第一篇：隨機(jī)變量的均值與方差的計算公式的證明

隨機(jī)變量的均值與方差的計算公式的證明

姜堰市勵才實(shí)驗學(xué)校姜近芳

組合數(shù)有很多奇妙的性質(zhì),筆者試用這些性質(zhì)證明了隨機(jī)變量的均值與方差的兩組計算公式。

預(yù)備知識: 1.kCn?k?n?1?!?nCk?1 k?n!?n?n?1k?1!?n?k!k!?n?k!

k?1k?1k?1k?1k?2k2.k2Cn=nkCn?1?nCn?1?n?k?1?Cn?1=nCn?1?n?n?1?Cn?2

3.N個球中有M個紅色的,其余均為白色的,從中取出n個球,不同的取法有: 0n1n?12n?2ln?ln?n,M??.CMCN?M?CMCN?M?CMCN?M???CMCN?M?CN?l?min

公式證明:

1.X～B?n,p??1?E?X??np.?2?V?X??np?1?p?.證明:E?X??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn

001?0?Cnp?1?p??Cnp?1?p?n

0?nCn1?p??1p?n?122?2Cnp?1?p?n?2n?2nn???nCnp ?n?112?Cn1?p??1p?n?1n???Cn?1p ?

?np??1?p??p?

?np.n?1

V?X???x1???p1??x2???p2????xn???pn 222

?x1p1?x2p2?x3p3???xnpn

?2??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn?

??22222?p1?p2?p3???pn?

n?122?22Cnp?1?p?

n?1n?2nn???n2Cnp?2?2??2 n?1n?1 ???Cn?1p

n?3n?2n?2???Cn??2 ?2p1?Cnp?1?p?0?npCn1?p??1??1?Cn1?p??1p?n?2n?2?0?n?n?1?p2Cn1?p??2??1?Cn1?p??2p??

?np??1?p??p?

?np?1?p?.n?1?n?n?1?p2??1?p??p?n?2?n2p2

2.X～H?n,M,N??1?E?X? =nMnM?N?M??N?n?.?2?V?X??.NN2N?1證明:E?X??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn?l?min?n,M???10n1n?12n?2ln?l0?CC?CC?2CC???lCCMN?MMN?MMN?MMN?M nCN??

?M0n?11n?2l?1n?lCC?CC???CCM?1N?MM?1N?MM?1N?M nCN??

?

=Mn?1?CN?1 nCNnM.N

222V?X???x1???p1??x2???p2????xn???pn

2222?x1p1?x2p2?x3p3???xnpn

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?120n21n?122n?22ln?l20?CC?1?CC?2CC???lCC?? MN?MMN?MMN?MMN?MnCN??

=10n?11n?2l?1n?l〔MCM?1CN?M?CM?1CN?M???CM?1CN?M? nCN??

M?M?1?CM?2CN?M?CM?2CN?M???CM?2CN?M〕?? 0n?21n?3l?2n?l2??

1?nM?n?1n?2?nM?CN???MM?1C??? ?1N?2NCN????2

nMn?n?1??nM???M?M?1????? NNN?1?N?2?

nM?N?M??N?n?.N2N?1

第二篇：離散型隨機(jī)變量的方差教案

離散型隨機(jī)變量的方差一、三維目標(biāo)：

1、知識與技能：了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。

2、過程與方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應(yīng)用上述公式計算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。

3、情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價值。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

三、教學(xué)難點(diǎn)：

四、教學(xué)過程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1..數(shù)學(xué)期望

則稱 E??x1p1?x2p2???xnpn??為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．2.數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平

3.期望的一個性質(zhì): E(a??b)?aE??b

5、如果隨機(jī)變量X服從二項分布，即X ～ B（n,p），則EX=np

（二）、講解新課：

1、(探究1)某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？1?1?1?1?2?2 X??2?3?3?410?1?

432110?2?10?3?10?4?10?2

(探究2)某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？

s2?1[(x1?x)2???(xi?x)2???(x2 n

n?x)]

s2?1

[(1?2)2?(1?2)2?(1?2)2?(1?2)2?(2?2)2

?(2?2)2?(2?2)2?(3?2)2?(3?2)2?(4?2)2]?1

s2?4?(1?2)2?3?(2?2)2?2?(3?2)21101010?10?(4?2)22、離散型隨機(jī)變量取值的方差的定義: 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布為：

則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,?n)相對于均值EX的偏離程度，而n

DX ??(x2i?EX)pi

i?

