第一篇：組合數(shù)學(xué)學(xué)年論文
什么是組合數(shù)學(xué)
姓名：郭晨霞 學(xué)號(hào)：20105034021 院系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 1 組合數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)介
現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對(duì)象的，如分析、方程等，另一類就是研究離散對(duì)象的組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎(chǔ)。而組合數(shù)學(xué)的發(fā)展則是奠定了本世紀(jì)的計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。計(jì)算機(jī)之所以可以被稱為電腦，就是因?yàn)橛?jì)算機(jī)被人編寫了程序，而程序就是算法，在絕大多數(shù)情況下，計(jì)算機(jī)的算法是針對(duì)離散的對(duì)象，而不是在作數(shù)值計(jì)算。正是因?yàn)橛辛私M合算法才使人感到，計(jì)算機(jī)好像是有思維的。
組合數(shù)學(xué)不僅在軟件技術(shù)中有重要的應(yīng)用價(jià)值，在企業(yè)管理，交通規(guī)劃，戰(zhàn)爭(zhēng)指揮，金融分析等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。在美國(guó)有一家用組合數(shù)學(xué)命名的公司，他們用組合數(shù)學(xué)的方法來(lái)提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗(yàn)設(shè)計(jì)也是具有很大應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科，它的數(shù)學(xué)原理就是組合設(shè)計(jì)。用組合設(shè)計(jì)的方法解決工業(yè)界中的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，在美國(guó)已有專門的公司開發(fā)這方面的軟件。
組合數(shù)學(xué)是近年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展而新興起來(lái)的一門綜合性、邊緣性學(xué)科。組合數(shù)學(xué)是什么, 有很多不同的看法。Richard A.Brua Di 所著5Introductory Comb in atorics6 中認(rèn)為組合數(shù)學(xué)研究的是事物按照某種規(guī)則的安排, 主要有: 存在性問(wèn)題, 計(jì)數(shù)性問(wèn)題和對(duì)已知安排的研究。Danie I.A.Coh en 所著5Basic Techniques of Combinatoria T heory6 中這樣描述: 組合數(shù)學(xué)就是對(duì)給定描述的事物有多少種或者某種事物發(fā)生的途徑有多少種的研究。綜合以上觀點(diǎn), 組合數(shù)學(xué)就是主要研究/ 事物的安排0 中涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題。組合數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容
在日常生活中我們常常遇到組合數(shù)學(xué)的問(wèn)題。如果你仔細(xì)留心一張世界地圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)用一種顏色對(duì)一個(gè)國(guó)家著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每
兩個(gè)相鄰的國(guó)家的顏色不同。這樣的著色效果能使每一個(gè)國(guó)家都能清楚地顯示出來(lái)。但要證明這個(gè)結(jié)論確是一個(gè)著名的世界難題，最終借助計(jì)算機(jī)才得以解決，最近人們才發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更簡(jiǎn)單的證明。
當(dāng)你裝一個(gè)箱子時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問(wèn)題是一個(gè)很難的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使用計(jì)算機(jī)也是不容易解決的。航空調(diào)度和航班的設(shè)定也是組合數(shù)學(xué)的問(wèn)題。怎樣確定各個(gè)航班以滿足 不同旅客轉(zhuǎn)機(jī)的需要，同時(shí)也使得每個(gè)機(jī)場(chǎng)的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延誤等特殊情況下，怎樣作最合理的調(diào)整，這些都是 組合數(shù)學(xué)的問(wèn)題。
組合數(shù)學(xué)在企業(yè)管理，交通規(guī)劃，戰(zhàn)爭(zhēng)指揮，金融分析等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。在美國(guó)有一家用組合數(shù)學(xué)命名的公司，他們用組合數(shù)學(xué)的方法來(lái)提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗(yàn)設(shè)計(jì)也是具有很大應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科，它的數(shù)學(xué)原理就是組合設(shè)計(jì)。用組合設(shè)計(jì)的方法解決工業(yè)界中的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，在美國(guó)已有專門的公司開發(fā)這方面的軟件。最近，德國(guó)一位著名組合數(shù)學(xué)家利用組合數(shù)學(xué)方法研究藥物結(jié)構(gòu)，為制藥公司節(jié)省了大量的費(fèi)用，引起了制藥業(yè)的關(guān)注。組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用范例
幻方是組合數(shù)學(xué)的重要組成部分，下面將著重論述幻方的相關(guān)知識(shí)?；梅降亩x及分類：幻方的定義：在一個(gè)由若干個(gè)排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“幻方”。我國(guó)古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”。
幻方的分類：對(duì)平面幻方的構(gòu)造，分為三種情況：N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其它偶數(shù)(4n+2的形式)（這里主要研究平面幻方，對(duì)于立體幻方、高次幻方我們不做涉及）。
一、奇階幻方：N為奇數(shù)的N乘N階的幻方，其構(gòu)造方法如下：(1)將1放在第一行中間一列；
(2)從2開始直到n×n止各數(shù)依次按下列規(guī)則存放：按 45°方向行走，如向右上。
每一個(gè)數(shù)存放的行比前一個(gè)數(shù)的行數(shù)減1，列數(shù)加1。
(3)如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。
例如1在第1行，則2應(yīng)放在最下一行，列數(shù)同樣加1;(4)如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數(shù)，或上一個(gè)數(shù)是第1行第n列時(shí)，則把下一個(gè)數(shù)放在上一個(gè)數(shù)的下面。
二、偶階幻方。偶階幻方又可分為兩種：
1、N=4n；
2、N=4n+2.其中n為正整數(shù)。
（一）：N=4n時(shí)其構(gòu)造方法如下： 采用對(duì)稱元素交換法。
首先把數(shù)1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣
然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對(duì)角線上位置的數(shù)關(guān)于方陣中心作對(duì) 稱交換，即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數(shù)不變。
(或者將對(duì)角線不變，其它位置對(duì)稱交換也可)
（二）：N=4n+2時(shí)其構(gòu)造方法如下：
當(dāng)n為非4倍數(shù)的偶數(shù)(即4n+2形)時(shí)：首先把大方陣分解為4個(gè)奇數(shù)(2m+1階)子方陣。
