第一篇：第2講數(shù)學(xué)證明(教師版)
第2講數(shù)學(xué)證明方法
基礎(chǔ)知識(shí)自主梳理
一．直接證明方法
1．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式．
2．一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)演繹推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫作綜合法
3．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．
二．間接證明方法
1．反證法：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫作反證法．
2．反證法的證題步驟：
(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 難點(diǎn)疑點(diǎn)清零
1.綜合法與分析法
（1）綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?；分析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因．
（2）分析法證題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語(yǔ)．
(3)綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知．
(4)分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知．
(5)分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考．實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái).2．反證法
（1）證明的基本步驟是：1)假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的；(反設(shè))2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾；(推謬)3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論是正確的．(結(jié)論)
（2）反證法證題與“逆否命題法”是否相同？
反證法的理論基礎(chǔ)是逆否命題的等價(jià)性，但其證明思路不完全是證明一個(gè)命題的逆否命題．反證法在否定結(jié)論后，只要找到矛盾即可，可以與題設(shè)矛盾，也可以與假設(shè)矛盾，與定義、定理、公式、事實(shí)矛盾．因此，反證法與證明逆否命題是不同的． 題型探究
探究點(diǎn)一：綜合法證題
例1：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．
證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C①，由A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π②，由①②，得B＝a，b，c成等比數(shù)列，有b2＝ac④，由余弦定理及③，可得b＝a＋c－2accos B＝a＋c－ac，再由④，得a＋c－ac＝ac，即(a－c)＝0，從而a＝c，所以A＝C ⑤。由②③⑤，得A＝B＝C＝
跟蹤訓(xùn)練1 在△ABCπABC為等邊三角形。322222222π3ACcos B，證明：B＝C.ABcos C
sin Bcos B證明 在△ABC中，由正弦定理及已知得.sin Ccos C
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0，因?yàn)椋?B－C<π，從而B(niǎo)－C＝0，所以B＝C.探究點(diǎn)二：分析法證題
例2 求證：3＋5.22證明 37和5都是正數(shù)，所以要證3＋5，只需證(3＋7)5)，展開(kāi)得10＋221<20，21<5，只需證21<25，因?yàn)?1<25成立，所以3＋5成立． 跟蹤訓(xùn)練2 aa－a－2a－3(a≥3)．
證明 方法一 aa－a－2a－3，只需證a＋a－3 π例3 已知α，β≠kπsin θ＋cos θ＝2sin α，① 22sin θ·cos θ＝sinβ.② 221－tanα1－tanβ＝.221＋tanα21＋tanβ 證明 因?yàn)?sin θ＋cos θ)－2sin θcos θ＝1，22所以將①②代入，可得4sinα－2sinβ＝1.③ 2sinαsinβ1－21－222cosαcosβ1－tanα1－tanβ另一方面，要證＝ 22221＋tanα21＋tanβsinαsinβ1＋2212cosαcosβ 12222即證cosα－sinβ－sinβ)，2 12222即證1－2sinα＝(1－2sinβ)，即證4sinα－2sinβ＝1.2 由于上式與③相同，于是問(wèn)題得證． 跟蹤訓(xùn)練3 若tan(α＋β)＝2tan α，求證：3sin β＝sin(2α＋β)． sinα＋β2sin α證明 由tan(α＋β)＝2tan α得＝ cosα＋βcos α 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α①，要證3sin β＝sin(2α＋β)，即證3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即證3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化簡(jiǎn)得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.這就是①式．所以，命題成立.探究點(diǎn)四：用反證法證明定理、性質(zhì)等一些事實(shí)結(jié)論 例4：已知直線a，b和平面α，如果a?α，b?α，且a∥b，求證：a∥α.證明 因?yàn)閍∥b，:所以經(jīng)過(guò)直線a，b確定一個(gè)平面β.因?yàn)閍?α，而a?β，所以α與β是兩個(gè)不同的平面． 因?yàn)閎?α，且b?β，所以α∩β＝b.下面用反證法證明直線a與平面α沒(méi) 有公共點(diǎn)．假設(shè)直線a與平面α有公共點(diǎn)P，則P∈α∩β＝b，即點(diǎn)P是直 線a與b的公共點(diǎn)，這與a∥b矛盾． 跟蹤訓(xùn)練4：已知：a∥b，a∩平面α＝A，如圖．求證：直線b與平面α必相交． 證明 假設(shè)b與平面α不相交，即b?α或b∥α.①若b?α，因?yàn)閎∥a，a?α，所以a∥α，這與a∩α＝A相矛盾； ②如圖所示，如果b∥α，則a，b確定平面β.顯然α與β相交，設(shè)α∩β＝c，因?yàn)閎∥α，所以b∥c.又a∥b，從而 a∥c，且a?α，c?α，則a∥α，這與a∩α＝A相矛盾． 探究點(diǎn)五：用反證法證明否定性命題 例5：求證：1,25不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)． 證明 假設(shè)1,25是公差為d的等差數(shù)列的第p，q，r項(xiàng)，則2－1＝(q－p)d，5－1＝ 1q－p(r－p)d，于是.