第一篇：初三數(shù)學(xué)上第一章證明(二)知識點及典型題解析

初三數(shù)學(xué)上學(xué)期 第一章：證明(二)

考點1：利用定理證明

一、考點講解：

公理

1、一直線截兩條平行線所得的同位角相等，公理2．兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行．

公理3．若兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別相等，則這兩個三角形全等． 公理4．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．

定理1.平行線的性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

定理2．平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行．

定理3．三角形的內(nèi)角和定理及推論：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．

定理4．直角三角形全等的判斷定理：有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．

定理5．角平分線性質(zhì)定理及逆定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；三角形的三條角平分線相交于一點（內(nèi)心）

定理6．垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理：線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等；到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；三角形的三邊的垂直平分線相交于一點（外心）定理7．三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．

定理

8、等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)和判定定理．

二、經(jīng)典考題剖析：

【考題1－1】（2004、深圳南山，5分）如圖l－l－1，AB、CD交于點E，AD=AE，CB=CE，F(xiàn)、G、H分別是DE、BE、AC的中點．

（1）求證：AF⊥DE；

（2）求證：FH= GH．

證明：

（1）在△ADE中，AD=AE，F(xiàn)是DE的中點

∴ AF是等腰△ADE 底邊DE上的中線∴ AF⊥DE．

（2）連結(jié)GC．∵AF⊥DEH是AC 的中點

∴FH是Rt△AFC斜邊 AC上的中線∴FH?2AC 同理：GH?2AC∴FH=GH

【考題1－2】（2004、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.1

1(1)①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE

∵AC=BC∴△ADC≌△CEB

②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE

(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE∵AC=BC∴△ACD≌△CBE

∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE

(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－

AD.三、針對性訓(xùn)練：(15分鐘)

1．如圖1－1－4，Rt△ABC中，AC≠AB，AD是斜邊上的高；DE⊥AB，DF⊥

AC，垂足分別是E、F，則圖中與∠C（除∠C外）相等的角的個數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．

52．如圖1－1－5，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分線交于點O，設(shè)∠

BOC=α，則∠A等于（）?C.180?-2?D.180?-2A.90?-2?B.90?-?

3．如圖1－1－6，△ABC是不等邊

三角形，DE=BC，以D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可作出（）

A．2個B．4個C．6個D．8個

4．如圖1－1－7，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP重合，如果AP=3，則PP′的長等于（）

A．3B．23C．32D．

45．如圖1－1－8，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，點D、E、F分別是三邊的中點，且CF=2 cm，則DE=_________cm．

考點2：命題

一、考點講解：

1．命題的組成：命題由條件和結(jié)論兩部分組成．

2．命題的形式：命題的形式通常寫成“如果??，那么??”的形式．

3．真命題與假命題：正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題（注意：一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題〕

二、經(jīng)典考題剖析：

【考題2－1】（2004、南寧，8分）如圖1－1－14，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結(jié)論，推出一個正確的命題（只需寫出一種情況）

① AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠

C

點撥：解答本題時，可選取以上三種情況中的一種即可，注意：已知兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．

【考題2－2】（2004、江蘇鹽城，3分）下列命題中，假命題是（）

A．平行四邊形的對角線互相平分

B．矩形的對角線相等

C．等腰梯形的對角線相等

D．菱形的對角線相等且互相平分

解: D 點撥：當(dāng)菱形為正方形時，其對角線才有相等的性質(zhì)，而一般菱形不具有對角線相等的性質(zhì)．

三、針對性訓(xùn)練：(15分鐘)

1．下列命題中，真命題是（）

A．面積相等的兩個三角形是全等三角形

B．有兩邊及一組對應(yīng)角相等的兩個三角形全等

C．全等三角形的周長相等

D．有一條直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

2．下列命題中正確的是（）

A．實數(shù)是有理數(shù)B．無限小數(shù)是無理數(shù)

C．?dāng)?shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)

D．?dāng)?shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)

3．下列命題為假命題的是（）

A．等腰三角形的兩腰相等

B．等腰三角形的兩底角相等

C．等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合D．等腰三角形是中心對稱圖形

4．下列的真命題中，它的逆命題也是真命題的是（）

A．全等三角形的對應(yīng)角相等

B．兩個圖形關(guān)于軸對稱，則兩個圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.5．如圖1－1－15，在△ABC中，CD⊥ AB，請你添加一個條件，寫出一個正確的結(jié)論（不在圖中添加