按上述奇數(shù)階幻方給分解的4個(gè)子方陣對(duì)應(yīng)賦值上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)即4個(gè)子方陣對(duì)應(yīng)元素相差v，其中v=n*n/4 四個(gè)子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ②。
然后作相應(yīng)的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對(duì)應(yīng)交換(j
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對(duì)角線上元素之和相等。
總之，組合數(shù)學(xué)無(wú)處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。
第二篇：組合數(shù)學(xué)論文
生活中的組合數(shù)學(xué)
摘 要:組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論方面和生活應(yīng)用方面都發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用, 組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其他的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。如果說(shuō)微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎(chǔ)，那么組合數(shù)學(xué)的發(fā)展則是奠定了21世紀(jì)計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。因此隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和其它許多新興應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展,組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論方面和生活應(yīng)用方面都發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用,進(jìn)而需要我們對(duì)其進(jìn)行更加深層次的研究.關(guān)鍵詞:組合數(shù)學(xué);鴿巢原理;數(shù)學(xué)游戲
引言
隨著計(jì)算機(jī)的普及推廣,組合數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科煥發(fā)出蓬勃的生機(jī).組合數(shù)學(xué)是一門研究?jī)?nèi)容豐富、應(yīng)用廣泛的學(xué)科,同時(shí)它也是一門講究方法,講究技巧的學(xué)科.組合數(shù)學(xué)的魅力在于找到巧妙的解法來(lái)完善的解決一個(gè)組合數(shù)學(xué)問(wèn)題,計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力為尋求組合數(shù)學(xué)問(wèn)題的巧妙解法提供了無(wú)限的可能,同時(shí)組合數(shù)學(xué)也反過(guò)來(lái)有效地推動(dòng)了計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展.組合數(shù)學(xué)在國(guó)外已有較快發(fā)展,在很多大學(xué)已設(shè)立組合數(shù)學(xué)與優(yōu)化理論專業(yè)來(lái)培養(yǎng)專門人才.我國(guó)對(duì)組合數(shù)學(xué)的研究具有一定的基礎(chǔ),特別是圖論研究和區(qū)組設(shè)計(jì)等方面已取得一定的成果.組合數(shù)學(xué)的發(fā)展顯然已經(jīng)改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面,奠定了本世紀(jì)的計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ).因此需要對(duì)其進(jìn)行更加深入的理論探討和實(shí)踐.本文正是基于這種思想,希望借以簡(jiǎn)單的闡述引起人們對(duì)組合數(shù)學(xué)的更深層次的理解,并能夠?qū)⑵潇`活應(yīng)用于生活中.所以我想通過(guò)一些實(shí)例和數(shù)學(xué)史上的一些故事和難題,介紹了組合數(shù)學(xué)是如何在生活中應(yīng)用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)的查閱了相關(guān)文獻(xiàn)，并結(jié)合生活中涉及組合數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行闡述,具體說(shuō)明了組合數(shù)學(xué)的基本方法及其在生活中的應(yīng)用.這樣就使得晦澀的組合數(shù)學(xué)顯得更加形象,也使抽象的理論概念變得淺顯具體,更易被初學(xué)者理解和接受,以至于可以激發(fā)人們?cè)谏钪袘?yīng)用組合數(shù)學(xué)的意識(shí).1.組合數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容
1.1概念
伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的高速發(fā)展,近年來(lái),組合數(shù)學(xué)已漸漸成為一門新興起來(lái)的邊緣性、綜合性學(xué)科.關(guān)于組合數(shù)學(xué)到底是什么,數(shù)學(xué)界有許多種的看法.Richard A.Brualdi在其所著的《Introductory Combinatorics》一書中提到組合數(shù)學(xué)研究的是事物按照一定的規(guī)則安排,其中包括:對(duì)已知安排問(wèn)題的研究，計(jì)數(shù)性問(wèn)題,存在性問(wèn)題.在《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: 組合數(shù)學(xué)即為對(duì)已給定描述事物的研究有多少種或者是對(duì)某事物發(fā)生的途徑有多少種.綜上所述,組合數(shù)學(xué)主要研究的就是事物安排中所涉及的有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題?1?.組合數(shù)學(xué)是研究任意一組離散性事物按照一定規(guī)則安排或配置的數(shù)學(xué).特別是當(dāng)指定的規(guī)則較簡(jiǎn)單時(shí),計(jì)算一切可能的安排或配置的方法數(shù),就成為它研究的主要問(wèn)題.現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)有兩個(gè)主要特點(diǎn):其一,它大量應(yīng)用了抽象代數(shù)學(xué)工具和矩陣工具促使問(wèn)題的提法和處理方法表現(xiàn)出極大的普遍性;其二,為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,它很注重對(duì)方法的能行性和程序化問(wèn)題進(jìn)行研究.這樣,它又派生出算法組合學(xué)和組合算法等新的亞分支學(xué)科.1.2主要內(nèi)容
組合數(shù)學(xué)最早是同數(shù)論和概率論交叉在一起的.本世紀(jì)五十年代以來(lái),特別是由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的巨大發(fā)展,促使組合數(shù)學(xué)成為一支富有生命力的新興數(shù)學(xué)分支.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程相比,組合數(shù)學(xué)研究的主要是一些離散事物之間所存在的某些數(shù)學(xué)關(guān)系,包括計(jì)數(shù)性問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最優(yōu)化問(wèn)題以及構(gòu)造性問(wèn)題等,其內(nèi)容主要是枚舉和計(jì)數(shù).組合學(xué)中研究最多的主要是計(jì)數(shù)問(wèn)題,該問(wèn)題通常出現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)分支之中.計(jì)算機(jī)科學(xué)通常需要研究有關(guān)算法的內(nèi)容,就必須估計(jì)出算法所需的存儲(chǔ)單元和運(yùn)算量,即分析算法的空間復(fù)雜性和時(shí)間復(fù)雜性?2?.綜上,組合數(shù)學(xué)主要研究:排列組合、遞推關(guān)系和生成函數(shù)、鴿巢原理和容斥原理、貝恩賽特引理與波利亞定理以及區(qū)組設(shè)計(jì)與編碼等等.2.組合數(shù)學(xué)的基本解題方法