因?yàn)閜，q，r均為整數(shù)，所以等式右邊是有理數(shù)，而等式左邊5－1r－p 是無(wú)理數(shù)，二者不可能相等，推出矛盾，所以1,2，5不 可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)． 跟蹤訓(xùn)練:5：已知三個(gè)正數(shù)a，b，cabc不成等差數(shù)列． 證明 a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4ac，∴(a－)2＝0.即a＝c，從而a＝b＝c，與a，b，cabc不成等差數(shù)列． 探究點(diǎn)六：用反證法證明“至多”、“至少”“唯一”型命題 例6：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)實(shí)根． 證明 假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)α、β為其中的兩個(gè)實(shí)根．因?yàn)棣痢佴?，不妨設(shè)α<β，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α) πππ222跟蹤訓(xùn)練6：若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＝x－2yb＝y(tǒng)－2z＋，c＝z－2x＋求236 證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.證明 假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，πππ而a＋b＋c＝(x2－2y＋(y2－2z＋＋(z2－2x＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－236 1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.課后作業(yè)： 1． 已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是(C) abA．若a>b，則ac2>bc2B．若>，則a>bcc 1111C．若a3>b3且ab<0D．若a2>b2且ab>0 2． A、B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sin A>sin B的(C) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．即不充分也不必要條件 3． 已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m； ②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)(B) A．1B．2C．3D． 44． 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是(D) ①與已知條件矛盾 ②與假設(shè)矛盾 ③與定義、公理、定理矛盾 ④與事實(shí)矛盾 A．①②B．①③C．①③④D．①②③④ 5． 設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有(B) a2＋b2a2＋b2a2＋b2a2＋b2A．1≤ab≤B．a(chǎn)b<1 2ab6． 已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則使不等式：≤－2成立的一個(gè)充分不必要條件是(C)ba A．a(chǎn)b>0B．a(chǎn)b<0C．a(chǎn)>0，b<0D．a(chǎn)>0，b>0 17． 設(shè)0 A．a(chǎn)B．bC．cD．不能確定 1118． 已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，則＋＋(B)abc A．一定是正數(shù)B．一定是負(fù)數(shù)C．可能是0D．正、負(fù)不能確定 1119． 設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)ab＋，c＋(C)bca A．都大于2B．至少有一個(gè)大于 2C．至少有一個(gè)不小于2D．至少有一個(gè)不大于2 xn·?x2n＋3?10． 已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，?)，試證：“數(shù)列{xn}對(duì)任意的正整數(shù)n3xn＋ 1都滿足xn>xn＋1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)為(D) A．對(duì)任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1 C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1D．存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1 11． 設(shè)a2，b7－3，c＝6－2，則a，b，c的大小關(guān)系為a>c>b 112． 已知p＝a＋a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p、q的大小關(guān)系為p>q a－ 213． “任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角 14． 用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為a，b不全為0 15．若下列兩個(gè)方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí) 數(shù)a的取值范圍是a≤－2或a≥－ 116．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab 233222222證明：（方法一）3a＋2b－(3ab＋2ab)＝3a(a－b)＋2b(b－a)＝(3a－2b)(a－b)．因?yàn)?/p> a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.33222222（方法二）要證3a＋2b≥3ab＋2ab，只需證3a(a－b)－2b(a－b)≥0，只需證(3a－2b)(a2222－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a－2b>2a－2b≥0，∴上式成立． 11117．已知a>0，>1，求證：1＋a>ba1－b 111證明：由－>1及a>0可知0 證． 18．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 證明:假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd>1，這與上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 119．