(shí)刻t時(shí)l1位置如圖，P(x, y, z)為l1上任意點(diǎn)，其在xOy面上的射影為Q，在z軸上射影（l1與l2在此刻的交點(diǎn)）為R，則 || = vt，|

| =u.從而有

(??

作業(yè)題：

1.平面 與 的公共點(diǎn)組成什么軌跡？

2.求下列空間曲線(xiàn)對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面方程：

（1）

（2）

3．指出下列曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線(xiàn)是什么曲線(xiàn)？（1）；

（2）；

（3）

.第三章平面與空間直線(xiàn)

教學(xué)目的

1、深刻理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程；反過(guò)來(lái)任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面。直線(xiàn)可以看成兩個(gè)平面的交線(xiàn)，它可以用兩個(gè)相交平面的方程構(gòu)成的方程組來(lái)表示；

2、掌握平面與空間直線(xiàn)的各種形式的方程，明確方程中常數(shù)（參數(shù)）的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線(xiàn)的各種導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線(xiàn)各種方程形式的互化；

3、能熟練地根據(jù)平面和直線(xiàn)的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)判別有關(guān)點(diǎn)、平面、直線(xiàn)之間的位置關(guān)系與計(jì)算它們之間的距離和交角。

教學(xué)重點(diǎn)平面與空間直線(xiàn)的方程求法及點(diǎn)、平面、直線(xiàn)之間的相關(guān)位置 教學(xué)難點(diǎn)平面與空間直線(xiàn)各種形式方程的互化

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 10

第三章

平面與空間直線(xiàn)

這一章是本課程的主要內(nèi)容之一，我們將用代數(shù)的方法定量地研究空間最簡(jiǎn)單而又最基本的圖形——平面與空間直線(xiàn)，建立它們各種形式的方程，導(dǎo)出空間的點(diǎn)、平面與空間直線(xiàn)之間位置關(guān)系的解析表達(dá)式，給出距離、夾角等計(jì)算公式.本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)為：

平面的方程

直線(xiàn)的方程

相關(guān)位置→→

§3.1平面的方程

教學(xué)目的

1、理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程，反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面；

2、會(huì)求平面的各種方程（參數(shù)式、點(diǎn)位式、三點(diǎn)式、截距式、一般式、點(diǎn)法式及法式）；

3、掌握平面的一般式與法式方程的互化。

教學(xué)重點(diǎn)平面的點(diǎn)位式、一般式和法式方程及其轉(zhuǎn)化方法 教學(xué)難點(diǎn)平面各種方程之間的互化 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 2

§3.1 平面的方程

一、平面的點(diǎn)位式方程

1.在空間給定了一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與兩個(gè)不共線(xiàn)矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }, 那么通過(guò)點(diǎn)M0且與矢量,平行的平面?就被唯一確定，矢量, 叫做平面的方位矢量.這個(gè)概念與中學(xué)幾何中的“兩條相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面”是一致的.2.如圖3-1, 在空間取標(biāo)架{O;＝坐標(biāo)式參數(shù)方程為 ，}，則平面的矢量式參數(shù)方程為

+u+v，(其中u, v為參數(shù)).3.平面?的方程還可表示為(，)＝0和

＝0.它們和2中的方程一起都叫做平面的點(diǎn)位式方程.4.由不共線(xiàn)三點(diǎn)Mi(xi, yi, zi)(i＝1,2,3)確定的平面?的三點(diǎn)式方程為

＝＋u（－)＋v（）.(－,－,)＝0，＝0，或

＝0.5.平面的截距式方程為 ＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分別叫做平面在三坐標(biāo)軸上的截距.二、平面的一般方程

空間平面的基本定理： 空間中任一平面的方程都可表示成一個(gè)關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程都表示一個(gè)平面.方程

Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C不全為0)

叫做平面的一般方程.證明：因?yàn)榭臻g任意平面都可以由它上面的一個(gè)點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與兩個(gè)方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }確定，因而方程可以寫(xiě)為成：

Ax+By+Cz+D=0，＝0.此方程展開(kāi)就可寫(xiě)其中A =，B=，C=.因?yàn)?不共線(xiàn)，所以A，B，C不全為零，這表明空間中任一平面的方程都可表示成一個(gè)關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程；

反過(guò)來(lái)，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因?yàn)锳，B，C不全為零，不妨設(shè)A≠0，則有

A2（x+）+Aby +AC z=0，即

顯然，它是由一點(diǎn)M0(的平面.＝0., 0, 0)與兩個(gè)方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }確定

