第一篇：數(shù)形結合法在不等式證明中的應用

數(shù)形結合在不等式證明中的應用

數(shù)形結合思想簡而言之就是把數(shù)學中“數(shù)”和數(shù)學中“形”結合起來解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想。數(shù)形結合具體地說就是將抽象數(shù)學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉換來解決數(shù)學問題。在中學數(shù)學不等式的證明中，主要以“形”助“數(shù)”。

以“形”助“數(shù)” ：

由于“數(shù)”和“形”是一種對應，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數(shù)”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”，這種模式是指數(shù)與形的一種特定關系或結構。這種把數(shù)量問題轉化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問題的方法，就是圖形分析法。數(shù)量問題圖形化是數(shù)量問題轉化為圖形問題的條件，將數(shù)量問題轉化為圖形問題一般有三種途徑：應用平面幾何知識，應用立體幾何知識，應用解析幾何知識將數(shù)量問題轉化為圖形問題。解一個數(shù)學問題，一般來講都是首先對問題的結構進行分析，分解成已知是什么（條件），要求得到的是什么（目標），然后再把條件與目標相互比較，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，對于“數(shù)”轉化為“形”這類問題，解決問題的基本思路： 明確題中所給的條件和所求的目標，從題中已知條件或結論出發(fā)，先觀察分析其是否相似（相同）于已學過的基本公式（定理）或圖形的表達式，再作出或構造出與之相適合的圖形，最后利用已經(jīng)作出或構造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解（求證）的目標去解決問題。

中學數(shù)學的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數(shù)形結合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

數(shù)形結合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義。

不等式的證明在中學階段甚至是大學階段都是很重要的知識模塊，其證明的方法也不計其數(shù)，但是利用數(shù)形結合的方法證明卻是其中巧妙便捷的方法之一。下面就以實際例子加以闡述。

C

1?111?11119

????????9，當且僅當a?b?c?1時，??13?abc?abca?b?c

?a?b?c?3

結構取聯(lián)想更多的關于此問題的特征表達，不單獨的考慮不等式問題，而是將所有已經(jīng)學習的知識都聯(lián)系在一起來思考，這樣就會找到更多捷徑.

第二篇：初中數(shù)學教學中的數(shù)形結合法

初中數(shù)學教學中的數(shù)形結合法

覃斗中學徐慧賢

數(shù)學課程標準總體目標明確提出：“讓學生獲得未來社會生活和進一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學知識，以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能”。數(shù)學知識本身那固然重要，但是對于學生的后續(xù)的學習，生活和工作長期起作用，并使其終身受益的是數(shù)學思想方法。初中數(shù)學常用的數(shù)學思想思想方法有：化歸思想方法，分類思想方法，數(shù)形結合的思想方法，函數(shù)思想方法，方程思想方法，模型思想方法，統(tǒng)計思想方法，用字母代替數(shù)學的思想方法，運動變換思想方法等。

初中數(shù)學的兩個分支——代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究”形“的。但是研究代數(shù)要借助于“形”，研究幾何要借助于“數(shù)”，幾何圖形的形象直觀，便于理解，代數(shù)方法的一般性，解題過程的機械化，可操作性強，便于把握，因此數(shù)形結合思想是數(shù)學中重要的思想方法。數(shù)學家華羅庚說的好“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離”。

數(shù)學史中的數(shù)形結合：“中國的儒家傳統(tǒng)文化和教育統(tǒng)一貫重“一”或整體的價值”,這種注重“一以貫之”的整體性和直覺性的思維模式，是“數(shù)形結合”思想產(chǎn)生的本源?！毒耪滤阈g》中所給出的各種籌算運演規(guī)則，如開方術、方程術、割圓術、陽馬術、盈不足術等，從命名上就可以發(fā)現(xiàn)這些“程序”性法則（類似于算法）的直觀性。現(xiàn)代數(shù)學各分支“交叉滲透，學科整合”，無不體現(xiàn)著數(shù)形結合長盛不衰的魅力。早在數(shù)學萌芽時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數(shù)和形聯(lián)系起來了。我國宋元時期，系統(tǒng)地引進了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關系表達成代數(shù)式之間的代數(shù)關系。17世紀上半葉，法國數(shù)學家笛卡兒以坐標為橋梁，在點與數(shù)對之間、曲線與方程之間建立起來對應關系，用代數(shù)方法研究幾何問題，從而創(chuàng)立了解析幾何學。后來，幾何學中許多長期不能解決的問題，例如立方倍積、三等分任意角、化圓為方等問題，最終也借助于代數(shù)方法得到了完滿的解決。即使在近代和現(xiàn)代數(shù)學的研究中，幾何問題的代數(shù)化也是一條重要的方法原則，有著廣泛的應用。溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，不僅使幾何學獲得了代數(shù)化的有力工具，也使許多代數(shù)學和數(shù)學分析的課題具有了明顯的直觀性，在數(shù)學解題中，運用數(shù)形結合思想，就是根據(jù)問題的具體情形，或者把圖形性質(zhì)問題轉化成數(shù)量關系來研究，后者把數(shù)量關系問題轉化成圖形性質(zhì)來研究，以便以數(shù)助形或以形助數(shù)，使問題簡單化、抽象問題具體化。

