第一篇：構(gòu)造性證明與存在性證明小議

構(gòu)造性證明與存在性證明小議

幸 克 堅(jiān)

（遵義師范學(xué)院 貴州 遵義 ５６３００２）

摘 要：構(gòu)造性證明與存在性證明是數(shù)學(xué)證明中常見(jiàn)兩種證明方法。本文對(duì)它們的概念、來(lái)歷及證明思路和作用與意義，乃至相互之間的關(guān)系，作了概略的議論。并主張將它們作為一對(duì)哲學(xué)范疇，貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究之中。

關(guān)鍵詞： 構(gòu)造性存在性證明

中圖分類(lèi)號(hào)：O171文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：E文章編號(hào)：1009-3583（2004）04-00

一、構(gòu)造性證明與存在性證明：

在數(shù)學(xué)中對(duì)命題：“存在x，使得命題F(x)成立”的證明，有兩種辦法：構(gòu)造性證明與存在性證明。構(gòu)造性證明就是通過(guò)有限步的推導(dǎo)或計(jì)算，具體地找（構(gòu)造）出這樣的x；存在性證明則是從邏輯上證明所述對(duì)象x確實(shí)存在，但x具體是多少？在哪里？并不一定知道。因此，構(gòu)造性證明不僅要證明所述對(duì)象的存在，而且要具體地求出對(duì)象的位置或多少（大?。?，而存在性證明則只需要證明該對(duì)象的存在即可。簡(jiǎn)言之,構(gòu)造性證明相信“眼見(jiàn)為實(shí)”，而存在性證明只是證明了“沒(méi)有被看到的”的存在，是一種理性的承認(rèn)。

二、構(gòu)造性證明的來(lái)歷及思路分析

從歷史的淵源上看，構(gòu)造性證明的基本思路可以說(shuō)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)。我國(guó)古代數(shù)學(xué)有兩大特點(diǎn)：其一是典型的算法體系，一切結(jié)論只是通過(guò)計(jì)算結(jié)果來(lái)說(shuō)明，以漢代的《九章算術(shù)》為典型代表，將九類(lèi)問(wèn)題總結(jié)出九類(lèi)算法，算法比較機(jī)械，有相對(duì)固定的步驟（既我們今天常說(shuō)的程序），每前進(jìn)一步后，都有有限多個(gè)確定的可供選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律的刻板的道路一直往前走就可以得出結(jié)果；另一個(gè)特點(diǎn)是宋元時(shí)期，把許多幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程與方程組的求解問(wèn)題，創(chuàng)造了相當(dāng)于現(xiàn)代多項(xiàng)式的概念，建立了“天元法、四元法”等代數(shù)工具，進(jìn)一步豐富了算法的內(nèi)容。這都體現(xiàn)了顯著的“構(gòu)造性”或稱(chēng)作“可操作性”特色。

現(xiàn)代意義上的構(gòu)造性證明則來(lái)源與一種被稱(chēng)為“構(gòu)造性數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)（流派），它的根本特征就是對(duì)可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對(duì)象或者能給出某一對(duì)象的計(jì)算方法。即當(dāng)我們把能證實(shí)“存在一個(gè)x滿足性質(zhì)Ａ”的證明稱(chēng)為構(gòu)造性的，是指能從這個(gè)證明中具體地給出滿足性質(zhì)Ａ的一個(gè)x；或者能從此證明中得到一個(gè)機(jī)械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)Ａ的這個(gè)x來(lái)。如果進(jìn)一步追溯下去，構(gòu)造性數(shù)學(xué)最早起源于一種構(gòu)造性哲學(xué)思想，這種思想可以追溯到康德那里?？档抡J(rèn)為，數(shù)學(xué)的最終真理性在于數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)人的智慧構(gòu)造出來(lái)。他說(shuō)：“數(shù)學(xué)必須根

基金項(xiàng)目：遵義師范學(xué)院科研基金項(xiàng)目（200418）

收稿日期：2004-12-16

作者簡(jiǎn)介：幸克堅(jiān)（1954--），貴州遵義人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，從事數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)史研究 1

據(jù)純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來(lái)，或者像人們所說(shuō)的那樣，把這些概念構(gòu)造出來(lái)”。又說(shuō)“數(shù)學(xué)知識(shí)是從概念的構(gòu)造得出來(lái)的理性知識(shí)。構(gòu)造一個(gè)概念，意即先天地提供出來(lái)與概念相對(duì)應(yīng)的直觀?！?/p>

由于構(gòu)造性證明不僅要證明所述對(duì)象的存在，而且要通過(guò)有限的步驟具體地計(jì)算或推導(dǎo)求出對(duì)象的位置或多少（大?。?。所以，在證明過(guò)程中就具有鮮明的“構(gòu)造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解⑴

?b?b2?4ac就是要具體地得出用方程的系數(shù)表示解的求根公式：x?，而這個(gè)結(jié)果是通過(guò)配方一步步2a

得到的。

構(gòu)造性證明基本上都是直接證明，是通過(guò)式子的變換一步步“構(gòu)造”出命題的結(jié)論所描述的對(duì)象。因此，“構(gòu)造”時(shí)往往具有較高的技巧和靈活性，對(duì)相關(guān)知識(shí)和方法的掌握運(yùn)用要比較熟練。

三、存在性證明的來(lái)歷及思路分析

存在性證明應(yīng)該說(shuō)源于經(jīng)典數(shù)學(xué)的“公理化”思想方法，起源于古希臘。希臘是一個(gè)特別喜好追溯理性、探究一般性真理的民族，他們總是力圖將一切知識(shí)體系建立在一個(gè)相對(duì)比較精練的理論基礎(chǔ)和一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评硪?guī)則上，歐幾里得《幾何原本》就是這方面的代表作，它創(chuàng)造了一套用定義、公理、定理構(gòu)成的邏輯演繹體系。而現(xiàn)代意義上的存在性證明當(dāng)首推“數(shù)學(xué)王子”高斯，高斯發(fā)現(xiàn)了代數(shù)基本定理并給出存在性證明，是對(duì)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)，也可以說(shuō)是開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。但真正第一個(gè)認(rèn)識(shí)到存在性證明的深刻價(jià)值和意義的人是“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的巨人”希爾伯特，希爾伯特在解決代數(shù)不變式問(wèn)題時(shí)，采用直接的、非算法的方法，證明了不變式系的有限整基的存在性定理。

顧名思義，存在性命題證明的關(guān)鍵是證明其存在性，它與構(gòu)造性證明不同，由于相應(yīng)命題所述對(duì)象的不可構(gòu)造或不易構(gòu)造，一般只能從邏輯和理論上證明所述對(duì)象確實(shí)存在，但不能具體求出。因此，其證明常常表現(xiàn)為間接證明，即假定所述對(duì)象不存在，就會(huì)導(dǎo)致矛盾；有時(shí)候必須依靠一種緊密聯(lián)系的“邏輯鏈”才能說(shuō)明其存在性。如微分學(xué)中有兩組定理：其一是三條中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都屬于存在性命題，證明羅爾定理時(shí)的依據(jù)是最大值最小值定理，然后對(duì)拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明則是構(gòu)造輔助函數(shù)： ⑵

?(x)?f(x)?f(a)?