已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a.41111證明:假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于即(1－a)b>(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得(1－a)a〃(14444 1a＋1－a211－b)b〃(1－c)c>3，①又因?yàn)? 20．已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0 a＋bb＋ca＋c證明：要證logx＋logx＋logx logx（式a＋bb＋ca＋c2222≥ab>0，) logx 22>abc＝abc.即222a＋bb＋ca＋c22a＋b2＋logxb＋c2a＋c2 第2講 直接證明與間接證明 【2013年高考會(huì)這樣考】 1．在歷年的高考中，證明方法是?？純?nèi)容，考查的主要方式是對(duì)它們?cè)淼睦斫夂陀梅ǎy度多為中檔題，也有高檔題． 2．從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識(shí)為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 在備考中，對(duì)本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點(diǎn)，把握三種方法在解決問(wèn)題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問(wèn)題的類型，同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧，有效運(yùn)用它們的目的． 基礎(chǔ)梳理 1．直接證明 (1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)． (2)分析法 ①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法． ②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→ 得到一個(gè)明顯成立的條件.2．間接證明 一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：綈q?r???t .t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾．從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法． 一個(gè)關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系 分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基 礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用． 兩個(gè)防范 題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的． 證?”“就要證?”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)p＝＋，q＝ma＋nc正數(shù))，則p、q的大小為()． A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不確定 解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為mn madabc＝ab＋cd＝p，當(dāng)且僅當(dāng)＝ nm 答案 B 2．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為()． A．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＝b 解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當(dāng)x＜0時(shí)，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A 3．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為()． A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析 ∵a，b，c恰有一個(gè)偶數(shù)，即a，b，c中只有一個(gè)偶數(shù)，其反面是有兩個(gè)或兩個(gè)以上偶數(shù)或沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有D正確． 答案 D 4．(2012·廣州調(diào)研)設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()． A．b－a＞0B．a(chǎn)3＋b3＜0C．a(chǎn)2－b2＜0D．b＋a＞0 解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)≤b 5．在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，如果原命題的否定事項(xiàng)不止一個(gè)時(shí)，必須將結(jié)論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確． 例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時(shí)應(yīng)分：假設(shè)________和________兩類． 答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP 考向一 綜合法的應(yīng)用 a2b2c2【例1】?設(shè)a，b，c＞0，證明：a＋b＋c.bca [審題視點(diǎn)] 用綜合法證明，可考慮運(yùn)用基本不等式． 證明 ∵a，b，c＞0，根據(jù)均值不等式，a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． a2b2c2即＋a＋b＋c .bca 綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性． 11【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b為互不相等的正數(shù)，且a＋b＝1，證明：＞4.ab 1111?ba·證明 ?(a＋b)＝2＋2＋2＝4.ab?ab?ab 11又a與b不相等．故＞4.ab 考向二 分析法的應(yīng)用 ?a＋mb?2≤a＋mb.【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m? [審題視點(diǎn)] 先去分母，合并同類項(xiàng)，化成積式． 