三、平面的點(diǎn)法式方程

1.如果在空間給定一點(diǎn)M0和一個(gè)非零矢量，那么通過(guò)點(diǎn)M0且與矢量垂直的平面唯一地被確定.把與平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或簡(jiǎn)稱(chēng)平面的法矢.這個(gè)概念與中學(xué)幾何中的“過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的平面是唯一確定的”一致.2.如圖3-2, 在空間直角坐標(biāo)系{O;，}下，設(shè)點(diǎn)M0的徑矢＝，平面?上任意一點(diǎn)M的徑矢為＝，且M0(x0, y0, z0), M(x, y, z)，則

?(－)＝0 或 A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)＝0 都叫做平面的點(diǎn)法式方程.3.如圖3-3, 如果平面上點(diǎn)M0特殊地取自原點(diǎn)O向平面?所引垂線(xiàn)的垂足P, 而?的法矢量取單位法矢量，當(dāng)平面不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則 的正向取為與相同；當(dāng)平面過(guò)原點(diǎn)時(shí)，|＝p，的正向在垂直于平面的兩個(gè)方向中任取一個(gè)，設(shè)|?－p＝0

叫做平面的矢量式法式方程.如果設(shè)＝{x, y, z}，＝{cos?, cos?, cos?}, 則

xcos? + ycos? + zcos?－p＝0

叫做平面的坐標(biāo)式法式方程或簡(jiǎn)稱(chēng)法式方程.4.把平面的一般方程 Ax+By+Cz+D＝0化為法式方程的方法如下：

以法式化因子 ?＝

（在取定符號(hào)后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：

.其中?的選取，當(dāng)D?0時(shí)，使?D＝－p<0，即?與D異號(hào)；當(dāng)D＝0時(shí)，?的符號(hào)可以任意選取（正的或負(fù)的，一般選與A同號(hào)，若還有A＝0，則選與B同號(hào)等等）.例1.求通過(guò)M1(1, －1, －5)和M2(2, 3, －1)且垂直于xOz坐標(biāo)面的平面?的方程.解：取定點(diǎn)為M1(1,－1,－5)，方位矢量為＝{0,1,0}和

＝{1, 4, 4}，故有

＝0，即 4x―z―9＝0.例2.已知兩點(diǎn)A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分別過(guò)AB的中點(diǎn)、兩個(gè)三等分點(diǎn)且與AB垂直的平面方程.解：?。絳a1－b1,a2－b2,a3－b3}為所求平面的法矢量, AB的中點(diǎn)是

M 兩個(gè)三等分點(diǎn)是 , ，M2，設(shè)P(x, y, z)為平面上任意點(diǎn)，則過(guò)M, M1, M2分別與AB垂直的平面的點(diǎn)法式方程為 M

1＝0或 ＝0，＝0或 ＝0，＝0或

化成坐標(biāo)式方程分別為

＝0.(a1－b1)(a1－b1)+(a2－b2)+(a2－b2)

+(a3－b3)+(a3－b3)

＝0.＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3.已知三角形頂點(diǎn)為A(0, －7, 0), B(2, －1, 1), C(2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且與它相距為2個(gè)單位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程為

＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任意一點(diǎn)，依題意有 ，3x－2y＋6z－14＝?14，故所求的平面方程有兩個(gè)：

3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4.求與原點(diǎn)距離為6個(gè)單位，且在三坐標(biāo)軸Ox, Oy與Oz上的截距之比為a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依題意可設(shè)所求平面為 ，6x－2y－3z＋6k＝0，以法式化因子 ?＝? 乘以上式兩端

從而

?＝6, k＝?7 故所求的平面方程有兩個(gè)

6x－2y－3z ? 42＝0.例5.平面 ＝1分別與三個(gè)坐標(biāo)軸交于A, B, C, 求

△ABC的面積.解：依題意有A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), 則

＝{－a, b, 0}, 所以

S△ABC＝＝||＝

|{bc, ac, －ab}|.＝{－a, 0, c}, 例6.設(shè)從坐標(biāo)原點(diǎn)到平面 ++=1的距離為p，求證 +

+

=

.證明：將++－1=0化為法線(xiàn)式

＋依題意有

＋－＝0，＝p，整理即得 ++=.作業(yè)題：

1.如果兩個(gè)一次方程(a－3)x+(b+1)y+(c－2)z+8＝0和(b+2)x+(c－9)y+(a－3)z－16＝0表示同一平面，試確定a, b, c的值.2.已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分別求過(guò)A、B且與AB垂直的平面的方程.3.原點(diǎn)O在所求平面上的正射影是P(a, b, c)，求平面方程.4.已知一平面過(guò)點(diǎn)M0.(x0, y0, z0)，且在x軸、y軸上的截距分別是a、b, 求其方程.§3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置 §3.3 兩平面的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、理解點(diǎn)與平面的離差與距離概念及求法；

