第一篇：導(dǎo)數(shù)在研究不等式中的應(yīng)用舉例

導(dǎo)數(shù)在研究不等式中的應(yīng)用舉例

陜西張磊

導(dǎo)數(shù)問題和不等式問題相互交織構(gòu)成了高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線,常見的題型有四種.基本方法:構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來解或證不等式或求最值研究恒成立問題.1比較兩個函數(shù)值大小(尤其比較兩抽象函數(shù))

(1)設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在(a ,b)上可導(dǎo),且f′(x)>g′(x),則當(dāng)a

(A)f(x)> g(x)(B)f(x)+ g(a)> g(x)+ f(a)

(C)f(x)< g(x)(D)f(x)+ g(b)> g(x)+ f(b)

解構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)? g(x),則F′(x)=f′(x)? g′(x)>0 ,故函數(shù)F(x)在區(qū)間[a ,b]上遞增 ,又a

(2)若函數(shù)y= f(x)在(0 ,+∞)上可導(dǎo),且不等式xf′(x)> f(x)恒成立,又常數(shù)a ,b滿足a>b>0 ,則下列不等式一定成立的是()

(A)bf(a)>af(b)(B)bf(a)bf(b)(A)af(a)

x

2f(a)a>0 , 故函數(shù)F(x)= ,即選A f(x)x 在區(qū)間(0 ,+∞)上遞增,又a>b>0 ,從而

2求解不等式 >f(b)b

(3)設(shè)f(x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 ,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是()

(A)(?3 ,0)∪(3 ,+∞)(B)(?3 ,0)∪(0 ,3)

(C)(?∞ ,?3)∪(3 ,+∞)(D)(?∞ ,?3)∪(0 ,3)解

構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)g(x),則F(x)= f(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 , 故函數(shù)F(x)在R上遞增,又f(x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)且g(-3)=0結(jié)合題意提供的信息作出大致圖像如圖示,不難得到不等式解集為D 3含參不等式恒成立問題

解不等式恒成立問題的基本思想是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或函數(shù)的值域的端點問題.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求得參數(shù)的取值范圍;也可分離變量構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.(4)已知函數(shù)f(x)=axlnx的圖像在點(e ,f(e))處的切線與直線y=2x平行(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=x2?bx?2

①求函數(shù)f(x)的解析式

②對一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)b取值范圍.解:①依題, 函數(shù)f(x)=axlnx的圖像在點(e ,f(e))處的切線的斜率k=2,即f′(e)=2又f′(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,得a=1,∴f(x)= xlnx

②對一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,∴ 3 xlnx≥x2?bx?2在x∈(0 ,e]上恒成立.即b≥x?3lnx?在x∈(0 ,e]上恒成立,(分離變量法)

x2

令h(x)= x?3lnx?x∈(0 ,e]則h′(x)=

xx?1(x?2)

x2

由h′(x)=0

得x=1或x=2∴x∈(0 ,1)時h′(x)>0h(x)單調(diào)遞增;x∈(1 ,2)

時h′(x)<0 ,h(x)單調(diào)遞減 x∈(2 ,e)時, h′(x)>0 , h(x)單調(diào)遞增

∴h(x)極大值=h(1)=-1,而h(e)=e?3?2e?1<-1 ∴h(x)max=h(1)=-1 ∴b≥h(x)max=-

1故實數(shù)b的取值范圍為[-1 ,+∞)

(5)已知函數(shù)f(x)=ax+?2a(a>0)的圖像在點(1 ,f(1))處的xb

切線與直線y=2x+1平行.①求a ,b滿足的關(guān)系式

②若f(x)≥2lnx在[1 ,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.解①f(x)=a?,根據(jù)題意f′(1)=a?b=2 ,即b=a?2

x

′

b

② 由①知, f(x)=ax+

a?2x

+2?2a

a?2x

令g(x)= f(x)?2lnx= ax+

則g(1)=0 ,g′(x)=a?當(dāng)0

+2?2a?2lnx ,x∈[1 ,+∞),2?a

?x

a x?1(x?

