第一篇：n次方差的證明

n次方差公式的證明方法

n次方差公式：

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)，n?N?

證法一：

an?bn?an?an?1b?an?1b?an?2b2?an?2b2?.....?abn?1?bn

?an?1(a?b)?an?2b(a?b)?.....?bn?1(a?b)?(a?b)(a

證法二： n?1?an?2b?.....?bn?1)

?b?設等比數(shù)列?an?的通項公式為an???，則其前n項和為：

?a?

n??b?n?b??b???1????b?1????23n?1na?b?b??b???a?????a???b(an?bn)?b??b?????????......?????????nba?a??a?a?ba(a?b)?a??a?1?a23n?1n n??a(a?b)bbbbb????????故：an?bn?????????......???????b?a??a????a?a??a??n ?(a?b)?an?1?an?2b?an?3b2?......?abn?2?bn?1?

第二篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現(xiàn)實生活中更經(jīng)常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數(shù)目足夠大時無限趨近于真實值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯(lián)系我。

祝好！

陳謝晟

第三篇：二項分布的期望與方差的證明

二項分布的期望與方差的證明

二項分布是概率統(tǒng)計里面常見的分布，是指相互獨立事件n次試驗發(fā)生x次的概率分布，比較常見的例子。種子萌發(fā)試驗，有n顆種子，每顆種子萌發(fā)的概率是p，發(fā)芽了x顆的概率就服從二項分布。

如果還是迷茫，就聽我說說故事，在古代，大概明末清初的時候，瑞士有個家族，叫伯努利家族，出了很多數(shù)學家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比較喜歡做試驗，他的試驗有特點，是一系列的試驗，沒發(fā)生就是失敗，而且每次的成功概率都是p，若果失敗了就是q=(1-p)，只有這兩種情況，后來人們給了這除了成功就是失敗的性質(zhì)一個比較抽象的名稱，叫相互對立事件。在這些試驗中，每次得出的結果與其他次試驗都不發(fā)生關系，同樣人們也給了這種不發(fā)生關系的性質(zhì)一個比較抽象的名稱，叫相互獨立事件，同時把這種試驗叫做伯努利試驗。在n次伯努利試驗中，發(fā)生x次的概率滿足二項分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出發(fā)生x次的概率為C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因為決定該分布的只有n、p，所以為了簡單起見，人們把x服從n，p的二項分布記做x～B(n，p)。

現(xiàn)在的目標是計算二項分布的期望和方差，在網(wǎng)上尋找二項分布的期望和方差大都給一個結果，np、npq，很難找到它是怎么來的。好不容易查到，還是花錢才能看的，就那幾步過程，有必要藏著蓋著嗎？今天我把過程寫出來，讓大家都了解了解，都是原創(chuàng)，互相學習，希望支持。

首先，不厭其煩地說一下期望與方差的關系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自變量記做ξ，如果對于結果為ξ的概率為Pξ那么，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外還有一個常見的量叫做標準差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根據(jù)方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因為∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面計算數(shù)學期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p

如果要計算方差，根據(jù)公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出結果，過程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二項分布的期望與方差的證明，過程比較簡單，就是一個思路，要想更深入的領悟，就須要自己親自地證明一遍了，也許你的方法將會更簡單……

第四篇：方差 教案設計

方差 教案設計

教學設計示例1 第一課時 素質(zhì)教育目標(一)知識教學點

使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.(二)能力訓練點 1.培養(yǎng)學生的計算能力.2.培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.(三)德育滲透點

1.培養(yǎng)學生認真、耐心、細致的學習態(tài)度和學習習慣.2.滲透數(shù)學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.(四)美育滲透點

通過本節(jié)課的教學，滲透了數(shù)學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學生對美好事物的追求，岣哐???STRONG數(shù)學美的鑒賞力.重點難點疑點及解決辦法 1.教學重點：方差概念.2.教學難點 ：方差概念.3.教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)

第 1 頁 的波動大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢?為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢?對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.4.解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時的情況.教學步驟(一)明確目標

前面我們學習了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，這節(jié)課我們將進一步學習衡量樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的另一類特征數(shù)方差、標準差及其計算.這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解.(二)整體感知

對于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關心它的集中趨勢以外，還關心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標準差.(三)教學過程

1.請同學們看下面的問題：(用幻燈出示)

第 2 頁 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進行測量，記錄

教師引導學生做出表格，觀察表里的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個機床做得好呢? 對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數(shù).教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(請兩名同學到黑板計算)計算的結果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎?不能!我們再觀察上圖(給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別)從圖中看到，機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這 說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好.教師說明：從上面看到，對于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小，為提出方差概念做好了準 備.第 3 頁 2.方差概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值，再取其平均數(shù)，用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大.教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握.在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差?(教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消)為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而要將它們平方?(教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的功能上，方差更強些)為什么要除以數(shù)據(jù)個數(shù)n?(是為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響).在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個機床做得更好.教師范解