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用羅爾定理的結(jié)論上來(lái)。f(b)?f(a)(x?a)b?a

類(lèi)似的邏輯鏈?zhǔn)降亩ɡ磉€有：用實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論想法構(gòu)造數(shù)列證明了單調(diào)有界定理——區(qū)間套定理——確界存在定理——最大值和最小值定理——介值定理,這幾條定理都屬于存在性命題，其證明也是邏輯上緊密聯(lián)系的，并且都是構(gòu)造一系列區(qū)間套，“套”出結(jié)論中的對(duì)象——那一個(gè)點(diǎn)。這種邏輯上的極強(qiáng)前后連貫性（或稱(chēng)為依賴(lài)性），很好地體現(xiàn)了公理化方法的特色。

四、構(gòu)造性證明與存在性證明的評(píng)價(jià)及哲學(xué)意義

對(duì)構(gòu)造性證明與存在性證明,有兩種比較偏頗的觀點(diǎn)：

第一種觀點(diǎn)認(rèn)為構(gòu)造性證明才合理而存在性證明則不合理。如希爾伯特在研究不變量理論時(shí)給出一個(gè)存在性證明，當(dāng)時(shí)曾引起一場(chǎng)軒然大波。德國(guó)的克羅內(nèi)克認(rèn)為：“沒(méi)有構(gòu)造就不算是存在”；還說(shuō)：“上帝⑶

創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作?！敝鲝堊匀粩?shù)與數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對(duì)象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來(lái)，否則就不能作為數(shù)學(xué)對(duì)象。由此克羅內(nèi)克把許多數(shù)學(xué)成果劃到不合法的行列里，如無(wú)限集合、純存在性證明等。不變量之王果爾丹甚至說(shuō)：“這不是數(shù)學(xué)，是神學(xué)”。

希爾伯特堅(jiān)持這樣的觀點(diǎn)：只要能證明一個(gè)概念的屬性絕不會(huì)引出矛盾，那么就自然確定了這個(gè)數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)上是存在的，克萊因支持并贊美這種證明，說(shuō)：“非常簡(jiǎn)單，在邏輯上是不可抗拒的。”??希爾伯特指出：“純粹的存在性證明之價(jià)值恰恰在于，通過(guò)它們就可以不必去考慮個(gè)別的構(gòu)造，而且各種不同的構(gòu)造包括于同一個(gè)基本思想之下，使得對(duì)證明來(lái)說(shuō)是最本質(zhì)的東西清楚地突現(xiàn)出來(lái)；達(dá)到思想的簡(jiǎn)潔和經(jīng)濟(jì)，就是存在性證明生存的理由?禁止存在性證明?等于廢棄了數(shù)學(xué)科學(xué)?！?/p>

第二種觀點(diǎn)則認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該注重理論上和思想上的價(jià)值，從這個(gè)意義上說(shuō)，存在性證明才有說(shuō)服力。只有建立在古希臘的邏輯、公理體系上的存在性證明才是一種理性思維成果，構(gòu)造性證明思想實(shí)際上是一種相信數(shù)學(xué)的理念，對(duì)數(shù)學(xué)真理性的認(rèn)識(shí)包括了相當(dāng)?shù)姆抢硇猿煞帧Ｔ谶@種觀念指導(dǎo)下，在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)期和較大的范圍內(nèi)，存在著這樣一種觀點(diǎn)：建立在算法基礎(chǔ)之上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)只是一種“術(shù)”——即只停留在技術(shù)層面上、功利性地偏重于實(shí)用的操作技能，算不上科學(xué)。并且以此為理由在數(shù)學(xué)史中全面否定中國(guó)古代數(shù)學(xué)。

事實(shí)上，構(gòu)造性證明體現(xiàn)了一種所謂的“機(jī)械化”思想，即按部就班有步驟地進(jìn)行，這確實(shí)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特征；“機(jī)械化”是相對(duì)于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希臘，19世紀(jì)以來(lái)，希爾伯特等一批數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家在建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作中，進(jìn)一步明確和強(qiáng)調(diào)了這種思想。應(yīng)該說(shuō)，這確實(shí)是中西傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的各自特點(diǎn)，各有其長(zhǎng)處，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系中也起到了各自的作用。不應(yīng)該狹隘地看待。

例如，就構(gòu)造性證明而言，作為人類(lèi)智慧新成果之一的數(shù)學(xué)定理的機(jī)器證明，就是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家吳文俊院士繼承我國(guó)古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)開(kāi)創(chuàng)的數(shù)學(xué)機(jī)械化工作的一部分，吳文俊先生以其深厚的幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)功底，吸收了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的上述兩大特點(diǎn)之后，將幾何問(wèn)題用代數(shù)方程表達(dá)，用之于計(jì)算機(jī)。1977年先在平面幾何定理的機(jī)器證明方面取得成功；1978年推廣到微分幾何；1983年我國(guó)留美青年學(xué)者周咸青在全美定理機(jī)器證明學(xué)術(shù)會(huì)議上介紹了吳（文?。┓椒?，并且自編軟件，一鼓作氣證明了500多條難度頗高的幾何定理，轟動(dòng)了國(guó)際數(shù)學(xué)界。

而存在性證明那種“非常簡(jiǎn)單，在邏輯上不可抗拒”，雄辯地讓人無(wú)可辯駁的“理性的承認(rèn)”確實(shí)體現(xiàn)了人類(lèi)理性思維的威力。如中值定理使我們確實(shí)相信“中值”?的存在，代數(shù)基本定理中我們確實(shí)相信“任何一個(gè)n（n＞0）次多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個(gè)根。其關(guān)鍵是證明其“確實(shí)存在”，并沒(méi)有回答 “等于多少”或“在什么位置”？甚至在多數(shù)情況下，最終也無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題。但絲毫不影響對(duì)命題結(jié)論可靠性的信服和運(yùn)用。例如，正是立足于代數(shù)基本定理的結(jié)論，才得到與多項(xiàng)式因式分解理論相關(guān)的一系列成果，數(shù)學(xué)分析中有理函數(shù)的不定積分可以說(shuō)是解決得十分完善的，也得益于這一結(jié)果。

而且，存在性證明與構(gòu)造性證明是常常是緊密相依、相輔相成、互為補(bǔ)充的。首先，在一定意義上說(shuō)，構(gòu)造性證明中已經(jīng)包含了“存在”——不但存在，而且已經(jīng)找出。其次，存在性的證明往往也需構(gòu)造，如上述微積分中兩組重要定理的存在性，也是用構(gòu)造法證明的；再次，有些存在性命題也能夠具體的求出結(jié)果，從而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造性命題，如我們熟知的數(shù)列極限、函數(shù)極限的“ε—N”、“ε—δ”定義，本身顯然是存在性命題，但對(duì)于具體的問(wèn)題和給定的具體的ε，如果需要的話，也可以求出相應(yīng)的N和δ。所以可以說(shuō)“構(gòu)造中蘊(yùn)涵著存在，有存在才可能構(gòu)造”。又如十七世紀(jì)產(chǎn)生的將運(yùn)動(dòng)變化的辨證法引入數(shù)學(xué)的微積分、被稱(chēng)為 “數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，就充分體現(xiàn)了構(gòu)造性證明與存在性證明的完美結(jié)合：如極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則——夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則中夾逼準(zhǔn)則“an?bn?cn”需要求出liman與limbn，屬于構(gòu)造n??n??⑸⑷⑴

性證明，而單調(diào)有界準(zhǔn)則則是從邏輯上確信其極限存在，屬于存在性證明；又如“求導(dǎo)”過(guò)程：從依定義

求了一小部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)入手，經(jīng)過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，十分徹底地解決了整個(gè)龐大的初等函數(shù)類(lèi)的求導(dǎo)問(wèn)題，既解決得十分徹底，又在邏輯上前后緊緊相依，密切聯(lián)系，是典型的構(gòu)造性結(jié)果；積分法中的換元與分部乃至特殊函數(shù)的積分，也體現(xiàn)出明顯的構(gòu)造性色彩，具有很強(qiáng)的可操作性。而上述中值定理和區(qū)間套定理等兩組重要定理，則可以說(shuō)是存在性證明的典型例子。

綜上所述，存在性證明與構(gòu)造性證明之間有緊密的相依關(guān)系，二者是互為補(bǔ)充而不是互相對(duì)立、互不兼容的關(guān)系。從哲學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，存在性命題與構(gòu)造性命題可以作為一對(duì)哲學(xué)范疇，它們之間體現(xiàn)了一種對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。按希爾伯特的上述說(shuō)法，還呈現(xiàn)為一般與特殊、抽象與具體的關(guān)系。應(yīng)該把這種觀點(diǎn)帶到數(shù)學(xué)教學(xué)和研究之中：在向?qū)W生傳授具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，將存在性證明與構(gòu)造性證明及其作用與關(guān)系結(jié)合具體例子介紹，逐步給他們一定的數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)方法論方面的知識(shí)。在用這種觀點(diǎn)從事數(shù)學(xué)研究，有可能使自己看問(wèn)題更加客觀、全面。