組合數(shù)學(xué)是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,其內(nèi)容零散,思想方法繁多,對(duì)于長(zhǎng)期接受
連續(xù)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的我們來(lái)說(shuō),通常感到很難抓住其要領(lǐng),無(wú)從下手,尤其是對(duì)新穎繁多的各種組合方法感到有些茫然.組合數(shù)學(xué)的方法很多,如加乘法則,抽屜法則,母函數(shù)法,逐步淘汰法等等,了解這些方法有助于培養(yǎng)我們學(xué)生的組合思維。
3.組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用舉例
組合數(shù)學(xué)是十分貼近于人們的生活的，因此組合問(wèn)題在生活中非常常見。例如，求n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每隊(duì)只和其他隊(duì)比賽一次的總比賽場(chǎng)數(shù)。例如，在紙上畫一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，用鉛筆沿著網(wǎng)絡(luò)的線路揍，在筆不離開紙面而且不重復(fù)線路的條件下，一筆畫出網(wǎng)絡(luò)圖。又例如這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題：一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過(guò)河。而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)，問(wèn)人怎樣才能把三者都運(yùn)過(guò)河。下面介紹幾種組合數(shù)學(xué)中的著名問(wèn)題。
1.地圖著色為題：對(duì)世界地圖著色，每一個(gè)國(guó)家使用一種顏色。如果要求相鄰國(guó)家的顏色相異，是否總共只需四種顏色？四色定理是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理。它指出，如果將平面分成一些鄰接的區(qū)域，那么可以用不多于四種顏色來(lái)給這些區(qū)域染色，使得每?jī)蓚€(gè)鄰接區(qū)域染的顏色都不一樣。另一個(gè)通俗的說(shuō)法是：每個(gè)（無(wú)飛地的）地圖都可以用不多于四種顏色來(lái)染色，而且沒(méi)有兩個(gè)鄰接的區(qū)域顏色相同。被稱為鄰接的兩個(gè)區(qū)域是指它們有一段公共的邊界，而不僅僅是一個(gè)公共的交點(diǎn)。例如右圖左下角的四色圓盤中，紅色部分和綠色部分是鄰接的區(qū)域，而黃色部分和紅色部分則不是臨界區(qū)域。
盡管四色定理最初提出是和地圖染色工作有關(guān)，但四色定理本身對(duì)地圖著色工作并沒(méi)有特別的意義。據(jù)凱尼斯·梅在一篇文章中所言：“（實(shí)際中）用四種顏色著色的地圖是不多見的，而且這些地圖往往最少只需要三種顏色來(lái)染色。制圖學(xué)和地圖制圖史相關(guān)的書籍也沒(méi)有四色定理的記載?！?/p>
一些簡(jiǎn)單的地圖只需要三種顏色就夠了，但有時(shí)候第四種顏色也是必須的。比如說(shuō)當(dāng)一個(gè)區(qū)域被三個(gè)區(qū)域包圍，而這三個(gè)區(qū)域又兩兩相鄰時(shí)，就得用四種顏色才行了。“是否只用四種顏色就能為所有地圖染色”的問(wèn)題最早是由一位英國(guó)制圖員在1852年提出的，被稱為“四色問(wèn)題”。人們發(fā)現(xiàn)，要證明寬松一點(diǎn)的“五定理”（即“只用五種顏色就能為所有地圖染色”）很容易，但四色問(wèn)題卻出人意料地異常困難。曾經(jīng)有許多人發(fā)表了四色問(wèn)題的證明或反例，但都被證實(shí)是錯(cuò)誤的。
1977年，數(shù)學(xué)家凱尼斯·阿佩爾（英語(yǔ)：Kenneth Appl）和沃夫?qū)す希ㄓ⒄Z(yǔ)：Wolfgang Haken）借助電子計(jì)算機(jī)首次得到了一個(gè)完全的證明，四色問(wèn)題也終于成為了四色定理。這是首個(gè)主要由計(jì)算機(jī)證明的定理。這個(gè)證明一開始并不為許多數(shù)學(xué)家接受，因?yàn)椴簧偃苏J(rèn)為這個(gè)證明無(wú)法用人手直接驗(yàn)證。盡管隨著計(jì)算機(jī)的普及，數(shù)學(xué)界對(duì)計(jì)算機(jī)輔助證明更能接受，但仍有數(shù)學(xué)家對(duì)四色定理的證明存疑。
船夫過(guò)河問(wèn)題：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過(guò)河。只要船夫不在場(chǎng)，羊就會(huì)吃白菜、狼就會(huì)吃羊。船夫的船每次只能運(yùn)送一種東西。怎樣把所有東西都運(yùn)過(guò)河？這是線性規(guī)劃的問(wèn)題。
中國(guó)郵差問(wèn)題：由中國(guó)組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出。郵遞員要穿過(guò)城市的每一條路至少一次，怎樣行走走過(guò)的路程最短？這不是一個(gè)NP完全問(wèn)題，存在多項(xiàng)式復(fù)雜度算法：先求出度為奇數(shù)的點(diǎn)，用匹配算法算出這些點(diǎn)間的連接方式，然后再用歐拉路徑算法求解。
河洛圖：我國(guó)古代的河洛圖上記載了三階幻方，即把從一到九這九個(gè)數(shù)按三行三列的隊(duì)行排列，使得每行，每列，以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都是一十五。組合數(shù)學(xué)中有許多象幻方這樣精巧的結(jié)構(gòu)。1977年美國(guó)旅行者1號(hào)、2號(hào)宇宙飛船就帶上了幻方以作為人類智慧的信號(hào)。
裝箱問(wèn)題：當(dāng)你裝一個(gè)箱子時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問(wèn)題是一個(gè)很難的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使用計(jì)算機(jī)也是不容易解決的。
是否存在穩(wěn)定婚姻的問(wèn)題：假如能找到兩對(duì)夫婦（如張（男）--李（女）和趙（男）--王（女）），如果張（男）更喜歡王（女），而王（女）也更喜歡張（男），那么這樣就可能有潛在的不穩(wěn)定性。組合數(shù)學(xué)的方法可以找到一種婚姻的安排方法，使得沒(méi)有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)（當(dāng)然這只是理論上的結(jié)論）。這種組合數(shù)學(xué)的方法卻有 一個(gè)實(shí)際的用途：美國(guó)的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請(qǐng)者的志愿的先后次序，同時(shí)也給申請(qǐng)排序。按這樣的 次序考慮出的總的方案將沒(méi)有醫(yī)院和申請(qǐng)者兩者同時(shí)后悔的情況。實(shí)際上，高考學(xué)生的最后錄取方案也可以用這種方法。
管理調(diào)度問(wèn)題：我們還會(huì)遇到更復(fù)雜的調(diào)度和安排問(wèn)題。例如，在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個(gè)工期的時(shí)間盡可能短？這些都是組合數(shù)學(xué)典型例子。又比如，假日飯店的管理中，也嚴(yán)格規(guī)定了有關(guān)的工序，如清潔工的第一步是換什么，清洗什么，第二步又做什么，總之，他進(jìn)出房間的次數(shù)應(yīng)該最少。既然，這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的工作都需要講究工序，那么一個(gè)復(fù)雜的工程就更不用說(shuō)了。
鋪地磚問(wèn)題：我們知道，用形狀相同的方型磚塊可以把一個(gè)地面鋪滿（不考慮邊緣的情況），但是如果用不同形狀，而又非方型的磚塊來(lái)鋪一個(gè)地面，能否鋪滿呢？這不僅是一個(gè)與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題，也涉及到很深的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題。
組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析：組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析，投資方案的確定，怎樣找出好的投資組合以降低投資風(fēng)險(xiǎn)。南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)研究中心開發(fā)出了“