輔助線）

條件：_____________________________________

結(jié)論：

_____________________________________

考點3：尺規(guī)作圖

一、考點講解：

1．五種基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作角的平分線；作線段的垂直平

分線；作三角形．

2．尺規(guī)作圖要求：了解尺規(guī)作圖的步驟，會寫已知、求作和作法（不要求證明）．

二、經(jīng)典考題剖析：

【考題3－1】（2004、湖北宜昌，7分）如圖1－l－17，已知△ABC，（1）作∠B的角平分線（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)

（2）若∠C=90○，∠B=60○，BC=4，∠B的平分

線交AC于點D，請求出線段BD的長．

解：（1）如圖1－1－18，BD為∠ABC的角平分線；

（2）因為BD為∠ABC的平分線，∠ABC=60○．

所以∠CBD=30○．又∠C=90○，所以 BD=2CD，設(shè)CD=x，則BD=2x．而BC=4，所以（2x）2－x2 =42所以,所以BD=

2點撥：求BD的長，也可利用三角函數(shù)知識求解．

三、針對性訓(xùn)練：(15分鐘)

1．利用基本作圖，不能作出唯一三角形的是（）

A．已知三邊B．已知兩邊及夾角

C．已知兩角及夾邊 D.已知兩邊及其中一邊的對角

2．用尺規(guī)作圖，不能作出唯一直角三角形的是（）

A．已知兩條直角邊B．已知兩個銳角

C．已知一直角邊和一銳角D已知斜邊和一直角邊

3．作線段的垂直平分線的理論，根據(jù)是_______和兩點確定一條直線．

4．請根據(jù)圖1－l－19所示的作圖痕跡，填寫畫線段AB的垂直平分線的步驟．

第一步：分別以_______、________為圓心，以大于_________半的長度為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別相交于點_____和_______；

第二步：經(jīng)過點_______和______畫______，直線CD就是線段AB的垂直平分線．

5、∠AOB如圖1－l－20所示，請用直尺和圓規(guī)作出∠AOB的平分線．要求保留作圖痕跡，不寫作法）

各地中考真題回顧

1、如圖1－1－22,在等腰Rt?ABC 中,AC=BC,以斜邊AB為一邊作等邊?ABD,使點C,D在AB的同側(cè);再以CD為一邊作等邊?CDE,使點C,E落在AD的異側(cè).若AE=1,則CD的長為（）

2、下面是數(shù)學(xué)課堂的一個學(xué)習(xí)片斷．閱讀后，請回答下面的問題：

學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個問題：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，請你求出其余兩角”．

同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講“其余兩角是30°和120°”；王華同學(xué)說：“其余兩角是75°和75°”．還有一些同學(xué)也提出了不同的看法??．

（1）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？

（2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）

3、如圖，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點P沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設(shè)它們運動的時間為x(s)。A

⑴、求x為何值時，PQ⊥AC；

⑵、設(shè)△PQD的面積為y(cm2)，QO

當(dāng)0＜x＜2時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑶、當(dāng)0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積； 圖1－1－24 BD

⑷、探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系。請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程)

4、已知：如圖1－1－24，AG∥BC，DE∥AG，GF∥AB，點點E為AC的中點，求證：DE=FC5、已知：如圖1－1－25，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB,AB=2，BD=l，過點D作DM⊥AD交AC于點M，DM的延長線與過點C的垂線交于點P．

(1)求sin∠ACB的值；

(2)求MC的長；

圖

－1－

5(3)若點Q以每秒1個單位的速度由點C向點P運動，是否存在某一時刻t，使四邊形ADQP的面積等于四邊形ABCQ的面積；若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

6、如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求證：BD＝CD7、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則頂角的度數(shù)為（）圖1－1－26(A)60?(B)120?(C)60?或50?(D)60?或120?

8、已知△ABC，(1)如圖1－1－27，若P點是?ABC和?ACB的角平分線的交點，則 ?P=90??1?A； 2

(2)如圖1－1－28，若P點是?ABC和外角?ACE的角平分線的交點，則?P=90???A；

(3)如圖1－1－29，若P點是外角?CBF和?BCE的角平分線的交點，則?P=90??2?A。

第二篇：初三數(shù)學(xué)《證明二》測試題

初三數(shù)學(xué)《證明二》測試題

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、兩個直角三角形全等的條件是（）

A、一銳角對應(yīng)相等 B、兩銳角對應(yīng)相等 C、一條邊對應(yīng)相等D、兩條邊對應(yīng)相等

2、如圖，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根據(jù)是（）

A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

7、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=12cm，則△DEB的周長（）

A、6cmB、8cmC、12cm D、24cm8、如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）是（）