參考文獻(xiàn)：

⑴ 郝寧湘．構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)意義［J］http:// 2004年12月4日

⑵ 杜瑞芝．?dāng)?shù)學(xué)史辭典［M］．濟(jì)南∶山東教育出版社．2000．170

⑶ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（上）［Z］．北京∶人民教育出版社．1980．197-216

⑷ 張順燕．?dāng)?shù)學(xué)的源與流［Z］．北京∶高等教育出版社．2000．44

⑸ 席澤宗．科學(xué)史十論［M］．上?！脧?fù)旦大學(xué)出版社．2003．4—5

第二篇：高中奧數(shù)—存在性證明

數(shù)論中的存在性問(wèn)題

一．概念

滿足一些條件的某些對(duì)象存在或不存在的問(wèn)題稱(chēng)為數(shù)論存在性問(wèn)題。例如：（2000.第41屆IMO試題）確定是否存在滿足下列條件的正整數(shù)n，使得恰好能被2000個(gè)互不相同的素?cái)?shù)整除，并且2?1能夠被n整除。n

二．基本方法

解決數(shù)論存在性問(wèn)題沒(méi)有什么固定的程式，所用知識(shí)是普遍的，采取的方法也是靈活多樣的。

但是由于數(shù)論中存在性問(wèn)題是常見(jiàn)的題型，因此，解決的方法我們大致歸納如下：

1．反證法

例1．已知n是確定的正整數(shù)，A＝{1，2，……，n}，f：A?A為映射，滿足k1?k2,f(k1)?f(k2)，求證：?m,?f(m)?m

證明：假設(shè)對(duì)于1?m?n的任何m，都有f(m)?m,則由f(1)?1,f(1)?1?f(1)f(2)?2.所以?f(1)?2,f(2)?2?f(2)?3.以此類(lèi)推，可得f(n)

?n+1,這與已知矛盾。?假設(shè)錯(cuò)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

例2．在黑板上依次寫(xiě)出數(shù)a1?1,a2,a3，……，法則如下：如果an－2為正整數(shù)，而且未寫(xiě)出過(guò)，則寫(xiě)an?1＝an—2，否則就寫(xiě)an＋3，證明：所有出現(xiàn)在該序列中的完全平方數(shù)都是由寫(xiě)在它前面的那個(gè)數(shù)加3得到的。

證明：首先證明，當(dāng)n=5m的時(shí)候，由1到n所有的正整數(shù)都已經(jīng)被寫(xiě)出，而且

a5m?5m?2，此時(shí)，對(duì)于任何k?5m，都有ak?5?ak?5。

對(duì)m進(jìn)行歸納：當(dāng)m＝1，n＝5。a1?1,a2?4,a3?2,a4?5,a5?3,a6?6假設(shè)，當(dāng)n=5m時(shí)，結(jié)論也成立。

當(dāng)n＝5（m+1）時(shí)，有

a5m?1?5m?1,a5m?2?5m?4,a5m?3?5m?2,a5m?4?5m?5,a5m?5?5m?3

結(jié)論也成立。

再考慮平方數(shù)被5除的余數(shù)，只能是0，1，4。而序列中被5除余0，1，4的數(shù)都是由前一個(gè)數(shù)加3得到的。

例3．證明存在無(wú)窮多的合數(shù)n，使3n?1?2n?1是n的倍數(shù)。

證明：x?y,k?N,有x-y|xk?yk

而32?22t(?2為合數(shù)，令)x?y?

ttt23?*2t22?n

則3?2|(3?)

2t|n?12tt2t2kt(2?)2kkt*2?3kt2因此，本題只要證明n?1?2?k即,t

用歸納法證明：t=1時(shí)成立

假設(shè)t=m時(shí)成立

t=m+1時(shí)，有32

由假設(shè)，2|3

而2|3

命題得證。

2mmm?1。?1?(32?1)(32?1）mm2m?1, ?1,則m+1時(shí)也成立。

3．按模分類(lèi)

例4．非常數(shù)的正整數(shù)無(wú)窮序列{

2，……，求證：數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系an?1?2an?1或an?1?2a?1，n=1，an}中至少有一項(xiàng)為合數(shù)。

證明：用mod3分類(lèi)。由于單調(diào)增，不妨假設(shè)a1>3,否則去掉前面幾項(xiàng)（由于是遞增數(shù)列）

（1）如果a1?0（mod 3）,則3|a1

（2）如果a1?1（mod 3）,且a1為素?cái)?shù)，否則a1為合數(shù)。

若a2?2a1?1?a2?0（mod 3）,得證

若a2?2a1?1?a2?1(mod 3）

因此依次分析下去，或者得到ai?0(mod3），或者得到一個(gè)序列

a1?a2?……?1（mod 3）,則an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)為等比數(shù)列。

?an?1＝2n（a1?1）＋1

a?1由費(fèi)馬小定理，aa1?21(a1?1)?1?a1?1?1?0（mod a1）?a1|aa1,得到

aa1為合數(shù)。

（3）a1?2（mod 3）同理可證。

4．試驗(yàn)，猜想，證明

例5．證明有無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)n，使得n|2n?2,n?1|2n?1

證明：顯然，n＝2滿足條件。

nnn|2?2,n?1|2?1成立。假設(shè)，?n?N，使得

nnn|2?2,n?1|2?1，可得2|n,且n不能被4整除。由

由n?1|2n?1?

n?1?k? 2n?1＝k*(n－1)，其中k,n-1為奇數(shù)。則 22?1?2(n?1)k?1?(2n?1?1)M，其中M為整數(shù)。

?2n?1?1|22?1?2n?2|22?2 n?1n?2

n另一方面，由n|2?2，n不是4的倍數(shù)，則可設(shè)2?2＝n t ,t為奇數(shù)。則

n?2n?2n22?1＝2nt?1?(2n?1)T，其中T為整數(shù)。?2n?1|22?1

2nn因此，當(dāng)n|2?2,n?1|2?1時(shí)有2?2|2nn?2?2，2n?1|22?1。找到了無(wú)窮多n?2

個(gè)n滿足條件。

5．構(gòu)造法

（1）按歸納法構(gòu)造

例6．證明：對(duì)?n?N，n?2, ?一個(gè)由n個(gè)整數(shù)構(gòu)成的集合S,使S中任意兩個(gè)不同的數(shù)

a ,b滿足(a?b)2|ab

證明：對(duì)n采用歸納構(gòu)造。

n=2,取S={1,2}

設(shè)n=k時(shí)，存在k個(gè)元素的集合Sk?{a1,a2,……，ak}滿足ai?aj|aiaj(i?j)令A(yù)=a1?a2……ak,考慮如下k個(gè)數(shù)：

A,A?a1,……,A+ak

考慮它們所構(gòu)成的集合Sk?1，則可以驗(yàn)證所得的集合滿足條件。

（2）按階乘構(gòu)造

例7．證明：可以把N分成兩個(gè)子集A,B，使A中任何3個(gè)數(shù)都不成等差數(shù)列，而且不存在由B中無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列。

證明：令A(yù)={n!?n|n?N}，B=N-A

（1）對(duì)m?n?k?1有(k!?k)?(m!?m)?m!?m ?