金沙股市風(fēng)險(xiǎn)分析系統(tǒng)”現(xiàn)已投放市場(chǎng)，為短線投資者提供了有效的風(fēng)險(xiǎn)防范工具。
總之，組合數(shù)學(xué)無(wú)處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。
3.1 乘法原則與加法原則的應(yīng)用舉例
下面看看組合數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用.（以下假設(shè)A和B是兩類互不關(guān)聯(lián)、互不相同的事件.）組合數(shù)學(xué)問(wèn)題在生活中非常常見。例如，求n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每隊(duì)只和其他隊(duì)比賽一次的總比賽場(chǎng)數(shù)。例如，在紙上畫一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，用鉛筆沿著網(wǎng)絡(luò)的線路揍，在筆不離開紙面而且不重復(fù)線路的條件下，一筆畫出網(wǎng)絡(luò)圖。又例如這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題：一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過(guò)河。而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)，問(wèn)人怎樣才能把三者都運(yùn)過(guò)河。
加法原則可定義為:設(shè)事件A有m種選擇方式,事件B有n種選擇方式,則選A或B共有m?n種方式.例如,大于1小于9的的奇數(shù)有3個(gè),分別為3,5,7,9;大于1小于9的偶數(shù)有4個(gè),分別為2,4,6,8.則大于1小于9的整數(shù)有7個(gè),即2,3,4,5,6,7,8.這里事件A為大于1小于9的奇數(shù),事件B為大于1小于9的偶數(shù).而大于1小于9的整數(shù)即是屬于A或者屬于B.乘法原則可以定義為:設(shè)事件A有m種選取方式,事件B有n種選取方式,那么選取A以后再選取B共有m?n種方式.例如,從3個(gè)黑人、5個(gè)白人、9個(gè)黃種人中各選出1位的方式有3?5?9?135種方式.而從中共選出一人的方式有3?5?9?17種方式.下面再用一個(gè)實(shí)例看看這兩個(gè)法則是如何應(yīng)用的.例5 某旅行社開辟了從北京去長(zhǎng)白山和天山2條旅游線路,稱為北線；從北京去西湖、黃山、峨眉山3條旅游線路,稱為南線.問(wèn)該社共有多少條不同的線路？如某人選定了從北京去四川,先要在西安中轉(zhuǎn),北京到西安有3種航班可選,西安到四川又有2種航班可選,問(wèn)共有多少種不同的航班配置方式？
分析
由所學(xué)的概率知識(shí)可知,互不相容事件A1、A2,則其和的概率等于各自
概率之和,即P(A1?A2)?P?A1??P?A2?;同理,二個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P?A1?A2??P?A1??P?A2?.解
由加法原理可知,該社共有的線路條數(shù)P1?2?3?5條.由乘法原理可知,共有的航班配置方式P2?3?2?6種.3.2 Ramsey定理的應(yīng)用舉例
首先是抽屜原理,大家也許早就聽說(shuō)過(guò)這樣的智力問(wèn)題“:從10雙鞋子中隨便拿幾只能保證有一雙相配的鞋?”答案顯然是至少3只.大家不難根據(jù)同樣的原理編造出許多新問(wèn)題.這個(gè)原理本身可以很形象的表述為:“把多于n個(gè)東西任意放進(jìn)n個(gè)抽屜,那么一定有一個(gè)抽屜放進(jìn)了不止一個(gè)東西”.因?yàn)?9世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷曾用這個(gè)原理證明過(guò)數(shù)學(xué)命題,所以把它叫做狄氏抽屜原理,或簡(jiǎn)稱抽屜原理.它雖然簡(jiǎn)單,但利用它可以證明不少并不簡(jiǎn)單的結(jié)論.其次是鴿巢原理.鴿巢原理是組合數(shù)學(xué)中最簡(jiǎn)單最基本的原理,和抽屜原理其實(shí)是異曲同工.鴿巢原理可簡(jiǎn)單的描述為:“若有n個(gè)鴿巢,而鴿子多余n只,若每只鴿子必須進(jìn)巢,則至少有一個(gè)鴿巢內(nèi)的鴿子多于一只.”
下面簡(jiǎn)要舉一個(gè)用鴿巢原理解決實(shí)際問(wèn)題的例子.例6
一間屋內(nèi)有10個(gè)人,他們當(dāng)中沒(méi)有人超過(guò)60歲（年齡只以整數(shù)給出）但又至少不低于1歲.試證明:總能找出兩組人（兩組不含相同的人）,各組的年齡和是相同的.解
設(shè)Y??y1,y2,???,y10?為屋內(nèi)10個(gè)人的年齡構(gòu)成的集合,集合Y的所有k個(gè)
121010k?C10?????C10?2?1種,不同元素之和共有C10,則所有可能的不同元素之和有C10記這些和為S??s1,s2,???,s1023?,由題設(shè)條件可知:
1?si?60,i?1,2,???,1023.因此,由鴿巢原理原理可知S中至少有兩個(gè)元素是相同的,設(shè)為si?sj.如果年齡和si和sj的人中有相同的人,則把這些相同的人去掉,即為要找的兩組年齡和相同的人.最后就是集會(huì)問(wèn)題.這也是一個(gè)廣為流傳的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題:“證明在至少有6個(gè)人參加的集會(huì)上,與會(huì)者中或者有3個(gè)人以前互相認(rèn)識(shí),或者有3個(gè)人以前彼此都不認(rèn)識(shí).”因?yàn)?人集會(huì)中成員間的情況共有215?32728種.下面就針對(duì)這個(gè)問(wèn)題給予簡(jiǎn)單證明.例7?7?
試證明6個(gè)人中一定有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí).證明
先考慮6個(gè)人中的任意一個(gè)人,不妨把這個(gè)人稱作p.則其他的5個(gè)人可以分為下面的兩個(gè)集合F和S.其中F表示與p相識(shí)的人的集合,S表示與p不相識(shí)的人的集合.由鴿巢原理知,這兩個(gè)集合中至少有一個(gè)集合包含有3個(gè)人.若F包含有3個(gè)人,則這3個(gè)人或者彼此不相識(shí),或者有兩個(gè)人彼此相識(shí).如果F中有3個(gè)人彼此不相識(shí),則結(jié)論成立.如果F中有2人相識(shí),則由于這兩個(gè)人都與p相識(shí),因此有3人彼此相識(shí),故定理結(jié)論成立.類似的,如果S包含3個(gè)人,則這3個(gè)人或者彼此相識(shí),或者有兩個(gè)人彼此不相識(shí).如果這3個(gè)人彼此相識(shí),則結(jié)論成立.如果有兩個(gè)人彼此不相識(shí),則由于這兩個(gè)人都與p也不相識(shí),因此有3個(gè)人彼此不相識(shí),故定理結(jié)論成立.3.3 線性規(guī)劃法的應(yīng)用實(shí)例
線性規(guī)劃是最簡(jiǎn)單,應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法,也是使用最早的一種 優(yōu)化方法.在組合數(shù)學(xué)中,線性規(guī)劃問(wèn)題可以歸結(jié)為一類條件極值問(wèn)題.例8 某電視機(jī)廠有100臺(tái)彩電的訂單要在三周內(nèi)交貨,在第一,第一和第三周生產(chǎn)x臺(tái)彩電的費(fèi)用分別是120x,1.2x2,1.5x2.求每周生產(chǎn)彩電的數(shù)目的最優(yōu)策略.解
假設(shè)xi?i?1,2,3?表示在第i周生產(chǎn)的彩電數(shù),fi?xi?表示第i周生產(chǎn)xi臺(tái)彩電的費(fèi)用,則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為
min y?f1?x1??f2?x2??f3?x3??120x1?1.2x22?1.5x32，s.t.x1?x2?x3?100，xi?0,i?1,2,3.假設(shè)Fk?x?表示在前k周生產(chǎn)x臺(tái)彩電所得到的最小費(fèi)用,則由最優(yōu)原理可得出如下的遞歸方程
F1?x??f1?x?，F(xiàn)k?x??min0?xk?x?fk?xk??Fk?1?x?xk??,k0?x?100.?2,3, 原問(wèn)題的解就是F.（100）3由上式可知
F1?x??f1?x?=120x，F(xiàn)2?x??min0?x2?x?f2?x2??F1?x?x2??, ?f3?x3??F?x?x3??.F3?x??min0?x3?x解上面的遞歸方程,可得當(dāng)x1?10,x2?50,x3?40時(shí)有最小值