數(shù)形結合的具體應用：

函數(shù)數(shù)形結合的應用

1、圖形信息的獲取，建立適當?shù)拇鷶?shù)模型。不少函數(shù)問題以圖形的形式出現(xiàn)，圖形中包含豐富的代數(shù)知識，仔細觀察圖形、圖像、把握圖形的特點、找出圖形中的信息是解決問題的關鍵所在。

例1：某校部分住校生，放學后到學校鍋爐房打水，每人接水 2升，他們先同時打開兩個放水籠頭，后來因故障關閉一個放水籠頭。假設前后兩人接水間隔時間忽略不計，且不發(fā)生潑灑，鍋爐內(nèi)的余水量y（升）與接水時間x（分）的函數(shù)圖像如圖。

請結合圖像，回答下列問題：

（1）根據(jù)圖中信息，請你寫出一個結論；

（2）問前15位同學接水結束共需要幾分鐘？

（3）小敏說：“今天我們寢室的8位同學去鍋爐房連續(xù)接完水恰好用了3分鐘。”你說可能嗎？請說明理由。

分析：此類題型為圖像信息問題，所有的信息由圖像反映，圖形是折線，分為兩段，代數(shù)模型為：兩個不同的一次函數(shù)。根據(jù)圖形可得到點的坐標（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意義為：到2分鐘，鍋爐內(nèi)原有水96升，接水2分鐘后，鍋爐內(nèi)的余水量為80升，接水4分鐘，鍋爐內(nèi)的余水量為72升；2分鐘前的水流量為每分鐘8升等。利用待定系數(shù)法的代數(shù)方法求出函數(shù)解析式，利用代數(shù)的精確性說理解題。

解：（1）略

（2）當0≤x≤2時，y=-8x+96（0≤x≤2），當x＞2時，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同學接完水時余水量為96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同學接完水需5.5分鐘。

（3）若小敏他們是一開始接水的，則接水時間為8×2÷8=2（分），即8位同學接完水，只需要2分鐘，與接水時間恰好3分鐘不符。

若小敏他們是在若干位同學接完水后開始接水的，設8位同學從t分鐘開始接水，當0＜t≤2則8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

當t＞2時，則8×2÷4=4（分）

即8位同學接完水，需7分鐘，與接水時間恰好3分鐘不符。

所以小敏說法是可能的，即從1分鐘開始8位同學連續(xù)接完水恰好用了3分鐘。

作為一名中學數(shù)學教師，我們要有滲透數(shù)學思想方法的意識和自覺性，用心挖掘，在教學中，深入淺出的、潛移默化的、可行的讓學生領悟數(shù)學思想方法。由此可見加強“數(shù)形結合”思想教育，培養(yǎng)學生運用“數(shù)形結合”的意識就顯得尤為重要?？傊?，數(shù)學知識與數(shù)學思想方法是相輔相成的。教師在數(shù)學教學過程中，必然涉及很多的概念，數(shù)學概念是數(shù)學思維的細胞，它是在感覺、知覺、思維形成表象的基礎上，經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而逐步形成的理性認識結果，它蘊涵著豐富的思想內(nèi)涵。如果能充分揭示“數(shù)”與“形”的關系，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉化，一定能使枯燥的數(shù)學增加幾分趣味性，也能幫助學生拓展知識，強化思維。

第三篇：《數(shù)形結合法在函數(shù)零點問題中的應用》教學設計

《數(shù)形結合法在函數(shù)零點問題中的應用》教學設計

李志剛 山東省安丘市第一中學

【教學目標】 函數(shù)的零點一直是近年來全國各地高考卷上的熱點，因其綜合性強，讓很多同學感到困難.本文通過對高考試卷中有關零點問題的研究，來說明如何將數(shù)形結合思想運用于函數(shù)零點 的問題中，使零點問題變得直觀形象，從而有效地將問題解決.【教學思想、方法】 數(shù)形結合 分類討論 轉化與化歸 函數(shù)與方程【教學過程】