?m(n!)?m?3(n!)?m

?2(n!)?n!?m?2(n!?n)

因此A中任意三個(gè)數(shù)都不是等差數(shù)列。

（2）若B中含有首項(xiàng)為a1，公差為d的的無(wú)限長(zhǎng)等差數(shù)列，則此數(shù)列中有一項(xiàng)為a1?((a1?d)!?1)d?(a1?d)!?(a1?d)?A，矛盾！d

因此B中沒(méi)有無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列。

6．關(guān)于數(shù)論知識(shí)的綜合應(yīng)用

例8．（I）p, q, r, a?N，滿足pq?ra,且r是系數(shù)，（p ,q）=1,證明：p ,q中有一個(gè)為完全

平方數(shù)。

（II）是否存在素?cái)?shù)p ,使p(2

證明：（I）顯然。

（II）設(shè)p(2p?1p?1?2?1)為完全平方數(shù)。?1)?b2,p?2時(shí)，b2?14，不是完全平方數(shù)

?p?2,設(shè)p?2q?1。

由于p|b2?p|b,設(shè)b=pa,則有p(2p?1?1)?p2a2，?2p?1?1?pa2，p?1而2?1?22q?2?1?(2q?1?1)(2q?12?pa，由（1）知，?1)

2q?1?1,2q?1?1中有一個(gè)數(shù)為完全平方。

(1)若2q?1?1?c2?2q?1?c2?1,q?1,則4|2q?1，但是c2?1不是4的倍數(shù)?矛盾

?1(2若)q2??1c2?q?122?c??1c?(c?1)(1)

?c?1?2q1,c?1?2q2,q1?q2,。q1?q2?q?1，而2q1?2q2?2 ?2q2(2q2?q1?1)?2。

?2q2?q1?1?1?q1?1,q2?2?q?2?p?5。

但是p(2p?1?1)＝5×63不是完全平方數(shù)?矛盾！

因此不存在！

習(xí)題：

1． 證明：?n?N,19?8?17都是合數(shù)

2． 求證數(shù)列｛2—3｝中存在子序列，使其中項(xiàng)兩兩互素 nn

第三篇：根的存在性證明(零點(diǎn)定理)

根的存在性定理：如果f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

f(a)f(b)?0,則存在??（a,b）使得f(?)?0。

證明利用構(gòu)造法的思想，將f(x)的零點(diǎn)范圍逐步縮小。先將[a,b]二a?ba?ba?b],[,b]，如果f()?0。則定理獲證。如果222

a?ba?bf()?0，)異號(hào)，則f(a)和f(b)中必然有一個(gè)與f(記這個(gè)小區(qū)間22

b?a為[a1,b1],它滿足f(a1)f(b1)?0且區(qū)間的長(zhǎng)度b1-a1?。又將[a1,b1]二等2等分為[a,分，考慮中點(diǎn)的函數(shù)值，要么為零，要么不為零。如果中點(diǎn)的函數(shù)值為零，則定理獲證。如果中點(diǎn)的函數(shù)值不為零，那么必然可以選出一個(gè)小區(qū)間，使得f(x)在這個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)值異號(hào)，記這個(gè)小區(qū)間為

[a2,b2]，它滿足[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]，b2?a2?b?a且f(b2)f(a2)?0。采22

用這樣的方法一直進(jìn)行下去，或者到有限步時(shí)，某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)的函數(shù)值為零，這樣定理的結(jié)論成立?；蛘咚袇^(qū)間的中點(diǎn)的函數(shù)值不為零，那么我們就會(huì)得到一個(gè)無(wú)窮的區(qū)間序列{[an,bn]}，它滿足:①

[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]????；②bn?an?b?a；③f(bn)f(an)?0。2n

an?limbn???[a,b]，如果f(?)?0，由單調(diào)有界定理，可以得到limn??n??

則定理獲證。如果f(?)?0，因?yàn)閒(x)在?點(diǎn)連續(xù)，因而由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性：存在一個(gè)??0，使得f(x)在(???,???)?[a,b]上與f(?)同號(hào)。根據(jù)所構(gòu)造的區(qū)間的性質(zhì)②，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，[an,bn]?(???,???)?[a,b]。根據(jù)區(qū)間的性質(zhì)③，f(bn)f(an)?0，矛盾。

綜上所述，只有f(?)?0，且??[a,b]。定理獲證。

注：上面采用的證明方法是非常有用的二分法，其思想可以廣泛的應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，而an,bn實(shí)際上是函數(shù)零點(diǎn)的近似值。

第四篇：存在與唯一性定理的證明

Picard存在與唯一性定理的證明

定義：設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域上有定義，如果存在常數(shù)L?0，使對(duì)任何(x,y1),(x,y2)?均滿足不等式f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，則稱(chēng)f(x,y)在上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，稱(chēng)L為

Lipschitz常數(shù)

Picard定理：設(shè)f(x,y)在閉矩形域：x?x0?a,y?y0?b上連續(xù)，且關(guān)于y滿足Lipschitz條

?dy

??f(x,y)

件，則初值問(wèn)題?dx·········①

??y(x0)?y0

在區(qū)間I??x0?h,x0?h?上有且只有一個(gè)解，其中h?min(a,證明：整個(gè)證明過(guò)程分成如下五個(gè)部分

x

b),M?f(x,y)M(x,y)?Ⅰ，首先證明求初值①的解等價(jià)于求積分方程y?y0?

x0

·········②的連續(xù)解。?f(x,y)dx,x?I·

?d(?(x))

?f(x,?(x))?

事實(shí)上，若y??(x)(x?I)是初值問(wèn)題①的解，則有?dx,x?I

??(x0)?y0?

由此，f(x,?(x))在I上連續(xù)，從而可積，于是對(duì)恒等式

x

d(?(x))

?f(x,?(x)),x?I積分并利用初始條件，dx

得到?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I即，y??(x)(x?I)是積分方程②的解

x

反之，設(shè)y??(x)(x?I)是方程②的連續(xù)解，即有恒等式?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I

x

因?yàn)閒(x,?(x))在I上連續(xù)，故?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I右端是積分上限x?I的可微函數(shù)，從而

?(x)在I可微

x

于是將?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得恒等式

d(?(x))

?f(x,?(x)),x?I，并令x?x0得y(x0)?y0，因此 dx

y?(x)(x?I)是初值問(wèn)題①的解

因此，我們只需證明積分方程②存在唯一定義在區(qū)間I??x0?h,x0?h?上的連續(xù)解。我們采用Picard的逐次逼近法來(lái)證明，基本思路就是在所設(shè)條件下構(gòu)造出一個(gè)一致收斂的連續(xù)函數(shù)序列，它的極限函數(shù)恰是積分方程②的唯一解

Ⅱ，用逐次迭代法在區(qū)間I上構(gòu)造逐次近似的連續(xù)函數(shù)序列

x

?

?yn?1(x)?y0??f(x,yn(x))dx

·········③ ,x?I·?x0

?

y0(x)?y0?

當(dāng)n?0時(shí)，注意到f(x,y0(x))是I上的連續(xù)函數(shù)，所以由③知

x

y1(x)?y0??f(x,y0(x)),(x?I)在I

x0

上是連續(xù)可微的，而且滿足不等式

x

y1(x)?y0?

x0

?

f(x,y0(x))?Mx?x0于是在區(qū)間I上y1(x)?y0?Mh?b

因此，f(x,y1(x))在I上是連續(xù)的，所以由式③知

x

y2(x)?y0??f(x,y1(x)),(x?I)

x0

在區(qū)間I上是連續(xù)可微的，而且滿足

x

y2(x)?y0?

x0

?

f(x,y1(x))dx?Mx?x0于是在區(qū)間I上y2(x)?y0?Mh?b

以此類(lèi)推，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法易證： 由③式給出的所謂Picard序列

?yn(x)?

是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)序列，而且滿足不等式

yn(x)?y0?Mx?x0?Mh?b,n?0,1,....Ⅲ，證明Picard序列?yn(x)?在區(qū)間I上一致收斂

考慮級(jí)數(shù)

y0??y1(x)?y0??...??yn(x)?yn?1(x)??...··········④它的部分和為

y0???yk(x)?yk?1(x)??yn(x)，于是，要證明序列?yn(x)?在區(qū)間I上一致收斂，只需證明級(jí)數(shù)④在I

k?1

n

上一致收斂。為此我們歸納證明不等式：

yn?1(x)?yn(x)?ML

n

x?x0

n?1

(n?1)?

(n?0,1,...)·······⑤在I上成立事實(shí)上，當(dāng)n?0時(shí)由

x

y1(x)???

x0

f(x,0y(x))?dx

k?1

知式M?0xx⑤成立，假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)⑤式成立，即有

yk?1(x)?yk(x)?ML

k

x?x0

(k?1)?

x

(k?0,1,...)在I上成立

則由式③知yk?2(x)?yk?1(x)?

x0

?[f(x,y

k?1

(x))?f(x,yk(x))]dx根據(jù)Lipschitz條件和歸納假設(shè)得

x

yk?2(x)?yk?1(x)?

x

x0

?Ly

k?1

(x)?yk(x)dx

x?x0

k?2

?MLk?1

x0

?

x?x0

k?1

(k?1)?

dx?MLk?1

(k?2)?