F3?100??6600.即第一周生產(chǎn)10臺(tái)彩電,第二周生產(chǎn)50臺(tái)彩電,第三周生產(chǎn)40臺(tái)彩電,可獲得最小費(fèi)用6600.3.4 游戲中的組合數(shù)學(xué) 3.4.1哥尼斯堡七橋問(wèn)題
18世紀(jì)初在東普魯土有這樣一個(gè)問(wèn)題:某條河上有兩個(gè)島嶼,城市中的四部分可以由七個(gè)橋來(lái)連接起來(lái)．那么可否經(jīng)過(guò)每個(gè)橋并且每個(gè)橋只能走一次？（如圖1上圖所示）．
圖1 在18世紀(jì)中期,歐拉成功論證了該問(wèn)題,也即是合適的方案并沒(méi)有,不可能每座橋走過(guò)且僅走過(guò)一次．歐拉把該實(shí)際問(wèn)題形象地簡(jiǎn)化成同一平面上線與點(diǎn)的組合問(wèn)題,將每一座橋看成一條線,每座橋所連接的地方看作點(diǎn).因此,從某一點(diǎn)出發(fā)再回
到這一點(diǎn)的問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化成一個(gè)一筆畫的問(wèn)題?8?.歐拉采用概念映像法來(lái)解決該類問(wèn)題,亦即抽象分析法.將七橋問(wèn)題中的橋與陸地之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)用S表示,用x表示一次可否同時(shí)走過(guò)此七座橋的問(wèn)題.歐拉使用了一種方法,即用概念映像?將橋視為幾何線,將連接的地點(diǎn)視為幾何點(diǎn),則在?映像下可得到(S;x)→(Sn;xn).如此,Sn則可表示如圖1下圖的點(diǎn)線圖.之前的問(wèn)題x便對(duì)應(yīng)變成能否一筆畫出如圖1下圖所示的平面圖問(wèn)題xn.也即xn就是關(guān)于上述點(diǎn)線圖的一筆畫問(wèn)題.歐拉的這種方法就是組合數(shù)學(xué)中后來(lái)的關(guān)系映像反演方法的最早體現(xiàn)．
3.4.2“三同六變”的問(wèn)題
中國(guó)的王文紊在其所著的《算學(xué)寶鑒》一書中詳細(xì)記載了一個(gè)名為“三同六變”的題目:
“假令二十四老人,長(zhǎng)者壽高一百,次者遞減一歲,止于七十七．共積總壽二千一百二十有四．卜(疑為‘赴’)會(huì)三社,八老相會(huì),七百八歲,蓋因人情逸順,散而復(fù)會(huì),共換六次,其積(即和)仍均七百有八,屯(疑為‘求’)見連用之道．”?8?
它的意思也即是說(shuō):有24位老人,每8人一起,分三處赴會(huì),每處年齡之和均為708歲,并且年齡從100歲到77歲,依次遞減1歲．那么如何分配,分配方法有多少種?
在該書當(dāng)中共列出了6種解答,并且作了注釋,“其變尤多,不及備述”．
對(duì)這個(gè)問(wèn)題加以推廣,便可得到一類 “n同k聚”的問(wèn)題:在自然數(shù)集合N內(nèi),任意選取nk(k=2,3,4, ?)個(gè)連續(xù)自然數(shù)作為集合M,將M任意劃分為n個(gè)互不相交子集M1,M2,M3,?,Mn,而每個(gè)子集均有k個(gè)元素,并且各個(gè)子集元素之和相等,求M1,M2,M3,?,Mn．這個(gè)問(wèn)題為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的渾圓圖給出了另一解釋.結(jié)束語(yǔ)
這篇論文只是介紹了組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用的一小部分,希望借此論文可以激起我們對(duì)組合數(shù)學(xué)的關(guān)注,學(xué)會(huì)在生活中運(yùn)用組合數(shù)學(xué)來(lái)解決具體的問(wèn)題.組合數(shù)學(xué)這個(gè)富有生命力的數(shù)學(xué)分支,涉及生活中的各個(gè)領(lǐng)域, 作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，我們必須把組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)放在一個(gè)重要的位置上來(lái)，掌握基本的組合數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)專業(yè)的數(shù)學(xué)思維，這樣才能在以后的工作學(xué)習(xí)中掌握主動(dòng)和先機(jī)。才能在將來(lái)為中國(guó)的計(jì)算機(jī)軟件事業(yè)做出自己的貢獻(xiàn)。
參考資料
百度知道：http://zhidao.baidu.com 百度百科：http://baike.baidu.com/view/44868.htm http://zhidao.baidu.com/question/33561976.html 百度文庫(kù)；http://wenku.baidu.com/view/b7d3f019f18583d0496459e9.html http://wenku.baidu.com/view/41879a15cc7931b764ce1507.html http://wenku.baidu.com/view/d0bc7b1dc281e53a5802ffeb.html http://wenku.baidu.com/view/a42acc270722192e4536f63b.html http://wenku.baidu.com/view/9bacf1f9f705cc1755270986.html http://wenku.baidu.com/view/33e0ad3143323968011c9213.html 維基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
第三篇：數(shù)學(xué)論文
信息技術(shù)讓小學(xué)數(shù)學(xué)課堂更精彩
摘要：隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，信息技術(shù)已是一種潮流，一份產(chǎn)業(yè)，信息素養(yǎng)已成為每個(gè)公民必須具備的基本素質(zhì)。因此在教學(xué)中引進(jìn)信息技術(shù)，充實(shí)學(xué)科內(nèi)容，拓展學(xué)生知識(shí)；豐富教學(xué)形式，提高教學(xué)質(zhì)量；活化教學(xué)方法，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)；共享教學(xué)資源，深化教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，使之形成為一種新型的教學(xué)模式，勢(shì)在必然的。
關(guān)鍵詞：信息技術(shù)
小學(xué)數(shù)學(xué)
傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，學(xué)生學(xué)習(xí)方式較單
一、被動(dòng)，缺少自主探索、合作學(xué)習(xí)，獨(dú)立獲取知識(shí)的機(jī)會(huì)。然而信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科整合之后的教學(xué)過(guò)程卻是：學(xué)生的學(xué)習(xí)開放性、全球化；學(xué)習(xí)過(guò)程具有交互性；內(nèi)容形式呈現(xiàn)多媒體化。改革現(xiàn)行的學(xué)科教學(xué)方法，使其適應(yīng)信息環(huán)境下的學(xué)習(xí)要求，看來(lái)是刻不容緩。我國(guó)教育工作者對(duì)信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的整合進(jìn)行了大量的探索，摸索出了不少成功的經(jīng)驗(yàn)，整合后的的課堂教學(xué)模式主要有以下三類：
（一）、“講解演示”的模式。這種模式是把多媒體計(jì)算機(jī)作為認(rèn)知學(xué)習(xí)的輔助工具，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，突破重點(diǎn)難點(diǎn)。這種學(xué)習(xí)模式有利于知識(shí)的吸收和掌握。具體操作步驟如下：
1、教師利用多媒體技術(shù)，在充分研究學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，制作圖文聲像并茂的課件，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境；
2、學(xué)生利用多媒體學(xué)習(xí)工具，結(jié)合情境和教材，進(jìn)行思考、討論、實(shí)踐和探索；
