第一篇：證明一、證明二、證明三_解直角三角形小結(jié)
北師大版證明一，證明二，證明三，解直角三角形知識點(diǎn)總結(jié)
證明
（一）1、本套教材選用如下命題作為公理：
（1）、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（2）、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（3）、兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）、兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（5）、三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（6）、全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。
此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看做公理。
2、平行線的判定定理
公理兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。
定理兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。
定理兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。
3、平行線的性質(zhì)定理
公理兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。
簡單說成：兩直線平行，同位角相等。定理兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。
簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。定理兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
4、三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180?。
5、三角形內(nèi)角和定理的推論
三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
證明
（二）一、公理（1）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。
（2）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。（3）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）。（4）全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。推論：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）。
二、等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）
（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。等腰三角形的其他性質(zhì)：
①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則
b
2 180???A22、等腰三角形的判定方法 (1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三、等邊三角形 性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）三線合一 判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 （3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 四、直角三角形 （一）、直角三角形的性質(zhì) 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余 2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。 3、在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30° 4、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 5、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a 2?b2 ?c2 其它性質(zhì)： 1、直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似。 2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得： 兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積（等面積法） （二）、直角三角形的判定 1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a 2?b2 ?c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 北師大版證明一，證明二，證明三，解直角三角形知識點(diǎn)總結(jié) （三）直角三角形全等的判定： 對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”） 五、角的平分線及其性質(zhì)與判定 1、角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。 2、角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)（三角形的內(nèi)心），并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。 3、角的平分線的判定定理： 在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。 六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定 1、線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。 線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)（三角形的外心），并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 七、反證法 八、互逆命題、互逆定理 1、在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。 2、如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。 證明 （三）一、平行四邊形 1、平行四邊形的定義 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 2、平行四邊形的性質(zhì) （1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。 （4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點(diǎn)是對角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。 （2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。 3、平行四邊形的判定 （1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 4、平行四邊形的面積 S平行四邊形=底邊長×高=ah 二、矩形 1、矩形的定義 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。 2、矩形的性質(zhì) （1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角都是直角 （3）矩形的對角線相等且互相平分 （4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點(diǎn)連線所在的直線。 3、矩形的判定 （1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形 4、矩形的面積 S矩形=長×寬=ab 三、菱形 1、菱形的定義 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 2、菱形的性質(zhì) （1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對角相等 （3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角 （4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。 3、菱形的判定 （1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形 （3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 4、菱形的面積 北師大版證明一，證明二，證明三，解直角三角形知識點(diǎn)總結(jié) S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半 四、正方形（3~10分） 1、正方形的定義 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。 2、正方形的性質(zhì) （1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角 （3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角 （4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點(diǎn)連線所在的直線。 3、正方形的判定 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種： 先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。 4、正方形的面積 設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b Sb 2正方形=a2 ?2 五、等腰梯形 1、等腰梯形的定義 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2、等腰梯形的性質(zhì) （1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。 （2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對角線相等。 （4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。 