第一篇：中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過(guò)程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應(yīng)用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應(yīng)用中，給出了泰勒公式中展開點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)、已知區(qū)間的兩端點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)、已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好的運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.并對(duì)柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過(guò)程中的應(yīng)用問(wèn)題作簡(jiǎn)單介紹.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點(diǎn)取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點(diǎn)取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點(diǎn)取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結(jié)束語(yǔ) ……………………………………………………………………………（18）參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實(shí)用的方法.人們對(duì)中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài).此外，在極值問(wèn)題中有重要的實(shí)際應(yīng)用.微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對(duì)它的研究時(shí)有出現(xiàn).特別是近十年來(lái)，我國(guó)對(duì)中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國(guó)內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無(wú)從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對(duì)中值定理的基礎(chǔ)及靈活性要求較高.我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中常常遇到不等式的證明問(wèn)題，不等式是初等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類問(wèn)題單獨(dú)拿出來(lái)進(jìn)行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)研究工作的開展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國(guó)數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，文學(xué)家）.拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當(dāng)f?a??f?b?時(shí)的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f?x?；a 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間.b 運(yùn)用拉格朗日公式來(lái)判斷.證明 設(shè)f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對(duì)值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因?yàn)? 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評(píng)注 此題如果單純地應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)證明，會(huì)難以得出結(jié)論，而應(yīng)用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡(jiǎn)單知識(shí)，問(wèn)題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設(shè)f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因?yàn)??1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設(shè)函數(shù)，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因?yàn)閤p當(dāng)p?1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時(shí)乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個(gè)相似函數(shù)，f?x??lnx和定義區(qū)間?a,b?.（2）利用對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將對(duì)數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設(shè)f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評(píng)注 解此題關(guān)健在于觀察要證明的不等式中把對(duì)數(shù)式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來(lái)輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對(duì)一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對(duì)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù)lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當(dāng)h?0時(shí)，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當(dāng)-1?h?0時(shí)，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評(píng)注 證明此種不等式的關(guān)健是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)來(lái)證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當(dāng)x?0時(shí)，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因?yàn)閑??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當(dāng)x?0時(shí)，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因?yàn)榇藭r(shí)0?e??1，三邊同時(shí)乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當(dāng)x?0時(shí)，ex?x成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“a,b”的取值，不僅可使證明過(guò)程簡(jiǎn)單，有時(shí)甚至是解題的關(guān)鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法

例2.6[4] 設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數(shù)．證明至少存在一點(diǎn)?（a???b）證明 做輔導(dǎo)函數(shù)

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數(shù)．

因?yàn)閒(x)不為形如Ax?B的函數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時(shí)

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因?yàn)?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時(shí)

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因?yàn)?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應(yīng)用定理進(jìn)行證明．利用拉格朗日中值定理證明問(wèn)題時(shí)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關(guān)鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間?a,b?內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一點(diǎn)x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個(gè)值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開點(diǎn)x?(a,b)的不同情況來(lái)證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點(diǎn)取值法

選區(qū)間中點(diǎn)展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，通過(guò)兩式相加，并對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行放縮，便可將多余的項(xiàng)去掉而得所要的不等式.下面以實(shí)例說(shuō)明.例3.1[5] 設(shè)在區(qū)間?a,b?內(nèi)，f''(x)> 0，試證：對(duì)于?a,b?內(nèi)的任意兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個(gè)值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因?yàn)閒''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結(jié)論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：

對(duì)?a,b?內(nèi)任意n個(gè)不同點(diǎn)x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個(gè)值.因?yàn)閒(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對(duì)值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點(diǎn)取值法

當(dāng)條件中出現(xiàn)f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現(xiàn)廠f(a),f(b),f''(?)，展開點(diǎn)常選為區(qū)間兩端點(diǎn)a,b,然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的?xiàng)，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng)，展開點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最

值點(diǎn).例3.4[6] 設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間?a,b?內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點(diǎn)p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當(dāng)x0??a,?時(shí)，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當(dāng)x0??a,?時(shí)，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續(xù)性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當(dāng)題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時(shí)，結(jié)論可改為在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當(dāng)題中條件添加maxf(x)?0時(shí)，結(jié)論可改為：在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點(diǎn)取值法