3、教師掌控教學(xué)過(guò)程，給予學(xué)生必要的引導(dǎo)和幫助。兒童認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律通常是：直接感知——表象——概念系統(tǒng)，因而小學(xué)生要建立起高度抽象的數(shù)學(xué)概念比較難。我們要充分發(fā)揮信息技術(shù)的直觀性，創(chuàng)造條件，使學(xué)生獲得豐富的表象，然后引導(dǎo)學(xué)生概括出概念。如教學(xué)“射線、直線”兩概念時(shí)，單靠語(yǔ)言表述和列舉生活中的例子作說(shuō)明，學(xué)生很難理解“無(wú)限長(zhǎng)”的含義。因此可借助信息技術(shù)來(lái)弄清概念。首先在屏幕上出現(xiàn)一亮點(diǎn)，然后是亮點(diǎn)向一方徐徐移動(dòng)，引出一條不斷延長(zhǎng)的線，這時(shí)老師告訴學(xué)生這條線可無(wú)休止的延長(zhǎng)。這樣學(xué)生就會(huì)形象的理解“無(wú)限長(zhǎng)”的含義，從而得出：射線是無(wú)限長(zhǎng)的，且只有一個(gè)端點(diǎn)。講直線時(shí)，可以從亮點(diǎn)處向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，幫助學(xué)生理解。這樣呈現(xiàn)方式顯然優(yōu)化了教學(xué)提高了教學(xué)效率。又如教學(xué)“角的概念”時(shí)，應(yīng)用課件先在屏幕上顯示一個(gè)亮點(diǎn)，然后有兩條不同顏色的線從這一點(diǎn)射出，形成兩條射線。點(diǎn)及兩條射線的同時(shí)閃爍使學(xué)生悟出角的形成，得出角的概念并認(rèn)識(shí)了角的各部分名稱；再將一條邊固定，另一條邊移動(dòng)，形成大小不同的各種角，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到角的大小與兩條邊叉開的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。這樣的演示比教師反復(fù)解釋、強(qiáng)調(diào)有用得多。
根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教材需要，多媒體課件的動(dòng)態(tài)演示將那些看似靜止的靜態(tài)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，有效的激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的興趣，讓學(xué)生學(xué)的主動(dòng)，加深對(duì)知識(shí)的理解并逐步了解知識(shí)的形成過(guò)程。如教學(xué)“行程問(wèn)題”時(shí)，理解“相向而行”、“相背而行”、“同向而行”等詞語(yǔ)是解題的關(guān)鍵。在課件演示兩個(gè)人行走的過(guò)程中，只要學(xué)生仔細(xì)觀察，其中隱含的時(shí)間、路程、速度等數(shù)量關(guān)系便不難發(fā)現(xiàn)，若在行進(jìn)的人后再拖一條線段，則將行進(jìn)的路線圖轉(zhuǎn)變成規(guī)范的線段圖，效果可謂不言
（二）、“自主探究”的研究性學(xué)習(xí)模式。這種學(xué)習(xí)模式是協(xié)作組成員圍繞同一個(gè)主題，在平等、自由、民主的氛圍里進(jìn)行討論、交流，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與、體驗(yàn)、想象和探究。這種學(xué)習(xí)模式有利于培養(yǎng)鉆研精神、協(xié)作精神，有利于鍛煉辨證思維、發(fā)散思維和求異思維等。具體操作主要有如下幾個(gè)階段：
1、進(jìn)入問(wèn)題情境階段。
2、具體解決問(wèn)題階段。
3、成果的交流和表達(dá)階段。
教學(xué)活動(dòng)從本質(zhì)上說(shuō)是一種環(huán)境的創(chuàng)造，教學(xué)模式則是構(gòu)建這種環(huán)境的方法。因此，教學(xué)的關(guān)鍵在于誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激勵(lì)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，如：教學(xué)“統(tǒng)計(jì)圖”內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生親歷對(duì)數(shù)據(jù)搜集——整理——分析的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理的環(huán)節(jié)大膽運(yùn)用了計(jì)算機(jī)特有的迅速制圖的工具效能，學(xué)生將自己搜集的感興趣的數(shù)據(jù)通過(guò)excel軟件所提供的制圖環(huán)境，制作出了精美的各種條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖等，把學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖與用excel制圖制表有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，學(xué)生通過(guò)自己的操作所表現(xiàn)出來(lái)的學(xué)習(xí)主動(dòng)性大大增強(qiáng)，變被動(dòng)為主動(dòng)，成為學(xué)習(xí)的真正主人。
（三）、“在線學(xué)習(xí)”的模式。這種學(xué)習(xí)模式在復(fù)習(xí)課中使用較多。它的優(yōu)勢(shì)在于實(shí)現(xiàn)個(gè)體化的學(xué)習(xí)，能“各得其所”、“各取所需”。它將知識(shí)回顧、解題指導(dǎo)、自我檢測(cè)融在一課件里，學(xué)生據(jù)自身的學(xué)習(xí)情況調(diào)出課件中記錄和貯存的內(nèi)容而分配時(shí)間學(xué)習(xí)，這樣更有利于知識(shí)的掌握和運(yùn)用。具體操作如下：
1、知識(shí)回顧。
2、練習(xí)階段。
3、討論區(qū)。
4、自我檢測(cè)階段。
信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課程中是創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)環(huán)境、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的有效方式，將使小學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)變得豐富多彩。信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課程中有多種途徑和方法，其效果是傳統(tǒng)教育技術(shù)難以比擬的。利用信息技術(shù)上數(shù)學(xué)課給我們帶來(lái)了新的教學(xué)模式，給學(xué)生帶來(lái)了新的學(xué)習(xí)模式的同時(shí)，我們也要認(rèn)識(shí)到信息技術(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)新生事物，還有許多問(wèn)題需要我們?nèi)パ芯?、探索?/p>
第四篇：數(shù)學(xué)論文
經(jīng)濟(jì)類高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)的實(shí)踐研究
摘要：
高等數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)類本科生一門重要的基礎(chǔ)課程，對(duì)掌握好其專業(yè)課程知識(shí)和從事本專業(yè)更高層次的研究起著關(guān)鍵作用。為使該專業(yè)學(xué)生學(xué)好這門課程，我校對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)試行了分層教學(xué)的教學(xué)模式。本文從分層的必要性、分層方式以及取得的效果等方面分析闡述了實(shí)行分層教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；分層教學(xué)；因材施教
一、分層教學(xué)實(shí)施的必要性
高等數(shù)學(xué)是大學(xué)本科經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生的一門重要的基礎(chǔ)課程，其重要性體現(xiàn)在學(xué)好這門課程不僅是學(xué)好其專業(yè)課的基本保障，更是提高思維素質(zhì)的方式和進(jìn)行更高層次研究的不可缺少的工具。因此，一般的本科院校對(duì)經(jīng)濟(jì)類的學(xué)生從一年級(jí)開學(xué)就開始開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程。然而，高等學(xué)校擴(kuò)大招生后，我國(guó)的高等教育已經(jīng)從精英教育發(fā)展到大眾教育階段，使得高校各專業(yè)入學(xué)人數(shù)在激增的同時(shí)，生源質(zhì)量下降已是不爭(zhēng)的事實(shí)。而且學(xué)生來(lái)自全國(guó)各個(gè)省市地區(qū)，入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)、水平參差不齊；不同學(xué)生的興趣、愛好及發(fā)展方向各不相同。