3、等腰梯形的判定 （1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）六、三角形中的中位線 1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。 3、常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有： 結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。 結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。 結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。 結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。 七、有關(guān)四邊形四邊中點(diǎn)問題的知識點(diǎn)： （1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形； （4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形； （5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形； （7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形； 解直角三角形 知識點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn) 一、直角三角形的性質(zhì)（3~5分） 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半?！螦=30°可表示如下： ?BC= 2AB∠C=90° 3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°可表示如下：?CD= 1AB=BD=ADD為AB的中點(diǎn) 4、勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a 2?b2 ?c25、攝影定理 在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項(xiàng) ∠ACB=90CD2?AD?BD AC2?AD?AB CD⊥BC2?BD?AB 6、常用關(guān)系式 由三角形面積公式可得： AB?CD=AC?BC 北師大版證明一，證明二，證明三，解直角三角形知識點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn) 二、直角三角形的判定（3~5分） 1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a 2?b2 ?c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？键c(diǎn) 三、銳角三角函數(shù)的概念（3~8分） 1、如圖，在△ABC中，∠C=90° ①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即 sinA? ?A的對邊斜邊?a c ②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即 cosA? ?A的鄰邊斜邊?b c ③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即tanA? ?A的對邊?A的鄰邊?a b2、銳角三角函數(shù)的概念 銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù) 4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)（2）平方關(guān)系 sin2A?cos2A? 1（3）倒數(shù)關(guān)系 tanA?tan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系 tanA= sinA cosA5、銳角三角函數(shù)的增減性 當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┛键c(diǎn) 四、解直角三角形（3~5） 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理論依據(jù) 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：a2 ?b2 ?c2 （勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系： sinA? ac,cosA?bc,tanA?ab,sinB?babc,cosB?c,tanB?a 平行四邊形 （一）教師：張賢班級：九（5）、（10） 執(zhí)行時(shí)間：2013年10月9日 一、溫故知新 1、平行四邊形的概念 2、平行四邊形的性質(zhì) ①邊②角③對角線④對稱性⑤面積 二、合作探究 1、證明：平行四邊形的對邊相等 已知： 求證： 證明： 2、平行四邊形的對角相等 已知： 求證： 證明： 3、等腰梯形同一底上上的兩底角相等 已知： 求證： 證明： 三、練一練：同一底上兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形 四、小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么收獲？ 五、當(dāng)堂檢測 1、等腰梯形的腰與上底相等且等于下底的一半，則該梯形的腰與下底的夾角為.2、梯形ABCD中，AD∥BC,BD平分∠ABC,∠C=60°,當(dāng)AB=CD=4時(shí)，梯形ABCD的周長 3．如圖在中，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的長．（6分） 4．如圖.在中，AD⊥DB，AC與BD相交于點(diǎn)O，OD=1，∠CAD=30°，求AC和DC的長．（8分） 平行四邊形 （二）教師：張賢班級：九（5）、（10） 執(zhí)行時(shí)間：2013年10月10日 一、溫故知新： （一）平行四邊形的判別條件1、2、3、4、二、合作交流 1、證明：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 已知： 求證： 證明： 2、證明：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 已知： 求證： 證明： 三、練一練 證明;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 四：課堂小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么收獲？ 五、達(dá)標(biāo)檢測 1、下面給出的條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（） Ａ．一組對邊平行，另一組對邊相等Ｂ．一組對邊平行，一組對角互補(bǔ) Ｃ．一組對角相等，一組鄰角互補(bǔ)Ｄ．一組對角相等，另一組對角互補(bǔ) 2、在下面給出的條件中，能判定四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形的是（） Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ 3、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＤ，ＭＮ∥ＡＢ，ＥＦ，ＭＮ相交于點(diǎn)Ｐ，則除平行四邊形ＡＢＣＤ外，圖中共有平行四邊形（） Ａ．４個(gè)Ｂ．６個(gè)Ｃ．８個(gè)Ｄ．１０個(gè) 4、用兩個(gè)全等的三角形按不同的方法拼成四邊形，在這些拼出的四邊形中，平行四邊形最多有（）Ａ．１個(gè)Ｂ．２個(gè)Ｃ．３個(gè)Ｄ．４個(gè) 5、在下列條件中，能判定四邊形ＡＢＣＤ為平行四邊形的是（） Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ 6．已知：如圖在中，AC，BD交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O，分別交CB，AD?的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：AE=CF．（10分） 6、已知：如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，點(diǎn)Ｇ，Ｈ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點(diǎn)，點(diǎn)Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ． 求證：四邊形ＥＧＦＨ是平四邊形．（10分） C 證明 （一）1交流必須對某些名稱和術(shù)語有共同的認(rèn)識才能進(jìn)行，為此，就要對名稱和術(shù)語的含義加以描述，做出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義。 2判斷一件事情的句子，叫做命題。如果一個(gè)句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。 3每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)，一般地，命題都可以寫成“如果??那么?..”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。4正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。 5要說明一個(gè)命題是假命題，通?？梢耘e出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。 6公認(rèn)的真命題稱為公理。除了公理外，其他真命題的正確性都通過真理的方法證實(shí)，推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理，而證明所需的定義，公理和其他定理都編寫在要證明的這個(gè)定理的前面。 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。 公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.公理 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。定理 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。 證明定理：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。這一定理可以簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。 