當(dāng)題中結(jié)論考察f(x),f'(x),f''(x)的關(guān)系時(shí)，展開點(diǎn)常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，并?duì)某些項(xiàng)作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數(shù)f(x)在區(qū)問(wèn)?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對(duì)t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用實(shí)際范例給出了泰勒公式中展開點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)，已知區(qū)間的兩端點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)，已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好地運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對(duì)任一x??a,b?有g(shù)?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在?-1,1?內(nèi)可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內(nèi)，f?x??1.證明 引入輔助函數(shù)g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應(yīng)用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因?yàn)閒?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉(zhuǎn)化為f?x??g?x??x?0?.由于上應(yīng)用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉(zhuǎn)化為f'????g'???.因?yàn)?/p>

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當(dāng)x???0時(shí)，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實(shí)際上只需證

cosx1?cosx2設(shè)f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調(diào)增加函數(shù).sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一點(diǎn)?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且g?x?在?a,b?上不變號(hào)，則在?a,b?至少存在一點(diǎn)?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計(jì)積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因?yàn)?/p>

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區(qū)間?0,2?上求函數(shù)f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點(diǎn)x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí)，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號(hào)，若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時(shí)，可以根據(jù)估計(jì)定積分的值在證明比較簡(jiǎn)單方便.結(jié)束語(yǔ)

深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要 意義.偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系” ．?dāng)?shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系乃是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要思想．實(shí)際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認(rèn)識(shí)和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的真正任務(wù)就在于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務(wù)的解決不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對(duì)于原來(lái)的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明.今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應(yīng)用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻(xiàn)

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從2008年9月到現(xiàn)在，我在黃淮學(xué)院已經(jīng)渡過(guò)接近四年的時(shí)光．在論文即將完成之際，回想起大學(xué)生活的日日夜夜，百感交集.在大學(xué)學(xué)習(xí)的四年時(shí)間里，正是老師們的悉心指導(dǎo)、同學(xué)們的熱情關(guān)照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學(xué)業(yè)．在此對(duì)他們表示誠(chéng)摯的謝意!本論文是在導(dǎo)師鐘銘的悉心指導(dǎo)下完成的.導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn).他對(duì)數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)，金融領(lǐng)域中的應(yīng)用的想法和建議，使學(xué)生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！

感謝數(shù)學(xué)科學(xué)系其他老師講授的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，為我夯實(shí)了數(shù)學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數(shù)學(xué)系全體領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)寬松，自由的學(xué)習(xí)環(huán)境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對(duì)我的論文完成過(guò)程中給我的指導(dǎo)，她們深厚的數(shù)學(xué)功底以及對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件操作等方面的知識(shí)給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠(chéng)摯的感謝送給他們，感謝他們無(wú)微不至的關(guān)心和支持，感謝他們的無(wú)私奉獻(xiàn)以及為我所做的一切．

第二篇：高等數(shù)學(xué) 極限與中值定理 應(yīng)用

(一)1.x??sin?limx??limxsin2xx?1 22xx?1(洛必達(dá)法則)1x2

=lim2x22x??x?1

?2

2.x????x ?limx??limsinxcosx?1

?1

3.x?0sinx?limcosxx?0limtanx?sinxx3

?sinx3?limx sinx(1?cosx)x?0xcosx3

x3?lim23x?0x1?2

4.limx?sinx3x?0?lim?16x1?cosx3x2 x?0

（二）1.若

limsinxe?axx?0(cosx?b)?5，求常數(shù)a，b

lim(cosx?b)xe?a sinx(cosx?b)?limxx?0e?a x?0sinx由等價(jià)無(wú)窮小可得a=1

=lim(cosx?b)?xsinxexx?0?5

b??4

2.若x?0,?(x)?kx,?(x)?21?xarcsinx?cosx

是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)K lim1?xarcsinx?kx2cosxx?0?1

?lim1?xarcsinx?cosxkx(1?xarcsinx?1?xarcsinx?cosx2kx2x?02cosx)

?limx?0

x2arcsinx??limx?0?sinx1?x4kx1x)?cosx'?lim31?x2?(x?01?x4k2

4k3k?4??1

3.證明當(dāng)X>02

時(shí)，(x?1)lnx?(x?1)222

f(x)?(x?1)lnx?(x?1)則f(x)?2xlnx?x??2xlnx?x?'''

1x?2(x?1)1x?2

1x2f(x)?2(lnx?1)?1?

