第一篇：幾何證明選講第一講：相似三角形

幾何證明選講

<<幾何證明選講>>知識框圖

第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

一．考綱要求

掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理。

二．知識梳理

1.平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2.平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。

3.相似三角形的判定及性質(zhì)

(1)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。AA

判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。SAS

判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比

1例，那么這兩個直角三角形相似。

(3)相似三角形的性質(zhì)：

相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比； 相似三角形周長的比等于相似比；

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。三．診斷練習(xí)

1．如圖1，ΔABC中，∠1=∠B，則Δ∽Δ．此時若AD=3，BD=2，則AC=． 2.如圖2，CD是RtΔABC的斜邊上的高．

（1）若AD=9，CD=6，則BD=；（2）若AB=25，BC=15，則BD=．

┐

D

B

C圖1 圖

23．兩個三角形相似，它們的周長分別是12和18，周長較小的三角形的最短邊長為3，則另

一個三角形的最短邊長為． 4.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于點(diǎn)F，B 若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為cm2． E

5.如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

DBF

于F，則=.FCF四．范例導(dǎo)析

1.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC的中線，P是AD上一點(diǎn)，CF//AB，BP的延長線分別交AC、CF于點(diǎn)E、F，求證：BP2＝PE·PF

D

C

2．在?ABC中，CD?AB于D，DE?AC于E，DF?BC于F,求證：?CEF∽?CBA

五．練習(xí)鞏固

1.（2011安徽）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分別為

B

AD，BC上點(diǎn)，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為

2.(2011年高考陜西卷理科15)（幾何證明選做題）如圖?B??D,AE?BC,?ACD?90,且AB?6,AC?4,AD?12,則BE?0

3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?b,CD?a,E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF

∥AB，且EF交BC于點(diǎn)F，某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

DEAEDEAEDE

?1時，有EF??2時，有EF??3時，有EF?

a?b2a?2b3a?3b

①當(dāng)②當(dāng)③當(dāng)

； ； ．

4AE

DE當(dāng)?k時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用k表示EF的一般結(jié)論是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求證：三角形ABC為等腰三角形

第二篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點(diǎn)，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點(diǎn)，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3

第三篇：選修4-1 幾何證明選講第1講平行截割定理與相似三角形 2

大千教育第1講平行截割定理與相似三角形

【2013年高考會這樣考】

考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用及直角三角形的射影定理的應(yīng)用．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

復(fù)習(xí)本講時，只要掌握好教材上的內(nèi)容，熟練教材上的習(xí)題即可達(dá)到高考的要求，該部分的復(fù)習(xí)以基礎(chǔ)知識、基本方法為主，掌握好解決問題的基本技能即可

.基礎(chǔ)梳理

1．平行截割定理

(1)平行線等分線段定理及其推論 ①定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．

②推論：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)而且平行于底邊的直線平分另一腰．

(2)平行截割定理及其推論 ①定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成比例． ②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，截得的三角形與原三角形的對應(yīng)邊成比例．

(3)三角形角平分線的性質(zhì) 三角形的內(nèi)角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比．

(4)梯形的中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．

2．相似三角形

(1)相似三角形的判定

①判定定理

a．兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．

b．兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．

c

②推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．

③直角三角形相似的特殊判定

斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似．

(2)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對應(yīng)線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方．

(3)直角三角形射影定理

直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積．

雙基自測

1．如圖所示，已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A，B，C和A′，3B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝2，則B′C′＝________.相似的三角形________．2．如圖所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，寫出圖中所有與△ACE

3．(2011·西安模擬)如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)O，那么△MON與△AOC面積的比是________．

4．如圖所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，則AC∶AE＝______，AD∶DB＝________.5．(2010·廣東)如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CDa＝2E、F分別為線段AB、AD的中點(diǎn)，則EF＝________.考向一平行截割定理的應(yīng)用

【例1】?(2011·廣州測試(二))在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點(diǎn)E、AE3F分別在AB、CD上，且EF∥AD，若EB4EF的長為________．

【訓(xùn)練1】 如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，則AB的長為________．

考向二 相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】?已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，點(diǎn)D是垂足． 求證：BC2＝2CD·AC.5，DE＝6，則BF＝________.3【訓(xùn)練2】(2011·惠州調(diào)研)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶

考向三 直角三角形射影定理的應(yīng)用

【例3】?已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點(diǎn)，過C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，則AD＝________.【訓(xùn)練3】 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.則△ACD與△CBD的相似比為________．

高考中幾何證明選講問題(一)

從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出，高考主要以填空題的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的應(yīng)用，難度不大．

【示例1】 ?(2011·陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.【示例2】?(2011·廣東)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________．

第四篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎(chǔ)知識填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項(xiàng).5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項(xiàng).切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.二、經(jīng)典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，F(xiàn)G//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點(diǎn)，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn) D、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(韶關(guān)一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點(diǎn)C，割線

PAB經(jīng)過圓心O，弦CD⊥AB于 點(diǎn)E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一

點(diǎn)C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．5.(韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點(diǎn)E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

BF=于F，則

FC

第2頁

9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線

PCD經(jīng)過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經(jīng)典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁

第五篇：幾何證明選講練習(xí)題

選修4-1幾何證明選講綜合練習(xí)題

1.如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE＝AC ,DE交AB于點(diǎn)F,且AB?2BP?4,（1）求PF的長度.（2）若圓F且與圓O內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長度。解：（1）連結(jié)OC,OD,OE,由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系 結(jié)合題中條件弧長AE等于弧長AC可得?CDE??AOC, 又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP, 從而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,E A F B 證明：（Ⅰ）?AB為切線，AE為割線, ?AB2?AD?AE又 ?AB?AC?(2)由（1）有?

AD?AE?AC2--------------5分

?ADC~?ACE

ADAC

?又??EAC??DAC?ACAE

?ADC??ACE 又??ADC??EGF ??EGF??ACE ?GF//AC

PFPD?,…………4? PCPO

PC?PD1

2??3.…………6? 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?

E PO

4（2）若圓F與圓O內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因?yàn)镺F?2?r?1即r?

1A

所以O(shè)B是圓F的直徑，且過P點(diǎn)圓F的切線為PT

2F B

5．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P，（I）求證：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長。22.解：（Ⅰ）連接AB，?AC是⊙O1的切線，??BAC??D，又??BAC??E，??D??E?AD//EC……………4分（Ⅱ）?PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線，?PA2?PB?PD,則PT

?PB?PO?2?4?8，即PT?…………10?

2.三角形ABC內(nèi)接于圓O，P在BC的延長線上，PA切圓O于A，D為AB的中點(diǎn)，PD交AC于E,AE?3EC,求

PA

.PC

?62?PB?(PB?9)?PB?3又⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC?BP?PE ?PE?4?AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，?AD2?DB?DE?9?16，?AD?12.………………10分

6．如圖，已知⊙O和⊙M相交于A,B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為弧BD中點(diǎn)，連結(jié)AG分別交⊙O,BD于點(diǎn)E,F，連結(jié)CE，PA2PA2PB?PCPB

解析：由PA?PC?PB,?()?，??

PCPCPC2PC2

過C作CH//AB，交PD于H，因?yàn)锽D?AD，PBBDADAEPA

????3，故?3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

?（Ⅰ）求證：AG?EF?CE?GD；（Ⅱ）求證：。AGCE2

證明：（I）連結(jié)AB，AC，∵AD為?M的直徑，∴?ABD?90，3．(本小題滿分12分)選修4－1：幾何證明選講如圖，已知點(diǎn)C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是?ACB的平分線并交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)，求?ADF的大小。

解：如圖，連接AO，因?yàn)锳C是圓O的切線，則?OAC?900，因DC是?ACB的平分線，又OA?OB，設(shè)?ACD??ECD??1,?ABO??BAO??2，在?ABC中，∴AC為?O的直徑，∴?CEF??AGD?90?．…………2分 ∵?DFG??CFE，∴?ECF??GDF，∵G為弧BD中點(diǎn)，∴?DAG??GDF．…………4分 ∵?ECB??BAG，∴?DAG??ECF，∴?CEF∽?AGD．…………5分

∴

CEAG

?，∴AG?EF?CE?GD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知?DAG??GDF，?G??G，2?2?2?1?900?1800??1??2?450，而在?ADC中，?ADF??1??2?90，故?ADF?45° …………10分