而相同專業(yè)所使用的教材、教學(xué)計(jì)劃、教學(xué)大綱都是一樣的，學(xué)生和
教師基本沒(méi)有選擇的余地。
這種統(tǒng)一的教學(xué)模式嚴(yán)重阻礙了高等數(shù)學(xué)
第五篇：數(shù)學(xué)論文
數(shù)學(xué)與生活
眾所周知，數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活。華羅庚說(shuō)過(guò)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！边@是對(duì)數(shù)學(xué)與生活的精彩描述。新制定的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明。”通過(guò)教學(xué)使學(xué)生“認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋求其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值?！?/p>
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容是溝通數(shù)學(xué)與生活的橋梁。小學(xué)數(shù)學(xué)具有現(xiàn)實(shí)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)來(lái)自于小學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，再運(yùn)用到他們的現(xiàn)實(shí)生活中去，小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。教師要有主動(dòng)駕馭教材的意識(shí)，要把兒童的個(gè)人知識(shí)、直接經(jīng)驗(yàn)、生活世界看成重要的課程資源，尊重兒童文化，挖掘“童心”、“童趣”的課程價(jià)值，及時(shí)收集和整理與學(xué)生生活密切相關(guān)的、富有時(shí)代氣息的材料，以補(bǔ)充、替換課本中的例題或習(xí)題，讓學(xué)生在一個(gè)模擬的生活空間“結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)”學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)。
還原教材的生活本色，要防止從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端，處處強(qiáng)調(diào)回歸生活，造成牽強(qiáng)附會(huì)，以至于一些教學(xué)情境簡(jiǎn)單化和庸俗化。雖然每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都可以在現(xiàn)實(shí)生活中找到它的原型，但是這個(gè)“原型”并不一定是學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，并不是所有數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)都必須有一個(gè)實(shí)實(shí)在在的生活背景。即使是應(yīng)用題教學(xué)，其中的應(yīng)用題也只能是實(shí)際問(wèn)題的模擬，畢竟不是實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活，數(shù)學(xué)是對(duì)生活的提煉和對(duì)生活的超越。生活情境往往是復(fù)雜的，以此作為教學(xué)對(duì)象時(shí)，教師必須對(duì)此作適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)化處理，這樣才能適合于學(xué)生。
強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育與生活世界的聯(lián)系，不能簡(jiǎn)單地理解成內(nèi)容的置換。內(nèi)容的置換固然重要，重要的是借助現(xiàn)實(shí)的、有意義的數(shù)學(xué)材料幫助學(xué)生在身邊的事情中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，通過(guò)身邊的事情學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到自己的生活中去，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活在更高層次上的整合。即讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)生活化、生活世界數(shù)學(xué)化的過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)生活化是指數(shù)學(xué)知識(shí)向生活世界回歸，將數(shù)學(xué)知識(shí)的獲
得過(guò)程賦予一定的生活意義。學(xué)生從熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)理解新知、建構(gòu)新知，最終讓生活世界中的經(jīng)驗(yàn)（“個(gè)性化數(shù)學(xué)知識(shí)”、“日常數(shù)學(xué)知識(shí)”）得以提升，成為“數(shù)學(xué)”（“人類性的數(shù)學(xué)知識(shí)”、“學(xué)校性的數(shù)學(xué)知識(shí)”）。生活世界數(shù)學(xué)化是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，解釋或解決種種具體現(xiàn)象和問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)生生活于火熱的現(xiàn)實(shí)世界，他的學(xué)習(xí)應(yīng)該和他的生活世界形成一個(gè)有機(jī)的整體，教育不能讓學(xué)生遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界成為一個(gè)知識(shí)的“囊袋”，而應(yīng)有效地促進(jìn)學(xué)生與世界的交往?！吧罨迸c“數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)教育與生活世界聯(lián)系的兩個(gè)側(cè)面?！吧罨笔腔A(chǔ)，它幫助我們理解抽象的數(shù)學(xué)；“數(shù)學(xué)化”是目標(biāo)，它幫助我們認(rèn)識(shí)生活世界、解決生活世界中的若干問(wèn)題。教學(xué)中我們要利用一切可能的機(jī)會(huì)，通過(guò)“生活化”實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”。以下是我在探索中的一些實(shí)例。
一、運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題
低年級(jí)學(xué)生盡管具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，但他們對(duì)周圍的各種事物、現(xiàn)象有著很強(qiáng)的好奇心。我就緊緊抓住這份好奇心，結(jié)合教材的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑引思，用學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)作為實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生利用自身已有的經(jīng)驗(yàn)探索新知識(shí)，掌握新本領(lǐng)。
1.借用學(xué)生熟悉的自然現(xiàn)象學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