證明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要證原不等式成立，只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，2 2故原不等式得證． 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵． 【訓(xùn)練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且a＜b.a＋ma求證：b＋mb a＋ma證明 要證明，由于a，b，m都是正數(shù)，b＋mb 只需證a(b＋m)＜b(a＋m)，只需證am＜bm，由于m＞0，所以，只需證a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立． (說(shuō)明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法) 考向三 反證法的應(yīng)用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋ 1(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)用反證法證明f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根． [審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問(wèn)假設(shè)存在x0＜0后，應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x0＜0矛盾即可． 證明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因?yàn)閤1＋1＞0，x2＋1＞0，所以 ?x2－2??x1＋1?－?x1－2??x2＋1?3?x2－x1?＝0，?x2＋1??x1＋1??x2＋1??x1＋1? 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0，x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二 f′(x)＝axln a＋30，?x＋1?∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． x0－2x0－2(2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1 11，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設(shè)矛盾．故f(x0)＝0沒(méi)有負(fù)根． 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜 用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器． 【訓(xùn)練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行． 證明 假設(shè)向量a＋b與a－b平行，即存在實(shí)數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)成立，則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，???1－λ＝0，?λ＝1，∴?得? ??1＋λ＝0，λ＝－1，?? 所以方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故原命題成立． 規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問(wèn)題 【問(wèn)題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點(diǎn)是反設(shè)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，當(dāng)問(wèn)題從正面證明無(wú)法入手時(shí)，就可以考慮使用反證法進(jìn)行證明.在高考中，對(duì)反證法的考查往往是在試題中某個(gè)重要的步驟進(jìn)行.【解決方案】 首先反設(shè)，且反設(shè)必須恰當(dāng)，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】?(本題滿分12分)(2011·安徽)設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.(1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上． 第(1)問(wèn)采用反證法，第(2)問(wèn)解l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證． [解答示范] 證明(1)假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1＝k2，(2分) 代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分) 這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．(6分) ??y＝k1x＋1，(2)由方程組? ?y＝k2x－1，? ??解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為?k＋ky＝??k－k.21 212x＝，k2－k1(9分) 2?2?k2＋k1?2?從而2x＋y＝2k－k＋? ?21??k2－k1??22 2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4 此即表明交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．(12分) 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2) 必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 【試一試】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列． [嘗試解答](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an，2 11所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為an＝－.22 (2)反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，111－－則，所以2·2rq＝2rp＋1.① 222又因?yàn)閜＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證． （聚焦2008四川高考）第21講：不等式的證明（2） 作套題，抓住知識(shí)點(diǎn)；詳評(píng)講，抓常規(guī)思維；仔細(xì)看，抓典型思維。 