從 知道，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10

第 4 頁 個零件直徑波動要大.這樣做使學生深刻體會到數(shù)學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學生應用數(shù)學的意識.3.例1(用幻燈出示)已知兩組數(shù)據(jù)： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.讓學生自己動手計算，求平均數(shù)時激發(fā)學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算.解：根據(jù)公式②(取)，有

從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.4.標準差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術平方根

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標準差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.教師引導學生分析方差與標準差的區(qū)別與聯(lián)系：

計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.課堂練習教材P165中(1)、(2)(四)總結、擴展

知識小結：通過這節(jié)課的學習，使我們知道了對于一組數(shù)據(jù)，第 5 頁 有時只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動大小;而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.方法小結：求一組數(shù)據(jù)方差的方法;先求平均數(shù)，再利用③求方差，求一組數(shù)據(jù)標準差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的方差，然后再求方差的算術平方根.布置作業(yè)

教材P173中1，2(1)(2)板書設計 14.3 方差(一)方差公式③ 引例 例1 標準差公式④ 教學設計示例2

一、教學目的

1.使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.2.使學生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.二、教學重點、難點

重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.難點：樣本方差、樣本標準差的計算.三、教學過程

第 6 頁 復習提問

計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法? 引入新課

在很多實際問題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動大小?這正是我們要解決的問題.新課

引例 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進行測量，結果如下(單位：毫米)：

表中數(shù)據(jù)表成如下形式：

可在此處讓學生用公式②分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學生a取什么值最好，這樣學生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當學生算出如下平均數(shù)：

讓學生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好?提出問題讓學生議議后，再引導學生看圖1，讓學生認識到機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好.這反映出，對一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，第 7 頁 還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).在此處要告訴學生：描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹方差即是一種方法.即：

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.要強調(diào)一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大.條件許可時，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請兩個學生計算引例中機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.從0.0260.008可以比較出，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)例1 已知兩組數(shù)據(jù)： 分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.講此例后，要強調(diào)求解步驟為：

(1)求平均數(shù);(2)求方差;(3)比較方差得出結論.此后接前面問題說，用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標準差，即

公式④(即標準差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量.在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標準差，可讓學生算一下，得出： 說明：計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.第 8 頁 小結

1.本課學了計算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.2.本課在方差的基礎上又學了計算一組數(shù)據(jù)的標準差的公式④.練習：選用課本練習題.作業(yè) ：選用課本習題.四、教學注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.教學設計示例3

一、教學目的

1.使學生進一步理解方差、標準差的意義.2.使學生掌握利用簡化公式計算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.3.使學生會根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.二、教學重點、難點

重點：簡化計算一組數(shù)據(jù)的方差公式.難點：利用方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.三、教學過程 復習提問

1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標準差? 2.一組數(shù)據(jù)的方差和標準差應如何計算? 引入新課

第 9 頁 我們看到，用公式③計算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么，有否較簡便的計算方法呢? 新課

教師應在黑板上進行如下推導：

推導上述公式后，可讓學生仿①～④四個公式的方法歸納推理出如下結論：

一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：

在這時，教師要強調(diào)：當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便.例2 計算下面數(shù)據(jù)的方差(結果保留到小數(shù)點后第1位)： 3-1 2 1-3 3 教師可讓學生共同來完成此例.接下來教師按教材指出，當一組數(shù)據(jù)較大時，可按下述公式計算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，xn=xn-a，x1，x2，xn是原已知的n個數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個常數(shù).為使學生對公式⑥加深印象，可讓學生用公式⑥解下例.例3 甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測驗成績?nèi)缦?單位：分)：

哪個小組學生的成績比較整齊?

第 10 頁 解后，指出解題步驟有如下三步：(3)代入公式⑥計算方差并比較得解.小結

1.本課介紹了當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時，用以計算方差的簡化計算公式⑤.2.本課又學習了當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時，用以計算方差的簡化公式⑥.練習：選用課本練習題.作業(yè) ：選用課本習題.補充作業(yè)

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13，標準差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標準差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次數(shù)學考試中，甲、乙兩校各8個班，不及格的人數(shù)分別如下：

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.四、教學注意問題

要注意給學生講如下三點：

1.方差與標準差是衡量樣本和總體波動大小的特征數(shù).2.用簡化計算公式求方差較為方便.3.對同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動小、方差大的波動大

第 11 頁

第 12 頁

第五篇：計量經(jīng)濟學隨機項方差無偏估計量的證明

?i，是完全可以計因為，樣本殘差可以看作是總體隨機項的估計量，而樣本殘差?i?yi?y

算的，因此，可以用樣本殘差的方差來估計總體隨機項的方差。

我們目的是得到?的無偏估計量，因此，我們需要確定樣本殘差平方和的自由度fe，使得

???i??2?

???2（3.4.3）E?

??fe??

由于?0，所以，上式等價于

??i2?

???2（3.4.4）E?

?f??e?

可以證明fe?n?2，其中n是樣本容量。下面給出證明：