即當(dāng)n?k?1時(shí)式⑤也成立，因此有數(shù)學(xué)歸納法知式⑤得證

hn?1

(n?0,1,...)因當(dāng)x?I時(shí)，x?x0?h，故由式⑤知yn?1(x)?yn(x)?ML

(n?1)?

n

hn?1

因正項(xiàng)級(jí)數(shù)?ML收斂，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Weierstrass（魏爾斯特拉斯）判別法知級(jí)數(shù)

(n?1)?n?0

??

n

④在區(qū)間I上一致收斂從而Picard序列?yn(x)?在區(qū)間I上一致收斂 設(shè)其極限函數(shù)為?(x)，即當(dāng)x?I時(shí)一致的有l(wèi)imyn(x)??(x)

n??

則y??(x)在I上是連續(xù)的且由yn(x)?y0?b推知(x)?y0?b,x?I Ⅳ，證明y??(x),(x?I)是積分方程②的解

x

在式③兩端令n??得到?(x)?y0?lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds

n

x

x

因此問(wèn)題歸結(jié)為證明lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds??f(s,?(s))ds

n

x0

因Picard序列?yn(x)?在I上一致收斂，則任給??0，存在自然數(shù)N?N(?)，當(dāng)n?N時(shí)，對(duì)I中所

?

Lh

故當(dāng)x?I時(shí)，由Lipschitz條件知

有x有yn(x)??(x)?

x

n

x

x0

?f(s,y(s))ds??f(x,?(x))ds

x0

xx0x

?

?

f(s,yn(s))?f(s,?(x))ds

?

x0x

?Ly(s)??(s)ds

n

??

x0

?L

?dsLh

??

x?x0?h??hh

x

x

n

因此式lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds??f(s,?(s))ds成立

x0

x

因而當(dāng)x?I時(shí)有?(x)?y0?

x0

?f(s,?(s))ds，所以y??(x),(x?I)是積分方程②的一個(gè)連續(xù)解

Ⅴ，證明積分方程②的連續(xù)解的唯一性

x

設(shè)y??(x)也是方程②的定義在區(qū)間I上的連續(xù)解，則?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I于是與步驟Ⅲ類(lèi)

hn?1

(n?0,1,...)在I上成立 似，可歸納證明得yn(x)??(x)?ML

(n?1)?

n

從而Picard序列?yn(x)?在區(qū)間I上也一致收斂與?(x)，因此我們推出?(x)??(x),x?I 所以，積分方程②的連續(xù)解是唯一的。至此，定理得證?！咀ⅰ慷ɡ碇袛?shù)h?min{a,b的幾何意義 M

dy

?f(x,y)的積分曲線上任一點(diǎn)的切線斜率介于?Mdx

與M之間。過(guò)點(diǎn)p(x0,y0)分別引斜率為?M與M的直線B1C和BC1：

因?yàn)樵陂]矩形域上有f(x,y)?M，所以方程

y?y0?M(x?x0),y?y0?M(x?x0)，當(dāng)M?

顯然方程

bb

時(shí)，如圖㈠所示；當(dāng)M?時(shí)，如圖㈡所示 aa

dy

?f(x,y)過(guò)點(diǎn)p(x0,y0)的積分曲線y??(x)(如果存在的話)不可能進(jìn)入圖㈠或㈡所示的兩dx

bb

(即a?)由圖㈠可見(jiàn)解y??(x)在整個(gè)區(qū)間?x?a,x?a?上有定義；若

Ma

個(gè)陰影區(qū)域內(nèi)。若M?

M?

bb

(即a?)由㈡可見(jiàn)，不能保證解y??(x)在?x?a,x?a?上有定義。它可能在Ma

x?x1(x0?x1?x0?a)或x?x2(x0?a?x2?x0)外到達(dá)的上邊界y?y0?b或下邊界y?y0?b，于

是，當(dāng)x?x1或x?x2時(shí)，y??(x)沒(méi)有定義。此時(shí)，由于點(diǎn)B1,C1,B,C的橫坐標(biāo)分別為x0?

b

及M

x0?

bbbb??，故可保證解y??(x)在區(qū)間?x0?,x0??上有定義。綜上，只要取h?min{a,，則MMMM??

當(dāng)x?x0?h時(shí)，有?(x)??(x0)??(x)?y0?Mx?x0?Mh?b，即當(dāng)x?I?[x0?h,x0?h]時(shí)，積分曲線y??(x)不會(huì)躍出閉矩形域

第五篇：信仰之不可證明性與不確定性

一提到“信仰”，無(wú)論是宗教意義上的還是政治意義上的，人們首先想到的便是其堅(jiān)定性和確定性，因?yàn)榧偃鐩](méi)有這兩個(gè)特征，信仰便不足以成為人生的指南。為此，思想家們、信仰主義者們想出種種辦法來(lái)強(qiáng)化、鞏固信仰的堅(jiān)定性，比如基督教思想史上就曾產(chǎn)生過(guò)關(guān)于上帝存在的諸種理性證明。不過(guò)，克爾凱郭爾借假名作者約翰尼斯·克利馬克斯之口不僅強(qiáng)烈反對(duì)用理性去證明上帝的存在，而且他還提出了一個(gè)驚人的觀點(diǎn)：基督教信仰的死敵是“確定性”，只有在“不確定性”信仰才能找到有用的導(dǎo)師。[i] 從結(jié)果上看，克爾凱郭爾并沒(méi)有因此削弱信仰的堅(jiān)定性，相反，在他眼中，“信仰”是一個(gè)自身即具有“強(qiáng)力”（Magt;Power）的特殊的“器官”?？藸杽P郭爾為什么要反對(duì)對(duì)上帝存在的理性證明，他為什么視“確定性”為基督教信仰的大敵，這將是本文試圖回答的兩個(gè)問(wèn)題。這里將主要討論克爾凱郭爾歸在假名作者克利馬克斯名下的兩部最具哲學(xué)意味的著作《哲學(xué)片斷》和《附言》。

一、信仰之不可證明

西方文化具有兩大思想源頭：希臘理性主義和希伯萊信仰主義，在根本上它們是不同的兩類(lèi)精神系統(tǒng)，甚至在某些方面還相互反對(duì)。希臘人不相信、不信任個(gè)人的感覺(jué)，他們追求從林林總總的現(xiàn)象背后挖掘出恒定不變的規(guī)律、規(guī)則，追求過(guò)硬的理性證明。而“信仰”的英文對(duì)應(yīng)詞faith源自拉丁詞fides，其主要意思就是對(duì)某種無(wú)法給出證明的東西的堅(jiān)定信念，或者說(shuō)在無(wú)可證明的前提下對(duì)某種信念義無(wú)反顧的接受。“信仰”無(wú)需亦無(wú)從證明，它的最佳伴侶就是“接受”。但是，在基督教思想史上曾經(jīng)有一些神學(xué)家嘗試性地把希臘的理性證明精神與基督教信仰結(jié)合起來(lái)，成就了一批對(duì)上帝存在的著名證明，使“基督教哲學(xué)”成為了可能，從而使希臘的哲學(xué)精神得以在基督教思想中保存和延續(xù)了下來(lái)。這些證明不啻將成為人們相信上帝存在的理由，進(jìn)而成為基督教信仰的強(qiáng)化劑。有證明就有反證明。在基督教思想史上，同樣有一批頗有見(jiàn)地的思想家強(qiáng)烈反對(duì)把哲學(xué)的證明精神運(yùn)用到基督教信仰的領(lǐng)域，認(rèn)為這種做法混淆了哲學(xué)和宗教、理智和信仰之間的界限，克爾凱郭爾就是其中一個(gè)。