?2lnx???ln1x21x?2?11

x2?1?0'再倒推可得：f(x)?0

22f(x)?0f(x?0)，所以(x?1)lnx?(x?1)

（三）1.設(shè)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)?0，證明：???(0,a)，使得f(?)??f(?)?0。

'求原函數(shù)F(x)?xf(x)

F(0)?F(a)?0滿足羅爾定律，所以F(x)?0

'即 f(?)??f(?)?0'

2.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）上可導(dǎo)。且

f(0)?0,f(1)?1，證明

（1）?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）''

（1）F(x)?f(c)?c?1

F(0)??1,F(1)?1

由零點(diǎn)定理得?c?(0,1)有F(c)=0

所以?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）設(shè)??(o,c),??(c,1)得

f(?)?f(?)?''f(c)?f(0)c?0f(1)?f(c)1?c??1?ccc1?c'

'所以 ??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）

第三篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

引言

不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，而導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中起著關(guān)鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個(gè)系列問(wèn)題來(lái)看待,不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,也是難點(diǎn)之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學(xué)歸納法等等,然而有一些問(wèn)題用上面的方法來(lái)解決是很困難的,我們?cè)趯W(xué)完導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一內(nèi)容以后,可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關(guān)知識(shí)解決一些不等式證明的問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)也是微積分的初步基礎(chǔ)知識(shí)，是研究函數(shù)、解決實(shí)際問(wèn)題的有力工，它包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。不等式的證明在數(shù)學(xué)課題中也是一個(gè)很重要的問(wèn)題，此類問(wèn)題能夠培養(yǎng)我們理解問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。本文針這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例。

一、利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式

定義 設(shè)函數(shù)f?f?x?在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個(gè)增量比稱為函?x數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導(dǎo)數(shù)f'?x0?則為f在x0處關(guān)于x的變化率。

以下是導(dǎo)數(shù)的定義的兩種等價(jià)形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設(shè)f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因?yàn)?f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導(dǎo)數(shù)的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因?yàn)閔?1???0, 326例

2、已知函數(shù)f?y??要證當(dāng)x?1時(shí)，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數(shù)。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因?yàn)?當(dāng)y?1時(shí), h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數(shù)，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結(jié)論中不等式的一邊；再利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試?yán)弥兄倒?/p>

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當(dāng)?shù)姆趴s到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對(duì)一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設(shè)f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當(dāng)h?0時(shí)，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當(dāng)?1?h?0時(shí)，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結(jié)論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來(lái)證明不等式的關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論與已知條件歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設(shè)函數(shù)f和g滿足(i)在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時(shí)為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設(shè) f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對(duì)使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構(gòu)造輔助函數(shù)f?y?和g?y?，則對(duì)任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明思路 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f?x?，并確定區(qū)間[a,b]；然后利用導(dǎo)數(shù)確定f?x?在[a,b]上的單調(diào)性；最后根據(jù)f?x?的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式.1.直接構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調(diào)遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號(hào)不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進(jìn)一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時(shí)，f''?y??0，有f'?y?單調(diào)增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調(diào)增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構(gòu)造函數(shù)并來(lái)證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對(duì)數(shù)的底)證明 設(shè)f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因?yàn)?lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對(duì)于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導(dǎo)數(shù)思想,先通過(guò)特征不等式構(gòu) 造一個(gè)函數(shù), 再判定其函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。

構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)；  2.用不等式兩邊適當(dāng)“求商”構(gòu)造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過(guò)取對(duì)數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設(shè)f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，故在[0,1]上連續(xù), 據(jù)最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當(dāng)c?(0,]時(shí)，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當(dāng)c?(,1)時(shí), f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f?x? 在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特點(diǎn)(如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn))進(jìn)行展開，通過(guò)分析余項(xiàng)在?點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。值得說(shuō)明的是泰勒公式有時(shí)要結(jié)合其它知識(shí)一起使用,如當(dāng)使用的不等式中含有積分號(hào)時(shí),一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進(jìn)行證明;當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合式時(shí),需要作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡(jiǎn)捷。

五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式

由連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的性質(zhì),若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。

若函數(shù)f的最大(小)值點(diǎn)x0在區(qū)間(a,b)內(nèi),則x0必定是f的極大(小)點(diǎn)。又若f在x0可導(dǎo),則x0還是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，再求出f?x?在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值，進(jìn)而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當(dāng)r?1時(shí)，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因?yàn)?f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點(diǎn)為x?又因?yàn)楫?dāng)r?1時(shí)，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當(dāng)y?1時(shí), ey?證明 作輔助函數(shù) 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且當(dāng)y?0時(shí)，f'(y)?0 ；當(dāng)0?y?1時(shí)，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點(diǎn)，f?0??1是f?y?的極大值.因?yàn)楫?dāng)y由小變大時(shí)，f?y?由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減, 故f?0??1同時(shí)也是f?y?的最大值, 所以，當(dāng)y?1時(shí)，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對(duì)不等式的證明過(guò)程中，可以以不等式的特點(diǎn)為根據(jù)，以此來(lái)構(gòu)造函數(shù)，從而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)得出函數(shù)的最值，而此項(xiàng)作用也是導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當(dāng)此函數(shù)為最大或最小值的時(shí)候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠(yuǎn)成立的，從而可以將證明不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值的問(wèn)題上來(lái)。