2、掌握判別點(diǎn)與平面、兩平面位置關(guān)系的方法；

3、會(huì)求兩平面的交角與距離。

教學(xué)重點(diǎn) 點(diǎn)與平面的離差和兩平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn) 點(diǎn)與平面的離差 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置

一、位置關(guān)系

1.空間中兩點(diǎn)Mi(xi, yi, zi)(i=1,2)的位置關(guān)系，有且只有兩種情況，就是重合或不重合，重合的條件是兩點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等；在不重合時(shí)兩點(diǎn)間的距離為

||＝.2.空間中平面與點(diǎn)的位置關(guān)系，有且只有兩種情況，就是點(diǎn)在平面上，或點(diǎn)不在平面上，點(diǎn)在平面上的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足平面方程，點(diǎn)不在平面上時(shí)要考慮點(diǎn)到平面的離差，點(diǎn)到平面的距離.二、離差和距離

1.如圖3-4, 如果自點(diǎn)M0到平面?引垂線(xiàn)，垂足為Q，那么矢量射影叫做點(diǎn)M0與平面?的離差（或有向距離），記做?＝射影.2.點(diǎn)M0與平面?：?＝

?

＝0間的離差為 －p.在平面?的單位法矢量

上的其中 ＝.3.點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與平面?：xcos+ycos?+zcos?－p＝0間的離差是

?＝x0cos+y0cos?+z0cos?－p.4.點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與平面?： Ax+By+Cz+D＝0間的距離為

d＝|?|＝.5.平面?：Ax+By+Cz+D=0把空間劃分為兩部分，對(duì)于某一部分的點(diǎn)Ax+By+Cz+D>0；而對(duì)另一部分的點(diǎn)則Ax+By+Cz+D<0，在平面?上的點(diǎn)Ax+By+Cz+D＝0.例1.計(jì)算點(diǎn)M(－2, 4, 3)與平面?：2x－y＋2z＋3＝0間的離差和距離.解：將?化為法式方程

－所以

? ＝－(－2)+ ?4－

x + y－z－1＝0.，?3－1＝－

.例2.求通過(guò)x軸且與點(diǎn)M(5, 4, 13)相距8個(gè)單位的平面方程.解：由題意，設(shè)所求平面方程為 By + Cz＝0, 則

＝8，22平方化簡(jiǎn)

48B－104BC－105C＝0，(12B－35C)(4B+3C)＝0, 得

B＝，或

B＝－C, 故所求平面方程為 35y+12z＝0 及 3y－4z＝0.例3.求原點(diǎn)關(guān)于平面6x+2y－9z+121＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).解：將平面方程法式化

－，d＝| ? |＝則 ＝{, －, }，p＝11.設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為O?(x0, y0, z0)，由對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)可有＝2p, 即{x0, y0, z0}＝{－12, －4, 18}，故所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為O?(－12, －4, 18).例4.判別點(diǎn)M(2, －1, 1)和N(1, 2, 3)在由下列相交平面所構(gòu)成的同一個(gè)二面角內(nèi)，還是分別在相鄰二面角內(nèi)，或是分別在對(duì)頂二面角內(nèi)？

(1)?1：3x－y +2z－3＝0與 ?2：x－2y－z＋4＝0；(2)?1：2x－y +5z－1＝0與 ?2：3x－2y+6z－1＝0.解法一：設(shè)點(diǎn)M與平面?1, ?2間的離差分別為?M1, ?M2, 點(diǎn)N與平面?1, ?2間的離差分別為?N1, ?N2，則

M與N在同一二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1>0且?M2?N2>0；

M與N在相鄰二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1>0且?M2?N2<0, 或?M1?N1<0且?M2?N2>0;M與N在對(duì)頂二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1<0且?M2?N2<0.（1）把?i(i＝1,2)法式化

?1：?2：－

x－x＋

y+y+

z－z－

＝0, ＝0, , 則

?M1＝, ?M2＝－, ?N1＝－, ?N2＝－由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2>0, 所以M, N在相鄰二面角內(nèi).（2）把?i(i＝1, 2)法式化