A.2mB.3mC.6mD.9m9、如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，如果添加

一個條件，即可推出AB=AB′，那么該條件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACBD、∠ABC=

∠AB′C10、如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE

A.△ABC 的三條中線的交點B.△ABC 三邊的中垂線的交點 C.△ABC 三條角平分線的交點D.△ABC

與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結(jié)論要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正確結(jié)論的個數(shù)（）

4．如圖所示，AB = AC，要說明△ADC≌△AEB

不能是（．．BE)A．∠

B ＝∠CB.AD = AEC．∠ADC＝∠AEBD.DC =

A．1個B．2個C．3個D．4個

二、填空題(每小題3分，共30分)

1、如果等腰三角形的一個角是80°，那么頂角是().2、等腰三角形的兩個底角相等的逆命題是()．

3、等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形周長分為15cm和12cm的兩部分，則底邊長為()．

5、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交CB邊于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于60°的角的個數(shù)為（）A、2B、3C、4D、56、如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得?ABC為等腰三角形，則．．．．．

C的個數(shù)是（）

A．6

是點

4、如圖，點F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補(bǔ)充一個條件()

5、如圖，點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，則∠C=()°.B．7 C．8 D．96、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC邊上的中線AD=4cm，則∠ADC的度數(shù)是()度.7、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點，則∠BCD的度數(shù)為().8、如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為()cm.9、等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為().10、如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的結(jié)論是()（注：將你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上．）

三、解答題

1、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC2、如圖，△ABC中，AD⊥BC于D,AB+BD=DC,求證：∠B=2∠C3、如圖，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分別是點E,F.BE,CF 交于點D，且BD=CD，求證：AD平分∠BAC.（選做）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．

（1）求證：AB＝BC；（2）當(dāng)BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE＋CD．

C D

（選做）

5、如圖，一個含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

第三篇：北師大初三數(shù)學(xué)證明二知識要點

證明

（二）知識點一、三角形分類：

?鈍角三角形

1.按角分??直角三角形

??

銳角三角形?不等邊三角形2.按邊分?

??底和腰不相等的等腰三角形

?等腰三角形?

??底和腰相等的等腰三角形（即等邊三角形）

二、三角形全等 1.三角形全等判定方法

① 公理 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡稱“邊邊邊”或“SSS”）

② 公理 兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡稱“邊角邊”或“SAS”）③ 公理 兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡稱“角邊角”或“ASA”）④ 推論 兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。

（簡稱“角角邊”或“AAS”）

⑤ 定理 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

（簡稱“斜邊、直角邊”或 “HL”）2.全等三角形性質(zhì)

公理 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。

三、等腰三角形

（）定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。??

?(2)判定：可用定義

?1.等腰三角形?有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱:等角對等邊）?

?(3)性質(zhì)： 定理 等腰三角形的兩個底角相等。（簡稱:等邊對等角）

??

推論 等腰三角形頂多的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合。??（簡稱“三線合一”）??等腰三角形是軸對稱圖形。（）定義：? 三條邊相等的三角形是等邊三角形。?

1?(2)判定：可用定義

?有一個角等于60?2.等邊三角形?的等腰三角形是等邊三角形。?

?三個角都相等的三角形是等邊三角形。

??

(3)性質(zhì)： 等邊三角形的三邊相等。??等邊三角形三個角都相等且都等于60?。??等邊三角形具有等腰三角形的性質(zhì)。

四、直角三角形。

1.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

2.勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角

三角形；

3.性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

4.判定定理：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。

5.性質(zhì)定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

五、線段的垂直平分線。

1.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；

（線段垂直平分線上的點有何性質(zhì)）

2.判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

（滿足什么條件的點在線段的垂直平分線上）

3.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。角平分線。（這一點叫做三角形的外心）

4.外心：三角形三條垂直平分線的交點叫做三角形的外心。5.三角形外心的性質(zhì)：外心到三角形三個頂點的距離相等。

六、角平分線上

1.性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

（角平分線上的點有何性質(zhì)）

2.判定定理：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

（滿足什么條件的點在角平分線上）

3.三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（這一點叫做三角形的內(nèi)心）

4.內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心。5.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三條角平分線的距離相等。4.逆命題、互逆命題的概念，及反證法

如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

七、反證法、逆命題、互逆命題、互逆定理。

第四篇：初中數(shù)學(xué)幾何證明中考知識點真題

10．（3分）（2015?攀枝花）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，連接CG與BD相交于點H．給出如下幾個結(jié)論： ①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=