>1 若1

2?aa

x2?aa，則g′(x)<0 , g(x)在[1 ,)上為減函數(shù)

2?aa

所以g(x)< g(1)=0 , f(x)≥2lnx在[1 ,當(dāng)a≥1時,2?aa)上恒不成立

≤1 ,當(dāng)x>1時, g′(x)>0 , g(x)在[1 ,+∞)上為增

函數(shù),又g(1)=0 ,所以f(x)≥2lnx

綜上所述,所求a的取值范圍是[1 ,+∞)4利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

對于只含有一個變量的不等式都可以通過構(gòu)造函數(shù),然后利用函數(shù)的單調(diào)性和極值解決.(6)設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax2+blnx ,曲線y=f(x)過P(1 ,0),且在點P處的切線斜率為2

(i)求a ,b的值(ii)證明f(x)≤2x?2

f 1 =0b1+a=0解(i)f′(x)=1+2ax+由已知條件得 ′即

xf1=21+2a+b=2解得a=-1b=

3(ii)由(i)知 f(x)=x?x2+3lnx設(shè)g(x)= f(x)?(2x?2)= 2?x?x2+3lnx 則g′(x)=-1?2x+ =?

x3

x?1(2x+3)

x

當(dāng)00;當(dāng)x>1時 g′(x)<0

所以g(x)在(0 ,1)上單調(diào)遞增,在(1 ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減 ，而g(1)=0 故當(dāng)x>0時 , g(x)≤0 ,即f(x)≤2x?2

解題心得:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立,重點是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,通過單調(diào)性證明不等式.(7)已知f(x)=x2+lnx ,求證:在[1 ,+∞)上,f(x)的圖像總在21

g(x)=x3的圖像的下方.解析: 本題等價于證明:當(dāng)x≥1時,不等式x2+lnx

構(gòu)造函數(shù)F(x)= x+lnx? x ,則F(x)=x+?2x=

x

3′

1?x(1+x+2x2)

x

因為x≥1 所以F′(x)≤0 故F(x)在區(qū)間[1 ,+∞)上是減函數(shù),從而 F(x)≤ F(1)=-即x2+lnx

第二篇：導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

指導(dǎo)教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極值，冪級數(shù)展開式，凹凸性等進(jìn)行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結(jié)了應(yīng)用各種方法進(jìn)行證明的基本思路。

關(guān)鍵字：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數(shù)學(xué)里已介紹過若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法等。然而，有些不等式用初等數(shù)學(xué)的方法是很難證明的，但是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明卻相對較容易些，在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時，也常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性態(tài)。因此，很多時候可以以導(dǎo)數(shù)為工具得出函數(shù)的性質(zhì)，從而解決不等式問題，現(xiàn)具體討論導(dǎo)數(shù)在解決不等式有關(guān)的問題時的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，證明不等式則是它的一個簡單應(yīng)用。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明的不等式的類型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當(dāng)?shù)倪x取函數(shù)f(x)并使函數(shù)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導(dǎo)數(shù)形式和M或m形式上的聯(lián)系。

（2）通過求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進(jìn)而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?x，則顯然f在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又

第三篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

引言

不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點，而導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中起著關(guān)鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待,不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,也是難點之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學(xué)歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學(xué)完導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一內(nèi)容以后,可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關(guān)知識解決一些不等式證明的問題。導(dǎo)數(shù)也是微積分的初步基礎(chǔ)知識，是研究函數(shù)、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。不等式的證明在數(shù)學(xué)課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。對導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例。

一、利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式

定義 設(shè)函數(shù)f?f?x?在點x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數(shù)f在點x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個增量比稱為函?x數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導(dǎo)數(shù)f'?x0?則為f在x0處關(guān)于x的變化率。