一、知識(shí)梳理 作商比較法不 綜合分析法 分析法 判別式法向量法 三角換元均值換元 明增量換元反證法 整體換元數(shù)學(xué)歸納法 構(gòu)造函數(shù)法 放縮法和最值法 二、點(diǎn)解讀與例（考）題 （一）判別式法法證明不等式 依據(jù)：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），則 當(dāng)a＞0時(shí)，若Δ≤0，則f（x）≥0； 當(dāng)a＜0時(shí)，若Δ≤0，則f（x）≤0。 ⑴與二次函數(shù)有關(guān)，或通過(guò)等價(jià)變換為二次函數(shù)的問(wèn)題可試用判別式法證明。 ⑵對(duì)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的字母，若能變成某一個(gè)字母為主元的二次方程，也可利用判別式法證明。 【例1】已知a，b∈R且b＞0 b?0，求證：a2+b2＞3a－2ab－3。 注：構(gòu)造a的二次三項(xiàng)式。 【例2】設(shè)a，b，c∈R，證明：a2+ac+b2+3b（a+b+c）≥0，并指出等號(hào)成立的條件。 分析：⑴視為a的二次三項(xiàng)式； ⑵計(jì)算判別式； ⑶當(dāng)b+c=0，即b=－c時(shí)，Δ=0，此時(shí)f（a）=（a+b）2=0，從而a=－b=c時(shí)等號(hào)成立。 【例3】已知x，y∈R，M= x2+y2+1，N=xy+x+y，試比較M與N的大小。 分析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?M?N?x?(y?1)x?y?y?1，于是由2 2f(x)?0的???3(y?1)2?0知，當(dāng)且僅當(dāng)y?2時(shí)，M?N取等號(hào)。第21講：不等式的證明（2） 1【例4】已知a,b,c?R且a?b?c?2,a?b?c?2，證明：222 4a,b,c?[0,]。 3分析：依題意得a?(b?2)a?(b?1)?0，此時(shí)可將方程視為關(guān)于a的一元二次方程，于是??(b?2)?4(b?1)?0，解得0?b?理可證a,b,c?[0,]。 注：⑴當(dāng)求不等式的字母指明是實(shí)數(shù)時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使不等式的字母作為方程各項(xiàng)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)，從而利用判別式可得證。 ⑵輪換對(duì)稱不等式的證明方法：證明一個(gè)，其與的同；同理可證。 【例5】已知a,b,c?R且a?b?c?0,abc?1，求證：a、b、c中一定有一個(gè)不小于4。 分析：①若a,b,c均大于0，則a?b?c?0； ②若a,b,c均小于0，則a?b?c?0； ③若a,b,c兩正一負(fù)，則abc?0。則都與已知矛盾。 從而知a,b,c兩負(fù)一正，不妨令a?0，則a?b??a,bc? c為一元二次方程x?ax?222224。同3431，即b、a14?0的兩根。于是??a2??0，即aaa?4。同理可證。a,b,c?4。 1sec2x?tanx?3?！纠?】求證：?3sec2x?tanx 策略：①如果是一元二次方程，則直接可利用判別式可證。 ②如果是二次三項(xiàng)式，則先計(jì)算判別式，然后確定判別式的符號(hào)。 【例7】已知tanx=3tany（0＜y＜x＜?），且w=x—y，求w的最大值。 2（二）數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題。 （1）數(shù)學(xué)歸納法是證明具有遞推性的自然數(shù)命題P（n）的正確性的重 要的數(shù)學(xué)方法。 （2）證明程序：①命題的遞推基礎(chǔ)；②遞推依據(jù)。 （3）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵在遞推依據(jù)，證明時(shí)必須明確： 當(dāng)n=k+1時(shí)，所要證明的結(jié)果P（k+1）是什么，而且必須利用歸納假設(shè)P（k），經(jīng)過(guò)推理演算得出P（k+1）。 ⑷在推證程序(遞推依據(jù))時(shí)，應(yīng)依據(jù)具體問(wèn)題靈活恰當(dāng)?shù)靥幚砗褪褂霉椒ǎ罕容^法、分析法、放縮法等。 111n*++…+（n∈N），求證：f（2n）＞。23n 21311分析：當(dāng)n=1時(shí)，f(2)?1???，此時(shí)不等式成立。假設(shè)當(dāng)222 111kkn=k時(shí)不等式成立，即f(2)?1?????k?。2322 11111k?1則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(2)?1?????k?k???k?1＞2322?12 kk11111+(＞+（++…????)kkkkkkkk222?12?22?22?22?2【例8】已知f（n）=1+ k2kk1k?11k???+）（共2項(xiàng)）??k。kkk22?22222?2 故當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，即命題成立。 【例9】對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，證明：（1+111）（1+）…（1+）352n?1＞2n?1。2 分析：當(dāng)n=2時(shí)不等式成立。 假設(shè)當(dāng)n?k(k?2)時(shí)不等式成立，即（1+111）（1+）…（1+）352n?1＞2n?1成立。2 則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1111）（1+）…（1+）（1+）＞352k?12k?12k?12k?2k?1+=。于是由 22k?12k? 1(k?1 2k?1)2?(2k?321)??0(k?N?,n?2)知不等式24(2k?1) 成立。 故當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，即命題成立。 （三）構(gòu)造函數(shù)法：數(shù)學(xué)問(wèn)題若能將其某些字母視為變量二建立聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)（一次、二次、指數(shù)函數(shù)等），從而利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題將會(huì)使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)潔的求解（證明），構(gòu)造相應(yīng)的公式證明不等式。 【例10】設(shè)不等式mx?2x?m?1?0對(duì)滿足|m|?2的一切m值都成立。求實(shí)數(shù)x的取值范圍。 變式：若x,y,z?(0,1),證明：(1?y)x?(1?z)y?(1?x)z?1。注：構(gòu)造一次函數(shù)證明即可。 【例11】設(shè)a1，a2，a3，…，an∈R+，證明：對(duì)?n?N有 22(a1?a2???an)2?n(a12?a2???an)。