1為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度。我們稱DX為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根DX叫做隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的平均程度，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基礎(chǔ)訓(xùn)練

求DX和DX解：EX?0?0.1?1?0.2?2?0.4?3?0.2?4?0.1?

2DX?(0?2)2?0.1?(1?2)2?0.2?(2?2)2?0.4?(3?2)2?0.2?(4?2)2?0.1?1.2

= 40 000;

DX?.2?1.09

5（四）、方差的應(yīng)用

用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。解：EX1?9,EX2?9DX1?0.4,DX2?0.8

表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在9環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在8－10環(huán)。

問題1：如果你是教練，你會派誰參加比賽呢？

問題2：如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？

問題3：如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？

解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1= 1400 ,DX1 =(1200-1400)2 ×0.4 +(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX2 =(1000-1400)2×0.4+(1 400-1400)×0.3 +(1800-1400)2×0.2 +(2200-1400)2×0.l

= 160000.因為EX1 =EX2, DX1

（五）、幾個常用公式：

（1）若X服從兩點(diǎn)分布，則DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(六）、練習(xí)：

1、已知??3??18，且D??13,則D??

2、已知隨機(jī)變量X的分布列

求DX和 DX3、若隨機(jī)變量X滿足P（X=c）=1,其中c為常數(shù)，求DX。

(七)、小結(jié)：

1、離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差及意義

2、記住幾個常見公式：

（1）若X服從兩點(diǎn)分布，則DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(八)、作業(yè)：P691、4

第三篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達(dá)方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現(xiàn)實(shí)生活中更經(jīng)常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實(shí)值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應(yīng)用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數(shù)目足夠大時無限趨近于真實(shí)值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯(lián)系我。

祝好！

陳謝晟

第四篇：不等式證明,均值不等式

1、設(shè)a,b?R，求證：ab?(ab)?aba?b2?abba2、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設(shè)a,b?R?，且a?b?1，求證：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求證：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求證：a?b?

7、a,b,c,d?R求證：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求證：?2n?1n?22n10、求下列函數(shù)的最值

（1）已知x＞0，求y?2?x?

（2）已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2）x1的最小值（4）x?

2111（3）已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（）221611、若正數(shù)a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正數(shù)a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為（）（4）

13、求函數(shù)y?

14、二次函數(shù)f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范圍（）（0，15、關(guān)于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個實(shí)數(shù)根，且一個大于1，一個小于1，則m的取值范圍是（）（m＜-

22221）

416、關(guān)于x的方程mx?2x?1?0至少有一個負(fù)根，則m的取值范圍是（m?1）

17、關(guān)于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個實(shí)數(shù)根，一個小于1，另一個大于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（k＞0或k＜-4）

218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在（-2,2）內(nèi)，求p的取值范圍（-＜p＜

19、函數(shù)f(x)?ax2?x?1有零點(diǎn)，則a的取值范圍是（a?

20、判斷函數(shù)f(x)?x-

21、已知方程x?22343）41）41?1的零點(diǎn)的個數(shù)（一個）x3?95?x?k在??1,1?上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（??,?）2?162?

22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個實(shí)數(shù)根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范圍（(?2,?1)?(3,4)）

23、關(guān)于的方程2ax?x?1?0在（0,1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1,??)

24、若關(guān)于的方程lg(x

x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實(shí)根，求a的取值范圍

第五篇：均值不等式證明

均值不等式證明

一、已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1求證

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時取等

也就是xy=1時

畫出xy+1/xy圖像得

01時，單調(diào)增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得證

繼續(xù)追問：

拜托，用單調(diào)性誰不會，讓你用均值定理來證

補(bǔ)充回答：

我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：

證xy+1/xy≥17/4

即證4(xy)2-17xy+4≥0

即證(4xy-1)(xy-4)≥0

即證xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1顯然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得證

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x2y2-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!

二、已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。

概念：

1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù)：Qn=√

這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時勸=”號

均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=^(1/r)(當(dāng)r不等于0時);

(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

則有：當(dāng)r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。

引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。

原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

當(dāng)n=2時易證;

假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當(dāng)n=k+1時，不妨設(shè)a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

設(shè)s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設(shè)

下面介紹個好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個點(diǎn)，則有：f≥1/n*

設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。