六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數(shù)y?f?x?的圖形為凹的，即對(duì)任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2時(shí)成立． 22 8 例

10、設(shè)r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號(hào)僅在r?h 時(shí)2由上式看出，左邊是函數(shù)f?k??klnk在r，h兩點(diǎn)處的值的平均值，而右邊是它在中點(diǎn)r?h處的函數(shù)值．這時(shí)只需證f''?k??0即可． 2證明 構(gòu)造輔助函數(shù)

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號(hào)僅在r?h 時(shí)成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設(shè)f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數(shù)

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設(shè)?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因?yàn)橛?/p>

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結(jié):通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應(yīng)用原理，挖掘?qū)?shù)的各種性質(zhì)。多做此類難題，不但有利于我們?cè)趯W(xué)習(xí)和考試中輕松解決同類問(wèn)題，更有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維和推理論證能力。因而導(dǎo)數(shù)在不等式證明當(dāng)中的應(yīng)用很有研究?jī)r(jià)值。

第四篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

作者：唐力 張歡

來(lái)源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學(xué)不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過(guò)程太難，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)方法來(lái)證明不等式，往往能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數(shù)y=f（x）滿足：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少有在一點(diǎn)ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.

第五篇：微分中值定理的證明與應(yīng)用分析

本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

題

目

微分中值定理的證明與應(yīng)用分析

姓

名

馬華龍

學(xué)號(hào)

2009145154

院

系

電氣與自動(dòng)化學(xué)院

專

業(yè)

測(cè)控與儀器技術(shù)

指導(dǎo)教師

魏春玲

職稱

教授

2012 年 5月 20日 曲阜師范大學(xué)教務(wù)處制

目錄

摘要............................................................................................................................................1 Abstract.......................................................................................................................................1 1 引言........................................................................................................................................1 2 微分中值定理及其相關(guān)概念.............................................................................................1 3 微分中值定理的證明方法....................................................................................................2 3.1 費(fèi)馬定理............................................................................................................................2 3.2 羅爾定理............................................................................................................................3 3.3 柯西中值定理....................................................................................................................4 4 定理的推廣............................................................................................................................5 5 定理的應(yīng)用............................................................................................................................6 5.1 利用微分中值定理證明等式與恒等式............................................................................6 5.2 利用微分中值定理證明不等式........................................................................................7 5.3 討論根的存在性................................................................................................................8 6 總結(jié)........................................................................................................................................9 致謝..........................................................................................................................................10 參考文獻(xiàn)..................................................................................................................................10

微分中值定理的證明與應(yīng)用分析

測(cè)控與儀器專業(yè)學(xué)生 馬華龍

指導(dǎo)教師

魏春玲

摘要：本文首先介紹了微分中值定理的基本內(nèi)容極其幾何意義然后又分別介紹了三個(gè)微分中值定理，最后有介紹了中值定理的推廣和應(yīng)用。詳細(xì)介紹了中值定理在證明等式和不等式以及性態(tài)等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：微分中值定理 推廣 應(yīng)用

Differential Mean Value Theorem Proof and Application Analysis Student majoring in Measurement and control technology and instrument

Ma Hualong

Tutor

Wei Chunling

Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem.The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言

在數(shù)學(xué)研究與分析中，微分學(xué)占有極其重要的地位，它是組成數(shù)學(xué)分析的重要部分。而通過(guò)對(duì)微分學(xué)整體的學(xué)習(xí)，我們可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是構(gòu)成微分學(xué)的主要組成部分。因此學(xué)好微分中值定理，對(duì)我們以后的繼續(xù)在數(shù)學(xué)方面的研究是非常重要的。

人們對(duì)微分中值定理的研究從微積分的建立之始就開始了，微分中值定理分為：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出現(xiàn)的過(guò)程聚集了眾多數(shù)學(xué)家的研究成果。而且從費(fèi)馬引理到柯西中值定理使微積分不斷發(fā)展，理論知識(shí)也不段的豐富和完善，是自從引進(jìn)微積分來(lái)數(shù)學(xué)研究的重要工具之一，并且中值定理的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。本文將首先討論微分中值定理的證明，然后討論它的應(yīng)用，并且主要是討論微分中值定理在證明等式、不等式、函數(shù)為常數(shù)、函數(shù)的性態(tài)等方面的應(yīng)用。微分中值定理及其相關(guān)概念