2* 策略：由不等式 22(a12?a2???an)x2?2(a1?a2???an)x?n?0對(duì)一切x?R而且x?N*均成立，即(a1x?1)2?(a2x?1)2???(anx?1)2?0，于是構(gòu)造二次函數(shù)。因此令 22y?(a12?a2???an)x2?2(a1?a2???an)x?n(ai?0,i?1,2,?,n對(duì)x?R而且x?N均成立，從而由??0得 22(a1?a2???an)2?n(a12?a2???an)。* 變式：求證： 2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)，并 討論何時(shí)取得等號(hào)（柯西不等式）。 證：若ai?0或bi?0(i?1,2,?,n)，則左=右=0。此時(shí)不等式成立，且取等號(hào)。 若ai?0(i?1,2,?,n)不全為零，則考慮函數(shù)： f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2，由f(x)?0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒有成立，從而 2222f(x)?(a12?a2???an)x2?2(a1b1?a2b2???anbn)x?(b12?b2???bn)，于是依題意a1?a2???an?0且x?R，f(x)?0，從而由??0得 2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)。22 2其中等號(hào)成立?f(x)?0的??0，即方程有相等實(shí)數(shù)根x0，即?(aix0?bi)2?0，從而 i?1nbb1b2???n?x0。a1a2an bb1b2???n?x0時(shí)等a1a2an綜上所得當(dāng)ai?0或bi?0(i?1,2,3,?,n)或 號(hào)成立。 例 3、已知a?b?0，求證：ab?ab。 策略1：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f(x)?()；策略2：比商法。 例 4、設(shè)三角形三邊a、b、c，求證： 策略：令f(x)?abbaabxabc。??1?a1?b1?cx1?1?,x?(0,??)。由函數(shù)的單調(diào)性知，1?x1?x x在區(qū)間(0,??)上是單調(diào)遞增函數(shù)，于是由a、b、c為三角形1?x的三邊知a?b?c，從而有f(x)? f(a?b)?f(c)，即 原不等式得證。 例 5、求證：sinx?2ababc????，故1?a1?b1?(a?b)1?(a?b)1?c4?5。2sinx 策略：⑴構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f(x)?x? 必須依單調(diào)性定義證明。4，⑵利用函數(shù)的單調(diào)性得證（但x 注：一般地，當(dāng)x?0,a?0,b?0時(shí)。①f(x)?x?a在區(qū)間(0,a]單調(diào)遞減，在區(qū)間[a,??)單調(diào)遞增； x 111,0)?(0,]單調(diào)遞減，在區(qū)間在區(qū)間[?aax②f(x)?ax? (??,?11]?[,??)單調(diào)遞增； aa bbb,0)?(0,]單調(diào)遞減，在區(qū)間在區(qū)間[?aax③f(x)?ax? (??,?bb]?[,??)單調(diào)遞增。aa 例 6、設(shè)a、b、c、d∈R，22求證：a?b+c?d≥(a?c)?(b?d)。2222 精析：對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，多是利用常規(guī)思維方法進(jìn)行求解，幾經(jīng)周折不得結(jié)果。這時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行試探，于是學(xué)生馬上就會(huì)聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式。因?yàn)閤1，x2，y1，y2∈R且含有平方和開(kāi)方運(yùn)算，形式與題意何等相似！ 于是設(shè)P（a，b），Q（c，d）為坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)，則|OP|=a?b，22|OQ|=c?d，|PQ|=(a?c)?(b?d)，顯然有|OP|+|OQ|≥|PQ|。2222 （五） 高二數(shù)學(xué)文科選修1-2 導(dǎo)學(xué)案編寫人：陳慶梅周榮貴編號(hào)： 013審核人：審批人：使用日期 20100318組名：姓名：學(xué)生評(píng)價(jià)：教師評(píng)價(jià)： 2.數(shù)學(xué)證明（文科） 使用說(shuō)明：1.獨(dú)立認(rèn)真限時(shí)完成導(dǎo)學(xué)案，規(guī)范書寫。 2.認(rèn)真反思，總結(jié)方法規(guī)律。 重點(diǎn)：正確地運(yùn)用演繹推理 ,進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 難點(diǎn)：能夠正確運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)證明 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法 2.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別 3．體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理過(guò)程，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。 二、知識(shí)內(nèi)容導(dǎo)學(xué)： 1．一般性得原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下得結(jié)論，我們把這種推理稱為推理.簡(jiǎn)而言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.2.演繹推理的一般形式： 演繹推理的主要形式，就是由,_____推出_____的三段論式推理.三段論式推理常用的一種格式，可以用以下形式來(lái)表示：M是PS是M__________S是P 三段論的形式中包括三個(gè)判斷。第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況；這連個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷—結(jié)論.3.三段論推理的根據(jù)：用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講，就是：集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，所以S中的所有元素都具有性質(zhì)P.三．合作探究：（閱讀課本第58-59頁(yè)內(nèi)容完成下列問(wèn)題） 例1：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y?ax増函數(shù)，（大前提） x 而y???1? ?2? ? 