在教學(xué)“可能性”一課時(shí)，先讓學(xué)生觀看一段動(dòng)畫，在風(fēng)和日麗的春天，鳥兒在飛來(lái)飛去，突然天陰了下來(lái)，鳥兒也飛走了，這一變化使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心，這時(shí)老師立刻拋出問(wèn)題：“天陰了，接下來(lái)可能會(huì)發(fā)生什么事情呢？”學(xué)生就會(huì)很自覺(jué)地聯(lián)系他們已有的經(jīng)驗(yàn)，回答這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生說(shuō)：“可能會(huì)下雨”，“可能會(huì)打雷、電閃”，“可能會(huì)刮風(fēng)”，“可能會(huì)一直陰著天，不再有變化”，“可能一會(huì)兒天又晴了”，“還可能會(huì)下雪”??老師接著邊說(shuō)邊演示：“同學(xué)剛才所說(shuō)的事情都有可能發(fā)生，其中有些現(xiàn)象發(fā)生的可能性很大如下雨，有些事情發(fā)生的可能性會(huì)很小如下雪??”“在我們身邊還有哪些事情可能會(huì)發(fā)生？哪些事情根本不可能發(fā)生？哪些事情發(fā)生的可能性很大呢？”通過(guò)這一創(chuàng)設(shè)情境的導(dǎo)入，使學(xué)生對(duì)“可能性”這一含義有了初步的感覺(jué)。學(xué)習(xí)“可能性”，關(guān)鍵是要了解事物發(fā)生是不確定性，事物發(fā)生的可能性有大有小，讓學(xué)生聯(lián)系自然界中的天氣變化現(xiàn)象，為“可能性”的概念教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。
2.結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，在創(chuàng)設(shè)活動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)
在教“元角分的認(rèn)識(shí)”一課中，我首先創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)情境：母親節(jié)快到了，小明想給媽媽買一件禮物，就把自己攢的1角硬幣都拿出來(lái)，一數(shù)有30個(gè)，拿著這么多硬幣不方便，于是小明就找隔壁的老爺爺來(lái)幫忙想辦法，老爺爺說(shuō)這好辦，收了小明的30個(gè)1角硬幣，又給了小明3張1元錢，小明有點(diǎn)不高興，覺(jué)得有點(diǎn)吃虧。你們說(shuō)小明拿30個(gè)1角硬幣換3張1元錢的紙幣虧不虧？為什么？首先組織學(xué)生討論：有的學(xué)生將這30個(gè)硬幣一角一角地?cái)?shù)，每10個(gè)1角放在一起，然后再告訴大家這10個(gè)1角就是1元，3個(gè)10個(gè)1角就是3元，所以30個(gè)1角和3元是相等的；第二，根據(jù)學(xué)生的分析，再組織學(xué)生觀察已分好的硬幣，從中找規(guī)律：“看看元和角之間有什么關(guān)系？”學(xué)生很快得出結(jié)論：“1元10角相等”，“10個(gè)1角就是1元”，“1元就是10個(gè)1角”，“1元＝10角”。
這樣教學(xué)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)中的知識(shí)有的是我們?cè)谏顚?shí)際中已經(jīng)會(huì)的，但沒(méi)有找到規(guī)律，我們可以運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，把經(jīng)驗(yàn)提煉為數(shù)學(xué)，充實(shí)和改善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
3.依托兒童生活事例，滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)
如在教“統(tǒng)計(jì)——最喜愛吃的水果”一課時(shí)，我在組織學(xué)生對(duì)生活實(shí)際生活情況的調(diào)查與統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中，用學(xué)生生活中接觸最多的不同顏色積木代替不同的水果，而一塊積木代表一位同學(xué)最喜歡的水果。在搭積木的實(shí)踐活動(dòng)中滲透統(tǒng)計(jì)的思想：積木要放在同一桌面上才能看出誰(shuí)搭得高，同樣在統(tǒng)計(jì)中也要用橫線表示相同的起點(diǎn)；誰(shuí)搭的積木最高，表示喜歡那種水果的人數(shù)最多。正是在這樣的活動(dòng)中，把統(tǒng)計(jì)中深層次的數(shù)學(xué)思想生活化了。總之，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容盡可能地創(chuàng)設(shè)一些生動(dòng)、有趣、貼近生活的例子，把生活中的數(shù)學(xué)原形生動(dòng)地展現(xiàn)在課堂中，使學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)不再是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，而是富有情感、貼近生活、具有活力的東西。
二、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
數(shù)學(xué)具有豐富的內(nèi)涵，它具體表現(xiàn)在靈活運(yùn)用之中。特別是小學(xué)數(shù)學(xué)，它作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，有著其特殊的應(yīng)用價(jià)值，能活學(xué)還不夠，還應(yīng)在活學(xué)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)活用，使數(shù)學(xué)知識(shí)真正為我們的學(xué)習(xí)、生活服務(wù)。
1.數(shù)學(xué)知識(shí)貼近生活，用于生活
在學(xué)習(xí)了米、厘米以及如何進(jìn)行測(cè)量之后，讓學(xué)生運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。如測(cè)量身高、測(cè)量手臂伸開的長(zhǎng)度、測(cè)量一步的長(zhǎng)度、測(cè)量教室門的寬度以及測(cè)量窗戶的寬度等活動(dòng)，以此加深學(xué)生對(duì)厘米和米的理解，鞏固用刻度尺量物體長(zhǎng)度的方法，同時(shí)，使學(xué)生獲得日常生活中一些常識(shí)性數(shù)據(jù)。特別是使學(xué)生通過(guò)對(duì)自己身體高度的測(cè)量，感覺(jué)自己正在成長(zhǎng)的快樂(lè)。在這個(gè)活動(dòng)中既提高了學(xué)生的興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)際測(cè)量的能力，讓學(xué)生在生活中學(xué)、在生活在用。
2.增強(qiáng)策略意識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的效率
在現(xiàn)代社會(huì)里做任何工作或者解決任何問(wèn)題，為了提高效率，都要講究策略，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視策略研究。如教“可能性”時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣一道實(shí)踐練習(xí)題，“要過(guò)六一兒童節(jié)了，小明要為班里的同學(xué)準(zhǔn)備一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，其中準(zhǔn)備了6個(gè)白球、2個(gè)黃球、3個(gè)綠球，設(shè)有三個(gè)獎(jiǎng)：一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)；獎(jiǎng)品有鉛筆、鉛筆盒、一個(gè)足球?，F(xiàn)在小明要請(qǐng)同學(xué)們幫他設(shè)計(jì)一個(gè)摸球有獎(jiǎng)游戲規(guī)則，你能幫幫他嗎？”學(xué)生在看到題目后，經(jīng)過(guò)討論都能確定摸到綠球?yàn)橐坏泉?jiǎng)，摸到黃球?yàn)槎泉?jiǎng)，摸到白球?yàn)槿泉?jiǎng)；但在獎(jiǎng)品的分配上出現(xiàn)了分歧，這時(shí)老師作為指導(dǎo)者告訴學(xué)生在獎(jiǎng)品的分配上要考慮獎(jiǎng)品的價(jià)錢，學(xué)生再次經(jīng)過(guò)熱烈的討論，最后確定了摸球有獎(jiǎng)游戲規(guī)則。在這樣的實(shí)際運(yùn)用中學(xué)生的思維更加活躍，創(chuàng)造意識(shí)和策略意識(shí)有所增強(qiáng)，解決實(shí)際問(wèn)題的能力也有所提高。
我們教師要密切聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際，從學(xué)生熟悉的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，為他們提供觀察、操作、實(shí)踐探索的機(jī)會(huì), 使他們有更多的機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味和作用，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力。
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