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，其中最重要的內(nèi)容是拉格朗日中值定理，可以說(shuō)其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或者推廣。也可以說(shuō)微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在內(nèi)的定理的總稱，而中值定理的證明會(huì)用到以下的概念。

limf(x)?limg(x)x?x0x?x0極限的局部保號(hào)性： 若，則存在Δ≥0，任意x?(x0??,x0??)，使得f(x)?g(x)。

函數(shù)的單調(diào)性： 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)，當(dāng)x1?x2時(shí)，有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)單調(diào)遞增。當(dāng)x1?x2時(shí)，有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)單調(diào)遞減。

凹凸性： 若函數(shù)曲線位于其每一點(diǎn)處切線的上方(下方),則稱函數(shù)曲線時(shí)下凸(上

'y?f(x)f凸)的,或稱函數(shù)向下凸(上凸).而若的一階導(dǎo)數(shù)(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(或遞減),則稱f(x)在(a,b)是向上凹(下凹)的,或稱函數(shù)曲線向上凹(下凹).最值：設(shè)f(x)在I上有定義,若存在x0?I使任意x?I，f(x0)?f(x)（f(x0)?f(x)），則稱f(x0)為f(x)的最小值（最大值）。x0為最小值點(diǎn)（最大值點(diǎn)）。

極值：設(shè)f(x)在任意x?I上有定義，若存在x0?I,??0,任意x?(x0??,x0??)都有f(x)?f(x0)（f(x0)?f(x)），則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極小值（極大值），x0成為極小值點(diǎn)（極大值點(diǎn)）。

除此之外，我們還應(yīng)該看到羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的聯(lián)系。這三個(gè)定力的關(guān)系：層層遞進(jìn)，步步深入，前者是后者的特殊情況，后者是前者的推廣。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，然后用羅爾定理加以證明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而羅爾定理有是拉格朗日中值定理的直接推論。微分中值定理的證明方法

3.1 費(fèi)馬定理

費(fèi)馬引理是是實(shí)分析中的一個(gè)定理，以皮埃爾·德·費(fèi)馬命名。通過(guò)證明函數(shù)的每一個(gè)極值都是駐點(diǎn)（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)為零），該定理給出了一個(gè)求出可微函數(shù)的最大值和最小值的方法。因此，利用費(fèi)馬引理，求函數(shù)的極值的問(wèn)題便化為解方程的問(wèn)題。需要注意的是，費(fèi)馬引理僅僅給出了函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)為極值的必要條件。也就是說(shuō)，有些駐點(diǎn)不是極值，它們是拐點(diǎn)。要想知道一個(gè)駐點(diǎn)是不是極值，并進(jìn)一步區(qū)分最大值和最小值，我們需要分析二階導(dǎo)數(shù)（如果它存在）。當(dāng)該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，該點(diǎn)為極小值點(diǎn)；當(dāng)該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，該點(diǎn)為極大值點(diǎn)。若二階導(dǎo)數(shù)為零，則無(wú)法用該法判斷，需列表判斷。

xx費(fèi)馬引理的內(nèi)容：函數(shù)f(x)在點(diǎn)0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并且在0處可導(dǎo)，如

'x?U(x)f(x)?f(x)f(x)?f(x)f(x0)=0。0，都有0或者0，那么果對(duì)于任意的費(fèi)馬定理的幾何意義:若將函數(shù)f(x)的曲線置于平面直角坐標(biāo)系XOY,則費(fèi)馬定

x(x,f(x0))理具有幾何意義:對(duì)曲線y?f(x)上,若有一點(diǎn)0存在切線,且0為f(x)極值點(diǎn).則這一點(diǎn)處的切線平行于x軸.證明方法：x0x為f(x)的極值點(diǎn).不妨設(shè)0為極小值點(diǎn),則

???0,?x?(x0??,x0??),有f(x0)?f(x).f(x)?f(x0)?0x?x0x?x0若,則;f(x)?f(x0)?0x?x0x?x0若,則;取極限:x?x0lim?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)lim-x?xx?x0x?x0與0分別為T、S

limf(x)?f(x0)x?x0.x?x0x由于f(x)在0處可導(dǎo),則T=S=由極限的局部保號(hào)性有:T?0, S?0.故 T=S=0.f(x)?f(x0)lim?0x?x0f?(x0)?0 x?x0所以有 即3.2 羅爾定理