以下是導(dǎo)數(shù)的定義的兩種等價形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設(shè)f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因為 f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導(dǎo)數(shù)的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因為h?1???0, 326例

2、已知函數(shù)f?y??要證當(dāng)x?1時，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數(shù)。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因為 當(dāng)y?1時, h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數(shù)，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結(jié)論中不等式的一邊；再利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試?yán)弥兄倒?/p>

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當(dāng)?shù)姆趴s到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設(shè)f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當(dāng)h?0時，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當(dāng)?1?h?0時，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結(jié)論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論與已知條件歸結(jié)為一個函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等問題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設(shè)函數(shù)f和g滿足(i)在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設(shè) f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構(gòu)造輔助函數(shù)f?y?和g?y?，則對任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明思路 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f?x?，并確定區(qū)間[a,b]；然后利用導(dǎo)數(shù)確定f?x?在[a,b]上的單調(diào)性；最后根據(jù)f?x?的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式.1.直接構(gòu)造函數(shù)，再運用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調(diào)遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進(jìn)一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時，f''?y??0，有f'?y?單調(diào)增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調(diào)增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構(gòu)造函數(shù)并來證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對數(shù)的底)證明 設(shè)f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因為 lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導(dǎo)數(shù)思想,先通過特征不等式構(gòu) 造一個函數(shù), 再判定其函數(shù)單調(diào)性來證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。

構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)；  2.用不等式兩邊適當(dāng)“求商”構(gòu)造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過取對數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設(shè)f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，故在[0,1]上連續(xù), 據(jù)最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當(dāng)c?(0,]時，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當(dāng)c?(,1)時, f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f?x? 在所給區(qū)間端點或一些特點(如區(qū)間的中點，零點)進(jìn)行展開，通過分析余項在?點的性質(zhì)，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時要結(jié)合其它知識一起使用,如當(dāng)使用的不等式中含有積分號時,一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進(jìn)行證明;當(dāng)所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合式時,需要作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。

五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式

由連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的性質(zhì),若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。

若函數(shù)f的最大(小)值點x0在區(qū)間(a,b)內(nèi),則x0必定是f的極大(小)點。又若f在x0可導(dǎo),則x0還是一個穩(wěn)定點。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點、不可導(dǎo)點和區(qū)間端點上的函數(shù)值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，再求出f?x?在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值，進(jìn)而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當(dāng)r?1時，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因為 f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點為x?又因為當(dāng)r?1時，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當(dāng)y?1時, ey?證明 作輔助函數(shù) 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內(nèi)的唯一駐點，且當(dāng)y?0時，f'(y)?0 ；當(dāng)0?y?1時，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點，f?0??1是f?y?的極大值.因為當(dāng)y由小變大時，f?y?由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減, 故f?0??1同時也是f?y?的最大值, 所以，當(dāng)y?1時，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對不等式的證明過程中，可以以不等式的特點為根據(jù)，以此來構(gòu)造函數(shù)，從而運用導(dǎo)數(shù)來得出函數(shù)的最值，而此項作用也是導(dǎo)數(shù)的另一個功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當(dāng)此函數(shù)為最大或最小值的時候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠(yuǎn)成立的，從而可以將證明不等式的問題轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值的問題上來。

六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數(shù)y?f?x?的圖形為凹的，即對任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2時成立． 22 8 例

10、設(shè)r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號僅在r?h 時2由上式看出，左邊是函數(shù)f?k??klnk在r，h兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點r?h處的函數(shù)值．這時只需證f''?k??0即可． 2證明 構(gòu)造輔助函數(shù)

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號僅在r?h 時成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設(shè)f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數(shù)

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設(shè)?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因為有

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結(jié):通過對導(dǎo)數(shù)證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應(yīng)用原理，挖掘?qū)?shù)的各種性質(zhì)。多做此類難題，不但有利于我們在學(xué)習(xí)和考試中輕松解決同類問題，更有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維和推理論證能力。因而導(dǎo)數(shù)在不等式證明當(dāng)中的應(yīng)用很有研究價值。

第四篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

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導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

作者：唐力 張歡

來源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學(xué)不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過程太難，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)方法來證明不等式，往往能使問題變得簡單.關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數(shù)y=f（x）滿足：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少有在一點ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.