在《哲學(xué)片斷》當(dāng)中，假名作者克利馬克斯針對(duì)斯賓諾莎“本質(zhì)包含存在”的命題對(duì)從本體論上證明上帝存在的思路進(jìn)行了否定和批判。根據(jù)斯賓諾莎，“存在”和 “完美性”是上帝的本質(zhì)屬性，因此從邏輯上講，上帝的存在是不證自明的。某物越完美，它所包含的存在也就越多、越必然。因此，上帝的存在不僅最多，而且最必然。[ii] 在克利馬克斯看來(lái)，這個(gè)推論犯了偷換概念的毛病。斯賓諾莎命題旨在證明上帝的存在，但實(shí)際上它所討論的是“本質(zhì)”（V?sen）而不是“存在”（V?ren），或者說(shuō)是“概念的、理想性的存在”而不是“真實(shí)的存在”；這些概念之間本應(yīng)有著嚴(yán)格的區(qū)分，就像想像中的一百塊錢(qián)與口袋中實(shí)際擁有的一百塊錢(qián)完全不可同日而語(yǔ)一樣?？死R克斯以一個(gè)經(jīng)驗(yàn)主義的態(tài)度指出，從“概念”推導(dǎo)出“存在”的道路是行不通的，因?yàn)閷?duì)于可感覺(jué)事物而言，能夠確定它存在與否的只有我們的感知覺(jué)。即便是像“上帝”這樣的“至上概念”也并不享受任何特權(quán)；我們并不能因?yàn)樯系凼且粋€(gè)我們無(wú)法設(shè)想的比之更完善的東西就得出結(jié)論說(shuō)上帝是存在的（這是圣安瑟倫的基本思路）?？死R克斯明確而大膽地指出，“就真實(shí)的存在而言，討論什么或多或少的存在毫無(wú)意義。一只蒼蠅，當(dāng)其存在的時(shí)候，它有著與上帝同樣多的存在?！驼鎸?shí)的存在而言，起作用的是哈姆雷特的辯證法：在還是不在?！?[iii]

顯然，克利馬克斯抓住了關(guān)于上帝存在的本體論證明的癥結(jié)，這類(lèi)證明把“本質(zhì)”與“存在”混為一談，以概念與存在的同一性為前提，尤其是以最高的概念本身即包含有實(shí)在性為前提，結(jié)果在證明開(kāi)始之前，證明者其實(shí)就必須對(duì)“上帝是否存在”這一點(diǎn)做出判斷了。假如說(shuō)上帝不存在，則這證明無(wú)法開(kāi)始；而若說(shuō)上帝是存在著的，則這證明毫無(wú)意義。最終，對(duì)上帝存在的本體論證明充其量只能算是在邏輯層面上對(duì)“上帝”概念的一種不徹底的展開(kāi)，一種形式化的邏輯演繹。倘若從奧古斯丁所提出的“信仰尋求理解”的口號(hào)出發(fā)，這類(lèi)證明的意義似乎還好理解：先確信“上帝”是存在的，然后調(diào)動(dòng)理性積極探求這種存在的合理性，進(jìn)一步清除接受信仰的邏輯障礙，從而為信仰注入強(qiáng)心劑。問(wèn)題是，這類(lèi)證明對(duì)于那些原本無(wú)信的人是

否有用？

克利馬克斯的答案顯然是否定的。在他看來(lái)，對(duì)上帝存在的證明不僅是無(wú)效的，而且從虔誠(chéng)的角度來(lái)看，這種證明恰恰暴露出了求證者的懷疑和“心虛”。對(duì)于真正的信仰者來(lái)說(shuō)，不管證明與否，上帝都是存在的，證明不能為信仰增添任何份量。相反，那些努力尋求對(duì)上帝存在的證明的人在內(nèi)心深處往往害怕上帝并不存在，或者至少對(duì)上帝的存在沒(méi)有把握，所以他們才會(huì)求助于概念和邏輯的幫助以使自己心安理得。把理性的證明行為看做是“懷疑”的結(jié)果這一點(diǎn)并不是克利馬克斯的獨(dú)道見(jiàn)解，笛卡爾就曾把嚴(yán)格的理性求證與徹底的懷疑精神緊密地聯(lián)系在一起。笛卡爾懷疑感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的可靠性，認(rèn)為人類(lèi)只能認(rèn)識(shí)自明的真理，或者認(rèn)識(shí)從自明的前提出發(fā)通過(guò)邏輯推理得出的真理。因此，為了獲得可靠的知識(shí)，我們首先必須采取一種徹底懷疑的態(tài)度，懷疑一切可以懷疑且又不會(huì)造成自相矛盾的事物。然后從一個(gè)不受懷疑影響的基點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)理性推理來(lái)獲得知識(shí)。所不同的是，克利馬克斯并不懷疑感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的可靠性，在他看來(lái)，錯(cuò)誤的來(lái)源不是感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，而是我們?cè)诖嘶A(chǔ)上做出的判斷。而且正是從感覺(jué)主義的角度出發(fā)，克利馬克斯有力地批駁了混淆“本質(zhì)”與“存在”的錯(cuò)誤。雖然克利馬克斯并沒(méi)有提到對(duì)上帝存在的其他證明，但是我們可以推斷，他從根本上是不贊成用理性來(lái)證明上帝存在這一思路的。證明的行為不會(huì)使上帝出場(chǎng)，上帝的出場(chǎng)依靠的是一個(gè)“跳躍”（Spring），它發(fā)生在我們放棄或者終止求證行為之時(shí)。上帝的存在應(yīng)該被視為一個(gè)“永恒的設(shè)定”，視為是我們生存的勇氣的源泉。

二、信仰之不確定性

在《哲學(xué)片斷》中克利馬克斯否定了對(duì)上帝存在的理性證明的意義，把人們通常認(rèn)為的信仰的強(qiáng)化劑剝除掉了。接著，在《附言》當(dāng)中，他又進(jìn)一步提出“確定性”為信仰的大敵，把信仰推到某種“不確定性”的狀態(tài)之中。[iv] 這與我們通常的認(rèn)識(shí)是反對(duì)的。信仰總是對(duì)某種確定的東西的相信和接受，確定性能夠給人以目標(biāo)感、歸屬感，能夠讓人踏踏實(shí)實(shí)地知道自己信仰的對(duì)象是什么、可能的“收益”是什么。信仰之所以能夠成為飄泊心靈的撫慰劑（宗教之為鴉片）正是因?yàn)樾叛龅拇_定性。而信仰某種不確定性的東西是困難的，我們不僅無(wú)法完全認(rèn)識(shí)信仰的對(duì)象，更不知道我們的信仰最終能否得到預(yù)期的“回報(bào)”。但是，如果在這種不確定的情況下我們依然能夠?qū)π叛霰３种叨鹊募で?，那么這樣的信仰一定會(huì)堅(jiān)如磐石。在以下的篇幅中我們首先來(lái)看看克利馬克斯所謂信仰之不確定性的涵義，從而厘清他反對(duì)在信仰與確定性之間聯(lián)姻的根據(jù)。