是指數(shù)函數(shù)，（小前提） x 所以y???1? ?2? ?是増函數(shù)（結(jié)論） （1）上面的推理形式正確嗎？（2）推理的結(jié)論正確嗎？為什么？ 例2：將下列演繹推理寫成三段論的形式 (1)菱形的對(duì)角線互相平分（2）方程 x 2?2x?2?0無(wú)實(shí)根 （3）直角三角形的內(nèi)角和為1800 填空：補(bǔ)充下面推理的三段論因?yàn)開(kāi)_________ 又因?yàn)?是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)所以?是無(wú)理數(shù) 思考：有一個(gè)三角形，它的邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm,5cm，請(qǐng)判斷三角形的形狀 例1：如圖所示，在銳角三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,D,E是垂足，求證：（1）△ABD是直角三角形 (2)AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等證明：（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角 是直角的三角形是直角三角形，（大前提） 在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=900，（小前提） 所以 △ABD 是直角三角形（結(jié)論） 仿照（1）的做法完成（2）(2) 例2：a,b,c為實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2 ?ab?bc?ca 證明：（1）一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（大前提）a,b為實(shí)數(shù)（小前提）所以?a?b?2 ?0（結(jié)論） （2）不等式兩邊同加上一個(gè)數(shù)或式子，不等式仍成立，（大前提） ?a?b?2?0，2ab=2ab，（小前提） 所以a2 ?b2 ?2ab（結(jié)論） （3）同理b2?c2?2bc,c2?a2?2ca（4） （5） 證明通常簡(jiǎn)略地表述為：a,b為實(shí)數(shù)??a?b?2 ?0 ?a2?b2?2ab? 同理b2?c2 ?2bc?? c2?a2?2ca?? ?? a2?b2?b2?c2?c2?a2?2ab?2bc?2ca?2? ?? a2?b2?c2? ??? ?2?ab?bc?ca? ?a2?b2?c2?ab?bc?ca 仿照上例，分析教材例2的演繹推理過(guò)程，明確每一步的推理 四．鞏固練習(xí)： 1.數(shù)列?an?2 n?的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1?1,an?1?n Sn.求證（1）數(shù)列? ?Sn? ?是等比數(shù)列 ?n? （2）Sn?1?4an 五．小結(jié)：（1）知識(shí)與方法： （2）數(shù)學(xué)思想與方法： 六．當(dāng)堂檢測(cè) 1將下列演繹推理寫成三段論的形式 （1）0.332.是有理數(shù)（2）y?sinx（x?R)是周期函數(shù) 2.有一段演繹推理是這樣說(shuō)的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b不 在平面?上，直線a在平面?上，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ〢大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D非以上錯(cuò)誤 3.證明函數(shù)f?x???x2 ?2x在???,1?上是增函數(shù).分析：證明本例所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義，即函數(shù)y=f(x)滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值x1,x2，若x1?x2，則有f?x1??f?x2?.小前提是f?x???x2 ?2x，x????,1?滿足增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵.證明： 模塊一 會(huì)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)介紹 專題四、固定資產(chǎn) 二、固定資產(chǎn)折舊 應(yīng)計(jì)折舊額：是指應(yīng)當(dāng)計(jì)提折舊的固定資產(chǎn)的原價(jià)扣除其預(yù)計(jì)凈殘值后的金額。已計(jì)提減值準(zhǔn)備的固定資產(chǎn)，還應(yīng)當(dāng)扣除已計(jì)提的固定資產(chǎn)減值準(zhǔn)備累計(jì)金額。 應(yīng)計(jì)折舊額=原值-凈殘值-減值準(zhǔn)備 （一）固定資產(chǎn)折舊范圍 除以下情況外，企業(yè)應(yīng)對(duì)所有的固定資產(chǎn)計(jì)提折舊： 1.已提足折舊仍繼續(xù)使用的固定資產(chǎn)； 2.按照規(guī)定單獨(dú)估價(jià)作為固定資產(chǎn)入賬的土地（歷史遺留問(wèn)題）。 【特別提示】 ①未使用、不需用的固定資產(chǎn)照提折舊。（計(jì)入“管理費(fèi)用”） ②處于更新改造過(guò)程停止使用的固定資產(chǎn)，應(yīng)將其賬面價(jià)值轉(zhuǎn)入在建工程，不再計(jì)提折舊。 ③固定資產(chǎn)提足折舊后，不論是否繼續(xù)使用，均不再計(jì)提折舊。 ④提前報(bào)廢的固定資產(chǎn)不再補(bǔ)提折舊。 ⑤替換使用的設(shè)備需要計(jì)提折舊。 ⑥大修理停用的固定資產(chǎn)照提折舊。（按正常方式） 【手寫板】 （二）固定資產(chǎn)折舊方法 企業(yè)應(yīng)當(dāng)根據(jù)與固定資產(chǎn)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)利益的預(yù)期消耗方式，合理選擇固定資產(chǎn)折舊方法。 可選用的折舊方法包括年限平均法、工作量法、雙倍余額遞減法和年數(shù)總和法等。 其中，雙倍余額遞減法和年數(shù)總和法是加速折舊法。固定資產(chǎn)的折舊方法一經(jīng)確定，不得隨意變更。 1.年限平均法（又稱直線法） 月折舊率=年折舊率÷12 月折舊額=固定資產(chǎn)原價(jià)×月折舊率 【補(bǔ)充例題·計(jì)算題】 一座廠房原值500 000元，預(yù)計(jì)使用10年，殘值率為10%，計(jì)算月折舊額。 【正確答案】 年折舊率=（1-10%）/10=9% 月折舊率=9%÷12=0.75% 月折舊額=500 000×0.75%=3 750（元） 2.