第五篇：導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版)【出版日期】201

1【期 號】第11期【頁 碼】2-3【參考文獻(xiàn)格式】楊建輝,布春霞.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版),2011,(第11期).2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國新技術(shù)新產(chǎn)品【出版日期】2010【期 號】第14期【參考文獻(xiàn)格式】趙京之.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].中國新技術(shù)新產(chǎn)品,2010,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數(shù)學(xué)問題中都是非常重要的課題,不等式的研究范圍更廣,難度更大,以函數(shù)觀點認(rèn)識不等式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,Taylor公式,函數(shù)的單調(diào)性,最值,以及Jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】2004【期 號】第3期【頁 碼】13-14【參考文獻(xiàn)格式】劉偉.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].電大理工,2004,(第3期).4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢臺師范高專學(xué)報【出版日期】1995【期 號】第1期【頁 碼】118-120【參考文獻(xiàn)格式】顧慶菏.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].邢臺師范高專學(xué)報,1995,(第1期).5.【作 者】 劉開生;潘書林【刊 名】天水師范學(xué)院學(xué)報【出版日期】2000【期 號】第3期【頁 碼】115-116【參考文獻(xiàn)格式】劉開生,潘書林.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].天水師范學(xué)院學(xué)報,2000,(第3期).6.【作 者】 陳萬鵬;陳萬超【刊 名】大學(xué)數(shù)學(xué)【出版日期】1990【期 號】第4期【頁 碼】67-71【參考文獻(xiàn)格式】陳萬鵬,陳萬超.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué),1990,(第4期).7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號】第60期【頁 碼】69-70【參考文獻(xiàn)格式】高燕.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].考試周刊,2011,(第60期).8.導(dǎo)數(shù)法在證明不等式中的應(yīng)用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2011【期 號】第Z1期【頁 碼】

5【參考文獻(xiàn)格式】郝文武.導(dǎo)數(shù)法在證明不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二版),2011,(第Z1期).9.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的一些應(yīng)用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)【出版日期】2011【期 號】第S1期【頁 碼】73-75

【參考文獻(xiàn)格式】甘啟才.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的一些應(yīng)用[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,(第S1期).10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號】第82期【參考文獻(xiàn)格式】王莉聞.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].考試周刊,2011,(第82期).【摘 要】導(dǎo)數(shù)知識是高等數(shù)學(xué)中極其重要的部分,它的內(nèi)容、思想和應(yīng)用貫穿于整個高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數(shù)學(xué)之友【出版日期】2011【期 號】第6期【頁 碼】84，86【參考文獻(xiàn)格式】王翠麗.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友,2011,(第6期).12.【作 者】 王強;申玉芹【刊 名】中學(xué)數(shù)學(xué)【出版日期】2012【期 號】第9期【頁 碼】6【參考文獻(xiàn)格式】王強,申玉芹.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012,(第9期).13.【作 者】 朱帝【刊 名】數(shù)理化學(xué)習(xí)【出版日期】2008【期 號】第3期【頁 碼】2-4【參考文獻(xiàn)格式】朱帝.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2008,(第3期).14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學(xué)院學(xué)報【出版日期】2010【期 號】第6期【參考文獻(xiàn)格式】王偉珠.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報,2010,(第6期).15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學(xué)數(shù)學(xué)研究【出版日期】2010【期 號】第11期【頁 碼】24-25【參考文獻(xiàn)格式】張根榮,李連方.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2010,(第11期).【摘 要】“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心就應(yīng)該是培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．”“中學(xué)數(shù)學(xué)首要的任務(wù)就是加強解題的訓(xùn)練”．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題、習(xí)題的解答過程是學(xué)生建構(gòu)知識的重要基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學(xué)有限的45分鐘內(nèi)，如何發(fā)揮例題的功能，16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開發(fā)：中旬刊【出版日期】2010【期 號】第7期【頁 碼】176-177【參考文獻(xiàn)格式】張萍.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的有關(guān)應(yīng)用[J].西部大開發(fā)：中旬刊,2010,(第7期).【摘 要】導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基本最重要的內(nèi)容之一，用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強的靈活性和技巧性。掌握導(dǎo)數(shù)在不等式中的證明方法和技巧對學(xué)好高等數(shù)學(xué)有很大幫助。本文將通過舉例和說明的方式來闡述不等式證明中導(dǎo)數(shù)的一些方法和技巧，提高學(xué)生用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學(xué)研究)【出版日期】2011【期 號】第11期【頁 碼】31【參考文獻(xiàn)格式】李旭金.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].新作文(教育教學(xué)研究),2011,(第11期).18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】2009【期 號】第3期【頁 碼】241-243【參考文獻(xiàn)格式】李晉.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].大視野,2009,(第3期).第5期【頁 碼】24-26【參考文獻(xiàn)格式】高芳.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2009,(第5期).20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學(xué)院學(xué)報(學(xué)科版)【出版日期】2009