∴?DFG∽?AGD，∴DG2?AG?GF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 ??222

CEAGAGCE

4.如圖，AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割線，已知AC?AB，（Ⅰ）證明：AD?AE?AC；（Ⅱ）證明：FG//AC。

7．如圖，在?ABC中，?ABC?900，以BC為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，設(shè)E為AB的中點(diǎn)。（1）求證：直線DE為圓O的切線；（2）設(shè)CE交圓

O于點(diǎn)F，求證：CD?CA?CF?CE。

O，過點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長線于10．(本小題滿分10分)如圖，?ABC內(nèi)接于⊙

點(diǎn)D，且AB2?AP?AD。（1）求證：AB?AC；

O的半徑為1，（2）如果?ABC?600，⊙

且P為弧AC的中點(diǎn)，求AD的長。

8．在?ABC中，AB?AC，過點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長線于點(diǎn)D。

PCPD

（1）求證：；（2）若AC?3，求AP?AD的值。?

ACBD

解：（1）??CPD??ABC,?D??D，??DPC～?DBA，11．如右上圖，?ABC是直角三角形，?ABC?900，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC

邊的中點(diǎn)，連OD交圓O于點(diǎn)M，（Ⅰ）求證：O,B,D,E四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）求證：2DE2?DM?AC?DM?AB。

D

PCPDPCPD

又?AB?AC,?（5分）???

ABBDACBD

（2）??ACD??APC,?CAP??CAP,??APC～?ACD APAC，?AC2?AP?AD?9………（10分）??

ACAD

9．(本小題滿分12分)已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，CD是?ACB的平分線且交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D。（1）求?ADF的度數(shù)；（2）若AB?AC，求

AC的值。

BC

12．如圖，?ABC的外角?EAC的平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交?ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB,FC。

（1）求證：FB2?FA?FD；

（2）若AB是?ABC外接圓的直徑，且?EAC?120?,BC?6，求線段AD的長。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BF?EF．∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG?AG．∴?∴??．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）連結(jié)AO，AB．∵BC是?O的直徑，∴?BAC?90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜邊BE的中點(diǎn)，∴AF?FB?EF．

∴?FBA??FAB．又∵OA?OB，∴?ABO??BAO．∵BE是?O的切線，∴?EBO?90°．∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是?O的切線．

15．如圖，⊙O是?ABC的外接圓，D是弧AC的中點(diǎn)，BD交AC于E。（I）求證：CD2?DE?DB。（II）若CD?O到AC的距離為1，求⊙O的半徑。

AB?1，圓O的2

割線MDC交圓O于點(diǎn)D,C，過點(diǎn)M作AM的垂線交直線AD,AC分別于點(diǎn)E,F，證明：（Ⅰ）?MED??MCF；（Ⅱ）ME?MF?3。

13．如圖：AB是圓O的直徑（O為圓心），M是AB延長線上的一點(diǎn)，且MB?證明：（Ⅰ）連接BC得?ACB?90，所以?ACB??BMF?90，∴B,C,F,M四點(diǎn)共圓，∴?CBA??CFM，又∵?CBA??CDA??EDM ∴?EDM??CFM，在?EDM與?CFM中可知?MED??MCF。6分（Ⅱ）由?MED??MCF，得E,F,C,D四點(diǎn)共圓，∴ME?MF?MD?MC，又∵M(jìn)D?MC?MB?MA?3，∴ME?MF?3。┈┈┈┈┈10分

A

F

??

C

D

E

16．如圖所示，已知PA與?O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，D為?O上的點(diǎn)，且AD=AC，AD，M

O

14.如圖, 點(diǎn)A是以線段BC為直徑的圓O上一點(diǎn),AD?BC于點(diǎn)D,BC相交于點(diǎn)E。（Ⅰ）求證：AP//CD；（Ⅱ）設(shè)F為CE上的一點(diǎn)，且?EDF??P，求證：CE?EB?FE?

EP.過點(diǎn)B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點(diǎn)E, 點(diǎn)G是AD的中點(diǎn),連結(jié)CG并延長與BE相交于點(diǎn)F, 延長AF與CB的延長線相交于點(diǎn)P.（Ⅰ）求證:BF?EF；

（Ⅱ）求證:PA是圓O的切線；

證明：（Ⅰ）∵BC是?O的直徑，BE是?O的切線，∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．