若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?使f?(?)?0。

羅爾定理的幾何意義：羅爾定理的三個(gè)已知條件的意義：

⒈f(x)在?a,b?上連續(xù)表明曲線連同端點(diǎn)在內(nèi)是無(wú)縫隙的曲線；

⒉f(x)在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)表明曲線y?f(x)在每一點(diǎn)處有切線存在； ⒊f(a)?f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸

'?f 羅爾定理的結(jié)論的直幾何意義是：在（a,b）內(nèi)至少能找到一點(diǎn)，使(?)?0，表明曲線上至少有一點(diǎn)的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，與x軸平行。

羅爾定理的證明：根據(jù)f是閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，由極值定理得在

?a,b? 上有最大值(M)和最小值(m)。

1.如果M?m，此時(shí)f(x)在?a,b?上恒為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2.如果M?m，由條件f(a)?f(b)知，兩個(gè)數(shù)M，m中至少有一個(gè)不等于端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)?f(b)，不妨設(shè)M?f(a)（如果設(shè)m?f(a)，證法完全類似），那么必定在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有一點(diǎn)?使f(?)?M。

'f(x)?f(?)???x?a,bf法1：因此，有，由費(fèi)馬引理可知(?)?0。

法2：由于f(x)在ξ處最大，故不論?x是正或負(fù)，總有

f(???x)?f(?)?0, 因此，當(dāng)?x?0時(shí)，{f(???x)?f(?)}/?x?0，故由極限的保號(hào)性有

f?'(?)?lim?{f(???x)?f(?)}/?x?0?x?0（1）

而當(dāng)?x?0時(shí)，{f(???x)?f?)}/?x?0，故

f_'(?)?lim?{f(???x)?f(?)}/?x?0?x?0（2）

''f(?)f由(1)，(2)兩式及存在知，必有(?)?0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的內(nèi)容： 若函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù);(2)在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo);則至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得

f(b)?f(a)b?a.拉格朗日定理的幾何意義:如圖所示,過(guò)A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點(diǎn)的直線斜率

f?(?)?f(b)?f(a)b?a,而拉格朗日定理則表明了存在于曲線上的A,B兩點(diǎn)某點(diǎn)的切線必定平行于直線AB.KAB?拉格朗日中值定理的證明：

利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù).f(b)?f(a)??F(x)?f(x)??f(a)?(x?a)?b?a??.證明 作輔助函數(shù)

f(b)?f(a)??F(x)?f(x)??f(a)?(x?a)?b?a??

顯然,F(x)在?a,b?上連續(xù), 在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),且f(a)?f(b)?0,由羅爾定理可知,存

?在一點(diǎn)??(a,b)使得F(?)?0 即

f(b)?f(a)b?a

??推論 設(shè)f(x)、g(x)都在區(qū)間K上可導(dǎo),且f(x)?g(x),則

f(x)?g(x)?c f?(?)?3.3 柯西中值定理

柯西中值定理的內(nèi)容： 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:(1)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù);

?(2)在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo),且g(x)?0;則至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得

f?(?)f(b)?f(a)??g(?)g(b)?g(a).?柯西中值定理的證明：由定理?xiàng)l件可知g(b)?g(a),則存在??(a,b)使得g(x)?0,因此,只需證

?? f(?)?g(b)?g(a)??g(?)?f(b)?f(a)??0.為此,構(gòu)造函數(shù)

F(x)?f(x)?g(b)?g(a)??g(x)?f(b)?f(a)?,x??a,b? 顯然,F(x)在?a,b?上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),且F(a)?F(b)根據(jù)羅爾定理,存在??(a,b)使得

F?(?)?0f?(?)?g(b)?g(a)??g?(?)?f(b)?f(a)??0

f?(?)f(b)?f(a)?所以,g?(?)g(b)?g(a).即 定理的推廣

前面我們已經(jīng)討論了定理之間的關(guān)系，接下來(lái)我們來(lái)看它們的推廣。從前面的內(nèi)容

a,b?我們知道，這三個(gè)定理都要求函數(shù)f?x?在?a,b?上是連續(xù)，在?內(nèi)是可導(dǎo)。那么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間?a,b?，把它推廣到無(wú)限區(qū)間?a,???或???,???，再把開區(qū)間?a,b?推廣到無(wú)限區(qū)間?a,???或???,???的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理呢？

通過(guò)討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間，推廣到無(wú)限區(qū)間上可以得到幾個(gè)相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的三個(gè)，下面給出定理以及證明。

limf?x??f?a?f?x??a,???a,????x定理1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且???，則至少

f???0??a,???存在一點(diǎn)?，使??成立。

證明：

111x??a?1?t??t???a?1t令x?a?1，則t，即可得到關(guān)于t參數(shù)函數(shù)

t?0,1當(dāng)x??a,???時(shí)，則??