工作量法 某項(xiàng)固定資產(chǎn)月折舊額=該項(xiàng)固定資產(chǎn)當(dāng)月工作量×單位工作量折舊額 【補(bǔ)充例題·計(jì)算題】 某企業(yè)一輛卡車原價(jià)60 000元，預(yù)計(jì)總里程為500 000公里，預(yù)計(jì)凈殘值率為5%，本月行駛400公里，計(jì)算當(dāng)月應(yīng)提的折舊額。 【正確答案】 當(dāng)月折舊額=0.114×400=45.60（元） 3.雙倍余額遞減法 雙倍余額遞減法：是指在不考慮固定資產(chǎn)預(yù)計(jì)凈殘值的情況下，根據(jù)每期期初固定資產(chǎn)原價(jià)減去累計(jì)折舊后的金額和雙倍的直線法折舊率計(jì)算固定資產(chǎn)折舊的一種方法。 應(yīng)在其折舊年限到期前兩年內(nèi)，將固定資產(chǎn)凈值扣除預(yù)計(jì)凈殘值后的余額平均攤銷。 計(jì)算公式如下： 【補(bǔ)充例題·計(jì)算題】 某企業(yè)一項(xiàng)固定資產(chǎn)的原價(jià)為20 000元，預(yù)計(jì)使用年限為5年，預(yù)計(jì)凈殘值200元。按雙倍余額遞減法計(jì)算折舊，每年的折舊額計(jì)算如下： 【正確答案】 年折舊率=2/5×100%=40% 第一年應(yīng)提的折舊額=20 000×40%=8 000（元） 第二年應(yīng)提的折舊額=（20 000-8 000）×40%=4 800（元） 第三年應(yīng)提的折舊額=（20 000-8 000-4 800）×40%=2 880（元） 第四、第五年的年折舊額=（20 000-8 000-4 800-2 880-200）÷2=2 060（元） 4.年數(shù)總和法（又稱年限合計(jì)法） 【補(bǔ)充例題·計(jì)算題】 接上例，假如采用年數(shù)總和法，每年折舊額的計(jì)算如下： 【正確答案】 第一年折舊額=（20 000-200）×5/15=6 600（元） 第二年折舊額=（20 000-200）×4/15=5 280（元） 第三年折舊額=（20 000-200）×3/15=3 960（元） 第四年折舊額=（20 000-200）×2/15=2 640（元） 第五年折舊額=（20 000-200）×1/15=1 320（元） 【特別提示】 ①企業(yè)應(yīng)當(dāng)按月計(jì)提固定資產(chǎn)折舊，當(dāng)月增加的固定資產(chǎn)，當(dāng)月不計(jì)提折舊，從下月起計(jì)提折舊；當(dāng)月減少的固定資產(chǎn)，當(dāng)月仍計(jì)提折舊，從下月起不計(jì)提折舊。 ②折舊的對(duì)應(yīng)科目 a.基本生產(chǎn)車間使用的固定資產(chǎn)，其計(jì)提的折舊應(yīng)計(jì)入制造費(fèi)用，并最終計(jì)入所生產(chǎn)產(chǎn)品成本； b.管理部門使用的固定資產(chǎn)，其計(jì)提的折舊應(yīng)計(jì)入管理費(fèi)用； c.未使用的固定資產(chǎn)，其計(jì)提的折舊應(yīng)計(jì)入管理費(fèi)用； d.銷售部門使用的固定資產(chǎn)，其計(jì)提的折舊應(yīng)計(jì)入銷售費(fèi)用； e.用于工程的固定資產(chǎn)，其計(jì)提的折舊應(yīng)計(jì)入在建工程； f.用于研發(fā)無(wú)形資產(chǎn)的的固定資產(chǎn)，其計(jì)提的折舊應(yīng)計(jì)入研發(fā)支出等。 借：制造費(fèi)用 管理費(fèi)用 銷售費(fèi)用 在建工程 研發(fā)支出等 貸：累計(jì)折舊 三、固定資產(chǎn)處置的會(huì)計(jì)處理 固定資產(chǎn)處置一般通過(guò)“固定資產(chǎn)清理”科目進(jìn)行核算（★★除固定資產(chǎn)盤虧之外）。 【特別提示】 ①固定資產(chǎn)盤虧應(yīng)該計(jì)入“待處理財(cái)產(chǎn)損溢”。 ②固定資產(chǎn)出售、報(bào)廢或毀損的會(huì)計(jì)處理：“固定資產(chǎn)清理”，不利記借方，有利記貸方，最后轉(zhuǎn)損益 階段 賬務(wù)處理 1.固定資產(chǎn)轉(zhuǎn)入清理 借：固定資產(chǎn)清理 累計(jì)折舊 固定資產(chǎn)減值準(zhǔn)備 貸：固定資產(chǎn) 2.發(fā)生的清理費(fèi)用 借：固定資產(chǎn)清理 貸：銀行存款 3.出售收入、殘料等的處理 借：銀行存款/原材料等 貸：固定資產(chǎn)清理 應(yīng)交稅費(fèi)——應(yīng)交增值稅(銷項(xiàng)稅額) 4.保險(xiǎn)賠償?shù)奶幚?/p> 借：其他應(yīng)收款/銀行存款等 貸：固定資產(chǎn)清理 5.清理凈損益的處理 總原則：依據(jù)固定資產(chǎn)處置方式的不同 1.因已喪失使用功能（如：正常報(bào)廢清理）或因自然災(zāi)害發(fā)生毀損等原因而報(bào)廢清理產(chǎn)生的利得或損失應(yīng)計(jì)入營(yíng)業(yè)外收支。 2.因出售、轉(zhuǎn)讓等原因產(chǎn)生的固定資產(chǎn)處置利得或損失應(yīng)計(jì)入資產(chǎn)處置損益。（人為原因） 凈損失 ①屬于生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)期間正常報(bào)廢清理的處理凈損失 借：營(yíng)業(yè)外支出——處置非流動(dòng)資產(chǎn)損失 貸：固定資產(chǎn)清理 ②屬于自然災(zāi)害等非正常原因造成的損失 借：營(yíng)業(yè)外支出——非常損失 貸：固定資產(chǎn)清理 ③出售、轉(zhuǎn)讓等原因造成的損失（人為原因） 借：資產(chǎn)處置損益 貸：固定資產(chǎn)清理 凈收益 ①固定資產(chǎn)清理完成后的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)期間凈收益【已喪失使用功能（如：正常報(bào)廢清理）或因自然災(zāi)害等】 借：固定資產(chǎn)清理 貸：營(yíng)業(yè)外收入 ②出售、轉(zhuǎn)讓等原因產(chǎn)生的凈收益（人為原因） 借：固定資產(chǎn)清理 貸：資產(chǎn)處置損益 注：籌建期間的，沖減“管理費(fèi)用”。 四、補(bǔ)充內(nèi)容 1.資產(chǎn)的賬面余額：是指某科目的賬面實(shí)際余額，不扣除備抵項(xiàng)目（如：減值準(zhǔn)備、累計(jì)折舊或累計(jì)攤銷等）（一般指原值） 2.資產(chǎn)的賬面價(jià)值：是指某科目的賬面余額減去相關(guān)的備抵項(xiàng)目后的凈額。 3.負(fù)債的賬面價(jià)值：一般等于其賬面余額。 例如： 資產(chǎn)項(xiàng)目 含義 ①存貨、長(zhǎng)期股權(quán)投資等 賬面余額、賬面價(jià)值 ②固定資產(chǎn) 賬面余額、賬面凈值（折余價(jià)值）、賬面價(jià)值 ③無(wú)形資產(chǎn) 賬面余額、攤余價(jià)值、賬面價(jià)值 【手寫板】第二篇：第2講 直接證明與間接證明
第三篇：第21講：不等式的證明(教師用書)
第四篇：數(shù)學(xué)證明2
第五篇：第05講_固定資產(chǎn)（2）
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