在克利馬克斯的語(yǔ)匯表中，“確定性”與“客觀性”是相對(duì)應(yīng)的，“不確定性”則與“主觀性”、“主體性”相呼應(yīng)。因此，疏離信仰與確定性之間的關(guān)系首先意味著反對(duì)把基督教信仰當(dāng)成某種客觀的知識(shí)體系?！靶叛觥迸c“知識(shí)”的混淆是克利馬克斯對(duì)其時(shí)代最大癥結(jié)的診斷?；浇绦叛霾皇且环N“知識(shí)形態(tài)”，因?yàn)槲覀冃叛龅摹皩?duì)象”“上帝”不是某種具有客觀確定性的知識(shí)的“對(duì)象”，而是一個(gè)“不可知者”，是存在中最大的不確定性。不難看出，克利馬克斯的根本出發(fā)點(diǎn)來(lái)自“ 上帝”的絕對(duì)的、至上的超越性存在，這是基督教的立教之本。如果“上帝”成了客觀的、具有確定性的認(rèn)知對(duì)象，這就會(huì)與上帝的超越性存在發(fā)生矛盾?！吧系邸?不是具體的存在者，“上帝”就是全部的存在、是存在本身；“上帝”不是認(rèn)知的對(duì)象，而是智慧本身，因此“上帝”不應(yīng)該表現(xiàn)為任何確定性的形式，這一點(diǎn)正是耶和華強(qiáng)烈反對(duì)偶像崇拜、而且一再?gòu)?qiáng)調(diào)“人見(jiàn)我的面不能存活” [v] 的理路之所在。問(wèn)題是，有限性的人類(lèi)如何才能接近超越性的“上帝”并且領(lǐng)會(huì)其傳遞出來(lái)的智慧信息呢？在基督教思想史上，許多具有深刻思辨精神的教父?jìng)儭⒔?jīng)院哲學(xué)家們提出了“啟示”和“理智認(rèn)知”兩條道路并行的方法。他們?cè)谥髦胁患s而同地感嘆，相比于上帝的智慧，人類(lèi)理智是有限的，無(wú)論我們?nèi)绾握{(diào)動(dòng)理智也不可能認(rèn)識(shí)上帝的全部，于是接受啟示就是十分必要的。與此同時(shí)，他們也并不輕言放棄，他們?cè)诿髦豢蔀榈那闆r下依然努力進(jìn)行理智認(rèn)知。這類(lèi)感嘆無(wú)疑有著那個(gè)時(shí)代人類(lèi)思想遭受禁錮的烙印，但它也傳達(dá)出了相當(dāng)深刻的哲理。如同赫拉克利特曾說(shuō)的那樣，“自然喜歡躲藏起

來(lái)”，對(duì)于至上的存在、對(duì)于存在本身，無(wú)論人類(lèi)的思維能力如何進(jìn)步，我們也不可能完全把握其全貌，而這一點(diǎn)又成為人類(lèi)不斷思考并尋求解決問(wèn)題的嘗試的起點(diǎn)。不過(guò)，克爾凱郭爾并不認(rèn)同這種“啟示”與“理智認(rèn)知”并行的辦法，他從基督教的核心思想之一悖論性出發(fā)指出，對(duì)于“理智”（Forstand，德文Verstand）判斷力而言——請(qǐng)注意，與康德一樣，克爾凱郭爾在這里并沒(méi)有采用“理性”（Fornuft，德文Vernunft）的概念，基督教上帝的存在本身即是一個(gè)荒謬的、不可思議的悖論，一種最高程度的“不可能性”，它表現(xiàn)為永恒的（《舊約》中所說(shuō)的“自有永有的”）、神圣的上帝要以人子的身份在時(shí)間當(dāng)中臨現(xiàn)，甚至被釘死在十字架上。這個(gè)悖論是被給定的，是信仰者必須接受的前提，如果非要用理智判斷力來(lái)把握它的話，那么無(wú)論對(duì)上帝還是對(duì)理智都構(gòu)成了“冒犯”。信仰與理智是相沖突的兩類(lèi)不同質(zhì)的東西，通達(dá)信仰的有效途徑不是認(rèn)識(shí)、不是知識(shí)，而是激情和愛(ài)。

而一旦信仰不再是客觀確定性的“知識(shí)形態(tài)”，那也就不存在人人都可以通過(guò)認(rèn)知活動(dòng)來(lái)達(dá)至信仰的可能性。也就是說(shuō)，在堅(jiān)持基督教信仰的悖論性的情況下，人類(lèi)認(rèn)知活動(dòng)所體現(xiàn)出的普遍精神將被消解，信仰將處于一種更大的不確定性之中?？死R克斯一再?gòu)?qiáng)調(diào)，在他生活的時(shí)代做一名基督徒過(guò)于容易了，一個(gè)人只要出生在基督教國(guó)家、生長(zhǎng)在基督教家庭就順理成章就成了一名基督徒，為此，他要使成為基督徒變得困難起來(lái)，而他采取的行動(dòng)的第一步便是重新在關(guān)于基督教的知識(shí)和對(duì)基督教的信仰之間做出嚴(yán)格區(qū)分，重返被認(rèn)知活動(dòng)的普遍精神掩蓋住的基督教的另一個(gè)核心思想“差別意識(shí)”。

基督教原本就是一種在結(jié)果上具有高度不確定性的宗教?？死R克斯區(qū)分并討論過(guò)兩種不同的宗教：人的宗教或心性的宗教（即“宗教A”）和基督教（“宗教B”）。“人的宗教”認(rèn)為人應(yīng)當(dāng)在其自身內(nèi)部與永恒建立關(guān)系，真理就存在于人的內(nèi)心，因此人有能力按照真理塑造自身、有能力解放自己。而在基督教那里，人當(dāng)與在時(shí)間當(dāng)中顯現(xiàn)的“上帝”的啟示建立關(guān)系，人的拯救并非來(lái)自我們對(duì)上帝的意識(shí)，而是來(lái)自“上帝”的顯現(xiàn)者。這也就是說(shuō)，“人的宗教”傳達(dá)出的是一種普遍性的精神，真理就在身內(nèi)，只要我們返求諸己，就有可能修成正果；而基督教倡導(dǎo)的是一種與普遍精神相反對(duì)的“不可能性”和“差別意識(shí)”，基督教從一開(kāi)始就沒(méi)有為每個(gè)人在天堂預(yù)留位置，人無(wú)法依靠自己的力量戰(zhàn)勝罪從而實(shí)現(xiàn)自我解放，人的拯救需要依靠外部的力量。拯救最終取決于上帝的恩典，信仰的最終結(jié)果并不在我們的掌握之中，正是這一點(diǎn)使得基督教信仰變得如此不確定。這里，克利馬克斯是在重彈“過(guò)窄門(mén)”的舊調(diào)?！妒ソ?jīng)》有言：“你們要進(jìn)窄門(mén)。因?yàn)橐綔缤?，那門(mén)是寬的，路是大的，進(jìn)去的人也多；引到永生，那門(mén)是窄的，路是小的，找著的人也少”。[vi] “ 窄門(mén)”并非人人都能通過(guò)。只有那些愿意且能夠通過(guò)的人才能最終與永恒福祉建立關(guān)聯(lián)，在克利馬克斯眼中這些人就是“幸福的和不幸的戀人”，那些敢于正視悖論、敢于追求“不可能性”的人們，這類(lèi)人是有激情的。他并不看好那些出于理性的精明算計(jì)而定時(shí)定量往個(gè)人事功的賬戶(hù)上“存款”的平庸之輩，因?yàn)檫@類(lèi)人自以為能夠通過(guò)人為的努力贏得上帝的恩典，恕不知上帝的意志根本不是人類(lèi)理智所能參透的。

在個(gè)人需要依靠外部力量獲得拯救的前提下，真正意義上的信徒不能挖空心思地想著如何“討好”上帝，從而為自己在天堂贏得一席之地，他所能做的就是放棄自我，承認(rèn)自己在上帝面前一無(wú)所是，然后“盡心、盡意、盡力”地愛(ài)上帝。因?yàn)樾叛稣呙靼?，是我們需要上帝無(wú)邊無(wú)際的愛(ài)而非相反，是我們需要以上帝作為生存的勇氣的源泉。而且，上帝是先愛(ài)我們的，上帝不會(huì)濫用他的意志，上帝定會(huì)做出他的選擇。尤為重要的是，對(duì)上帝的愛(ài)和信仰并不是一次性的、一勞永逸的，它將貫穿個(gè)體整個(gè)的生命歷程，貫穿在生命的每一個(gè)“瞬間”?！八查g”是克利馬克斯突出基督教信仰的意義時(shí)特意提出的一個(gè)重要概念，它與“決斷”是緊密相聯(lián)的。[vii] 任何人在面臨是否接受信仰的時(shí)候都會(huì)做出自己的“決斷”。問(wèn)題是，有的人只在接受洗禮、堅(jiān)信禮等重要時(shí)刻才做出“決斷”，似乎只要一次性地做出了接受基督教信仰的“決斷”，他就無(wú)可爭(zhēng)議地成了基督徒。但是，只此一次地把自我毫無(wú)保留地交給上帝并不難，難的是在生命的每一瞬間都做出忠于信仰的正確決斷，無(wú)論身處順境還是逆境。而每當(dāng)個(gè)體最終克服了懷疑的情緒、克服了來(lái)自理智和意志的沖動(dòng)并且做出了決斷的時(shí)候，他的信仰也就隨之得到了強(qiáng)化。信仰者應(yīng)該清楚地知道，上帝與人之間存在著無(wú)可逾越的鴻溝，因此對(duì)于信仰者來(lái)說(shuō)，我們所能做的只是在生命的每一瞬間不斷地去“接近”上帝，從而使上帝充盈到我們生命的整個(gè)流程之中。