CG

2；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．

其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A．4 B． 3

考點： 四邊形綜合題．.分析： ①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；

②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，易求后者的面積； ③過點F作FP∥AE于P點，根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF； ④因為點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，當(dāng)點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點時，CG⊥BD；

⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°． 解答： 解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴點B、C、D、G四點共圓，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴GM=CG，CM=

CG，∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=

CG2，故本選項錯誤；

③過點F作FP∥AE于P點（如圖2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，C．∴ 2 FP：BE=FP：

=1：D6．，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項正確；

④當(dāng)點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點時（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC與△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個，故選B．

點評： 此題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．

第五篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明、計算題及解析

1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值.AB[解析]（1）過A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?

(2)等腰三角形.2?1.即DC=BC.2F

D

C證明：因為DE?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以，△DEC≌△BFC

所以，CE?CF,?ECD??BCF.所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90?

即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè)BE?k,則CE?CF?

2k，所以EF?.因為?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k32、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 2

2∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形 AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四邊形 AGBD 是平行四邊形．

∵四邊形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ． ∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．∴四邊形AGBD是矩形

3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段

BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

A(B(E)

圖13－1 圖13－

2圖13－

3[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

4、如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD?，求CD的長；

5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留?）。

[解析]（1）因為AB是⊙O的直徑，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

BD

AB

3BD

3?，所以BD?6 又sin∠BAD?，所以

5105

在Rt△ABD中，sin∠BAD?

AD?

AB2?BD2?2?62?8

因為∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DE·AB?AD·BD，CE?DE 所以DE?10?8?6 所以DE?5

485

所以CD?2DE?

（2）因為AB是⊙O的直徑，AB⊥CD

所以CB?BD，AC?AD

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因為AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO

設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x 因為∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x?4x?x?90? 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°

⌒⌒⌒⌒

S扇形OAC?

100125

???52??360185、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G.

（1）求證：點F是BD中點；（2）求證：CG是⊙O的切線；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

[解析](1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

EHAECE，∵HE＝EC，∴BF＝FD

??

BFAFFD

(2)方法一：連接CB、OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′

方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可證得：FA＝FG，且AB＝BG由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○

1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半徑為226、如圖，已知O為原點，點A的坐標(biāo)為（4，3），⊙A的半徑為2．過A作直線l平行于x軸，點P在直線l上運動．（１）當(dāng)點P在⊙O上時，請你直接寫出它的坐標(biāo)；

（２）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由.[解析]

解: ⑴點P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C為垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠

1∴△ACP∽△OBP

?

ACAP

?OBOP

AC? 在Rt?OBP中,OP又AP=12-4=8,∴ 3∴

∴

AC=241.9

4∵1.94<

2∴OP與⊙A相交.7、如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C.求證：∠ACB=

∠OAC.3O

A

B

[解析]

證明：連結(jié)OE、AE，并過點A作AF⊥DE于點F，（3分）

∵DE是圓的一條切線，E是切點，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠

3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵點A是OB的中點，∴點F是EC的中點.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=

∠OAC.3

?

8、如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為60． ⑴求AO與BO的長；

⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行.①如圖2，設(shè)A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米；

②如圖３，當(dāng)A點下滑到A’點，B點向右滑行到B’點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P’點．若∠POP’＝ 15，試求AA’的長．

?

[解析]

⑴Rt?AOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，?

?

?

AB?2米

.2

OA?AB?sin60??4?.--------------(3分)

∴OB?

⑵設(shè)AC?2x,BD?3x,在Rt?COD中,OC?2x,OD?2?3x,CD?4

根據(jù)勾股定理:OC2?OD2?CD2

∴?2x

?

??2?3x?2

?42-------------(5分)

∴13x2

??12?x?0 ∵x?0∴13x?12?83?0

∴x?-------------(7分)

即梯子頂端A沿NO

.----(8分)

⑶∵點P和點P?分別是Rt?AOB的斜邊AB與Rt?A'OB'的斜邊A'B'的中點∴PA?PO，P'

A'?P'O-------------(9分)∴?PAO??AOP,?P?A?O??A?OP?-------(10分)∴?P?A?O??PAO??A?OP???AOP

∴?P?A?O??PAO??POP??15?

∵?PAO?30?

∴?P?A?O?45?

-----------------------(11分)

∴A?O?A?B??cos45?

?4?

分)

∴AA??OA?A?O?米.--------(13分)