【期 號】第9期【頁 碼】85-86【參考文獻(xiàn)格式】蔡金寶.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(學(xué)科版),2009,(第9期).21.淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明問題中的應(yīng)用【作 者】 姜治國【刊 名】考試(高考 數(shù)學(xué)版)【出版日期】2009【期 號】第Z5期【頁 碼】54-56【參考文獻(xiàn)格式】姜治國.淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明問題中的應(yīng)用[J].考試(高考 數(shù)學(xué)版),2009,(第Z5期).22.導(dǎo)數(shù)在不等式中的一些應(yīng)用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學(xué)報·自然科學(xué)版【出版日期】2010【期 號】第2期【頁 碼】123-124，127【參考文獻(xiàn)格式】陶毅翔.導(dǎo)數(shù)在不等式中的一些應(yīng)用[J].寧德師專學(xué)報·自然科學(xué)版,2010,(第2期).23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】2010【期 號】第8期【參考文獻(xiàn)格式】陳海蘭.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].科技信息,2010,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的方法,通過這些方法,可以比較簡潔,快速地解決一些不等式的證明問題.24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨詢導(dǎo)報【出版日期】2007【期 號】第5期

【頁 碼】95-96【參考文獻(xiàn)格式】胡林.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].科技咨詢導(dǎo)報,2007,(第5期).25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】2006【期 號】第36期【頁 碼】148【參考文獻(xiàn)格式】胡林.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].科技資訊,2006,(第36期).26.【作 者】 周曉農(nóng)【刊 名】貴陽金筑大學(xué)學(xué)報【出版日期】2000【期 號】第3期【頁 碼】107-110+87【參考文獻(xiàn)格式】周曉農(nóng).導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].貴陽金筑大學(xué)學(xué)報,2000,(第3期).27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中學(xué)理科：綜合【出版日期】2008【期 號】第9期【頁 碼】52【參考文獻(xiàn)格式】葛江峰.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)理科：綜合,2008,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)的不等式證明有機結(jié)合在一起設(shè)問，是一種新穎的命題模式，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的工具作用，以下介紹幾種應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龍巖師專學(xué)報(自然科學(xué)版)【出版日期】1997

【期 號】第3期【頁 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻(xiàn)格式】梁俊平.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].龍巖師專學(xué)報(自然科學(xué)版),1997,(第3期).期【頁 碼】48-53【參考文獻(xiàn)格式】楊耀池.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,1985,(第2期).30.例說應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)【出版日期】2008【期 號】第11期【頁 碼】109-110【參考文獻(xiàn)格式】馮仕虎.例說應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版),2008,(第11期).