函數(shù)的零點是新課標中增加的內(nèi)容，一直是近年來全國各地高考考查的熱點.含有零點問題的試題常在函數(shù)、方程、圖象等方面進行知識交匯，可以很好地考查高中的四大數(shù)學思想.所以零點問題常常以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)，是同學們最常見的失分點之一，這讓很多同學感到學習上有障礙.另一方面，數(shù)形結合主要是指數(shù)與形建立的一一對應關系，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形 結合起來，通過對圖形的處理，化難為易，化抽象為直觀.由于零點問題蘊含著豐富的數(shù)形結合思想，所以在高考試卷中一直備受青睞.通過對高考試卷上有關函數(shù)零點問題的研究，總結出如何將數(shù)形結合思想在零點問題中進 行恰當?shù)貞?題目中常有已知函數(shù)的零點個數(shù)，求參數(shù)的范圍問題.零點的個數(shù)可以轉化為方程的根的個數(shù)，再利用數(shù)形結合思想轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這種方法可以使問題直觀地得以解決.多媒體展示： 1.針對題型：

(1)確定零點的大致范圍，多出現(xiàn)在選擇題中；(2)確定零點的個數(shù)問題，多出現(xiàn)在選擇題中；

(3)利用已知零點的個數(shù)求參數(shù)的范圍，多出現(xiàn)在選擇題、填空題、解答題中均有可能出現(xiàn)。

2.解決方案：

(1)直接畫出函數(shù)圖像，觀察圖像得出結論。

(2)不能直接畫出函數(shù)圖像的，可以等價地轉化為兩個函數(shù)圖像的交點，通過判斷交點的個數(shù)得出函數(shù)零點的個數(shù)或要求的參數(shù)范圍。

例題講解：

?kx?2,x?0已知函數(shù)f(x)???k?R?，若函數(shù)y＝|f(x)|+k有三個零點，則

?lnx,x?0實數(shù)k的取值范圍是（）A.k?2B.?1?k?0C.?2?k??1D.k??2

[解析] ：對于零點問題，先讓函數(shù)等于零。然后移向構造兩個函數(shù)，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像和y＝－k 的圖像，問題轉化為兩個函數(shù)圖像有三個不同的交點．

解：令|f(x)|+k =0，則|f(x)|=-k，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像和y＝－k的圖像，問題轉化為兩個函數(shù)圖像有三個不同的交點．由于|f(x)|≥0，故必須－k≥0，即k≤0.顯然，k＝0 時兩個函數(shù)圖像只有一個公共點，所以 k< 0，此時兩個函數(shù)圖像有三個公共點，如圖所示，只要－k≥2，即k≤－2．

【注】結合FLASH課件展示動態(tài)圖像，體現(xiàn)數(shù)形結合的重要性。

歸納小結：

1.解決此類問題的關鍵是數(shù)形結合； 2.還應把握兩類知識：(1)靈活構造函數(shù)；

(2)圖像的各類變換：平移、伸縮、對稱、周期性變換等。

【教學反思】 在某個區(qū)間內(nèi)若存在零點，可以考慮零點定理.但作為壓軸題的最后一問，直接運用零點定理肯定會有難度，通過觀察，發(fā)現(xiàn)出題者給出的第一問對第二問有提示作用，這樣就可以創(chuàng)造條件來運用零點定理.這種現(xiàn)象在高考試卷最后的一兩道解答題中經(jīng)常會出現(xiàn)，另外，函數(shù)問題通常都要使用數(shù)形結合的思想，這樣才可以使很多問題迎刃而解，且解法簡捷.以高考題為例，對利用數(shù)形結合思想在函數(shù)零點問題中的應用做了初步研 究.數(shù)形結合思想是高中數(shù)學四大常用思想方法之一，可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、形象化，變抽象思維為形象思維，有利于把握數(shù)學問題的本質(zhì).零點問題是高中數(shù)學的熱點、難點，運 用數(shù)形結合的思想，可以使零點問題不再讓學生 感到困難.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺 形時少直觀，形少數(shù)時難人微;數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，可見數(shù)和形是數(shù)學中兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉化，相互滲透.作為中學數(shù)學教師，在函數(shù)零點問題教學時滲透數(shù)形結合的思想，并在平時的訓練中不斷領悟和總結，可以促使學生在解決零點問題的能力上得到改善和提高！

第四篇：導數(shù)在不等式證明中的應用

導數(shù)在不等式證明中的應用

引言

不等式的證明是數(shù)學學習中的難點，而導數(shù)在不等式的證明中起著關鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待,不等式的證明是數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一,也是難點之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學完導數(shù)及其應用這一內(nèi)容以后,可以利用導數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關知識解決一些不等式證明的問題。導數(shù)也是微積分的初步基礎知識，是研究函數(shù)、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導數(shù)應用。不等式的證明在數(shù)學課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。對導數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應用進行了舉例。