?1：?2：

x－

＝0，y+z－＝0，x－y+z－則

?M1＝, ?M2＝, ?N1＝－, ?N2＝－, 由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2<0, 所以M, N在對(duì)頂二面角內(nèi).解法二：設(shè)f1(x, y, z)＝3x－y+2z－3, f2(x, y, z)＝3x－2y+6z－1.則 M, N在同一二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1M f1N>0且f2M f2N>0；

M, N在相鄰二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1Mf1N>0且f2M f2N<0, 或f1M f1N<0且f2M f2N>0;M, N在對(duì)頂二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1M f1N<0且f2M f2N<0.其中f1M表示f1(x, y, z)在M點(diǎn)的函數(shù)值，其余類(lèi)似.(1)由于f1M＝6, f1N＝－8, f2M =7, f2N=4，f1M f1N<0且f2M f2N>0，所以M, N在相鄰二面角內(nèi)

(2)類(lèi)似討論得M, N在對(duì)頂二面角內(nèi).例5.試求由平面?1: 2x－y+2z－3＝0與?2: 3x＋2y－6z－1＝0所構(gòu)成二面角的角平分面方程，在此二面角內(nèi)有點(diǎn)M(1, 2,－3).解：設(shè)P(x, y, z)為角平分面上任意一點(diǎn)，則依題意

＝，7(2x－y+2z－3)＝?3(3x+2y－6z－1).設(shè)f1(x, y, z)＝2x－y+2z－3，f2(x, y, z)＝3x+2y－6z－1.因?yàn)樗笃椒置娣贮c(diǎn)M所在的二面角，所以點(diǎn)P與M或者在同一二面角內(nèi)或者在對(duì)頂二面角內(nèi)，于是由第4題解法二知

或

此即

或

因?yàn)?/p>

f1(1, 2, －3)＝2×1－2＋2×(－3)－3＝－9<0，f2(1, 2, －3)＝3×1+2×2－6×(－3)－1＝24>0.所以無(wú)論何種情況，f1(x, y, z)與f2(x, y, z)符號(hào)相反，從而

7(2x－y+2z－3)＝－3(3x+2y－6z－1)，整理得

23x－y－4z－24＝0.作業(yè)題：

1.證明點(diǎn)M0(x0, y0, z0)到平面?：Ax+By+Cz+D＝0的距離是

d＝.2.求與平面2x－y－z＋3＝0的離差等于－2的點(diǎn)的軌跡.3.在z軸上求一點(diǎn)，使它到M(1, －2, 0)與到平面3x－2y＋6z－9＝0的距離相等.4.求到平面2x－y＋z－7＝0和平面x＋y＋2z－11＝0距離相等的點(diǎn)的軌跡.§3.3 兩平面的相關(guān)位置

一、位置關(guān)系

1.兩平面的位置關(guān)系有：相交，平行，重合三種.2.設(shè)兩平面?i：

Aix+Biy+Ciz+Di＝0(i=1,2), 則?1, ?2的法矢量為

＝{A1, B1 ,C1}，＝{A2, B2, C2}.與

不平行）.(1)?1, ?2相交的充要條件是: A1:B1:C1 ? A2:B2:C2（(2)?1, ?2平行的充要條件是:

(3)?1, ?2重合的充要條件是:

二、夾角

＝＝

＝＝

?＝

(（∥∥).).1.如圖3-5, 在{O;，}下，兩平面的夾角為：?(?1, ?2)＝? 或(?－?)，其中?＝?(,), 量，從而

(i＝1, 2)是平面?i的法矢cos?(?1, ?2)＝?cos?＝?＝?2.兩平面?1與?2相互垂直的充要條件是：

A1A2＋B1B2＋C1C2＝0..⊥

即

例1.由cos?(?1, ?2)＝?，?1//?2的充要條件

是

＝

＝.證明：因?yàn)?/p>

?1//?2（∠(?1, ?2)＝0或?），所以 cos?(?1, ?2)＝±1, 所以

±＝±1，2222222平方得

(A1A2+B1B2+C1C2)＝(A1+B1+C1)(A2+B2+C2)，A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2 ***222＝A1A2+B1B2+C1C2+A1B2+A1C2+A2B1+A2C1+B1C2+B2C1，整理得

222(A1B2－A2B1)＋(B1C2－B2C1)＋(C1A2－C2A1)＝0，所以

A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0,