lim??t????f?x??f????t????g?t? 即??1??a，t?0，再令g?t??limf?f?x??f?a??f????t????xlim???1????g?1??limt?0t?0??? ?g?0??limg?t?t?0 ?g?0??g?1? ? g?t??0,1?0,1在上連續(xù)，在??內(nèi)可導(dǎo)，且g?0??g?1?，由Rolle定理可得到?，使g?????0成立 至少存在一點(diǎn)???0,1令，使f????0成立

證畢

?limf?x??limf?x???,?????,???fxx???定理2 若??在?上連續(xù)，在?內(nèi)可導(dǎo)，并且x???，至

f???0?????,???少存在一點(diǎn)，使??成立。

定理2的證明可以參照定理1。

limf?x??Ma,???a,???定理3 若f?x?在?上連續(xù)，在?內(nèi)可導(dǎo)，并且x???，則至少存在，有至少存在一點(diǎn)???a,?????????f???????????0，而

???????1?2?0.一點(diǎn)???a,???，使 成立。?M?f?a???f??????2???1?a?證明：設(shè)t?111x??a?1??t???a?1x?a?1，則tt，即可得到關(guān)于t參數(shù)函數(shù)

當(dāng)x??a,???時(shí)，則t??0,1? lim??t????f?x??f????t????g?t? 即??1??a，t?0，再令?limg?t??lim??t??limf?x??M t?0t?0x????g?0??limg?t??Mt?0? g?t?在?0,1?上連續(xù)，在?

0,1?內(nèi)可導(dǎo)，由Lagrange定理得

g?1??g?0?1?0成立 至少存在一點(diǎn)???0,1?，使

g?????即g?????f?a??M

???????1???令??????，有g(shù)????f????????，而至少存在一點(diǎn)???a,???，使

?M?f?a???f??????2???1?a??2?????1?a?2，成立.證畢 定理的應(yīng)用

5.1 利用微分中值定理證明等式與恒等式

在證明一些出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的等式時(shí),進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?考慮應(yīng)用微分中值定理加以證明.還有,就是我們?cè)谧C明一些與中值定理有關(guān)的題目時(shí),構(gòu)造輔助函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。在證明題中巧妙選用和構(gòu)造輔助函數(shù),進(jìn)行系統(tǒng)分析和闡述,從而證明相關(guān)結(jié)論。我們一下面一個(gè)例題來(lái)講解。

?1?f(0)?f(1)?0,f???1?2?例：設(shè)函數(shù)f(x)在[0, 1]上連續(xù)，在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且，1??(,1)2，使f(?)??；

試證(1)存在(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，必存在??(0,?)，使

得

f'(?)??[f(?)??]?1

分析(1)欲證等式可寫成 f(?)???0

1(,1)則只需設(shè)?(x)?f(x)?x在2上存在零點(diǎn).(2)欲證等式可改寫成 [f'(?)?1]??[f(?)??]?0

''??x?(x)?f(x)?x,?(x)?f(x)?1F(x)?e?(x)，再對(duì) 由于，則只需取輔助函數(shù)

F(x)在[0,?]上用羅爾定理.?1?11?????0,?(1)??1?0[,1]?(x)?f(x)?x?(x)證(1)，因在2上連續(xù)，?2?2，1??(,1)2，使得 故由零點(diǎn)定理，存在?(?)?0,即f(?)??

(2)令F(0)= 0 ,，因F(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理，存在，使得

由于，故得

f'(?)??[f(?)??]?1

例：設(shè)0?a?b,f(x)在?a,b?連續(xù)可導(dǎo),則存在???a,b?使得

f(b)?f(a)??f?(?)ln證明 令

ba.g(x)?lnx

?則g(x)?0,且f(x),g(x)在?a,b?上連續(xù)在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)

根據(jù)柯西定理,存在???a,b?使得

f?(?)f(b)?f(a)??g(?)lnb?lna

f(b)?f(a)??f?(?)ln即,5.2 利用微分中值定理證明不等式

微分中值定理在不等式的證明中同樣起到重要的作用，因此在證明不等式的時(shí)候，可以考慮從中值定理入手，從而解決問(wèn)題。首先我們給出利用中值定理證明不等式的步(1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)；驟：（2）；構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間[a,b]；（3）利用??(a,b)，'對(duì)f(?)進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖湛s。下面我們給出幾個(gè)證明不等式的例子。

ba.例1： 證明對(duì)任何正數(shù)a、b(a?b)有

b?aab?a?ln?ba.b證明 令f(x)?lnx,x??a,b?.則f(x)在?a,b?上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理,存在???a,b?使得

1lnb?lna??b?a??