一、利用導數(shù)的定義證明不等式

定義 設函數(shù)f?f?x?在點x0的某領域內(nèi)有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數(shù)f在點x0處可導，并稱該極限為函數(shù)f在點x0處的導數(shù)，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導數(shù)是函數(shù)增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個增量比稱為函?x數(shù)關于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導數(shù)f'?x0?則為f在x0處關于x的變化率。

以下是導數(shù)的定義的兩種等價形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因為 f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導數(shù)的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因為h?1???0, 326例

2、已知函數(shù)f?y??要證當x?1時，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數(shù)。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因為 當y?1時, h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數(shù)，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結論中不等式的一邊；再利用導數(shù)的定義并結合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試利用中值公式

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當?shù)姆趴s到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當h?0時，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當?1?h?0時，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關鍵是將所要證明的結論與已知條件歸結為一個函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉化為其導數(shù)的單調(diào)性等問題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設函數(shù)f和g滿足(i)在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設 f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構造輔助函數(shù)f?y?和g?y?，則對任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明思路 首先根據(jù)題設條件及所證不等式，構造適當?shù)妮o助函數(shù)f?x?，并確定區(qū)間[a,b]；然后利用導數(shù)確定f?x?在[a,b]上的單調(diào)性；最后根據(jù)f?x?的單調(diào)性導出所證的不等式.1.直接構造函數(shù)，再運用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調(diào)遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時，f''?y??0，有f'?y?單調(diào)增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調(diào)增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構造函數(shù)并來證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對數(shù)的底)證明 設f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因為 lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導數(shù)思想,先通過特征不等式構 造一個函數(shù), 再判定其函數(shù)單調(diào)性來證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。

構造輔助函數(shù)有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構造輔助函數(shù)；  2.用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結構構造“形似”輔助函數(shù)； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過取對數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導數(shù)，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設f?y?在[0,1]上二階可導，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導，故在[0,1]上連續(xù), 據(jù)最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當c?(0,]時，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當c?(,1)時, f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f?x? 在所給區(qū)間端點或一些特點(如區(qū)間的中點，零點)進行展開，通過分析余項在?點的性質(zhì)，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時要結合其它知識一起使用,如當使用的不等式中含有積分號時,一般要利用定積分的性質(zhì)結合使用泰勒公式進行證明;當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合式時,需要作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。

五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式

由連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的性質(zhì),若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。

若函數(shù)f的最大(小)值點x0在區(qū)間(a,b)內(nèi),則x0必定是f的極大(小)點。又若f在x0可導,則x0還是一個穩(wěn)定點。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點、不可導點和區(qū)間端點上的函數(shù)值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構造輔助函數(shù)，再求出f?x?在所設區(qū)間上的極值與最大、最小值，進而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當r?1時，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因為 f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點為x?又因為當r?1時，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當y?1時, ey?證明 作輔助函數(shù) 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內(nèi)的唯一駐點，且當y?0時，f'(y)?0 ；當0?y?1時，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點，f?0??1是f?y?的極大值.因為當y由小變大時，f?y?由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減, 故f?0??1同時也是f?y?的最大值, 所以，當y?1時，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對不等式的證明過程中，可以以不等式的特點為根據(jù)，以此來構造函數(shù)，從而運用導數(shù)來得出函數(shù)的最值，而此項作用也是導數(shù)的另一個功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當此函數(shù)為最大或最小值的時候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠成立的，從而可以將證明不等式的問題轉化到求函數(shù)最值的問題上來。

六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數(shù)y?f?x?的圖形為凹的，即對任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當且僅當x1?x2時成立． 22 8 例

10、設r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號僅在r?h 時2由上式看出，左邊是函數(shù)f?k??klnk在r，h兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點r?h處的函數(shù)值．這時只需證f''?k??0即可． 2證明 構造輔助函數(shù)

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號僅在r?h 時成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數(shù)

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因為有

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結:通過對導數(shù)證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應用原理，挖掘導數(shù)的各種性質(zhì)。多做此類難題，不但有利于我們在學習和考試中輕松解決同類問題，更有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學思維和推理論證能力。因而導數(shù)在不等式證明當中的應用很有研究價值。

第五篇：導數(shù)在不等式證明中的應用

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導數(shù)在不等式證明中的應用

作者：唐力 張歡

來源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過程太難，應用高等數(shù)學中的導數(shù)方法來證明不等式，往往能使問題變得簡單.關鍵詞： 導數(shù) 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數(shù)y=f（x）滿足：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，則在（a，b）內(nèi)至少有在一點ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.