三角形的一個(gè)外角等于和它相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 證明 （二）公理 三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）公理 兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）公理 兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)公理 全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。 推論 兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 推論 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。定理 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法。 定理 有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。 定理 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。.定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。 定理 如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 一個(gè)命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。 定理 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。定理 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 定理 在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。定理 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。 證明 （三）定理平行四邊形的對邊相等。定理平行四邊形的對角相等。 定理 同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。定理 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。定理 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。定理 矩形的四個(gè)角都是直角。定理 矩形的對角線相等。 推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。定理 菱形的四條邊都相等。 定理 菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角。定理 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 證明二測試題一 一、選擇題（每小題3分，共18分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A． 20或16B． 20C． 16D．以上答案均不對如圖，在下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（））.A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=1 BC，2第2題 則△ABC底角的度數(shù)為（）A、45°B、75°C、45°或75°D、60° 4、如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60° 5、在聯(lián)歡晚會上，有A、B、C三名同學(xué)站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位 置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A、三邊中線的交點(diǎn)B、三條角平分線的交點(diǎn) C、三邊上高的交點(diǎn)D、三邊中垂線的交點(diǎn) 6、如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=1，點(diǎn)D為AC 若∠APD=60°，則CD的長為() 二、填空題（每小題3分，共24分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，?BAD?80°，AB?AD?DC，則?C?度．如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，連接BE，則∠EBC 的度數(shù)為.9 如圖，有一底角為35°的等腰三角形紙片，現(xiàn)過底邊上一點(diǎn)，沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_，分成三角形 和四邊形兩部分，則四邊形中，最大角的度數(shù)是 10.用反證法證明 “三角形中至少有一個(gè)角不小于60°時(shí)，第一步為假設(shè)“”如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是．如圖，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC= F123A．2 B．3 C．4 D．1 P C 6題 B13、如圖，長方體的長為5，寬為5，高為8，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到對面的點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是 14、如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在X軸正半軸上，且OA=10，AB=4，P為OA的中點(diǎn)，D在BC上，⊿OPD是一邊長為5的等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 三、本大題共4小題，每題6分，共24分 15如圖5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 與BD 交于O，AC=BD．C D 求證：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°． A （1）用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；5圖 （2）在（1）中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù)． B如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC． （1）求∠ECD的度數(shù)； （2）若CE=5，求BC長． 18、閱讀下題及其證明 過程：已知：如圖，D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求證：∠BAE=∠CAE.證明：在△AEB和△AEC中，?EB?EC???ABE??ACE ?AE?AE? ∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 問：上面證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理根據(jù)； 若不正確，請指出錯(cuò)在哪一步？并寫出你認(rèn)為正確的推理過程。 19、如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B?處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A?處； （1）求證：B?E?BF； （2）設(shè)AE?a，AB?b，BF?c，試猜想a，b，c之間的一種關(guān)系，并給予證明． C在數(shù)學(xué)課上，林老師在黑板上畫出如圖所示的圖形(其中點(diǎn)B、F、C、E在同 一直線上)，并寫出四個(gè)條件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 請你從這四個(gè)條件中選出三個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題，并給予證明． 題設(shè)：；結(jié)論：(均填寫序號)F B A? E A 證明： 五、本大題共兩小題，每小題9分，共18分如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F． （1）猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）求線段BD的長．如圖 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O． （1）求證AD=AE；(2)連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明理由．如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CA． （1）求證：DE平分∠BDC； （2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證： ME=BD． 24如圖，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)． （1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動． ①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由； ②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？ （2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC 三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？ 重 慶 工 商 大 學(xué) Chongqing Technology and Business University 學(xué)籍證明 姓名： 性別： 學(xué)號： 出生年月： 年 月 日 該生為我校 學(xué)院 專業(yè) 級 班全日制（普通本科/應(yīng)用本科/專科）學(xué)生，學(xué)制 年。 該生自 年 月進(jìn)入我校學(xué)習(xí)，現(xiàn)為我校 年級學(xué)生。特此證明。 學(xué)院教務(wù)辦公室負(fù)責(zé)人或教學(xué)秘書審核簽字： 學(xué)院（蓋章） 年 月 日 注：此學(xué)籍證明格式適用于重慶工商大學(xué)全日制普通本科、應(yīng)用本科及高職?？茖W(xué)生，學(xué)生填寫時(shí)務(wù)必在普通本科、應(yīng)用本科及高職專科類別中選擇打√，蓋章處填寫清楚學(xué)院名稱及日期，持本人學(xué)生證到所在學(xué)院教務(wù)辦公室審核簽字并蓋所在學(xué)院公章即可。（教務(wù)處）第二篇：證明三：平行四邊形(一、二)
第三篇：證明(一)(二)(三)知識點(diǎn)總結(jié)
第四篇：證明二測試題一
第五篇：學(xué)籍證明(適用于一、二、三、四年級)
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