111??由于???a,b?,所以b?a,即有

b?aab?a?ln?ba

b?例2：設(shè)x?0，對(duì)0???1的情況，求證x??x?1??。

分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對(duì)于該題目如果直接應(yīng)用做差或者做商的話顯然是不行的。那我們是否能通過(guò)變形是，他們可以應(yīng)用做差或是做商呢？我們來(lái)看下不等式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x?1時(shí)，等式兩邊就相等了，所以接下來(lái)排除x?1，分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的代數(shù)式比較復(fù)雜，則是否可以把

f?x??x?左邊的代數(shù)式構(gòu)造輔助函數(shù)，是題目可以運(yùn)用中值定理解題呢？不妨設(shè)，F(xiàn)?x???x。利用Cauchy定理即可證明。

f?x??x?x,1??1,x??x?1x?1證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，取或，在該區(qū)間設(shè)，F(xiàn)?x???x，由柯西定理得：

f?x??f?1?f????????x,1????1,x?F?x??F?1?F???? 或

x??1????1?????1?即?x??

當(dāng)x?1時(shí)，???x,1?，?x??1?1即?x??

??1?1

又?x?????x?1??0

??故x?1??x??，即x?1?1??

???1,x????1?1當(dāng)x?1時(shí)，則?x?????x?1??0

故x?1??x??，即x?1?1?? 由此，不等式得證。5.3 討論根的存在性

在證明根的存在性問(wèn)題時(shí)，當(dāng)遇到滿足微分中值定理的相關(guān)條件時(shí)，就能夠從中值定理的角度來(lái)解決問(wèn)題。因此我們可以說(shuō)，微分中值定理可以應(yīng)用在解決根的存在性的問(wèn)題上。我們從下面的例題來(lái)看中值定理在這方面的應(yīng)用。

例1：設(shè)a1,a2,?,an為任意n個(gè)實(shí)數(shù),證明函數(shù): 在(0,?)必有零點(diǎn).f(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx ??? 證法 利用羅爾定理,令F(x)?f(x),只需F(x)在?0,??上滿足羅爾定理?xiàng)l件.證明 作輔助函數(shù)

11a2cos2x???ancosnx,x??0,??2n ,則

F?(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx?f(x)

容易驗(yàn)證F(x)在?0,??上連續(xù),在(0,?)可導(dǎo),且 F(x)?a1cosx?F(?)?F(0)?0,所以存在??(0,?)使得 ? F(?)?0,即f(?)?0.所以,f(x)在(0,?)必存在零點(diǎn).例2： 設(shè)ai?R且滿足a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.x2x3xn?1F(x)?a0x?a1?a2?...?an23n?1, 證明： 引進(jìn)輔助函數(shù)顯然F(0)?F(1)?0,F(x)又是多項(xiàng)式函數(shù)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),F(x)滿足羅爾中值定理的條件,故存在??(0,1)使

F?(?)?0 而

F?(x)?a0?a1x1?a2x2?...?anxn 故方程

a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0 在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根?.注：本題構(gòu)造F(x)的依據(jù)是使F(x)得導(dǎo)數(shù)恰好是所證方程的左邊.a0?aa1a2??...?n?023n?1,證明方程 總結(jié)

本文是研究主要是通過(guò)在大學(xué)階段對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)方面的知識(shí)的分析和學(xué)習(xí)得到的，并參考了一些圖書資料。從整個(gè)世界來(lái)看，人們對(duì)中值定理的研究從微積分的建立之時(shí)就開始了，至今有關(guān)微分中值定理問(wèn)題的研究非?；钴S,且已有豐富的成果。本文通過(guò)與老師同學(xué)的討論，介紹了微分中值定理的主要證明方法和在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用分析，分析了費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明方法；在應(yīng)用方面主要通過(guò)例題的形式討論研究了中值定理在證明等式、不等式、恒等式以及在討論方程根的存在性等方面的應(yīng)用。

深入研究微分中值定理,有助于加深對(duì)這些定理的理解;清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用。

致謝

完成本論文，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師魏老師的熱懷和指導(dǎo)。在我撰寫論文的過(guò)程中，魏老師傾注了大量的心血和汗水，無(wú)論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老師教誨和幫助在此表示真誠(chéng)地感謝和深深的謝意。

最后，向在百忙中抽出時(shí)間對(duì)本文進(jìn)行評(píng)審并提出寶貴意見的各位專家表示感謝！參考文獻(xiàn)

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