三、信仰之為特殊的“器官”

在考察了克利馬克斯所謂信仰之不確定性的涵義之后，現(xiàn)在就來(lái)看看他心目中的信仰究竟是什么。

從否定的意義上來(lái)看，克利馬克斯竭力反對(duì)把對(duì)信仰的知識(shí)與信仰本身等同起來(lái)，認(rèn)為基督教信仰不是客觀的知識(shí)體系，它不會(huì)從學(xué)術(shù)性的考量之中直接產(chǎn)生，它甚至也不會(huì)從“歷史事件”（指耶穌被釘死在十字架上）直接產(chǎn)生。信仰就是信仰，它是一個(gè)與知識(shí)完全不同類(lèi)的“新的器官”，它本身就是有“力量”的；任何想以知識(shí)來(lái)替代信仰的意向和行動(dòng)都是對(duì)信仰的冒犯。進(jìn)一步說(shuō)，信仰與客觀性無(wú)關(guān)。在《附言》第一部分“關(guān)于基督教的客觀真理”之中，克利馬克斯逐一考察了圍繞著基督教真理的三個(gè)“客觀的”因素：《圣經(jīng)》、教會(huì)以及基督教發(fā)展史，認(rèn)為它們不僅與人們獲得信仰無(wú)關(guān)，而且人們還有可能在客觀性之中喪失獲得信仰的條件。

從肯定的意義上來(lái)看，克利馬克斯心目中的基督教信仰有三個(gè)關(guān)鍵性的名詞“精神、心性、主體性”，以及三個(gè)有意味的形容詞“充滿激情的、無(wú)限的、個(gè)體性的 ”。克利馬克斯認(rèn)為：“基督教是精神，精神是心性，心性是主體性；主體性本質(zhì)上就是激情，最強(qiáng)烈的激情就是對(duì)其永恒福祉的無(wú)限的、個(gè)體性的投入?！?[viii] 信仰完全是一樁個(gè)體性的（personal）、主體性的（subjective）事業(yè)。永恒福祉只與個(gè)體建立關(guān)聯(lián)，它通過(guò)與他、他、每一個(gè)單個(gè)的他建立關(guān)聯(lián)，最終才能與所有的人建立關(guān)聯(lián)。這種一對(duì)一的關(guān)系是上帝作為惟一神而向人提出的要求。如此一來(lái)，信仰只與主體、個(gè)體有關(guān)，信仰完全是主體與“上帝”之間的一樁“密謀”。一個(gè)人成為基督徒不能靠出身，不能因?yàn)閲?guó)教、家庭等客觀因素就自然成為基督徒，一個(gè)人必須通過(guò)“選擇”而成為基督徒，并且這種選擇是發(fā)自主體“心性”的一種精神追求?？死R克斯一再?gòu)?qiáng)調(diào)把信仰與知識(shí)分離開(kāi)來(lái)就是為了強(qiáng)化信仰的這個(gè)涵義。

信仰還是一樁充滿激情的事業(yè)。一個(gè)人選擇成為基督徒不是因?yàn)闅v史、現(xiàn)實(shí)、知識(shí)等客觀因素，不是出自理性的算計(jì)，而是出自主體的“激情”，信仰與“激情”才是合適的一對(duì)兒，“激情”是應(yīng)對(duì)悖論、應(yīng)對(duì)“不可能性”的惟一有效的手段。對(duì)于“激情”所做出的選擇是不需要理性做出任何證明的，只有 當(dāng)信仰開(kāi)始喪失激情、當(dāng)信仰開(kāi)始終止為信仰的時(shí)候，證明才是必要的，為的使自己心安理得，也為了向他人展示自己的堅(jiān)定性。熱戀中的人往往不需要證明對(duì)方是自己惟一的摯愛(ài)，只有當(dāng)熱戀的溫度有所下降的時(shí)候，人們才會(huì)在心中列舉對(duì)方的好處，以此作為自己始終不渝地愛(ài)對(duì)方的理由。前面說(shuō)過(guò)，克爾凱郭爾與康德在批判關(guān)于上帝存在的本體論證明的問(wèn)題上是有著一定的相通性的，不過(guò)，在康德的主張之下，宗教應(yīng)該成為“純粹理性范圍內(nèi)的宗教”，而克爾凱郭爾的宗教則在剝除了理智的影響之后進(jìn)一步向“激情”靠攏，從而成為了對(duì)“不可能性”的充滿激情的探索。

最后，由于上帝是存在當(dāng)中最大的“客觀不確定性”，因此人類(lèi)能否最終通達(dá)“永恒福祉”也就具有了高度的不確定性。但是如果一個(gè)人發(fā)自?xún)?nèi)心地選擇了以“永恒福祉”作為至上的目標(biāo)，那么即使知道自己永遠(yuǎn)無(wú)法企及之，他仍然會(huì)全身心地投入到對(duì)“永恒福祉”的追求過(guò)程之中。于是，信仰實(shí)際上就是個(gè)體在其生命的整個(gè)歷程之中不斷“接近”永恒福祉的過(guò)程，它是個(gè)體終其一生的行動(dòng)，同時(shí)也是個(gè)體的冒險(xiǎn)之旅。這也就是克利馬克斯強(qiáng)調(diào)信仰是個(gè)體對(duì)永恒福祉的“無(wú)限的”投入的涵義之所在。

克利馬克斯對(duì)信仰的解讀是很深刻的，他的態(tài)度不禁讓人聯(lián)想到美國(guó)作家丹·布朗的暢銷(xiāo)小說(shuō)《達(dá)·芬奇密碼》，[ix] 其中冷靜的符號(hào)學(xué)家蘭登和狂熱的圣杯歷史學(xué)家蒂賓向我們展示

出了一個(gè)與我們所熟悉的基督故事完全不同的一個(gè)版本。讀完此書(shū)后人們不禁會(huì)問(wèn)，這樣的言論會(huì)動(dòng)搖世界上成千上萬(wàn)的基督徒的信仰嗎？蒂賓認(rèn)為，一個(gè)受過(guò)良好教育的基督徒本應(yīng)了解自己的信仰的歷史，而蘭登教授的解釋似乎更中鵠的。他指出，任何一種宗教信仰都建立在“虛構(gòu)”的基礎(chǔ)之上，這一點(diǎn)正是信仰的定義——對(duì)某種我們認(rèn)為是真實(shí)的、但卻無(wú)法證實(shí)的東西的接受。宗教教義的傳達(dá)都是通過(guò)“隱喻”而完成，一個(gè)真正理解自己的信仰的人必須明確宗教的隱喻意義，從而他才能借助信仰在這個(gè)世界上更好地生活下去。設(shè)想，假如克爾凱郭爾知道了“死海古卷”的存在，假如他讀到了《達(dá)·芬奇密碼》或者了解到了“圣經(jīng)考古學(xué)”的新發(fā)現(xiàn)，他會(huì)有什么樣的反應(yīng)呢？他是否會(huì)以慣常的反諷口吻說(shuō)一句“又當(dāng)如何”呢？因?yàn)樵诟旧希羞@些歷史性的、學(xué)術(shù)性的客觀因素都與個(gè)體的永恒福祉無(wú)關(guān)。對(duì)于一個(gè)從內(nèi)心深處已經(jīng)認(rèn)定基督教作為心靈皈依的個(gè)體來(lái)說(shuō)，任什么都不會(huì)影響他的選擇的，因?yàn)樾叛鲋魂P(guān)乎個(gè)體的精神追求和主動(dòng)選擇。